FISICA DEL SISTEMA CARDIOCIRCOLATORIO
Conferenza organizzata dalla Fondazione Livia Tonolini e dalla Sezione Mathesis di Bergamo, a cura di F. Tonolini
il 22 aprile 2005
A.
Fondamenti di reologia
B.
Il circuito cardiocircolatorio
C.
Dati relativi al sistema cardiocircolatorio
D.
Fenomeni di elasticità nei condotti del sangue
Fondamenti di reologia
1. Portata
2. Corrente
=
quantità di una grandezza
intervallo di tempo
=
quantità di una grandezza
intervallo di tempo x area della superficie
3. Fluido che scorre in una condotta
a) Portata Volumetrica πv = volume
intervallo di tempo
b) Portata di massa πm =
c) Portata in peso πp =
=
Sv∆t
∆t
= Sv
ρ πv
γ πv
2
Fondamenti di reologia
Effetto di una stenosi e di un varice sulla velocità del fluido
3
Fondamenti di reologia
Velocità del fluido a varie postazioni e in corrispondenza di ramificazioni
4
Fondamenti di reologia
4.
Moto stazionario di un fluido: la velocità è costante in
ogni punto del condotto
5.
Moto permanente: portata costante (nessuna
sorgente, nessun pozzo)
6.
Trasporto della quantità di moto in regime laminare
(gli strati di fluido mantengono la loro individualità)
5
Fondamenti di reologia
Viscosità dei fluidi
Trasporto della quantità di moto in un regime laminare
6
Fondamenti di reologia
7.
Legge di Newton
Sforzo di taglio
=
F
=
S
– η
∆v
Y
7
Fondamenti di reologia
8.
Legge di Newton espressa mediante la corrente della
quantità di moto Q = mv
dv
F = ma = m
dt
d(mv)
dQ
=
=
dt
dt
2a legge della dinamica
La legge di Newton sullo scorrimento dei fluidi diventa
F
S
JQ
=
dQ
Sdt
= – η
∆v
Y
=
Corrente di quantità d moto
= –η·
JQ
gradiente di velocità
8
Fondamenti di reologia
9.
Unità di misura della viscosità
Nel SI
1 dina ·s
cm2
N·s
m2
=
Nel SGS
1 poise
dina ·s
cm2
1 cp = 10–2 poise
9
Fondamenti di reologia
Viscosità dei fluidi
10
Fondamenti di reologia
10.
Liquidi newtoniani e non newtoniani
a) Liquidi newtoniani :
η
b) Liquidi non newtoniani :
= costante
η
dipende dal gradiente di velocità
11
Fondamenti di reologia
Viscosità dei fluidi
Reogrammi di liquidi newtoniani e non newtoniani
12
Fondamenti di reologia
Viscosità dei fluidi
Regime laminare
Regime di Poiseuille
13
Fondamenti di reologia
11.
Legge di Poiseuille in regime laminare in condotto cilindrico
a) liquido ideale: profilo rettangolare
b) liquido reale: profilo parabolico
Si può mostrare infatti che:
v=
Per
r=a
v= 0
Per
r=0
vmax =
v =
vmax
2
La portata πv =
=
∆p (a2 - r2)
4ηl
∆p a2
4ηl
∆p a2
8ηl
Sv =
π
∆p a4
8ηl
legge di Poiseuille
14
Fondamenti di reologia
12.
Resistenza fluidodinamica
Dalla legge di Poiseuille
Poniamo:
8ηl
= Rf
πa4
∆p = 8 η l
πa4
resistenza fluidodinamica
Per analogia con la legge di Ohm:
Abbiamo:
πv
∆V = Ri
∆p = Rf • πv
15
Fondamenti di reologia
13.
Condotti in serie e condotti in paralllelo
Per condotti in serie
Per condotti in parallelo
Rc
(capillare) >
Ra
Rf = Rf1+ Rf2+... + Rfn
1 = 1 + 1 + ... + 1
Rfn
Rf Rf1 Rf2
(arteriole) >
R
(aorta)
ma
Rtotale
Rtotale
Na
Ra
N
(capillare) = c
Rc
(arteriole) =
16
Fondamenti di reologia
Viscosità dei fluidi
Regime vorticoso e numero di Reynolds
Vc
=
η
Rl
aρ
17
Fondamenti di reologia
14.
