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Parametri delle linee
Auto e mutue impedenze longitudinali
Consideriamo una linea aerea multifilare costituita da tre conduttori r, s, t e da un
generico conduttore comune di ritorno x.
s
s
V"s
V"s
t
t
i
s
V's
V's
x
x
i
it
i
t
s
La auto impedenza per unità di lunghezza della spira s-x è data da
Z ss 
V ' s V " s
 Rs  Rx  jLs
Is
La mutua impedenza per unità di lunghezza tra le spire s-x ed r-x è data da
Z sr 
V ' s V " s
 Rx  jM sr
Ir
La mutua impedenza per unità di lunghezza tra le spire s-x ed t-x è data da
Z st 
V ' s V " s
 Rx  jM st
It
Resistenze dei conduttori in c.a.
Il valore della resistenza in c.a. di un conduttore è dato dalla seguente espressione
R  Rcc  kc  k1  k2
dove
R
=
resistenza in c.a. del conduttore [/m];
R
=
resistenza in c.c. del conduttore [/m];
kc
=
coefficiente di cordatura (1.021.04);
k1
=
coefficiente effetto pelle;
k2
=
coefficiente correnti parassite.
Calcolo dei coefficienti di auto e mutua induzione per unità di lunghezza in
conduttori paralleli indefiniti
Il coefficiente di auto induzione della spira s-x è dato da
Ls 
0  s
D 
D
 (  2  ln s  x  2  ln s )
4  2
rs
2
rx
Se il conduttore è infinitamente sottile (la corrente scorre solamente sulla superficie
del conduttore) il termine s si annulla.
Ponendo
s
2
 2  ln
1
ks
x
e
2
 2  ln
1
kx
sostituendo si ottiene
Ls 
0
1
D
1
D
 (2  ln  2  ln s  2  ln  2  ln s )
4 
ks
rs
kx
rx
Ls 
0
D
D
 (2  ln s  2  ln s )
4 
ks  rs
rx  k x
0
Ds2
Ls 
 2  ln
4 
rs  rx
dove
r s  ks  rs
e
r x  k x  rx
Il coefficiente di auto induzione tra la spira s-x e la spira t-x è dato da
M st 
0
D
D
 (2  ln t  2  ln s )
4 
Dst
rx
M st 
0
D D
 2  ln s t
4 
Dst  r x
Valori del coefficiente k
Auto e mutue impedenze di fase e di sequenza di linee prive di funi di guardia,
simmetriche o rese tali mediante trasposizione.
Data una linea trifase fisicamente simmetrica con conduttore di ritorno x, le
espressioni delle auto e mutue impedenze di fase precedentemente calcolate
assumono rispettivamente la seguente forma
0
Do2
Z ii  Z a  R  Rx  j   
 2  ln
4 
r  rx
0
Do2
Z ij  Z m  Rx  j   
 2  ln
4 
D  rx
con
R  R1  R2  R3
r  r1  r2  r3
Do  D1  D2  D3
D  D12  D23  D31
Le auto e le mutue impedenze di sequenza assumono le seguenti espressioni
Z d  Zi  Z a  Z m  R  j   
0
D
 2  ln
4 
r
0
Do6
Z o  Z a  2  Z m  R  3  Rx  j   
 2  ln
3
4 
D2  r  r x
Auto e mutue impedenze di fase di linee prive di funi di guardia e con ritorno
attraverso il terreno.
Nell’ipotesi che in una linea trifase la corrente di ritorno attraversi il terreno e che le
linee di flusso di detta corrente siano parallele al terreno medesimo, è possibile
dimostrare che gli effetti sono equivalenti a quelli prodotti dal passaggio della stessa
corrente che attraversa un conduttore equivalente fittizio ri raggio rg posto ad una
distanza dai conduttori della linea pari a Dg (teoria di Carson).
Le auto e mutue impedenze di fase con ritorno a terra assumono quindi le seguenti
espressioni
Dg

