Corso di Analisi Matematica - I numeri reali

Corso di Analisi Matematica
I numeri reali
Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale
A.A. 2013/2014
Università di Bari
ICD (Bari)
Analisi Matematica
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1
Insiemi e logica
2
Campi ordinati
3
Estremo superiore e assioma di continuità
4
Radici, potenze, logaritmi
5
Grandezze trigonometriche
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Insiemi
I concetti di base di teoria degli insiemi non saranno definiti in modo
rigoroso ma “informale”.
Insieme: nozione primitiva, sinonimo di “classe”, “collezione”,
“famiglia”
“L’insieme degli iscritti all’Università di Bari”
“L’insieme delle stelle di una certa galassia”
Notazione: X Y Z (lettere maiuscole dell’alfabeto)
Elemento: ogni insieme è determinato dai suoi elementi
Appartenenza: se X è un insieme e x è un suo elemento, si scrive
x∈X
“∈” simbolo di appartenenza
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Come si specifica un insieme:
Elencandone gli elementi:
X = {1, 2, 3}
Usando le proprietà verificate dai suoi elementi:
X = {x | p(x) è vera}
ove p(x) è una proprietà che dipende da x.
X = {x | x è un numero naturale pari}
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Osservazioni
Non è importante:
l’ordine in cui si è elencano gli elementi
{1, 2, 6} = {1, 6, 2}
la molteplicità degli elementi
L’insieme delle sol. dell’eq. x − 1 = 0 coincide con l’insieme delle sol.
dell’eq. (x − 1)2 = 0, anche se nel secondo caso x = 1 ha molteplicità
algebrica 2.
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Relazioni tra insiemi: uguaglianza ed inclusione.
Due insiemi A e B sono uguali se hanno gli stessi elementi. In tal
caso si scrive
A = B.
“Ogni elemento di A è elemento di B e ogni elemento di B è
elemento di A”
Formalmente:
∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B) e ∀x (x ∈ B ⇒ x ∈ A)
I
I
Quantificatore universale: ∀ “per ogni”
Implicazione logica: ⇒ “implica” “se .... allora”
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Se vale una sola delle due richieste: “Ogni elemento di A è elemento
di B” si dice che “A è contenuto in B” e si scrive
A ⊆ B.
Formalmente:
∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
“A è un sottoinsieme di B”
A ⊆ B non esclude che A = B.
Se A ⊆ B ma A non è uguale a B si scrive
A$B
e si parla di inclusione stretta.
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A $ B:
“Ogni elemento di A è elemento di B ed esiste x in B che non
appartiene ad A”
Formalmente:
∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B) e ∃x ∈ B x ∈
/A
I
I
Quantificatore esistenziale: ∃ “esiste”
6∈ “non appartiene”
insieme vuoto ∅: indica un insieme che non ha elementi
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Insiemi numerici
L’insieme dei numeri naturali:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}.
L’insieme dei numeri relativi:
Z = {0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, . . .}.
L’insieme dei numeri razionali:
nn
o
Q=
| n, m ∈ Z, m 6= 0
m
Due numeri razionali
n
m
e
n0
m0
si identificano se
nm0 = n0 m.
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Insiemi numerici
Rappresentazione decimale dei numeri razionali: ogni numero
razionale può essere rappresentato mediante un allineamento decimale
I
limitato (dopo la virgola un numero finito di cifre diverse da 0);
1
= 0, 5
2
I
3
= 0, 75
4
illimitato, periodico, proprio (dopo la virgola un numero infinito di cifre
diverse da 0, che si ripetono in modo periodico con periodo diverso da
9).
1
= 0, 3333 . . . = 0, 3
3
2, 44444 . . . = 2, 4
2, 346555 . . . = 2, 3465
Gli allineamenti decimali di periodo 9 (detti impropri) sono usati come
rappresentazione alternativa degli allineamenti decimali finiti.
1 = 0, 9
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1, 35 = 1, 349.
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Insiemi numerici
L’insieme dei numeri reali, che si denota con R , è l’insieme dei
numeri che scritti in forma decimale presentano dopo la virgola una
successione qualsiasi di cifre diverse da 0, eventualmente anche
infinita e non periodica.
0, 10110111011110 . . .
π = 3, 14 . . .
√
2 = 1, 41 . . .
Gli elementi di R ma non di Q si chiamano numeri irrazionali (sono
gli allineamenti decimali infiniti e non periodici).
