+ 1

Correzione Esercizio per casa •  Dimostrare per induzione l’associa,vità del prodo9o. a x (b x c)= (a x b) x c Per induzione su c: a x (b x 0) = 0 = (a x b) x 0 (Caso c=0) a x (b x s(c)) = a x (b x c + b)= a x (b x c) + a x b= = (a x b) x c + (a x b) = (a x b) x c + (a x b) x 1 = = (a x b) x (c +1) = (a x b) x s(c) (Ricorsione) Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 1 Correzione Esercizio basi •  Nella cartella BaseChange Trovate una codice Octave Binaryrep.m Che calcola e allinea le rappresentazioni in base 2, 4, 8, 16, 32 •  Trovate la funzione nextpow.m Che calcola il logaritmo intero di un numero naturale in una base. Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 2 Dimostrare la formula di Gauss •  1 + 2 + … + n = n(n+1)/2=S •  Alle elementari … 1 + 2 + 3 + … + N + N +(N-­‐1)+ (N-­‐2)+ … + 1 = (N+1)+(N+1)+… +(N+1) = 2S -­‐> S=(N+1)N/2 (N termini tuY (N-­‐1)) OK Gregorio D’Agos,no 2017 TVG Karl Friederic Gauss 1777 -­‐ 1855 3 Soluzione formula di Gauss •  1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 Per induzione su n •  1 = (1+1)(1)/2=1 (verifica caso n=1) •  1 + 2 + … + n + n+1=n(n+1)/2 +n+1=(n+1+1)/2(n+1)= = (n+2)(n+1)/2=((n+1)+1)(n+1)/2 (Ricorsione) Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 4 Tartaglia •  Numeri di Tartaglia defini; per induzione B(N,0)=B(N,N)=1 B(N,K)=B(N-­‐1,k-­‐1)+B(N-­‐1,k) K 0 1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 K è indice di colonna 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 N=0 N=1 N=5 N è indice di riga. N=6 N è indice di riga. Niccolò Tartaglia 1499-­‐1557 Repubblica di Venezia Triangolo di Tartaglia -­‐ Binomio di Newton Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 5 Tartaglia vs Bernoulli-­‐Newton •  Dimostrare per ispezione che la formula chiusa ! N $
N!
N ⋅ (N −1)!(N − k +1)
B(N, k) = #
=
&=
k ⋅ (k −1)!2 ⋅1
" k % (N − k)!k!
rispe9a la regola di ricorrenza di Tartaglia B(N,K)=B(N-­‐1,k-­‐1)+B(N-­‐1,k) ! N $ ! N −1 $ ! N −1 $
#
&=#
&+#
&
" k +1 % "
k
% " k +1 %
" N −1 % " N −1 % (N −1)!(N − k) (N −1)!(N − k −1+1)
+
=
$
'+$
'=
# k & # k +1 & k ⋅ (k −1)!2 ⋅1 (k +1)⋅ k ⋅ (k −1)!2 ⋅1
(N −1)!(N − k)
(N −1)!(N − k +1) # N &
[k +1+ (N − k +1)] =
=%
(
=
(k +1)⋅ k ⋅ (k −1)!2 ⋅1
(k +1)⋅ k ⋅ (k −1)!2 ⋅1 $ k +1 '
Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 6 Tartaglia Dimostrare per induzione su N la formula ! k +2 $ ! N +3 $
& = (N + 3)(N + 2)(N +1) / 6
&=#
2 % " 3 %
k=0,N "
∑#
K è indice di colonna 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 5 4 1 N=0 N=1 N=5 N è indice di riga. Numeri triangolari -­‐ Binomio di Newton Niccolò Tartaglia 1499-­‐1557 Repubblica di Venezia Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 7 Tartaglia •  Dimostrare per induzione su N la formula ! k + P $ ! N + P +1 $
∑ # P & = # P +1 & = (N + P)(N + p −1)!(N +1) / P!
