Probabilità e Statistica I
Elvira Di Nardo
(Dipartimento di Matematica)
Università degli Studi della Basilicata
e-mail:[email protected]
http://www.unibas.it/utenti/dinardo/home.html
Tel:0971/205890
Prerequisiti: serie numeriche; sviluppo in serie di Taylor di
funzioni; calcolo di integrali e di derivate.
Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte
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SPAZIO CAMPIONE
Probabilità e Statistica I 2004/05 SPAZIO CAMPIONE - I parte
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La teoria della probabilità
nasce dai giochi di azzardo.
Azzardo
Azar = “difficile” in relazione ad alcuni punteggi meno
frequenti detti “azari” che possono ottenersi nel gioco dei dadi.
Un
Unesperimento
esperimentoche
chefornisce
fornisceesiti
esitidiversi,
diversi,anche
anchequando
quandoogni
ogni
volta
voltaèèripetuto
ripetutoallo
allostesso
stessomodo,
modo,èèdetto
dettoesperimento
esperimentocasuale
casuale
Definizione
L’insieme S di tutti i possibili esiti di un esperimento casuale è detto
spazio campione dell’esperimento.
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Ad uno stesso esperimento casuale si possono
associare diversi spazi campione.
Esempio: Lancio di un dado:
A) S= {1,2,3,4,5,6} ; B) S= pari, dispari
C) S= si, no
Esempio: Si consideri un’urna con tre palle: una bianca (B), una
nera (N), una rossa (R). Si estraggano due palle dall’urna.
A) con ripetizione
B) senza ripetizione
I: si estrae
III: si rimette
dentro la palla
N
II: si osserva il
colore della palla
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I: si estrae
N
R
II: si osservano i
colori delle palle
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Definizione
Un evento è un sottoinsieme dello spazio campione dell’esperimento casuale.
Operazioni
Unione
Unione(Somma)
(Somma)
E’ l’evento che consiste
degli esiti contenuti in
uno dei due (o entrambi)
eventi
E1 U E 2
Intersezione
Intersezione(Prodotto)
(Prodotto)
E’ l’evento che consiste
degli esiti contenuti in
entrambi gli eventi
E1 I E 2
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Complementazione
Complementazione
E’ l’evento che consiste
degli esiti contenuti in
S ma non nell’evento
assegnato.
EC , E
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Esercizio 1: Si lancino tre monete eque. Descrivere i seguenti eventi:
a) si verifica almeno una volta “testa”;
b) si verifica esattamente una volta “testa”;
c) non si verifica alcuna volta “testa”;
d) si verifica non più di due volte “croce”.
Esercizio 2: Si lanciano due dadi. Descrivere lo spazio campione
associato ai seguenti esperimenti casuali:
a) uscita coppie di numeri pari;
b) uscita coppie di numeri primi;
c) uscita coppie che forniscono somma pari a 7.
Esercizio 3: Descrivere lo spazio campione associato al seguente
esperimento casuale:
“si estrae una palla da un’urna che contiene palle rosse e nere fino
a quando non ne esce una rossa”
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Esercizio: Sono analizzati 49 campioni di policarbonato plastico
per studiarne la resistenza alle graffiature e agli urti. I risultati sono
riassunti come segue:
Urti
Alta
Bassa
Alta
40
4
Graffiature
Bassa
2
3
Sia A l’evento che un campione possiede una alta resistenza agli
urti e B l’evento che un campione possiede una alta resistenza alle
graffiature. Descrivere gli eventi: AU B, AI B, A C
L’insieme Ø è detto evento impossibile.
Due eventi A e B a intersezione vuota
AI B = Ø si dicono mutuamente esclusivi.
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Esercizio: Si selezionano due connettori e si misura il loro spessore per verificare
se soddisfano una certa specifica.
A) Descrivere lo spazio campione.
B) Descrivere l’insieme degli esiti per i quali almeno uno dei due connettori soddisfa
le specifiche. E1
C) Descrivere l’insieme degli esiti per i quali almeno uno dei due connettori non
soddisfa le specifiche. E 2
D) Descrivere l’insieme degli esiti per i quali nessuno dei due connettori soddisfa
le specifiche. E3
E) Calcolare unione e intersione dei precedenti insiemi.
F) Calcolare la complementazione dei precedenti insiemi.
