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Parametri delle linee Auto e mutue impedenze longitudinali Consideriamo una linea aerea multifilare costituita da tre conduttori r, s, t e da un generico conduttore comune di ritorno x. s s V"s V"s t t i s V's V's x x i it i t s La auto impedenza per unità di lunghezza della spira s-x è data da Z ss V ' s V " s Rs Rx jLs Is La mutua impedenza per unità di lunghezza tra le spire s-x ed r-x è data da Z sr V ' s V " s Rx jM sr Ir La mutua impedenza per unità di lunghezza tra le spire s-x ed t-x è data da Z st V ' s V " s Rx jM st It Resistenze dei conduttori in c.a. Il valore della resistenza in c.a. di un conduttore è dato dalla seguente espressione R Rcc kc k1 k2 dove R = resistenza in c.a. del conduttore [/m]; R = resistenza in c.c. del conduttore [/m]; kc = coefficiente di cordatura (1.021.04); k1 = coefficiente effetto pelle; k2 = coefficiente correnti parassite. Calcolo dei coefficienti di auto e mutua induzione per unità di lunghezza in conduttori paralleli indefiniti Il coefficiente di auto induzione della spira s-x è dato da Ls 0 s D D ( 2 ln s x 2 ln s ) 4 2 rs 2 rx Se il conduttore è infinitamente sottile (la corrente scorre solamente sulla superficie del conduttore) il termine s si annulla. Ponendo s 2 2 ln 1 ks x e 2 2 ln 1 kx sostituendo si ottiene Ls 0 1 D 1 D (2 ln 2 ln s 2 ln 2 ln s ) 4 ks rs kx rx Ls 0 D D (2 ln s 2 ln s ) 4 ks rs rx k x 0 Ds2 Ls 2 ln 4 rs rx dove r s ks rs e r x k x rx Il coefficiente di auto induzione tra la spira s-x e la spira t-x è dato da M st 0 D D (2 ln t 2 ln s ) 4 Dst rx M st 0 D D 2 ln s t 4 Dst r x Valori del coefficiente k Auto e mutue impedenze di fase e di sequenza di linee prive di funi di guardia, simmetriche o rese tali mediante trasposizione. Data una linea trifase fisicamente simmetrica con conduttore di ritorno x, le espressioni delle auto e mutue impedenze di fase precedentemente calcolate assumono rispettivamente la seguente forma 0 Do2 Z ii Z a R Rx j 2 ln 4 r rx 0 Do2 Z ij Z m Rx j 2 ln 4 D rx con R R1 R2 R3 r r1 r2 r3 Do D1 D2 D3 D D12 D23 D31 Le auto e le mutue impedenze di sequenza assumono le seguenti espressioni Z d Zi Z a Z m R j 0 D 2 ln 4 r 0 Do6 Z o Z a 2 Z m R 3 Rx j 2 ln 3 4 D2 r r x Auto e mutue impedenze di fase di linee prive di funi di guardia e con ritorno attraverso il terreno. Nell’ipotesi che in una linea trifase la corrente di ritorno attraversi il terreno e che le linee di flusso di detta corrente siano parallele al terreno medesimo, è possibile dimostrare che gli effetti sono equivalenti a quelli prodotti dal passaggio della stessa corrente che attraversa un conduttore equivalente fittizio ri raggio rg posto ad una distanza dai conduttori della linea pari a Dg (teoria di Carson). Le auto e mutue impedenze di fase con ritorno a terra assumono quindi le seguenti espressioni Dg Z ii Z a R Rg j 0 2 ln 4 r rg 2 Dg Z ij Z m Rg j 0 2 ln 4 D rg 2 con Rg 2 f 107 Dg2 rg 660 f /m m dove f è la frequenza e la resistività del terreno in m. D g2 rg viene definita “profondità equivalente del conduttore”; rappresenta il fenomeno dell’effetto pelle della corrente che percorre un conduttore (in questo caso il terreno). A 50 Hz e per una resistività di 100 m la resistenza Rg vale circa 0.05 /km e la profondità equivalente 930 m. Valori di resistività del terreno sono riportati di seguito. Impedenze di sequenza diretta ed omopolare di linee prive di funi di guardia e con ritorno attraverso il terreno. Le impedenze di sequenza diretta (inversa) ed omopolare di linee fisicamente simmetriche o rese tali mediante trasposizione risultano essere Z d Zi Z a Z m R j 0 D 2 ln 4 r Dg 1 Z o Z a 2 Z m R 3 ( Rg j 0 2 ln ) 3 2 4 rg D r 2 L’impedenza di sequenza diretta e inversa (impedenza di servizio) non dipende dal terreno. Auto e mutue impedenze di fase di linee con funi di guardia e con ritorno attraverso il terreno. Le funi di guardia rappresentano una ulteriore via di ritorno delle correnti di terra. La presenza di