R - Università degli studi di Bergamo

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO
Facoltà di Ingegneria
Corso di Economia Applicata
pp
all’Ingegneria
g g
prof.ssa Maria Sole Brioschi
Le decisioni aziendali di lungo periodo
DLP-L
Corso 60001 – Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Edile – Anno Accademico 2009/2010
Agenda della lezione
• Elementi di matematica finanziaria
• Definizione di valutazione degli investimenti e di investimento
• Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di
investimento
• Criteri
C it i di valutazione
l t i
d
degli
li iinvestimenti
ti
ti
– Valutazione di progetti indipendenti
– Scelta
S lt ttra progetti
tti alternativi
lt
ti i
• In presenza di vincoli sulle risorse
• Di diversa durata
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 2
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Facoltà di Ingegneria
Elementi di matematica finanziaria
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Matematica finanziaria
pagina 3
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Facoltà di Ingegneria
• Valore temporale del capitale e costo opportunità del capitale
• Capitalizzazione,
C it li
i
valore
l
ffuturo
t
e composizione
i i
d
degli
li iinteressi
t
i
• Attualizzazione e valore attuale
• Rendita annua (annuity) e rendita perpetua (perpetuity)
• Piano di ammortamento del debito
• Tasso annuo nominale (TAN), tasso annuo effettivo (TAE) e tasso annuo
effettivo globale (TAEG)
• Tassi di interesse non costanti
• Tassi di interesse nominali vs tassi di interesse reali
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Matematica finanziaria
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Valore temporale del capitale
1 € di oggi vale più, meno o come 1 € tra un anno?
• Valore temporale del capitale (time value of money)
1 € disponibile oggi può essere investito per generare nel futuro un ritorno
positivo; p
p
pertanto 1 € disponibile
p
oggi
gg vale di p
più di 1 € disponibile
p
domani
(primo principio della finanza)
• Ad esempio, se è possibile investire € 100 al 10% annuo, € 100 oggi
di
diventano
€ 110 tra un anno
• In ggenerale, se r è il tasso di interesse annuo e C il capitale
disponibile
oggi
p
p
gg
per l’investimento, in un anno l’investimento cresce di (1 + r) per ogni €
investito. In formule
C oggii
C * (1 + r)) tra un anno
t
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Matematica finanziaria
pagina 5
C * (1+r)
(1 )
C
t+1
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Costo opportunità del capitale
• Costo opportunità del capitale (opportunity cost of capital)
È definito
d fi i come il miglior
i li rendimento
di
alternativo
l
i a cuii sii rinuncia
i
i quando
d
viene effettuato un investimento
– È utile per capire come rendere “omogenei” e quindi confrontabili flussi
d cassa con manifestazione
di
f
in momenti diversi
d
• Esempio
p
Vi propongono due opportunità di investimento
– Investire € 100.000 oggi in un progetto per avere tra un anno un ritorno
atteso
tt
di € 110.000
110 000
– Investire in titoli di stato al tasso annuo del 3%
• Investendo
I
t d nell progetto
tt avete
t un rendimento
di
t atteso
tt
d
dell 10%
10%, ma rinunciate
i
i t all
rendimento offerto dall’impiego alternativo del capitale (3%), che pertanto
costituisce il vostro costo opportunità del capitale
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Matematica finanziaria
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Facoltà di Ingegneria
9 Costo opportunità del capitale : un’applicazione (1)
• Si consideri un progetto di acquisto per € 30.000 di una Radio con l’obiettivo di
svilupparne l’attività e il prestigio e poterla rivendere dopo un anno. Si ipotizzi
che
h
– Il pagamento della Radio sia contestuale all’acquisto
– Il p
progetto
g
p
preveda l’assunzione di un g
giovane e bravo DJ
– La remunerazione del DJ e gli altri costi di gestione ammontino
complessivamente per il periodo a € 15.000 e i suddetti costi debbano
pagati
g anticipatamente
p
essere p
– La Radio possa essere rivenduta, dopo un anno, per € 47.000 (esiste già un
acquirente affidabile disposto a pagare questo prezzo)
• In questa situazione la semplice somma algebrica dei flussi di cassa che
descrivono l’investimento produce un risultato apparentemente positivo
Fonte: “Sistemi di controllo”, Anthony et al.
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9 Costo opportunità del capitale : un’applicazione (2)
Incasso da cessione della Radio (A)
Esborso per l’acquisto della Radio (B)
Esborsi per il DJ e gli altri costi di gestione (C)
Esborso totale (D = B + C)
Differenza tra incassi ed esborsi (E = A – D)
47.000
30.000
15.000
45.000
2 000
2.000
• Poiché i flussi di cassa hanno manifestazione temporale diversa, non ha nessun
significato
i ifi t effettuare
ff tt
una semplice
li somma algebrica
l b i per valutare
l t
lla
convenienza dell’investimento
– Infatti, 1 € disponibile oggi vale più di 1 € disponibile domani
• Il problema si risolve rendendo “omogenei” i due flussi, convertendoli in flussi
q come se avessero tutti manifestazione nel
di cassa confrontabili, dunque
medesimo istante
Fonte: “Sistemi di controllo”, Anthony et al.
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9 Costo opportunità del capitale : un’applicazione (3)
In € all’istante
iniziale
Tasso di
capitalizzazione
Incasso da cessione
In € di un
anno dopo
€
Esborso per l’acquisto della Radio
€
Esborso per il DJ e altri costi di gestione
30.000
15.000
Esborsi totali
45.000
1,05
1,05
47.000
31.500
15.750
47.250
Risultato economico
- 250
• Come è stato determinato il fattore di conversione o tasso di capitalizzazione
p
presente nella tabella che converte € disponibili oggi in € disponibili domani ?
• È stato necessario verificare il rendimento di investimenti alternativi,
alternativi
comparabili, in termini di rischio e durata, al Progetto
Radio
Fonte: “Sistemi di controllo”, Anthony et al.
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Facoltà di Ingegneria
9 Costo opportunità del capitale : un’applicazione (4)
• In particolare, si ipotizzi che il rendimento che si otterrebbe investendo sui
mercati finanziari in un progetto alternativo avente lo stesso livello di rischio
d l Progetto
del
P
Radio,
R di ossia
i il costo opportunità
i à del
d l capitale,
i l sia
i del
d l 5%
• Se impiegassimo
p g
oggi
gg i € 45.000 necessari al p
progetto
g
((€ 30.000 + € 15.000)) e li
investissimo nel progetto alternativo, fra un anno disporremmo di una somma
pari a
€ 45.000 * ((1 + 0,05)) = € 47.250
• In sintesi, non conviene investire nel Progetto Radio perché l’entrata di cassa
di € 47.000
47 000 generata dopo un anno dall’impiego
dall impiego del denaro (€ 45.000
45 000 ) risulta
inferiore all’ammontare di € 47.250, costituito dall’esborso iniziale di € 45.000
più il corrispondente costo opportunità di € 2.250, di cui disporremmo dopo un
anno investendo nel progetto alternativo
Fonte: “Sistemi di controllo”, Anthony et al.
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Valore futuro
• Valore futuro (future value, VF)
Il valore
l
futuro
f
è il montante ad
d una d
data ffutura di un capitale
i l disponibile
di
ibil oggii
come conseguenza della maturazione degli interessi
• Esempio - 1 periodo
Investite € 1.000 al 12% annuo. Qual è il valore futuro tra un anno?
VF = € 1.000
1 000 * (1 + 0,12)
0 12) = € 1.120
1 120
determinato dalla somma iniziale di € 1.000 più € 120 di interessi
(12% * € 1000 = € 120)
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Facoltà di Ingegneria
Composizione degli interessi (1)
• Composizione degli interessi (compounding)
Qual è il valore futuro di € 1.000 investiti per 2 anni al 12% annuo?
–
Dopo un anno avete € 1.120 [€ 1.000 * (1 + 0,12)]
–
Q
Questa
somma viene investita p
per un altro anno, sempre
p al 12%.
Alla fine del secondo anno avete pertanto
VF = € 1.120 *(1 + 0,12) = € 1.000 * (1 + 0,12) * (1 + 0,12) = € 1.254,4
–
Nel secondo periodo la crescita del capitale è pari a
€ 1.254,4 – € 1.120 = € 134,4
così composto
•
•
12% sulla somma iniziale (€ 1.000)
12% sugli interessi del primo anno (€ 120)
1.000
t
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1.000
120
t+1
1.000
120
134,4
€ 120,0
€ 14,4
€ 134,4
t+2
Matematica finanziaria
pagina 12
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Facoltà di Ingegneria
Composizione degli interessi (2)
– In altre parole, il calcolo degli interessi viene effettuato anche sugli interessi
maturati nei periodi precedenti
– E perciò, in generale, se si investe ad un tasso annuo r per t anni, il valore
futuro di ogni € investito è pari a
(1 +r) * (1 + r) * …. * (1 + r) = (1 +r) t
t volte
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Facoltà di Ingegneria
Composizione degli interessi (3)
• Esempio
r
10%
20%
t= 1
100
200
2x
Interessi su €1000 dopo t anni (€)
t= 5
t= 10
t= 20
610.5
1,583.7
5,727.5
1,488.0
,
5,191.7
,
37,337.6
,
2.4x
3.3x
6.5x
40000
Il calcolo degli
interessi viene
effettuato
anche sugli
interessi
maturati nei
periodi
precedenti
30000
r=10%
20000
r=20%
10000
0
0
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5
10
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pagina 14
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Composizione degli interessi (4)
• Regime di capitalizzazione semplice e regime di capitalizzazione composta
a. Interesse composto – di periodo in periodo gli interessi maturano anche
sugli interessi maturati precedentemente (v. supra)
Ad esempio, in regime di capitalizzazione composta il valore futuro di €
1 000 iinvestiti
1.000
titi all 12% annuo per 6 annii è
VF = € 1.000 * (1 + 0,12)6 = € 1.973,8
b. Interesse semplice – gli interessi vengono calcolati solamente sulla somma
iniziale
Ad esempio, in regime di capitalizzazione semplice il valore futuro di €
1.000 investiti al 12% annuo per 6 anni è
VF = € 1.000
1 000 * (1 + 0,12
0 12 * 6) = € 1.720
1 720
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Matematica finanziaria
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Facoltà di Ingegneria
Valore attuale (1)
• Attualizzazione e valore attuale
Il valore attuale è il valore oggi di una somma di capitale disponibile nel futuro
• Esempio - Attualizzazione - 1 periodo
–
–
–
–
Quanto
Q
t sii d
deve iinvestire
ti oggii con un ttasso annuo d
dell’11%
ll’11% per ottenere
tt
€ 2.000 tra un anno?
La risposta a questa domanda è il valore attuale di € 2.000 tra un anno
all’11%
ll’11%
Sappiamo dalle formule del valore futuro che VA * (1 + 0,11) = € 2.000
Pertanto
VA = € 2.000 = € 1.801,8
(1 + 0,11)
• Esempio - Attualizzazione - t periodi
–
E per ottenere € 2.000 tra 5 anni?
VA * (1 + 0,11)5 = € 2.000 ⇒ VA = € 2.000 = € 1.186,9
(1 + 0,11)5
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Valore attuale (2)
• Attualizzazione e valore attuale
VF = VA * (1 + r))t
–
–
Quattro variabili: VF, VA, r, t
Date 3 qualsiasi di esse è possibile risolvere per la quarta
/ –1
r = (VF/VA)1/t
t=
VA =
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lnVF – lnVA = ln (VF/VA)
ln(1 + r)
ln(1 + r)
VF
(1 + r)t
Matematica finanziaria
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Facoltà di Ingegneria
Valore attuale (3)
• Esempio
–
S il vostro
Se
t investimento
i
ti
t raddoppia
dd
i in
i 5 anni,
i quall è il tasso
t
annuo??
r = (2/1)1/5 – 1 = 0,1487 = 14,87%
–
Ad un tasso del 30% quanto tempo ci vuole affinché l’investimento
pp
raddoppi?
t = ln(2/1) / ln(1,3)= 2,64 anni
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Matematica finanziaria
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Facoltà di Ingegneria
Valore futuro e valore attuale
F t
Future
V
Value
l (FV)
10.00
r = 15%
6.00
r = 10%
4.00
r = 5%
2.00
Valore Attuale (VA)
0 00
0.00
1.00
0
5
10
15
Time
0.80
PV Factor
FV Factor
8.00
0.60
r = 5%
0.40
%
r = 10%
0.20
r = 15%
0.00
0
5
10
Time
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Matematica finanziaria
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15
Flussi di cassa multipli
• Flussi di cassa multipli
• Esempio
E
i
r = 9% con flussi di cassa alla fine del periodo
Anno
Flusso (€)
–
1
4
6
2.500
900
3.600
Qual è il VA della serie e qual è il VF dopo 7 anni?
