RAGIONAMENTO, ARGOMENTAZIONE E LOGICA

Ugo Solitro
“I see nobody on the road” said Alice.
“I only wish I had such eyes … to be able to see Nobody!”
Lewis Carrol
Logica, Ugo Solitro – Verona, 10 febbraio 2017 (bozza)
Dipartimento di Informatica Università degli Studi di Verona
TANDEM A. A. 2016/17
RAGIONAMENTO,
ARGOMENTAZIONE E LOGICA
ultimo aggiornamento 07/03/17
AVVERTENZA
I materiali che seguono sono progettati come supporto alla lezione e alle attività che si svolgono in aula.
Gli argomenti non sono in generale trattati in maniera del tutto
rigorosa ed esauriente.
Non costituiscono un materiale adatto allo studio.
Possono contenere imprecisioni ed errori di battitura.
Le citazioni non riportano sempre affermazioni veritiere!
Nella preparazione di questo materiale si è fatto uso di alcune risorse come indicato nella prima lezione.
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SOMMARIO
I quantificatori, ripresa.
Argomentazioni e …
Descrizioni definitorie
Autoreferenza
Induzione (matematica)
Esercizi
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LA LOGICA DEI PREDICATI
Il linguaggio del I ordine
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DALLE PROPOSIZIONI
AI PREDICATI
La logica delle proposizioni fornisce la struttura essenziale
Ma bisogna andare più a fondo:
le asserzioni hanno una loro struttura interna
ed esprimono proprietà di elementi e di individui.
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UN ESEMPIO DISCUTIBILE
Perché le cose succedono?
C’è un motivo se la mia auto si guasta.
C’è un motivo se siamo qui.
C’è un motivo se mi sono preso l’influenza.
Ogni evento ha una causa.
Dunque c’è una causa per ogni evento,
… anche il Big Bang!
Conclusione … esiste un principio che è la causa di tutto.
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UN ESEMPIO DISCUTIBILE:
CENNI PER UNA SPIEGAZIONE
“Ogni evento ha una causa.”
Per ogni evento esiste una causa
“C’è una causa per ogni evento”
Esiste una causa per ogni evento
Le due frasi sono evidentemente differenti
ma la formulazione in linguaggio naturale può ingannare.
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UN ESEMPIO DISCUTIBILE:
VERSO LA SOLUZIONE
Questo genere di problemi può essere risolto con un’analisi rigorosa della struttura delle asserzioni.
I logici hanno analizzato la situazione
e scoperto che le costruzioni che rilevanti sono poche.
Tutte le altre (quasi tutte …) si possono ricondurre a quelle fondamentali!
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LA SOLUZIONE
Analizzare più a fondo la struttura delle asserzioni.
Arricchire il linguaggio delle proposizioni:
definire i predicati
definire i quantificatori
…
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PREDICATO
Dal Vocabolario Treccani
Ciò che si predica, cioè si afferma o si nega intorno a un soggetto
Nella logica: il giudizio è composto da un soggetto e un predicato.
Con significato più specifico in logica matematica, attributo o proprietà relativa a uno o anche a più soggetti.
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DALLE ASSERZIONI AI PREDICATI: ESEMPI
“Kurt ama la logica”
Se indichiamo con L il predicato “ – ama la logica”
L’asserzione può essere sinteticamente riscritta così:
L(Kurt)
Posso riutilizzare il predicato e scrivere anche:
L(Ugo)
In generale se indichiamo con p una generica persona
possiamo scrivere L(p) per esprimere il fatto che …
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UN PROBLEMA DI NOTAZIONE
Nel libro di Graham Preist si adopera una notazione differente …
“Kurt ama la logica”
Se indichiamo con L il predicato “ – ama la logica”
L’asserzione può essere sinteticamente riscritta così:
Kurt L
Posso riutilizzare il predicato e scrivere anche:
Ugo L
In generale se p è una persona generica
possiamo scrivere p L per esprimere il fatto che …
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DALLE ASSERZIONI AI PREDICATI: ESEMPI
“Le rette a e b sono perpendicolari”
Se indichiamo con P il predicato (binario) “ … essere rette perpendicolari”
l’asserzione può essere sinteticamente riscritta così:
P(a,b)
“I punti A, B, C, D definiscono un quadrato”
Se indichiamo con Q il predicato (quaternario) “ … essere punti che definiscono un quadrato”
l’asserzione può essere sinteticamente riscritta così:
Q(A,B,C,D)
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PREDICATI E INSIEMI
Un’asserzione può essere intesa come l’espressione di una proprietà che lega gli elementi …
Un predicato possiamo pensarlo come una relazione, ovvero
come sottoinsieme di un opportuno prodotto cartesiano,
come una particolare funzione “di verità”,
come un giudizio elementare su individui
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IL LINGUAGGIO AL I ORDINE
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FORMULE DEL PRIM’ORDINE
a, b, c, … rappresentano individui specifici (nomi propri, costanti)
x, y, z, … rappresentano individui non precisati (nomi generici, variabili)
A, B, C, … , P, Q, R, … rappresentano predicati (atomici e non) ognuno con un “numero di argomenti” fissato (detto arietà)
A partire da predicati atomici si possono costruire asserzioni più complesse, dette formule, utilizzando
i connettivi proposizionali (già visti)
e … quantificatori!
