Scarica file - Stefania Petracca

Campo magnetico: fatti sperimentali
Le proprietà qualitative dei magneti e la presenza di un campo magnetico
terrestre erano conosciute da tempo, ma le prime misure quantitative e le
teorie e gli esperimenti per determinarne la natura precisa e i suoi legami
con i fenomeni elettrici risalgono alla fine del 700, primi dell’ottocento.
- Coulomb fu il primo a misurare la repulsione e attrazione tra lunghi
magneti sottili (chiamati da allora “aghi magnetici”) con la stessa bilancia
di torsione utilizzata per la misura delle forze con cariche elettriche. Si
verificò sperimentalmente che anche in questo caso la forza era
proporzionale all’inverso del quadrato della distanza.
-Oersted (un fisico danese) ai primi dell’ottocento, usando pile di Volta,
facendo esperimenti su correnti, notò che un ago magnetico veniva
deflesso dalla sua direzione “normale” (verso Nord, che coincide con il Sud
Magnetico) quando vicino ad esso scorreva corrente in conduttore.
- Questa deflessione indica un’interazione tra corrente e ago magnetico,
ovvero che una corrente può esercitare una forza magnetica su magneti
analoga a quella che i magneti esercitano tra loro.
-Negli anni a seguire gli esperimenti sistematici di Biot, Savart e Ampere
(tra gli altri) mostrarono che conduttori percorsi da correnti esercitano
tra loro forze analoghe a quelle che i magneti esercitano tra loro e
proposero le leggi del campo magnetico creato da correnti, conosciute
come leggi di Biot Savart.
-Essi determinarono anche che queste forze non avevano la caratteristica
principale della forza gravitazionale e della forza elettrostatica tra
cariche elettriche, ovvero di essere conservative.
-Né per il campo magnetico valeva la legge di Gauss nella forma data per il
campo elettrostatico: il flusso del campo magnetico associato a correnti
1
attraverso una superficie chiusa si verifica essere sempre nullo.
-La relazione tra il magnetismo creato da magneti e quello creato da
correnti, in tempi in cui la struttura atomica e le sue proprietà non erano
ancora conosciute, era difficile da riconoscere.
-Le proprietà del campo magnetico creato da magneti naturali (o quello
della terra al livello di conoscenze dell’epoca,) era riconosciuta avere
proprietà simili a quelle del campo elettrostatico (conservatività del campo
e validità di una legge simile a quella di Gauss), ma con una differenza
sostanziale: sperimentalmente era noto come fosse impossibile separare
la “massa o carica ” magnetica positiva da quella negativa, il che faceva
ritenere che la materia avesse proprietà “magnetiche” distinte da quelle
elettriche (le cariche sono distinguibili)
-I campi creati da correnti (indicati in letteratura con la lettera B) e i
campi magnetici di magneti naturali (indicati con la lettera H) avevano
proprietà diverse, ma le sorgenti di questo campi interagivano tra loro.
- Ampere per primo propose che le proprietà magnetiche dei materiali (ora
note come ferro-magnetismo) fosse dovuto a un fluire continuo di correnti
(chiamate da allora correnti amperiane) nella materia. Egli infatti notò
l’equivalenza tra le linee di forza e gli effetti del campo magnetico creato
da una corrente che circola in una spira (un filo conduttore chiuso su
stesso e alimentato da una ddp) e quelli di un magnete naturale.
-Da quel momento in poi il magnetismo non apparve come una proprietà
separata dalla carica elettrica, ma fu attribuito in ogni caso alle presenze
di correnti, ovvero di cariche in movimento.
-Furono notati anche movimenti di cariche (correnti) in conduttori non
alimentati da generatori, se nelle loro vicinanze si muoveva una bacchetta
magnetica accelerandola. Il fenomeno (insieme a altri dello stesso tipo)
2
venne chiamato dell’induzione elettromagnetica.
-Verso la fine del ‘800 gli esperimenti sull’induzione
elettromagnetica (un magnete permanente in movimento crea una
corrente variabile in un filo conduttore non connesso ad alcuna ddp,
e analogamente una spira conduttrice percorsa da corrente crea lo
stesso effetto sulla spira non connessa) condotti da Faraday (fisico
inglese) misero in evidenza la relazione tra comportamenti elettrici e
magnetici non stazionari, come effetti correlati e indistinguibili.
Il campo elettrico e il campo magnetico sono due diversi aspetti
derivanti dalla stessa proprietà della materia, la carica elettrica.
Il campo elettromagnetico è dovuto a cariche elettriche e il tipo di
movimento di queste cariche determina le proprietà dei campi.
3
- In questa parte ci occuperemo di quella che viene definita come
magnetostatica, ovvero le proprietà del campo magnetico dovuto a correnti
stazionarie (correnti non variabili nel tempo).
-La definizione operativa di campo di induzione magnetica B(r) si basa
sull'osservazione sperimentale fatta da Lorentz (1879):
un fascio di cariche elettriche generate in un tubo a vuoto e in movimento
sono deflesse da un campo magnetico.
Si verifica che questa forza , detta di Lorentz, che provoca questa
deflessione, è perpendicolare alla velocità istantanea delle cariche e alla
direzione del campo, ma si annulla se le particelle si muovono
parallelamente al campo.
Il modulo della forza è proporzionale al modulo della velocità, al modulo
del campo, al valore della carica che è deflessa, e dal seno dell’angolo tra
direzione del campo e direzione della velocità
S
B
θ
F
N
q>0
r
r r
F = qv ∧ B ⇒ F = qvB sen è
r
F perpendicolare al piano
r r
individuato da v e B,
r r
è angolo tra v e B
S
B
v
F
S
S
N
N
N
q<0
F è nulla : se v=0 (carica in
quiete), se v parallela a B
(stesso verso o verso opposto)
4
Il campo di induzione magnetica B viene definito attraverso la forza
divisa per il valore qv quando il campo e la velocità sono tra loro
perpendicolari:
B=F/qv.