Spazio campione finito
Esercizio: Si consideri il tempo necessario a una reazione chimica e
E1 = {x | 1 ≤ x < 10}, E 2 = {x | 3 < x < 118}
Calcolare:
E1 U E 2 , E1 I E 2 , E1C I E 2
Spazio campione infinito
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I diagrammi ad albero
Un’industria produce automobili con un certo numero di possibili opzioni:
a) con o senza trasmissione automatica;
b) con o senza aria condizionata;
c) con stereo SONY, PHILIPS,AIWA;
d) l’esterno di colore bianco, nero, verde, rosso.
Se lo spazio campione consiste di tutti i tipi possibili di auto prodotte, qual è la
sua cardinalità?
Trasmissione
No
Si
Si
Si
No
Aria condizionata
No
Stereo
S
P
A
S
P
A
S
P
A
B N V RB N V R B N V R B N V R B N V R B N V R B N V R B N V RB N V R
S
P
A
Colore
B N V R B N V RB N V R
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Calcolo Combinatorio
Regola Fondamentale del Calcolo Combinatorio
Supponiamo di formare una sequenza effettuando una successione
di scelte tali che:
1) vi sono n possibilità per la prima scelta,
1
2) vi sono n per la seconda scelta;
2
...
k) vi siano n per la k - esima scelta
k
allora il numero totale di sequenze che si possono formare con tali
scelte è il prodotto n ⋅ n ⋅L⋅ n .
1 2
k
Esempio precedente: 2 x 2 x 3 x 4 = 48 possibili scelte.
Questa regola consente di calcolare la
cardinalità
degli spazi campioni finiti.
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5
Esercizio: Ad un ristorante si può pranzare scegliendo tra due
antipasti, sei primi, quattro secondi, due contorni, tre vini, una
frutta, tre dolci.Quanti pranzi completi distinti e senza bis si
possono fare?
Esercizio: quante parole di tre lettere
possono essere scritte utilizzando
solo le cinque vocali, ma senza
ripetizione?
(x , x ,..., x )
{x , x ,..., x }
1
2
n
1
2
n
n - pla ordinata
n - pla non ordinata
Mettere in fila, in colonna, in coda = ordinamenti
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Si consideri l' insieme {A, B, C, D}. In quanti modi si possono selezionar e
due lettere?
AA
AB
AC
AD
BA
BB
BC
BD
CA
CB
CC
CD
DA DB DC
DD
A) Se due coppie sono distinguibili in base all’ordine e sono ammesse ripetizioni:
16 = 4 2 ⇒ n k , dove S = n, posti su cui sistemare k
B) Se due coppie sono distinguibili in base all’ordine ma non sono ammesse ripet.:
12 = 4 × 3 ⇒ n( n − 1) L (n − k + 1) = ( n) k , dove S = n, k posti.
C) Se due coppie non sono distinguibili quando costituite dalle stesse lettere e sono
ammesse le ripetizioni:
4 + 2 − 1 n + k − 1
⇒
, dove S = n, k posti.
10 =
2 k
D) Se due coppie non sono distinguibili quando costituite dalle stesse lettere e non
4 n
sono ammesse ripetizioni:
6 = ⇒ , dove S = n, k posti.
2 k
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Come si scelgono k oggetti tra n?
A) Campioni ordinati con ripetizione. (Disposizioni Complete)
Sono sequenze xi , xi ,K, xi di elementi estratti da un insieme A = {x1 , x2 ,K, xn }
1
2
k
senza alcuna restrizione sul numero di volte in cui un determinato elemento può
comparire. Il loro numero è pari a n k .
Esercizi :1) Quante colonne è possibile teoricamente giocare nel gioco
del totocalcio?
2) Se si lanciano 10 monete (o anche : se si lancia una moneta
10 volte) quante sequenze si possono ottenere?
3) (Caso generale) Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme
di cardinalità n?
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B) Campioni ordinati senza ripetizione. (Disposizioni)
Sono sequenze xi , xi , K , xi di elementi estratti da un insieme A = {x1 , x2 , K , xn }
1
2
k
dove nessun elemento può comparire più di una volta. Il loro numero è pari a
(n )
k
= n(n − 1)(n − 2) L (n − k + 1) - fattoriale decrescente (k ≤ n).
Esercizi: 1)In quanti modi il lancio di 3 dadi fornisce facce tutte diverse?
2) Se ho 10 ragazzi, in quanti modi posso scegliere : un portiere,
un arbitro e un raccattapalle?
Caso speciale : Se n = k allora (n )n = n! (permutazioni)
Formula di Stirling : n!≈ n n e − n 2π n
Esercizio: Date 5 persone, in quanti modi si possono mettere in
coda davanti ad uno sportello?