VA =
2.500 + 900 + 3.600 = 5.077,7
(1,09)6
(1,09)1 (1,09)4
VF =
=
2.500 * (1 + 0,09)6 + 900 * (1 + 0,09)3 + 3.600 * (1 + 0,09)1 = 9.282,3
VA * (1 + r)t = 5.077,7 * (1 + 0,09)7 = 9.282,3
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Matematica finanziaria
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Facoltà di Ingegneria
Annuity (rendita annua) (1)
• Annuity
Serie di flussi di cassa costanti percepiti ad intervalli regolari (ogni anno) per
un certo periodo
d di
d tempo
–
Qual è il VA di una serie di flussi costanti C per T anni al tasso r ?
VA =
C
+ C + C +…+ C
+ C
((1 + r))1 ((1 + r))2 ((1 + r))3
((1 + r))T-1 ((1 + r))T
(1)
moltiplicando per (1+ r)
(1+r) * VA = C
+
C
+ C +…+ C
+
C
(1 + r)1
(1 + r)2
(1 + r)T-2
(1 + r)T-1
(2)
sottraendo
tt
d lla (1) d
dalla
ll (2) sii ottiene
tti
r * VA = C – C/(1+r)T
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⇒
Matematica finanziaria
pagina 21
VA = C - C *
1
r
r
(1 r)T
(1+r)
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Facoltà di Ingegneria
Annuity (2)
• Valore futuro di una annuity
Partendo dalla formula appena calcolata
VA
FV
=
C
C
1
−
*
r
r
(1 + r
= VA * (1 + r )
C
C
T
(
)
=
* 1 + r
−
r
r
C
T
=
* (1 + r ) − 1
r
T
(
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)T
Matematica finanziaria
pagina 22
)
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Facoltà di Ingegneria
Annuity (3)
• Numero di pagamenti / flussi di cassa di una annuity
Partendo dalla formula appena calcolata
(
C
T
* (1 + r ) − 1
r
FV * r
T
1+
= (1 + r )
C
FV
ln
=
((1 +
r
)T
)= T
)
* ln (1 + r
)=
FV * r ⎞
⎛
ln ⎜ 1 +
⎟
C
⎝
⎠
FV * r ⎞
⎛
ln ⎜ 1 +
⎟
C
⎝
⎠
T =
ln (1 + r )
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Matematica finanziaria
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Facoltà di Ingegneria
Annuity (4)
• Annuity
Valore attuale
C ⎛
1
VA =
* ⎜⎜ 1 −
T
r ⎝
(1 + r )
Valore
l
f
futuro
⎞
⎟⎟
⎠
Numero di pagamenti
Flussi di cassa
⎛ FV *r ⎞
l ⎜1+
ln
⎟
C ⎠
⎝
T=
ln(1+ r )
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(
C
T
FV =
* (1 + r ) − 1
r
FV * r
C=
T
(1+
1 + r ) −1
(
Matematica finanziaria
pagina 24
)
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)
Annuity (5)
• Annuity
C = 4.000
r = 0,08
T=6
• Esempi
Qual è il VA di un’annuity della durata di 6 anni con pagamenti di € 4.000
al tasso r = 8%?
VA = (C/r) * [1 – 1/(1+r)T] = (4.000/0,08) * [1 – 1/(1 + 0,08)6]
= € 18.491,5
Prendete a prestito € 30.000 oggi al tasso del 12% e scegliete di ripagarlo con
un’annuity di 10 anni
Qual è il pagamento annuale?
30.000 = (C/0,12) * [1 – 1/(1 + 0,12)10] ⇒ C = 30.000/5,65
= € 5.309,5
VA = 30.000
r = 0,12
T = 10
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
Matematica finanziaria
pagina 25
Università degli Studi di Bergamo
Facoltà di Ingegneria
Annuity (6)
• Esempio
Valore attuale dei rimborsi
–
Miss Smart accetta di ripagare il suo prestito bancario in 24 rate mensili
da € 500 ciascuna
Se il tasso di interesse applicato dalla banca è dello 0,75% su base
mensile, qual è il valore attuale della serie di pagamenti?
VA = (C/r) * [1 – 1/(1+r)T]
VA24 = (500/0,0075) * [1-1/(1,0075)24] = € 10.944,57
C = 500
r = 0,0075
T = 24
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2009 / 2010
Matematica finanziaria
pagina 26
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Facoltà di Ingegneria
Growing annuity (rendita annua a rendimento crescente) (1)
• Growing annuity
Se in una annuity il flusso di cassa Ct (t = 1 … T) cresce ad un tasso costante g,
g
se cioè
C1
C2 = C1 * (1 + g))
C3 = C2 * (1+g)
…
CT = CT-1 * (1 + g) = C1 * (1 + g)T-1
ll’annuity
annuity è denominata a rendimento crescente e il suo valore attuale è
VA = C1 - C1 * (1 + g)T
r–g
r–g
(1 + r)T
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2009 / 2010
Matematica finanziaria
pagina 27
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Facoltà di Ingegneria
Growing annuity (2)
• Growing annuity
C1 = 400 * (1 + 0,03) * 5.000
r = 0,10
g = 0,03
T = 20
• Esempio
Si consideri il caso di una miniera d’oro in cui abbiamo il diritto di estrarre oro
per i prossimi 20 anni. Si prevede di estrarre 5.000 once d’oro
d oro all’anno.
all anno. Il
prezzo dell’oro oggi (t = 0) è di 400 €/oncia ma ne si stima un tasso di crescita
del 3% all’anno. Il tasso di sconto è pari al 10%
Calcolare il VA della rendita annua a rendimento crescente
VA = C1 - C1 * (1 + g)T
r–g
r–g
(1 + r))T
VA = 2.060.000 – 2.060.000 * ((1 + 0,03))20
0,10 - 0,03 0,10 - 0,03 (1 + 0,10)20
= € 21.527.973
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
Matematica finanziaria
pagina 28
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Facoltà di Ingegneria
Perpetuity (rendita perpetua) (1)
• Perpetuity
Si tratta di un’annuity con flussi di cassa che continuano all’infinito
VA =
C + C +
C
+ …
((1 + r))1 ( 1 + r))2
((1 + r))3
(1)
moltiplicando per (1+ r) si ottiene
(1+ r) * VA = C +
(2)
C
+ C
+ …
(1 +r)1
(1 +r)2
sottraendo la (1) dalla (2) otteniamo
r * VA = C
⇒
VA =
C
r
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
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pagina 29
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Perpetuity (2)
• Perpetuity
C = 4.000
r = 0,08
• Esempi
Qual è il VA di una perpetuity con pagamenti di € 4.000 nell’ipotesi di un
tasso di interesse r = 8%?
VA = C/r = 4.000/0,08 = € 50.000
Quanto vale un’obbligazione irredimibile (che non scade mai) che paga una
cedola del 6% nell’ipotesi di un tasso di interesse pari al 9%?
VA = C/r = 60/0,09 = € 667
C = 6% *1.000
r = 0,09
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
Matematica finanziaria
pagina 30
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Facoltà di Ingegneria
Growing perpetuity (rendita perpetua a rendimento crescente) (1)
• Growing perpetuity
Se in
S
i una perpetuity
t it il flusso
fl
di cassa Ct (t = 1 … T) cresce ad
d un tasso
t
costante
t t
g per sempre, se cioè
C1
C2 = C1 * (1 + g)
C3 = C2 * (1+g)
…
CT = CT-1 * (1 + g) = C1 * (1 + g)T-1
…
l perpetuity
la
t it è denominata
d
i t a rendimento
di
t crescente
t e il suo valore
l
attuale
tt l è
VA =
C1
r-g
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2009 / 2010
Matematica finanziaria
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Growing perpetuity (2)
• Growing perpetuity
C1 = 60
r = 0,09
g = 0,02
• Esempio
E
i
Si consideri l’obbligazione irredimibile (che non scade mai) dell’esempio
precedente supponendo ora che la cedola iniziale del 6% cresca ad un tasso
precedente,
annuo del 2%
Calcolare il VA della rendita perpetua a rendimento crescente nell’ipotesi di
un tasso di interesse pari al 9%
VA = C1
r–g
VA =
60
= € 857
0,09 - 0,02
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Matematica finanziaria
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Facoltà di Ingegneria
Annuity vs perpetuity (1)
• Che relazione c’è tra un’annuity e una perpetuity?
– È facile verificare (sia graficamente che dalle formule) che una annuity
per T periodi può essere pensata come la differenza tra una perpetuity
da oggi e una perpetuity da T
– Annuity
0ggi
T
VA = (C/r) – (C/r) * [1/(1+r)T]
– Perpetuity
0ggi
VA = (C/r)
T
VA = (C/r) * [1/(1+r)T]
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VF = (C/r)
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Annuity vs perpetuity (2)
• Che relazione c’è tra un’annuity e una perpetuity?
– È facile verificare (sia graficamente che dalle formule) che una annuity
per T periodi può essere pensata come la differenza tra una perpetuity
da oggi e una perpetuity da T
– Annuity
0ggi
T
VA = (C/r) – (C/r) * [1/(1+r)T]
– Perpetuity
0ggi
VA = (C/r)
T
VA = (C/r) * [1/(1+r)T]
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VF = (C/r)
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Piano di ammortamento del debito (1)
• Piano di ammortamento del debito
Suddivide ciascun pagamento relativo al rimborso di un debito nelle due
componenti di
– Rimborso del capitale
– Pagamento degli interessi
• Se il piano di rimborso deciso dai contraenti (di cui uno è tipicamente una
banca)) avviene
b
i
a rate costanti,
i allora
ll
sii prospetta lla ffattispecie
i
i dell’annuity
d ll’
i e
di conseguenza si possono applicare tutte le formule ad essa riconducibili
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Piano di ammortamento del debito (2)
• Esempio
– Il signor
i
Rossi
R i prende
d a prestito
tit € 1.000
1 000 rimborsabili
i b
bili in
i cinque
i
rate
t
annuali costanti a partire dalla fine del prossimo anno
A quanto ammonta ciascuna rata se il tasso di interesse applicato dalla
banca è pari al 10% annuo?
Piano di ammortamento del debito con
rimborso a rate costanti
Annuity
VA
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VF
C
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pagina 36
T
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Piano di ammortamento del debito (3)
– In questo caso, l’obiettivo è quello di calcolare il flusso di cassa di
un’annuity di 5 anni che oggi vale € 1.000 nell’ipotesi di un tasso pari al
10%
VA = 1.000
r = 0,10
⎞
1
C ⎛
T=5
⎟
* ⎜1 −
VA =
r
⎜
⎝
(1 + r )T
⎟
⎠
C =
VA * r
1 − (1 + r ) − T
C =
1 . 000 * 0 ,1
= 263 ,8
−5
1 − (1 + 0 ,1)
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Piano di ammortamento del debito (4)
• Esempio
Example
Constant Payment Mortgage
Loan amountt
L
Term
Interest rate
Payment
Year
1
2
3
4
5
• La rata di ogni periodo è
scomponibile nelle due componenti
capitale e interessi
1.000
1
000
5
10%
263,8
Beg Bal
Beg.
Bal.
Principal
1000,0
836,2
656,0
457 8
457,8
239,8
Interest
163,8
180,2
198,2
218 0
218,0
239,8
Payment
100,0
83,6
65,6
45 8
45,8
24,0
End Bal.
