Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Variabili aleatorie

Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni
3 – Teoria della probabilità
Prof. Mario Barbera
[parte 2]
1
Fondamenti di TLC - Prof. M. Barbera
Liberamente tratto da Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
3 – Teoria della probabilità
Variabili aleatorie
„
Esempio:
„
„
sia dato l’esperimento: “Scegliere un qualunque giorno non
festivo della settimana, per verificare casualmente il traffico di
un’autostrada settimana per settimana.
Lo spazio campione è:
S = {Lun, Mar , Mer , Gio,Ven, Sab}
non si presta a essere trattato matematicamente
Si definisce variabile aleatoria ξ una funzione reale
definita su uno spazio campione S, che associ ad ogni
risultato dell’esperimento aleatorio un numero reale
2
1
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ξ(s)
s
ω 1 •1
Variabili aleatorie
„
3 – Teoria della probabilità
sω22 •
sω 33 •
SΩ
Quindi, dato lo spazio campione:
x1
x2
x3
x
R
S = {Lun, Mar , Mer , Gio,Ven, Sab}
„
„
possiamo definire la variabile aleatoria
ξ(lun)=1, ξ(mar)=2, …, ξ(sab)=6
ξ(s) : S
R
Segue che:
„
„
se la probabilità dell’evento elementare “lun” è P(lun)=1/6
e ξ(lun) = 1
P{ξ ( s1 ) = 1} =
1
6
3
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3 – Teoria della probabilità
Assegnazione delle probabilità ad una
variabile aleatoria discreta
„
Lancio di una moneta
„
„
„
S=(T, C)
Poniamo x(T)=1
Abbiamo:
P{ξ = 1} = 1
„
2
x(C)=0
P{ξ = 0} = 1
2
Condizione da rispettare:
∑ P (ξ = x ) = 1
i
i
4
2
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3 – Teoria della probabilità
Assegnazione delle probabilità ad una
variabile aleatoria continua
„
Estrazione di un numero reale casuale nell’intervallo
S= [0,1]
„
„
definiamo la v.a. ξ(xi)=xi
0
Risulta:
xi
1
P(ξ = xi) = 0
poiché in uno spazio continuo le probabilità puntuali sono nulle
(insieme di misura nulla)
„
Determiniamo le probabilità per un sottoinsieme di
valori (intervallo di misura non nulla) che la v.a. ξ può
A
assumere…
P(ξ ≤ x)= A/1.
dove A=misura dell’intervallo
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0
x
1
5
3 – Teoria della probabilità
Funzione distribuzione cumulativa di una
variabile aleatoria
„
Funzione distribuzione di probabilità cumulativa (cdf) di ξ
(funzione della variabile reale x ∈[-∞,+∞])
Fξ ( x ) = Pr{ξ ≤ x}
∆
„
Proprietà della cdf:
6
3
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3 – Teoria della probabilità
Funzione distribuzione cumulativa di una
variabile aleatoria
„
Proprietà della cdf:
7
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3 – Teoria della probabilità
Funzione distribuzione cumulativa di una
variabile aleatoria
„
Proprietà della cdf:
8
4
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3 – Teoria della probabilità
Esempi di funzione distribuzione
cumulativa
Variabile aleatoria continua
Variabile aleatoria discreta
Variabile aleatoria mista
9
