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Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
CAP.2 – Potenziale elettrico, capacita’ elettrica
&2.1 – Introduzione
Nel capitolo precedente abbiamo analizzato i fenomeni elettrici, utilizzando il
vettore campo elettrico e le linee di forza del campo elettrico.
Ricordiamo che in meccanica abbiamo usato dapprima le leggi di Newton, con i
diagrammi di corpo libero, e i vettori per risolvere i problemi sul moto dei corpi;
poi, alla ricerca di un approccio più semplice ad alcune situazioni, abbiamo
introdotto grandezze come lavoro, energia cinetica ed energia potenziale: con
questi concetti abbiamo risolto in modo più semplice molti problemi, utilizzando
il teorema dell’energia cinetica e il principio di conservazione dell’energia .
Sarà utile estendere questi metodi energetici allo studio dei fenomeni elettrici
per la risoluzione di molti problemi.
&2.2 – Energia potenziale elettrica. Potenziale elettrico
Il campo elettrico prodotto da cariche stazionarie è un campo di forze
conservative, poiché il lavoro che esso compie non dipende dalla traiettoria che
le cariche descrivono al suo interno ma solo dalle posizioni iniziale e finale.
Dimostriamo tale proprietà nel caso di un campo elettrico prodotto da una
carica puntiforme positiva, +Q. Sappiamo che il campo elettrico E prodotto da
tale carica è rappresentato da linee di forza radiali uscenti dalla carica
generatrice +Q, avente intensità E = k 0 
Q
nei punti a distanza r da essa.
r2
Calcoliamo il lavoro fatto dal campo elettrico, su una carica di prova q, quando
questa si sposta fra due punti A e B appartenenti ad una medesima linea di
forza:
Poiché la forza elettrica che Q esercita su q dipende dalla distanza, il problema
che dobbiamo affrontare è quello di calcolare il lavoro di una forza variabile.
1
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
A tal fine, dividiamo il tratto AB, mediante i punti P1, P2, …, Pn, in n tratti
elementari così piccoli da poter considerare in essi la forza elettrica costante e
poter così calcolare il lavoro come prodotto di una forza per uno spostamento.
In particolare, se consideriamo i punti Pi e Pi+1 , e indichiamo con ri la distanza
di Pi da Q e con ri+1 la distanza di Pi+1 da Q, si può assumere come valore
costante della forza elettrica che agisce su q,
nel tratto P iPi+1, la media
geometrica della forza che agisce su q in Pi , data da
Fi  k 0 
Qq
ri 2
e della forza che agisce su q, in Pi+1, data da
Fi 1  k 0 
Qq
.
ri 21
Il valore medio della forza elettrica, nel tratto PiPi+1, è dato da:
F i  Fi  Fi 1 
k 02 Q 2 q 2
Qq
 k0 
, (media geometrica)
2
2
ri  ri 1
ri  ri 1
Poiché la carica di prova q ha velocità iniziale nulla, essa, sotto l’azione del
campo elettrico agente, si muoverà nella direzione della forza, lungo la linea di
forza che congiunge i punti A e B.
Il lavoro compiuto dal campo elettrico, in ciascun tratto elementare, è:
Qq
1 1
(r1  rA )  k 0 Qq  (  )
rA r1
rA r1

L1  F 1  s1  cos(1 )  k 0

L2  F 2  s 2  cos(2 )  k 0
Qq
1 1
(r2  r1 )  k 0 Qq  (  )
r1 r2
r1 r2
Ln  F n  s n  cos(n )  k 0
Qq
1 1
(rB  rn )  k 0 Qq  (  )
rn rB
rn rB
..

e il lavoro totale è :
L AB  L1  L2 * ...  Ln  k 0 Qq (
 L AB  k 0 Qq (
1 1 1 1 1
1
1 1
     .....  )  k 0 Qq (  ) 
rA r1 r1 r2 r2
rB
rA rB
1 1
 )
rA rB
Lo stesso risultato si ottiene anche nel caso in cui:
1. il percorso considerato, per andare da A a B, non avviene lungo la linea di
forza;
2
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
2. i punti A e B non si trovano sulla stessa linea di forza e il percorso è
curvilineo.
Si può, dunque, affermare che il lavoro compiuto da un campo elettrico, creato
da cariche stazionarie, non dipende dal percorso seguito ma solo dalle posizioni
iniziale e finale della carica che subisce l’azione del campo e, dunque:
“IL CAMPO ELETTRICO CREATO DA CARICHE STAZIONARIE E’ UN
CAMPO DI FORZE CONSERVATIVO” .
In quanto tale, il campo elettrico gode delle seguenti proprietà, caratteristiche di
ogni campo di forze conservativo:
1. il lavoro compiuto dal campo elettrico, lungo un percorso chiuso, è
sempre nullo, ovvero la circuitazione del campo elettrico, calcolata lungo
una linea chiusa, è zero
C ( E ) = 0;
2. l’ energia meccanica di ogni carica, che si muove sotto l’azione di un
campo elettrico, si conserva;
3. quando una carica si trova in un punto P di un campo elettrico, essa
acquista un’energia di posizione, detta energia potenziale elettrica,
definita ponendola uguale al lavoro che il campo elettrico compie
quando la carica si sposta dal punto P ad un punto O scelto
arbitrariamente:
U ( P)  LPO
(definizione
operativa
dell’energia
potenziale).
In particolare, se il campo elettrico è generato da una carica puntiforme e
assumiamo come punto O di riferimento per il calcolo dell’energia potenziale un
punto a distanza infinitamente grande, l’espressione dell’energia potenziale è:
U ( P)  LPO  k 0 Qq (
1 1
Qq
.
 )  k0
rp rO
rP
Poiché, come mostra la formula precedente, il valore dell’energia potenziale
dipende oltre che dal campo, ovvero da Q e da r, anche dalla carica di prova, q,
tale grandezza non può essere assunta come una ulteriore grandezza
caratteristica del campo ed è per questo che si introduce una nuova grandezza
fisica, detta potenziale elettrico, che in ogni punto è così definita:
V ( P) 
U ( P)
q
3
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
e rappresenta il valore dell’energia acquistata da ogni unità di carica posta nel
punto P.
Il potenziale elettrico è una grandezza scalare che si misura in Joule su
Coulomb (J/C): tale unità di misura derivata prende il nome di Volt (V).
Se il campo elettrico è generato da una carica puntiforme Q, il potenziale
elettrico in un punto P distante r da Q è:
V ( P) 
U ( P)

