FENOMENI ONDULATORI
La riflessione
La riflessione è un fenomeno che avviene quando le onde incontrano un ostacolo che interrompe la
loro propagazione. Benché l’onda sia stata definita come un profilo che si muove senza trasporto di
materia, la riflessione è da considerarsi come l’analogo dell’urto meccanico tra particelle dotate di
massa: quando le particelle urtano elasticamente un ostacolo, esso reagisce secondo il terzo
principio della dinamica. Si conserva quindi la quantità di moto totale e l’ostacolo restituisce tutta
l’energia cinetica all’onda. Essa si propaga quindi a ritroso con la stessa velocità che aveva prima
dell’urto.
Esistono due leggi che regolano la riflessione delle onde, dovute a Cartesio che le elaborò sulla
luce. Per enunciarle faremo riferimento alla seguente figura:
Fronti dell’onda
incidente
Fronti dell’onda
riflessa
La prima legge della riflessione afferma che il raggio incidente, il raggio riflesso e la normale alla
superficie riflettente giacciono sullo stesso piano, detto anche piano di incidenza.
La seconda legge della riflessione afferma invece che l'angolo di incidenza i e l'angolo di
riflessione r' sono uguali tra loro: i = r', dove l'angolo di incidenza i è l'angolo che il raggio
incidente forma con la normale alla superficie, mentre r' è l'angolo che la normale alla superficie
forma con il raggio riflesso.
Da notare che nella riflessione si conservano tutte le proprietà fisiche dell’onda, quindi la frequenza,
la velocità e la lunghezza d’onda.
Da ricordare che il raggio di un onda rappresenta quella retta sempre ortogonale alle superfici dei
fronti d’onda.
La rifrazione
Nel fenomeno della riflessione onde incidenti e onde riflesse viaggiano sempre nello stesso mezzo
di propagazione.
Esistono però casi in cui le onde attraversano diversi mezzi di propagazione.
L’energia iniziale dell’onda si trasmette in tutti i mezzi che incontra e l’effetto macroscopico è un
cambiamento della velocità di propagazione nel passaggio da un mezzo a un altro: è il fenomeno
della rifrazione.
Consideriamo due mezzi trasparenti di diversa densità, quali possono essere l'aria e l'acqua, e un
raggio incidente che, provenendo dall'aria, incide sulla superficie di separazione tra l'aria e l'acqua.
In corrispondenza della superficie di separazione dei due mezzi, il raggio incidente verrà
parzialmente riflesso e parzialmente trasmesso nel secondo mezzo. Questo fenomeno prende il
nome di rifrazione e il raggio che entra nell'acqua prende il nome di raggio rifratto.
1
L’energia totale dell’onda incidente si suddividerà, contribuendo in parte all’energia dell’onda
riflessa e in parte all’energia dell’onda trasmessa ne secondo mezzo. Considerando che l’energia
associata ad un onda è proporzionale al quadrato della sua ampiezza, potremo scrivere:
2
2
2
Ainc
Arifl
Arifr
Considerando che la densità del secondo mezzo è maggiore della densità del primo, l’onda si
trasmette nel secondo mezzo accorciandosi, come se stesse urtando su qualcosa di più pesante: in
questo modo la sua lunghezza d’onda diminuisce, ma anche la sua velocità diminuisce in ragione
dell’aumentata densità del secondo mezzo. La parte dell’onda che si riflette invece inverte solo il
verso della velocità, ma la lunghezza d’onda e la sua velocità restano inalterate. In ogni caso le
ampiezze delle due onde, riflessa e rifratta, avranno ampiezze minori rispetto all’onda incidente, per
il principio di conservazione dell’energia visto in precedenza.
La situazione precedente si capovolge se si passa da un mezzo più denso ad uno meno denso.
Quello che l’onda trasmessa mantiene costante nel passaggio da un mezzo ad un altro è la frequenza
dell’onda incidente.
