ď - Google Sites
annuncio pubblicitario
Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria CAP.2 – Potenziale elettrico, capacita’ elettrica &2.1 – Introduzione Nel capitolo precedente abbiamo analizzato i fenomeni elettrici, utilizzando il vettore campo elettrico e le linee di forza del campo elettrico. Ricordiamo che in meccanica abbiamo usato dapprima le leggi di Newton, con i diagrammi di corpo libero, e i vettori per risolvere i problemi sul moto dei corpi; poi, alla ricerca di un approccio più semplice ad alcune situazioni, abbiamo introdotto grandezze come lavoro, energia cinetica ed energia potenziale: con questi concetti abbiamo risolto in modo più semplice molti problemi, utilizzando il teorema dell’energia cinetica e il principio di conservazione dell’energia . Sarà utile estendere questi metodi energetici allo studio dei fenomeni elettrici per la risoluzione di molti problemi. &2.2 – Energia potenziale elettrica. Potenziale elettrico Il campo elettrico prodotto da cariche stazionarie è un campo di forze conservative, poiché il lavoro che esso compie non dipende dalla traiettoria che le cariche descrivono al suo interno ma solo dalle posizioni iniziale e finale. Dimostriamo tale proprietà nel caso di un campo elettrico prodotto da una carica puntiforme positiva, +Q. Sappiamo che il campo elettrico E prodotto da tale carica è rappresentato da linee di forza radiali uscenti dalla carica generatrice +Q, avente intensità E = k 0 Q nei punti a distanza r da essa. r2 Calcoliamo il lavoro fatto dal campo elettrico, su una carica di prova q, quando questa si sposta fra due punti A e B appartenenti ad una medesima linea di forza: Poiché la forza elettrica che Q esercita su q dipende dalla distanza, il problema che dobbiamo affrontare è quello di calcolare il lavoro di una forza variabile. 1 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria A tal fine, dividiamo il tratto AB, mediante i punti P1, P2, …, Pn, in n tratti elementari così piccoli da poter considerare in essi la forza elettrica costante e poter così calcolare il lavoro come prodotto di una forza per uno spostamento. In particolare, se consideriamo i punti Pi e Pi+1 , e indichiamo con ri la distanza di Pi da Q e con ri+1 la distanza di Pi+1 da Q, si può assumere come valore costante della forza elettrica che agisce su q, nel tratto P iPi+1, la media geometrica della forza che agisce su q in Pi , data da Fi k 0 Qq ri 2 e della forza che agisce su q, in Pi+1, data da Fi 1 k 0 Qq . ri 21 Il valore medio della forza elettrica, nel tratto PiPi+1, è dato da: F i Fi Fi 1 k 02 Q 2 q 2 Qq k0 , (media geometrica) 2 2 ri ri 1 ri ri 1 Poiché la carica di prova q ha velocità iniziale nulla, essa, sotto l’azione del campo elettrico agente, si muoverà nella direzione della forza, lungo la linea di forza che congiunge i punti A e B. Il lavoro compiuto dal campo elettrico, in ciascun tratto elementare, è: Qq 1 1 (r1 rA ) k 0 Qq ( ) rA r1 rA r1 L1 F 1 s1 cos(1 ) k 0 L2 F 2 s 2 cos(2 ) k 0 Qq 1 1 (r2 r1 ) k 0 Qq ( ) r1 r2 r1 r2 Ln F n s n cos(n ) k 0 Qq 1 1 (rB rn ) k 0 Qq ( ) rn rB rn rB .. e il lavoro totale è : L AB L1 L2 * ... Ln k 0 Qq ( L AB k 0 Qq ( 1 1 1 1 1 1 1 1 ..... ) k 0 Qq ( ) rA r1 r1 r2 r2 rB rA rB 1 1 ) rA rB Lo stesso risultato si ottiene anche nel caso in cui: 1. il percorso considerato, per andare da A a B, non avviene lungo la linea di forza; 2 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria 2. i punti A e B non si trovano sulla stessa linea di forza e il percorso è curvilineo. Si può, dunque, affermare che il lavoro compiuto da un campo elettrico, creato da cariche stazionarie, non dipende dal percorso seguito ma solo dalle posizioni iniziale e finale della carica che subisce l’azione del campo e, dunque: “IL CAMPO ELETTRICO CREATO DA CARICHE STAZIONARIE E’ UN CAMPO DI FORZE CONSERVATIVO” . In quanto tale, il campo elettrico gode delle seguenti proprietà, caratteristiche di ogni campo di forze conservativo: 1. il lavoro compiuto dal campo elettrico, lungo un percorso chiuso, è sempre nullo, ovvero la circuitazione del campo elettrico, calcolata lungo una linea chiusa, è zero C ( E ) = 0; 2. l’ energia meccanica di ogni carica, che si muove sotto l’azione di un campo elettrico, si conserva; 3. quando una carica si trova in un punto P di un campo elettrico, essa acquista un’energia di posizione, detta energia potenziale elettrica, definita ponendola uguale al lavoro che il campo elettrico compie quando la carica si sposta dal punto P ad un punto O scelto arbitrariamente: U ( P) LPO (definizione operativa dell’energia potenziale). In particolare, se il campo elettrico è generato da una carica puntiforme e assumiamo come punto O di riferimento per il calcolo dell’energia potenziale un punto a distanza infinitamente grande, l’espressione dell’energia potenziale è: U ( P) LPO k 0 Qq ( 1 1 Qq . ) k0 rp rO rP Poiché, come mostra la formula precedente, il valore dell’energia potenziale dipende oltre che dal campo, ovvero da Q e da r, anche dalla carica di prova, q, tale grandezza non può essere assunta come una ulteriore grandezza caratteristica del campo ed è per questo che si introduce una nuova grandezza fisica, detta potenziale elettrico, che in ogni punto è così definita: V ( P) U ( P) q 3 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria e rappresenta il valore dell’energia acquistata da ogni unità di carica posta nel punto P. Il potenziale elettrico è una grandezza scalare che si misura in Joule su Coulomb (J/C): tale unità di misura derivata prende il nome di Volt (V). Se il campo elettrico è generato da una carica puntiforme Q, il potenziale elettrico in un punto P distante r da Q è: V ( P) U ( P) q k0 Qq k Q rP . 