Bal
263,8
263,8
263,8
263 8
263,8
263,8
836,2
656,0
457,8
239 8
239,8
0,0
12.000
10.000
• La componente di interessi di
ciascun periodo si calcola come
prodotto tra il tasso di interesse
applicato dalla banca (10%) e
l’indebitamento alla fine del periodo
precedente
• La componente di rimborso del
capitale in ciascun periodo è la
differenza tra l’ammontare della
rata e la
l componente di iinteressii
8.000
• La componente di rimborso di
capitale è crescente e la
componente di pagamento degli
interessi è decrescente a formare
una rata costante per T periodi
Payment
6.000
Interest
Principal
4.000
2.000
0
1
3
5
7
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9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
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Piano di ammortamento del debito (5)
• Esempio
– Viene acceso un prestito bancario di € 5.000 da restituirsi mediante 7 rate
annue costanti; si calcoli l’importo
l importo della rata e la si scomponga nelle
componenti di rimborso del capitale e di interessi
C=
A
Anno
VA * r
1 − (1 + r ) −T
Indebitamento
Inizio
Fine
R t
Rata
C it l
Capitale
Interessi
r=8%
1
5,000,000
4,439,638
960,362
560,362
400,000
2
4 439 638
4,439,638
3 834 447
3,834,447
960 362
960,362
605 191
605,191
355 171
355,171
3
3,834,447
3,180,841
960,362
653,606
306,756
4
3,180,841
2,474,946
960,362
705,895
254,467
5
2,474,946
1,712,580
960,362
762,366
197,996
6
1,712,580
889,224
960,362
823,356
137,006
7
889,224
889,
0
960,362
960,36
889,224
889,
71,138
, 38
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (1)
• Tasso Annuo Nominale (TAN) ed Effettivo (TAE)
I tassi di interesse sono solitamente indicati su base annua, ma la
li id i
liquidazione
d
degli
li iinteressi
t
i può
ò avvenire
i più
iù di una volta
lt all’anno
ll’
e quindi
i di
restituire un interesse effettivo (TAE) diverso da quello nominale (TAN)
• Esempio
– Si considerino le condizioni contrattuali offerte da due istituti bancari
di
diversi
i per l’apertura
l’
t
di un conto
t corrente
t
– La banca A offre queste condizioni : tasso attivo r del 4% con
liquidazione degli interessi annuale
– La banca B offre lo stesso tasso ma con liquidazione degli interessi
semestrale
– Si ipotizzi di depositare € 100 in due c/c aperti presso le due banche
Fonte: “Finanziare le risorse dell’impresa”, Giudici
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (2)
– Nel primo caso dopo un anno sarà possibile liquidare il conto ritirando
€ 104
– Nel secondo caso,
caso invece
invece, sarà possibile ritirare già dopo sei mesi la
frazione degli interessi relativa al primo semestre – e cioè € 2 (la metà
degli interessi pari al 4%) – mentre a fine anno saranno liquidati sul
conto anche gli interessi relativi al secondo semestre (altri € 2) più il
capitale iniziale
104
102
2
t=0
100
t=1
t=0
t=1/2 t=1
100
Banca A
Banca B
– Calcoliamo i rendimenti effettivi TAE A e TAE B offerti dalle due banche
Fonte: “Finanziare le risorse dell’impresa”, Giudici
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (3)
– Esse devono soddisfare le seguenti relazioni
–
100 =
–
100 =
104
1 + TAE A
2
(1 + TAE B )1 / 2
d cuii TAE A = 4%
da
+
102
1 + TAE B
da cui TAE B = 4,04%
– La seconda banca offre dunque condizioni migliori. Infatti, il tasso di
p
ogni
g 6 mesi
rendimento annuale del 4% con interessi composti
corrisponde ad un rendimento implicito del 4,04%
– Allo stesso risultato potremmo arrivare ipotizzando
ipotizzando, nel caso del conto
aperto presso la banca B, di non incassare gli interessi pagati dopo 6
mesi, ma di lasciarli sul conto, e ritirare il montante alla scadenza
successiva
Fonte: “Finanziare le risorse dell’impresa”, Giudici
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Facoltà di Ingegneria
Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (4)
– In tal caso, gli interessi maturati dopo 6 mesi (€ 2) genereranno a loro
volta interessi, pari a € 0,04, ovvero il 4% di € 2 diviso 2 (visto che
rimangono sul conto solo per altri 6 mesi)
2+2+0,04+100
2
t=0
t=1/2
100
t=1
Banca B
– Seguendo questa strategia
strategia, il rendimento effettivo TAE B sarà pari a
– 100 = 104,04
1 + TAE B
da cui ancora TAE B = 4,04%
Fonte: “Finanziare le risorse dell’impresa”, Giudici
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (5)
• La lezione è che non si possono confrontare direttamente tassi di interesse
con diversi regimi di capitalizzazione, anche se relativi alla stessa scadenza
• Inoltre, da quest’ultimo esempio si vede chiaramente che il metodo
dell’attualizzazione dei flussi di cassa ipotizza implicitamente il
reinvestimento dei flussi di cassa intermedi alle stesse condizioni
contrattuali di remunerazione … altrimenti non avrebbe alcun valore
percepire un flusso finanziario prima della scadenza. E’ necessario quindi
individuare un TAE che renda confrontabili i diversi regimi di
capitalizzazione
• In generale, componendo m volte all’anno
all anno con un TAN pari a r, si ha
TAE = (1 + r/m)m – 1
TAN = r = m * [ (1 + TAE)1/m - 1 ]
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (6)
• Esempio
Se il TAN = 10%, si ottiene con
–
Composizione semestrale
TAE = (1 + 0,1/2)2 – 1 = 10,25%
– Composizione
C
i i
mensile
il
TAE = (1 + 0,1/12)12 - 1= 10,47%
– Composizione settimanale
TAE = (1 + 0,1/52)52 - 1= 10,51%
• Esempio
p
Se ad un prestito è associato un TAN del 16%, qual è il tasso annuo effettivo
con rimborsi su base semestrale?
TAE = (1 + r/m)m – 1 = (1 + 0,16/2) 2 – 1 = 0,1664 o 16,64%
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (7)
• Esempio
Qual è il valore futuro di € 25 investiti alla fine di ognuno dei prossimi tre
annii se il tasso di iinteresse di riferimento
if i
è parii all 9% composto
annualmente?
U ’
Un’annuity
it di 25 € su tre
t annii all 9% può
ò essere illustrata
ill t t in
i questo
t modo
d
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Matematica finanziaria
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (8)
Il valore futuro dell’annuity si calcola come segue
Come cambia il risultato se il tasso annuale (9%) viene composto
mensilmente?
Ill totale
l d
di € 82,26
82 26 d
dato d
dalle
ll tre
somme è maggiore del valore di €
81,95 prima calcolato per l’annuity
con composizione annuale perchè la
composizione degli interessi
all’interno dei p
periodi aumenta il
tasso effettivo dell’investimento
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo globale (1)
• La necessità di definire un ‘rendimento equivalente’ per confrontare diversi
finanziamenti con diverso regime di capitalizzazione degli interessi ha
spinto la Commissione Europea a rendere obbligatoria la pubblicazione del
tasso annuo effettivo globale (TAEG), in contrapposizione al TAN, ogni
qual volta venga proposto un finanziamento
• Il TAN corrisponde al tasso di interesse semplice, mentre il TAEG è un
tasso effettivo che tiene conto non solo
– della composizione degli interessi,
interessi ma anche
– delle spese accessorie (come ad esempio diritti e spese di apertura
pratica) che gravano sul consumatore
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo globale (2)
• Esempio
Si calcoli il TAEG di un finanziamento per l’acquisto di un motorino pari a
€ 2.500
2 500 su 5 anni,
anni rimborsabili con rate trimestrali costanti.
costanti Il TAN è pari al
5% e le spese accessorie per avviare la pratica sono pari a € 20
– Se non ci fossero spese
p
accessorie, il finanziamento ((in base alle formule
precedenti) comporterebbe un TAE pari a
4
⎛ TAN ⎞
TAE = ⎜1 +
⎟ − 1 = 5,0945%
4 ⎠
⎝
– La rata trimestrale R comprenderà una quota-parte relativa al
pagamento degli interessi e una quota-parte
quota parte relativa alla restituzione
del finanziamento : essa dovrà soddisfare la relazione
5
2500 =
t =1 / 4 step1 / 4
Valore del finanziamento erogato
g
R
∑ (1 + TAE )
t
da cui R = € 142,051
Somma dei flussi di pagamento trimestrali attualizzati al TAE
Fonte: “Finanziare le risorse dell’impresa”, Giudici
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo globale (3)
– Per calcolare il TAEG è sufficiente individuare il tasso che soddisfa la
seguente relazione
2500 − 20 =
5
R
∑ (1 + TAEG )
t =1 / 4 step1 / 4
t
– In p
pratica,, il finanziamento al netto delle spese
p
accessorie deve essere
uguale al valore attuale delle rate future corrisposte ad ogni trimestre
per i prossimi 5 anni, attualizzato al costo effettivo globale del capitale
– Facendo i conti si ottiene un TAEG = 5,429%
– Si noti
ti che
h è TAEG ((> TAE) > TAN per il doppio
d
i effetto
ff tt della
d ll
composizione anticipata degli interessi e delle spese accessorie al
finanziamento
Fonte: “Finanziare le risorse dell’impresa”, Giudici
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Matematica finanziaria
pagina 50
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Tassi di interesse non costanti
• Tassi di interesse non costanti
Il tasso di interesse può variare lungo la durata dell’investimento
• Esempio
Se si investono € 100 e si ottiene l’11% durante il primo anno, il 9% durante
il secondo anno e il 13% durante il terzo anno, quale sarà il valore futuro
dopo 3 anni ?
FV = 100 * (1 + 0,11) * (1 + 0,09) * (1 + 0,13) = € 136,72
Qual è il VA di € 100 tra 4 anni se i tassi di interesse sono ll’8%
8% (year 1),
1) il
12% (year 2), il 6% (year 3) e il 13% (year 4)?
VA =
100
= € 69,02
69 02
(1 + 0,08) * (1 + 0,12) * (1 + 0,06) * (1 + 0,13)
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Matematica finanziaria
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Tassi di interesse nominali vs tassi di interesse reali (1)
• Tasso di interesse reale vs nominale (Real vs nominal interest rates)
– Tasso di interesse nominale = tasso riferito a grandezze monetarie
Investendo € 100 per un anno al 10% ⇒ € 110
–
Cosa succede se l’inflazione annuale è pari al 7%?
Abbiamo bisogno di € 107 alla fine dell’anno per mantenere inalterato
il potere d
d’acquisto
acquisto dell
dell’investimento
investimento iniziale
–
Qual è il nostro “real return”, ovvero il tasso di interesse reale?
(1+10%)/(1+7%) = 1,028 ⇒ The real return is 2,8%
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Matematica finanziaria
pagina 52
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Tassi di interesse nominali vs tassi di interesse reali (2)
• Siano
–
–
–
r il tasso di interesse nominale
.
p il tasso di inflazione =(p
(p1-p
p0)/p0
ρ il tasso di interesse reale
Il legame
l
tra
t r e ρ è dato
d t d
dalla
ll relazione
l i
di Fi
Fisher
h (1965)
.
(1+r) = (1+ ρ) * (1+p)
– Per dimostrare questa relazione si supponga di voler investire al tasso r
una certa somma C che al periodo t = 0 permette di acquistare una
quantità reale di beni pari a C/p0
– Al periodo t = 1 (cioè a distanza di un anno) sarà di conseguenza
possibile
ibil capitalizzare
it li
il montante
t t e acquistare
i t
una quantità
tità di b
benii parii
a C*(1+r)/p1
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Tassi di interesse nominali vs tassi di interesse reali (3)
– Quindi il tasso di interesse reale ρ sarà
C * (1 + r ) C
−
p1
p0
ρ=
C
p0
– Quest’uguaglianza, rielaborata, genera la relazione di Fisher
■
.
Se p e ρ sono molto piccoli, allora vale l’approssimazione
.
~
r=ρ+p
• È possibile utilizzare questa equazione per convertire tassi di interesse
nominali in reali e viceversa
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pagina 54
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Tassi di interesse nominali vs tassi di interesse reali (4)
• Esempio
Si consideri una perpetuity che stacca il primo pagamento di € 100 (nominali)
al periodo 4
.
Si supponga che i flussi di cassa crescano
in termini reali del 2% (ρ) per
periodo e che il tasso di inflazione (p) sia pari al 5%
Q l è il VA della
Qual
d ll perpetuity
t it con un tasso
t
di sconto
t del
d l 10%?
• Soluzione
Il tasso di crescita nominale si calcola a partire dalla relazione di Fisher
.
(1+g) = (1+gρ) * (1+p)
g = (1 + 0,02) * (1 + 0,05) –1 = 0,071
VA =
C
1
100
⋅
=
⋅ 0,7513 = €2.591
3
0,029
r − g (1 + r )
Il valore
l
della
d ll perpetuity
t it è “portato
“ t t indietro”
i di t ” di 3 periodi
i di
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Sintesi dei principali concetti di matematica finanziaria (1)
• Il valore futuro (VF) è il valore raggiunto da una certa quantità di capitale
dopo un certo periodo di tempo come conseguenza della maturazione degli
interessi
– Il processo di calcolo del valore futuro è chiamato capitalizzazione
• Il valore attuale (VA) esprime il valore presente di un investimento,
investimento
mediante l’attualizzazione dei flussi di cassa futuri
• Il llegame tra
t VF e VA è dato
d t dalla
d ll relazione
l i
VF = VA * (1 + r) t
• Annuities e perpetuities costituiscono particolari configurazioni di flussi di
cassa
– Una annuity per T periodi può essere pensata come la differenza tra
una perpetuity da oggi e una perpetuity da T
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Sintesi dei principali concetti di matematica finanziaria (2)
• Annuity
0ggi
T
VA = (C/
(C/r)) – (C/r)
(C/ ) * [1/(1+r)
[1/(1 )T]
• Perpetuity
0ggi
VA = (C/r)
T
VA = (C/r) * [1/(1+r)T]
VF = (C/r)
• I tassi di interesse sono solitamente indicati su base annua (TAN), ma la
composizione degli interessi può avvenire m volte all’anno
all anno
TAE = (1 + r/m)m – 1
TAN = r = m * [ (1 + TAE)1/m - 1 ]
.