Considerando la relazione fondamentale della propagazione delle onde: v = f · λ
Abbiamo nel caso di un’onda rifratta:
f
v1
1
v2
2
cos t
(1)
con v1 e λ1 caratteristiche dell’onda incidente e v2 e λ2 caratteristiche dell’onda rifratta
Possiamo anche riscrivere l’equazione (1) nella seguente forma:
v1 1
n12
v 2 2
Il rapporto n12 tra le velocità o le lunghezze d’onda nei due mezzi è chiamato indice di rifrazione
relativo del secondo mezzo rispetto al primo.
Si può anche definire l’indice di rifrazione del primo mezzo rispetto al secondo n21 e in questo caso
1
avremo che n12
n 21
Certe volte è conveniente rapportare gli indici di rifrazione relativi ai mezzi naturali in cui
normalmente avviene la propagazione dell’onda incidente, ponendo uguale ad uno il loro indice di
rifrazione. Ad esempio nel caso del suono il mezzo naturale di propagazione è l’aria, mentre per la
luce è il vuoto. In questo modo l’indice di rifrazione del secondo mezzo rispetto al primo (mezzo di
riferimento con indice di rifrazione pari a 1) prende il nome di indice di rifrazione assoluto e vale
n
la seguente relazione: n12 2
n1
Nel caso di onde superficiali, piane o sferiche, si può osservare che nel passaggio tra i due mezzi di
propagazione di diversa densità, si ha un cambiamento di direzione dell’onda.
Se il secondo mezzo è più denso del primo (si dice anche più rifrangente) si osserva
sperimentalmente che la direzione dell’onda trasmessa tende ad avvicinarsi alla normale alla linea
di separazione, oppure, il che è lo stesso, i fronti d’onda tendono a disporsi più parallelamente
possibile alla linea di separazione.
Succede l’opposto se invece si passa da un mezzo più denso ad uno meno denso.
Da questi esperimenti emergono due leggi di tipo sperimentale:
2
La prima legge della rifrazione afferma che il raggio incidente, il raggio riflesso, il raggio rifratto
e la normale alla superficie di separazione tra i due mezzi trasparenti giacciono sullo stesso piano.
La seconda legge della rifrazione, chiamata anche legge di Snell, afferma che, variando l'angolo di
incidenza, il rapporto tra il seno dell'angolo di incidenza i e il seno dell'angolo di rifrazione r è
costante: sen i / (sen r) = costante. Tale costante dipende dalle caratteristiche dei due mezzi che
prendiamo in considerazione. In particolare, se introduciamo l'indice di rifrazione assoluto nx di
una sostanza x abbiamo che la seconda legge della rifrazione può essere riscritta come:
sen (iˆ) nr
(legge di Snell)
sen (rˆ) ni
dove nr ed ni sono gli indici di rifrazione dei mezzi nei quali si trovano il raggio rifratto e il raggio
incidente rispettivamente. Il rapporto nr / ni prende anche il nome di indice di rifrazione relativo
tra i due mezzi ed è pari ad nir.
Il piegamento dei raggi luminosi nell'acqua giustifica anche il motivo per cui una macchia d'acqua
su un abito fa sembrare il tessuto più scuro. Quando incontra l'acqua presente tra una fibra e l'altra
del tessuto, la luce subisce un fenomeno di rifrazione e penetra sempre più in profondità. Questa
luce è assorbita dal tessuto e pertanto viene sottratta alla parte di luce che viene riflessa dall'abito e
raggiunge i nostri occhi. Come conclusione, noi percepiamo di colore più scuro la parte di tessuto
bagnata rispetto a quella asciutta.