q
k0
Qq
k Q
rP
.
 0
q
rP
I seguenti grafici, mostrano l’andamento del potenziale elettrico nello spazio
circostante la carica generatrice:
La conoscenza del potenziale elettrico in ogni punto del campo, consente di
calcolare:
1. il valore dell’energia potenziale acquistata da una carica q qualsiasi in un
punto P del campo:
U(P) = q·V(P)
2. il lavoro compiuto dal campo, su una carica di prova q, fra due punti A e B
del campo:
L  U  U ( A)  U ( B)  q  V ( A)  q  V (B)  q  (VA  VB )
Da tale ultima relazione si deduce che quando una carica di prova si muove
sotto l’azione del campo elettrico, essa si muoverà da punti a potenziale
maggiore verso punti a potenziale minore se è positiva, mentre si muoverà da
punti a potenziale minore verso punti a potenziale maggiore se è negativa: si
4
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
dice anche che il campo elettrico tende spingere le cariche positive verso punti
a potenziale minore e le cariche negative verso punti a potenziale maggiore.
Infatti:
L  0, q  0 
L
 0  V ( A)  V ( B)  0  V ( A)  V ( B)
q
L  0, q  0 
L
 0  V ( A)  V ( B)  0  V ( A)  V ( B).
q
Mentre:
Osservazione 1 – Anche se abbiamo ricavato il potenziale elettrico V
dall’energia potenziale U, tuttavia le due grandezze non sono la stessa cosa:
l’energia potenziale elettrica è l’energia acquistata da una carica q qualsiasi in
un punto del campo elettrico, il potenziale elettrico è l’energia acquistata dalla
carica unitaria nello stesso punto. La relazione fra le due grandezze è:
U(P) = q · V(P).
Osservazione 2 – Sia l’energia potenziale sia il potenziale elettrico non sono
grandezze definite univocamente, perchè il loro valore dipende da come si
sceglie il punto di riferimento per il loro calcolo. Ciò che invece ha un significato
fisico ben definito, univoco, sono le rispettive variazioni U e V che hanno
un valore che è indipendente dalla scelta del punto di riferimento. Nel caso di
una carica puntiforme è conveniente scegliere come punto di riferimento, punto
a potenziale zero, un punto all’infinito; nel caso di un condensatore, si assume a
potenziale zero la lastra negativa.
In ogni caso, qualunque sia stata la scelta del livello zero, la differenza di
potenziale misurata fra due punti del campo elettrico rimane inalterata.
POTENZIALE
ELETTRICO E DIFFERENZA
DI POTENZIALE
IN UN
CONDENSATORE PIANO.
Consideriamo un condensatore piano, formato da due lastre metalliche
parallele, ciascuna avente area S e distanti d, aventi rispettivamente carica +Q
e –Q. Sappiamo che fra le due lastre si crea un campo elettrico uniforme,
avente:
 direzione perpendicolare alle lastre,
 verso diretto dalla lastra positiva a quella negativa
5
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
 modulo, costante, E =
Teoria

Q

.
0 0  S
Se una carica positiva, q, è posta in un punto A, vicino alla piastra positiva, per
effetto dell’azione del campo, essa si sposterà da A a B, muovendosi lungo la
linea di forza passante per A. In tale spostamento, il lavoro compiuto dal campo
elettrico, è:
L  Fe  s  cos( )  q  E  d  cos(0)  q  E  d  L  q  E  d  q  (V A  VB )  q  E  d 
 V A  VB  E  d
Dunque, la d.d.p. fra le piastre è VA  VB  E  d .(1)
Dalla (1) si ha che l’intensità del campo elettrico uniforme di un condensatore
piano, è:
E
V A  VB
d
dove VA – VB è la d.d.p. applicata fra le due piastre.
In modo analogo si può dimostrare che la differenza di potenziale fra due punti
qualsiasi A e B, che si trovano ad un dislivello Δx, è:
VA  VB  E  x
6
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
POTENZIALE ELTTRICO E DIFFERENZA DI POTENZIALE NEI PUNTI DI UN
CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA CARICA PUNTIFORME
Abbiamo già visto in precedenza che, se si assume come punto di riferimento
per il calcolo dell’energia potenziale l’infinito, il potenziale elettrico nei punti P di
un campo elettrico prodotto da una carica puntiforme Q è dato da:
VP 
kQ
rP
dove rP è la distanza di P dalla carica generatrice.
Di conseguenza, la differenza di potenziale fra due punti A e B del campo è:
V A  VB 
kQ kQ
1 1

 kQ(  ) .
rA
rB
rA rB
Il valore del potenziale varia con il variare del punto del campo seguendo le
seguenti semplici regole:
 Se la carica Q è positiva, il valore del potenziale aumenta avvicinandosi alla
carica generatrice Q (i punti più vicini a q sono a potenziale maggiore),
diminuisce allontanandosi da q.
Di conseguenza, quando una carica positiva viene avvicinata alla carica
generatrice +Q, pure positiva, essa acquista energia potenziale: l’aumento
di energia è pari al lavoro che è stato compiuto dall’esterno, per poter
vincere la repulsione elettrica fra le due cariche si segno uguale.
Reciprocamente, quando una carica positiva si muove allontanandosi dalla
carica generatrice +Q, essa perde energia potenziale: la diminuzione di
energia è pari
al lavoro che il campo elettrico generato da q + compie
nell’allontanare la carica.
 Se la carica Q è negativa, il valore del potenziale diminuisce avvicinandosi
alla carica generatrice Q (i punti più vicini a q sono a potenziale minore),
aumenta allontanandosi da Q.
E’ bene comunque ricordare che solo le differenze di potenziale elettrico sono
importanti, come illustra il seguente esempio.
ESEMPIO - L’atomo di idrogeno: differenze di potenziale vicino al protone del
nucleo.
Nel modello di Bohr dell’atomo di idrogeno, l’elettrone che orbita attorno al
nucleo può farlo solo su precise orbite circolari (quantizzazione del raggio
7
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
orbitale): la più piccola di queste ha un raggio di 0.0529 nm, la successiva ha
raggio di 0.212 nm. (a) Qual è la differenza di potenziale fra le due orbite? (b)
Quale delle due orbite è a potenziale maggiore?
Risoluzione
(a) Utilizzando l’espressione del potenziale di una carica puntiforme, si ha:
V1  V2  kq(
1 1
Nm 2
1
1
 )  (9  10 9
)(1.6  10 19 C )(

)
2
r1 r2
0.0529nm 0.212nm
C
 (14.4  10 10 )  (
10 9
10 9 Nm
J

)
 14.4  10 1  14.2  20.4V
0.0529 0.212 C
C
(b) L’orbita di raggio minore, quella più vicina al protone, ha potenziale
maggiore.
ENERGIA POTENZIALE ELETTRICA DI UN SISTEMA DI CARICHE
Per il teorema dell’energia potenziale, sappiamo che il lavoro compiuto da un
campo elettrico su una carica che si sposta fra due punti A e B del campo, è
dato da:
L  U  U A  U B .
In particolare, nel caso di cariche puntiformi, se si assume come punto a
potenziale zero l’infinito, il lavoro compiuto dal campo per spostare una carica
sonda da un punto a distanza r12 all’infinito è: L  U A  U  
kq1q 2
.
r12
Questa è anche l’espressione del lavoro necessario per portare una carica
sonda dall’infinito ad una distanza r12 dalla carica generatrice del campo, lavoro
che è immagazzinato dal sistema formato dalle due cariche sotto forma di
energia potenziale elettrica. Dunque, U 
kq1q 2
è l’energia potenziale elettrica
r12
di un sistema di due cariche poste ad una distanza r12 .
Più in generale, l’energia potenziale elettrica totale di un sistema di n cariche è:
U tot  U ij  U12  U13  ..  U 23  ..
dove le Uij sono i valori dell’energia potenziale delle cariche prese a due a due.
ESEMPIO
Calcolare l’energia potenziale elettrostatica totale del sistema di cariche
rappresentato nella figura seguente:
8
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
Risoluzione
L’energia potenziale elettrostatica totale è la somma algebrica delle energie
potenziali di tutte le coppie di cariche prese a due a due, una sola volta:
U tot  U 12  U 13  U 23  k (
q1 q 2 q1 q3 q 2 q3
 4.0  10 12 C 2


