La sezione aurea

Liceo Classico Alexis Carrel
La sezione aurea
per la 3°K del Liceo Classico Alexis Carrel
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Sezione aurea o rapporto aureo
o proporzione divina
E’ un particolare rapporto fra due lunghezze disuguali,
delle quali la maggiore è media proporzionale tra la minore
e la somma delle due.
b
a
A
C
B
AB : AC = AC : CB
(a+b) : a = a : b
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“La geometria ha due
grandi tesori: uno è il
teorema di Pitagora;
l’altro la divisione di
una linea in media ed
estrema regione.
Possiamo paragonare
il primo ad una
misura d’oro, e
chiamare il secondo
un prezioso gioiello.”
(Keplero - 1600)
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Pitagora (575 – 495 a.C.)
Il pentagono stellato
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Notiamo alcune proprietà singolari
del pentagono stellato
Pentagono regolare
Quanto misura ognuno
degli angoli interni ?
180° x 5 - 360°
= 108°
5
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proprietà del
pentagono stellato
3 diagonali
Quanti tipi di triangoli isosceli ?
180°-108° =36°
2
x
x
108°-(236°)=36°
108°
108°-36°=72°
Ci sono 2 tipi di triangoli isosceli simili: 36°, 72°, 72° e 108°,36°,36°
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ACE e AED sono isosceli tipo 72-72-36
ABC e CDE sono isosceli tipo 36-36-108
C
ACEAED

AC : AE = AE : AD

AC : CD = CD : AD
36°
B
La suddivisione di AC
mediante il punto D
D
è dunque
72°
SEZIONE AUREA
36°
72° 36°
E
36°
72°
A
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Ovvero la base AE del
triangolo AEC è sezione
aurea del suo lato
obliquo AC
C
36°
36°
e il lato obliquo AB del
triangolo ABC è
sezione aurea della
sua base AC
Per questi motivi i triangoli isosceli
del pentagono stellato
sono detti Triangoli Aurei
72°
E
108°
B
72° 36°
A
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D
C
..e Rettangolo Aureo
è detto ogni rettangolo con
i lati (diversi) in
proporzione aurea
BC:AB=AB:(BC-AB)
A
B
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Geometria: rettangoli aurei
….. n° aureo (irrazionale)
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Aritmetica: Numero aureo
“..la divisione di una linea in media ed estrema regione…
è un prezioso gioiello”
A
C
B
AB : AC = AC : CB
Punto di vista aritmetico:
AB · CB = AC2 – posto AB = 1, AC = x  CB = 1-x
1 : x = x : (1-x) quindi x2 =1(1-x)
ovvero x2 + x – 1 = 0 da cui si trova x1,2 = (-1  5)/2
Il rapporto AB/AC = 1/X è indicato con la lettera 
ed è detto Numero Aureo
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AB/AC =  ha una singolare proprietà
E’ l'unico numero il cui reciproco
e il cui quadrato
mantengono inalterata la propria parte decimale.
 = 1,618033988749894848204586834365638117720309179805……
1/ = 0,618033988749894848204586834365638117720309179805……
2 = 2,618033988749894848204586834365638117720309179805……
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Arte: Partenone
Il Partenone ( Παρθενώνας)
tempio dedicato alla dea Atena,
che sorge sull'Acropoli di Atene.
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Arte: Doriforo
Doriforo (portatore di lancia), è
una scultura di Policleto,
realizzata tra il 450 ed il 445 a.C.,
molto probabilmente l’ideale
rappresentazione del mitico eroe
Achille.
Il Doriforo nell’immaginario
collettivo non è altro che
l’incarnazione stessa dell’ideale
classicistico.
Ciò che maggiormente è
espresso in tale statua, è
l’armonico rapporto fra le parti.
(Museo archeologico di Napoli)
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Natura: le proporzioni del volto
«…Stephen Marquardt è primario di
chirurgia plastica al Western Medical Center
di Santa Ana, in California.
… “In vent’anni di lavoro ho restituito la
bellezza a centinaia di persone il cui viso era
stato devastato da un incidente o da una
malattia. E per tanto tempo mi sono chiesto
se ci fossero regole precise per ottenere il
risultato migliore. Ho girato il mondo per
studiare i canoni di bellezza delle diverse
culture. Ho letto le ricerche fatte prima di me.
Ho rispolvrerato la mia passione per la
matematica.
Il risultato è questa griglia. La Pfiffer le si
avvicina più di ogni sua collega …
Il segreto sta in un numero, 1.618…..
il numero aureo, che nel mondo animale e
vegetale sembra rappresentare la perfezione
e l’armonia delle proporzioni e che si ritrova
anche sul volto della Pfiffer.
La griglia è un complesso reticolo di
poligoni, tutti legati a questo valore...
…per semplificare, ci fermiamo alla proporzione più semplice, quella tra naso e bocca: la
larghezza del naso di Michelle, moltiplicata per 1,618.. dà l’esatta larghezza delle sue labbra…”»
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Costruzione della sezione aurea
1.Tracciare un segmento AB
2.Tracciare un segmento BC perpendicolare ad AB di lunghezza AB/2
3.Tracciare una circonferenza di centro C e raggio AB/2
4.Tracciare una retta AC che
incontri la circonferenza in E e D
5. Con centro in A e raggio AE
tracciare l’arco EE’
D
6. AD : AB = AB : AE
(AD-AB) : AB = (AB-AE) : AE
AE : AB = E’B : AE
AB : AE’ = AE’ : E’B
E
A
C
E’
B
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Fine
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