• Relazione di Fisher - (1+r) = (1+ ρ) * (1+p)
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Valutazione (o analisi) degli investimenti
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Decisioni di lungo periodo
pagina 58
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Valutazione o analisi degli investimenti
• Valutazione o analisi degli investimenti
–
–
Corpus/insieme delle tecniche e degli strumenti che le persone e le
i
imprese
iimpiegano
i
per d
decidere
id
se effettuare
ff tt
meno un iinvestimento
ti
t
che ha effetti di lungo periodo
Esempi: lancio di un nuovo prodotto/linea di prodotti, acquisto di un
nuovo macchinario
• Nuovo tipo di calcestruzzo
• Nuova linea di radiatori
• Nuovo escavatore
• La necessità di investire sul ciclo produttivo può essere dettata da vari
fattori
– Sostituzione impianti per deterioramento fisico
– Sostituzione impianti per obsolescenza tecnica
– Adeguamento
Ad
a nuove leggi
l
i
– Adeguamento a nuove esigenze del mercato
– Miglioramento delle performance del ciclo produttivo
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2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
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Definizione di investimento (1)
• Investimento
– Un investimento I è un progetto che, a fronte di un assorbimento certo
di risorse oggi, crea opportunità di generazione di reddito nel futuro
• ‘Mettiamo
Mettiamo sulla bilancia’
bilancia un esborso di cassa oggi e una serie di introiti di
cassa futuri
Ct : flussi di cassa generati da I
T : orizzonte temporale di I
C0
C1 , C2 … CT
• Il problema della valutazione degli investimenti è quello di operare un
confronto tra i due piatti della bilancia per capire quale pesa di più
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Decisioni di lungo periodo
pagina 60
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Definizione di investimento (2)
• Dalla definizione risulta che un investimento è caratterizzato dalla presenza
di flussi di cassa che hanno una diversa manifestazione temporale
CT
C2
C1
C3
C4
…….
Profilo temporale
e dimensionale
dell’investimento
tempo
C0
Esborso oggi
Benefici futuri generati dall’investimento
• Di conseguenza,
conseguenza per valutare la convenienza economica di un investimento
(al fine di decidere se effettuarlo o meno) occorre saper confrontare entrate
di cassa e uscite di cassa che si manifestano nel tempo in momenti diversi
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Valore attuale come strumento
• Il problema si risolve rendendo “omogenei” i flussi di cassa, convertendoli
in flussi di cassa confrontabili, dunque come se avessero tutti
manifestazione
if
i
nell medesimo
d i
istante
i
• Come abbiamo visto, lo ‘strumento’ per rendere confrontabili flussi di cassa
con manifestazione
if
i
temporale
l diversa
di
è quello
ll del
d l valore
l
attuale
l
CT
C2
C1
C3
C4
…….
tempo
C0
VA(C1)
VA(C2)
VA(CT)
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Elementi necessari alla valutazione economica
di un progetto di investimento
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pagina 63
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Gli elementi di un progetto di investimento
• Gli elementi necessari alla valutazione economica di un investimento sono
–
–
–
–
–
Il rendimento richiesto da chi investe (persona fisica o impresa)
La durata dell’investimento
L’ammontare
L
ammontare dei flussi di cassa generati dall
dall’investimento
investimento
L’ammontare dell’investimento
Il valore finale o di recupero dell’investimento
I : {r , T , C t , C 0 , VT }
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pagina 64
per t = 1…T
p
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Rendimento richiesto dal progetto (1)
• Il rendimento richiesto dal progetto è il costo opportunità del capitale, ossia
il miglior rendimento alternativo a cui si rinuncia quando viene effettuato
un investimento
i
i
• Nell’ipotesi di assenza di rischio, si ha un solo costo opportunità che
rappresenta
t il rendimento
di
t d
deii tit
titoli
li di St
Stato
t ab
breve termine
t
i
• Pochi flussi di cassa sono però esenti da rischio e quindi occorre considerare
questo fattore nella valutazione dei progetti
• In presenza di rischio esistono sul mercato tanti costi opportunità quante
sono le classi di rischio e,
e al crescere del rischio di un investimento
investimento, cresce il
costo opportunità
– Per indurre gli individui e le imprese ad investire su progetti più
adeguati
rischiosi è infatti necessario che questi prospettino rendimenti adeguati,
dunque maggiori di quelli associati ad investimenti meno rischiosi
r = rf + p
premio p
per il rischio
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Rendimento richiesto dal progetto (2)
• I flussi di cassa relativi a progetti più rischiosi vanno dunque attualizzati ad
un tasso di sconto più alto di quello di progetti meno rischiosi e questo
costo opportunità
i à dovrebbe
d
bb riflettere
ifl
lla specifica
ifi classe
l
di rischio
i hi d
dell
progetto
• Al riguardo,
riguardo si confrontino i rendimenti medi annui,
annui nel periodo 1900-2003,
1900 2003
di tre categorie di titoli quotati alla Borsa di New York
Rendimento
Investi- Risultato
Investi
mento dell’investi- medio
annuo
mento nel
nel
(nominale)
2003(a)
1900
Azioni
Titoli di Stato a lungo termine
Tit li di Stato
Titoli
St t a b
breve ttermine
i
$
1
$
15.579
1
1
148
61
11,7 %
5,2
41
4,1
Rendimento Premio
medio medio
annuo
per il
(reale) rischio(b)
8,7 %
7,6 %
2,3
11
1,1
1,2
0
(a) Considerando che tutti i redditi da dividendi o da interessi siano stati reinvestiti nel portafoglio corrispondente.
(b) Rendimento nominale dei titoli in oggetto meno rendimento nominale dei titoli di Stato a breve termine (Buoni del
Tesoro).
F
Fonte
: Dimson
Di
E Marsh
E.,
M h P.R.
PR eM
M. Staunton,
S
Ti
Triumph
h off the
th Optimists
O ti i t : 101 Years
Y
off Investment
I
t
t Returns,
Rt
Pi
Princeton
University Press, Princeton, 2002 e successivi aggiornamenti, in Brealey, Myers et al., 2007.
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Rendimento richiesto dal progetto (3)
• La figura sottostante estende geograficamente l’analisi e mostra il premio
per il rischio per i titoli azionari (ossia il rendimento differenziale rispetto ai
titoli
i li di S
Stato a breve
b
termine)
i ) in
i 16 Paesi
P i durante
d
il periodo
i d 1900-2003
1900 2003
12
10,7%
10
7,6%
8
6
4,3%
4
2
It a
lia
Be
lg
i
Sv o
iz
ze
ra
Sp
ag
na
Ca
na
G
er
da
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an
la
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nd
(d
al a
R e 192
2)
gn
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U
ni
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M
Pa edi
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ti
Sv
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fr
ic
A
us a
tra
lia
Fr
an
c
G
ia ia
pp
on
e
D
an
im
ar
ca
0
Fonte : Dimson E., Marsh P.R. e M. Staunton, Triumph of the Optimists : 101 Years of Investment Returns,
Princeton University Press, Princeton, 2002 e successivi aggiornamenti, in Brealey, Myers et al., 2007.
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Rendimento richiesto dal progetto (4)
Punto di attenzione
• Anche ipotizzando di poter stimare il premio per il rischio futuro con la sua
media storica (ossia ipotizzando che gli investitori di oggi si attendano di
ricevere lo stesso p
premio mostrato dalle medie del g
grafico p
precedente),
) va
rilevato come le stime del premio per il rischio siano molto sensibili alla
metodologia adottata e al periodo di osservazione
• Accade allora che, se dallo studio di Dimson, Marsh e Staunton l’Italia
sembra essere stato il Paese più fortunato per l’investimento azionario,
l’analisi ad esempio
p di Siciliano ((“Cento anni di borsa in Italia”,, Il Mulino,,
Bologna, 2001) che considera i rendimenti al netto dell’imposizione fiscale e
dei costi di transazione, trova un premio per il rischio nel periodo 1906-1998
solo p
pari al 3,9%
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Decisioni di lungo periodo
pagina 68
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Facoltà di Ingegneria
Rendimento e rischio (5)
• Come era prevedibile, gli scarti quadratici medi e le varianze annue dei tre
portafogli statunitensi considerati nel periodo 1900-2003 sono stati :
Azioni
Titoli di Stato a lungo termine
Titoli di Stato a breve termine
Scarto
quadratico
medio
Varianza
20 1 %
20,1
402 6 %
402,6
8,2
2,8
68,0
7,9
Rendimento
medio annuo
(nominale)
11 7 %
11,7
5,2
4,1
• In altri termini, nel secolo passato negli Stati Uniti le azioni sono state il titolo
più volatile, ossia il più rischioso, e il Buoni del Tesoro il titolo meno volatile; i
titoli di stato a lungo termine si sono collocati in una classe di rischio
intermedia
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pagina 69
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Facoltà di Ingegneria
Rendimento e rischio (6)
• In generale, la varianza e lo scarto quadratico medio sono le misure statistiche
usuali delle variabilità e perciò del rischio
• La varianza del rendimento di un portafoglio di titoli è il valore atteso del
quadrato degli
q
g scarti dal rendimento atteso
• Lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della varianza
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Calcolo della varianza : un esempio (7)
• Investendo 100 € si può partecipare al gioco seguente che consta nel lanciare di
seguito due monete : ogni volta che viene testa (T) si riceve la cifra giocata più
ill 20% e ogni volta
l che
h viene croce (C) si riceve lla cifra
f giocata meno ill 10%
• Chiaramente, ci sono 4 risultati egualmente
g
p
probabili ((la distribuzione dei
rendimenti)
– T+T
– T+C
– C+T
– C+C
si vince il 40%
si vince il 10%
si vince il 10%
si perde il 20%
• Il rendimento atteso di questo gioco è la media ponderata con le probabilità
dei risultati possibili
– Rendimento atteso = 0,25*40% + 0,5*10% + ,25*20% = +10%
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Facoltà di Ingegneria
Calcolo della varianza : un esempio (8)
• La varianza e lo scarto quadratico medio si calcolano come segue
Rendimento
R
di
R di
Rendimento
atteso
effettivo
Scarto dal
rendimento
atteso
30 %
Scarto dal
rendimento
atteso all
quadrato
Probabilità
Probabilità *
scarto
t all
quadrato
900
25 %
225
10 %
40 %
10
10
0
0
50
0
10
- 20
- 30
900
25
225
Varianza = valore atteso degli scarti al quadrato = 450
S t quadratico
Scarto
d ti medio
di = radice
di quadrata
d t della
d ll varianza
i
= 21
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Decisioni di lungo periodo
pagina 72
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Facoltà di Ingegneria
Calcolo della varianza : un esempio (9)
• Perciò : la varianza dei rendimenti percentuali è 450, lo scarto quadratico medio
21. Poiché questo numero è espresso nella stessa unità di misura del tasso di
rendimento,
di
t sii può
ò di
dire che
h lla variabilità
i bilità d
dell gioco
i
sia
i del
d l 21%
• Il rischio di un’attività può essere totalmente espresso, così come si è fatto per il
g
gioco
delle monete,, segnando
g
tutti i risultati p
possibili e la p
probabilità di
ciascuno di questi
– Per un’attività finanziaria questo procedimento si rivela di fatto impossibile
ed è per questo che sintetizziamo con la varianza la distribuzione dei
risultati possibili
• Può essere interessante confrontare il gioco del lancio delle monete con il
mercato azionario statunitense tra il 1900 e il 2003
– Il mercato azionario genera un rendimento medio annuo dell’11,7% con
uno scarto quadratico medio del 20,1%
– Il gioco offre invece il 10 % e il 21% rispettivamente,
rispettivamente ossia un rendimento di
poco inferiore e variabilità confrontabile
– Si potrebbe concludere che l’inventore del gioco abbia voluto creare una
rappresentazione
pp
del mercato azionario !
