I numeri primi
Scritto da Maria Rispoli
Domenica 09 Gennaio 2011 12:58 - Ultimo aggiornamento Domenica 13 Marzo 2011 20:09
Un numero naturale n (eccetto lo 0 e l’1), che ha come divisori solo 1 e se stesso, è detto nume
ro primo.
Più precisamente, un numero primo è un numero intero p, maggiore di 1, che non ammette
divisori diversi da se stesso e da 1.
Euclide nel suo Libro VII de Gli Elementi afferma:
“numero primo è quello che è misurato soltanto dall’unità”.
In altre parole, nella sua definizione di numero primo Euclide ammette come unico divisore
l’unità, mentre non contempla la divisibilità del numero per se stesso.
I più piccoli numeri primi sono:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
L’importanza della classe dei numeri primi è espressa dal seguente:
Teorema fondamentale dell’aritmetica
“Ogni numero intero maggiore di 1 è scomponibile in un unico modo (a meno dell’ordine in cui
compaiono i fattori) come un prodotto di numeri primi positivi”.
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Pertanto, se un numero non è primo, può essere scomposto in un prodotto di fattori primi. Un
numero intero (diverso da 0 o da 1) che non sia primo si dice numero composto [1] .
Euclide, nella proposizione 20 del Libro IX de Gli Elementi, opera composta intorno al 300 a.C.,
afferma che la serie dei numeri interi primi è illimitata:
“I numeri primi sono più di qualsiasi assegnata moltitudine di numeri”.
La dimostrazione è indiretta; si mostra infatti che se si assume l’ipotesi dell’esistenza di un
numero finito di interi si perviene ad una contraddizione.
Dimostrazione:
Sia P il prodotto di tutti i numeri primi, che si assumono essere di numero finito, e si consideri il
numero
N=P+1.
Ora, N non può essere un numero primo, giacché ciò contraddirebbe l’ipotesi secondo cui P
era il prodotto di tutti i numeri primi.
Pertanto N è un numero composto e vi deve essere qualche numero primo p che lo misura.
Ma p non può essere nessuno dei fattori primi di P, perché altrimenti dovrebbe essere un
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fattore di 1.
Se un numero p fosse fattore di N e di P sarebbe fattore anche della differenza N-P, infatti
basta metterlo in evidenza e pertanto sarebbe fattore di:
N-P=1.
Pertanto p deve essere un numero primo diverso da tutti quelli che costituiscono il prodotto P;
dunque, l’ipotesi che
P
era il prodotto di tutti i numeri primi deve essere falsa
[2]
.
C’è, inoltre, una dimostrazione di Euclide presente nell’opera Gli Elementi.
Dimostrazione:
“Siano A, B, C i numeri primi proposti; dico che esistono numeri primi in maggior numero che A,
B, C (cioè che ne esiste almeno un altro, oltre ad A, B, C).
Infatti, si prenda il minimo comune multiplo di A, B, C (VII, 36), e sia esso K; si aggiunga a K
l’unità U. Ora, il numero K+U o è primo o non lo è.
Dapprima, sia un numero primo; si sono dunque trovati i numeri primi A, B, C, K+U che sono in
maggior numero che A, B, C.
Ma sia adesso il caso in cui, per ipotesi, K+U non è primo, per cui esso è diviso da un numero
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primo (VII, 31).
Sia diviso dal numero primo D; dico che D non è uguale a nessuno dei numeri A, B, C.
Infatti, se possibile, sia uguale (a qualcuno di essi).Ma A, B, C dividono K; perciò anche D
dividerebbe K. Ma D divide pure K+U; ossia D dividerebbe, pur essendo un numero, anche
l’unità U che rimane di K+U (ossia dividerebbe anche la differenza fra i due numeri consecutivi
K+U e K, vale a dire, pur essendo un numero, dividerebbe l’unità U): il che è per assurdo.
Quindi D non è uguale a nessuno dei numeri A, B, C. Ed è, per ipotesi, primo.
Dunque si sono trovati numeri primi, cioè A, B, C, D, più numerosi di quanti numeri primi si
siano proposti, cioè A, B, C”.
Vale a dire, siano dati i numeri primi a, b, c. Dico che esiste almeno un quarto numero primo.
Per raggiungere tale scopo si moltiplicano tra loro i tre numeri dati e si aggiunge una unità, si
ottiene così il numero:
d= abc+1.