% "
%
k=0,N "
•  (verifica caso N=0) •  (Ricorsione) ! k+P $ ! 0+P $
! 0 + P +1 $
∑ # P & = # P & = 1 = # P +1 &
% "
%
"
%
k=0,0 "
! k + P $ ! N + P +1 $ ! N + P +1 $ ! N + P +1+1 $ ! (N +1) + P +1
&+#
&=#
& = ##
&=#
∑ #
P % " P +1 % "
P
P +1
P +1
% "
% "
k=0,N+1 "
Gregorio D’Agos,no 2017 TVG $
&&
%
8 Somma dei cubi •  Dimostrare che 3
∑ k = [(N +1)N / 2]
2
k=0,N
Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 9 Somma dei quadraM •  Dimostrare che 2
2
1
∑ k = ∑ k − k + k = ∑ k(k −1) + k = ∑ 2 2 k(k −1) + k =
k=0,N
k=0,N
k=0,N
k=0,N
# N +1
# k &
1
= ∑ 2 k(k −1) + k = ∑ 2 %
( + k = 2%
2
$ 3
k=0,N
k=0,N $ 2 '
& # N +1
(−%
' $ 2
! N +1 $ ! N +1 $ 1
1
2#
&−#
& = (N +1)(N )(N −1) − (N +1)(N ) =
2
" 3 % " 2 % 3
1
1
(N +1)(N )[2(N −1) + 3] = (N +1)(N )[2N +1]
6
6
Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 10 Esercizio Somma dei quadraM •  Dimostrare che 2
1
k = (N +1)(N )[2N +1]
6
k=0,N
1+2^2=1+4=5=3x2x(2x2+1)x1/6 1+2^2+3^2=1+4+9=14=4x3x(2x3+1)x1/6=2x7=14 ∑
Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 11 Serie Geometrica Induzione •  Dimostriamo per induzione su N •  (verifica caso N=0) n−1
1− a
∑ a = 1− a
k=0,N
k
1− a1
∑ a = a = 1 = 1− a
k=0,0
k
0
•  (Ricorsione su N) N+1
N+1
N+1
N+2
N+2
1−
a
1−
a
+
a
−
a
1−
a
N+1
N+1
a
=
a
+
a
=
+a
=
=
∑
∑
1− a
1− a
1− a
k=0,N+1
k=0,N
k
Gregorio D’Agos,no 2017 TVG k
12 Somma dei cubi 3
∑ k = [(N +1)N / 2]
•  Dimostrare che ∑k
3
k=0,N
2
2
=1+8 = 9 = [(2 +1)2 / 2] = [3] = 9
k=0,2
∑
2
3
(verifica caso N=2, 0 è banale 0=0) 2
k = [(N +1)N / 2 ] + (N +1)3 =
k=0,N+1
= [(N +1)]2 "( N / 2)2 + (N +1)$ =
#
%
2
= [(N +1) / 2 ] "# N 2 + 4(N +1)$% =
2
2
2$
"
= [(N +1) / 2 ] #(N + 2) % = [(N +1)(N +1+1) / 2 ]
•  (Ricorsione) Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 13 Gruppi Un gruppo G è un insieme dotato di una operazione associa,va w con elemento neutro unico e ed un inverso: ∀a, b ∈ G : ∃w(a, b) ∈ G
w(a, w(b, c)) = w(w(a, b), c)
∀a ∈ G ⇒ ω (a, e) = a = ω (e, a)
∀a ∈ G ⇒ ∃b = invSx (a) : w(b, a) = e
Analogamente a Dx. Il gruppo si dice abeliano quando la sua operazione è commuta,va. Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 14 Semigruppi Un semigruppo G è un insieme dotato di una operazione associa,va w con elemento neutro unico: ∀a, b ∈ G : ∃w(a, b) ∈ G
w(a, w(b, c)) = w(w(a, b), c)
∀a ∈ G ⇒ ω (a, e) = a = ω (e, a)
Non tuY gli elemen, amme9ono un inverso. Il semigruppo si dice abeliano quando la sua operazione è commuta,va. Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 15 I Naturali sono un semigruppo •  Abbiamo visto che i naturali formano un semigruppo rispe9o alla somma e rispe9o al prodo9o. •  Esistono gli elemen, neutri per entrambe le operazioni. 0+a=a 1xa=a. •  I Naturali non formano un gruppo rispe9o a nessuna delle due operazioni perché non esistono gli inversi. Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 16 Anelli Un anello è un gruppo abeliano rispe9o ad una operazione de9a somma e dotato di una seconda operazione associa,va de9a prodoBo ∀a, b ∈ G : ∃ab ∈ G
a(bc) = (ab)c
che rispe9a la proprietà distribu;va: + b)c = ac + bc
(a
a(b
+ c) = ab + ac
Quando il prodo9o è commuta,vo l’anello si dice abeliano Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 17 Anelli con unità Un anello K si dice “con unità” I quando il prodo9o amme9e un elemento neutro unico. ∀a ∈ K : ∃a + b ∈ K ∨∃ab ∈ K
∃I∀a ∈ K : aI = Ia = a
Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 18 Anelli abeliani Ciclici Sono insiemi di numeri che sodisfano tu9e le proprietà preceden,, ma esiste un elemento che precede lo zero e quindi non vale la relazione d’ordine ∃a > 0 : a +1 = 0 ⇒ a +1 = 0 < a