che definiremo tra poco …
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QUANTIFICAZIONI
universale
esistenziale
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ASSERZIONI DIPENDENTI
Finora abbiamo considerato asserzioni logiche costruite mediante operazioni (connettivi)
a partire da frasi considerate come un tutt’uno.
Spesso il significato di una asserzione può dipendere da qualche cosa al suo interno:
un elemento del quale la frase parla.
Esempio: “Marco ha i capelli rossi”.
È evidente che la verità dell’asserzione dipende dalle caratteristiche di Marco:
se l’elemento cambia …
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ASSERZIONI DIPENDENTI: ALTRI ESEMPI
Esempi.
Marcus ha visto un elefante.
Annika si è addormentata.
Qualcuno mi ha colpito.
Nessuno è venuto alla festa.
Tutti amano la pizza.
In alcuni casi (i primi due) il soggetto è chiaramente definito,
negli altri non è proprio così …
“qualcuno”, “nessuno”, “tutti” sono chiamati quantificatori.
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INFERENZA
CON I QUANTIFICATORI
Esempio 1:
Marcus mi ha colpito
–––––––––––––––––
Qualcuno mi ha colpito
Esempio 2:
x ama la pizza (con x che abita in Italia)
––––––––––––––––––––––––––––––––
Tutti gli abitanti dell’Italia amano la pizza
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QUANTIFICATORI: INFERENZA
Esempio 1 – introduzione dell’esistenziale:
Marcus mi ha colpito
–––––––––––––––––
Qualcuno mi ha colpito
Esempio 2 – introduzione dell’universale:
x ama la pizza (dove x abita in Italia)
––––––––––––––––––––––––––––––––
Tutti gli abitanti dell’Italia amano la pizza
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QUANTIFICATORI FONDAMENTALI E LORO PROPRIETÀ
Nella maggior parte dei casi i quantificatori si riducono
a due tipi fondamentali: esistenziale e universale.
Esistenziale (∃):
∃xP(x): “esiste x tale che P(x)” è valida se e solo se esiste un elemento x per il quale vale P(x).
Universale (∀):
∀xP(x): “per ogni x, P(x)” è valida
se e solo se per ogni elemento x vale P(x).
Le regole che governano i quantificatori sono naturali …
a meno di qualche dettaglio tecnico!
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QUANTIFICATORI DERIVATI
E QUALCHE EQUIVALENZA
Nessuno:
“nessuno soddisfa P(x)” equivale a
∀x¬P(x) (“tutti non …”)
oppure ¬∃xP(x) (“non esiste …”)
Universale (∀):
∀xP(x) equivale a ¬∃x¬P(x)
Esistenziale (∃):
∃xP(x) equivale a ¬∀x¬P(x)
Nota: queste equivalenze non sono universalmente accettate!
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QUANTIFICATORI
UNA DEFINIZIONE COSTRUTTIVA
Esistenziale (∃) – ∃xP(x): “esiste x tale che P(x)”
Una dimostrazione di ∃xP(x) è costituita da
un elemento a (testimone)
e una dimostrazione della validità di P(a)
Universale (∀) – ∀xP(x): “per ogni x, P(x)”
Una dimostrazione di ∀xP(x) è costituita da
un procedimento costruttivo che,
dato un generico a,
consenta di produrre una dimostrazione costruttiva della validità di P(a)
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ESEMPIO
Simona afferma: “In ogni corso di laurea in Medicina e Chirurgia c'è almeno uno studente che ha superato tutti gli esami del primo anno”.