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2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 73
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Facoltà di Ingegneria
Durata dell’investimento (1)
• La durata dell’investimento o vita economica del progetto di investimento è
il numero di anni nel corso dei quali si prevede che l’investimento generi
fl i di cassa
flussi
• La fine del periodo temporale che identifica la vita economica del progetto è
denominata orizzonte temporale dell
dell’investimento
investimento (il termine suggerisce
che oltre questo limite i flussi non siano più visibili)
• È difficile prevedere con precisione la vita economica di un investimento; è
tuttavia importante stimare nel modo più accurato possibile questo
elemento in quanto esso ha conseguenze significative sulla valutazione del
progetto
• Quando si deve valutare la vita economica di un impianto su cui investire e
si pensa alla sua vita utile, spesso emerge come la vita economica sia più
breve della vita fisica e ciò accade perchè ll’obsolescenza
obsolescenza tecnica (ossia la
perdita di convenienza ad utilizzare l’impianto a seguito del progresso
tecnologico nel frattempo intervenuto) avviene prima del deterioramento
fisico
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pagina 74
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Facoltà di Ingegneria
Durata dell’investimento (2)
• Se, ad esempio, la vita fisica di un bene fosse di dieci anni ma se ne
prevedesse l’obsolescenza tecnica in cinque, allora la vita utile, e dunque la
vita
i economica,
i d
dell bene
b
iin parola
l sarebbe
bb di cinque
i
annii
• In considerazione delle incertezze connesse allo svolgimento
g
delle attività
di un’organizzazione, la maggior parte dei manager applica criteri di
prudenza nello stimare la vita economica dei progetti
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Decisioni di lungo periodo
pagina 75
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Facoltà di Ingegneria
Flussi di cassa generati dal progetto (1)
• La valutazione di un progetto deve prevedere la stima dei flussi di cassa
generati dal progetto medesimo, o flussi di cassa differenziali (rispetto alla
situazione
i
i
di status
t t quo))
– E ciò perché i benefici economici di un investimento sono costituiti
proprio dalle entrate incrementali di cassa , ossia dai maggiori incassi
rispetto ad
d una situazione che
h non preveda
d l’investimento
l’
• In altre p
parole, i flussi di cassa differenziali
– Sono quei flussi che si rilevano esclusivamente in seguito
all’accettazione del progetto
– Vengono rilevati seguendo una logica di tipo “if–then”
if then
• “Se l’investimento viene effettuato, come cambieranno in ogni anno
i flussi di cassa dell’impresa lungo tutta la vita utile del progetto?”
– Sono
S
i flussi
fl i che
h d
determinano
t
i
il valore
l
del
d l progetto
tt stesso
t
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Decisioni di lungo periodo
pagina 76
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Flussi di cassa generati dal progetto (2)
• L’attenzione è posta sui flussi di cassa, non sulle manifestazioni economiche
– I valori tipici della contabilità per competenza (costi e ricavi) non sono
direttamente utilizzati nell’analisi degli investimenti, se non come base
per calcolare, attraverso opportune rettifiche, i flussi di cassa
• Si consideri, ad esempio, il progetto di sostituzione di un macchinario
esistente con uno nuovo: quali sono le entrate connesse a questo progetto?
– In primo luogo, il macchinario esistente deve essere utilizzabile
altrimenti non avremmo un’alternativa né, conseguentemente, un
problema analitico da risolvere
– Il confronto avviene quindi tra (1) continuare ad usare il macchinario
esistente (status quo) e (2) investire nell’acquisto del macchinario
proposto
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2009 / 2010
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pagina 77
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Facoltà di Ingegneria
Flussi di cassa generati dal progetto (3)
• I costi (e le relative uscite di cassa) connessi all’impiego del macchinario
esistente sono molteplici : manodopera, materiali diretti, energia,
manutenzione,
i
ecc.
• Se il nuovo macchinario venisse proposto come mezzo per ridurre i costi,
allora in conseguenza del suo impiego ((“logica
logica if
if–then”
then o rapporto di
causa-effetto) tutti o alcuni di questi costi dovrebbero ridursi
– I mancati esborsi relativi a questi costi rappresentano l’entrata di cassa
differenziale generata dal nuovo macchinario
– In altri termini, in questo caso gli incassi differenziali sono costituiti da
una riduzione delle uscite di cassa
• Se il macchinario proposto non costituisse una semplice sostituzione ma
accrescesse la capacità produttiva, allora nel processo di valutazione
occorrerebbe tenere in considerazione anche i flussi di cassa differenziali
derivanti dall’accresciuto volume di vendita previsto
Economia Applicata all’Ingegneria
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Decisioni di lungo periodo
pagina 78
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Facoltà di Ingegneria
Flussi di cassa dello status quo
• Nel calcolare i flussi di cassa differenziali può essere sbagliato ipotizzare
uno status quo “stazionario” e non invece “in deterioramento”
Ct
Ct
con l’investimento
con l’investimento
senza l’investimento
senza l’investimento
t
t
• Per esempio, se un’impresa decidesse di non investire in una nuova
tecnologia, probabilmente indebolirebbe la propria posizione di mercato
rispetto
p
aq
quella dei concorrenti che la adottassero
– Il mantenimento delle condizioni iniziali produrrebbe un progressivo
peggioramento dei risultati economici e dei flussi di cassa e pertanto
p
di p
perpetuazione
p
nel tempo
p dello status qquo sarebbe sbagliata
g
un’ipotesi
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Decisioni di lungo periodo
pagina 79
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Facoltà di Ingegneria
Costi comuni, effetti collaterali, costi affondati (1)
• Nel processo di determinazione dei flussi di cassa generati (direttamente o
indirettamente) dall’investimento secondo un rapporto di causa-effetto,
occorre saper correttamente considerare
id
– I costi comuni
– Gli effetti collaterali
– I costi affondati (o pregressi)
• I costi comuni sono quei costi che ll’impresa
impresa sosterrebbe anche qualora non
attuasse l’investimento
– Esempio : costi relativi al personale (insaturo) già presente in azienda
che viene dedicato alla gestione del nuovo impianto cui l’investimento
l investimento
si riferisce
– Tali voci NON vanno incluse tra i flussi di cassa incrementali
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2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 80
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Facoltà di Ingegneria
Costi comuni, effetti collaterali, costi affondati (2)
• Gli effetti collaterali si riferiscono agli effetti, generati dall’investimento, che
si producono su altri comparti dell’impresa
– Esempio : il lancio di una nuova linea di piastrelle contrae le vendite
delle linee già in produzione e sul mercato
– Tali effetti vanno considerati nel calcolo dei flussi di cassa differenziali
• I costi affondati o pregressi (sunk costs) sono costi che l’impresa ha
sostenuto in passato in relazione alla valutazione del progetto di
investimento e che non sono più recuperabili
– Esempio : costo di uno studio di mercato per la valutazione della
domanda di un nuovo prodotto
p
– I sunk costs NON devono essere considerati costi incrementali ai fini
della valutazione di un investimento in quanto l’esborso si è già
verificato e in una logica
g “if-then” sono comunque
q irrecuperabili
p
– Ai fini della decisione circa l’investimento, devono essere considerate
solamente le conseguenze future associate alle diverse alternative
realizzabili oggi
gg
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 81
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Facoltà di Ingegneria
Punto di attenzione
• Le imprese che devono valutare se investire in una nuova tecnologia spesso
erroneamente imputano i costi di avviamento e di formazione connessi
all’uso
ll’
della
d ll nuova tecnologia
l i interamente
i
all primo
i
progetto anche
h se essa
fosse in futuro strumentale ad altri progetti
• Una tale imputazione penalizza la valutazione economica del progetto
iniziale e potrebbe addirittura portare a posticipare investimenti necessari
per mantenere la posizione competitiva dell’impresa
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 82
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Facoltà di Ingegneria
Ammontare dell’investimento (1)
• L’investimento è l’ammontare di risorse che un’impresa sottopone a rischio
se accetta un progetto a lungo termine
• I valori rilevanti per determinare l’ammontare dell’investimento sono gli
esborsi differenziali ((cioè le uscite di cassa che avranno luogo
g se il p
progetto
g
sarà realizzato, ma che non avverranno se il progetto non sarà realizzato)
– Esempio : il costo del nuovo impianto, i costi di trasporto e istallazione
del nuovo impianto,
p
i costi sostenuti p
per addestrare i dipendenti
p
all’uso
della nuova tecnologia
• Se l’acquisto
l acquisto di una nuova immobilizzazione comporta la vendita di un
immobilizzo esistente, gli incassi netti derivanti dalla vendita del bene che
si aliena riducono l’importo dell’investimento
– I ricavi netti dalla cessione dell’immobilizzazione
dell immobilizzazione esistente sono pari al
suo prezzo di vendita meno i costi sostenuti per venderla, smontarla e
rimuoverla, rettificati dagli eventuali effetti fiscali connessi ai ricavi da
cessione
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2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 83
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Ammontare dell’investimento (2)
• Molti progetti comportano un unico impegno di risorse in un dato
momento, convenzionalmente denominato momento zero o momento
i i i l
iniziale
• Per alcuni progetti gli esborsi finanziari richiesti sono ripartiti su un ampio
periodo temporale
– Esempio : la costruzione di una nuova sede produttiva potrebbe
richiedere uscite di cassa per diversi anni oppure la realizzazione di una
prima unità il primo anno e di una seconda unità ll’anno
anno successivo
• Per calcolare il VA del progetto tutti gli esborsi del progetto devono essere
ricondotti ad un momento zero comune attualizzando le singole
g
uscite di
cassa
• Se l’importo e la collocazione temporale degli esborsi presentano un grado
di rischio
i hi significativamente
i ifi ti
t più
iù b
basso di quello
ll d
delle
ll entrate
t t di cassa, allora
ll
altrettanto differenti saranno i tassi di attualizzazione applicati
rispettivamente agli esborsi e agli incassi
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 84
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Facoltà di Ingegneria
Valore finale o di recupero dell’investimento
• Al termine della sua vita economica, un investimento potrebbe avere ancora
un valore e come tale essere oggetto di alienazione da parte dell’impresa
• Di conseguenza, questo valore finale o di recupero o di realizzo
dell’investimento ((salvage
g o resale o terminal value)) costituisce, in q
quel
momento, una potenziale entrata di cassa
• Nel processo di valutazione economica dell’investimento,
dell investimento, il valore finale
deve perciò essere considerato e, in particolare, deve essere attualizzato e
sommato al VA delle altre entrate di cassa differenziali
– In tal modo
modo, si ipotizza implicitamente che l’incertezza
l incertezza associata al
recupero del valore finale sia la stessa di quella associata agli altri flussi
di cassa incrementali generati dal progetto di investimento
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2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 85
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Facoltà di Ingegneria
Valutazione di un progetto di investimento
• A questo punto abbiamo in mano tutti gli elementi per valutare un progetto
di investimento. Ma come si procede concretamente per effettuare la
valutazione ?
• Le fasi della valutazione economica di un investimento sono
1. Determinazione dei flussi di cassa incrementali attesi dall’investimento
2. Calcolo degli incrementi nelle imposte associati all’attuazione del
progetto
3. Calcolo dei flussi di cassa attesi “after tax”
4. Individuazione del tasso di attualizzazione appropriato
5. Attualizzazione dei flussi di cassa futuri mediante il tasso individuato
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2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 86
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Facoltà di Ingegneria
9 Valutazione dei flussi di cassa : un esempio (1)
• Il direttore finanziario dell’impresa Concimi & Giardini (C&G) sta valutando
una proposta per la commercializzazione del guano come fertilizzante da
giardino
d
• Il p
progetto
g
richiede un investimento iniziale di 10 M€ p
per lo stabilimento e g
gli
impianti. L’investimento verrebbe ammortizzato in 6 anni a quote costanti.
Gli impianti potrebbero essere smontati e venduti con un ricavo netto
valutato attorno a 1 M€ nell’anno 7. Questa cifra corrisponde al loro valore di
realizzo
• Le previsioni sull’impatto
sull impatto economico e patrimoniale del progetto “Guano”
Guano
sono indicate nella tabella seguente e possono essere considerate il punto di
partenza per la stima dei flussi di cassa ad esso associati
• Tutti i dati sono stati ricavati in base ai costi e ai prezzi di vendita correnti
nell’anno 0
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2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 87
Università degli Studi di Bergamo
Facoltà di Ingegneria
9 Valutazione dei flussi di cassa : un esempio (2)
Progetto “Guano” : Previsioni iniziali (dati in ‘000 €))
Periodo
Investimento
0
1
2
3
4
5
6
7
10.000
Fondo ammortamento
1.000(a)
1.667
3.334
5.000
6.667
8.333
10.000
8.333
6.667
5.000
3.334
1.667
0
500
1 065
1.065
2 450
2.450
3 340
3.340
2 225
2.225
1 130
1.130
8.833
7.732
7.450
6.674
3.892
1.130
Fatturato
475
10.650
24.500
33.400
22.250
11.130
Costo del venduto
761
6.388
14.690
20.043
13.345
6.678
2.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.667
1.667
1.667
1.667
1.667
1.667
Valore cont. netto di I
10.000
C it l circolante
Capitale
i l t
Totale attivo
Altri costi(b)
10.000
4.000
Ammortamento
Utile ante imposte
-4.000
-3.953
1.595
7.143
10.690
6.238
1.785
1.000
Imposte (t=33%)(c)
-1.320
-1.304
526
2.357
3.528
2.059
589
330
Utile netto
-2.680
-2.649
1.069
4.786
7.162
4.179
1.196
670
(a) Valore di realizzo. La differenza tra il valore di realizzo e il valore contabile (€ 0) costituisce una plusvalenza tassabile.