)  (9  10 9 Nm 2 / C 2 )(

r12
r13
r23
0.30m
2.0  10 12 C 2  2.0  10 12 C 2


)  0.12 J
0.30m
0.30m
Il
segno meno indica che le cariche hanno, in questa configurazione, energia
potenziale minore di quella che avrebbero se fossero a distanza infinita le une
dalle altre. Se fossero libere di muoversi, esse si avvicinerebbero cadendo le
une sulle altre, diminuendo in tal modo la loro energia potenziale totale fino a
raggiungere valori negativi sempre più grandi.
&2.3 - Superfici equipotenziali. Relazione fra potenziale e campo elettrico.
Come abbiamo già detto in precedenza, il potenziale elettrico V P è una
grandezza scalare il cui valore dipende dal particolare punto in cui esso è
calcolato. Pur tuttavia, può capitare che il potenziale assuma lo stesso valore in
punti diversi del campo elettrico: ad esempio, se il campo elettrico è generato
9
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
da una carica puntiforme Q, tutti i punti di una sfera avente centro nella carica Q
e raggio r si trovano allo stesso potenziale V 
kQ
.
r
Si può porre, perciò, la seguente definizione:
Dicesi superficie equipotenziale il luogo dei punti del campo aventi lo stesso
potenziale elettrico.
Ad esempio:

Le superfici equipotenziali del campo elettrico generato da una carica
puntiforme sono tutte sfere concentriche, con centro nella sfera generatrice
del campo elettrico.

Le superfici equipotenziali del campo elettrico uniforme esistente fra le
armature di un condensatore piano, sono piani paralleli alle armature,
ciascuna caratterizzata da un potenziale V  E  x , dove E è l’intensità del
campo elettrico ed x è la distanza del piano dall’armatura negativa.
PROPRIETA’ DELLE SUPERFICI EQUIPOTENZIALI
(1) Per ogni punto di un campo elettrico passa una e una sola superficie
equipotenziale;
(2) il lavoro compiuto dal campo elettrico fra due punti appartenenti ad una
medesima superficie equipotenziale è sempre uguale a zero;
(3) il campo elettrico è
in ogni punto
perpendicolare alla superficie
equipotenziale passante per il punto;
(4) il campo elettrico è diretto dai punti a potenziale maggiore a punti a
potenziale minore.
10
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
RELAZIONE FRA CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE
Si supponga che una carica di prova positiva, q0, sia posta con velocità iniziale
nulla in un punto P di un campo elettrico. A seguito dell’azione del campo, essa
subirà uno spostamento  s , lungo la linea di forza passante per il punto P,
passando da una superficie equipotenziale caratterizzata da un potenziale VA
ad una superficie equipotenziale adiacente, caratterizzata da un valore di
potenziale VB.
Sappiamo che il lavoro compiuto dal campo elettrico, in tale spostamento è dato
da:
L  F  s  cos(0)  q0  E  s  cos(0)  q0  E  s
V
 q0  E  s  q0  V  E  

s
L  q0 (V A  VB )  q0  V
Dunque, il modulo del campo elettrico è uguale alla variazione del potenziale
elettrico, cambiata di segno, calcolata lungo lo spostamento, divisa per lo
spostamento medesimo.
Più in generale, se si conosce la legge V = V(x, y, z) che fornisce il potenziale
nei punti del campo elettrico, si possono calcolare sia le componenti del vettore
E e, conseguentemente, anche il vettore campo elettrico E :
V
V
V
, Ey  
, Ez  
x
y
z

Ex  

E  E x2  E y2  E z2 .
Possiamo, dunque, concludere che conoscendo il valore del potenziale in ogni
punto del campo, o, equivalentemente, conoscendo la legge V = V(P) = V(x,y,z)
che fornisce il valore del potenziale in ogni punto P del campo, siamo in grado
di:
1) calcolare l’intensità del campo elettrico, E , in direzione, modulo e verso;
2) calcolare il lavoro compiuto dal campo elettrico su una qualunque carica:
L=q(VA-VB);
3) calcolare l’energia acquistata da una qualunque carica posta in un punto del
campo:
U(P) = q·V(P).
11
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
ESEMPIO 1
La differenza di potenziale elettrico fra due punti, A e B, è V  VB  VA  24.0V .
Calcola la variazione di energia potenziale elettrica, U , per una carica che si
muove dal punto A al punto B, se (a) q = 2.20 · 10-6 C; (b) q = - 1.10 · 10-6 C.
Risoluzione
a) U  q  V  (2.20  10 6 C )(24.0V )  5.28  10 5 J
b) U  q  V  (1.10  10 6 C )(24.0V )  2.64  10 5 J
ESEMPIO 2 - Armature a differenti potenziali
Se si collegano le armature di un condensatore piano a una batteria da 12 V, si
ottiene un campo elettrico uniforme.
a) Se le armature distano fra loro 0.75 cm, qual è l’intensità del campo elettrico
nel condensatore?
b) Una carica di + 6.24 · 10-6 C si muove dall’armatura positiva a quella
negativa. Trova la variazione di energia potenziale elettrica di questa carica.
(Trascurare la forza peso).
Risoluzione
a) Quando colleghiamo i poli della batteria alle armature del condensatore, fra
le due armature si stabilisce una differenza di potenziale uguale a quella del
generatore di tensione,
E
V  V   V   12V .
Applicando la relazione
V
, si ha:
s
E
 12V
12V
V

 1600 .
3
0.0075m 7.5  10 m
m
b) La variazione di energia potenziale è:
U  q  V  q  (V   V  )  (6.24  10 6 C )(12V )  7.5  10 5 J .
Osservazioni
12
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica

Teoria
L’energia potenziale elettrica diminuisce, così come diminuisce l’energia
potenziale gravitazionale di una palla quando cade;