Inclusioni:
N$Z$Q$R
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Operazioni su insiemi
Sia X un insieme e A, B ⊆ X.
Intersezione
A ∩ B = {x ∈ X | x ∈ A e x ∈ B}
Unione
A ∪ B = {x ∈ X | x ∈ A o x ∈ B}
Differenza
A \ B = {x ∈ X | x ∈ A, x 6∈ B}
Ad esempio, R \ Q è l’insieme dei numeri irrazionali.
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Operazioni su insiemi
coppia ordinata: (a, b) con a ∈ A, b ∈ B.
Il prodotto cartesiano di A e B, che si denota con A × B, è l’insieme
costituito da tutte le coppie ordinate (a, b) con a ∈ A, b ∈ B.
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
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Logica elementare
In matematica si usano due tipi di affermazioni:
enunciati o proposizioni cioè affermazioni di cui è possibile stabilire la
verità o la falsità;
2 è un numero pari
2 è un numero dispari
predicati o proprietà cioè affermazioni la cui verità o falsità dipende
dai valori delle variabili che in essa compaiono.
n è un numero naturale dispari
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Logica elementare
Dai predicati si ottengono enunciati mediante i quantificatori:
∀n ∈ N (n dispari ⇒ n2 dispari).
In generale, se p(x) e q(x) sono predicati,
∀x ∈ A (p(x) ⇒ q(x))
è un enunciato che prende il nome di implicazione universale.
La maggior parte dei teoremi è costituita da implicazioni universali.
p(x) si chiama ipotesi,
q(x) si chiama tesi.
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Logica elementare
Per provare che ∀x ∈ A (p(x) ⇒ q(x)) è vera, si deve considerare un
generico x ∈ A che verifica p(x) e mostrare q(x) è vera.
Proviamo che il seguente enunciato è vero:
∀n ∈ N (n dispari ⇒ n2 dispari).
Per provare che ∀x ∈ A (p(x) ⇒ q(x)) è falsa , si deve determinare
x ∈ A tale che p(x) sia vera ma q(x) sia falsa. Tale x si chiama
controesempio.
Infatti, la negazione di una implicazione universale è
∃x ∈ A (p(x) e non q(x))
Il seguente enunciato è falso: ∀n ∈ N (n primo ⇒ n è dispari).
Controesempio: n = 2
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Logica elementare
L’implicazione ∀x ∈ A (p(x) ⇒ q(x)) equivale a
∀x ∈ A (non q(x) ⇒ non p(x))
Quindi, avendo dim. che
∀n ∈ N (n dispari ⇒ n2 dispari)
è vero anche che
∀n ∈ N (n2 pari ⇒ n pari).
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Logica elementare
Dimostrazione per assurdo.
Consiste nel supporre vera l’ipotesi e la negazione della tesi di un
teorema e dedurre da questi fatti una contraddizione.
Teorema
Non esiste x ∈ Q soluzione dell’equazione x2 = 2.
La negazione di “∀x p(x)” è “∃x non p(x)”;
la negazione di “∃x p(x)” è “∀x non p(x)”.
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Campi ordinati
Studiare in dettaglio la struttura degli insiemi numerici.
Capire meglio la differenza tra Q ed R.
Occorre introdurre le operazioni e la relazione d’ordine sia in Q che in R.
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Addizione
R1 ): È definita in Q l’operazione di addizione + tale che
per ogni a, b ∈ Q, a + b = b + a;
per ogni a, b, c ∈ Q, (a + b) + c = a + (b + c);
esiste 0 ∈ Q tale che
∀a ∈ Q a + 0 = a;
per ogni a ∈ Q esiste un (unico) elemento di Q, indicato con −a
(opposto di a), tale che
a + (−a) = 0.
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Moltiplicazione
R2 ): È definita in Q l’operazione di moltiplicazione · tale che
per ogni a, b ∈ Q, a · b = b · a;
per ogni a, b, c ∈ Q, (a · b) · c = a · (b · c);
esiste 1 ∈ Q tale che
∀a ∈ Q a · 1 = a;
per ogni a ∈ Q, a 6= 0 esiste un (unico) elemento di Q, indicato con
a−1 o con a1 (inverso o reciproco di a), tale che
a · a−1 = 1 a ·
1
= 1.
a
per ogni a, b, c ∈ Q, a · (b + c) = a · b + a · c.
