Elisa Battistoni
Esercitazione: concorrenza perfetta
Massimizzazione del profitto e offerta concorrenziale
Esercizio
Un’impresa produce un bene impiegando un solo input. La sua funzione di produzione è
f(x)=4 x
dove x è il numero di unità del fattore produttivo. Una unità del prodotto viene
venduta per 100$ ed una unità del fattore costa 50$.
a)
Scrivere il profitto dell’impresa in funzione dell’ammontare dell’input.
b)
Quale livello dell’input consente all’impresa di realizzare il massimo profitto? E
quale livello dell’output? Se l’impresa massimizza i profitto quali profitti
realizza?
c)
Supponiamo che l’impresa debba pagare una tassa di 20$ su ciascuna unità
venduta e che riceva un sussidio di 10$ per ogni unità del fattore che acquista.
Quali saranno, in questo caso, i livelli dell’input e dell’output che massimizzano il
profitto? Quale profitto realizzerà l’impresa?
Soluzione
a)
Il profitto dell’impresa è dato da:
π =RT-CT
con
RT=p*q
CT=c*x
avendo indicato con p il prezzo di mercato unitario, con c il costo unitario
dell’input x e con q la quantità prodotta ed offerta dall’impresa.
Nel caso in esame si ha:
q=f(x)=4 x
perciò il profitto dell’impresa sarà:
π =p*4 x -c*x=
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Esercitazione: concorrenza perfetta
=100*4 x -50*x=
=400 x -50x
Questa espressione rappresenta il livello dei profitti conseguiti dall’impresa in
corrispondenza di ciascun livello del fattore produttivo utilizzato.
b)
Il livello dell’input che consente all’impresa di ottenere il massimo profitto si
trova derivando il profitto rispetto a x (l’input) ed uguagliando la derivata a zero.
dπ 400
-50=0
=
dx 2 x
400
=50
2 x
2 x=
400
=8
50
x =4
x=16
Per assicurarsi che questo sia il livello di input che massimizza il profitto è
necessario calcolare la derivata seconda del profitto in corrispondenza del valore
di x ottenuto. Si ha:
2
d π = - 400 =- 100
2
3
3
4 x
dx
x
2
d π ( x = 16) = - 100 <0
2
3
dx
16
Poiché la derivata seconda del profitto calcolata in corrispondenza del livello di
input x=16 è negativa per questo livello del fattore produttivo i profitti
dell’impresa sono massimi.
In corrispondenza di questo livello dell’input si ottiene l’output dato da:
q=4 x =4*4=16
Pertanto i livelli di input e di output che massimizzano il profitto dell’impresa
sono entrambi pari a 16 ed il profitto corrispondente è dato da:
π =400 x -50x=
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Esercitazione: concorrenza perfetta
=400* 16 -50*16=
=400*4-50*16=
=1.600-800=800
c)
Se l’impresa deve pagare una tassa pari a 20$ su ciascuna unità prodotta il
prezzo di vendita di mercato sarà p’=p-20=80$. Inoltre, il nuovo costo del
fattore produttivo è c’=c-10=40$ grazie alla presenza dei sussidi. In questo
modo la funzione che esprime il profitto corrispondente ad ogni livello di utilizzo
del fattore produttivo diventa:
π =p’q-c’x=
=80*4 x -40x=
=320 x -40x
Il livello di input che massimizza il profitto è dato da:
dπ 320
-40=0
=
dx 2 x
2 x =320/40=8
x =4
x=16
cui corrisponde un livello dell’output pari a:
q=4 x =16
In corrispondenza di questi livelli di input e di output il profitto che l’impresa
ottiene è pari a:
π =80*16-40*16=40*16=640$
Esercizio
Consideriamo un’industria concorrenziale dove opera un grande numero di imprese,
tutte con l’identica funzione di costo
C(y)=y2+1
per y>0
e
C(y)=0
per y=0
Elisa Battistoni
Esercitazione: concorrenza perfetta
Supponiamo che inizialmente la curva di domanda di mercato sia
D(p)=52-p
a)
Qual è la curva di offerta S(p) di una singola impresa? Se nell’industria sono
presenti n imprese quale sarà la curva di offerta dell’industria?