Per concludere questa sezione, notiamo come l'indice di rifrazione dell'aria sia influenzato dalla
temperatura. Questa è fondamentalmente la ragione per cui nelle calde giornate estive gli oggetti
distanti ci sembrano deformati e tremolanti. I raggi che provengono da punti diversi di oggetti
lontani, prima di raggiungere i nostri occhi, attraversano zone d'aria a temperature diverse e
vengono pertanto deviati con angolazioni diverse: questo giustica il motivo per cui l'immagine
dell'oggetto ci sembra deformata. Il fatto che l'aria calda tenda a salire per convezione fa sì che la
temperatura degli strati d'aria attraversati da un raggio di luce cambi al passare del tempo: questo
genera il tipico tremolio degli oggetti lontani nelle giornate estive.
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La riflessione totale
Nella precedente sezione abbiamo visto che il raggio di un’onda, passando da un mezzo meno
denso ad uno più denso, si avvicina alla normale della superficie di separazione dei due mezzi. Se
invece l’onda passa da un mezzo più denso ad uno meno denso, come può essere fra acqua e aria, si
avrà che il raggio dell’onda rifratta si allontanerà dalla normale alla superficie di separazione. In
altre parole, angolo di incidenza e angolo di rifrazione si scambiano i ruoli e l’onda tende a
ripercorrere lo stesso cammino: questa caratteristica della propagazione delle onde prende il nome
di principio di reversibilità relativa ai percorsi di propagazione delle onde.
Il fatto che passando da un mezzo più denso ad uno meno denso il raggio dell’onda si allontani dalla
normale alla superficie è all'origine di un fenomeno importante che va sotto il nome di riflessione
totale. Siccome l'angolo di rifrazione è sempre maggiore dell'angolo di incidenza, aumentando
progressivamente l'angolo di incidenza arriveremo ad un angolo limite in prossimità del quale
l'angolo di rifrazione diventa uguale a 90°:
Quanto vale l'angolo limite nel caso in cui i due mezzi siano l'acqua e l'aria? Le leggi della
rifrazione ci dicono che sin iL / (sin 90°) = naria / nacqua da cui sin iL = 1 / 1.33 = 0.75 e iL = 49°.
Quando l'angolo d'incidenza è maggiore di 49° il raggio rifratto scompare e rimane solo il raggio
riflesso. In altre parole la superficie di separazione tra l'acqua e l'aria si comporta come se fosse uno
specchio. Questo fenomeno prende il nome di riflessione totale.
Sulla riflessione totale si basa il principio di funzionamento delle fibre ottiche, molto utilizzate per
il trasferimento di dati a distanza o negli endoscopi per riuscire a illuminare oggetti che altrimenti
sarebbero inaccessibili. Le fibre ottiche sono costituite da materiali trasparenti rivestiti da guaine
opache. La luce entra nella fibra ottica con un angolo di incidenza superiore all'angolo limite e si
propaga all'interno della fibra subendo una serie di riflessioni totali.
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L’interferenza
Il fenomeno di interferenza si manifesta in tutte le onde mediante la loro sovrapposizione generando
a seconda dei casi un esito costruttivo o distruttivo.
Se lasciamo cadere in acqua due sassi in punti distinti, sulla superficie dell’acqua si propagheranno
onde trasversali circolari, a partire dai punti in cui i sassi sono entrati in acqua. Queste onde si
incontrano interferendo l’una con l’altra.
Per cresta e gola di un'onda ovviamente intendiamo, per un'onda vista in sezione, un punto di
massimo e un punto di minimo così come illustrato dal grafico:
se nello stesso punto si sovrappongono due creste di onde d'acqua, si ottiene una cresta alta il
doppio :
In questo caso si dice che le onde sono in fase.
Se invece due onde di acqua si sommano in modo che ogni cresta della prima si sovrapponga ad
una gola della seconda, si ottiene l'annullamento dell'onda :
5
In tutti gli altri casi, con sfasamenti generici delle onde che si sovrappongono, si ottengono risultati
intermedi.
Ciò che accade per le onde di acqua, accade per ogni altro tipo di onda (onde elettromagnetiche,
fra cui la luce, onde acustiche ecc.).
Il sommarsi in modo costruttivo o distruttivo di onde (con tutti i casi intermedi possibili) va sotto il
nome di interferenza.