(b) Costi di impianto negli anni 0 e 1 e costi generali ed amministrativi negli anni dall’1 al 6.
(c) Ipotizzando che nel complesso la C&G sia in utile, la perdita del progetto “Guano” negli anni 1 e 2 consente di diminuire
progetto
g
“Guano”,, il risparmio
p
fiscale costituisce cioè una componente
p
p
positiva di reddito.
il carico fiscale totale. A livello di p
Fonte : Brealey, Myers et al., 2007.
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9 Valutazione dei flussi di cassa : un esempio (3)
Progetto “Guano” : Previsioni corrette per l’inflazione attesa del 10% annuo(a) (dati in ‘000 €))
Periodo
Investimento
0
1
2
3
4
5
6
7
10.000
Fondo ammortamento
1.949
1.667
3.334
5.000
6.667
8.333
10.000
8.333
6.667
5.000
3.334
1.667
0
550
1 289
1.289
3 261
3.261
4 890
4.890
3 583
3.583
2 002
2.002
8.883
7.956
8.261
8.224
5.250
2.002
Fatturato
523
12.887
32.610
48.901
35.834
19.717
Costo del venduto
837
7.729
19.552
29.345
21.492
11.830
2.200
1.210
1.331
1.464
1.611
1.772
1.667
1.667
1.667
1.667
1.667
1.667
Valore cont. netto di I
10.000
C it l circolante
Capitale
i l t
Totale attivo
Altri costi
10.000
4.000
Ammortamento(b)
Utile ante imposte
-4.000
-4.181
2.281
10.060
16.425
11.064
4.448
1.949
Imposte (t=33%)(c)
-1.320
-1.380
752
3.320
5.420
3.651
1.468
643
Utile netto
-2.680
-2.801
1.529
6.740
11.005
7.413
2.980
1.306
(a) Si ipotizza che prezzi e costi crescano allo stesso tasso lungo la vita utile dell’investimento.
(b) I risparmi fiscali originati dall’ammortamento non aumentano con l’inflazione giacchè la legge fiscale permette di
ammortizzare solo il costo storico dell’impianto.
Fonte : Brealey,
y Myers
y
et al., 2007.
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9 Valutazione dei flussi di cassa : un esempio (4)
Flusso di cassa a disposizione dell’impresa (FCFF)
I flussi di cassa
vengono
determinati
rettificando
l’ til di
l’utile
esercizio
+
=
Utile netto
Ammortamenti + Costo TFR
ΔCCN
Flusso di Cassa Operativo (OCF)
Flusso di Cassa Operativo
- Investimenti (Flusso di Cassa per Investimenti)
+ Disinvestimenti (Flusso di Cassa per Investimenti)
+ Nuovi finanziamenti (Flusso di Cassa Finanziario)
- Dividendi (Flusso di Cassa Finanziario)
(Cash from Operations)
(Cash for Investing)
(Cash from Investing)
(Cash from Financing)
(Cash for Financing)
= Flusso di Cassa a disposizione dell’impresa
(FCCF – Free
F
Cash
C h Fl
Flow ffor the
th Fi
Firm))
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9 Valutazione dei flussi di cassa : un esempio (5)
Progetto “Guano” : Analisi dei flussi di cassa (dati in ‘000 €))
Periodo
0
1
2
3
4
5
6
Fatturato
523
12.887
32.610
48.901
35.834
19.717
Costo del venduto
837
7.729
19.552
29.345
21.492
11.830
2.200
1.210
1.331
1.464
1.611
1.772
1 667
1.667
1 667
1.667
1 667
1.667
1 667
1.667
1 667
1.667
1 667
1.667
Altri costi
4.000
Ammortamento
7
Utile ante imposte
-4.000
-4.181
2.281
10.060
16.425
11.064
4.448
1.949
Imposte (t=33%)
-1.320
-1.380
752
3.320
5.420
3.651
1.468
643
Utile netto
-2.680
-2.801
1.529
6.740
11.005
7.413
2.980
1.306
+ Ammortamenti
1.667
1.667
1.667
1.667
1.667
1.667
- Variazione CCN
-550
-739
-1.972
-1.629
1.307
1.581
2.002
-1.684
2.457
6.435
11.043
10.387
6.228
3.308
- Investimento
-10.000
Flusso di cassa disp.
-12.680
Fonte : Brealey,
l
Myers et al.,
l 2007.
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9 Valutazione dei flussi di cassa : un esempio (6)
• L’analisi dei flussi di cassa del progetto “Guano” non ha preso in
considerazione il problema del suo finanziamento
• Implicitamente si è considerato come se il progetto fosse tutto finanziato
tramite mezzi p
propri.
p Con q
questo approccio
pp
al p
problema, siamo in g
grado di
separare l’analisi della decisione di investimento da quella del
finanziamento
• Una volta determinata la convenienza economica del progetto, si potrà
analizzare separatamente il problema del finanziamento
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Criteri di valutazione degli investimenti
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Criteri di valutazione di progetti indipendenti
• Tra i vari criteri, o tecniche, di valutazione di un progetto di investimento,
quello considerato come il principale riferimento è il
1. Criterio del valore attuale netto (VAN o NPV)
e approccio DCF
• A tale metodologia si affiancano diversi criteri alternativi, tra i quali i più
diffusi sono
2. Il criterio del tasso interno di rendimento (TIR o IRR)
3. Il profitto economico (EVA)
4. Il criterio del periodo di recupero (PB)
• I primi
i i ttre criteri
it i restituiscono
tit i
una misura
i
d
della
ll redditività
dditi ità del
d l progetto
tt
d’investimento, il quarto invece offre una misura della liquidità
dell’investimento
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Facoltà di Ingegneria
1. Il criterio del valore attuale netto (VAN) (1)
• Nella valutazione di un progetto di investimento, il VAN indica la
variazione di ricchezza che l’impresa ottiene dalla scelta di effettuare
l’i
l’investimento
i
• In p
particolare, il VAN di un p
progetto
g
corrisponde
p
al valore attuale dei flussi
di cassa generati dall’investimento al netto dell’esborso (iniziale) per
realizzare il progetto
• In altri termini, la metodologia del valore attuale netto si sostanzia nel
calcolo della creazione/distruzione netta di ricchezza generata
dall’investimento mediante l’attualizzazione al tempo
p t0 di tutti i flussi di
cassa in ingresso ed in uscita ad un tasso di sconto adeguato. Tale tasso
deve riflettere sia il valore temporale del denaro sia il rischio del progetto
– Perché il tasso di sconto adeguato è il costo opportunità del capitale?
– Perché il costo opportunità del capitale corrisponde al rendimento del
miglior impiego alternativo appartenente alla medesima classe di
rischio del progetto in parola
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1. Il criterio del valore attuale netto (VAN) (2)
• Formula del valore attuale netto (VAN) (Net Present Value, NPV)
VAN = −C0 +
C3
C1
C2
CT
+
+
+
...
+
(1 + r ) (1 + r ) 2 (1 + r )3
(1 + r )T
T
Ct
VAN = −C0 + ∑
t
t =1 (1 + r )
– C0 , flusso di cassa corrispondente
al costo dell’investimento
p
– Ct : {C1 … CT}, flussi di cassa futuri generati dall’investimento relativi al
tempo t : {1 … T}
Rendimento di p
progetti
g
alternativi
– r,
r costo opportunità del capitale
appartenenti alla medesima classe di
rischio cui si rinuncia investendo nel
– T, orizzonte temporale dell’investimento
progetto – Premio per sopportare un
flusso di cassa posticipato nel tempo
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1. Il criterio del valore attuale netto (VAN) (3)
• Criterio di decisione
– Accettare il progetto se VAN > 0
• L’analisi del progetto di investimento ha rilevato che i benefici
futuri, valorizzati oggi, sono superiori ai costi dell’investimento
dell investimento e,
quindi, che all’effettuazione del progetto è associata una variazione
di ricchezza positiva, ossia una creazione di valore
– Rifiutare il progetto se VAN < 0
• L’investimento ha un costo superiore ai benefici e quindi va
rigettato perché distrugge valore
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pagina 97
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VAN : esempio 1
• Riprendiamo il progetto “Guano” dell’esempio precedente e valutiamone la
convenienza economica con il metodo del VAN nel caso in cui il costo
opportunità del capitale sia pari al 20%
Progetto “Guano” : Analisi dei flussi di cassa (dati in ‘000 €)
Periodo
0
1
2
3
4
5
6
7
-2.680
-2.801
1.529
6.740
11.005
7.413
2.980
1.306
+ Ammortamenti
1.667
1.667
1.667
1.667
1.667
1.667
- Variazione CCN
-500
-789
-1.972
-1.629
1.307
1.581
2.002
2 406
2.406
6 435
6.435
11 043
11.043
10 387
10.387
6 228
6.228
3 308
3.308
5.325
4.174
Utile netto
- Investimento
-10.000
Flusso di cassa disp.
disp
-12.680
12 680
-1.634
1 634
VA dei flussi di cassa
-12.680
-1.362
VAN
1.671
3.724
2.086
923
3 862
3.862
• L’investimento crea ricchezza netta per 3,8 M€ e pertanto andrebbe
intrapreso
Fonte : Brealey, Myers et al., 2007.
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pagina 98
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VAN : esempio 2 (1)
• I ricercatori dell’impresa FFF - Fredrick Feed and Farm ritengono di poter
produrre un nuovo fertilizzante ecologico con un risparmio significativo di
costi rispetto alla linea attualmente in produzione
• Il prodotto richiederà un nuovo impianto , che può essere costruito
immediatamente ad un costo di 250 milioni di $,
$ e secondo le stime genererà
un flusso di cassa netto di 35 milioni di $ l’anno a partire dalla fine del primo
anno e per sempre
35 $
35 $
35 $
35 $
……..……..
tempo
La successione di q
questi flussi di cassa
costituisce una rendita perpetua
- 250 $
Fonte : Berk et al., 2009.
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Decisioni di lungo periodo
pagina 99
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VAN : esempio 2 (2)
• Il VAN del progetto, dato un certo costo opportunità del capitale r, sarà
perciò pari a
VAN = −250 +
35
r
• E il grafico corrispondente del VAN in funzione di r sarà
VAN (r)
100 $
10% 14%
r
• Per decidere se investire occorre conoscere il costo del capitale : si osserva
infatti che il VAN risulta positivo solo per tassi di sconto inferiori al 14%
• FFF stima un costo del capitale del 10%; il progetto ne aumenterà quindi il
valore di 100 milioni di $ e va senz’altro
senz altro realizzato !
Fonte : Berk et al., 2009.