L’unità di misura è il Tesla (T) = Ns/Cm = N/Am.
Il campo magnetico terrestre vale circa 0.5•10-4 Tesla o 0.5 Gauss.
(10-4 Tesla=1 Gauss).
- Nelle pagine precedenti il campo magnetico è immaginato prodotto da
barrette magnetiche (magnetite) in cui N indica il polo positivo, S il polo
negativo. Il campo magnetico creato dai magneti naturali è messo in
evidenza in maniera semplice attraverso la limatura di ferro, che si
dispone, magnetizzandosi, lungo le linee di forza e assomiglia e quello
creato da dipoli elettrici. Si verifica sperimentalmente che il campo
di magnetico creato da magneti è proporzionale all’inverso del quadrato
della distanza
B∝
r2
r
N
S
1
Ciò che distingue questo campo da quello
creato dal dipolo elettrico è che
all’interno del magnete le linee di forza
sono dirette (come vedremo) dal negativo
al positivo, ovvero in direzione opposta a
quella del dipolo elettrico.
Inoltre il campo non cambia se la
barretta magnetica viene divisa a metà
(in modo da dividere il N dal S) e solo
metà viene usata.
5
-La forza di Lorentz. attiva nella zona delle “Fasce di Von Allen”, zona
che inizia a 100 km sopra la superficie terrestre, in cui il campo
magnetico terrestre intrappola le particelle cariche portate dal vento
solare nelle cosiddette “bottiglie magnetiche” (essa è responsabile di
quel fenomeno che viene chiamato aurora boreale).
- Se una massa (m) carica (q) entra in una zona dove vi è un campo
magnetico perpendicolare alla velocità del corpo, la forza di Lorentz
agisce come una forza centripeta (perpendicolare alla velocità in ogni
punto) e il corpo descrive una traiettoria circolare, in cui il raggio e la
velocità angolare sono dati da :
v2
mv
m
= qvB ⇒ r =
r
qB
S
B
θ
F
N
q>0
S
B
v
F
S
S
N
N
mù 2r = qù rB ⇒ ù =
qB
m
N
q<0
-LO spettrometro di massa, che si usa per separare sistemi di masse
diverse, si basa su questo principio. Il miscuglio di masse da analizzare
viene ionizzato e poi introdotto a velocità v nella zona dove vi è il campo
di induzione magnetica , perpendicolare alla velocità. Masse diverse
devono compiere circonferenze di raggio diverso e il dispositivo è
costruito per permettere di identificare dai raggi diversi le diverse
masse.
6
Forza magnetica su un “tratto” di filo rettilineo percorso da
corrente I.
Dalla forza di Lorentz su particelle cariche si passa abbastanza
facilmente alla forza esercitata da un campo magnetico su “tratti di filo”
percorsi da corrente I. Ovviamente i tratti di filo fanno parte di un
circuito (in cui la direzione della corrente e quindi la velocità dei portatori
di carica cambia, essendo il circuito chiuso su una fem) e la forza totale si
trova sommando i vari contributi nei vari tratti
b
a
I
S
F
dl
B
+
vd
- Se N è il numero di portatori di carica (q) nel volume dV=Sdl
mostrato in figura, la forza agente sul tratto dl è
dF =N q vd∧ B.
La corrente è data da
I=jS=(N/dV) q vdS = (N/Sdl) qvdS= (Nqvd)/dl.
Ne segue che, tenendo conto che il vettore dl ha la stessa direzione e
verso del vettore vd che:
dF = I dl∧ B
Esempio: Nella figura su tutto il circuito agisce un campo B entrante
nel foglio, perpendicolare al foglio. Considerando che il circuito si trova
sul foglio, si ha su tutto il tratto (di lunghezza a) a destra del circuito,
la forza è orientata come in figura e vale F=I a B. Si può verificare che
sui vari lati le forze sono come in figura: la ΣF=0 e anche la somma dei
momenti è nullo: se il circuito è rigido e non si può deformare, non si ha
nessun movimento né di rotazione né di traslazione
b
a
I
F
F
F
F
B
7
Momento delle forze agenti su un circuito immerso in
magnetico e momento magnetico di una spira piana.
M
F
n A=abn
b
a
I
B
F
- Ma se la situazione è come in figura, in cui il campo di induzione
magnetica B sul piano del circuito, sui lati lunghi la forza magnetica è
nulla, sui lati corti le due forze sono uguali e contrarie, ma formano una
coppia di forze, che pur avendo somma nulla, ha momento M diverso da
zero. Il momento M (mostrato in figura), vale in modulo M = I a b B =
IA B, con A area del circuito.
-Il vettore areale A=A n per un circuito piano è definito come il
vettoredi nodulo l’area enella direzione della normale alla superficie
racchiusa dal circuito (superficie concatenata al circuito), che si
orienta in modo che, se ci mette secondo il suo verso, si veda circolare
la corrente in senso antiorario
-Si verifica che per tutti i circuiti piani, qualunque sia la loro forma, se
la normale alla superficie o il vettore areale A=S n formano un angolo θ
con il vettore B, ancora la somma delle forze è nulla, ma si ha
momento M diverso zero e vale per qualsiasi circuito piano:
M=IA ∧ B.
n
A
θ
B
M
8
Questi circuiti su cui agisce un momento non nullo tendono a ruotare
intorno al loro baricentro per orientare la normale con il campo
magnetico, ovvero fanno quello che farebbe un ago magnetico in un
campo magnetico esterno: orienta il suo N nella direzione del campo.
- Per analogia, visto che un ago magnetico ha evidentemente una
struttura dipolare a cui si può associare un momento chiamato
magnetico (analogia con momento di dipolo elettrico), si associa a ogni
circuito piano (chiamate spire) un momento magnetico:
m=IA =IAn (Am2)
n
A
I
m
θ
B
A
A
I
A
m
B
I
m
equivalenza (Ampere)
I
N
S
- Ad ogni spira percorsa da corrente si associa questo momento di
dipolo magnetico e la spira tende ad orientarsi in direzione del campo
magnetico , ovvero a mettersi in maniera che la sua area sia
perpendicolare alle linee di forza del campo magnetico e la normale,
definita come detto prima, nella direzione e verso del campo magnetico.