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3 – Teoria della probabilità
Calcolo di Fξ (x) per variabili aleatorie
discrete
„
Esempio: lancio del dado ξ(si) = i
⇒ P{ξ = i} = P{si } =
1
6
∀i = 1, K , 6
Fξ ( x ) = Pr{ξ ≤ x}
∆
Pr{ξ = x } = lim P ( x − ε < ξ ≤ x ) =
ε →0
( )
5/6
= lim Fξ ( x ) − Fξ ( x − ε ) = Fξ ( x ) − Fξ x −
ε →0
1
4/6
3/6
2/6
1/6
1
2
3
4
Se ξ è discontinua in x , l’ampiezza del salto in x è
pari alla probabilità Pr{ξ = x }
5
6
x
10
5
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3 – Teoria della probabilità
Funzione densità di probabilità (pdf) di
una variabile aleatoria
Definizione:
∆ dFξ ( x )
fξ ( x ) =
dx
„
fξ (x ) ≥ 0
x
Fξ ( x ) =
∫ fξ (u )du
−∞
poiché la Fξ(x) è monotona non decrescente
fξ (x )
b
Pr{a < ξ ≤ b} = Fξ (b) − Fξ (a ) = ∫ f ξ ( x )dx
a
∞
∫ fξ (x )dx = Fξ (+∞) − Fξ (∞) = 1
−∞
x
∫ f ξ ( x )dx = Fξ ( x ) − Fξ (−∞) = Fξ ( x )
11
−∞
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3 – Teoria della probabilità
Funzione densità di probabilità per una
v.a. discreta
Fξ ( x ) = Pr{ξ ≤ x}
∆
1
1
3/6
2/6
1/6
5/6
4/6
Fξ ( x ) = ∑ Pr{ξ ≤ x k }⋅ u( x − x k )
∆
k
2
3
4
5
6
x
fξ (x )
1/6
1
2
3
4
5
6
f ξ ( x ) = ∑ pk δ ( x − x k )
x
k
12
6
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3 – Teoria della probabilità
Esempi di funzioni densità di probabilità
Variabile aleatoria continua
Variabile aleatoria discreta
ξ
ξ
ξ
Variabile aleatoria mista
13
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3 – Teoria della probabilità
Indici caratteristici di una distribuzione
„
Notiamo che:
Non sempre è possibile arrivare a una conoscenza completa di una
variabile aleatoria (cdf o pdf)
Molto più spesso, ci si accontenta della conoscenza di alcuni
parametri statistici semplificati o indici caratteristici
„
„
„
Valore atteso o valore medio di una distribuzione
∞
η ξ = ∫ x f ξ ( x )dx = E{ξ }
per v.a. continua
−∞
∞
∞
−∞
−∞
∞
ηξ = E{ξ}= ∫ x fξ (x)dx = ∫ x∑ pk δ (x - xk )dx = ∑ pk ∫ xδ (x - xk )dx
∆
k
k
−∞
= ∑ pk xk
k
per v.a. discreta
14
7
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3 – Teoria della probabilità
Indici caratteristici di una distribuzione
Proprietà del valore medio:
„
„
„
Rappresenta un valore “baricentrico” attorno al quale si
distribuiscono i valori della variabile aleatoria stessa
È un operatore lineare:
E{α ⋅ ξ + β ⋅ υ } = α ⋅ E{ξ } + β ⋅ E{υ }
Esempio:
„
fξ (x )
f ξ ( x ) = ∑ pk δ ( x − x k )
k
1/6
1
2
3
4
5
6
x
1 2 3 4 5 6
6 6 6 6 6 6
ηξ = E{ξ} = ∑ pk xk = + + + + + = 3.5
k
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3 – Teoria della probabilità
Indici caratteristici di una distribuzione
„
Varianza:
v.a. continua
2 ∆
{(
σ ξ = E ξ −η ξ
v.a. discreta
) }= ∫ (x −η ) f (x )dx
2
∞
2
ξ
{(
∆
σξ2 =E ξ −ηξ
ξ
−∞
∞
= ∫ (x −ηξ )
x)
ffXξ2 ((x)
f ξ (x )
2
−∞
∞
∞
2
2
ξ
ξ
−∞
∑ p δ (x - x )dx =
k
k
k
∑ p ∫ (x −ηξ ) δ (x - x )dx = ∑ p (x
k
(x)
fXf1υ(x)
ηX
) }= ∫ (x −η ) f (x)dx =
k
2
k
−∞
k
k
k
−ηξ )
2
x
Densità di probabilità con ugual valore atteso
2
2