L’energia potenziale perduta si trasforma in un aumento di energia cinetica
della carica, proprio come aumenta l’energia cinetica di una palla quando
cade.
ESEMPIO 3 – Potenziali e campi
Il potenziale elettrico nel punto B del condensatore piano mostrato in figura è
minore del potenziale nel punto A di 4.50 V, VA –VB = 4.50 V. La distanza fra il
punto A e il punto B è 0.120 cm e la distanza fra le armature è 3.75 cm. Trova:
a) il campo elettrico nel condensatore;
b) la differenza di potenziale fra le armature.
Risoluzione
a) Calcoliamo
il
campo
V  VB  VA  4.50V
E
elettrico
e
con
la
relazione
E
s  0.120cm  1.20  10 3 m .
V
,
s
con
Si
ha:
 4.50V
 3.75  10 3 V / m .
1.20  10 3 m
b) Calcoliamo V  V   V  utilizzando la relazione V  E  s , con E =
3750 V/m e s  d  3.75cm  3.75  10 2 m . Si ha:
V  V   V   (3750V / m)(3.75  10 2 m)  141V .
La piastra positiva è a un potenziale di + 141 V rispetto alla piastra negativa
assunta come superficie equipotenziale a potenziale nullo, di riferimento.
ESEMPIO 4 – Conservazione dell’energia
a) Una particella di massa m = 1.75·10-5 kg e carica q = 5.20·10-5 C sia lasciata
libera, da ferma, nel punto A. Quando la particella si muove dal punto A al
punto B, il potenziale diminuisce di 60.0 V, V A – VB = 60.0 V. Calcolare la
velocità della particella nel punto B.
13
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
b) Calcolare la velocità nel punto B, supponendo che la particella abbia nel
punto A una velocità iniziale di 5.00 m/s.
Risoluzione
a) Poiché il campo elettrostatico è un campo conservativo, l’energia meccanica
totale della carica, che si muove fra due punti A e B del campo, si conserva:
1 2
1
mv A  U A  mvB2  U B .
2
2
Se l’unico campo di forze agente è quello elettrico, l’energia potenziale si può
esprimere in termini di potenziale, così che la legge di conservazione si può
così esprimere:
(1)
1 2
1
mv A  q  V A  mvB2  q  VB
2
2
Da tale relazione, tenuto conto che la velocità iniziale vA = 0, possiamo ricavare
dapprima l’energia cinetica nel punto B:
1 2 1 2
mvB  mv A  q(V A  VB )  q(V A  VB )
2
2
e poi la velocità nel punto B:
vB 
2q(V A  VB )

m
2(5.20  10 5 C )(60.0V )
 18.9m / s .
1.75  10 5 kg
b) Dalla relazione (1) precedente, si ha:
2q(V A  VB )
1 2
1
1
1
mv A  q  V A  mvB2  q  VB  mvB2  mv A2  q(V A  VB )  v B  v A2 

2
2
2
2
m
 (5.00m / s ) 2  2(5.20  10 5 C )(60.0V ) /(1.75  10 5 kg)  19.5m / s.
ESEMPIO 5 – Da un’armatura all’altra
Una particella avente carica q = + 6.24·10-6 C viene lasciata libera sull’armatura
positiva di un condensatore, caricato a 12 V, e raggiunge l’armatura negativa
con una velocità di 3.4 m/s. Calcolare:
a) la massa della particella;
b) la sua energia cinetica finale.
Risoluzione
a) Applicando la legge di conservazione dell’energia meccanica, si ha:
14
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
1 2
1
1
mv A  q  V A  mvB2  q  VB  qV A  mvB2  qVB  mvB2  2q(V A  VB ) 
2
2
2
L’ener
6
2q(V A  VB )
2  (6.24  10 C )  (12V )
6
5
m
m
 13  10 kg  1.3  10 kg.
v B2
(3.4m / s) 2
gia cinetica finale è:
KB 
1 2
mvB  q(V A  VB )  (6.24  10 6 C )(12V )  7.5  10 5 J .
2
ESEMPIO 6
Calcolare il potenziale elettrico prodotto da una carica puntiforme di 6.80 · 10 -7
C a una distanza di 2.60 m.
Risoluzione
Il potenziale elettrico è:
V ( P) 
kq

r
(9  10 9
Nm 2
)(6.80  10 7 C )
2
C
 2350V .
2.60m
ESEMPIO 7 – Due cariche puntiformi
Una carica q  4.11  10 9 C è posta nell’origine e una seconda carica uguale a 2q è posta sull’asse x nel punto x = 1.00 m.
a) Calcolare il potenziale elettrico nel punto medio fra le due cariche
b) Il potenziale si annulla in un punto tra le cariche, cioè per un valore di x
compreso fra 0 e 1.00 m. Calcolare tale valore.
Risoluzione
a) Il potenziale elettrico risultante, nel punto medio, è:
V
kq k (2q) 2kq 4kq  2kq  2(9  10 9 Nm 2 / C 2 )( 4.11  10 9 C )





 73.9V .
x
x
x
x
x
1.00m
2
2
b) Se indichiamo con x l’ascissa di un punto intermedio fra le due cariche, il
valore del potenziale in tale punto è:
V 
kq
k (2q )

.
x 1.00m  x
Imponiamo che tale valore di potenziale sia zero:
15
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
kq
k (2q)
1
2
1
2

0 
0 
 1.00m  x  2 x  3x  1.00m 
x 1.00m  x
x 1.00m  x
x 1.00m  x
 x  0.333m.
ESEMPIO 8 – Vola via
Due cariche +q e +2q sono tenute ferme sull’asse x in x = -d e x = +d,
rispettivamente. Una terza carica, +3q, è lasciata libera da ferma sull’asse y, nel
punto y = +d. Trova:
a) il potenziale elettrico nella posizione iniziale della terza carica;
b) l’energia potenziale iniziale della terza carica;
c) l’energia cinetica della terza carica quando si trova infinitamente lontana
dalle altre due cariche.
Risoluzione
a) Il potenziale elettrico totale, nella posizione iniziale, della terza carica è la
somma dei potenziali dovuti alle cariche +q e +2q, entrambe a distanza
2  d . Pertanto:
Vi 
kq
d 2

k ( 2q )

d 2
3kq
2 d
.
b) L’energia potenziale iniziale della terza carica è:
U i  3q  Vi 
9kq2
2 d
.
c) Quando la terza carica viene lasciata libera, le forze repulsive di +q e +2q
causano il suo movimento fino a una distanza infinita. Applicando il principio
di conservazione dell’energia meccanica
Ui  Ki  U f  K f
e osservato che Ki = Uf = 0, si ha:
Kf 
1 2
9kq2
.
mv f  U i 
2
2 d
16
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
Osservazione – Se la terza carica fosse partita da una posizione più vicina alle
altre due cariche, sarebbe stata più in alto nel “picco di potenziale” e quindi la
sua energia cinetica finale sarebbe stata maggiore, coma possiamo vedere nel
seguente problema.

Problema - Calcolare l’energia cinetica finale nel caso in cui la terza carica
sia lasciata da ferma da un punto appena al disopra dell’origine.
Risoluzione
In questo caso è:
Vi 
kq k (2q) 3kq
3kq 9kq2
9kq2
.