Se d è primo , esso è un altro numero primo esistente oltre ad a, b, c. Quindi è stata dimostrata
l’esistenza di un quarto numero primo.
Se d non è primo, esso ammette almeno un divisore primo (diverso da 1) e questo divisore lo
chiamo
h.
Dico che h è diverso da a, b, c, e quindi che esso costituisce un quarto numero primo del quale
si voleva appunto dimostrare l’esistenza.
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Se, infatti, il numero h fosse uguale ad uno dei tre numeri a, b, c, esso dividerebbe il prodotto a
bc
. Ma avendo supposto che il numero
h
divida anche:
d= abc+1,
allora h dividerebbe pure la differenza tra (abc+1) e abc, ossia l’unità:
abc + 1 – abc = 1
Abbiamo potuto affermare questo perché: se un numero x divide il numero y e divide pure il
numero
z allora
divide la differenza
y-z
.
Infatti:
se x divide y, sarà:
y=x*p
se x divide z, sarà:
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z=x*q
allora:
y-z=xp-xq=x(p-q)
per cui si divide la differenza y e z che è (p-q).
Ma h, numero intero diverso da 1, non può essere un divisore di 1. L’assurdo a cui si è
pervenuto deriva dal fatto che si è supposto che
h possa essere uguale ad a o a b o a c.
Pertanto:
h diverso da a, h diverso da b, h diverso da c,
cioè h è un quarto numero primo
E così via. Cioè si può dimostrare l’esistenza di un quinto numero primo, ecc.
Uno dei più grandi numeri primi è un numero di 909.526 cifre formato da 2 3.021.377 .
La scoperta è opera del GIMPS, un progetto che ha collegato 4.000 computer di appassionati di
tutto il mondo ognuno dei quali aveva il compito di esaminare un intervallo di numeri. Il fortunato
scopritore fu il diciannovenne Roland Clarksen, studente universitario della California che
annunciò la sua scoperta il 27 gennaio del 1998.
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Nayan Hajratwala, un giovane informatico del Michigan, ha trovato il più grande numero primo
oggi conosciuto 2 6.972.593 -1. Il numero è stato ottenuto dalla formula di Mersenne 2 n -1, la quale
però non assicura che il numero generato sia primo: per provarlo occorre verificare che non è
divisibile per nessuno dei numeri precedenti, ad eccezione di 1.
Hajratwala ha fatto lavorare il suo computer per 111 giorni. Il numero record si compone di
2.098.960 cifre, per scriverlo occorrono circa 1.000 pagine di un normale libro.
RICERCA DEI NUMERI PRIMI
Possiamo costruire una tavola dei numeri primi minori di un certo valore n operando nel modo
seguente: dapprima scriviamo in ordine tutti i numeri interi minori di
n
; poi da questa tabella cancelliamo tutti i multipli di 2; successivamente eliminiamo tutti i multipli
di 3, quindi i multipli di 5 e così via fino ad aver eliminato tutti i numeri composti.
Questo procedimento, noto come il Crivello di Eratostene, tratterrà nelle sue maglie tutti i
numeri primi minori di
n.
Il testo più antico che dà una descrizione del crivello è quello dei neopitagorico Nicomaco di
Gerasa (II sec. d. C.).
Perfezionando questo metodo sono state gradualmente calcolate tavole complete di numeri
primi fino a 10.000.000, che ci forniscono una enorme quantità di dati empirici circa la
distribuzione e le proprietà dei numeri primi [3] .
Generalmente disponibile e soprattutto priva di errori è la tavola dei primi fino a 10 7 elaborata
da D. N. Lehmer.
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Non siamo ancora riusciti, invece, a determinare un criterio, ammesso che esista, e, quindi, un
algoritmo, che ci consenta di determinare a priori la distribuzione dei numeri primi all’interno
dell’insieme dei numeri naturali.
Infatti, uno dei più antichi problemi riguardanti i numeri primi consiste nel fatto che nessuno mai
è riuscito a trovare una formula o un sistema che permettano di determinare se un numero è
primo o no.
Sono stati fatti dei tentativi per trovare delle semplici formule aritmetiche che diano soltanto
numeri primi, anche se magari non tutti.
Eulero nel 1751 afferma:
“I matematici hanno provato invano finora a scoprire qualche ordine nella successione dei
numeri primi e si ha diritto a credere che è un mistero che lo spirito umano non saprà penetrare.