ma diversa varianza (σ υ > σ ξ )
16
8
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3 – Teoria della probabilità
Indici caratteristici di una distribuzione
Deviazione standard:
„
σ ξ = varianza
Valore quadratico medio o potenza di una v.a.:
„
v.a.continua
∆
v.a. discreta
∞
{ } ∫ x f (x )dx
mξ2 =E ξ 2 =
2
∆
∞
{ } ∫ x f (x )dx∑ p x
mξ2 =E ξ 2 =
ξ
2
ξ
k
k
−∞
−∞
2
k
NOTA: per la linearità dell’operatore E, risulta:
{
}
σ ξ2 = E (ξ − η ξ )2 = E{ξ 2 + η ξ2 − 2η ξ ⋅ ξ } = E{ξ 2 }+ E{η ξ2 }− E{2η ξ ⋅ ξ }
∆
= m ξ2 + ηξ2 − 2ηξ2 = m ξ2 − ηξ2
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3 – Teoria della probabilità
Indici caratteristici di una distribuzione
„
Momenti di ordine l :
v.a.continua
∆
v.a. discreta
∞
{ } ∫ x f (x )dx
mξl =E ξ l =
l
−∞
ξ
∆
∞
{ } ∫ x f (x )dx = ∑ p x
mξl =E ξ l =
l
−∞
ξ
k
l
k
k
18
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3 – Teoria della probabilità
La variabile aleatoria uniforme
„
(a,lab )
se
Una variabile aleatoria continua ξ è uniforme sull’intervallo
f ξ ( x ) in tale intervallo e si annulla
è costante
sua densità di probabilità
al di fuori di esso
„
Esempio: trovare la F e la f della v.a. “coordinata di un punto
scelto equiprobabilmente tra a e b
a
0
 x − a
Fξ ( x ) = 
b − a
1
se x < a
se a ≤ x ≤ b
se x > b
x
b
1
 dF
se a ≤ x ≤ b
 =
fξ ( x) =  dx b − a

altrove
19
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3 – Teoria della probabilità
La variabile aleatoria uniforme
„
Grafici e parametri caratteristici:
0
 x − a
Fξ ( x ) = 
b − a
1
se x < a
FFξY((y)x )
se a ≤ x ≤ b
1
se x > b
1
 dF
se a ≤ x ≤ b
 =
fξ (x) =  dx b − a

altrove
ηξ =
a+b
2
( )
f Yf ξ(y)x
1/(b-a)
a
a 2 + ab + b 2
mξ =
3
2
xy
b
2
(
b − a)
σξ =
2
12
20
10
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3 – Teoria della probabilità
La variabile aleatoria esponenziale
unilatera
„
Una variabile aleatoria continua ξ è esponenziale unilatera se:
 x
1
f ξ ( x ) = exp − u ( x )
η
 η
Fξ ( x ) =
∞
−∞
0
Funzione distribuzione cumulativa
ηξ = ∫ x fξ (x )dx = ∫ ( x η )exp(− x η )dx = η
∞
(
)
mξ2 = ∫ x 2 η exp(− x η )dx = 2ηξ2
∫ fξ (α )dα = [1 − exp(− x η )]u(x )
−∞
Funzione densità di probabilità
∞
x
1/η
FFξX((x)
x)
1
0
σ ξ2 = E{ξ 2 }− ηξ2 = ηξ2 = η 2
ffξX((x)
x)
x
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3 – Teoria della probabilità
Variabile aleatoria gaussiana o normale
„
Una variabile aleatoria continua ξ è gaussiana o normale se:
fξ (x ) =
1
2πσ X2
e
−
σ ξ2 = varianza
( x −η X )2
2σ X2
caratterizzata da
ηξ = valor medio
fξ (x )
x
22
11
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3 – Teoria della probabilità
Variabile aleatoria normale standard
„
Una variabile aleatoria continua ξ è normale standard se:
„
ξ è normale
„
con valor medio:
„
e varianza:
ηξ = 0
σ ξ2 = 1
Funzione densità di probabilità
2
(N )
fξ
1 − x2
(x ) =
e
2π
Funzione distribuzione cumulativa
x
Φ( x ) = Fξ( N ) ( x) =
∫
∆
−∞
1 −x2 / 2
e
dx
2π
1.2
1.0
QQ(n)
( x) = 1 − Φ (x )
(N)
Φ( x ) = FξΦ(n)
( x)
∆
0.8
0.6