0 q rP I seguenti grafici, mostrano l’andamento del potenziale elettrico nello spazio circostante la carica generatrice: La conoscenza del potenziale elettrico in ogni punto del campo, consente di calcolare: 1. il valore dell’energia potenziale acquistata da una carica q qualsiasi in un punto P del campo: U(P) = q·V(P) 2. il lavoro compiuto dal campo, su una carica di prova q, fra due punti A e B del campo: L U U ( A) U ( B) q V ( A) q V (B) q (VA VB ) Da tale ultima relazione si deduce che quando una carica di prova si muove sotto l’azione del campo elettrico, essa si muoverà da punti a potenziale maggiore verso punti a potenziale minore se è positiva, mentre si muoverà da punti a potenziale minore verso punti a potenziale maggiore se è negativa: si 4 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria dice anche che il campo elettrico tende spingere le cariche positive verso punti a potenziale minore e le cariche negative verso punti a potenziale maggiore. Infatti: L 0, q 0 L 0 V ( A) V ( B) 0 V ( A) V ( B) q L 0, q 0 L 0 V ( A) V ( B) 0 V ( A) V ( B). q Mentre: Osservazione 1 – Anche se abbiamo ricavato il potenziale elettrico V dall’energia potenziale U, tuttavia le due grandezze non sono la stessa cosa: l’energia potenziale elettrica è l’energia acquistata da una carica q qualsiasi in un punto del campo elettrico, il potenziale elettrico è l’energia acquistata dalla carica unitaria nello stesso punto. La relazione fra le due grandezze è: U(P) = q · V(P). Osservazione 2 – Sia l’energia potenziale sia il potenziale elettrico non sono grandezze definite univocamente, perchè il loro valore dipende da come si sceglie il punto di riferimento per il loro calcolo. Ciò che invece ha un significato fisico ben definito, univoco, sono le rispettive variazioni U e V che hanno un valore che è indipendente dalla scelta del punto di riferimento. Nel caso di una carica puntiforme è conveniente scegliere come punto di riferimento, punto a potenziale zero, un punto all’infinito; nel caso di un condensatore, si assume a potenziale zero la lastra negativa. In ogni caso, qualunque sia stata la scelta del livello zero, la differenza di potenziale misurata fra due punti del campo elettrico rimane inalterata. POTENZIALE ELETTRICO E DIFFERENZA DI POTENZIALE IN UN CONDENSATORE PIANO. Consideriamo un condensatore piano, formato da due lastre metalliche parallele, ciascuna avente area S e distanti d, aventi rispettivamente carica +Q e –Q. Sappiamo che fra le due lastre si crea un campo elettrico uniforme, avente: direzione perpendicolare alle lastre, verso diretto dalla lastra positiva a quella negativa 5 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica modulo, costante, E = Teoria Q . 0 0 S Se una carica positiva, q, è posta in un punto A, vicino alla piastra positiva, per effetto dell’azione del campo, essa si sposterà da A a B, muovendosi lungo la linea di forza passante per A. In tale spostamento, il lavoro compiuto dal campo elettrico, è: L Fe s cos( ) q E d cos(0) q E d L q E d q (V A VB ) q E d V A VB E d Dunque, la d.d.p. fra le piastre è VA VB E d .(1) Dalla (1) si ha che l’intensità del campo elettrico uniforme di un condensatore piano, è: E V A VB d dove VA – VB è la d.d.p. applicata fra le due piastre. In modo analogo si può dimostrare che la differenza di potenziale fra due punti qualsiasi A e B, che si trovano ad un dislivello Δx, è: VA VB E x 6 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria POTENZIALE ELTTRICO E DIFFERENZA DI POTENZIALE NEI PUNTI DI UN CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA CARICA PUNTIFORME Abbiamo già visto in precedenza che, se si assume come punto di riferimento per il calcolo dell’energia potenziale l’infinito, il potenziale elettrico nei punti P di un campo elettrico prodotto da una carica puntiforme Q è dato da: VP kQ rP dove rP è la distanza di P dalla carica generatrice. Di conseguenza, la differenza di potenziale fra due punti A e B del campo è: V A VB kQ kQ 1 1 kQ( ) . rA rB rA rB Il valore del potenziale varia con il variare del punto del campo seguendo le seguenti semplici regole: Se la carica Q è positiva, il valore del potenziale aumenta avvicinandosi alla carica generatrice Q (i punti più vicini a q sono a potenziale maggiore), diminuisce allontanandosi da q. Di conseguenza, quando una carica positiva viene avvicinata alla carica generatrice +Q, pure positiva, essa acquista energia potenziale: l’aumento di energia è pari al lavoro che è stato compiuto dall’esterno, per poter vincere la repulsione elettrica fra le due cariche si segno uguale. Reciprocamente, quando una carica positiva si muove allontanandosi dalla carica generatrice +Q, essa perde energia potenziale: la diminuzione di energia è pari al lavoro che il campo elettrico generato da q + compie nell’allontanare la carica. Se la carica Q è negativa, il valore del potenziale diminuisce avvicinandosi alla carica generatrice Q (i punti più vicini a q sono a potenziale minore), aumenta allontanandosi da Q. E’ bene comunque ricordare che solo le differenze di potenziale elettrico sono importanti, come illustra il seguente esempio. ESEMPIO - L’atomo di idrogeno: differenze di potenziale vicino al protone del nucleo. Nel modello di Bohr dell’atomo di idrogeno, l’elettrone che orbita attorno al nucleo può farlo solo su precise orbite circolari (quantizzazione del raggio 7 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria orbitale): la più piccola di queste ha un raggio di 0.0529 nm, la successiva ha raggio di 0.212 nm. (a) Qual è la differenza di potenziale fra le due orbite? (b) Quale delle due orbite è a potenziale maggiore? Risoluzione (a) Utilizzando l’espressione del potenziale di una carica puntiforme, si ha: V1 V2 kq( 1 1 Nm 2 1 1 ) (9 10 9 )(1.6 10 19 C )( ) 2 r1 r2 0.0529nm 0.212nm C (14.4 10 10 ) ( 10 9 10 9 Nm J ) 14.4 10 1 14.2 20.4V 0.0529 0.212 C C (b) L’orbita di raggio minore, quella più vicina al protone, ha potenziale maggiore. ENERGIA POTENZIALE ELETTRICA DI UN SISTEMA DI CARICHE Per il teorema dell’energia potenziale, sappiamo che il lavoro compiuto da un campo elettrico su una carica che si sposta fra due punti A e B del campo, è dato da: L U U A U B . In particolare, nel caso di cariche puntiformi, se si assume come punto a potenziale zero l’infinito, il lavoro compiuto dal campo per spostare una carica sonda da un punto a distanza r12 all’infinito è: L U A U kq1q 2 . r12 Questa è anche l’espressione del lavoro necessario per portare una carica sonda dall’infinito ad una distanza r12 dalla carica generatrice del campo, lavoro che è immagazzinato dal sistema formato dalle due cariche sotto forma di energia potenziale elettrica. Dunque, U kq1q 2 è l’energia potenziale elettrica r12 di un sistema di due cariche poste ad una distanza r12 . Più in generale, l’energia potenziale elettrica totale di un sistema di n cariche è: U tot U ij U12 