 U i  (3q)(
)
 K f  Ui 
d
d
d
d
d
d
ESEMPIO 9 – Energia potenziale elettrica totale
Un sistema è formato dalle cariche –q in (-d,0), +2q in (d,0) e +3q in (0,d).
Calcolare l’energia potenziale totale del sistema.
Risoluzione

L’energia potenziale elettrica delle cariche –q e +2q è:
U 12 

l’energia potenziale elettrica delle cariche –q e +3q è:
U 13 

k (q)( 2q)
kq2
;

2d
d
k (q)(3q)
d 2

3kq2
;
d 2
l’energia potenziale elettrica delle cariche +2q e +3q è:
U 2 3 
k (2q)(3q)
d 2

6kq2
.
d 2
L’energia potenziale elettrica totale del sistema di cariche è:
U tot  U 12  U 13  U 23  
kq2 3kq 2 6kq2 3kq2 kq2
.




d
d
d 2 d 2 d 2
ESEMPIO 10 – Moto di una carica in un campo elettrico
Un elettrone viene iniettato fra le piastre di un condensatore piano, con una
velocità v0 = 50 m/s, parallela alle piastre che distano d = 10 cm ed hanno una
lunghezza L = 1.00 m, ad una distanza d/2 dalla piastra superiore positiva.
Sapendo che il campo elettrico fra le piastre è di 100 N/C, (a) calcolare il tempo
17
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
impiegato a raggiungere la faccia superiore (b) calcolare qual è la distanza
orizzontale percorsa; (c) dire se l’elettrone fuoriesce dal condensatore.
Risoluzione
a) L’elettrone è soggetto ad una forza elettrica costante, diretta verticalmente
verso l’alto di modulo F  eE . Di conseguenza, il moto dell’elettrone sarà
composto da due moti simultanei, uno lungo l’asse x, rettilineo ed uniforme,
l’altro
lungo
l’asse y,
accelerazione costante a 
rettilineo ed uniformemente
accelerato
con
F
eE

. Le leggi dei moti componenti sono:
me
me
(1) x  vox  t  v0  t
(3)v x  v0


1
eE 2 e 
eE .

2
(
2
)
y

a

t

t
(
4
)
v

a

t

t
y


2
2

m
m
e
e


Dalla relazione (2), per y = d/2, si ha:
me  d
d
eE 2
(9.1  10 31 kg)(0.10m)

t t 

 0.57  10 14 s 2  7.5  10 8 s
2 2 me
eE
(1.6  10 19 C )(100 N / C )
b) La distanza orizzontale percorsa in t = 2.4 s è:
x  v0  t  (50m / s )(7.5  10 8 s )  3.75  10 6 m .
c) Poiché la distanza orizzontale è minore della lunghezza L = 1 m, l’elettrone
non fuoriesce dal condensatore (colpisce la piastra superiore).
&2.4 – Capacità elettrica dei conduttori - I condensatori
Abbiamo già visto che quando ad conduttore isolato viene fornita una carica
elettrica in eccesso, Q, questa si muove attraverso il conduttore finchè non
raggiunge una condizione di equilibrio elettrostatico: la prova di ciò è che se il
conduttore è collegato ad un amperometro, quest’ultimo, all’inizio del processo
di carica, rivela un passaggio di corrente che dopo un breve intervallo di tempo
cessa. L’esperienza mostra anche che la carica in eccesso acquistata dal
18
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
conduttore si distribuisce solo sulla sua superficie esterna in modo tale che il
campo elettrico associato alla carica acquisita è nullo sia nei punti interni al
conduttore sia nei punti della superficie del conduttore, risultando diverso da
zero nei punti all’esterno del conduttore: una conseguenza di tale modo di
distribuirsi della carica in eccesso è l’effetto schermo delle gabbie metalliche,
usato nelle apparecchiature elettriche.
La grandezza che caratterizza come si è distribuita la carica su un conduttore è
la densità superficiale di carica. In particolare, dicesi densità media di carica di
una superficie S , il rapporto fra la carica presente sulla superficie e la
superficie medesima:
q
;
S
m 
mentre si definisce densità di carica in un punto P la quantità:
 P  lim
S 0
q dq

.
S dS
In generale, la densità media è diversa dalla densità puntuale, poiché le cariche
tendono ad addensarsi in prossimità dei punti in cui la curvatura è maggiore
(potere delle punte): la densità è uniforme solo conduttori aventi simmetria e in
tal caso densità di carica media e densità puntuale coincidono.
Inoltre, dalla relazione
E
V
s
che lega la componente del campo elettrico lungo lo spostamento
s alla
variazione di potenziale lungo lo stesso spostamento, si deduce che i punti
interni al conduttore e quelli della superficie del conduttore sono caratterizzati
da uno stesso valore di potenziale:
E  0  V  0  VA  VB , A, B del conduttore.
La superficie del conduttore rappresenta una superficie equipotenziale.
Ciò premesso, osserviamo che al variare della carica Q, fornita al conduttore,
varia anche il valore del potenziale V che il conduttore acquista ma sempre in
modo tale che
Q
Q1 Q2

 ...  n  cos t
V1 V2
Vn
A tale rapporto costante
19
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
C
Teoria
Q
V
si dà il nome di capacità elettrica del conduttore e si misura in
Coulomb
 Farad (simbolo F).
Volt
La capacità di un conduttore è una grandezza che caratterizza la quantità di
carica che il conduttore può acquistare per un dato valore di potenziale: dire
che un conduttore ha grande capacità elettrica vuol dire che può acquisire una
grande quantità di carica per un dato valore di potenziale, ma vuol dire anche
che per un dato valore di carica acquisisce un basso valore di potenziale.
La capacità elettrica di un conduttore è funzione delle sue dimensioni e, per un
conduttore isolato, è sempre molto piccola. Infatti, il più grande dei conduttori, la
Terra, ha una capacità elettrica di soli 708 μF = 7.08·10-4 F.
CAPACITA’ ELETTRICA DI UN CONDUTTORE SFERICO
Se consideriamo un conduttore sferico di raggio R e forniamo ad esso una
carica Q, sappiamo che tale carica si distribuisce sulla sua superficie in modo
tale che il campo elettrico è nullo in tutti i punti interni e di frontiera e in modo
tale che tutti i suoi punti, interni e di frontiera, sono allo stesso potenziale.
Calcoliamo il valore del potenziale elettrico, dei punti interni e di frontiera del
conduttore sferico, alla maniera seguente. Dividiamo la superficie sferica in n
superfici elementari, Si, così piccole da potersi considerare puntiformi e dotate
di carica qi e calcoliamo il valore del potenziale elettrico generato da queste
cariche nel centro della sfera (tale valore sarà uguale per tutti i punti della
sfera):
kq1

V1  R

V  kq2
k Q
k
kQ
 2
 V 
R  Vtot  V1  V2  ...  Vn  (q1  q 2  ...  q n ) 

R
R
R
...