9
-Alla spira che si orienta in direzione del campo magnetico , ovvero si
mette in maniera che la sua area sia perpendicolare alle linee di forza
del campo magnetico (ovvero con la normale nella direzione e verso del
campo magnetico) compete una energia minima.
Si può dimostrare, calcolando il lavoro compiuto dall’esterno durante il
moto di rotazione, purché questo avvenga senza aumento di energia
cinetica , che l’energia associata ad ogni posizione della spira percorsa
da corrente in campo magnetico è
U(θ) = - m·B = m B cosθ
( nel caso del dipolo elettrico in campo elettrico U(θ) = - p·E)
-Questo comportamento viene sfruttato in molti motori elettrici,
-negli amperometri e voltmetri analogici, in cui una lancetta solidale con
l'equipaggiamento di spire percorse dalla corrente (o ddp) da misurare
ruota su una scala graduata (amperometro e galvanometro a equipaggio
mobile). In questi dispositivi il momento torcente dovuto al campo
magnetico in cui è immersa la spira viene equilibrato da un filo di
torsione o da una molla.
- Inoltre questo comportamento è alla base della spiegazione del
magnetismo naturale : a tutte le particelle atomiche (e nucleari) viene
associato un momento magnetico, come fossero spire percorse da
correnti. Più avanti daremo cenni su questo.
10
Campo di induzione magnetica generato da corrente
stazionaria. 1
Il campo di induzione magnetica B(r) è generato da correnti:
sperimentalmente si nota che due fili percorsi da correnti o due spire
rigide percorse da correnti si attraggono o si respingono o ruotano a
seconda della loro posizione relativa e che una spira percorsa da corrente
si comporta come un magnete, che una carica in moto stazionario (quindi
una corrente stazionaria) crea una forza su altre cariche in moto.
L’insieme di di tutte le osservazioni è stata riassunta nella:
legge di Biot-Savart per il campo magnetostatico, indotto da correnti
stazionarie:
Sia C un circuito chiuso in cui circola corrente I stazionaria (la stessa in
tutta il circuito) e sia dl un tratto di tale circuito orientato nel verso della
corrente, che è individuato dal raggio vettore r’ . Sia r un punto nello
spazio e sia ∆ r= r - r’ la distanza di questo punto dal tratto di filo dl.
Ogni tratto di filo crea un campo di induzione magnetica dB(r) dato da:
dB(r)
I
r'
r
r
r
µo I dl ∧ Är
dB (r) =
r
4π Ä r 3
dl
θ
∆r
r
r
µ I dl senθ
dB (r) = o
r
4π Ä r 2
Il campo di induzione magnetica B(r) totale si ottiene sommando
vettorialmente tutti i contributi da tutti i tratti dl, fino a coprire
r
tutto il circuito C:
r
r
r
µ I dl ∧ Är
B (r) = ∫ dB (r) = o ∫
r3
π
4
Ä
r
c
C
11
Campo di induzione magnetica generato da corrente
stazionaria. 2
Per ogni tratto dl e vettore distanza ∆ r il contributo al campo cambia in
direzione e verso e intensità: - in particolare il campo dB(r) è
perpendicolare al piano individuato dai due vettori dl e ∆ r , nel verso
individuato dalla regola della mano destra (pollice nelle direzione di dl,
indice nella direzione di∆ r , il campo individuato dalla direzione del medio,
quando le tre dita siano disposte a terna destrorsa).
Si nota che il campo è nullo se dl e ∆ r sono tra loro paralleli, per esempio
nel caso in figura tutto il tratto AB del circuito dà contributo nullo nel
punto individuato dal vettore r , ma nello stesso punto non è nullo il
contributo degli altri lati, che non sono paralleli al vettore ∆ r .
r'
dl
dl
A
I
B
dl
∆r
dB(r)=0
r
dl
La costante µ0 è chiamata permeabilità magnetica del vuoto e nel S.I. il
suo valore è 4π⋅10-7 e le sue unità sono NA-2, come si può verificare
ricordando che il campo magnetico B è misurato in Tesla e 1
Tesla=N/(Am). Si può notare che servono correnti molto intense per avere
campi magnetici dell’ordine di Tesla, dato il valore piccolo della costante
permeabilità magnetica.
Vale la pena a questa punto notare che il prodotto µ0 ε0 =1/c2, con c
velocità della luce nel vuoto (3 ⋅10-8 m/s) sia numericamente che
dimensionalmente.
Il campo magnetico creato da circuiti più o meno complessi è
particolarmente difficile da calcolare, in tutti i punti dello spazio, nel
seguito senza dimostrazioni daremo le relazioni per alcuni campi di
interesse generale.
12
Campo di induzione magnetica di un filo rettilineo “infinito”.
I
I
r
r
B(r)
B(r)
I
I
Si intende con filo infinito un filo molto lungo, rettilineo: il campo B(r)
è uguale in modulo a distanza r dal filo (stesso valore per tutti punti
di una circonferenza di raggio r), giace sul piano perpendicolare
al filo ( è perpendicolare al piano individuato dalla corrente e dal
raggio-distanza dal filo) e una persona che abbia i piedi sul piano e la
testa rivolta nelle direzione della corrente vede il verso del campo
ruotare in senso antiorario). Le circonferenze sono le linee di forza di
questo campo.
Il campo si verifica essere dato da ( t̂ versore tangente alla
circonferenza)
r
µ I
B (r) = o tˆ
2π r
Il campo diminuisce con l’aumentare dalla distanza dal filo e tende a
zero abbastanza rapidamente (“come 1/r”) lontano dal filo.
I uscente
r
r
B(r)
I entrante
r r
B(r)
13
Forza tra due lunghi conduttori rettilinei percorsi da corrente.