Economia Applicata all’Ingegneria
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Decisioni di lungo periodo
pagina 100
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Facoltà di Ingegneria
Relazione inversa tra costo del capitale e VAN
• L’esempio precedente ci dimostra come il VAN di un progetto di
investimento non sia invariante rispetto al tasso di sconto scelto per
attualizzare i flussi di cassa futuri da esso generati
– La valutazione di un investimento dipende dal tasso di sconto. In
particolare,, al crescere di r il VAN(r)
p
( ) diminuisce
– Interpretazione matematica
• Ovvia
– Interpretazione economica
• Al crescere del rendimento del migliore dei progetti in cui si
potrebbe alternativamente investire, il valore del progetto – in
termini relativi - si contrae
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 101
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2. Criterio del tasso interno di rendimento (TIR) (1)
• Ad ogni investimento è associato un parametro, detto tasso interno di
rendimento o TIR (internal rate of return, IRR), che corrisponde al tasso di
attualizzazione che rende nulla la creazione di valore netto, ossia che
determina un VAN pari a zero
Tasso Interno di Rendimento Æ Tasso che rende il VAN = 0
TIR : VAN (r = TIR) = 0
T
Ct
− C0 + ∑
=0
t
t =1 (1 + TIR )
• Matematicamente, quindi, il TIR costituisce il tasso di attualizzazione per cui il
•
valore attuale dei flussi in ingresso eguaglia il valore attuale dei flussi in uscita
Economicamente, il TIR rappresenta il rendimento effettivo dell’investimento
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 102
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2. Criterio del tasso interno di rendimento (TIR) (2)
• Criterio di decisione
–
Accettare
A
tt
il progetto
tt se il TIR > r
• L’analisi del progetto di investimento ha rilevato che il rendimento
effettivo del progetto è superiore a quello del migliore tra gli impieghi
alternativi
lt
ti i appartenenti
t
ti alla
ll medesima
d i
classe
l
di rischio
i hi
–
Rifiutare il progetto se TIR < r
• L’investimento ha un rendimento più basso di quello richiesto da chi
investe e che è possibile ottenere dall’impiego alternativo del capitale
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 103
Università degli Studi di Bergamo
Facoltà di Ingegneria
2. Criterio del tasso interno di rendimento (TIR) (3)
• Si consideri graficamente la relazione tra il VAN ed il costo opportunità del
capitale
• Poiché il TIR è il tasso di attualizzazione che rende nullo il VAN di un
investimento, il grafico aiuta ad individuare il TIR del progetto
• In generale valgono le seguenti corrispondenze biunivoche
VAN(r)
VAN > 0
r < TIR
VAN < 0
r > TIR
VAN > 0
r < TIR
VAN < 0
r > TIR
TIR
Area di
accettazione
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Area di
rifiuto
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pagina 104
r
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TIR : esempio 1
• Riprendiamo il progetto “Guano” dell’esempio precedente e determiniamo il
valore del TIR
Periodo
Flussi di cassa
VAN
0
1
2
3
4
5
6
7
-12.680
-1.634
2.406
6.435
11.043
10.387
6.228
3.308
3.862
• TIR : VAN (r = TIR) = 0. Pertanto :
-12 680 - 1.634
-12.680
1 634 + 2.406
2 406 + 66.435
435 + 11.043
11 043 + 10.387
10 387 + 6.228
6 228 + 3.308
3 308 = 0
(1+TIR) (1+TIR)2 (1+TIR)3 (1+TIR)4 (1+TIR)5 (1+TIR)6 (1+TIR)7
TIR = 27,36%
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2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 105
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TIR : esempio 2 (1)
• Si calcoli il TIR della seguente stringa di flussi di cassa (in ‘000 €)
T
Ct
0
-10
1
3
2
3
VAN = −C0 +
-10
3
3
4
4
5
4
6
6
C6
C1
C2
+
+
...
+
=0
2
6
(1+ TIR) (1+ TIR)
(1+ TIR)
+ 3 + 3
+ 3 + 4 + 4 +
6
=0
(1 + TIR) (1+TIR)2 (1+TIR)3 (1+TIR)4 (1+TIR)5 (1+TIR)6
,
TIR = 26,46%
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2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 106
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TIR: esempio 2 (2)
• Se il costo opportunità del capitale è pari al 14%, cadiamo nella “regione di
accettazione” dell’investimento
r = 14%
CF
CCF
DCF
CDCF
0
-10,000
-10
10,000
000
-10,000
-10,000
1
3,000
-7
7,000
000
2,632
-7,368
2
3,000
-4
4,000
000
2,308
-5,060
3
3,000
-1
1,000
000
2,025
-3,035
4
4,000
3 000
3,000
2,368
-667
5
4,000
7 000
7,000
2,077
1,411
6
6,000
13 000
13,000
2,734
4,144
VAN
VAN (r=0%) = € 13,000
r
r =14%
TIR=26,46%
VAN (r=26,46%) = € 0
Area di
accettazione
tt i
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2009 / 2010
VAN (r=14%) = € 4,144
Decisioni di lungo periodo
pagina 107
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Facoltà di Ingegneria
9 Calcolo del TIR (1)
• Come si calcola il TIR?
–
–
È possibile
ibil calcolare
l l
il TIR utilizzando
tili
d programmii b
basati
ti su processii
ricorsivi (ad esempio, excel ha la funzione TIR.cost)
In alternativa è possibile utilizzare un approccio (manuale !) di tipo trial &
error
• In particolare, l’approccio trial & error si basa sull’inserimento per tentativi di
vari valori della variabile TIR fino al momento in cui l’equazione VAN=0 è
risolta
–
–
Se si ottiene un VAN negativo, si prova con un tasso inferiore, che
incrementa il VAN
Viceversa, se il VAN è positivo, si prova ad incrementare il tasso di
attualizzazione
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 108
Università degli Studi di Bergamo
Facoltà di Ingegneria
9 Calcolo del TIR (2)
• Esempio
Year
CF
DCF
NPV
NPV
NPV
NPV
NPV
NPV
@
@
@
@
@
@
5%
10%
15%
20%
15,1949%
15,1950%
5%
10%
15%
20%
15 1949%
15.1949%
15.1950%
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2009 / 2010
0
-2.500.000
2 500 000
1
1 000 000
1.000.000
2
800 000
800.000
3
600 000
600.000
4
600 000
600.000
5
600 000
600.000
-2.500.000
-2.500.000
-2.500.000
-2.500.000
-2.500.000
-2.500.000
660 044
660.044
303.398
10.348
-233.410
2
-4
952.381
909.091
869.565
833.333
868.094
868.093
>0
0
>0
>0
<0
725.624
661.157
604.915
555.556
602.870
602.869
518.303
450.789
394.510
347.222
392.511
392.510
493.621
409.808
343.052
289.352
340.736
340.735
470.116
372.553
298.306
241.127
295.791
295.790
VAN(15%)>0 e VAN(20%)<0,
quindi sarà 15%<TIR<20%
Approccio trial and error: TIR=15,194930%
Decisioni di lungo periodo
pagina 109
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9 Calcolo del TIR (3)
• Per calcolare il TIR è possibile anche impiegare l’interpolazione lineare,
ricorrendo alla similitudine tra i triangoli rappresentati dalla linea tratteggiata
VAN
10.348
A
d
B
e
-233.410
20%
15%
r
C
segmento BA = segmento dA
segmento BC segmento de
⎡
10 . 348
IRR = 15 % + ⎢
⎣10 . 348 − ( − 233 . 410 )
⎤
⎥ ⋅ ( 20 % − 15 %) = 15 . 2123 %
⎦
• E’ bene non usare un intervallo di interpolazione troppo grande poichè esso
può dar luogo ad un risultato impreciso
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2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 110
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VAN o TIR : le trappole del TIR
• Molte imprese preferiscono usare il TIR invece del VAN per valutare la
convenienza economica di un progetto di investimento
Percentuale di CFO’s che usano sempre una tecnica particolare per valutare gli I
76%
TIR
75%
VAN
57%
Tempo di recupero
12%
Indice di redditività
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Fonte : GrahamJ.R. e C.R: Harvey, The Theory and Practice of Finance: Evidence From the Field, Journal of
Financial Economics, 61, 2001.
• In realtà il VAN è il miglior
g
criterio di scelta degli
g investimenti p
perché il
criterio del TIR contiene diverse trappole
Economia Applicata all’Ingegneria
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Decisioni di lungo periodo
pagina 111
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Facoltà di Ingegneria
Trappola 1 : investimenti ritardati (1)
• Si consideri il seguente esempio -- Una casa editrice offre ad un importante exmanager 1 milione di $ per scrivere un libro sulle proprie esperienze di
b
business.
Egli
l stima che
h gli
l serviranno tre anni per scrivere ill llibro
b e che
h ill
tempo speso nella scrittura gli farà perdere fonti di reddito alternative per un
totale di 500 mila $ l’anno . Inoltre stima un costo del capitale del 10%
• Il profilo dell’investimento si configura nel modo seguente (in ‘000 $)
Anno
Cash flow
t=0
+1.000
t=1
-500
t=2
-500
t=3
-500
• Risulta
– TIR = 23,38% > r = 10 %
I da accettare
– VAN (r = 10%) = - $ 243.426
I da rifiutare
?
Fonte : Berk et al., 2009.
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Decisioni di lungo periodo
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Trappola 1 : investimenti ritardati (2)
• Perché i due criteri forniscono esiti opposti ?
VAN (r)
TIR = 23,38%
23 38%
r
• Perché in realtà quello descritto non è un investimento ma bensì un
finanziamento. Infatti nei progetti di investimento i flussi di cassa in uscita
precedono quelli in entrata.
entrata In questo caso,
caso invece
invece, prima si ottengono i soldi
del libro e poi si incorre nei suoi costi di produzione
• È come se si fosse preso denaro a prestito ee, quando si chiede un prestito
prestito, si
cerca il tasso più basso possibile. In altri termini, in questo caso il criterio
ottimale consiste nel prendere a prestito il denaro purchè il tasso del prestito
sia inferiore al costo opportunità del capitale
Fonte : Berk et al., 2009.
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pagina 113
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Trappola 2 : flussi di cassa non convenzionali (1)
• Si consideri la seguente stringa di flussi di cassa
Anno
A
Cash flow
tt=0
0
–4,500
tt=1
1
6,000
tt=2
2
6,000
tt=3
3
–8,000
• È facile verificare che il VAN di questo investimento si annulla sia con un tasso
di attualizzazione del 15,47% sia con un tasso di sconto pari al 33,3%
VAN
TIR = 15,47%
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pagina 114
TIR = 33,3%
r
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Trappola 2 : flussi di cassa non convenzionali (2)
• In generale
– Gli investimenti caratterizzati da un unico cambio di segno nei flussi di
cassa ammettono un unico TIR
– Dove invece si verifica più di un cambio di segno è possibile che vi sia più
di un tasso che annulla il VAN, ossia è possibile che un progetto di
investimento ammetta tassi di rendimento multipli
• Secondo la “regola
regola dei segni di Cartesio”
Cartesio , un polinomio può avere
tante soluzioni diverse quanti sono i cambiamenti di segno
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pagina 115
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Tassi di rendimento multipli : un esempio (3)
• In molti Paesi c’è un certo ritardo fra il momento in cui matura il reddito di
•
•
•
un’impresa e il momento in cui devono essere pagate le imposte su tale
reddito
dd
Consideriamo il caso di un’impresa che deve valutare la proposta di una
campagna pubblicitaria che comprende una spesa iniziale di € 1M e genera
un aumento dell’utile prima delle imposte di € 300.000 in ciascuno dei
prossimi cinque periodi
L’aliquota d’imposta è pari al 50% e le imposte sono pagate con un periodo
di ritardo
I flussi di cassa (differenziali) attesi dall’investimento sono i seguenti
Periodi
Flusso pre-tax
0
1
2
3
4
5
-1.000
+300
+300
+300
+300
+300
+500
-150
150
-150
150
-150
150
-150
150
-150
150
+800
+150
+150
+150
+150
-150
Imposte
Flusso after-tax
-1.000
6
Nota: l’esborso iniziale di € 1M nel periodo 0 riduce il debito di imposta nel periodo 1 di € 500.000; quindi scriviamo +500 nel periodo 1.
Fonte: “Capital budgeting”, Brealey, Myers et al.
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Tassi di rendimento multipli : un esempio (4)
• Calcolando la convenienza dell’investimento si ottiene
– VAN(r
( = 10%)) = 74,9 ovvero € 74.900
– TIR = - 50% e TIR = 15,2%
• In altri termini, l’investimento presenta due TIR : il VAN è uguale a zero sia
quando
d ill tasso di
d attualizzazione
l
è -50%
% sia quando
d è +15,2%
%
• La figura mostra che ciò accade perché, al crescere di r, il VAN all’inizio
aumenta e poi diminuisce
– Il motivo di ciò è ovviamente il doppio cambiamento di segno
VAN
TIR=-50%
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TIR=15,2%
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pagina 117
r
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Tasso interno di rendimento modificato (5)
• Le imprese a volte risolvono il problema dei tassi di rendimento multipli
retrocedendo, tramite l’attualizzazione al costo del capitale, l’ultimo flusso di
cassa sino ad
d ottenere una serie di
d flussi
fl
di
d cassa che
h presenta solo
l un
cambiamento di segno
• Da questa serie modificata si può derivare un tasso interno di rendimento
modificato
• Nel nostro esempio
p ciò significa
g
– 1 Calcolare il VA nell’anno 5 del flusso di cassa dell’anno 6
VA.nell ' anno.5 = −150 / 1,1 = −136,36
– 2 Sommare al flusso di cassa dell
dell’anno
anno 5 il valore attuale dei flussi di
cassa successivi
C5 + VA( flussi.di.cassa.successivi) = 150 − 136,36 = 13,64
– 3 Calcolare
C l l
il TIR modificato,
difi
che
h sarà
à unico
i e parii all 15% data
d
la
l
presenza di un unico cambiamento di segno, con la serie dei flussi di
cassa modificati
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Altri esempi di flussi di cassa non convenzionali (6)
• Nel nostro esempio il doppio cambiamento di segno era causato da un
ritardo nel pagamento delle imposte, ma questo non è il solo caso che può
capitare
• Molti progetti originano significativi costi di smantellamento. In un’attività
di estrazione del carbone,
carbone ad esempio
esempio, occorre investire molto per recuperare
il terreno dopo che tutto il carbone è stato estratto. Quindi, una nuova
miniera origina un investimento iniziale (flusso di cassa negativo), una serie
di flussi di cassa positivi e un’uscita
un uscita finale per il recupero del terreno
• La serie dei flussi di cassa cambia segno due volte e perciò l’investimento in
una miniera di solito ha un TIR doppio
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pagina 119
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Altri esempi di flussi di cassa non convenzionali (7)
•
Esempio – Progetti con flussi di cassa non convenzionali
Project
C0
C1
C2
C3
C4
NPV(10%)
IRR
A
-1000
0
0
0
5000
2415
50%
B
-1000
500
500
0
0
-132
0%
C
-1000
1000
500
500
500
3180
2415
67%
D
1000
-500
-500
-500 -3180
-2415
67%
E
-1000
500
500
176
0
0
10%
F
-1000
3000 -2500
0
0
-339
?