U13 .. U 23 .. dove le Uij sono i valori dell’energia potenziale delle cariche prese a due a due. ESEMPIO Calcolare l’energia potenziale elettrostatica totale del sistema di cariche rappresentato nella figura seguente: 8 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria Risoluzione L’energia potenziale elettrostatica totale è la somma algebrica delle energie potenziali di tutte le coppie di cariche prese a due a due, una sola volta: U tot U 12 U 13 U 23 k ( q1 q 2 q1 q3 q 2 q3 4.0 10 12 C 2 ) (9 10 9 Nm 2 / C 2 )( r12 r13 r23 0.30m 2.0 10 12 C 2 2.0 10 12 C 2 ) 0.12 J 0.30m 0.30m Il segno meno indica che le cariche hanno, in questa configurazione, energia potenziale minore di quella che avrebbero se fossero a distanza infinita le une dalle altre. Se fossero libere di muoversi, esse si avvicinerebbero cadendo le une sulle altre, diminuendo in tal modo la loro energia potenziale totale fino a raggiungere valori negativi sempre più grandi. &2.3 - Superfici equipotenziali. Relazione fra potenziale e campo elettrico. Come abbiamo già detto in precedenza, il potenziale elettrico V P è una grandezza scalare il cui valore dipende dal particolare punto in cui esso è calcolato. Pur tuttavia, può capitare che il potenziale assuma lo stesso valore in punti diversi del campo elettrico: ad esempio, se il campo elettrico è generato 9 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria da una carica puntiforme Q, tutti i punti di una sfera avente centro nella carica Q e raggio r si trovano allo stesso potenziale V kQ . r Si può porre, perciò, la seguente definizione: Dicesi superficie equipotenziale il luogo dei punti del campo aventi lo stesso potenziale elettrico. Ad esempio: Le superfici equipotenziali del campo elettrico generato da una carica puntiforme sono tutte sfere concentriche, con centro nella sfera generatrice del campo elettrico. Le superfici equipotenziali del campo elettrico uniforme esistente fra le armature di un condensatore piano, sono piani paralleli alle armature, ciascuna caratterizzata da un potenziale V E x , dove E è l’intensità del campo elettrico ed x è la distanza del piano dall’armatura negativa. PROPRIETA’ DELLE SUPERFICI EQUIPOTENZIALI (1) Per ogni punto di un campo elettrico passa una e una sola superficie equipotenziale; (2) il lavoro compiuto dal campo elettrico fra due punti appartenenti ad una medesima superficie equipotenziale è sempre uguale a zero; (3) il campo elettrico è in ogni punto perpendicolare alla superficie equipotenziale passante per il punto; (4) il campo elettrico è diretto dai punti a potenziale maggiore a punti a potenziale minore. 10 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria RELAZIONE FRA CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Si supponga che una carica di prova positiva, q0, sia posta con velocità iniziale nulla in un punto P di un campo elettrico. A seguito dell’azione del campo, essa subirà uno spostamento s , lungo la linea di forza passante per il punto P, passando da una superficie equipotenziale caratterizzata da un potenziale VA ad una superficie equipotenziale adiacente, caratterizzata da un valore di potenziale VB. Sappiamo che il lavoro compiuto dal campo elettrico, in tale spostamento è dato da: L F s cos(0) q0 E s cos(0) q0 E s V q0 E s q0 V E s L q0 (V A VB ) q0 V Dunque, il modulo del campo elettrico è uguale alla variazione del potenziale elettrico, cambiata di segno, calcolata lungo lo spostamento, divisa per lo spostamento medesimo. Più in generale, se si conosce la legge V = V(x, y, z) che fornisce il potenziale nei punti del campo elettrico, si possono calcolare sia le componenti del vettore E e, conseguentemente, anche il vettore campo elettrico E : V V V , Ey , Ez x y z Ex E E x2 E y2 E z2 . Possiamo, dunque, concludere che conoscendo il valore del potenziale in ogni punto del campo, o, equivalentemente, conoscendo la legge V = V(P) = V(x,y,z) che fornisce il valore del potenziale in ogni punto P del campo, siamo in grado di: 1) calcolare l’intensità del campo elettrico, E , in direzione, modulo e verso; 2) calcolare il lavoro compiuto dal campo elettrico su una qualunque carica: L=q(VA-VB); 3) calcolare l’energia acquistata da una qualunque carica posta in un punto del campo: U(P) = q·V(P). 11 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria ESEMPIO 1 La differenza di potenziale elettrico fra due punti, A e B, è V VB VA 24.0V . Calcola la variazione di energia potenziale elettrica, U , per una carica che si muove dal punto A al punto B, se (a) q = 2.20 · 10-6 C; (b) q = - 1.10 · 10-6 C. Risoluzione a) U q V (2.20 10 6 C )(24.0V ) 5.28 10 5 J b) U q V (1.10 10 6 C )(24.0V ) 2.64 10 5 J ESEMPIO 2 - Armature a differenti potenziali Se si collegano le armature di un condensatore piano a una batteria da 12 V, si ottiene un campo elettrico uniforme. a) Se le armature distano fra loro 0.75 cm, qual è l’intensità del campo elettrico nel condensatore? b) Una carica di + 6.24 · 10-6 C si muove dall’armatura positiva a quella negativa. Trova la variazione di energia potenziale elettrica di questa carica. (Trascurare la forza peso). Risoluzione a) Quando colleghiamo i poli della batteria alle armature del condensatore, fra le due armature si stabilisce una differenza di potenziale uguale a quella del generatore di tensione, E V V V 12V . Applicando la relazione V , si ha: s E 12V 12V V 1600 . 3 0.0075m 7.5 10 m m b) La variazione di energia potenziale è: U q V q (V V ) (6.24 10 6 C )(12V ) 7.5 10 5 J . Osservazioni 12 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria L’energia potenziale elettrica diminuisce, così come diminuisce l’energia potenziale gravitazionale di una palla quando cade; L’energia potenziale perduta si trasforma in un aumento di energia cinetica della carica, proprio come aumenta l’energia cinetica di una palla quando cade. ESEMPIO 3 – Potenziali e campi Il potenziale elettrico nel punto B del condensatore piano mostrato in figura è minore del potenziale nel punto A di 4.50 V, VA –VB = 4.50 V. La distanza fra il punto A e il punto B è 0.120 cm e la distanza fra le armature è 3.75 cm. Trova: a) il campo elettrico nel condensatore; b) la differenza di potenziale fra le armature. Risoluzione a) Calcoliamo il campo V VB VA 4.50V E elettrico e con la relazione E s 0.120cm 1.20 10 3 m . V , s con Si ha: 4.50V 3.75 10 3 V / m . 