Definizione dell’unità di misura della corrente (Ampere)
Nel disegno vi sono due fili percorsi dalle correnti I1 e I2 , nello stesso
verso (uscenti da un piano perpendicolare a entrambi). I due fili sono a
distanza d .
Il filo percorso dalla corrente I2 crea un campo di induzione magnetica di
valore B2(d)=(µ 0 I2)/(2π d) e con l’orientazione segnata in figura su tutti
punti del filo percorso dalla corrente I1. Poiché il filo percorso dalla
corrente I1 si trova immerso in questo campo magnetico su ogni tratto di
lunghezza l del filo, e quindi su esso si esercita una forza (magnetica, come
visto precedentemente), orientata come in figura, attrattiva nel caso di
correnti concordi, di intensità F12:
I2
I1
B2(d)
F12(d)
d
F12 (d) = I1l
ì o I2 ì o I2 I1
≡
l
2π d
2π d
Se si considera l’effetto del campo
magnetico creato dal filo percorso
dalla corrente I1 si arriva allo stesso
risultato (con verso opposto della
forza, III principio della dinamica).
Se le correnti sono discordi (una
entrante e una uscente) la forza tra i
fili è repulsiva.
Se tra i fili si inserisce un dinamometro, questa forza può essere misurata
e sulla base di questa misura si definisce l’unità di misura dell’Ampere: Si
ha una corrente di 1 Ampere (supponendo uguali le intensità delle corrente
nei due fili (I1= I2=1 Ampere)) se tra i due fili,”infiniti”, posti a distanza
d=1m, si misura una forza per unità di lunghezza (l=1m) pari a 2⋅ 10-7 N/m.
Definita operativamente l’unità di misura della corrente, viene definito
l’unità di misura della carica elettrica, il Coulomb: 1 Coulomb è la quantità
di carica che passa in 1 secondo in un filo percorso da una corrente di 1
14
Ampere.
Campo di induzione magnetica di una spira percorsa da corrente.
corrente.
dB(z)cosθ
θ
θ dB(z)
z
I
Är =
R2 + z2
Rθ
dl
r
B (z) =
µ 0 I(2ð R)R ˆ
k
4π (R 2 + z 2 ) 3/2
Nella figura è rappresentata una spira
circolare percorsa da corrente I in senso
antiorario e il campo dB(z) che secondo la
legge di Biot-Savart è creato nel punto a
quota z sull’asse della spira passante per
il suo centro dalla corrente elementare
Idl,che fluisce nel tratto dl.
Considerando i contributi di tutti i
tratti, girando sulla circonferenza, tutte
le componenti orizzontali si annullano.
e il campo magnetico totale è orientato
lungo l’asse z, e si ottiene sommando per
ogni tratto i contributi dB(z)cosθ e
sommando:
Quindi sull’asse della spira (sia nella parte superiore che inferiore) il
campo è sempre diretto nella direzione z positiva, il valore del campo può
essere scritto in termini del momento magnetico della spira: m=Iπ R2 n
(rivedere nella parte precedente per la direzione della normale n):
r
r
r
r
ì 0m
ì 0m
B (z) =
se z >> R ⇒ B (z) ≅
3
2
2 3/2
2ð (R + z )
2ð z
A distanza dalla spira (z>>R) il campo diventa simile a un campo di dipolo
(vedere elettrostatica) con momento di dipolo uguale al momento
magnetico m:
la spira percorsa da corrente si comporta come un dipolo magnetico o ago
magnetico quando immerso in un campo magnetico.
MA anche
La spira percorsa da corrente crea anche un campo magnetico come
quello che creerebbero due eventuali masse magnetiche, una positiva e
una negativa, posizionate sulla faccia superiore e inferiore della spira
rispettivamente, o come un ago magnetico disposto lungo l’asse z, con il
15
polo Nord verso la direzione z positiva.
Campo di induzione magnetica di una spira percorsa da
corrente 2.
2. Cenni sul campo magnetico terrestre
Si è calcolato il valore del campo B sull’asse della spira, in altri punti il
campo è più complicato da calcolare ma è possibile vedere dalla
rappresentazione delle linee di forza (a sinistra) come questo sia simile a
quello di dipolo (a destra, in approssimazione di dipolo) visto nel caso
elettrico. D’altronde se si prende una sottile ago magnetico, e attorno si
pone della limatura di ferro, si ottiene lo stesso andamento di
orientazione: la limatura di ferro si dispone secondo linee di forze del
tutto equivalenti. In effetti, come si è già detto, questa equivalenza ha
fatto capire come il concetto di massa magnetica o carica magnetica
fosse superfluo, e come fosse possibile descrivere il campo magnetico
attraverso cariche in movimento.
Il campo magnetico terrestre (di origine interna) che si misura sulla
superficie terrestre ha essenzialmente (per il 90-95% del campo totale)
le stesse caratteristiche di campo dipolare. Il valore è dell’ordine di
10-4- 10-5 Tesla (1-10-1 gauss, il valore massimo (solo verticale) è vicino ai
poli e vale in media 6 ⋅10-5 T). L’asse di dipolo non è allineato con l’asse di
rotazione terrestre ( vi sono circa 11- 13° di differenza) e in effetti i
poli magnetici non sono perfettamente allineati, e questo deriva dalle
complessità introdotte dalle componenti non dipolari. Esula da questa
corso l’analisi del campo magnetico Terrestre, che è dovuto a complesse
interazioni e movimenti all’interno della parte del nucleo (“core”) liquido.
Una caratteristica fondamentale del campo magnetico terrestre, ancora
da spiegare in modo completo, è la non costanza nel tempo del campo
16
magnetico terrestre e le sue variazioni secolari (inversione delle
polarità).
Campo di induzione magnetica di un solenoide
L
I
I
Un solenoide è un avvolgimento a spire molto ravvicinate di un filo
conduttore, avvolto su una forma cilindrica, di solito circolare, di solito
molto più lungo che largo (lunghezza L>> raggio R del cilindro)in cui scorre
la stessa corrente I. Il sistema viene costruito per avere un campo
intenso e praticamente uniforme, parallelo all’asse del cilindro, all’interno
del solenoide e praticamente nullo all’esterno del solenoide, sfruttando la
sovrapposizione dei campi magnetici creati dalle N spire che lo
costituiscono molto vicine tra loro.