Per convincersene, basta gettare gli occhi sulle tavole dei numeri primi, che alcuni si sono dati
la pena di costruire fino a centomila, e ci si accorgerà subito che non vi regna alcun ordine o
regola. Questa circostanza appare tanto più sorprendente quando si rifletta sul fatto che
l’Aritmetica ci fornisce regole sicure con le quali si è in grado di prolungare la successione di tali
numeri fin dove si vuole, senza però lasciare la minima traccia di qualche ordine [4] ”.
Un modo molto semplice per ottenere dei numeri primi sempre più grandi è descritto in
seguito.
Tali numeri si ottengono aumentando di 1 successivamente i prodotti di numeri primi
consecutivi a partire da 2.
Si ha così:
2+1=3
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2*3+1=7
2*3*5+1=31
2*3*5*7+1=211
…………………….
I numeri 3, 7, 31, 211, … sono numeri primi.
E’ chiaro però che, con il procedimento indicato, non si ottengono tutti i numeri primi compresi
fra 2 ed un numero assegnato; per esempio, non si ottengono i numeri 5, 11, ecc.
Fermat formulò la famosa ipotesi che tutti i numeri della forma:
con n numero naturale (o intero positivo), siano primi.
Questo tipo di numeri primi vengono chiamati primi di Fermat perché nel 1640 Fermat scrisse a
un corrispondente scientifico, il padre (dell’ordine dei minimi) Marin Mersenne, di avere
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scoperto una formula che è quella riportata sopra, mediante la quale si ottenevano solo numeri
primi, benché egli dichiarasse di non averne alcuna dimostrazione [5] .
In effetti per n = 1, 2, 3, 4 si ottengono i numeri:
tutti primi.
Nel 1732 Eulero dimostrò che la congettura di Fermat era falsa, infatti scoprì che:
non è primo.
Nel 1880 F. Landry riuscì a dimostrare che anche F(6) è composto; e nel 1975 Brillhart e
Morrison dimostrarono che anche F(7) è composto.
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Nel 1981 Richard P. Brent e John Pollard sono riusciti a scomporre l’enorme numero F(8)
dimostrando che non è primo.
Attualmente si sono fattorizzati tutti i numeri primi di Fermat fino a F(23), ma non si sa ancora
se il numero di Fermat F(24) con le sue 5.050.446 cifre sia o no primo [6] .
Più tardi, ricorrendo, date le insormontabili difficoltà del calcolo diretto, a metodi della teoria dei
numeri ogni volta più complicati, si trovò che tranne i primi quattro gli altri numeri di Fermat
sono composti.
Un’altra notevole espressione che dà luogo a molti numeri primi è:
f(n) = n 2 – n + 41
Per n = 1, 2, 3, …, 40, è primo; ma, per n = 41, si ha un numero non primo: infatti 1.681 = 41 2 = 41 * 41.
Anche l’espressione
n 2 – 79n +1601
dà luogo a numeri primi per ogni n fino a 79, ma per n = 80 non si ottiene un numero primo [7] .
Eulero propose anche alcuni algoritmi che davano come risultato dei numeri primi. Due di questi
sono:
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n 2 + n + 41
n 2 + n + 17
ma questi algoritmi come quelli mostrati in precedenza non forniscono tutti i numeri primi.
Altri numeri primi sono i numeri di Mersenne:
Mp = 2p – 1
con p primo, che intervengono nella teoria dei numeri perfetti.
I numeri primi di questa forma si dicono primi di Mersenne per il fatto che vennero discussi
sistematicamente nei Cogitata physica mathematica (Paris 1644) del padre Marin Mersenne [8]
.
Uno dei più grandi interi riconosciuti come primo è (2 127 – 1) la cui rappresentazione decimale
ha 39 cifre.
DISTRIBUZIONE MEDIA DEI NUMERI PRIMI
Il passo decisivo, nella ricerca di una legge da cui dipenda la distribuzione dei numeri primi, fu
compiuto quando i matematici rinunciarono ai tentativi di trovare una formula matematica
semplice che rappresentasse tutti i numeri primi o desse il numero esatto dei numeri primi
contenuti nei primi n numeri interi, e cercarono di chiarire invece la distribuzione media dei
numeri primi tra i numeri interi.
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Per ogni numero intero n indichiamo con A n il numero di numeri primi contenuto tra gli interi 1,
2, 3, …,
n.