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Osservazioni
in Q + e · sono definite nel seguente modo:
n r
n·r
· =
.
m s
m·s
n
r
ns + mr
+ =
m s
ms
Le proprietà R1 ) ed R2 ) permettono di definire tutte le operazioni:
I
I
per ogni a, b ∈ Q a − b = a + (−b)
per ogni a, b ∈ Q, b 6= 0 a : b = a · b−1
Rappresentazione geometrica di Q:
−5/2
−3
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5/2
−2
−1
0
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1
2
3
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Relazione d’ordine in Q
Una relazione d’ordine ≤ su un insieme X è una relazione tale che
per ogni a ∈ X
a ≤ a;
per ogni a, b ∈ X
per ogni a, b, c ∈ X
a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = b;
a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c.
La relazione ≤ si dice di totale ordine se per ogni a, b ∈ X a ≤ b oppure
b ≤ a.
R3 ): È definita in Q una relazione di totale ordine minore o uguale (≤)
tale che
per ogni a, b, c ∈ Q a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c;
per ogni a, b, c ∈ Q, 0 ≤ c a ≤ b ⇒ a · c ≤ b · c .
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Campi ordinati
Notazioni:
a≥b ⇔ b≤a
a < b ⇔ a ≤ b, a 6= b
a > b ⇔ a ≥ b, a 6= b
Ogni insieme che verifica le proprietà R1 ) R2 ) R3 ) si dice campo ordinato.
Q è un campo ordinato;
R è un campo ordinato.
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Quali sono allora le proprietà che distinguono Q da R? Perché è stato
necessario ampliare Q?
Q non è adeguato a misurare le lunghezze: abbiamo già visto che la
misura della diagonale di un quadrato non può essere espressa
mediante un numero razionale.
Dal punto di vista geometrico: dopo aver “occupato” i punti della
retta con tutti i numeri razionali, su di essa rimangono dei posti vuoti.
Si è dovuto ampliare Q in modo da avere ancora un campo ordinato i
cui elementi siano in corrispondenza biunivoca con i punti della retta:
R verifica questa proprietà.
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Regole di calcolo
Esaminiamo alcune proprietà dei numeri reali, conseguenze di R1 ) R2 )
R3 ).
Per ogni a ∈ R
a · 0 = 0.
Per ogni a, b ∈ R
a · b = 0 ⇒ a = 0 oppure b = 0.
Dalle precedenti proprietà si ottiene la legge di annullamento del prodotto:
per ogni a, b ∈ R
a · b = 0 ⇔ a = 0 oppure b = 0.
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Regole di calcolo
Proprietà degli opposti:
Per ogni a ∈ R
−(−a) = a.
Per ogni a, b ∈ R
(−a) · b = −(a · b).
Per ogni a, b ∈ R
a · (−b) = −(a · b).
Per ogni a, b ∈ R
(−a) · (−b) = a · b.
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Regole di calcolo
Proprietà dei reciproci:
Per ogni a ∈ R a 6= 0
1
1
a
= a.
Per ogni a, b ∈ R a, b 6= 0
1
1 1
= · .
a·b
a b
Per ogni a ∈ R a 6= 0
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1
1
=− .
−a
a
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Regole di calcolo
Proprietà delle uguaglianze:
Per ogni a, b, c ∈ R
a + b = c ⇔ a = c − b.
Per ogni a, b, c ∈ R a 6= 0
a·b=c⇔b=
c
.
a
Risoluzione dell’equazione di primo grado: per ogni a, b ∈ R, a 6= 0
b
ax + b = 0 ⇔ ax = −b ⇔ x = − .
a
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Regole di calcolo
Regole di semplificazione:
Per ogni a, b, c ∈ R
a ± c = b ± c ⇔ a = b.
Per ogni a, b, c ∈ R, c 6= 0
a · c = b · c ⇔ a = b.
Per ogni a, b, c ∈ R, c 6= 0
a
b
= ⇔ a = b.
c
c
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Regole di calcolo
Conseguenze delle proprietà della relazione d’ordine:
Per ogni a, b, c ∈ R
a + b ≤ c ⇒ a ≤ c − b;
a ≤ b + c ⇒ a − c ≤ b.
È possibile “trasportare” un addendo da un membro all’altro di una
disuguaglianza “cambiandolo di segno”.