Se N è il numero di spire e L la lunghezza del solenoide, n=N/L è il numero
di spire per unità di lunghezza del solenoide e si può verificare che
all’interno del solenoide il campo vale:
B = nµ οI
nella direzione segnata nella figura sotto, se il senso della corrente è
quello segnato, al contrario per corrente in senso inverso. In figura sono
segnate le linee di forza: All’esterno il campo diventa tanto più debole
tanto più il solenoide è lungo: un solenoide chiuso su stesso a “ciambella”
(toroide) è un sistema in cui il campo è solo interno al dispositivo.
I
I
Linee di forza all’interno
del toroide
17
Proprietà del Campo Magnetico B: leggi del flusso; legge di
Ampere e sua generalizzazione.
- Analogamente al caso elettrico anche nel caso del campo di induzione
magnetica una delle proprietà che riguarda tutti i campi magnetici,
comunque siano creati, da correnti o d aghi magnetizzati, è la legge del
flusso: considerata come nel caso del campo
una superficie
r elettrico
)
chiusa, costituita da aree elementari dS ≡ dS(P) n (P) , il flusso
elementare del campo magnetico attraverso la superficie dS è definito
dalla relazione
n
B
dS
r
r
r
)
d Φ B = B (P) ⋅ n (P)dS(P) = B (P) ⋅ d S (P) ≡ B(P) dS(P) cos θ B, dS
Questo flusso attraverso una superficie elementare aperta è al solito
positivo se B è uscente dalla superficie negativo se B è entrante, nullo
se B è parallelo alla superficie (o B=0), ma la proprietà importante è che
nel caso del campo magnetico, qualunque sia la superficie chiusa
considerata, e qualunque sia la sorgente del campo, e sia che la sorgente
sia interna alla superficie o lontana dalla superficie, il flusso totale
attraverso una qualsiasi superficie chiusa S del campo di induzione
magnetica B è sempre nullo :
r
r
Φ B = ∫ B (P) ⋅ d S(P) = 0
S
Questo significa varie cose:
1) qualunque sia il campo magnetico o qualunque sia il sistema sorgente,
le linee di forza del campo magnetico sono sempre linee chiuse, e quindi
a differenza del campo elettrico non divergono (o convergono) sulla
sorgente, ma la attraversano. Le uniche linee aperte sono quelle che
18 si
chiudono idealmente all’infinito (vedi spira e solenoide)
Proprietà del Campo Magnetico B: Legge del flusso 2
2) la possibile non esistenza della carica o polo o massa magnetica isolata:
nel caso la legge di flusso sarebbe analoga a quella del campo elettrico;
3) il flusso del campo magnetico attraverso una superficie aperta può
essere diverso da zero, e si dimostra che esso è uguale attraverso una
qualunque superficie aperta che abbia lo stesso contorno.
Se, per esempio, si calcola il flusso del campo magnetico uscente verso
l’alto (nella direzione data dalla normale ne) o attraverso la superficie
aperta S1 che è delimitata dalla spira circolare in cui scorre la corrente
I, o attraverso la calotta (S2) che si appoggia sullo stesso contorno, si
ottiene lo stesso risultato. Infatti le due superfici costituiscono
insieme una superficie chiusa, attraverso
n
la quale il flusso totale è nullo, il che
significa che il flusso attraverso S2 è
S2
uguale e di segno contrario al flusso
ne
I
uscente attraverso S1 nella direzione
data dalla normale nu, che è a sua volta
S1
uguale e contrario al flusso attraverso S1
nella direzione data dalla normale ne.
ÖBnu=
poichè
r
r
B
(P)
⋅
d
S
(P) = 0 ⇔
∫
S1 ∪ S2
S1
r
- ∫ B (P) ⋅ n̂ e dS(P) =
S1
r
r
B
(P)
⋅
n̂
dS(P)
+
B
u
∫
∫ (P) ⋅ n̂ dS(P) = 0
r
B
∫ (P) ⋅ n̂u dS(P)
S1
S2
dato che - n̂ e = n̂u
⇓
r
r
∫ B (P) ⋅ n̂e dS(P) = ∫ B (P) ⋅ n̂ dS(P)
S1
S2
Il ragionamento può essere ripetuto per qualsivoglia superficie. Il
flusso attraverso la superficie aperta delimitata dal circuito viene
chiamato flusso concatenato al circuito. Vedremo tra breve che
succede se questo flusso cambia nel tempo.
19
Proprietà del Campo Magnetico B: legge di Ampere.
La legge di Ampere riguarda la proprietà della circuitazione o integrale di
linea del campo magnetico B lunga una curva chiusa nello spazio. Si è visto
che nel caso del campo elettrostatico E questo integrale o lavoro per unità
di carica era sempre nullo, ovvero il campo elettrostatico è conservativo e
si può associare ad esso un potenziale scalare V.
Il campo di induzione magnetico B non è conservativo. Si dimostra che
presa una qualsiasi curva chiusa, che racchiude al suo interno una
superficie (che può essere piana o curva), la somma (integrale di linea) dei
prodotti scalari B⋅dl (con dl tratto elementare della curva considerata) è
diverso da zero, se attraverso la superficie racchiusa dalla curva passano
fili percorsi da corrente o, come si dice, la curva concatena correnti .