Sottolineiamo i numeri primi nella successione formata dai primi numeri interi:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
18 19
…
possiamo calcolare alcuni dei valori di A n :
A 1 = 0,
A 2 = 1,
A 3 = A 4 = 2,
A 5 = A 6 = 3,
A 7 = A 8 = A 9 = A 10 = 4,
A 11 = A 12 = A 13 = A 14 = A 15 = A 16 = 6,
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A 17 = A 18 = 7,
A 19 = 8,
ecc.
Ora prendiamo una successione di valori di n che cresca indefinitamente, per esempio
n = 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , …,
vediamo che i corrispondenti A n :
A 10 , A 10 2 , A 10 3 , A 10 4 , …,
crescono oltre ogni limite (anche se più lentamente).
Poiché esistono infiniti numeri primi, presto o tardi i valori di A n supereranno qualunque numero
finito.
La densità dei numeri primi compresi tra i primi n numeri interi è data dal rapporto A n /n, e
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questi valori possono essere calcolati utilizzando una tavola di numeri primi per valori di
n
opportunamente grandi.
n
A
n
10
3
10
6
10
9
/
n
...
0,168
0,078498
0,050847478
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.............
La distribuzione dei singoli numeri primi tra gli interi è molto irregolare.
Ma quest’irregolarità individuale o, come si usa dire, in piccolo, sparisce se si concentra
l’attenzione sulla distribuzione media dei numeri primi data dal rapporto A n /n. La semplice
legge che governa il comportamento di questo rapporto è una delle scoperte più notevoli di tutta
la matematica.
Dopo uno studio empirico delle tavole dei numeri primi, Gauss osservò che il rapporto A n /n è
approssimativamente uguale a 1/
logn
, e che quest’approssimazione migliora con il crescere di
n
.
Allora per stabilire il teorema dei numeri primi dobbiamo definire il logaritmo naturale di un
numero intero
n.
A questo scopo consideriamo due assi perpendicolari nel piano e l’insieme di tutti i punti del
piano per i quali il prodotto delle distanze x e y da questi assi è uguale ad 1.
Questo luogo geometrico, in coordinate x e y, è un’iperbole equilatera, ed è definito
dall’equazione
xy = 1.
Definiamo il logn come l’area della figura seguente, limitata dall’iperbole, dall’asse x e dalle due
rette
x=1
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e
x=
n
(che sono parallele all’asse
y
).
Il rapporto A n /n è approssimativamente uguale a 1/logn e il grado d’approssimazione è dato dal
rapporto
i cui valori, per n = 1.000, 1.000.000, 1.000.000.000, sono dati nella seguente tavola:
n
A
n
/n
1/logn
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10
3
10
6
10
9
…
0,168
0,078498
0,050847478
.....................
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0,145
0,072382
0,048254942
.....................
1,159
1,084
1,053
............
Sulla base di questa verifica empirica Gauss formulò l’ipotesi che il rapporto A n /n è
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asintoticamente uguale a 1/
logn
.
Con questo intendeva che se si considera una successione di valori di n sempre crescente, per
esempio
n uguale a
2 , 10 3 ,
10, 10
10
4
, …, allora il rapporto:
calcolato per questi successivi valori di n, si andrà via via avvicinando a 1, e che la differenza
tra 1 e questo rapporto può divenire piccola a piacere per valori di
n
sufficientemente grandi
[9]
.
Dunque
sedei
s’indica
con
il numero
numeri
primi fino a n vale che:
E’ una scoperta molto notevole che il comportamento medio della distribuzione dei numeri
primi possa essere descritto dalla funzione logaritmica, poiché è sorprendente che due concetti
matematici apparentemente così lontani siano in realtà connessi tra loro.
Quest’ipotesi di Gauss fu dimostrata da Hadamard a Parigi e de La Vallée Poussin a Lovanio,
indipendentemente nel 1896.
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Se rappresentiamo la distribuzione dei numeri primi su un grafico, disponendo in ascissa la
sequenza dei numeri ordinali ed in ordinata il rispettivo numero primo, otteniamo la seguente
curva:
Nel grafico, non considerando la parte iniziale fino a n = 20, la linea di tendenza sembra essere
una retta o un’iperbole con una curvatura molto ampia.
Sembrerebbe quindi facile determinare un algoritmo che permetta di calcolare un numero
primo, in funzione di n.
In realtà qualsiasi formula che noi possiamo definire, non darà mai un risultato esatto per tutti i
numeri primi, come se la regola che li unisce tendesse a sfuggire ad ogni logica matematica.