Regime vorticoso - numero di Reynolds
Vc = Rl η
aρ
Rl ≈ 2000
Vc = velocità critica
per vasi lontani da gomiti, ostruzioni, curvature
In caso contrario:
Rl < 2000
e la velocità critica dimiuisce
Il regime lamiare è silenzioso, quello vorticoso è rumoroso
18
Fondamenti di reologia
Viscosità dei fluidi
Resistenza fluidodinamica
19
Fondamenti di reologia
Conservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
20
Fondamenti di reologia
Conservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Posizione orizzontale del corpo e
tratto breve del condotto
21
Il circuito cardiocircolatorio
Conservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Linea del carico totale di un liquido ideale
22
Il circuito cardiocircolatorio
Conservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Linea dei carichi nel caso di un liquido viscoso: perdita di carico
23
Il circuito cardiocircolatorio
Conservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Linea del carico totale di un liquido ideale con effetto di una pompa
24
Il circuito cardiocircolatorio
Conservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Linea dei carichi totali nel caso di liquido viscoso. Ripristino della perdita di carico per mezzo
di una pompa
25
Il circuito cardiocircolatorio
Conservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Circuito sanguigno del corpo umano
26
Il circuito cardiocircolatorio
Conservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Circuito sanguigno del corpo umano
27
Il circuito cardiocircolatorio
Conservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Schema della macchina cuore come pompa
28
Il circuito cardiocircolatorio
Conservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Schema delle fasi di un ciclo della macchina cuore
29
Il circuito cardiocircolatorio
Conservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Andamento delle pressioni nell’aorta, nel ventricolo e nell’atrio in funzione delle varie
fasi del pompaggio (ciclo cardiaco)
30
Il circuito cardiocircolatorio
Conservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli
Portata del sangue in uscita dal cuore.
Ms
dt
Dove Ms = gettata
31
Il circuito
cardiocircolatorio
Conservazione
dell’energia meccanica:
equazione di Bernoulli
Distribuzione di pressione
nel circuito sanguigno
32
Dati relativi al sistema cardiocircolatorio
1. La portata in uscita del cuore è pulsata. Il flusso da pulsato si trasforma in continuo per
effetto della elasticità dei vasi
2. Il ciclo dura mediamente 1/75 di minuto = 0,8 s.
0,25 secondi sono dedicati alle sistole ventricolari, i rimanenti 0,55 secondi alla pausa tra
una gettata e la successiva.
3. La gettata media ms è compresa normalmente tra 40 g e 75g. La frequenza tra 70 min-1
e 80 min-1 .
4. La frequenza e la gettata non sono indipendenti: se la frequenza aumenta troppo, la
gettata diminuisce.
5. La portata media è data da: πp
= Msν
Essa varia da un minimo di 40 • 70 g/min= 2800 g/min a un massimo di 75 • 80 g/min =
6000 g/min
33
Dati relativi al sistema cardiocircolatorio
Perdite di carico e prevalenza delle pompe
6. Consideriamo una portata di 4500 g/min e come valori di pressione 30 mmHg per il
cuore destro e 100 mmHg per il cuore sinistro.
Ricordiamo che per un circuito chiuso in regime permanente la perdita di carico è data da
∆p
γ
Abbiamo allora:
R3,4 =
30
735
R1,2 =
100 kg
735 cm2
kg
cm2
1
γ
= 40,8 cm (= HD)
1
γ
= 136 cm (= HS)
34
Dati relativi al sistema cardiocircolatorio
Potenza delle pompe del cuore
7. Potenza: P = H (energia/peso) • πp
(peso/tempo) = energia/tempo
PD = HD • πp = 40,8 • 4500 = 0,3 W
Pt = PD + PS = 1,3 W
PS = HS • πp = 136 • 4500 = 1 W
per un rendimento del 10%
Peff = Pt • 10 = 13 W
In un giorno viene erogata una potenza :
(13 • 24) Wh/giorno = 312 Wh/giorno
Poiché 1 Kcal = 4,18 • 103 joule, abbiamo:
312 • 3,6 • 103 =
4,18 • 103
268 Kcal/giorno
35
Fenomeni di elasticità nei condotti del sangue
Consideriamo un segmento di vaso cilindrico di
raggio R (un segmento di vena o arteria)
contenente un liquido, in questo caso sangue,
ad una pressione p, detta anche nel gergo dei
fisiologi pressione trasmurale.
A causa di questa pressione, tutti i punti della
superficie della membrana del vaso sono
sollecitati da una trazione T, tangente in ogni
punto della superficie della membrana.
La trazione T varia da 170 N/m per l’aorta
(raggio uguale a ~1,3 cm) a 0,016 N/m per i
capillari (raggio 4·10 -4)
T = p ·R
Pressione di Laplace per un condotto cilindrico
36
Fenomeni di elasticità nei condotti del sangue
Riportiamo (come in figura 2a) in funzione di R la
trazione T = P1R e la tensione elastica Tel.
Possiamo allora osservare che il punto A1 di
intersezione tra la retta e la curva corrispondente
al raggio R1 , rappresenta un punto di equilibrio
stabile.
Se per svariate cause, fra cui l’invecchiamento, si
ha un deterioramento delle caratteristiche
elastiche, per cui l’andamento della curva della
tensione elastica Tel differisce dal caso
esaminato in fig. 2a, e cioè presenta una
concavità verso il basso, si hanno 2 punti di
intersezione A1 ed A1’ , ma solo A1’ è un punto
di equilibrio stabile. Per pressione superiore a P2
la retta (ad esempio T=P3 R) che rappresenta la
trazione non intercetta più la curva Tel . Non si
hanno quindi punti di equilibrio: la trazione supera
sempre la tensione elastica e il vaso si rompe.
37