I1
+
C1
C2
I2
+
La curva C1 concatena 2 correnti (una uscente I1 e una entrante I2) mentre
la curva C2 non concatena nessuna. I circuiti generano una campo B sia
dove c’è C1 che dove c’è C2
Si può dimostrare che se le correnti sono continue, indipendenti dal tempo
valgono
le rrelazioni:
r
∫ B(P) ⋅ dl
C1
= µ 0 (I1 − I2 )
r
r
∫ B(P) ⋅ dl = 0
Legge di Ampere per la circuitazione di un
campo magnetico creato da correnti non
variabili nel tempo:
C2
Se la curva considerata non concatena correnti la circuitazione di B è
nulla, se la curva concatena correnti la circuitazione è la somma
20
algebrica delle correnti. Il segno positivo o negativo delle correnti
viene determinato con la cosiddetta regola della mano destra:
Proprietà Del Campo Magnetico B: Legge Di AmpereAmpere- 2
Regola Della Mano Destra Per La Legge Di Ampere: Piegando le dita
della mano destra nel senso di percorrenza della curva considerata, il
pollice disteso fornisce il senso di percorrenza della corrente che dà
un contributo positivo alla somma. Nel caso della curva C1, si verifica
che I1 dà un contributo positivo, mentre I2, essendo nella direzione
contraria alla direzione indicata dal pollice, dà un contributo negativo.
Nota : (La dimostrazione della legge di Ampere, che è verificata per
tutti i campi magnetostatici, qualunque siano le sorgenti, ( per es.
campo creato da un filo infinito) non è difficile da fare in casi
semplici ( per es. per il campo creato da un filo infinito) e si invitano
gli studenti a leggere nei testi sia le dimostrazioni che le possibili
applicazioni, anche se non fanno parte del programma di esame).
21
Generalizzazione della legge di Ampere : corrente di
spostamento e legge generale della circuitazione per il campo
di induzione magnetica B (legge di AmpereAmpere-Maxwell)
-La legge di Ampere è valida nella formulazione data
precedentemente anche se il campo magnetico B è generato da
correnti variabili nel tempo che siano “quasi stazionarie” .
-Le correnti quasi stazionarie sono correnti variabili nel tempo, e
sono presenti anche nei sistemi alimentati da fem come la pila, con
ddp costante nel tempo, durante i transienti, (accendere la luce,
accendere un dispositivo elettrico, collegare un filo conduttore a
una pila o fem), quando la corrente passa dal valore nullo al suo
valore di regime, ma correnti variabili nel tempo si hanno quando il
sistema è alimentato da una fem alternata come normalmente nei
circuiti elettrici (nel prossimo capitolo vedremo come).
-In questi casi la corrente è una funzione del tempo I(t), e si dice
sia “quasi stazionaria” se si può presumere che, ad ogni istante di
tempo dato, essa sia la stessa in tutto il circuito considerato.
Questo è vero in circuiti di dimensioni ordinari, dimensioni minori
della distanza che per es. la luce percorre in 1 secondo: 300.000
km).
-E’ ancora possibile esprimere il campo magnetico creato da queste
attraverso le relazioni di Biot-Savart, anche se I varia nel tempo e
quindi anche B varia nel tempo. S
-Sia legge del flusso attraverso una superficie chiusa che la legge di
Ampere valgono nella formulazione data correnti quasi stazionarie.
- Ma se per esempio nel circuito considerato, in accensione
(transiente), vi sono elementi come un condensatore in carica, che
accumula carica nel tempo, ma in cui anche se vi è un isolante, non vi
è materialmente una vera corrente di conduzione, in questa zona c’è
il campo B ma una zona dello spazio in cui la legge di Ampere non 22
è
applicabile.
Infatti darebbe un valore dove c’e’ il filo conduttore e una valore diverso
dove c’è il condensatore, anche se calcolati attraverso la stessa linea.
-L’intuizione di Maxwell fu appunto di associare una corrente “fittizia”
chiamata corrente di spostamento anche a casi in cui pur non essendovi
materialmente spostamento di cariche, vi sia un campo elettrico variabile
nel tempo, come nel caso di un condensatore in carica: la carica sulle
armature aumenta dal valore nullo al valore Q finale quando le armature
hanno raggiunto il potenziale della batteria a cui sono attaccati.
E si ha quindi, per tutto il tempo della carica,un campo elettrico E(t)
variabile nel tempo,
Q(t)
C
+
I(t)
- L’idea è questa: se si ha un campo elettrico E(t) variabile nel tempo,
dalla legge di Gauss per il campo elettrico( o I eq. di Maxwell) applicata
a una superficie chiusa che racchiuda l’armatura in cui vi siano le
cariche in accumulo si ricava che la derivata rispetto al tempo del
flusso del campo elettrico moltiplicato per ε0 ha le dimensioni di una
corrente: la corrente di spostamento Is.
ε0Φ(E(t))= Q(t) ⇒ ε0
d Φ(E(t))
dt
=
dQ(t)
≡ Is
dt
23
Q(t)
C
+
I(t)
- Se si considera una zona dello spazio dove ci siano correnti materiali
nei fili di conduzione, sia (/o solo) zone dove vi è un campo elettrico
variabile, si ha in quella zone un campo di induzione magnetica B, il cui
flusso attraverso una superficie chiusa è nullo, e la cui circuitazione
attraverso una curva chiusa è dato da:
r
r
∫ B(P) ⋅ dl = µ 0
C
∑I
c
algebrica
+ µ 0ε0
dΦ E
dt
III eq. di Maxwell
dove Ic indicano le correnti di conduzione(legge di Ampere
generalizzata)
Si è verificato sperimentalmente (che in effetti l’intuizione di
Maxwell poteva essere estesa anche a casi in cui non vi siano
correnti materiali o condensatori in carica o altro.
Basta un campo elettrico variabile nel tempo (per esempio creato da
una carica in moto per esempio armonico, o un dipolo oscillante o una
carica in moto vario non necessariamente in un filo conduttore) per
avere un campo magnetico con la proprietà espressa dalla legge di
Maxwell-Ampere o III eq di Maxwell.
La legge del flusso vale per tutti i casi
r
r
ÖB = ∫ B (P) ⋅ d S(P) = 0
II eq. di Maxwell
S
- Per completare il quadro, manca la IV eq. di Maxwell, che come
vedremo è la simmetrica della III: dove vi è un campo Magnetico
varibile, vi è anche un campo elettrico variabile, che soddisfa la I eq. di
Maxwell ( o legge di Gauss) e che non è più conservativo, vi è un ampo
24
magnetico. La relazione trai due è nelle pagine che seguono.