0.4
ffξN( N(n)) ( x )
0.2
0.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
xn
non esprimibile in forma chiusa
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3 – Teoria della probabilità
Funzioni erf(x) ed erfc(x)
erf ( x) =
2
π
∫
x
0
2
e −θ d θ
Funzione error function
erfc( x) = 1 − erf ( x) =
2
π
∫
+∞
x
2
e −θ d θ
Funzione error function complementare
24
12
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3 – Teoria della probabilità
Funzioni erf(x) ed erfc(x)
25
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3 – Teoria della probabilità
Relazioni matematiche importanti
„
Variabile aleatoria normale ξ caratterizzata da valor
medio e varianza generici
2
 x − ηξ
Fξ ( x) = Φ
 σ
 ξ
„
ξ ∈ N (ηξ , σ ξ )
Legame v.a. normale standard Å Æ funzione erf
Φ ( x) =
„




1 1  x 
+ erf 

2 2  2
Probabilità che una v.a. Gaussiana assuma valori in un
intervallo [a,b]
26
13
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3 – Teoria della probabilità
Relazioni matematiche importanti
„
Φ( x) =
Probabilità che una v.a. Gaussiana assuma valori in un
intervallo [a,b]
1 1  x 
+ erf 

2 2  2
27
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3 – Teoria della probabilità
Trasformazione di una variabile aleatoria
ξ
y = g (x)
ξ (si )
η
si
S
η(si )
y = g (x)
Per il calcolo delle statistiche di η a partire di quelle di ξ si può osservare che:
Fη ( y ) = Pr{η ≤ y} = Pr{g (ξ ) ≤ y} =
∫
A
fξ ( x)dx
dove A = {x : g ( x) ≤ y}
28
14
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3 – Teoria della probabilità
Trasformazione di una variabile aleatoria
Nel caso in cui la funzione g(x) sia strettamente monotona:
Fη ( y) = Pr{η ≤ y} = Pr{g (ξ ) ≤ y} = Pr{ξ ≤ g −1 ( y)} = Fξ (g −1 ( y))
Se g(x) é crescente
Fη ( y) = Pr{η ≤ y} = Pr{g (ξ ) ≤ y} = Pr{ξ ≥ g −1 ( y)} = 1 − Fξ (g −1 ( y)) Se g(x) é decrescente
fη ( y) = fξ (g −1 ( y))⋅
−1
dg −1 ( y) fξ (g ( y))
=
dt
g′(g −1 ( y))
fη ( y) = − fξ (g −1 ( y))⋅
−1
dg −1 ( y) − fξ (g ( y))
Se g(x) é decrescente
=
−1
dt
g ′(g ( y))
Se g(x) é crescente
fξ (g −1 ( y))
fη ( y) =
g ′(g −1 ( y))
29
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3 – Teoria della probabilità
Trasformazione di una variabile aleatoria
ξ
y = g (x)
η(si )
Teorema del valor medio
E{g (ξ )} =
ξ (si )
si
η
+∞
∫ g (x ) fξ (x )dx
−∞
y = g (x)
S
30
15
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Liberamente tratto da Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
3 – Teoria della probabilità
Generazione di una v.a. con una
data distribuzione
NOTA: è un caso particolare del cambio di variabile, dove:
y = g (x)
u = FX−1 ( x)
31
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3 – Teoria della probabilità
Generazione di una v.a. con una
data distribuzione
ξU((ski ))
Graficamente
sski
0
η(si )
S
uk
1
y = η (uk ) = FX−1 (u k )
xk = η ( s k )
32
16
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3 – Teoria della probabilità
Generazione di una v.a. esponenziale
33
17