1.20 10 3 m b) Calcoliamo V V V utilizzando la relazione V E s , con E = 3750 V/m e s d 3.75cm 3.75 10 2 m . Si ha: V V V (3750V / m)(3.75 10 2 m) 141V . La piastra positiva è a un potenziale di + 141 V rispetto alla piastra negativa assunta come superficie equipotenziale a potenziale nullo, di riferimento. ESEMPIO 4 – Conservazione dell’energia a) Una particella di massa m = 1.75·10-5 kg e carica q = 5.20·10-5 C sia lasciata libera, da ferma, nel punto A. Quando la particella si muove dal punto A al punto B, il potenziale diminuisce di 60.0 V, V A – VB = 60.0 V. Calcolare la velocità della particella nel punto B. 13 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria b) Calcolare la velocità nel punto B, supponendo che la particella abbia nel punto A una velocità iniziale di 5.00 m/s. Risoluzione a) Poiché il campo elettrostatico è un campo conservativo, l’energia meccanica totale della carica, che si muove fra due punti A e B del campo, si conserva: 1 2 1 mv A U A mvB2 U B . 2 2 Se l’unico campo di forze agente è quello elettrico, l’energia potenziale si può esprimere in termini di potenziale, così che la legge di conservazione si può così esprimere: (1) 1 2 1 mv A q V A mvB2 q VB 2 2 Da tale relazione, tenuto conto che la velocità iniziale vA = 0, possiamo ricavare dapprima l’energia cinetica nel punto B: 1 2 1 2 mvB mv A q(V A VB ) q(V A VB ) 2 2 e poi la velocità nel punto B: vB 2q(V A VB ) m 2(5.20 10 5 C )(60.0V ) 18.9m / s . 1.75 10 5 kg b) Dalla relazione (1) precedente, si ha: 2q(V A VB ) 1 2 1 1 1 mv A q V A mvB2 q VB mvB2 mv A2 q(V A VB ) v B v A2 2 2 2 2 m (5.00m / s ) 2 2(5.20 10 5 C )(60.0V ) /(1.75 10 5 kg) 19.5m / s. ESEMPIO 5 – Da un’armatura all’altra Una particella avente carica q = + 6.24·10-6 C viene lasciata libera sull’armatura positiva di un condensatore, caricato a 12 V, e raggiunge l’armatura negativa con una velocità di 3.4 m/s. Calcolare: a) la massa della particella; b) la sua energia cinetica finale. Risoluzione a) Applicando la legge di conservazione dell’energia meccanica, si ha: 14 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria 1 2 1 1 mv A q V A mvB2 q VB qV A mvB2 qVB mvB2 2q(V A VB ) 2 2 2 L’ener 6 2q(V A VB ) 2 (6.24 10 C ) (12V ) 6 5 m m 13 10 kg 1.3 10 kg. v B2 (3.4m / s) 2 gia cinetica finale è: KB 1 2 mvB q(V A VB ) (6.24 10 6 C )(12V ) 7.5 10 5 J . 2 ESEMPIO 6 Calcolare il potenziale elettrico prodotto da una carica puntiforme di 6.80 · 10 -7 C a una distanza di 2.60 m. Risoluzione Il potenziale elettrico è: V ( P) kq r (9 10 9 Nm 2 )(6.80 10 7 C ) 2 C 2350V . 2.60m ESEMPIO 7 – Due cariche puntiformi Una carica q 4.11 10 9 C è posta nell’origine e una seconda carica uguale a 2q è posta sull’asse x nel punto x = 1.00 m. a) Calcolare il potenziale elettrico nel punto medio fra le due cariche b) Il potenziale si annulla in un punto tra le cariche, cioè per un valore di x compreso fra 0 e 1.00 m. Calcolare tale valore. Risoluzione a) Il potenziale elettrico risultante, nel punto medio, è: V kq k (2q) 2kq 4kq 2kq 2(9 10 9 Nm 2 / C 2 )( 4.11 10 9 C ) 73.9V . x x x x x 1.00m 2 2 b) Se indichiamo con x l’ascissa di un punto intermedio fra le due cariche, il valore del potenziale in tale punto è: V kq k (2q ) . x 1.00m x Imponiamo che tale valore di potenziale sia zero: 15 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria kq k (2q) 1 2 1 2 0 0 1.00m x 2 x 3x 1.00m x 1.00m x x 1.00m x x 1.00m x x 0.333m. ESEMPIO 8 – Vola via Due cariche +q e +2q sono tenute ferme sull’asse x in x = -d e x = +d, rispettivamente. Una terza carica, +3q, è lasciata libera da ferma sull’asse y, nel punto y = +d. Trova: a) il potenziale elettrico nella posizione iniziale della terza carica; b) l’energia potenziale iniziale della terza carica; c) l’energia cinetica della terza carica quando si trova infinitamente lontana dalle altre due cariche. Risoluzione a) Il potenziale elettrico totale, nella posizione iniziale, della terza carica è la somma dei potenziali dovuti alle cariche +q e +2q, entrambe a distanza 2 d . Pertanto: Vi kq d 2 k ( 2q ) d 2 3kq 2 d . b) L’energia potenziale iniziale della terza carica è: U i 3q Vi 9kq2 2 d . c) Quando la terza carica viene lasciata libera, le forze repulsive di +q e +2q causano il suo movimento fino a una distanza infinita. Applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica Ui Ki U f K f e osservato che Ki = Uf = 0, si ha: Kf 1 2 9kq2 . mv f U i 2 2 d 16 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria Osservazione – Se la terza carica fosse partita da una posizione più vicina alle altre due cariche, sarebbe stata più in alto nel “picco di potenziale” e quindi la sua energia cinetica finale sarebbe stata maggiore, coma possiamo vedere nel seguente problema. Problema - Calcolare l’energia cinetica finale nel caso in cui la terza carica sia lasciata da ferma da un punto appena al disopra dell’origine. Risoluzione In questo caso è: Vi kq k (2q) 3kq 3kq 9kq2 9kq2 . U i (3q)( ) K f Ui d d d d d d ESEMPIO 9 – Energia potenziale elettrica totale Un sistema è formato dalle cariche –q in (-d,0), +2q in (d,0) e +3q in (0,d). Calcolare l’energia potenziale totale del sistema. Risoluzione L’energia potenziale elettrica delle cariche –q e +2q è: U 12 l’energia potenziale elettrica delle cariche –q e +3q è: U 13 k (q)( 2q) kq2 ; 2d d k (q)(3q) d 2 3kq2 ; d 2 l’energia potenziale elettrica delle cariche +2q e +3q è: U 2 3 k (2q)(3q) d 2 6kq2 . d 2 L’energia potenziale elettrica totale del sistema di cariche è: U tot U 12 U 13 U 23 kq2 3kq 2 6kq2 3kq2 kq2 . d d d 2 d 2 d 2 ESEMPIO 10 – Moto di una carica in un campo elettrico Un elettrone viene iniettato fra le piastre di un condensatore piano, con una velocità v0 = 50 m/s, parallela alle piastre che distano d = 10 cm ed hanno una lunghezza L = 1.00 m, ad una distanza d/2 dalla piastra superiore positiva. Sapendo che il campo elettrico fra le piastre è di 100 N/C, (a) calcolare il tempo 17 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria impiegato a raggiungere la faccia superiore (b) calcolare qual è la distanza orizzontale percorsa; (c) dire se l’elettrone fuoriesce dal condensatore. Risoluzione a) L’elettrone è soggetto ad una forza elettrica costante, diretta verticalmente verso l’alto di modulo F eE . Di conseguenza, il moto dell’elettrone sarà composto da due moti simultanei, uno lungo l’asse x, rettilineo ed uniforme, l’altro lungo l’asse y, accelerazione costante a rettilineo ed uniformemente accelerato con F eE . Le leggi dei moti componenti sono: me me (1) x vox t v0 t (3)v x v0 1 eE 2 e eE . 