Induzione elettromagnetica: fatti sperimentali
-Vi sono vari fatti sperimentali che hanno mostrato che, quando si ha un
campo magnetico variabile nel tempo, in un circuito conduttore che si
trova nella zona dove il campo magnetico agisce, ( e/o anche nello
stesso conduttore che crea il campo magnetico variabil), si ha e si
misura una corrente che prima non c’era, chiamata corrente indotta:
Si ha quindi un movimento di carica, che ha tutte le caratteristiche di
quello che si ha quando una fem viene applicata a un filo conduttore.
In ultima analisi, nel conduttore immerso in campo magnetico variabile si
“crea” un campo elettrico indotto (simile a quello creato da una fem
reale).
I fatti sperimentali sono:
1) in un filo conduttore (circuito esploratore) non alimentato da alcuna
batteria e chiuso su un amperometro a scala centrale (galvanometro),
se si muove vicino ad esso, avvicinando o allontanandolo, un magnete
e/o un altro circuito percorso da corrente stazionaria, si misura una
corrente variabile, corrente che scompare quando il moto cessa.
2)
La corrente inoltre ha versi opposti se il moto è d’avvicinamento o di
allontanamento.
3) Si ha lo stesso fenomeno, se invece di muovere il magnete o la spira
percorsa da corrente, si muove il circuito esploratore.
25
In questi casi si ha un campo magnetico variabile nel tempo. La
variazione
è dovuto al movimento relativo spira- sorgente del
campo, che varia la distanza tra spira e sorgente e la corrente
indotta appare dipendere dalla variabilità
nel tempo del campo
magnetico.
4) Analogo al fenomeno descritto prima è il fenomeno che si
registra durante l’accensione di un circuito, la carica o scarica di
un condensatore, o durante lo spegnimento dello stesso circuito
elettrico. In questi casi la corrente che circola cambia dal valore
nullo al valore di regime o dal valore di regime al valore nullo:
durante il tempo in cui nel circuito scorre corrente variabile, si
misura un campo magnetico variabile, tanto più grande quanto più
grande è l’area del circuito e la rapidità di variazione. Inoltre, nel
circuito fluisce una ulteriore corrente (corrente indotta) che
tende a diminuire la corrente variabile prodotta in accensione e ad
aumentarla in spegnimento.
I(t) in aumento, dI/dt < 0
I indotta
I(t) diminuzione, dI/dt < 0
I indotta
5 ) L a s t e s s a c o s a s u c c e d e s e l a s p i r a n o n è p e r c o r s a d a c o r r e n t e, ma
è sottoposta a un campo variabile nel tempo. Se B cresce si misura
sulla spira un corrente indotta che creare un Campo Indotto,
c he si
oppone al campo variabile sorgente.
B(t+dt)> B(t)
B(t)
B(t+dt)< B(t)
I indotta
B(t)
I indotta
26
La corrente indotta compare anche se il campo magnetico in cui è
immersa la spira è costante e se la spira cambia forma e aumenta o
diminuisce l’area investita dal campo magnetico.
1) Se
una spira non alimentata è immersa in campo magnetico costante
e si ca m b i a l a f o r m a d e l c i r c u i t o , v a r i a n d o n e l ’ a r e a c o n c a t e n a t a, nel
sistema
si ha una corrente indotta. Se nel circuito circolava corrente
durante la variazione di forma, ancora si ha corrente indotta che si
somma algebricamente alla corrente che circola.
B
I indotta
B
I indotta
2) Analogamente se un circuito viene fatto ruotare o oscillare (o
entra e esce) da una zona dove vi è un campo magnetico, anche
costante, la superficie concatenata con il circuito cambia in forma o
direzione rispetto alla direzione del campo magnetico e varia il flusso
del campo magnetico concatenato con il circuito.
Ancora nel circuito si induce una corrente variabile nel tempo e in
direzione, se è chiuso, se è aperto come nelle figure sotto, ai capi del
circuito aperto si instaura una dpp variabile nel tempo,
che si
trasforma in corrente nel circuito esterno (con la lampadina).
27
3) La stessa cosa succede se si cambia la forma di un circuito
aumentando l’area, come nella figura sotto. Una sbarra
strisciante viene fatta muovere applicando una forza Fapp che fa
muovere la sbarra con velocità v. Il circuito è immerso in un
campo magnetico entrante nel foglio e in esso non circola
corrente(non c’è nessun generatore di corrente). Si misura una
corrente indotta durante il movimento (segnata in figura con la
lettera I).
Fm la forza magnetica che compare a causa dell’interazione della
corrente indotta con il campo magnetico e si oppone alla forza
applicata.
4) Per finire, se si considera il movimento di
un conduttore, non chiuso a circuito, come
una barretta di metallo che si muove in un
campo magnetico in modo da “tagliare” le
linee di forza del campo magnetico in cui è
immerso, ai suoi capi si misura una ddp
indotta, che scompare quando la barretta si
ferma.
28
L’insieme
di queste osservazioni viene riassunta nella legge conosciuta
come legge di induzione elettromagnetica di Faraday-Neumann-Lenz:
“Quando per qualunque causa, il flusso del campo magnetico concatenato
con un circuito varia nel tempo, in esso si induce una forza elettromotrice
indotta (fi) che è uguale e di segno contrario alla variazione del flusso:
dΦB
d  r r
fi = −
= −  ∫ B ⋅ dS 
dt
dt  s

Ovvero:
-se B cambia nel tempo, cambia il flusso attraverso una superficie
fissa
-( come nei primi casi descritti precedentemente),
-se B è costante nel tempo e cambia la superficie,
in ogni caso cambia nel il flusso del campo magnetico attraverso la
superficie aperta concatenata,
Ma anche se sia il campo magnetico che la forma del circuito
cambiano cambia il flusso.
