La Trasmissione dei Segnali

La Trasmissione dei Segnali
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cavi coassiali
equazione d’onda
impedenza caratteristica
riflessioni
distorsioni
Introduzione
• Dobbiamo ora studiare come trasmettere senza
deformazione segnali impulsivi da una parte all’altra
del nostro sistema
• Non e’ assolutamente un’impresa banale trasmettere
correttamente segnali con tempi di salita dell’ordine
dei nanosecondi
• Per trasmettere segnali rapidi su lunghe distanze si
usano le linee di trasmissione, che in elettronica
nucleare sono costituite dai cavi coassiali
13-03-2006
A. Cardini / INFN Cagliari
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Cavi Coassiali
•
Si tratta di due conduttori concentrici separati da dielettrico (polietilene, teflon) e ricoperti
poi da una guaina di protezione
•
Il conduttore elettrico esterno, oltre a servire per il ritorno della corrente, agisce da schermo
alle interferenze elettromagnetiche
•
I segnali che vengono trasmessi in un cavo coassiale sono delle onde, e il coassiale altro non e’
che una guida d’onda
•
In elettronica nucleare e’ d’uso rappresentare il cavo come un elemento del circuito e
considerare V e I (di fatto direttamente misurabili) invece di E e B
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Cavi coassiali (2)
•
La geometria del cavo e’ tale che esso presentera’ una capacita’ ed
una induttanza per unita’ di lunghezza
•
Dall’elettromegnetismo si puo’ ricavare
L≈
µ b
ln  [H/m ]
2π  a 
C≈
2πε
ln(b / a )
[F/m]
•
Tipicamente si hanno 100 pF/m e decine di µH/m
•
Tutto questo trascurando le imperfezioni, resistivita’ non nulla dei
conduttori e conducibilita’ non trascurabile attraverso il dielettrico.
In generale si avra’ (per unita’ di lunghezza di cavo):
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Equazione d’onda
Sia ∆z un elemento di cavo. Calcoliamo ∆V e ∆I
attraverso questo elemento:
∂I ( z , t )
∂t
∂V ( z , t )
∆I ( z , t ) = −G∆z ⋅ V ( z , t ) − C∆z ⋅
∂t
∆V ( z , t ) = − R∆z ⋅ I ( z , t ) − L∆z ⋅
Dividendo per ∆z e facendo il limite per ∆z tendente a 0:
∂V
∂I
= − RI − L
∂z
∂t
∂I
∂V
= −GV − C
∂z
∂t
Differenziando rispetto a z e a t le equazioni si disaccoppiano
∂ 2V
∂ 2V
∂V
=
LC
+
(
LG
+
RC
)
+ RGV
∂z 2
∂t 2
∂t
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ed un’altra simile per I
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Il cavo senza perdite
•
Se il cavo e’ ideale allora R=G=0, questa e’ anche una buona
approssimazione per cavi corti. L’equazione d’onda allora diventa la nota
equazione dell’onda
2
2
∂V
∂V
=
LC
∂z 2
∂t 2
•
Se considero una componente spettrale V = V(z) exp(iωt) e la sostituisco
nell’equazione per la parte spaziale si ottiene
d 2V
= −ω 2 LC ⋅ V = −k 2V , dove k 2 = ω 2 LC
2
dz
•
Le soluzioni spaziali sono della forma
V ( z ) = V1 exp(−kz ) + V2 exp(kz )
•
e alla fine si ottiene
V ( z , t ) = V1 exp[i (ωt − kz )] + V2 exp[i (ωt + kz )]
•
che rappresenta due onde, una che si propaga lungo +z e una lungo -z a
velocita’ v = ω/k = (LC)-1/2 (LC = µε, indipendente dalla lunghezza,
tipicamente 5 ns/m)
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Impedenza caratteristica
•
Si tratta di una importante proprieta’ dei cavi coassiali, e rappresenta il
rapporto tra tensione e corrente che circola nel cavo (sfasamento
incluso, in generale l’impedenza e’ complessa), e per un cavo senza
perdite vale
V
L
Z0 =
I
=
C
•
Z0 e’ puramente resistiva, non dipende dalla lunghezza del cavo ma solo
dalle sue dimensioni e dai materiali (dielettrico)
•
ATTENZIONE: non si tratta di una quantita’ realmente misurabile con
un ponte resistivo, anche se il cavo poi si comporta come una vera
resistenza quando viene connesso all’uscita di uno strumento
Z0 =
•
µ / µ0 b
L
= 60
ln [Ω]
ε / ε0 a
C
A causa del logaritmo, tipicamente Z0 = 50 ÷ 200 Ω
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Riflessioni
•
In generale, il segnale in un cavo coassiale e’ dato dalla sovrapposizione dei segnali che si
propagano nelle due direzioni opposte:
V = Vd ( x − vt ) + Vr ( x + vt )
•
In generale la presenza dell’onda riflessa non e’ trascurabile, e se si sovrappone con l’onda
riflessa questa deforma il segnale originale. Inoltre nel cavo si possono creare degli echi dovuti a
segnali che viaggiano ripetutamente avanti e indietro nel cavo. In analogia con quanto avviene in
ottica, dove la riflessione ha luogo all’interfaccia tra mezzi con indici di rifrazione diversi, nei cavi
le riflessioni hanno luogo quando l’impedenza caratteristica cambia rapidamente.