Se tale affermazione è falsa, allora ...
Indichiamo con z un generico corso di laurea in M&C,
s uno studente di tale corso di laurea,
P(x) la proprietà che dice “x ha passato tutti gli esami”.
Allora l’affermazione …
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ESEMPIO: SCHEMATIZZAZIONE E ANALISI
Non è vero che “In ogni corso di laurea in Medicina e Chirurgia c'è almeno uno studente che ha superato tutti gli esami del primo anno”.
… può essere riformulata in simbolicamente così:
¬∀l ∃s in l : P(s)
Non per ogni corso di laurea, esiste uno studente …
equivalente a ∃l ¬∃s in l : P(s)
Esiste un corso di laurea, per il quale non esiste uno studente …
equivalente a ∃l ∀s in l : ¬P(s)
Esiste un corso di laurea, per il quale ogni studente non …
In altre parole:
“Esiste almeno un corso di laurea in Medicina e Chirurgia per il quale nessuno studente ha superato tutti gli esami del primo anno”.
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ARGOMENTAZIONI AL I ORDINE
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ARGOMENTO COSMOLOGICO
Argomentazione:
Ogni evento ha una causa.
Pertanto c’è una una causa per ogni evento
Esiste qualcosa che causa ogni cosa …
C’è un Problema tecnico!
Esiste una causa per ogni evento
Per ogni evento esiste una causa
Le due frasi sono evidentemente differenti
ma la formulazione in linguaggio naturale può ingannare.
Le due quantificazioni non sono equivalenti:
lo si può dimostrare esibendo dei contro esempi.
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L’ARGOMENTO ONTOLOGICO
Argomentazione:
Dio è l’essere con tutte le perfezioni.
L’esistenza è una perfezione.
Quindi Dio possiede l’esistenza.
Quindi esiste!
Dov’è il difetto?
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QUAL’È IL DIFETTO
L’argomentazione fa riscorso alla possibilità di caratterizzare al I ordine entità individuali mediante le loro proprietà.
Questa tecnica è piuttosto diffusa e utile.
Ma può esporre l’argomentazione ad errori …
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DESCRIZIONI ED ESISTENZA …
Una descrizione (definita o definitoria)
è una proprietà (più o meno complessa)
che permette di caratterizzare un entità individuale.
Esempi.
Il primo uomo che è sbarcato sulla Luna.
Un antico ponte sull’Adige che ora non c’è più.
Il professore che è stato eletto Rettore dell’Università.
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UNA DESCRIZIONE IN DETTAGLIO
“Il primo uomo che è sceso sulla Luna.”
Questa locuzione descrive ovviamente Neil Armstrong
ed è strutturata in due elementari:
U(x) = “x è un uomo”
L(x) = “x è il primo a sbarcare sulla luna”
Possiamo allora riscrivere in modo formale la prima frase:
Neil Armstrong è
“l’individuo x tale che U(x) & L(x)”.
Oppure, in modo più sintetico
ix: U(x) & L(x)
Una descrizione definitoria è sostanzialmente assimilabile ad un nome.
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PRECAUZIONI TECNICHE
Questo genere di descrizioni “definitorie” funzionano
quando le proprietà caratterizzanti sono soddisfacibili
ed esiste un unico individuo che le soddisfa.
L’equazione definitoria p = ix:P(x) è ben formata
se esistono individui che soddisfano P(x)
e ancora di tali individui ce n’è uno solo.
Principio di Caratterizzazione:
L’individuo p definito da ix:P(x)
soddisfa tutte le proprietà descritte da P(x).
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CATTIVI ESEMPI
Esempio 1
P(x): x è il più numero grande numero intero
M = ix:P(x)
Quindi M è il più grande di tutti i numeri interi…
Esempio 2
A(y): y è un cavallo alato
C = iy: A(y)
Quindi C è un cavallo alato … (se esiste!)