Z ii  Z a  R  Rg  j    0  2  ln
4 
r  rg
2
Dg

Z ij  Z m  Rg  j    0  2  ln
4 
D  rg
2
con
Rg   2  f  107
Dg2
rg
 660 

f
/m
m
dove f è la frequenza e  la resistività del terreno in  m.
D g2
rg
viene definita “profondità equivalente del conduttore”; rappresenta il
fenomeno dell’effetto pelle della corrente che percorre un conduttore (in questo caso
il terreno).
A 50 Hz e per una resistività di 100  m la resistenza Rg vale circa 0.05 /km e la
profondità equivalente 930 m.
Valori di resistività del terreno sono riportati di seguito.
Impedenze di sequenza diretta ed omopolare di linee prive di funi di guardia e
con ritorno attraverso il terreno.
Le impedenze di sequenza diretta (inversa) ed omopolare di linee fisicamente
simmetriche o rese tali mediante trasposizione risultano essere
Z d  Zi  Z a  Z m  R  j   
0
D
 2  ln
4 
r
Dg

1
Z o  Z a  2  Z m  R  3  ( Rg  j    0  2  ln

)
3
2
4 
rg
D r
2
L’impedenza di sequenza diretta e inversa (impedenza di servizio) non dipende dal
terreno.
Auto e mutue impedenze di fase di linee con funi di guardia e con ritorno
attraverso il terreno.
Le funi di guardia rappresentano una ulteriore via di ritorno delle correnti di terra. La
presenza di funi di guardia non altera quindi le impedenze di sequenza diretta ed
inversa delle linee, in quanto tali impedenze non dipendono dal percorso di ritorno
della corrente.
Per valutare l’influenza della presenza delle funi di guardia sulla impedenza di
sequenza omopolare si fa riferimento alle equazioni di fase (caduta di tensione per
unità di lunghezza):
V1
I1
V2
I2
V3  Z c  g  I 3
0
0
I w1
I w2
Partizionando si ottiene
V f
0

Z cc Z cw

If
Z wc Z ww I w
Risolvendo ed eliminando le Iw (che non interessano) si ha:
1
 V f  Z cc  Z cw  Z ww
 Z wc  I f  Z ' f  I f
Risolvendo si ottiene:
Per 1 fune di guardia:
2
ˆ cw
Z
Z o  Z a  2  Zˆ m  3 
Zˆ ww
Per 2 funi di guardia:
2
2  Zˆ cw
Zo  Za  2  Zm  3 
Zˆ ww  Zˆ ww'
dove
Dg

Z a  R  Rg  j    0  2  ln
4 
r  rg
2
Dg

Z m  Rg  j    0  2  ln
4 
D  rg
2
Zˆ cw
Dg

 Rg  j    0  2  ln
4 
Dw  rg
Zˆ ww
Dg
0
 Rw  Rg  j   
 2  ln
4 
rw  rg
Zˆ ww'
Dg

 Rg  j    0  2  ln
4 
Dww'  rg
2
2
2
Impedenze longitudinali di linee con conduttori a fascio.
Nelle linee AT i conduttori di ciascuna fase sono spesso più di uno e disposti in
fascio. Per valutare l’influenza di tale disposizione ipotizziamo che i conduttori siano
tutti uguali.
Le impedenze auto e mutue di fase per unità di lunghezza di due conduttori p e q con
conduttore di ritorno comune x che sia ad una distanza da ciascuno di essi molto
maggiore della distanza tra i due conduttori stessi possono essere espresse con le
solite formule precedentemente viste
Z pp
0
Dx2
 R p  Rx  j   
 2  ln
4 
r  rx
Z pq
0
Dx2
 Rx  j   
 2  ln
4 
D pq  r x
Per un fascio di n conduttori le cadute di tensione per unità di lunghezza sono pari a
 V p  Z pp  I p  Z pq  I q  ...Z pn  I n
 Vq  Z qp  I p  Z qq  I q  ...Z qn  I n
.......... ......
 Vn  Z np  I p  Z nq  I q  ...Z nn  I n
A causa della simmetria del fascio la matrice è simmetrica; poiché le cadute di
tensione sui conduttori di una stessa fase sono le stesse occorre che anche le correnti
siano le stesse, cioé
I p  Iq 
I
n
L’ipotesi è attendibile perché per le ipotesi fatte il conduttore di ritorno ha
praticamente la stessa distanza da ciascuno dei conduttori del fascio.
Tenendo conto dell’ultima espressione e sostiuendo si ottiene:
 Vp  I p  ( Z p,1  ...  Z p, p  ...  Z p,n )
0
Dx2n
I
 V p   ( R p  n  Rx  j   
 2  ln n
)
n
4 
r x  r  D p ,1  ...  D p ,n
0
Dx2
 V p  I  (  Rx  j   
 2  ln
)
n
n
4 
r x  r  D p ,1  ...  D p ,n
Rp
Dall’osservazione di questa espressione di può notare che l’impedenza della spira
costituita dai conduttori a fascio e dal conduttore x è equivalente a quella di una spira
nella quale ai conduttori a fascio venga sostituito un conduttore equivalente la cui
resistenza sia pari a
Req 
Rp
n
e con un raggio equivalente pari a
r eq  n r  Dp,1  ... Dp,n
Se i conduttori sono disposti ai vertici di un poligono regolare vale anche la seguente
espressione

