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Teorema (criterio di parallelismo): se due rete tagliate da una trasversale formano con essa
o due angoli alterni (interni o esterni) congruenti,
o due angoli corrispondenti congruenti, o due angoli coniugati (interni o esterni) supplementari,
allora le rette sono parallele.
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GEOMETRIA EUCLIDEA:
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Teorema: due angoli opposti al vertice sono congruenti.
triangoli
Teorema (inverso del precedente): se due rete sono parallele, allora
tagliate da una trasversale formano con essa
angoli alterni (sia interni sia esterni) congruenti,
angoli corrispondenti congruenti, angoli coniugati (sia interni sia
esterni) supplementari.
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Assioma (1o criterio di congruenza): due triangoli che hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo fra essi compreso, Teorema: la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a
sono congruenti.
un angolo piatto.
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o
Teorema (2 criterio di congruenza): due triangoli che hanno ri- Teorema (corollario del precedente): in un triangolo, un angolo
spettivamente congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti, esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti.
sono congruenti.
circonferenza/triangolo
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Teorema (dell’angolo esterno): in un triangolo, ogni angolo esterno
è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti.
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Teorema (circocentro): gli assi dei lati di un triangolo
si incontrano in uno stesso punto (circocentro) che è il
centro della circonferenza circoscritta al triangolo.
Teorema (del triangolo isoscele diretto e inverso): un triangolo iso16
scele ha gli angoli alla base congruenti.
Un triangolo che ha due angoli congruenti ha pure congruenti i lati
Teorema (ortocentro): le tre altezze di un triangolo si incontrano
opposti a essi, per cui esso è isoscele.
in un punto (ortocentro).
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Teorema (disuguaglianza tra i lati e gli angoli di un triangolo, diretto e inverso): in un triangolo con due lati non congruenti, anche gli Teorema (2o criterio di congruenza generalizzato): due triangoli
angoli opposti non sono congruenti e a lato maggiore sta opposto aventi un lato e due angoli ordinatamente congruenti, sono conangolo maggiore.
gruenti.
In un triangolo con due angoli non congruenti, anche i lati opposti
non sono congruenti e ad angolo maggiore sta opposto lato mag18
giore.
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Teorema (disuguaglianza triangolare): in un triangolo, un lato è
minore della somma degli altri due.
Teorema (criterio di congruenza dei triangoli rettangoli): due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un cateto e l’ipotenusa
ordinatamente congruenti.
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Teorema: la somma degli angoli interni di un poligono convesso è
Teorema (3o criterio di congruenza): due triangoli che hanno i tre uguale a tanti angoli piatti quanti sono i lati meno un angolo giro.
lati rispettivamente congruenti, sono congruenti.
quadrilateri
convessi
triangolo/circonferenza
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Teorema (parallelogramma): in ogni parallelogramma
Teorema (incentro): le bisettrici di un triangolo si incontrano 1) ciascuna diagonale lo divide in due triangoli congruenti;
in uno stesso punto (incentro) che è il centro della circonferenza 2) i lati opposti sono congruenti;
3) gli angoli opposti sono congruenti;
inscritta nel triangolo.
4) gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari.
5) le diagonali di un parallelogramma si tagliano scambievolmente
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a metà.
Teorema (baricentro): le tre mediane di un triangolo si incontrano
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in un punto (baricentro).
Teorema (riconoscimento di un parallelogramma):
rette parallele
1) un quadrilatero convesso con i lati opposti congruenti è un pa
rallelogramma;
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2) un quadrilatero convesso con due lati opposti congruenti e paralleli è un parallelogramma;
3) un quadrilatero le cui diagonali si tagliano scambievolmente a
metà è un parallelogramma.
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Teorema (trapezio isoscele): in un trapezio isoscele
1) gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti;
2) le diagonali sono congruenti;
Teorema (rettangolo): le diagonali di un rettangolo sono congruenti.
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proporzionalità
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Teorema (inverso del precedente): se in un parallelogramma le dia- Teorema (di Talete): un fascio di rette parallele determina sopra
due trasversali due classi di segmenti proporzionali.
gonali sono congruenti, allora è un rettangolo.
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Teorema (rombo): le diagonali del rombo sono perpendicolari e Teorema (corollario del precedente): una retta parallela a un lato
di un triangolo determina sugli altri due lati dei segmenti proporbisettrici degli angoli.
zionali.
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Teorema (quadrato): in un quadrato le diagonali si tagliano scambievolmente a metà, sono congruenti e perpendicolari e bisecano Teorema (inverso del precedente): una retta che determina su due
lati di un triangolo segmenti proporzionali, è parallela al terzo lato.
gli angoli.
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Teorema (trapezio): in ogni trapezio gli angoli adiacenti a ciascuno
dei lati obliqui sono supplementari.
I teoremi
sì.
non hanno bisogno dell’assioma delle parallele, quelli
Estratto da Fortini, Cateni, "Lineamenti di geometria euclidea", Le Monnier.