Si ricava che:
Per ogni a, b ∈ R
a ≤ b ⇒ −b ≤ −a;
0 ≤ a ⇒ −a ≤ 0;
a ≤ 0 ⇒ 0 ≤ −a.
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Regole di calcolo
Conseguenze delle proprietà della relazione d’ordine:
Per ogni a, b, c ∈ R
a < b, c > 0 ⇒ a · c < b · c;
a ≤ b, c ≤ 0 ⇒ a · c ≥ b · c;
a < b, c < 0 ⇒ a · c > b · c.
Moltiplicando ambo i membri di una disuguaglianza per uno stesso
numero si ottiene una disuguaglianza dello stesso segno se il numero è
positivo, di segno opposto se il numero è negativo.
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Regole di calcolo
Disequazioni di primo grado: per ogni a, b ∈ R, a > 0
ax + b ≥ 0
ax + b > 0
ax + b ≤ 0
ax + b < 0
ICD (Bari)
⇔
⇔
⇔
⇔
ax ≥ −b
ax > −b
ax ≤ −b
ax < −b
Analisi Matematica
⇔
⇔
⇔
⇔
x ≥ − ab ;
x > − ab ;
x ≤ − ab ;
x < − ab .
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Regole di calcolo
Regola dei segni:
per ogni a, b ∈ R
0 ≤ a, 0 ≤ b ⇒ 0 ≤ a · b;
0 ≤ a, b ≤ 0 ⇒ a · b ≤ 0;
a ≤ 0, b ≤ 0 ⇒ 0 ≤ a · b.
Il prodotto di due numeri è positivo se i numeri hanno le stesso segno,
negativo se i numeri hanno segno opposto.
Le proprietà precedenti continuano a valere se si sostituisce ovunque ≤
con <.
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Regole di calcolo
Ricordiamo che per ogni a ∈ R si definisce a2 = a · a.
Proprietà dei quadrati e dei reciproci:
per ogni a ∈ R
a2 ≥ 0
a2 = 0 ⇔ a = 0;
per ogni a ∈ R
a>0 ⇒
a<0 ⇒
ICD (Bari)
1
>0
a
1
< 0.
a
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Intervalli
Sottoinsiemi di R che sulla retta corrispondono a segmenti: intervalli
limitati.
Siano a, b ∈ R, a ≤ b.
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}
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Intervalli
Sottoinsiemi di R che sulla retta corrispondono a semirette: intervalli
illimitati.
Sia a ∈ R.
[a, +∞) = {x ∈ R | x ≥ a}
(a, +∞) = {x ∈ R | x > a}
(−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}
(−∞, a) = {x ∈ R | x < a}
Semiretta positiva: R+ = (0, +∞)
Semiretta negativa: R− = (−∞, 0)
R∗ = R \ {0} = R+ ∪ R−
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Insiemi limitati
Definizione
Sia E ⊆ R, E 6= ∅. E si dice
limitato superiormente se esiste M ∈ R tale che
per ogni x ∈ E
x ≤ M;
limitato inferiormente se esiste m ∈ R tale che
per ogni x ∈ E
m ≤ x;
limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente cioè se
esistono m, M ∈ R tali che
per ogni x ∈ E
ICD (Bari)
m ≤ x ≤ M.
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Massimo e minimo
Definizione
Sia E ⊆ R, E 6= ∅.
Un numero reale x è il massimo di E (e si denota con max E) se
I
I
x ∈ E;
per ogni x ∈ E x ≤ x;
Un numero reale x è il minimo di E (e si denota con min E) se
I
I
x ∈ E;
per ogni x ∈ E x ≤ x;
Quindi
E ammette massimo ⇒ E è limitato superiormente
E ammette minimo ⇒ E è limitato inferiormente
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Estremo superiore e inferiore
Esistono insiemi limitati che non ammettono massimo e/o minimo.
Definizione
Sia E ⊆ R, E 6= ∅.
Un numero reale K è un maggiorante di E se
per ogni x ∈ E
x ≤ K.
Un numero reale K è un minorante di E se
per ogni x ∈ E
ICD (Bari)
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K ≤ x.
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Estremo superiore e inferiore
Definizione
Sia E ⊆ R, E 6= ∅.