V  kqn
 n
R
Per definizione sarà allora:
20
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
C
Teoria
Q
Q
R
R
R

 Q
  C   4    R .
V kQ
kQ k
k
R
Tale espressione mostra che la capacità dipende dal mezzo isolante
(dielettrico) e dalle dimensioni del conduttore.
Nel caso della Terra, si ha:
C
2
6370km
6.370  10 6 m  C 2
C
C
3 C


0
.
708

10
 708  10 6
 708  10 6 
2
9
2
J
N m
V
Nm
9  10
N m
9  10 9 2
C
C
 708F .
RT

k0
CTerra
Il precedente risultato mostra chiaramente che la capacità elettrica di un
conduttore isolato, per quanto grande possa essere, è pur sempre molto
piccola: l’esperienza mostra che è possibile aumentare la capacità del
conduttore avvicinando ad esso un altro conduttore neutro: infatti, per effetto
dell’induzione elettrica, sul secondo conduttore si originano cariche di segno
opposto (cariche indotte) il cui effetto è di ridurre il valore del potenziale del
primo conduttore, aumentando così la sua capacità.
Un dispositivo costituito da due conduttori, ravvicinati e separati da un isolante,
prende il nome di condensatore elettrico: i due conduttori prendono il nome di
armature del condensatore.
I condensatori possono essere di vario tipo e sono classificati in base alla forma
e alla modalità con cui vengono separate le armature.
CLASSIFICAZIONE DEI CONDENSATORI
(1) In base alla forma, i condensatori possono essere:

piani: le armature sono due lastre metalliche piane e parallele,
separate da un isolante;
21
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica

Teoria
cilindrici: le armature sono costituite da due cilindri metallici coassiali,
ciascuna dotata di un terminale metallico necessario per il
collegamento all’interno di un circuito;

sferici: le armature sono costituite da due sfere metalliche sottili,
concentriche,
dotate
entrambe
di
terminali
metallici
per
il
collegamento e l’inserimento nei circuiti elettrici.
(2) In base al tipo di costruzione, i condensatori possono essere:

a carta: le armature sono costituite da due strisce sottili di alluminio (o altro
materiale similare) arrotolate l’una sull’altra e separate da strisce di carta
(dielettrico). L’involto così ottenuto, è inserito in un contenitore isolante, dal
quale fuoriescono i due elettrodi collegati con le armature.
Sull’involucro, sono riportati i valori della capacità del condensatore e la
tensione massima che si può applicare al condensatore, perché esso non
venga danneggiato: una tensione superiore a quella indicata, può creare fra
le armature del condensatore un campo elettrico così elevato capace di
produrre una corrente elettrica anche se vi è un isolante. Gli effetti della
corrente potrebbero danneggiare il condensatore (effetto di fusione).
Essi hanno normalmente una capacità compresa fra 500 pF e 0.5 μF.

A polistirolo o a poliestere: la loro struttura è analoga a quella dei
condensatori a carta.

Ceramici: le armature sono costituite da due sottili strati di materiale
metallico, ad esempio di argento, depositati sulle due facce opposte di un
disco di ceramica (dielettrico).
Questi condensatori sono caratterizzati dall’aver una grande capacità e
dimensioni ridotte.
22
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica

Teoria
Elettrolitici: le armature sono costituite da lastre di alluminio, sulle cui facce
vi è un sottile strato di ossido di alluminio (dielettrico), separate da uno strato
di garza o di carta, imbevuto di una soluzione salinica, perciò conduttrice,
che ha il compito di rinnovare e ripristinare continuamente il sottile strato di
dielettrico durante il funzionamento.
Per questo tipo di condensatore, è importante rispettare la polarità degli
elettrodi nei collegamenti, il polo positivo della pila va collegato con il + del
condensatore e, conseguentemente, il polo negativo della pila va collegato
con il – del condensatore, perché altrimenti il campo elettrico generato dalla
pila, esercitando una forza elettrica sulle molecole polarizzate dello strato di
dielettrico, asporterebbe lo strato di ossido di alluminio e in tal caso le
armature non sarebbero più isolate fra loro (il condensatore perderebbe la
capacità di caricarsi).
PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO DEI CONDENSATORI
La proprietà fondamentale di un condensatore è quella di poter accumulare e
conservare una carica elettrica sulle sue armature, carica che il condensatore
restituisce quando viene inserito in un circuito elettrico.
Infatti, collegando le armature del condensatore ai due poli di una batteria,
l’armatura collegata al polo positivo perde elettroni e si carica positivamente
mentre quella collegata al polo negativo della batteria acquista elettroni, in un
processo che termina quando ciascuna armatura ha assunto una quantità di
carica tale da impedire l’arrivo di ulteriori cariche dello stesso segno di quelle
già presenti su di essa: in particolare, l’armatura che si carica positivamente,
per la perdita di elettroni, impedisce che altri elettroni possano passare dalla
sua superficie al polo della positivo della pila, così come l’armatura che si carica
negativamente, per l’arrivo di elettroni provenienti dalla pila, impedisce che altri
elettroni possano arrivare su di essa.
23
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
Alla fine di ogni processo di carica, si ha che:
1) le due armature del condensatore possiedono, rispettivamente, una carica
+Q, -Q.
Si osservi che il procedimento di carica del condensatore può pensarsi
anche come un trasferimento diretto di elettroni da un’armatura all’altra, con
la batteria che svolge il lavoro di pompaggio;
2) le due armature, per effetto del contatto elettrico,
sono allo stesso
potenziale dei poli della batteria così che fra le armature del condensatore si
è stabilita la stessa d.d.p. che esiste fra i poli della batteria.
La carica acquista dal condensatore dipende dalla differenza di potenziale
applicata alle sue armature. L’esperienza mostra che fra la carica Q, acquistata
da ciascuna armatura, e la differenza di potenziale ΔV, che si stabilisce fra di
esse, vi è una relazione di proporzionalità diretta.
Al rapporto costante
C
Q
V
fra carica acquisita da ciascuna armatura e differenza di potenziale che si
stabilisce fra le armature del condensatore si dà il nome di capacità elettrica e si
misura in farad ( 1F 
1C
).
1V
CAPACITA’ DI UN CONDENSATORE PIANO
Consideriamo un condensatore piano le cui armature hanno una superficie di
area S, distanti d e separate da un isolante di costante dielettrica ε. Se
colleghiamo l’armatura A al polo positivo di un generatore (pila, batteria) e
l’armatura B al polo negativo, esse acquisteranno, rispettivamente, una carica
+Q e –Q e si porteranno ad una differenza di potenziale ΔV: il rapporto costante
fra Q e ΔV è la capacità del condensatore, C 
Q
.
V
24
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
La differenza di potenziale può essere calcolata come segue.
Sappiamo che fra le armature di un condensatore piano, elettricamente carico,
si crea un campo elettrico uniforme avente:

direzione perpendicolare alle due armature;

verso dalla piastra positiva, A, alla piastra negativa, B;

intensità E 

.