funi di guardia non altera quindi le impedenze di sequenza diretta ed inversa delle linee, in quanto tali impedenze non dipendono dal percorso di ritorno della corrente. Per valutare l’influenza della presenza delle funi di guardia sulla impedenza di sequenza omopolare si fa riferimento alle equazioni di fase (caduta di tensione per unità di lunghezza): V1 I1 V2 I2 V3 Z c g I 3 0 0 I w1 I w2 Partizionando si ottiene V f 0 Z cc Z cw If Z wc Z ww I w Risolvendo ed eliminando le Iw (che non interessano) si ha: 1 V f Z cc Z cw Z ww Z wc I f Z ' f I f Risolvendo si ottiene: Per 1 fune di guardia: 2 ˆ cw Z Z o Z a 2 Zˆ m 3 Zˆ ww Per 2 funi di guardia: 2 2 Zˆ cw Zo Za 2 Zm 3 Zˆ ww Zˆ ww' dove Dg Z a R Rg j 0 2 ln 4 r rg 2 Dg Z m Rg j 0 2 ln 4 D rg 2 Zˆ cw Dg Rg j 0 2 ln 4 Dw rg Zˆ ww Dg 0 Rw Rg j 2 ln 4 rw rg Zˆ ww' Dg Rg j 0 2 ln 4 Dww' rg 2 2 2 Impedenze longitudinali di linee con conduttori a fascio. Nelle linee AT i conduttori di ciascuna fase sono spesso più di uno e disposti in fascio. Per valutare l’influenza di tale disposizione ipotizziamo che i conduttori siano tutti uguali. Le impedenze auto e mutue di fase per unità di lunghezza di due conduttori p e q con conduttore di ritorno comune x che sia ad una distanza da ciascuno di essi molto maggiore della distanza tra i due conduttori stessi possono essere espresse con le solite formule precedentemente viste Z pp 0 Dx2 R p Rx j 2 ln 4 r rx Z pq 0 Dx2 Rx j 2 ln 4 D pq r x Per un fascio di n conduttori le cadute di tensione per unità di lunghezza sono pari a V p Z pp I p Z pq I q ...Z pn I n Vq Z qp I p Z qq I q ...Z qn I n .......... ...... Vn Z np I p Z nq I q ...Z nn I n A causa della simmetria del fascio la matrice è simmetrica; poiché le cadute di tensione sui conduttori di una stessa fase sono le stesse occorre che anche le correnti siano le stesse, cioé I p Iq I n L’ipotesi è attendibile perché per le ipotesi fatte il conduttore di ritorno ha praticamente la stessa distanza da ciascuno dei conduttori del fascio. Tenendo conto dell’ultima espressione e sostiuendo si ottiene: Vp I p ( Z p,1 ... Z p, p ... Z p,n ) 0 Dx2n I V p ( R p n Rx j 2 ln n ) n 4 r x r D p ,1 ... D p ,n 0 Dx2 V p I ( Rx j 2 ln ) n n 4 r x r D p ,1 ... D p ,n Rp Dall’osservazione di questa espressione di può notare che l’impedenza della spira costituita dai conduttori a fascio e dal conduttore x è equivalente a quella di una spira nella quale ai conduttori a fascio venga sostituito un conduttore equivalente la cui resistenza sia pari a Req Rp n e con un raggio equivalente pari a r eq n r Dp,1 ... Dp,n Se i conduttori sono disposti ai vertici di un poligono regolare vale anche la seguente espressione r eq n r n ( ) n 1 2 dove rappresenta il diametro del fascio. Auto e mutue ammettenze trasversali Consideriamo una linea aerea multifilare costituita da n conduttori 1,…, n. Il legame tra le quantità di carica Qf presenti sui conduttori e le relative tensoni Vf è definito dalle “relazioni di Maxwell” che in forma simbolica, per grandezze sinusoidali possono essere scritte come V1 p1,1 Q1 ... p1,k Qk ... p1, n Qn V2 p2,1 Q1 ... p2, k Qk ... p2, n Qn .......... .......... .......... . Vn pn ,1 Q1 ... pn , k Qk ... pn , n Qn In forma matriciale si ha V pc Q dove pc è la matrice dei coefficienti di potenziale di conduttore. Invertendo l’espressione matriciale prima scritta si ottiene Q bc V dove bc pc 1 è la matrice dei coefficienti di induzione di conduttore. Sempre nell’ipotesi di regime sinusoidale permanente, per un tratto di linea di lunghezza unitaria la corrente Ik derivata dal generico conduttore k risulta essere I k j Qk essendo I dQ j Q dt Sostituendo nelle espressioni prima trovate si ha I j Q j bc V Yc V con Yc matrice delle auto e mutue ammettenze di conduttore del sistema. Il calcolo dei coefficienti di potenziale è più semplice di quello dei coefficienti di induzione. Infatti, poiché è applicabile il principio di sovrapposizione degli effetti, il potenziale Vk assunto dal conduttore