2 ( 2 ) y a t t ( 4 ) v a t t y 2 2 m m e e Dalla relazione (2), per y = d/2, si ha: me d d eE 2 (9.1 10 31 kg)(0.10m) t t 0.57 10 14 s 2 7.5 10 8 s 2 2 me eE (1.6 10 19 C )(100 N / C ) b) La distanza orizzontale percorsa in t = 2.4 s è: x v0 t (50m / s )(7.5 10 8 s ) 3.75 10 6 m . c) Poiché la distanza orizzontale è minore della lunghezza L = 1 m, l’elettrone non fuoriesce dal condensatore (colpisce la piastra superiore). &2.4 – Capacità elettrica dei conduttori - I condensatori Abbiamo già visto che quando ad conduttore isolato viene fornita una carica elettrica in eccesso, Q, questa si muove attraverso il conduttore finchè non raggiunge una condizione di equilibrio elettrostatico: la prova di ciò è che se il conduttore è collegato ad un amperometro, quest’ultimo, all’inizio del processo di carica, rivela un passaggio di corrente che dopo un breve intervallo di tempo cessa. L’esperienza mostra anche che la carica in eccesso acquistata dal 18 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria conduttore si distribuisce solo sulla sua superficie esterna in modo tale che il campo elettrico associato alla carica acquisita è nullo sia nei punti interni al conduttore sia nei punti della superficie del conduttore, risultando diverso da zero nei punti all’esterno del conduttore: una conseguenza di tale modo di distribuirsi della carica in eccesso è l’effetto schermo delle gabbie metalliche, usato nelle apparecchiature elettriche. La grandezza che caratterizza come si è distribuita la carica su un conduttore è la densità superficiale di carica. In particolare, dicesi densità media di carica di una superficie S , il rapporto fra la carica presente sulla superficie e la superficie medesima: q ; S m mentre si definisce densità di carica in un punto P la quantità: P lim S 0 q dq . S dS In generale, la densità media è diversa dalla densità puntuale, poiché le cariche tendono ad addensarsi in prossimità dei punti in cui la curvatura è maggiore (potere delle punte): la densità è uniforme solo conduttori aventi simmetria e in tal caso densità di carica media e densità puntuale coincidono. Inoltre, dalla relazione E V s che lega la componente del campo elettrico lungo lo spostamento s alla variazione di potenziale lungo lo stesso spostamento, si deduce che i punti interni al conduttore e quelli della superficie del conduttore sono caratterizzati da uno stesso valore di potenziale: E 0 V 0 VA VB , A, B del conduttore. La superficie del conduttore rappresenta una superficie equipotenziale. Ciò premesso, osserviamo che al variare della carica Q, fornita al conduttore, varia anche il valore del potenziale V che il conduttore acquista ma sempre in modo tale che Q Q1 Q2 ... n cos t V1 V2 Vn A tale rapporto costante 19 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica C Teoria Q V si dà il nome di capacità elettrica del conduttore e si misura in Coulomb Farad (simbolo F). Volt La capacità di un conduttore è una grandezza che caratterizza la quantità di carica che il conduttore può acquistare per un dato valore di potenziale: dire che un conduttore ha grande capacità elettrica vuol dire che può acquisire una grande quantità di carica per un dato valore di potenziale, ma vuol dire anche che per un dato valore di carica acquisisce un basso valore di potenziale. La capacità elettrica di un conduttore è funzione delle sue dimensioni e, per un conduttore isolato, è sempre molto piccola. Infatti, il più grande dei conduttori, la Terra, ha una capacità elettrica di soli 708 μF = 7.08·10-4 F. CAPACITA’ ELETTRICA DI UN CONDUTTORE SFERICO Se consideriamo un conduttore sferico di raggio R e forniamo ad esso una carica Q, sappiamo che tale carica si distribuisce sulla sua superficie in modo tale che il campo elettrico è nullo in tutti i punti interni e di frontiera e in modo tale che tutti i suoi punti, interni e di frontiera, sono allo stesso potenziale. Calcoliamo il valore del potenziale elettrico, dei punti interni e di frontiera del conduttore sferico, alla maniera seguente. Dividiamo la superficie sferica in n superfici elementari, Si, così piccole da potersi considerare puntiformi e dotate di carica qi e calcoliamo il valore del potenziale elettrico generato da queste cariche nel centro della sfera (tale valore sarà uguale per tutti i punti della sfera): kq1 V1 R V kq2 k Q k kQ 2 V R Vtot V1 V2 ... Vn (q1 q 2 ... q n ) R R R ... V kqn n R Per definizione sarà allora: 20 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica C Teoria Q Q R R R Q C 4 R . V kQ kQ k k R Tale espressione mostra che la capacità dipende dal mezzo isolante (dielettrico) e dalle dimensioni del conduttore. Nel caso della Terra, si ha: C 2 6370km 6.370 10 6 m C 2 C C 3 C 0 . 708 10 708 10 6 708 10 6 2 9 2 J N m V Nm 9 10 N m 9 10 9 2 C C 708F . RT k0 CTerra Il precedente risultato mostra chiaramente che la capacità elettrica di un conduttore isolato, per quanto grande possa essere, è pur sempre molto piccola: l’esperienza mostra che è possibile aumentare la capacità del conduttore avvicinando ad esso un altro conduttore neutro: infatti, per effetto dell’induzione elettrica, sul secondo conduttore si originano cariche di segno opposto (cariche indotte) il cui effetto è di ridurre il valore del potenziale del primo conduttore, aumentando così la sua capacità. Un dispositivo costituito da due conduttori, ravvicinati e separati da un isolante, prende il nome di condensatore elettrico: i due conduttori prendono il nome di armature del condensatore. I condensatori possono essere di vario tipo e sono classificati in base alla forma e alla modalità con cui vengono separate le armature. CLASSIFICAZIONE DEI CONDENSATORI (1) In base alla forma, i condensatori possono essere: piani: le armature sono due lastre metalliche piane e parallele, separate da un isolante; 21 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria cilindrici: le armature sono costituite da due cilindri metallici coassiali, ciascuna dotata di un terminale metallico necessario