b)
Qual è il prezzo minimo al quale può essere venduto il bene prodotto?
c)
Quale sarà, in equilibrio, il numero di imprese presenti nell’industria?
d)
Quale sarà il prezzo di equilibrio? E la quantità di equilibrio prodotta da ciascuna
impresa?
e)
Quale sarà l’output di equilibrio dell’industria?
Soluzione
a)
La singola impresa decide di offrire la quantità che massimizza il suo profitto,
ovvero quella per cui i ricavi marginali sono uguali ai costi marginali. Poiché il
mercato considerato è in concorrenza i ricavi marginali dell’impresa saranno pari
al prezzo di mercato e, quindi, la condizione di ottimo diventa:
p=C’
I costi marginali per l’impresa sono:
C’=2y
e, quindi, si ha:
p=2y
Pertanto la quantità offerta dall’impresa i è
yi=
p
2
Se nell’industria sono presenti n imprese la quantità totale y offerta sarà data
dalla somma delle offerte delle singole imprese. Si ha perciò:
O(p)=y=n
p
2
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b)
Esercitazione: concorrenza perfetta
Le imprese saranno disposte ad offrire quantità non nulle del prodotto per livelli
di prezzo non inferiori a quello corrispondente al minimo dei costi medi variabili.
Il punto di minimo delle curva dei costi medi variabili dell’impresa è anche quello
per il quale le curve dei costi marginali e dei costi medi variabili si intersecano.
Pertanto il prezzo minimo al quale può essere venduto il bene è quello che
soddisfa la seguente relazione:
C’i=CMVi
In questo caso si ha:
CMVi=
CVi
yi
2
=
yi + 1
yi
=yi+
1
yi
Nel caso in esame i costi variabili coincidono con i costi totali perché questi
ultimi sono nulli se l’impresa non produce: questo significa che non ci sono costi
da sostenere indipendentemente dalla produzione e, quindi, non ci sono costi
fissi.
Se si impone la condizione:
C’i=CMVi
si ottiene:
2yi=yi+
yi=
1
yi
1
yi
y2i=1
yi=1
Il valore di yi trovato è quello corrispondente al prezzo minimo per il quale la
singola impresa è disposta ad offrire una quantità non nulla di prodotto. Il prezzo
corrispondente è:
p=2yi=2$
Elisa Battistoni
Esercitazione: concorrenza perfetta
Il prezzo minimo al quale potrà essere venduto il prodotto è pmin=2$.
c)
All’equilibrio in un mercato perfettamente concorrenziale devono essere
soddisfatte tre condizioni:
1.
ogni impresa decide di produrre la quantità che massimizza il proprio
profitto, ossia tale che p=Ci’
2.
i profitti lucrati dalle imprese sono nulli
3.
la domanda e l’offerta di mercato devono essere uguali
La condizione 1. è stata verificata al punto a) dell’esercizio ed ha portato a
p
concludere che ciascuna impresa offre una quantità pari a yi= .
2
La seconda condizione è stata verificata al punto b) dell’esercizio ed ha condotto
alla determinazione del prezzo pmin=2$, che poi risulta essere il prezzo di
mercato.