Tutti i fatti sperimentali sono contemplati.
In ogni caso si ha la comparsa di una forza elettromotrice indotta,
che in circuito chiuso si traduce in una corrente indotta Ii=fi/R, con R
resistenza del circuito.
Questa corrente indotta si sovrappone a quella già presente o
compare come nuova corrente).
- Il segno negativo che compare nella legge indica che la corrente o la
fem indotte sono tali da opporsi alla variazione del flusso. Se circola
corrente questa circola in maniera da creare un campo B indotto che
sovrapponendosi a quello agente tende a riportare il flusso al valore
originario (per esempio tende ad annullarlo, se era nullo all’inizio).
29
NOTA : Il flusso del campo magnetico si misura nel SI in Tm2,
unità che è chiamata Weber (Wb). Anche l’unità di misura del
campo magnetico è spesso data in Weber/m2.
Dalla legge di induzione si ottiene la relazione tra Volt e Weber:
1 Volt= 1 Weber/s.
La scoperta dei fenomeni che sono stati illustrati, e che ricadono sotto
il nome di fenomeni per cui vale la legge di Faraday, oltre a permettere
come vedremo di derivare la connessione tra campo elettrico e campo
magnetico e definire le equazioni del campo elettromagnetico, hanno
avuto e hanno un importanza fondamentale tecnologica: l’energia
meccanica si può trasformare in energia elettrica e viceversa
(alternatori, trasformatori, dinamo) per esempio (vedere esempi nei
libri).
-Inoltra determina il comportamento dei circuiti elettrici in cui la f.e.m.
o d.d.p. ai capi delle resistenza (o dei condensatori, o dei vari
componenti elettronici di cui non si è parlato in questo corso come diodi,
triodi, transistor, sistemi non ohmici) sia variabile nel tempo (per
esempio la ddp di rete fornita alle nostre case:forza elettromotrice
variabile sinusoidalmente nel tempo con frequenza pari 50 Hz).
-Una caratteristica dei circuiti alimentati con fem variabile nel tempo o
corrente variabile nel tempo è l’autoinduttanza di un circuito:
Si definisce AUTOINDUTTANZA (o induttanza) di un circuito
percorso dalla corrente I(t) la quantità
L =
Φ B(t)
I(t)
Unità di misura H (Henry) =Wb/A
30
Autoinduttanza di un solenoide e energia del canpo magnetico.
Se si considera un lungo solenoide (lunghezza Ls) con N spire e in cui
circola una corrente I e di sezione S , si verifica facilmente che
l’induttanza associata al solo solenoide è L= µ0 (N/ Ls)2SlLs(solo
grandezze geometriche).
Se nel solenoide circola la corrente I(t) (in aumento per esempio,
quando si chiude un circuito), si ha una potenza P(t) sviluppata dalla
fem indotta pari (in valore assoluto, il segno indica solo il verso di
percorrenza della corrente indotta) a
fi I(t) = (L dI/dt) I(t)
[W]
Se la corrente aumenta, l’energia nel circuito aumenta, per ogni
intervallo di tempo dt, di dU, pari a
dU = P(t)dt= L I dI
[J]
La variazione termina quando la corrente arriva a regime. Nel tempo
totale in cui si ha l’aumento si trova che l’energia immagazzinata è
U=(1/2)LI2
[J]
ovvero, sostituendo a L il valore dell’induttanza di un solenoide L= µ0
(N/ Ls)2S Ls e considerando che nel solenoide B= µ0 (N/ Ls) I
U=(1/2) µ0 B2S Ls [J]
dove S Ls = V =volume del solenoide considerato: questo significa che
all’interno del solenoide è immagazzinata una energia del campo
magnetico u B per unità di volume pari a:
uB=(1/2 µ0) B2
[J/m3]
Questa espressione è l’energia per unità di volume associata a
qualunque campo magnetico.
Estrapolandolo questo risultato, si verifica che in una zona dello
spazio dove vi sia un campo elettromagnetico ( sia elettrico che
magnetico) l’energia per unità di volume associata è (vedere anche
energia in un condensatore piano)
uelettromagnetica=(1/2) ε0 E2 + (1/2 µ0 ) B2 [J/m3].
31
IV equazione di Maxwell:
Relazione tra Campo Elettrico e Campo magnetico.
Poiché una f.e.m è associata al lavoro (per unità di carica) per spostare
una carica lungo un circuito chiuso (ovvero per produrre una corrente) o,
equivalentemente, alla differenza di potenziale che questa f.e.m.
mantiene in un circuito aperto, e quindi al lavoro di una forza elettrica
(non coulombiana, e non conservativa), per unità di carica,
si può associare la f.e.m indotta dalle variazioni di flusso del campo
magnetico al lavoro fatto lungo un circuito chiuso da un campo elettrico
indotto E (o forza elettrica indotta per unità di carica)
r
r
fi = ∫ E (t) ⋅ d l ≠ 0
Questo campo elettrico indotto Ei è non conservativo, è presente
materialmente nei circuiti in cui si ha variazioni di flusso, ma è presente
anche in una zona dello spazio dove non via sia nulla di materiale per
metterlo in evidenza e a misurarlo, se nella stessa zona vi è un campo
magnetico variabile nel tempo.
Se in quella zona si mettesse una carica esploratrice q che si muove con
velocità v, essa sarebbe sottoposta alla forza (di Lorentz):
r
r
r r
F = qE (t) + qv ∧ B (t)
In definitiva questo insieme di esperienze mostra che ad un campo
magnetico variabile (o alla variazione di flusso del campo magnetico)
si associa un campo elettrico variabile (così come la legge di Ampere
generalizzata metteva in relazione un campo elettrico variabile a un
campo magnetico)
r r
d  r r
∫ E ⋅ dl = − dt  ∫ B ⋅ dS
C
s

r
r
∫ B(P) ⋅ dl = µ 0
C
∑ Ic + µ 0 ε 0
algebrica
IV eq. di Maxwell
dΦ E
dt
III eq. di Maxwell
32