•
Le riflessioni possono essere calcolate considerando le condizioni al contorno all’interfaccia,
quindi tra il cavo e la terminazione R
•
Abbiamo le seguenti condizioni:
Z 0 = Vd / I d
R = (Vd + Vr ) /( I d + I r )
Z 0 = −Vr / I r
•
Si definisce il coefficiente di riflessione ρ = Vr/Vd
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ρ=
Vr
I
R−Z
=− r =
Vd
Id R + Z
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Riflessioni (2)
A lato si puo’ vedere come
diventa il segnale in una linea
di trasmissione al variare
della impedenza usata nella
terminazione
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Terminazioni dei cavi
•
Le distorsioni dovute alle riflessioni possono quindi essere evitate
adattando l’impedenza di terminazione all’impedenza del cavo coassiale
•
Caso tipico: vedere un segnale da un coassiale (Z1 = 50 Ω) con un
oscilloscopio (Z2 = 1 MΩ): c’e’ bisogno di R ≈ 50 Ω in parallelo (il
cosiddetto “tappo da 50 Ω”)
In questo caso Z2 > Z1 : devo aggiungere un R tale che R//Z2 = Z1
Z1 = R // Z 2 =
•
RZ 2
ZZ
⇔ R = 1 2 ≅ Z1 se Z2 >> Z1
R + Z2
Z1 + Z 2
Nel caso invece Z1 > Z2:
Z 1 = R + Z 2 ⇔ R = Z1 − Z 2
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Altri esempi di adattamento di impedenza
Attenuatore non adattato
non ideale per segnali veloci
Attenuatore a “T”
Realizza un sistema simmetrico con
uguali impedenze di ingresso e uscita
α=
Vin
(fattore di attenuazione)
Vout
R1 = R0
α −1
2α
, R2 = R0 2
α +1
α +1
Splitter Passivo
se Z0, Load1 e Load2 sono cavi da 50 Ω,
mettendo R = 16.6 Ω l’impedenza vista da
ogni “porta” e’ sempre di 50 Ω
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Z0
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Perdite nei cavi
•
Le perdite nei cavi sono dovute alla resistenza dei conduttori e alle perdite (correnti
non nulle) nel dielettrico. Anche la radiazione elettromagnetica causa perdite, ma
possiamo trascurarla. Prendendo l’equazione
∂ 2V
∂ 2V
∂V
LC
LG
RC
+ RGV
=
+
(
+
)
∂z 2
∂t 2
∂t
e sostituendo la soluzione sinusoidale V = V(z) exp(iωt) , si ottiene
d 2V
2
ω
ω
γ
=
(
R
+
i
L
)(
G
+
i
C
)
V
=
V
2
dz
γ = α + ik = ( R + iωL)(G + iωC ) , costante di propagazione
da cui la soluzione nella quale il segnale si attenua in ampiezza durante la propagazione:
V ( z , t ) = V1 exp(−αz ) exp[i (ωt − kz )] + V2 exp(αz ) exp[i (ωt + kz )]
ATTENZIONE: α e k dipendono da ω! Le componenti dell’impulso a diversa frequenza si
attenuano in modo diverso e si ha la dispersione dell’impulso
INOLTRE anche R e G variano con la frequenza (R per l’effetto pelle, G per perdite HF
nel dielettrico), e queste sono le causa dominanti della deformazione dei segnali ad alta
frequenza
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Perdite nei cavi (2)
•
Gli effetti ad alta frequenza su α possono essere cosi’ riassunti
α ( f ) = a f + bf
Il secondo termine, dato dalle perdite nel dielettrico, diventa dominante
sopra ~1 GHz
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Distorsioni dei segnali
nel caso α ≅ a f , cavo lungo x,
τ 0 = ( xa) 2 / π
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