per il collegamento all’interno di un circuito; sferici: le armature sono costituite da due sfere metalliche sottili, concentriche, dotate entrambe di terminali metallici per il collegamento e l’inserimento nei circuiti elettrici. (2) In base al tipo di costruzione, i condensatori possono essere: a carta: le armature sono costituite da due strisce sottili di alluminio (o altro materiale similare) arrotolate l’una sull’altra e separate da strisce di carta (dielettrico). L’involto così ottenuto, è inserito in un contenitore isolante, dal quale fuoriescono i due elettrodi collegati con le armature. Sull’involucro, sono riportati i valori della capacità del condensatore e la tensione massima che si può applicare al condensatore, perché esso non venga danneggiato: una tensione superiore a quella indicata, può creare fra le armature del condensatore un campo elettrico così elevato capace di produrre una corrente elettrica anche se vi è un isolante. Gli effetti della corrente potrebbero danneggiare il condensatore (effetto di fusione). Essi hanno normalmente una capacità compresa fra 500 pF e 0.5 μF. A polistirolo o a poliestere: la loro struttura è analoga a quella dei condensatori a carta. Ceramici: le armature sono costituite da due sottili strati di materiale metallico, ad esempio di argento, depositati sulle due facce opposte di un disco di ceramica (dielettrico). Questi condensatori sono caratterizzati dall’aver una grande capacità e dimensioni ridotte. 22 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria Elettrolitici: le armature sono costituite da lastre di alluminio, sulle cui facce vi è un sottile strato di ossido di alluminio (dielettrico), separate da uno strato di garza o di carta, imbevuto di una soluzione salinica, perciò conduttrice, che ha il compito di rinnovare e ripristinare continuamente il sottile strato di dielettrico durante il funzionamento. Per questo tipo di condensatore, è importante rispettare la polarità degli elettrodi nei collegamenti, il polo positivo della pila va collegato con il + del condensatore e, conseguentemente, il polo negativo della pila va collegato con il – del condensatore, perché altrimenti il campo elettrico generato dalla pila, esercitando una forza elettrica sulle molecole polarizzate dello strato di dielettrico, asporterebbe lo strato di ossido di alluminio e in tal caso le armature non sarebbero più isolate fra loro (il condensatore perderebbe la capacità di caricarsi). PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO DEI CONDENSATORI La proprietà fondamentale di un condensatore è quella di poter accumulare e conservare una carica elettrica sulle sue armature, carica che il condensatore restituisce quando viene inserito in un circuito elettrico. Infatti, collegando le armature del condensatore ai due poli di una batteria, l’armatura collegata al polo positivo perde elettroni e si carica positivamente mentre quella collegata al polo negativo della batteria acquista elettroni, in un processo che termina quando ciascuna armatura ha assunto una quantità di carica tale da impedire l’arrivo di ulteriori cariche dello stesso segno di quelle già presenti su di essa: in particolare, l’armatura che si carica positivamente, per la perdita di elettroni, impedisce che altri elettroni possano passare dalla sua superficie al polo della positivo della pila, così come l’armatura che si carica negativamente, per l’arrivo di elettroni provenienti dalla pila, impedisce che altri elettroni possano arrivare su di essa. 23 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria Alla fine di ogni processo di carica, si ha che: 1) le due armature del condensatore possiedono, rispettivamente, una carica +Q, -Q. Si osservi che il procedimento di carica del condensatore può pensarsi anche come un trasferimento diretto di elettroni da un’armatura all’altra, con la batteria che svolge il lavoro di pompaggio; 2) le due armature, per effetto del contatto elettrico, sono allo stesso potenziale dei poli della batteria così che fra le armature del condensatore si è stabilita la stessa d.d.p. che esiste fra i poli della batteria. La carica acquista dal condensatore dipende dalla differenza di potenziale applicata alle sue armature. L’esperienza mostra che fra la carica Q, acquistata da ciascuna armatura, e la differenza di potenziale ΔV, che si stabilisce fra di esse, vi è una relazione di proporzionalità diretta. Al rapporto costante C Q V fra carica acquisita da ciascuna armatura e differenza di potenziale che si stabilisce fra le armature del condensatore si dà il nome di capacità elettrica e si misura in farad ( 1F 1C ). 1V CAPACITA’ DI UN CONDENSATORE PIANO Consideriamo un condensatore piano le cui armature hanno una superficie di area S, distanti d e separate da un isolante di costante dielettrica ε. Se colleghiamo l’armatura A al polo positivo di un generatore (pila, batteria) e l’armatura B al polo negativo, esse acquisteranno, rispettivamente, una carica +Q e –Q e si porteranno ad una differenza di potenziale ΔV: il rapporto costante fra Q e ΔV è la capacità del condensatore, C Q . V 24 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria La differenza di potenziale può essere calcolata come segue. Sappiamo che fra le armature di un condensatore piano, elettricamente carico, si crea un campo elettrico uniforme avente: direzione perpendicolare alle due armature; verso dalla piastra positiva, A, alla piastra negativa, B; intensità E . Poiché il campo elettrico è uniforme, esso eserciterà una forza elettrica costante su una qualunque carica sonda che si trovi fra le armature del condensatore: Se poniamo una carica +q, in un punto molto vicino alla piastra positiva A, con velocità iniziale nulla ( v0 = 0), essa subirà l’azione di una forza elettrica F q0 E , nella stessa direzione e verso del campo elettrico, che la spingerà con moto uniformemente accelerato verso la piastra B, lungo la linea di forza del campo elettrico. Il lavoro fatto dal campo, sulla carica, lungo lo spostamento d, è in tal caso: L F d L q (VA VB ) Ma sappiamo anche che: e quindi: q (V A VB ) F d V A VB F d qEd Qd Qd Ed d V A VB q q S S . Di conseguenza, la capacità del condensatore piano è: C Q Q S V A VB Qd d S C S d Da tale relazione, si deduce che la capacità elettrica di un