r eq  n r  n  ( ) n 1
2
dove  rappresenta il diametro del fascio.
Auto e mutue ammettenze trasversali
Consideriamo una linea aerea multifilare costituita da n conduttori 1,…, n.
Il legame tra le quantità di carica Qf presenti sui conduttori e le relative tensoni Vf è
definito dalle “relazioni di Maxwell” che in forma simbolica, per grandezze
sinusoidali possono essere scritte come
V1  p1,1  Q1  ...  p1,k  Qk  ...  p1, n  Qn
V2  p2,1  Q1  ...  p2, k  Qk  ...  p2, n  Qn
.......... .......... .......... .
Vn  pn ,1  Q1  ...  pn , k  Qk  ...  pn , n  Qn
In forma matriciale si ha
V  pc  Q
dove pc è la matrice dei coefficienti di potenziale di conduttore.
Invertendo l’espressione matriciale prima scritta si ottiene
Q  bc  V
dove bc  pc
1
è la matrice dei coefficienti di induzione di conduttore.
Sempre nell’ipotesi di regime sinusoidale permanente, per un tratto di linea di
lunghezza unitaria la corrente Ik derivata dal generico conduttore k risulta essere
I k  j    Qk
essendo
I
dQ
 j  Q
dt
Sostituendo nelle espressioni prima trovate si ha
I  j    Q  j    bc  V  Yc  V
con Yc matrice delle auto e mutue ammettenze di conduttore del sistema.
Il calcolo dei coefficienti di potenziale è più semplice di quello dei coefficienti di
induzione. Infatti, poiché è applicabile il principio di sovrapposizione degli effetti, il
potenziale Vk assunto dal conduttore k-esimo per effetto della carica Qt presente sul
conduttore t-esimo dipende solamente dalla posizione reciproca dei soli conduttori s e
t e da nessun altro. Il potenziale Vk assunto dal conduttore k-esimo per effetto di tutte
le altre cariche potrà essere calcolato in maniera analoga valutando separatamente il
contributo di ciascuna carica.
Vk  pk ,t  Qt
Per il calcolo delle ammettenze verrà quindi utilizzata la relazione
Yc  j    pc
1
Per il calcolo si deve ovviamente tenere conto della presenza del terreno che altera la
configurazione del campo; in particolare si può osservare che le linee di flusso del
campo saranno sempre ortogonali al terreno stesso il quale sarà quindi un piano
equipotenziale a potenziale nullo. Da questa osservazione ne segue che il calcolo può
venire effettuato ricorrendo alla teoria della carica immagine, secondo la quale il
calcolo del campo elettrico tra un conduttore ed il terreno viene effettuato come
somma dei campi prodotti da una carica Q’s disposta sul conduttore in questione, s, e
la carica -Q’s disposta su un conduttore s’ posto in posizione simmetrica del
conduttore s rispetto al terreno.
Il valore del campo elettrico E+ prodotto nel punto P a distanza  dalla carica Qs vale
(legge di Gauss)
Qs'
E 
2    
mentre il valore del campo elettrico E- prodotto nel punto P a distanza ’ dalla carica
-Qs vale
 Qs'
E 
2     '
Il potenziale di P rispetto al terreno (punto M) sarà dato da
m
m