Se esiste il minimo dell’insieme dei maggioranti di E, esso si chiama
estremo superiore di E e si denota con sup E.
sup E = min {K ∈ R | K è un maggiorante di E}
Se esiste il massimo dell’insieme dei minoranti di E, esso si chiama
estremo inferiore di E e si denota con inf E.
inf E = max {K ∈ R | K è un minorante di E}
Se x = max E allora x = sup E.
Se x = min E allora x = inf E.
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Completezza di R
Esempi
Esempio importante:
E = {x ∈ Q | x ≥ 0, x2 < 2}
E è limitato superiormente, se sup E esiste allora verifica x2 = 2.
√
Quindi sup E non esiste in Q ma esiste in R (ed è 2).
Un insieme X (totalmente ordinato) verifica la proprietà dell’estremo
superiore se
R4 ): ogni E ⊆ X non vuoto e limitato superiormente ammette estremo
superiore sup E ∈ X.
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42 / 57
Definizione assiomatica di R
Teorema
Esiste un insieme che verifica le proprietà R1 ), R2 ), R3 ), R4 ), ossia un
campo ordinato che ha la proprietà dell’estremo superiore.
Tale insieme si denota con R.
R è una rappresentazione adeguata dell’idea di retta. Usando R4 ) (in
una forma equivalente) si prova che R e la retta r sono in
corrispondenza biunivoca cioè ad ogni punto di r corrisponde un
unico numero reale e viceversa. Ciò permette di identificare r e R e di
parlare di retta reale.
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Valore assoluto
Definizione
Si chiama valore assoluto di un numero reale a, e si indica con il simbolo
|a|, il numero reale non negativo definito come
(
a
se a ≥ 0
|a| =
−a se a < 0.
Se a, b ∈ R, |a − b| rappresenta la distanza dei due punti a e b sulla retta
reale.
Sia a ∈ R+ . Allora
|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a ⇔ x ∈ [−a, a];
|x| ≥ a ⇔ x ≤ −a oppure x ≥ a ⇔ x ∈ (−∞, a] ∪ [a, +∞).
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Radice n–esima
Una conseguenza della proprietà R4 ).
Ricordiamo che per ogni x ∈ R ed n ∈ N \ {0} xn = x
· · · x} .
| · ·{z
n volte
Teorema (esistenza della radice n-esima)
Sia y ∈ R, y > 0 e n ∈ N, n ≥ 1. Esiste uno ed un solo numero reale
x > 0 tale che
xn = y.
Tale numero x si chiama radice n–esima di y e si denota con il simbolo
√
n
1
y oppure y n .
Si noti che per ogni y ∈ R
p
y 2 = |y|.
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45 / 57
Radice n–esima
Cosa accade se y ≤ 0?
Se y = 0 e n ∈ N \ {0}, l’eq. xn = 0 ammette come unica sol. x = 0.
Dato y ∈ R, y < 0 e n pari, l’eq. xn = y non ammette sol.
Dato y ∈ R, y < 0 e n dispari, osserviamo che
p
p
n
n
− n (−y) = (−1)n · n (−y) = −(−y) = y
p
cioè x = − n (−y) risolve l’eq. xn = y.
Quindi ha senso definire la radice n–esima di y come
p
√
n
y = − n (−y).
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Rappresentazione decimale della radice n-esima
Cerchiamo l’allineamento decimale di
12 = 1
(1, 4)2 = 1, 96
(1, 41)2 = 1, 9881
...
√
2:
√
2 = a0 , a1 a2 a3 . . .
22 = 4
(1, 5)2 = 2, 25
(1, 42)2 = 2, 0164
...
⇒ a0 = 1
⇒ a1 = 4
⇒ a2 = 1
...
...
Sia
E− = {1, 1, 4, 1, 41, . . .}.
E− è limitato superiormente (2 è un maggiorante) quindi ammette
estremo superiore.
Si prova che
√
2 = sup E− .
ICD (Bari)
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Potenze
Dati a, r ∈ R si definisce la potenza di base a ed esponente r e si scrive
ar .
Caso in cui r è un numero intero.
I
Se a ∈ R e r ∈ Z, r > 0
ar = a
· · · a} .
| · ·{z
r volte
I
Se a ∈ R \ {0} e r ∈ Z, r < 0 (in tal caso −r > 0)
ar =
I
1
a−r
.
Se a ∈ R \ {0} si definisce
a0 = 1.
ICD (Bari)
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48 / 57
Potenze
Caso in cui r è un numero razionale.