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(ANCORA) CATTIVI ESEMPI
Esempio 3
Z(x): x è il più potente tra gli dei dell’Olimpo
Zeus = ix:P(x)
Quindi Zeus è è il più potente tra gli dei dell’Olimpo!
L’affermazione finale può considerarsi vera
Ma questo non ci autorizza ad asserire l’esistenza di Zeus …
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DESCRIZIONI E ESISTENZA
Le descrizioni definitorie sono uno strumento fondamentale.
Le proprietà caratterizzanti “parlano” di un’entità che è pensata come esistente.
L’esistenza, e l’unicità, dell’entità di cui si parla (definiendum)
debbono essere dimostrate!
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AUTOREFERENZA
Hofstadter's Law: It always takes longer than you expect, even when you take into account Hofstadter's Law.
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AUTO REFERENZIALITÀ
Una frase (o una locuzione) si dice autoreferenziale
quando al suo interno si fa riferimento diretto o indiretto alla frase stessa.
Esempi.
“Quanto sto dicendo è il frutto di una lunga esperienza nello studio della logica.”
“Moltiplicare un numero intero m per un intero n significa aggiungere m ad un valore iniziale nullo
esattamente n volte”
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DEFINIZIONI AUTO REFERENZIALI
In matematica l’autoreferenzialità è molto frequente.
Esempio. Il fattoriale.
Se n è un numero intero positivo il suo fattoriale n! si ottiene
calcolando la seguente moltiplicazione:
1x2x3 … x n
Più precisamente (definizione ricorsiva):
0! = 1
n! = (n-1)! x n
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PROBLEMI LEGATI
ALL’AUTOREFERENZIALITÀ
Frasi di questo genere non sono così comuni al di fuori di un ambito tecnico.
Possono apparire semplici, ma spesso sorgono problemi …
Esempi
“Questa frase contiene cinque parole.”
Nel regolamento di molte istituzioni compare una regola di questo tenore:
“Questo regolamento può essere modificato tramite una delibera
approvata dalla maggioranza degli aventi diritto”.
“Questa frase è falsa.”
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ANALISI DI UN ESEMPIO
“Questa frase è falsa.”
L’affermazione in discussione è …
vera?
se lo fosse ne segue necessariamente che è falsa.
falsa?
in questo caso “Questa frase è falsa” risulta falsa e pertanto deve essere vera!
In entrambi i casi arriviamo ad una contraddizione!
Qual’è … la verità?
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UN ALTRO ESEMPIO
“Questa frase è vera.”
L’affermazione in discussione è …
vera?
se è vera quanto viene asserito è giudicato valido,
esattamente quel che la frase esprime.
falsa?
in questo caso “Questa frase è vera” risulta falsa quindi quel che la frase esprime è falso.
Dunque? È vera o falsa?
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PARADOSSO
Dall’Enciclopedia Treccani on line
Affermazione, proposizione, tesi, opinione che, per il suo contenuto o per la forma in cui è espressa, appare contraria all’opinione comune o alla verosimiglianza e riesce perciò sorprendente o incredibile.
In logica, il paradosso è un enunciato contrario all’opinione comune
ovvero che si presenta in sé stesso contraddittorio.
Proposizione contrastante con precedenti risultati o con principi ritenuti incondizionatamente validi, dedotta da una dimostrazione che appare a prima vista rigorosa.
Il Paradosso del Mentitore: “Io sto mentendo.”
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ALTRI PARADOSSI
Il Paradosso del Barbiere:
In un isola c’è un barbiere che …
Il Paradosso di Zenone
…
Il Paradosso di Berry:
“Il più piccolo numero definito con non meno di dodici parole.”
Un Paradosso socratico:
“Tutto ciò che so è di non sapere”.
Il Paradosso dei Numeri Interessanti:
“Sia n il più piccolo numero non interessante.”
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SOLUZIONI?
L’autoreferenzialità può essere uno strumento potente.
Affermazioni apparentemente semplici
possono risultare paradossali.
Le soluzioni non sono molto semplici …
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UNA LOGICA CON MOLTI VALORI
Nel nostro percorso abbiamo cercato di non parlare troppo di verità.
Ma nei nostri discorsi erano spesso sottintesi i due classici valori di verità: vero e falso.