Poiché il campo elettrico è uniforme, esso eserciterà una forza elettrica
costante su una qualunque carica sonda che si trovi fra le armature del
condensatore:
Se poniamo una carica +q, in un punto molto vicino alla piastra positiva A, con
velocità iniziale nulla ( v0 = 0), essa subirà l’azione di una forza elettrica
F  q0  E ,
nella stessa direzione e verso del campo elettrico, che la spingerà con moto
uniformemente accelerato verso la piastra B, lungo la linea di forza del campo
elettrico.
Il lavoro fatto dal campo, sulla carica, lungo lo spostamento d, è in tal caso:

L  F d

L  q  (VA  VB )
Ma sappiamo anche che:
e quindi:
q  (V A  VB )  F  d  V A  VB 
F d qEd

Qd
Qd

 Ed  d 
 V A  VB 
q
q

 S
 S
.
Di conseguenza, la capacità del condensatore piano è:
C
Q
Q
 S



V A  VB Qd
d
S
C
 S
d
Da tale relazione, si deduce che la capacità elettrica di un condensatore piano
è:
25
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
1. direttamente proporzionale all’area delle armature;
2. direttamente proporzionale alla costante dielettrica del mezzo isolante che
separa le armature;
3. inversamente proporzionale alla distanza delle armature.
È possibile, allora, aumentare la capacità di un condensatore o aumentando la
superficie delle armature o utilizzando un isolante avente una costante
dielettrica maggiore o, infine, diminuendo la distanza delle armature.
Esistono condensatori di capacità variabile, per i quali è possibile far variare o
la distanza delle armature o
la superficie comune delle armature (vedi
dispositivo del laboratorio).
LAVORO DI CARICA – ENERGIA IMMAGAZZINATA IN UN CONDENSATORE
Abbiamo già detto che il procedimento di carica di un condensatore può essere
interpretato come un trasferimento di elettroni da un’armatura all’altra. Tale
trasferimento richiede necessariamente un lavoro, perché non appena la carica
di ciascuna armatura diventa diversa da zero, tale carica tende ad opporsi ad
ogni ulteriore variazione di carica.
In particolare, l’armatura che perde elettroni, assumendo una carica positiva,
tende ad opporsi ad ogni ulteriore allontanamento di elettroni, così come
l’armatura che acquista elettroni, assumendo una carica negativa, tende ad
opporsi all’arrivo di altri elettroni: in questa fase, è la pila che fornisce l’energia
necessaria alle cariche elettriche per trasferirsi da una armatura all’altra. Il
procedimento di carica termina quando la carica positiva di un’armatura, e
negativa dell’altra, diventano sufficientemente grandi, tali da impedire ogni altro
trasferimento di carica.
Calcoliamo il lavoro necessario per portare una carica +Q sull’armatura positiva
e stabilire una d.d.p. V fra le armature.
Poiché, durante la fase di carica, la differenza di potenziale fra le armature varia
continuamente, per calcolare il lavoro del campo elettrico, creato dalla pila, non
possiamo utilizzare la relazione L  Q  V , perché questa si può applicare solo
quando la carica Q trasferita non fa variare il potenziale V fra i punti del campo.
Nel caso del condensatore, invece, il potenziale varia continuamente, passando
dal valore V = 0 al valore massimo V = Q/C, con un andamento del tipo:
26
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
In questo caso, possiamo procedere come segue. Il trasferimento della carica
totale Q si può pensare come una successione di trasferimenti elementari di
carica Δqi così piccoli che la variazione di potenziale fra le armature si possa
considerare costante e uguale a Vi, potenziale assunto nella fase di carica
precedente . In tali trasferimenti elementari, il lavoro compiuto è:
 L1  V1  q1  0
 L  V  q
2
2
 2
 L3  V3  q3
..

 Ln  Vn  q n
e il lavoro totale è:
L  L1  L2  ..  Ln  V1  q1  V2  q2  ..  Vn  qn
che rappresenta l’area dello scaloide rappresentato in figura. Se facciamo
aumentare il numero dei procedimenti di carica, lo scaloide tende a coincidere
con il triangolo di base Q e altezza V, e di conseguenza il lavoro di carica del
condensatore è dato dall’area del triangolo:
L
1
 Q V
2
Tenuto conto della definizione di capacità, si hanno le seguenti ulteriori formule:

Q  C  V
 L 
Q

C 
Q 
V
V  C
L 

1
 C V 2
2
1 Q2

2 C
Poiché quando si carica un condensatore si crea un campo elettrico, il lavoro
necessario per caricare un condensatore è anche il lavoro necessario per
creare un campo elettrico fra le armature del condensatore.
Questa è una condizione del tutto generale:
27
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
“ Tutte le volte che si vuole creare un campo elettrico si deve fare un lavoro di
carica ovvero occorre fornire energia”.
L’energia fornita viene immagazzinata in ogni punto del campo, sotto forma di
energia potenziale elettrica, disponibile per ogni carica che si venga a trovare in
un punto del campo.
È questo un nuovo modo di vedere il fenomeno: un’energia associata ad un
ente non materiale qual è il campo elettrico.
Una grandezza che caratterizza quantitativamente l’energia associata ad un
campo elettrico è la densità di energia definita come l’energia per unità di
volume:
u
Energia
Volume
Nel caso di un condensatore piano, la densità di energia è data da:
1  S
1

 (E  d ) 2
CV 2
1 S E 2 d 2 1
1
u 2
 2 d

   E 2  u  E 2
2
S d
S d
2 d S d
2
È questa la densità di energia ovvero la quantità di energia accumulata in ogni
unità di volume nel quale l’intensità del campo è E.
Tale relazione è valida per qualsiasi campo elettrico.
COLLEGAMENTO DEI CONDENSATORI
Esistono due modalità di collegamento dei condensatori: in serie e in parallelo.
(a) Nel collegamento in serie, i condensatori
hanno solo un’armatura in
contatto elettrico, mediante un filo conduttore, e sono inseriti fra i terminali di
un generatore (collegamento testa-coda). L’armatura collegata con il polo
positiva della pila si carica positivamente e induce una carica negativa sulla
28
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
piastra inferiore immediatamente più vicina e una carica indotta positiva
sull’armatura più lontana, che a sua volta induce una carica positiva
sull’armatura opposta, e così via.
Tale situazione è rappresentata dalla figura seguente in cui vi sono tre
condensatori collegati in serie:
Il risultato complessivo è che tutte le armature hanno la stessa carica,
mentre il potenziale è diverso perché i condensatori hanno una diversa
capacità.
In particolare è:
C1 
Q
Q
Q
, C 2  , C3 
V1
V2
V3
con:
V1  V2  V3  V .
E’ possibile sostituire il sistema di condensatori, collegati in serie, con un
unico condensatore, elettricamente equivalente al sistema di condensatori,
che, inserito fra la stessa d.d.p., assume una carica uguale alla carica dei
singoli condensatori, Q = Q1
=
Q2 = Q3 (vedi fig. a destra) e potenziale
uguale alla somma V dei potenziali.
Si dimostra che la capacità C di un condensatore equivalente di due
condensatori collegati in serie e aventi capacità rispettiva C1 e C2, è tale
che:
C 1  C11  C 21 .
29
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
Infatti:
C 1 
1
1 V V1  V2 V1 V2
1
1
1
1
1
1