I
Se a ∈ R+ e r ∈ Q, r =
m
n,
m ∈ Z, n ∈ N \ {0}
1
m
ar = a n = (am ) n =
I
√
n
am .
La base a può essere negativa solo in certi casi: sia a ∈ R− e r ∈ Q,
r= m
n , m ∈ Z, n ∈ N \ {0}, n dispari
m
ar = a n =
ICD (Bari)
Analisi Matematica
p
n
(am ).
49 / 57
Potenze
Caso in cui l’esponente è un numero reale.
I
Se a > 1 e b ∈ R+ , b = b0 , b1 b2 · · · bn · · · , allora
ab = sup ab0 ,b1 b2 ···bn | n ∈ N .
I
Se 0 < a < 1 (in tal caso 1/a > 1) e b > 0, allora
1
ab = b .
1
a
I
Se a > 0, a 6= 1 e b < 0 (in tal caso −b > 0)
ab =
ICD (Bari)
1
.
a−b
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50 / 57
Proprietà algebriche delle potenze
Siano a, b reali positivi, c, d reali qualsiasi
I
I
I
I
I
I
I
a0 = 1 per ogni a 6= 0; 1c = 1 per ogni c;
ac > 0 per ogni c;
ac+d = ac · ad ;
ac−d = ac /ad ;
(ab )c = ab·c ;
(a · b)c = ac · bc ;
(a/b)c = ac /bc .
ICD (Bari)
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Logaritmo
I logaritmi sono legati alle soluzioni delle eq. del tipo ax = y (ove
l’incognita è x).
Teorema
Siano a, y ∈ R+ , a 6= 1. Allora esiste uno ed un solo x ∈ R tale che
ax = y.
La soluzione di tale equazione si chiama logaritmo in base a di y e si
indica con il simbolo loga y.
ICD (Bari)
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Se y ≤ 0 l’eq. ax = y non ha soluzione.
Se a = 1 l’eq. ax = y non ha soluzione se y 6= 1, ha infinite soluzioni
se y = 1.
Proprietà algebriche dei logaritmi: per ogni a, b > 0, x, y > 0
I
I
I
I
I
I
I
aloga x = x;
loga (x · y) = loga x + loga y;
loga (x/y) = loga x − loga y;
loga xy = y loga x y ∈ R;
logb x = loga x/ loga b;
loga a = 1;
loga 1 = 0.
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Seno, coseno, tangente
In un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, si consideri la
circonferenza goniometrica (indicata con C), cioè la circonferenza
avente centro nell’origine e raggio 1 (di equazione x2 + y 2 = 1).
Un numero x ∈ [0, 2π[ si dice ampiezza dell’angolo AOP se x è la
lunghezza dell’arco AP , ove A = (1, 0).
P
O
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A
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Seno, coseno, tangente
Si definiscono coseno e seno di x (e si scrive cos x e sen x) come le
coordinate del punto P :
P = (cos x, sen x).
Si possono definire sen x e cos x per ogni x ∈ R, nel seguente modo:
(
cos(x + 2kπ) = cos x ∀x ∈ [0, 2π[, ∀k ∈ Z
sen(x + 2kπ) = sen x ∀x ∈ [0, 2π[, ∀k ∈ Z.
Si definisce la tangente di x (e si scrive tg x) come
tg x =
ICD (Bari)
sen x
cos x
x 6=
π
+ kπ, k ∈ Z.
2
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Alcuni valori da ricordare
gradi
radianti
radianti
seno
coseno
ICD (Bari)
0
0
0
0
1
30◦
π/6
π/6
1/2
√
3/2
45◦
π/4
60◦
π/3
π/4
√
2/2
√
2/2
90◦
π/2
π/3
√
3/2
1/2
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180◦
π
π/2
1
0
270◦
3/2π
π
0
−1
360◦
2π
3/2π
−1
0
2π
0
1
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Proprietà di seno e coseno
Per ogni x, y ∈ R
| cos x| ≤ 1, | sen x| ≤ 1;
sen2 x + cos2 x = 1;
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sen x sen y;
sen(x ± y) = sen x cos y ± cos x sen y;
sen2 x = (1 − cos(2x))/2;
cos2 x = (1 + cos(2x))/2;
sen(2x) = 2 sen x cos x;
cos(2x) = cos2 x − sen2 x = 1 − 2 sen2 x = 2 cos2 x − 1.
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