Possiamo considerare la possibilità di “cambiare” i valori di verità includendo:
né vero, né falso;
vero e falso.
Logiche di questo genere sono state effettivamente sviluppate …
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UN LINGUAGGIO “PIÙ” RIGOROSO …
Un’altra soluzione consiste nell’imporre delle regole più rigide nella costruzione delle frasi ed impedire la creazione di situazioni critiche.
È la strada che percorrono la matematica e le scienze.
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IL PARADOSSO DI RUSSEL
Formulazione sintetica.
Un insieme è una collezione di oggetti.
Gli oggetti di un insieme possono essere a loro volta insiemi
Nota: nella teoria matematica degli insiemi ogni oggetto è un insieme!
Sia R l’insieme degli insiemi che non contengono sé stessi come membri.
R = { x | x∉x }
Problema: R∈R?
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INDUZIONE
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GENERALIZZAZIONI
Quando abbiamo parlato di quantificatori
abbiamo parlato del quantificatore universale.
Ma come si fa ad inferire che una proprietà vale per tutti
senza necessariamente validare
tutti i casi possibili?
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ESEMPI DI GENERALIZZAZIONE
Teorema. Per tutti i numeri naturali dispari
la divisione per 2 dà come resto 1.
Dimostrazione (sintetica).
Sia n un numero naturale dispari.
n non è pari, quindi non è un multiplo di 2.
La “distanza” massima tra due numeri pari.
Quindi n è preceduto da un numero pari
e di conseguenza esiste k tale che n = 2xk+1
…
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ALTRI ESEMPI …
Argomentazione
L’uomo, il cane, le foche sanno nuotare.
L’uomo, il cane, le foche sono mammiferi.
I mammiferi sanno nuotare
Problemi?
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ALTRI ESEMPI …
Fatti
Ho visto un corvo ed era nero.
Ho visto un secondo corvo ed era nero.
Ho visto un terzo corvo ed era nero.
…
Conclusione
I corvi sono neri (?)
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INDUZIONE MATEMATICA
È una tecnica consolidata per dimostrare asserzioni generali
sui numeri interi, ma non solo!
Principio di Induzione Matematica.
Sia P(x) un predicato al I ordine.
Supponiamo che
P(0) sia valido
P(n) valido => P(n+1) valido
Allora per ogni n numero naturale vale P(n).
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INDUZIONE MATEMATICA
UN ESEMPIO
Teorema
Per ogni n numero naturale
P(n): 1+2+3+4 + … n = n(n+1)/2
Dimostrazione
Base: P(0) è valida. Infatti …
Passo induttivo: se P(n) vale allora anche P(n+1).
Infatti si ha che
1+2+3+4 + … n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2+1) = (n+1)(n+2)/2.
Q.E.D.
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INDUZIONE MATEMATICA
UN ESEMPIO SORPRENDENTE
Teorema
Tutti i cavalli sono dello stesso colore.
Lemma
Per ogni n un numero naturale,
P(n): per ogni branco (insieme) costituito da n cavalli
tutti gli elementi hanno lo stesso colore.
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DIMOSTRAZIONE: PASSO BASE
Sia n = 0.
il branco non contiene nemmeno un cavallo
la tesi è “vuotamente” soddisfatta.
(c’è da fidarsi …?)
(io non mi lo farei …)
Sia n = 1.
Il branco è costituito da un solo cavallo.
La tesi è “banalmente” soddisfatta.
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DIMOSTRAZIONE: PASSO INDUTTIVO
Supponiamo che P(n) sia valido.
Vogliamo dimostrare che, di conseguenza,
anche P(n+1) vale.
Sia B un branco con n+1 cavalli
precisamente B = { c1, c2, c3, … , cn+1 }
consideriamo B’ = { –, c2, c3, … , cn+1 }
B’ contiene solo n cavalli che,
per ipotesi induttiva, hanno tutti lo stesso colore.
consideriamo B” = { c1, –, c3, … , cn+1 }
di nuovo B”contiene n cavalli tutti lo stesso colore.
Dunque … la tesi!
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ALTRI PRINCIPI
DI INDUZIONE
Induzione Matematica Completa
Principio del Minimo
Induzione Strutturale
Induzione Transfinita
Induzione Transfinita fino ad epsilon-zero.
…
Co-induzione … ?
…
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