condensatore piano è: 25 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria 1. direttamente proporzionale all’area delle armature; 2. direttamente proporzionale alla costante dielettrica del mezzo isolante che separa le armature; 3. inversamente proporzionale alla distanza delle armature. È possibile, allora, aumentare la capacità di un condensatore o aumentando la superficie delle armature o utilizzando un isolante avente una costante dielettrica maggiore o, infine, diminuendo la distanza delle armature. Esistono condensatori di capacità variabile, per i quali è possibile far variare o la distanza delle armature o la superficie comune delle armature (vedi dispositivo del laboratorio). LAVORO DI CARICA – ENERGIA IMMAGAZZINATA IN UN CONDENSATORE Abbiamo già detto che il procedimento di carica di un condensatore può essere interpretato come un trasferimento di elettroni da un’armatura all’altra. Tale trasferimento richiede necessariamente un lavoro, perché non appena la carica di ciascuna armatura diventa diversa da zero, tale carica tende ad opporsi ad ogni ulteriore variazione di carica. In particolare, l’armatura che perde elettroni, assumendo una carica positiva, tende ad opporsi ad ogni ulteriore allontanamento di elettroni, così come l’armatura che acquista elettroni, assumendo una carica negativa, tende ad opporsi all’arrivo di altri elettroni: in questa fase, è la pila che fornisce l’energia necessaria alle cariche elettriche per trasferirsi da una armatura all’altra. Il procedimento di carica termina quando la carica positiva di un’armatura, e negativa dell’altra, diventano sufficientemente grandi, tali da impedire ogni altro trasferimento di carica. Calcoliamo il lavoro necessario per portare una carica +Q sull’armatura positiva e stabilire una d.d.p. V fra le armature. Poiché, durante la fase di carica, la differenza di potenziale fra le armature varia continuamente, per calcolare il lavoro del campo elettrico, creato dalla pila, non possiamo utilizzare la relazione L Q V , perché questa si può applicare solo quando la carica Q trasferita non fa variare il potenziale V fra i punti del campo. Nel caso del condensatore, invece, il potenziale varia continuamente, passando dal valore V = 0 al valore massimo V = Q/C, con un andamento del tipo: 26 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria In questo caso, possiamo procedere come segue. Il trasferimento della carica totale Q si può pensare come una successione di trasferimenti elementari di carica Δqi così piccoli che la variazione di potenziale fra le armature si possa considerare costante e uguale a Vi, potenziale assunto nella fase di carica precedente . In tali trasferimenti elementari, il lavoro compiuto è: L1 V1 q1 0 L V q 2 2 2 L3 V3 q3 .. Ln Vn q n e il lavoro totale è: L L1 L2 .. Ln V1 q1 V2 q2 .. Vn qn che rappresenta l’area dello scaloide rappresentato in figura. Se facciamo aumentare il numero dei procedimenti di carica, lo scaloide tende a coincidere con il triangolo di base Q e altezza V, e di conseguenza il lavoro di carica del condensatore è dato dall’area del triangolo: L 1 Q V 2 Tenuto conto della definizione di capacità, si hanno le seguenti ulteriori formule: Q C V L Q C Q V V C L 1 C V 2 2 1 Q2 2 C Poiché quando si carica un condensatore si crea un campo elettrico, il lavoro necessario per caricare un condensatore è anche il lavoro necessario per creare un campo elettrico fra le armature del condensatore. Questa è una condizione del tutto generale: 27 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria “ Tutte le volte che si vuole creare un campo elettrico si deve fare un lavoro di carica ovvero occorre fornire energia”. L’energia fornita viene immagazzinata in ogni punto del campo, sotto forma di energia potenziale elettrica, disponibile per ogni carica che si venga a trovare in un punto del campo. È questo un nuovo modo di vedere il fenomeno: un’energia associata ad un ente non materiale qual è il campo elettrico. Una grandezza che caratterizza quantitativamente l’energia associata ad un campo elettrico è la densità di energia definita come l’energia per unità di volume: u Energia Volume Nel caso di un condensatore piano, la densità di energia è data da: 1 S 1 (E d ) 2 CV 2 1 S E 2 d 2 1 1 u 2 2 d E 2 u E 2 2 S d S d 2 d S d 2 È questa la densità di energia ovvero la quantità di energia accumulata in ogni unità di volume nel quale l’intensità del campo è E. Tale relazione è valida per qualsiasi campo elettrico. COLLEGAMENTO DEI CONDENSATORI Esistono due modalità di collegamento dei condensatori: in serie e in parallelo. (a) Nel collegamento in serie, i condensatori hanno solo un’armatura in contatto elettrico, mediante un filo conduttore, e sono inseriti fra i terminali di un generatore (collegamento testa-coda). L’armatura collegata con il polo positiva della pila si carica positivamente e induce una carica negativa sulla 28 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria piastra inferiore immediatamente più vicina e una carica indotta positiva sull’armatura più lontana, che a sua volta induce una carica positiva sull’armatura opposta, e così via. Tale situazione è rappresentata dalla figura seguente in cui vi sono tre condensatori collegati in serie: Il risultato complessivo è che tutte le armature hanno la stessa carica, mentre il potenziale è diverso perché i condensatori hanno una diversa capacità. In particolare è: C1 Q Q Q , C 2 , C3 V1 V2 V3 con: V1 V2 V3 V . E’ possibile sostituire il sistema di condensatori, collegati in serie, con un unico condensatore, elettricamente equivalente al sistema di condensatori, che, inserito fra la stessa d.d.p., assume una carica uguale alla carica dei singoli condensatori, Q = Q1 = Q2 = Q3 (vedi fig. a destra) e potenziale uguale alla somma V dei potenziali. Si dimostra che la capacità C di un condensatore equivalente di due condensatori collegati in serie e aventi capacità rispettiva C1 e C2, è tale che: C 1 C11 C 21 . 