Viceversa i naturali, si o9engono imponendo che non esista il precedente dello zero. Ogni numero è diverso dai preceden,: n+1=m (n-­‐m)+m+1=m (n-­‐m+1)+m=m n-­‐m+1=0 Se rimuoviamo l’ipotesi che a+1 sia diverso da a la situazione diviene più complessa Esempi: 1+1=0 Si chiama Z2 e possiede solo due elemen, (0,1) Vedremo che è un campo Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 19 Anelli abeliani Ciclici Esempio: Esite 1+1 diverso da 0 che chiamiamo 2. 2+1=0 Vedremo che è un campo (un gruppo per la somma e per il prodo9o escludendo lo zero) L’opp di 1 è 2 e viceversa. L’inverso di 2 è 2: 2x2=2(1+1)=2+2=2+(1+1)=0+1=1 Si chiama Z3 In generale se si interrompe la catena al passo n si oYene Zn che è sempre un anello commuta,vo con unità, ma non sempre un campo. (esercizi) Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 20 Tabelline •  Per Z2 è definito da [s(1)=1+1=0] a+b Somma: 0+a=a; 1+1=0 0 1 Prodo9o 0 x a= 0 axb 1 x a=1 0 1 Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 21 Quali sono tuRe le operazioni in Z2? •  Sono 24=16 (possibili risposte) •  Operazioni E (AND), O-­‐Vel (OR), O-­‐Aut (XOR) A B A.AND.B A B A.OR.B A B A.XOR.B A B A.NOR.B 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1
1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 •  Somma? Si coincide con XOR •  Prodo9o? Si coincide con NOR NOR Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 22 Quali sono tuRe le operazioni in Z2? •  Tabellina Somma in Z2 A B A.XOR.B a b a+b a+b 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 •  Tabellina Prodo9o in Z2 A B A.AND.B a a a x b 0 0 0 axb 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 23 Spazi di due elemenM: tuRe le operazioni A B A.AND.B A B A.XOR.B A B
A.OR.B 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
0 0 1
1 0 1 1 1 0 0 1 0
0 1 0
1 1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 1
0 1 1 1 A B A.AND.\B A B
A A B
\A.AND.B A B
B 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 1
0 0 1
0 0 1 1 0 1
1 1 0
1 1 0
1 1 0 0 1 0
0 1 1
0 1 1
1 1 1 0 1 1
1 A B False 0 0 0 Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 24 Spazi di due elemenM: tuRe le operazioni A B A.NAND.B A B
True 1 0 0
1 0 0 1 0 1
0 0 1
1 0 1 1 0 1 0
0 1 0
1 1 0 1 0 1 1
1 1 1
0 1 1 1 AB
A.NOR.B AB
A==B 0 0
1 0 0
0 1
0 1 0
1 1
A B
\B A B
A<-­‐B A B
\A A B
A-­‐>B 0 0
1 0 0
1 0 0 1 0 0
1 0 1
0 0 1
0 0 1 1 0 1
1 1 0
1 1 0
1 1 0 0 1 0
0 1 1
0 1 1
1 1 1 0 1 1
1 Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 25 Anelli abeliani Ciclici Zn Assiomi: (N, s, 0): N è un insieme di numeri. -­‐ Esiste 0 in N -­‐  Per ogni numero esiste il successivo. -­‐  0 non è successivo di nessun numero (non ha preceden,). -­‐  Esiste b il cui successore è lo 0. s(b)=0. -­‐  (InieGvità successivo). Se i successivi di sue numeri sono uguali allora i numeri sono uguali. [Unicità del predecessore)] -­‐  (Induzione) TuY i numeri sono o9enibili reiterando l’operazione di successivo a par,re dall’unità. Ovvero Se un insieme con,ene 0 ed è chiuso rispe9o al successivo coincide con tu9o N. -­‐  (Induzione) Se una proprietà è verificata per lo zero e fissata vera per un numero è vera per il successivo, allora è vera in tu9o N. A(0) vera e [A(n) vera -­‐> A(s(n)) vera] implica A(k) vera su tu9o N. Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 26 Anelli abeliani Ciclici Dobbiamo dimostrare che è un anello. Le due operazioni di somma e prodo9o si definiscono analogamente alla costruzione per i naturali, ma dobbiamo dimostrare che l’insieme è dotato di opposto (inverso rispe9o alla somma) e quindi forma un gruppo rispeBo alla somma. -­‐  1=s(0) (per definizione) quindi s(a)=a+1. -­‐  1 ha un opposto il precedente dello zero: s(b)=b+1=0. b=-­‐1 -­‐  Se esiste l’opposto di a: a+(-­‐a)=0, allora esiste l’opposto del successivo di a: a+1+b+(-­‐a)=0; s(a)+(b+(-­‐a))=0 -­‐  (-­‐a+b) è opposto del successivo di a=s(a). •  Quindi se a ha un opposto lo ha anche il suo successivo. Per induzione segue che tuG gli elemen; di Zn hanno un opposto. Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 27 Messaggio Abbiamo introdo9o i conceY di Gruppo ed Anello Abbiamo costruito assioma,camente gli anelli ciclici abeliani Zn Abbiamo analizzato in de9aglio tu9e le possibili operazioni in Zn e la loro corrispondenza nel formalismo della logica. Gregorio D’Agos,no 2017 TVG 28