Immaginiamo l'esperimento visto da sopra e consideriamo che una stessa onda luminosa colpisca le
due fessure. La luce del sole è costituita da onde in fase. Se effettuassimo l'esperimento con due
lampadine ognuna davanti ad una fessura, non otterremmo nessun fenomeno di interferenza in
quanto la luce che colpisce le due fessure, proveniente da sorgenti diverse, non è in generale fase.
Dalle due fessure si propagheranno onde inizialmente in fase (provengono, come detto sopra, da
una medesima onda) che andranno a colpire lo schermo compiendo però in generale cammini
diversi. Le onde che compieranno cammini di uguale lunghezza avranno creste in fase e si
sommeranno dando creste di altezza doppia (interferenza costruttiva). Le onde che compieranno
cammini di lunghezze che differiscono di mezza lunghezza d'onda andranno a sommarsi sullo
schermo in modo da avere creste e gole in sovrapposizione e quindi di conseguenza si
annulleranno (interferenza distruttiva). I cammini con differenza di una lunghezza d'onda
produrranno sullo schermo ancora interferenza costruttiva e così via. I punti in cui si verifica
un’interferenza distruttiva si chiamano nodi, mentre le linee che si ottengono unendo questi punti si
chiamano linee nodali. I punti in cui si verifica un’interferenza costruttiva si chiamano ventri e le
linee che le uniscono antinodali.
IL PRINCIPIO DI HUYGENS
Si consideri un’onda circolare, come quelle che si formano
nell’acqua, generata da una sorgente puntiforme O, posta in un
mezzo omogeneo e isotropo (caratterizzato dalle stesse
proprietà fisiche in tutte le direzioni dello spazio).
Supponiamo che la perturbazione si propaghi con velocità v,
dopo un generico tempo t l’onda raggiunge i punti situati sulla
circonferenza S di raggio r = vt . Secondo il principio di
Huygens ogni qual volta una perturbazione investe i punti di S,
ognuno dei punti di S si può considerare una sorgente di onde
secondarie aventi la stessa frequenza dell’onda primitiva. Il
nuovo fronte d’onda dopo un certo intervallo di tempo è
l’inviluppo delle onde secondarie. Per quanto riguarda
l’ampiezza dell’onda secondaria essa è massima nella direzione
di provenienza dell’onda primitiva mentre va decrescendo fino
ad annullarsi in corrispondenza della direzione opposta.
Il principio di Huygens è valido qualunque sia la natura delle
onde.
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LA DIFFRAZIONE
Fenomeno caratteristico della propagazione per onde, che si manifesta quando queste incontrano
ostacoli o fessure, che ne limitano l'estensione e provocano una deformazione del fronte d’onda.
Il fenomeno della diffrazione è interpretabile teoricamente attraverso il principio di Huygens.
Si consideri un sistema di onde rettilinee che incontrino un ostacolo con un foro F parallelo al fronte
d’onda.
Se il foro fosse puntiforme, il fronte d’onda al di là dell’ostacolo sarebbe cicolare in quanto F, per il
principio di Huygens, diventa centro di emissione di onde semicircolari. La situazione non cambia
molto se la larghezza di F assume valori confrontabili con la lunghezza d’onda .
Se invece la larghezza di F diventa grande rispetto a , il fronte d’onda risultante diventa quasi
rettilineo e il fenomeno della diffrazione trascurabile.
Fessura minore del fronte d'onda
Fessura maggiore del fronte d'onda
Nell’interferenza si ha la sovrapposizione di poche onde, nella diffrazione, invece, si ha
sovrapposizione di molte onde.
Come abbiamo visto ogni punto del fronte d’onda è in realtà una sorgente di onde sferiche, quindi,
dato che il fronte d’onda è costituito da infiniti punti, il risultato sarà un fronte di infinite sorgenti di
onde sferiche. In corrispondenza dei bordi della fenditura il fronte d’onda si deforma, curvandosi,
perché le sorgenti di onde sferiche non interferiscono con le altre sorgenti e non possono trasferire
le loro onde sferiche intatte oltre lo schermo: il fronte d’onda quindi mentre si curva illumina anche
la regione di spazio che sarebbe stata naturalmente in ombra.