L’ultima condizione richiede che sia verificata la seguente uguaglianza:
D(p)=O(p)
52-p=n
p
2
Poiché, per la condizione 2., il mercato deve trovarsi nel suo prezzo minimo
pmin=2$ si ha:
52-2=n
n=50
Sul mercato in condizioni di equilibrio sono presenti 50 imprese.
d)
Con 50 imprese il prezzo di equilibrio di mercato sarà dato da:
D(p)=O(p)
52-p=50
p
2
52-p=25p
26p=52
Elisa Battistoni
Esercitazione: concorrenza perfetta
p*=2$
In corrispondenza di questo prezzo la quantità prodotta da ciascuna impresa è:
*
p
yi*=
=1
2
e)
L’output di equilibrio dell’industria è la quantità offerta da tutte le imprese in
equilibrio e, perciò, è dato da:
*
p
y*=n
=50*1=50
2
Esercizio
Un’impresa realizza lampadine che vengono utilizzate dai produttori di torce
elettriche. Le lampadine vengono vendute ai produttori in confezioni contenenti 1.000
pezzi.
Il mercato dei produttori di lampadine è un mercato altamente concorrenziale non
essendo presenti elevate barriere all’entrata. Il prezzo di vendita di ciascuna
confezione è di 100$. L’impresa produttrice di lampadine ha stimato un costo totale di
produzione pari a:
CT=3.000.000+0,001Q2
dove Q è la quantità di confezioni da 1.000 pezzi che vengono prodotte in un anno.
a)
Calcolare la quantità che massimizza il profitto dell’impresa produttrice di
lampadine. Calcolare, inoltre, il profitto realizzato dall’impresa in questione.
b)
Analizzare la situazione dell’impresa produttrice di lampadine relativa al punto
a). Quali consigli dareste all’impresa nel breve periodo?
Soluzione
a)
Per determinare quale sia la quantità Q che massimizza il profitto dell’impresa è
sufficiente eguagliare il costo marginale dell’impresa stessa al suo ricavo
marginale.
Elisa Battistoni
Esercitazione: concorrenza perfetta
L’impresa produttrice di lampadine è un’impresa price taker perché opera in un
mercato altamente concorrenziale. In questo caso, perciò, il prezzo di ogni lotto
di lampadine è dato dal mercato e, pertanto, il ricavo marginale dell’impresa è
pari esattamente al prezzo di mercato
RM=p
Il costo marginale è, invece, dato da:
CM=0,001*2Q=0,002Q
Si ottiene quindi:
RM=CM
P=0,002Q
100=0,002Q
Q*=
100
=50.000
0,02
La quantità di lotti di lampadine che massimizza il profitto dell’impresa è
Q*=50.000.
Il profitto che l’impresa consegue in corrispondenza di questo livello di
produzione è dato da:
π = RT-CT
con
RT=p*Q=100*50.000=5.000.000$
e
CT=3.000.000+0,001Q*2=
=3.000.000+0,001*(50.000)2=
=3.000.000+0,001*2.500.000.000=
=3.000.000+2.500.000=5.500.000$
Perciò il profitto dell’impresa è dato da:
π = RT-CT=5.000.000-5.500.000=-500.000$
L’impresa produttrice di lampadine sta, quindi, perdendo 500.000$ all’anno.
Elisa Battistoni
b)
Esercitazione: concorrenza perfetta
Dal momento che l’impresa considerata sta realizzando una perdita di 500.000$
all’anno dovrebbe prendere in considerazione l’idea di sospendere la produzione.
Per capire se sia opportuno adottare questa soluzione è necessario confrontare il
prezzo di mercato con il costo medio variabile dell’impresa.
Il costo medio variabile è dato da:
CMV=
CTV
Q
2
0,001Q
CMV=
= 0,001Q
Q
In corrispondenza del livello di produzione Q* che massimizza il profitto il livello
del costo medio variabile dell’impresa è:
CMV=0,001*50.000=50
Il prezzo di mercato è, invece, pari a p=100$.
Poiché il prezzo di mercato risulta superiore al costo medio variabile dell’impresa
quest’ultima dovrebbe rimanere sul mercato: in queste condizioni, infatti,
all’impresa conviene produrre Q* piuttosto che non produrre affatto, perché per
ogni unità prodotta ottiene un ricavo superiore al costo, generando, così, un
profitto maggiore di quello che avrebbe conseguito decidendo di arrestare
l’attività produttiva.