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Permutazioni con oggetti uguali
Presi n oggetti, dei quali m<n uguali fra loro, e gli altri tutti diversi l’uno dall’altro
e dai precedenti, quante n-uple ordinate distinguibili potremo costruire utilizzando
quegli n oggetti?
x ⋅ m!= n!
Numero di permutazioni
lasciando inalterato l’ordine
degli m oggetti uguali
Numero di permutazioni
degli m oggetti uguali
Numero di permutazioni
degli n oggetti considerati
diversi
Esercizio: In un’urna ci sono 6 palline: 3 bianche e le altre 3 di colore diverso tra loro. In quanti modi diversi si possono estrarre?
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Permutazioni cicliche
Una "permutazione ciclica di n oggetti” è uno dei modi in cui tali
oggetti possono essere disposti intorno ad un tavolo circolare = n!/n
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D) Campioni non ordinati senza ripetizione. (Combinazioni)
Sono sequenze x, z,K, t di elementi estratti da un insieme A = {y1 , y 2 ,K, y n }
dove nessun elemento può comparire più di una volta e non importa l' ordine di
n (n )
estrazione. Il loro numero è pari a = k - coefficiente binomiale.
k!
k
Proprietà
n n
n
n
n n − 1 n − 1
, b) = 0, n < k , c) = 1, d) =
+
a) =
k n − k
k
0
k k k − 1
Esercizio: 1) Un gruppo di persone è formato da 3 uomini, 7 donne e 8 bambini.
Determinare il numero di sottogruppi di 5 persone in cui
a) non ci sono uomini
b) c’è un solo uomo
c) c’è Mario e nessun altro uomo
d) c’è Mario e solo due donne.
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C) Campioni non ordinati con ripetizion e. (Combinazi one completa)
Sono sequenze x, z , K , t di elementi estratti da un insieme A = {y1 , y2 , K , yn }
dove ogni elemento può comparire più di una volta e non importa l' ordine di
n + k − 1
estrazione. Il loro numero è pari a
k
Ad esempio consideriamo le combinazioni complete di classe 5
formate con le lettere a,b,c. Tra di esse vi è la sequenza aaaaa,
che sarebbe possibile solo aggiungendo all’
insieme altre 4 a, considerate distinte.
Esercizio: quante combinazioni con ripetizione
si possono formare con 3 dei 4 simboli
♥♠♦♣ ?
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In quanti modi si possono permutare le lettere della parola CONSUMABILE?
In quanti modi si possono permutare le lettere della parola MISSISSIPPI?
S,S,S,S,I,I,I,I,P,P,M
Coefficiente Multinomiale
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Partiamo dalla lettera S. Ci sono modi di posizionare la lettera S. Restano altre 7 posizioni da
4
3
7
riempire. Ci sono modi di posizionare la lettera I. Ci sono modi di posizionare la lettera P
4
2
e alla fine la lettera M viene posta nell' unico posto rimasto.
11
11 7 3 1 11! 7! 3! 1!
11!
=
=
=
4 4 2 1 4!7! 4!3! 2!1! 0!0! 4!4!2!1! 4,4,2,1
Suddivisioni.
Sono sequenze x, z,K, t di elementi distinguibili estratti da un insieme
A = {y1 , y2 ,K, yn }in cui ci sono k1 oggetti di un prefissato tipo 1, k2
oggetti di un ulteriore tipo 2, K, km oggetti di un ulteriore tipo m e
n
- coef k1 + k2 + L + km = n. Il loro numero è pari a
L
k
k
k
,
,
,
m
1 2
ficiente multinomiale.
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Esercizio 1: Trovare il numero di sequenze non ordinate e con ripetizione lunghe 4 formate dalle lettere A,B,C,D,E.
Esercizio 2: Trovare il numero di sequenze non ordinate e con ripetizione lunghe 4 formate dalle lettere A,B,C,D,E contenenti almeno 2 A.
Esercizio 3: Trovare il numero di sequenze non ordinate e con ripetizione lunghe 4 formate dalle lettere A,B,C,D,E contenenti esattamente
2 A.
Esercizio 4: Vengono selezionati quattro numeri dai seguenti -5,-4,-3,-2,
-1,1,2,3,4. In quanti modi le selezioni avvengono in modo che il prodotto di questi 4 numeri sia positivo e
a) i numeri sono distinti;
b) ogni numero può essere selezionato 4 volte;
c) ogni numero può essere selezionato al più 3 volte.
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