k-esimo per effetto della carica Qt presente sul conduttore t-esimo dipende solamente dalla posizione reciproca dei soli conduttori s e t e da nessun altro. Il potenziale Vk assunto dal conduttore k-esimo per effetto di tutte le altre cariche potrà essere calcolato in maniera analoga valutando separatamente il contributo di ciascuna carica. Vk pk ,t Qt Per il calcolo delle ammettenze verrà quindi utilizzata la relazione Yc j pc 1 Per il calcolo si deve ovviamente tenere conto della presenza del terreno che altera la configurazione del campo; in particolare si può osservare che le linee di flusso del campo saranno sempre ortogonali al terreno stesso il quale sarà quindi un piano equipotenziale a potenziale nullo. Da questa osservazione ne segue che il calcolo può venire effettuato ricorrendo alla teoria della carica immagine, secondo la quale il calcolo del campo elettrico tra un conduttore ed il terreno viene effettuato come somma dei campi prodotti da una carica Q’s disposta sul conduttore in questione, s, e la carica -Q’s disposta su un conduttore s’ posto in posizione simmetrica del conduttore s rispetto al terreno. Il valore del campo elettrico E+ prodotto nel punto P a distanza dalla carica Qs vale (legge di Gauss) Qs' E 2 mentre il valore del campo elettrico E- prodotto nel punto P a distanza ’ dalla carica -Qs vale Qs' E 2 ' Il potenziale di P rispetto al terreno (punto M) sarà dato da m m ' VP E dx E dx Sostituendo si ottiene m1 m1 Qs' Qs' ' VP ( dx dx) ln 2 x 2 'x Il conduttore t, distante Dst dal conduttore s e D’st dalla sua immagine, assumerà quindi un potenziale pari a Qs' D' Vst ln st 2 Dst Il conduttore s, distante Hs dal terreno e di raggio rs, assumerà invece un potenziale pari a Qs' 2 Hs Vss ln 2 rs Di conseguenza i coefficienti di potenziale pss e pst assumeranno la seguente forma pss 1 2 pst 1 2 ln 2 Hs rs ln D'st Dst Auto e mutue ammettenze di fase e di sequenza di linee prive di funi di guardia, simmetriche o rese tali mediante trasposizione. Data una linea trifase le espressioni delle auto e mutue ammettenze di fase possono essere calcolate come Yf j p f 1 Le auto e le mutue impedenze di sequenza in caso di linea fisicamente simmetrica assumono le seguenti espressioni Yd Yi j 1 2 2 j j 2 H D D pa pm ln ln D' r r Yo j 1 j pa 2 pm 2 2 H D '2 ln 2 r D Auto e mutue ammettenze di fase e di sequenza di linee con funi di guardia, simmetriche o rese tali mediante trasposizione. La presenza di funi di guardia in linee simmetriche altera in maniera modesta le ammettenze di sequenza diretta ed inversa, ma in maniera sostanziale quelle di sequenza omopolare. Per valutare l’influenza della presenza delle funi di guardia si fa riferimento alle equazioni che legano le tensioni alle cariche: V1 Q1 V2 Q2 V3 pc Q3 0 0 Qw1 Qw 2 Partizionando si ottiene Vf 0 pcc pcw Qf pwc pww Qw Risolvendo ed eliminando le Qw (che non interessano) si ha: 1 V f pcc pcw pww pwc Q f Nel caso di linee simmetriche, dallo sviluppo delle espressioni prima definite si ottiene per le ammettenze omopolari (quelle di sequenza diretta ed inversa non risultano modificate): Con 1 fune di guardia: Yo Con 2 funi di guardia: Yo j 2 3 pˆ cw pa 2 pm pˆ ww j pa 2 pm dove pa 1 2 pm ln 2 H rc ln D' D 1 2 pˆ ww pˆ cw pˆ ww' 1 2 1 2 1 2 ln 2Hw rw ln D'cw D cw ln D' ww' D ww' in cui H 3 H1 H 2 H 3 2 3 pˆ cw 1 ( pˆ ww pˆ ww' ) 2 D 3 D12 D13 D23 H w H w H w' D'ww' D'ww' D'w' w D' 6 D'12 D'13 D'21 D'23 D'31 D'32 D cw 6 D1w D1w' D2 w D2 w' D3w D3w' D'cw 6 D'1w D'1w' D'2 w D'2 w' D'3w D'3w' Nel caso di linee con conduttori a fascio è possibile dimostrare che l’ammettenza trasversale può essere calcolata con le precedenti formule nelle quali il raggio del conduttore viene sostituito da un raggio equivalente che tiene conto delle dimensioni del fascio e la cui espressione è data da req n r D p ,1 ... D p ,n Se i conduttori sono disposti ai vertici di un poligono regolare vale anche la seguente espressione req n r n ( ) n1 2 dove rappresenta il diametro del fascio.
