Logica e fondamenti di matematica
Docente: Prof. Roberto Giuntini ([email protected])
Cagliari 8 Novembre 2006
Corso di laurea in
Scienze della Comunicazione
Logica e teoria dell argomantazione. Cap. 1: Enunciati .
Logica proposizionale
Enunciato:
Non ogni discorso è dichiarativo ma solo quello in cui si dà
il dire il vero e il falso; e ciò non si dà sempre. La preghiera,
per esempio, è un discorso, ma non è né vero né falso. […]
Il discorso dichiarativo è l oggetto della nostra attuale
indagine
[Aristotele, De Interpretatione]
Enunciato (o proposizione) = configurazione linguistica
per cui ha senso chiedersi se sia vera o falsa.
Cagliari 8 Novembre 2006
Corso di laurea in
Scienze della Comunicazione
Logica e teoria dell argomantazione. Cap. 1: Enunciati .
Esempio:
• Mario legge.
• 2+2 = 5.
• Non piove.
Enunciato
• Giovanni canta e Maria balla.
• Che ore sono?
No enunciato
• Giovanni canta ma Maria suonerà?
Cagliari 8 Novembre 2006
Corso di laurea in
Scienze della Comunicazione
Logica e teoria dell argomantazione. Cap. 1: Enunciati .
Enunciati semplici = enunciati che non possono essere scomposti
in altri enunciati.
Enunciati composti =
enunciati che possono essere scomposti in
altri enunciati (cioè enunciati che non sono semplici).
I connettivi = collanti che tengono uniti gli enunciati composti.
Ipotesi di bivalenza = i possibili stati o valori di verità sono
unicamente due: il vero (che si indica con la lettera V o col valore
1) ed il falso (che si indica con la lettera F o col valore 0).
Vero-funzionalità della logica classica = proprietà secondo la
quale il valore di verità di un enunciato composto dipende dai valori
di verità degli enunciati semplici che lo costituiscono.
Cagliari 8 Novembre 2006
Corso di laurea in
Scienze della Comunicazione
Logica e teoria dell argomantazione. Cap. 1: Enunciati .
Connettivi:
1) Negazione ( non :
composto).
input
α
1
0
¬ ) : α = Cagliari è una grande città.
¬α = Cagliari non è una grande città.
¬α
0
1
Connettivo unario: si applica ad
un solo enunciato (semplice o
output
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Corso di laurea in
Scienze della Comunicazione
Logica e teoria dell argomantazione. Cap. 1: Enunciati .
2) Congiunzione ( e :
∧) : α = Cagliari è una grande città.
β = Cagliari si trova in Sardegna.
α ∧ β = Cagliari è una grande città e si trova in Sardegna.
α
1
1
0
0
β
1
0
1
0
α∧β
1
0
0
0
Connettivo binario: si applica a
due enunciati (semplice o composto).
Cagliari 8 Novembre 2006
Corso di laurea in
Scienze della Comunicazione
Logica e teoria dell argomantazione. Cap. 1: Enunciati .
3) Disgiunzione ( o :
∨) : α = Cagliari è una grande città.
β = Cagliari si trova in Sardegna.
α ∨ β = Cagliari è una grande città o si trova in Sardegna.
α
1
1
0
0
β
1
0
1
0
α∨β
1
1
1
0
Cagliari 8 Novembre 2006
Connettivo binario
Corso di laurea in
Scienze della Comunicazione
Logica e teoria dell argomantazione. Cap. 1: Enunciati .
4) Implicazione ( se…allora :
→) : α = Cagliari è una grande città.
β = Cagliari si trova in Sardegna.
α → β = Se Cagliari è una grande città allora si trova in Sardegna.
α
1
1
0
0
β
1
0
1
0
α→β
1
0
1
1
Cagliari 8 Novembre 2006
Connettivo binario
Corso di laurea in
Scienze della Comunicazione
Logica e teoria dell argomantazione. Cap. 1: Enunciati .
5) Doppia implicazione ( se e solo se :
↔) : α = Cagliari è una
grande città.
β = Cagliari si trova in Sardegna.
α ↔ β = Cagliari è una grande città se e solo se si trova in
α
1
1
0
0
β
1
0
1
0
α↔β
1
0
0
1
Cagliari 8 Novembre 2006
Sardegna.
Connettivo binario
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Scienze della Comunicazione
Logica e teoria dell argomantazione. Cap. 1: Enunciati .
Interdefiniblità dei connettivi: ogni connettivo è esprimibile
tramite un adeguata combinazione di altri connettivi.
Esempi:
• α ∧ β = ¬ (¬ α ∨ ¬ β)
• α ∨ β = ¬ (¬ α ∧ ¬ β)
• α → β = ¬ α ∨ β
• α ↔ β = (α → β) ∧ (β → α)
∧
∨
→
↔
Cagliari 8 Novembre 2006
tramite
¬e∨
tramite ¬ e ∧
tramite ¬ e ∨
tramite → e ∧
Corso di laurea in
Scienze della Comunicazione
Logica e teoria dell argomantazione. Cap. 1: Enunciati .
Varianti delle forme logiche
α e β; sia α sia β; α ma β; α così come β;
α, anche β.
• Disgiunzione: α o β; o α oppure β;
• Implicazione: se α, allora β; α solo se β; α è una condizione
sufficiente per β; β a condizione che α; β è condizione
necessaria per α; β è necessaria per α; data α, abbiamo β;
nel caso in cui si abbia α, allora si ha anche β.
• Doppia implicazione: α se e solo se β; α è equivalente a β; α
è condizione necessaria e sufficiente per β;
• Congiunzione:
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