'
VP   E  dx   E  dx
Sostituendo si ottiene
m1
m1
Qs'
Qs'
'
VP 
 (   dx    dx) 
 ln
2     x
2   

'x
Il conduttore t, distante Dst dal conduttore s e D’st dalla sua immagine, assumerà
quindi un potenziale pari a
Qs'
D'
Vst 
 ln st
2   
Dst
Il conduttore s, distante Hs dal terreno e di raggio rs, assumerà invece un potenziale
pari a
Qs'
2 Hs
Vss 
 ln
2   
rs
Di conseguenza i coefficienti di potenziale pss e pst assumeranno la seguente forma
pss 
1
2   
pst 
1
2   
 ln
2  Hs
rs
 ln
D'st
Dst
Auto e mutue ammettenze di fase e di sequenza di linee prive di funi di guardia,
simmetriche o rese tali mediante trasposizione.
Data una linea trifase le espressioni delle auto e mutue ammettenze di fase possono
essere calcolate come
Yf  j   p f
1
Le auto e le mutue impedenze di sequenza in caso di linea fisicamente simmetrica
assumono le seguenti espressioni
Yd  Yi  j   
1
2   
2   
 j  
 j  
2 H D
D
pa  pm
ln

ln
D' r
r
Yo  j   
1
 j  
pa  2  pm
2   
2  H D '2
ln
 2
r
D
Auto e mutue ammettenze di fase e di sequenza di linee con funi di guardia,
simmetriche o rese tali mediante trasposizione.
La presenza di funi di guardia in linee simmetriche altera in maniera modesta le
ammettenze di sequenza diretta ed inversa, ma in maniera sostanziale quelle di
sequenza omopolare.
Per valutare l’influenza della presenza delle funi di guardia si fa riferimento alle
equazioni che legano le tensioni alle cariche:
V1
Q1
V2
Q2
V3  pc  Q3
0
0
Qw1
Qw 2
Partizionando si ottiene
Vf
0

pcc pcw

Qf
pwc pww Qw
Risolvendo ed eliminando le Qw (che non interessano) si ha:
1
V f  pcc  pcw  pww
 pwc  Q f
Nel caso di linee simmetriche, dallo sviluppo delle espressioni prima definite si
ottiene per le ammettenze omopolari (quelle di sequenza diretta ed inversa non
risultano modificate):
Con 1 fune di guardia:
Yo 
Con 2 funi di guardia:
Yo 
j 
2
3  pˆ cw
pa  2  pm 
pˆ ww
j 
pa  2  pm 
dove
pa 
1
2   
pm 
 ln
2 H
rc
 ln
D'
D
1
2   
pˆ ww 
pˆ cw 
pˆ ww' 
1
2  
1
2  
1
2  
 ln
2Hw
rw
 ln
D'cw
D cw
 ln
D' ww'
D ww'
in cui
H  3 H1  H 2  H 3
2
3  pˆ cw
1
 ( pˆ ww  pˆ ww' )
2
D  3 D12  D13  D23
H w  H w  H w'
D'ww'  D'ww' D'w' w
D'  6 D'12 D'13 D'21 D'23 D'31 D'32
D cw  6 D1w  D1w'  D2 w  D2 w'  D3w  D3w'
D'cw  6 D'1w D'1w' D'2 w D'2 w' D'3w D'3w'
Nel caso di linee con conduttori a fascio è possibile dimostrare che l’ammettenza
trasversale può essere calcolata con le precedenti formule nelle quali il raggio del
conduttore viene sostituito da un raggio equivalente che tiene conto delle dimensioni
del fascio e la cui espressione è data da
req  n r  D p ,1  ...  D p ,n
Se i conduttori sono disposti ai vertici di un poligono regolare vale anche la seguente
espressione

req  n r  n  ( ) n1
2
dove  rappresenta il diametro del fascio.
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