G
-650
3000 -2500
0
0
11
252%
Progetti A e C
VAN(A) = VAN(C) ma TIR(A) < TIR(C)
Progetti C e D
VAN(C) = -VAN(D) ma TIR(C) = TIR(D)
9%
Progetti
FeG
g
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Decisioni di lungo periodo
pagina 120
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Altri esempi di flussi di cassa non convenzionali (8)
Internal Rates of Return
Multiple IRRs and No IRR
400
NPV G
NPV F
200
300%
290%
280%
270%
260%
250%
240%
230%
220%
210%
200%
190%
180%
170%
160%
150%
140%
130%
120%
110%
90%
100%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10%
0
NPV
200
-200
-400
TIR multipli
-600
Nessun TIR
-800
800
-1000
r
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3. Profitto economico (EVA) (1)
• Il nome di Economic Value Added (EVA) è stato coniato da Stern Stewart,
una società di consulenza specializzata nel miglioramento dell’efficienza
aziendale
d l
• In p
particolare, l’Economic Value Added, il cui acronimo EVA è stato p
persino
registrato come marchio, non è nato come criterio di scelta degli investimenti,
e anche oggi non è utilizzato principalmente a questo scopo, ma si basa su
molti concetti comuni al calcolo del VAN. Ipotizzeremo un criterio
decisionale basato sull’EVA e lo metteremo in relazione con il VAN
• L
L’EVA
EVA misura il valore che annualmente ll’impresa
impresa riuscirebbe ad estrarre dal
progetto in corso di valutazione rispetto al costo che sosterrebbe per usare il
capitale che il progetto richiede
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pagina 122
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3. Profitto economico (EVA) (2)
Formula dell’EVA quando il capitale investito è costante
• Consideriamo
C
id i
un progetto
tt che
h richieda
i hi d un investimento
i
ti
t iniziale
i i i l di I.
I
Supponiamo che il capitale rimanga costante nel tempo e generi un flusso di
cassa C t ad ogni data futura t. Se il costo del capitale è pari ad r, allora in ogni
periodo il costo di impegnare I nel progetto invece di investirli altrove
altrove, è r * I.
I
Questo costo, ossia il costo opportunità associato all’uso del capitale nel
progetto, è detto costo del capitale impiegato
• In ciascun periodo t dell’investimento, l’EVA è pari alla differenza tra il flusso
di cassa generato dal progetto e il costo del capitale impiegato
EVAt = C t − r * I
• Il criterio di decisione associato a questo metodo è perciò : accettare qualsiasi
opportunità di investimento in cui il valore attuale di tutti gli EVA futuri sia
positivo
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 123
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EVA : esempio 1
• Si riprenda l’esempio precedente dell’impresa FFF e si calcoli l’EVA del
progetto fertilizzante, che richiede un investimento di 250 milioni di $ e genera
un flusso netto di 35 milioni di $ ogni anno
• L’EVA ogni anno è
EVAt = 35 − r * 250
• Usando la formula della rendita perpetua, il valore attuale di questi EVA è
35 − 250r 35 − 250r 35
=
=
− 250
t
r
r
t =1 (1 + r )
∞
VA( EVA) = ∑
• Questo
Q
t valore
l
corrisponde
i
d all VAN d
dell progetto
tt : lla FFF d
dovrebbe
bb effettuare
ff tt
l’investimento se il suo costo del capitale è inferiore al 14%
Fonte : Berk et al., 2009.
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2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 124
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Facoltà di Ingegneria
3. Profitto economico (EVA) (3)
Formula dell’EVA quando il capitale investito varia
• Il capitale
it l investito
i
tit in
i un progetto
tt tipicamente
ti i
t diminuisce
di i i
nell tempo
t
perché
hé con
l’uso si logora e tende a perdere valore
• Sia I t-1 il capitale allocato nel progetto alla data t-1 ; il costo del capitale
impiegato nel periodo t è allora r * I t-1 . Tenendo inoltre conto del costo
derivante dal deprezzamento del capitale, ossia dell’ammortamento, l’EVA di
periodo
i d risulta
i l parii a
EVAt = C t − r * I t −1 − ammortamentot
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2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 125
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Facoltà di Ingegneria
EVA : esempio 2 (1)
• Si sta considerando di installare un nuovo sistema di illuminazione a risparmio
energetico nel magazzino aziendale. L’installazione costa 300 mila $ e si stima un
risparmio
p
totale di 75 mila $ l’anno. Le lampadine
p
si deprezzeranno
p
in modo
uniforme lungo un periodo di 5 anni, al termine del quale dovranno essere
sostituite. Cosa indica il criterio dell’EVA circa l’opportunità di questo progetto,
se il costo del capitale per l’impresa è pari al 7% ?
• L’EVA ogni anno si calcola come segue
A
Anno
0
1
2
3
4
5
300
240
180
120
60
0
Flusso di cassa
75
75
75
75
75
Costo del capitale impiegato
21
16,8
12,6
8,4
4,2
Ammortamento
60
60
60
60
60
EVA
-6,0
-1,8
2,4
6,6
10,8
Capitale
• Ad esempio,
esempio EVA1 = 75 − 7% * 300 − 60 = −6
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2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 126
Fonte : Berk et al., 2009.
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Facoltà di Ingegneria
EVA : esempio 2 (2)
• Quindi, il valore attuale di tutti gli EVA annui cosi calcolati è
VA( EVA) =
− 6,0
− 1,8
− 2,4
6,6
10,8
+
+
+
+
= 7,51mila$
(1 + 0,07) (1 + 0,07) 2 (1 + 0,07) 3 (1 + 0,07) 4 (1 + 0,07) 5
… e pertanto il progetto va accettato
• Proviamo a calcolare anche il VAN di questo investimento. Risulta
5
VAN = −300 + ∑
t =1
75
= 7,51mila$
t
(1 + 0,07)
• Come vediamo, anche in questo caso, i criteri dell’EVA e del VAN coincidono !
Fonte : Berk et al., 2009.
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 127
Università degli Studi di Bergamo
Facoltà di Ingegneria
4. Il criterio del periodo di recupero (PB) (1)
• È il criterio più semplice per le decisioni di investimento e sostiene che
un’opportunità che permette di recuperare rapidamente l’investimento iniziale
è buona
– Nello specifico, il periodo di recupero o tempo di ripagamento (pay back,
PB) rappresenta l’orizzonte temporale futuro oltre il quale, in termini
attuali, l’investimento
l investimento comincia a generare valore netto
– Rappresenta una sorta di punto di break-even dell’investimento
– Il PB esprime, quindi, il grado di liquidità di un progetto (non la sua bontà
economica)
• In generale, fissato a priori un periodo di recupero di x anni (detto cut-off
period), si accettano tutti gli investimenti con un periodo di recupero inferiore o
uguale a x
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 128
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4. Il criterio del periodo di recupero (PB) (2)
• Graficamente, il tempo di recupero può essere rappresentato nel modo seguente
CDCF(t)
()
VAN
Oltre il tempo t = BP,
BP i benefici attesi dell’investimento
dell investimento,
espressi in valore attuale, sono superiori ai costi
PB
x
T
t
In corrispondenza del tempo t = BP i costi dell’investimento
sono, in termini attuali, interamente recuperati
Progressivamente, l’investimento comincia a generare i suoi
benefici e il valore attuale cumulato comincia a crescere
-C0
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
Il VAN cumulato al tempo t = 0 necessariamente corrisponde
all’esborso dell’investimento
Decisioni di lungo periodo
pagina 129
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PB : esempio 1 (1)
• Un nuovo progetto richiede un investimento iniziale di € 10.000 e genererà
flussi di cassa futuri pari a € 3.000 nei primi tre anni, € 4.000 nei successivi due e
€ 6.000 il sesto anno
• Il tasso di rendimento richiesto è del 14%
• Qual è il periodo di recupero dell’investimento?
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pagina 130
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PB : esempio 1 (2)
• Costruiamo innanzitutto una tabella con l’indicazione del valore attuale dei
flussi di cassa futuri generati dall’investimento e del valore attuale cumulato al
termine di ciascun periodo tra t = 0 e t = T
CF
CCF
DCF
CDCF
0
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
1
3,000
-7,000
2,632
-7,368
2
3,000
-4,000
2,308
-5,060
3
3,000
-1,000
2,025
-3,035
4
4,000
3,000
2,368
-667
5
4,000
7,000
2,077
1,411
6
6,000
13,000
2,734
4,144
Discounted Payback: 5 years
dove
– CF, Cash Flows (C)
– CCF, Cumulative Cash Flows
– DCF,
DCF Discounted Cash Flows (VA)
– CDCF, Cumulative Discounted Cash Flows
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Decisioni di lungo periodo
pagina 131
Note: NPV is €4,144 > 0
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Quando impiegare il PB
• Il periodo di recupero è il numero di anni necessari per recuperare
l’investimento iniziale di un progetto attraverso l’accumulo del valore attuale
dei flussi di cassa in ingresso generati da un investimento
• In quanto misura della liquidità del progetto, nella scelta di un investimento
andrebbe sempre affiancato all
all’impiego
impiego di un criterio di bontà economica del
progetto
• È un metodo
d fortemente
f
utilizzato
ili
dal
d l management in
i presenza di elevata
l
incertezza sui flussi e sui rendimenti futuri
– E, normalmente, maggiore è l’incertezza minore è il cut-off period
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2009 / 2010
Decisioni di lungo periodo
pagina 132
Università degli Studi di Bergamo
Facoltà di Ingegneria
Vantaggi e svantaggi del criterio del PB (1)
Principali vantaggi del PB
• La
L valutazione
l t i
d
degli
li investimenti
i
ti
ti basata
b t sull metodo
t d del
d l periodo
i d di recupero è
utilizzata in modo diffuso, essenzialmente per i seguenti motivi
1. Semplicità ed efficacia – facile da comprendere ed utilizzare
2. Utile come strumento di valutazione e selezione di massima dei progetti
3. Efficace come incentivo alla g
generazione dei flussi di cassa,, nei casi in cui
ciò è importante
4. Utile nelle situazioni in cui l’analisi dettagliata degli altri metodi non è
necessaria (ad esempio, nelle decisioni di manutenzione)
5. Particolarmente adatto ai contesti in cui il rapido cambiamento tecnologico
e/o la turbolenza ambientale richiedono un rapido recupero degli
investimenti effettuati
Economia Applicata all’Ingegneria
2009 / 2010
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Vantaggi e svantaggi del criterio del PB (2)
Principali svantaggi del PB
1. È l’unico dei metodi analizzati a non fornire una valutazione sulla
redditività dei progetti (assoluta o relativa)
2. Tende ad ignorare i flussi di cassa oltre il cut-off period, una volta che
l’investimento iniziale è recuperato
3. Presenta la tendenza a rifiutare i progetti di lungo periodo, anche se
presentano VAN p
p
positivi
4. La tecnica è difficile da applicarsi se le spese di investimento avvengono in
più di un periodo, oppure se ci sono grandi spese nelle fasi conclusive della
vita del progetto
p g
• Nonostante gli svantaggi evidenziati sopra, il metodo del periodo di recupero
rimane uno degli strumenti più utilizzati nella valutazione dei progetti di
investimento
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