CONGETTURE SUI NUMERI PRIMI
Mentre il problema della distribuzione media dei numeri primi è stato soddisfacentemente
risolto, vi sono molte altre ipotesi confermate da tutte le verifiche empiriche, ma di cui non si è
ancora dimostrata la validità.
Una di queste è la congettura di Goldbach (1690-1764) proposta in una lettera ad Eulero nel
1742:
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“tutti i numeri pari ad eccezione di 2 sono la somma di due numeri primi”.
Fino a poco tempo fa una dimostrazione della congettura di Goldbach sembrava
irraggiungibile; oggi non appare più tale.
Un risultato importante e inatteso, fu raggiunto nel 1931 da un giovane matematico russo allora
sconosciuto, Schnirelmann (1905-1938), il quale dimostrò che:
“ogni numero intero positivo può essere rappresentato come somma di non più di 300.000
primi”.
Questo è un primo passo verso la dimostrazione della congettura di Goldbach.
Più recentemente nel 1937 il matematico russo I. M. Vinogradov, usando metodi dovuti a
Hardy, Littlewood, e al loro grande collaboratore indiano Ramanujan, è riuscito a ridurre il
numero da 300.000 a 4.
Ci si è molto avvicinati ad una soluzione del problema di Goldbach.
Tutt’altro che vicino ad una soluzione è quest’altro problema.
Congettura dei primi gemelli.
“I numeri primi si presentano frequentemente in coppie della forma p e p+2, come 3 e 5, 11 e
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13, 29 e 31 ecc”.
Si ritiene corretta l’ipotesi che esistano infinite coppie fatte così, ma finora non si è compiuto il
minimo passo verso una dimostrazione [10] .
Osserviamo anche che:
“Un numero dispari maggiore di 5 è sempre somma di tre numeri primi”.
“Se consideriamo un numero e il suo doppio fra questi due numeri c’è sicuramente un numero
primo”.
“I numeri primi sono tutti dispari tranne il 2”.
C’è anche la congettura di Opperman.
“Fra il quadrato di un numero qualsiasi e la differenza tra il quadrato dello stesso numero più (o
meno) il numero stesso, c’è sempre un numero primo”.
Ad esempio:
25 - (25-5) = 5
49 - ( 49 + 7) = 7
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121 - (121-11) = 11
400 - (400-20) = 20
E la congettura di Brocard:
“Fra i quadrati di due numeri primi consecutivi maggiori di 2, ci sono sempre almeno 4 numeri
primi”.
Ad esempio tra (13) 2 e (11) 2 ci sono 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167.
Una procedura che consente di stabilire se un numero n dato in input è primo, considera una
variabile
c che è inizializzata al valore
2, questa variabile è incrementata all’interno di un ciclo in cui si verifica se il valore di
c
è un divisore
n,
se lo è e il suo valore è minore di
n
allora il numero
n
non è un numero primo.
Osserviamo che nella ricerca dei numeri primi non è necessario effettuare la verifica fino al
valore n , ma basterà per ogni numero n verificare se tutti gli interi da 2 alla radice quadrata di
n
sono divisori del numero stesso.
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Infatti
di 2 non troviamo
numeri
che
dividono
n,sarebbe
e i numeri
di sono prima
necessariamente
associati
ad un
fattore
che si
giàmaggiori
dovuto trovare
come divisore
di n, perché:
* = n
e,
se prendiamo
un numero
>
l’altro
fattore y deve
essere xminore
di
.
. Quindi possiamo fermarci a verificare fino al valore
[1] R. Courant, H. Robbins, Che cos’è la Matematica?, p.59, Bollati Boringhieri.
[2] C. B. Boyer, Storia della Matematica, Milano, Mondadori.
[3] R. Courant, H. Robbins, cit., pag.63.
[4] P. Nastasi, A. Scimone, Da Euclide a Goldbach Storie di Uomini e Numeri, Sigma.
[5] P. Nastasi, A. Scimone, Da Euclide a Goldbach Storie di Uomini e Numeri, Signa.
[6] P. Nastasi, A. Scimone, Da Euclide a Goldbach Storie di Uomini e Numeri, Sigma.
[7] R. Courant, H. Robbins, cit., p.63,64.
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[8] P. Nastasi, A. Scimone, Da Euclide a Goldbach Storie di uomini e numeri, Sigma.
[9] R. Courant, H. Robbins, cit., p.65-68.
[10] R. Courant, H. Robbins, cit., pag. 68-70.
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