29 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria Infatti: C 1 1 1 V V1 V2 V1 V2 1 1 1 1 1 1 C1 C 2 . Q Q Q C Q Q Q Q C1 C 2 V V1 V2 E’ facile constatare che la capacità totale di due condensatori collegati in serie è minore della capacità di ciascuno dei condensatori componenti: C C1 C C2 . Infatti: Q V C1 Q Q . C eq 1 V V1 V2 Q C2 V2 (b) Nel collegamento in parallelo, entrambe le armature sono collegate elettricamente, mediante un filo conduttore, e inserite far i terminali di un generatore (collegamento testa-testa, coda-coda). Le due armature collegate con il polo positivo (a) della pila si caricano positivamente, mentre le due armature collegate al polo negativo (b) della pila si caricano negativamente: all’equilibrio elettrostatico, fra le armature si stabilisce la stessa differenza di potenziale esistente fra i capi della pila (es. 1.5 V), mentre la carica presente sulle armature di ciascun condensatore è differente, poiché il valore della carica, a parità di potenziale, dipende dalla capacità di ciascuno di essi. Tale situazione è rappresentata dalla figura seguente in cui vi sono tre condensatori collegati in parallelo: E’ possibile sostituire un sistema di condensatori, collegati in parallelo, con un unico condensatore, elettricamente equivalente al sistema di 30 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria condensatori, che, inserito fra la stessa d.d.p., assume una carica totale uguale alla somma delle cariche dei singoli condensatori, Q = Q 1 + Q2 (vedi fig. a destra). Si dimostra che la capacità del condensatore equivalente di due condensatori collegati in parallelo e aventi capacità rispettiva C1 e C2, è: C eq C1 C 2 . Infatti: Ceq Q Q1 Q2 Q1 Q2 C1 C2 . V V V V Da tale uguaglianza si deduce che, collegando in parallelo due o più condensatori, la capacità del sistema aumenta. &2.5 - I dielettrici In tutti i condensatori, tra le armature è inserito del materiale isolante, ad esempio di carta o di plastica. Tale materiale isolante, che viene denominato dielettrico, ha le seguenti funzioni: 1. impedire che fra le armature del condensatore, quando questo è stato caricato elettricamente, possa avvenire una scarica elettrica; 2. consentire di arrotolare le armature per ottenere condensatori di piccole dimensioni; 3. aumentarne la capacità e, con essa, aumentare l’energia massima immagazzinabile nel condensatore. Analizziamo in dettaglio, cosa avviene in un condensatore quando introduciamo un dielettrico fra le sue armature, esaminando dapprima il caso in cui il dielettrico è inserito a generatore staccato dal condensatore e, successivamente, il caso in cui il dielettrico è inserito nel condensatore mentre questo è collegato con il generatore. a) Generatore disinserito. Se, dopo aver caricato un condensatore, stacchiamo il generatore e inseriamo fra le armature un dielettrico, il campo elettrico del condensatore esercita una forza elettrostatica su tutte le cariche che si trovano al suo interno. In particolare, il campo elettrico determina una polarizzazione delle molecole del 31 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria dielettrico, con i dipoli orientati nel verso opposto a quello del campo: l’effetto risultante è un indebolimento del campo e una diminuzione dell’energia potenziale elettrica immagazzinata nel campo, senza che avvenga una variazione della carica presente sulle armature, essendo il condensatore isolato ( il generatore è disinserito). Se indichiamo con F0, E0 e V0 i valori della forza elettrostatica, del campo elettrico e della differenza di potenziale quando fra le armature vi è il vuoto e con F, E e V i valori quando è presente il dielettrico, ricordando che r F0 F (rapporto fra la forza nel vuoto e la forza nel mezzo, sempre >1), si deduce che: 1) r F0 qE0 E0 F qE E 2) r F0 E0 V0 F E V Poichè εr >1, si può affermare che sia il campo elettrico sia la differenza di potenziale fra le armature si riducono di un fattore ε r, che è una costante caratteristica del dielettrico. Si osservi che la relazione (2) permette di calcolare la costante dielettrica relativa di un qualsiasi mezzo isolante: è sufficiente misurare la differenza di potenziale esistente fra le armature di un condensatore senza e con il dielettrico, a batteria staccata, e fare il rapporto delle due misure di potenziale. 3) Poiché la batteria è scollegata e il condensatore è isolato, la carica del condensatore rimane invariata, Q = Q0, e la capacità diventa: C Q Q Q0 r 0 r C0 V V0 V0 r La capacità aumenta di un fattore εr. 4) Infine, calcoliamo il nuovo valore dell’energia immagazzinata nel condensatore: Q02 2C 0 Q02 U Q2 U 0 2 C 2 r C 0 r r Con l’introduzione di un dielettrico, a batteria scollegata, l’energia potenziale immagazzinata nel condensatore è una frazione di quella fornita dalla batteria: 32 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria la differenza di energia mancante è stata utilizzata dal condensatore che ha eseguito un lavoro sul dielettrico, durante la fase di inserimento. In conclusione, se si inserisce un dielettrico in un condensatore, mentre la batteria è scollegata, si può affermare che: L’intensità del campo elettrico diminuisce ( E 1 r E0 ) La differenza di potenziale fra le armature diminuisce ( V 1 r V0 ) L’energia potenziale elettrica immagazzinata diminuisce ( U 1 r U0 ) La capacità elettrica del condensatore aumenta ( C r C0 ) La carica Q del condensatore rimane costante. b) Generatore inserito. Se invece il dielettrico viene inserito mentre il generatore è ancora collegato, la differenza di potenziale fra le armature resta invariata, uguale a quella del generatore che, durante tutta la fase di inserimento, compie un lavoro supplementare per portare una carica supplementare sulle due armature. L’energia supplementare fornita dal generatore viene immagazzinata nel condensatore sotto forma di energia potenziale elettrica (U > U0). In tale processo: 1) La differenza di potenziale rimane costante: V = V0 2) La carica aumenta: Q r Q0 Q0 3) La capacità aumenta: C Q r Q0 r C0 C0 V V0 4) L’energia potenziale immagazzinata aumenta: U 1 1 CV 2 r C 0V02 r U 0 U 0 2 2 Pertanto, si può concludere che un dielettrico aumenta sempre la capacità di un condensatore di un fattore εr, indipendentemente dal fatto che esso sia inserito in un condensatore isolato o collegato con un generatore. Nel caso di un condensatore piano con dielettrico, la capacità elettrica è C r C0 r 0 S S d d dove: 33 Capitolo 2 – Potenziale e capacità elettrica Teoria ε = ε0 εr è la costante dielettrica assoluta del mezzo S è l’area delle armature del condensatore d è la distanza fra le armature. 34