 
 




 C1  C 2 .
Q
Q
Q
C
Q
Q
Q Q
C1 C 2
V
V1 V2
E’ facile constatare che la capacità totale di due condensatori collegati in
serie è minore della capacità di ciascuno dei condensatori componenti:
C  C1  C  C2 .
Infatti:
Q
V  C1
Q
Q

.
C eq  
 1
V V1  V2  Q
 C2
V2
(b) Nel collegamento in parallelo, entrambe le armature sono collegate
elettricamente, mediante un filo conduttore, e inserite far i terminali di un
generatore (collegamento testa-testa, coda-coda). Le due armature
collegate con il polo positivo (a) della pila si caricano positivamente, mentre
le due armature collegate al polo negativo (b) della pila si caricano
negativamente: all’equilibrio elettrostatico, fra le armature si stabilisce la
stessa differenza di potenziale esistente fra i capi della pila (es. 1.5 V),
mentre la carica presente sulle armature di ciascun condensatore è
differente, poiché il valore della carica, a parità di potenziale, dipende dalla
capacità di ciascuno di essi. Tale situazione è rappresentata dalla figura
seguente in cui vi sono tre condensatori collegati in parallelo:
E’ possibile sostituire un sistema di condensatori, collegati in parallelo,
con un unico condensatore, elettricamente equivalente al sistema di
30
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
condensatori, che, inserito fra la stessa d.d.p., assume una carica totale
uguale alla somma delle cariche dei singoli condensatori, Q = Q 1 + Q2
(vedi fig. a destra).
Si dimostra che la capacità del condensatore equivalente di due
condensatori collegati in parallelo e aventi capacità rispettiva C1 e C2, è:
C eq  C1  C 2 .
Infatti:
Ceq 
Q Q1  Q2 Q1 Q2



 C1  C2 .
V
V
V
V
Da tale uguaglianza si deduce che, collegando in parallelo due o più
condensatori, la capacità del sistema aumenta.
&2.5 - I dielettrici
In tutti i condensatori, tra le armature è inserito del materiale isolante, ad
esempio di carta o di plastica. Tale materiale isolante, che viene denominato
dielettrico, ha le seguenti funzioni:
1. impedire che fra le armature del condensatore, quando questo è stato
caricato elettricamente, possa avvenire una scarica elettrica;
2. consentire di arrotolare le armature per ottenere condensatori di piccole
dimensioni;
3. aumentarne la capacità e, con essa, aumentare l’energia massima
immagazzinabile nel condensatore.
Analizziamo in dettaglio, cosa avviene in un condensatore quando introduciamo
un dielettrico fra le sue armature, esaminando dapprima il caso in cui il
dielettrico
è
inserito
a
generatore
staccato
dal
condensatore
e,
successivamente, il caso in cui il dielettrico è inserito nel condensatore mentre
questo è collegato con il generatore.
a) Generatore disinserito.
Se, dopo aver caricato un condensatore, stacchiamo il generatore e inseriamo
fra le armature un dielettrico, il campo elettrico del condensatore esercita una
forza elettrostatica su tutte le cariche che si trovano al suo interno. In
particolare, il campo elettrico determina una polarizzazione delle molecole del
31
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
dielettrico, con i dipoli orientati nel verso opposto a quello del campo: l’effetto
risultante è un indebolimento del campo e una diminuzione dell’energia
potenziale elettrica immagazzinata nel campo, senza che avvenga una
variazione della carica presente sulle armature, essendo il condensatore isolato
( il generatore è disinserito).
Se indichiamo con F0, E0 e V0 i valori della forza elettrostatica, del campo
elettrico e della differenza di potenziale quando fra le armature vi è il vuoto e
con F, E e V i valori quando è presente il dielettrico, ricordando che  r 
F0
F
(rapporto fra la forza nel vuoto e la forza nel mezzo, sempre >1), si deduce che:
1)  r 
F0 qE0 E0


F
qE
E
2)  r 
F0 E0 V0


F
E
V
Poichè εr >1, si può affermare che sia il campo elettrico sia la differenza di
potenziale fra le armature si riducono di un fattore ε r, che è una costante
caratteristica del dielettrico.
Si osservi che la relazione (2) permette di calcolare la costante dielettrica
relativa di un qualsiasi mezzo isolante: è sufficiente misurare la differenza di
potenziale esistente fra le armature di un condensatore senza e con il
dielettrico, a batteria staccata, e fare il rapporto delle due misure di potenziale.
3) Poiché la batteria è scollegata e il condensatore è isolato, la carica del
condensatore rimane invariata, Q = Q0, e la capacità diventa:
C
Q
Q Q0

  r  0   r  C0
V V0
V0
r
La capacità aumenta di un fattore εr.
4) Infine,
calcoliamo
il
nuovo
valore
dell’energia
immagazzinata
nel
condensatore:
Q02
2C 0
Q02
U
Q2
U


 0
2  C 2 r C 0
r
r
Con l’introduzione di un dielettrico, a batteria scollegata, l’energia potenziale
immagazzinata nel condensatore è una frazione di quella fornita dalla batteria:
32
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
la differenza di energia mancante è stata utilizzata dal condensatore che ha
eseguito un lavoro sul dielettrico, durante la fase di inserimento.
In conclusione, se si inserisce un dielettrico in un condensatore, mentre la
batteria è scollegata, si può affermare che:
 L’intensità del campo elettrico diminuisce ( E 
1
r
E0 )
 La differenza di potenziale fra le armature diminuisce ( V 
1
r
V0 )
 L’energia potenziale elettrica immagazzinata diminuisce ( U 
1
r
U0 )
 La capacità elettrica del condensatore aumenta ( C   r  C0 )
 La carica Q del condensatore rimane costante.
b) Generatore inserito.
Se invece il dielettrico viene inserito mentre il generatore è ancora collegato, la
differenza di potenziale fra le armature resta invariata, uguale a quella del
generatore che, durante tutta la fase di inserimento, compie un lavoro
supplementare per portare una carica supplementare sulle due armature.
L’energia supplementare fornita dal generatore viene immagazzinata nel
condensatore sotto forma di energia potenziale elettrica (U > U0).
In tale processo:
1) La differenza di potenziale rimane costante: V = V0
2) La carica aumenta: Q   r  Q0  Q0
3) La capacità aumenta: C 
Q  r  Q0

  r  C0  C0
V
V0
4) L’energia potenziale immagazzinata aumenta:
U
1
1
CV 2   r C 0V02   r  U 0  U 0
2
2
Pertanto, si può concludere che un dielettrico aumenta sempre la capacità di
un condensatore di un fattore εr, indipendentemente dal fatto che esso sia
inserito in un condensatore isolato o collegato con un generatore.
Nel caso di un condensatore piano con dielettrico, la capacità elettrica è
C   r C0   r   0 
S  S

d
d
dove:
33
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica
Teoria
 ε = ε0  εr è la costante dielettrica assoluta del mezzo
 S è l’area delle armature del condensatore
 d è la distanza fra le armature.
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