ONDE STAZIONARIE
Pizzicando o percuotendo una corda fissa ai due estremi si provoca un moto che, se non ci fosse
l’attrito, sarebbe armonico. Inoltre ogni punto, oscillando, induce quelli vicini a fare altrettanto,
generando un’onda che si propaga lungo tutta la corda fino ad uno dei due estremi fissi, dove si
riflette generando una seconda onda che si propaga in verso opposto. Il moto di un punto della
corda è quindi il risultato della sovrapposizione di due onde: una progressiva ed una regressiva.
L’effetto è che ogni punto della corda vibra di moto armonico, con ampiezza variabile a seconda
della posizione. Notiamo dalle figure 1 e 2 che in un’onda singola (non importa se progressiva o
regressiva) c’è sfasamento nel moto dei singoli punti, nel senso che mentre un punto si trova nella
sua posizione più alta gli altri sono uno in quella intermedia, un altro in quella più bassa, e così via.
Al contrario in un’onda stazionaria quando un punto è nel massimo, gli altri o fanno altrettanto o
sono nel minimo. Si dice che vibrano in fase i punti che salgono e scendono insieme, anche se con
diversa velocità e quindi raggiungendo altezze diverse; al contrario sono in opposizione di fase
quelli che hanno movimenti contrari (se uno sale, l’altro scende). Poiché tutti i punti della corda
sono o in fase o in opposizione di fase, l’onda non si propaga più: ecco perché viene chiamata
stazionaria.
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1 - Onda progressiva
2 - Onda regressiva
3 - Onda stazionaria
Come si può vedere dalla figura 3, inoltre, ci sono alcuni punti (detti nodi) assolutamente immobili,
e altri (chiamati ventri) che vibrano con ampiezza massima. Poiché la corda è fissata alle sue
estremità, che quindi non possono vibrare, ci devono essere almeno due nodi; inoltre ogni due nodi
consecutivi c’è un ventre nel loro punto medio.
In definitiva, la corda può vibrare in uno dei seguenti modi:
due nodi e un ventre;
tre nodi e due ventri;
quattro nodi e tre ventri;
e così via.
Si può enunciare la seguente definizione:
Si definiscono onde stazionarie le oscillazioni che, riflettendosi ripetutamente in una zona limitata
di spazio, interferiscono tra loro creando nodi fissi e sono inoltre dotate di particolari frequenze di
risonanza dette armoniche.
Un' onda stazionaria è una perturbazione periodica di un mezzo materiale, le cui oscillazioni sono
limitate nello spazio. In pratica non c'è propagazione nello spazio.
Le caratteristiche delle onde stazionarie nella corda vibrante
Pizzicando una corda in diversi suoi punti posso ottenere
diversi modi normali di oscillazione, nel caso in cui la corda
si trova fissata a due estremi possiamo avere:
L è la lunghezza della corda, λ la lunghezza d’onda
dell’oscillazione.
In generale per il modo n-esimo vale la relazione
λ= 2L/n con n=1,2,3,…
f = v/ λ = n·v/2L
per n = 1 questa è la frequenza fondamentale associata al
modo di oscillazione principale.
Dalle frequenze
fondamentali
si
ottengono
le
ARMONICHE principali, ossia le frequenze multiple di
quella fondamentale.
Se invece la corda è fissata ad un solo estremo possiamo
avere la situazione seguente:
λ= 4L
λ= (4/3)·L
In generale per il modo n-esimo vale la
relazione
λ= 4L/n con n=1,3,5,…
f = v/ λ = n·v/4L
In questo caso si dice che sono presenti
solo le armoniche dispari.
λ= (4/5)·L
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