Lezione 13 - Università degli studi di Bergamo

Gianmaria Martini
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO
Facoltà di Ingegneria
Istituzioni di Economia
Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale
Lezione 13
Produttività e rendimenti di scala
Prof. Gianmaria Martini
Produttività marginale
Università degli Studi di Bergamo
Facoltà di Ingegneria
• Consideriamo la funzione di produzione:
y = f(x1, .. xi, .. xn)
• La produttività marginale dell’input i è data dall’incremento
nell’output conseguito variando il livello dell’input i,
tenendo fissi gli altri livelli di input.
• Cioè:
PM i =
∂y
∂ xi
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Se
y = f ( x1 , x2 ) = x11 / 3 x22 / 3
la produttività marginale dell’input 1 è:
PM1 =
∂ y 1 −2 / 3 2 / 3
= x1 x2
∂ x1 3
e la produttività marginale dell’input 2 è:
PM 2 =
∂y
2
= x11 / 3 x2−1 / 3 .
∂ x2 3
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Tipicamente la produttività marginale di un
input dipende dall’ammontare utilizzato
degli altri inputs.
Consideriamo:
Se x2 = 8,
Se x2 = 27,
PM 1 =
1 −2 / 3 2 / 3
x1 x2
3
1 −2 / 3 2 / 3 4 −2 / 3
x1 8
= x1
3
3
1
PM 1 = x1− 2 / 3 27 2 / 3 = 3 x1− 2 / 3 .
3
PM 1 =
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• La produttività marginale dell’input i è decrescente se diventa
più piccola al crescere dell’utilizzo dell’input i.
• In molti casi la produttività marginale è decrescente:
– a parità degli altri fattori, ogni unità dell’input che viene aumentato
trova meno unità degli altri fattori con cui “collaborare”.
• Per questo motivo le unità addizionali sono “meno produttive”.
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Se
y = x11 / 3 x22 / 3
allora:
1 −2 / 3 2 / 3
2
x1 x2
e
PM 2 = x11/ 3 x2−1/ 3
3
3
∂ PM 1
2
= − x1− 5 / 3 x 22 / 3 < 0
quindi
∂ x1
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PM 1 =
e
∂ PM
∂ x2
2
=−
2 1/ 3 −4 / 3
x1 x 2
< 0.
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Nel nostro esempio, entrambe le produttività
marginali sono decrescenti.
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Saggio tecnico di sostituzione
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• Poniamoci un quesito di notevole rilevanza:
– secondo quale rapporto è possibile per un’azienda sostituire un
input con un altro senza modificare il livello di output?
• Si tratta di un problema analogo a quello visto per i consumatori,
che sostituivano i beni mantenendo la stessa utilità
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x2
La pendenza dell’isoquanto è il
rapporto al quale l’input 2 deve
essere sacrificato se il livello
dell’input 1 viene aumentato
(mantenendo invariato l’output).
x’2
La pendenza dell’isoquanto è il
saggio tecnico di sostituzione.
y=100
x’1
x1
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• Come si calcola il saggio tecnico di sostituzione?
• La funzione di produzione è:
y = f(x1, x2)
• Un piccolo cambiamento (dx1, dx2) nel vettore di input
induce una variazione nel livello di output pari a:
dy =
∂y
∂y
dx1 +
dx 2 .
∂ x1
∂ x2
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Ma dy = 0 (stiamo sull’isoquanto di partenza),
quindi le variazioni dx1 e dx2 negli inputs devono
soddisfare:
0=
∂y
∂y
dx1 +
dx2 .
∂ x1
∂ x2
risistemando
∂ y
∂ y
dx 2 = −
dx 1
∂ x2
∂ x1
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ovvero:
dx 2
∂ y / ∂ x1
= −
dx 1
∂ y / ∂ x2
che è il Saggio Tecnico di Sostituzione (STS),
ovvero il rapporto a cui l’input 2 deve essere
sacrificato se l’input 1 aumenta e si voglia
mantenere costante il livello di output.
Notate che il STS è pari al rapporto tra le
produttività marginali, con segno cambiato.
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Esempio Cobb-Douglas
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y = f ( x1 , x 2 ) = x1a x 2b
Svolgiamo con a=1/3; b=2/3
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Le produttività marginali sono:
PM 1 =
1 −2 / 3 2 / 3
x1 x2
3
PM 2 =
2 1/ 3 −1/ 3
x1 x2
3
e
Il loro rapporto con segno mutato (STS) è
quindi:
(1 / 3) x1−2 / 3 x22 / 3
(1 / 3) x2
x2
STS = −
=
−
=
−
(2 / 3) x1
2 x1
(2 / 3) x11 / 3 x2−1 / 3
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x2
Graficamente, se x2=8 e x1=4:
STS = −
x2
8
=−
= −1
2x1
2×4
8
4
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x1
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Ritorni (rendimenti)-di-scala
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• Le produttività marginali descrivono il cambiamento nell’output
quando cambia un solo livello di input.
• I “ritorni di scala” descrivono come cambia l’output quando tutti i
livelli di input cambiano nella stessa proporzione (e.g. tutti
vengono raddoppiati, triplicati ecc.).
• Presenteremo una trattazione grafica a riguardo del caso
irrealistico ma utile didatticamente in cui esiste un solo input
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Un input, un output
Output
y = f(x)
2y’
ritorni-di-scala
costanti
y’
x’
2x’
Input
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ritorni-di-scala
decrescenti: 2y’ > f(2x’)
Output
2y’=
2f(x’)
y = f(x)
f(2x’)
y’=f(x’)
x’
2x’
Input
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ritorni-di-scala
crescenti: 2y’ < f(2x’)
Output
y = f(x)
f(2x’)
2f(x’)
y’=f(x’)
x’
2x’
Input
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Situazione “tipica”
Output
y = f(x)
ritorni-di-scala
crescenti
ritorni-di-scala
decrescenti
Input
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Esempio Cobb-Douglas
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La funzione di produzione sia data da:
a
a
y = x1 1 x 2 2 .
Espandiamo tutti i livelli di input in
proporzione di k.
a
L’output diventa: ( kx1 ) 1 ( kx 2 )
a2
a +a
a a
= k a1 k a2 x1 1 x2 2 = k a1 + a 2 x1a1 x 2a 2 = k 1 2 y.
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Data la funzione di produzione:
a
si ottiene: ( kx1 ) 1 ( kx 2 )
a2
=k
y = x1a1 x 2a 2
a1 + a 2
y.
Tale tecnologia presenta ritorni-di-scala:
costanti
se a1+ a2 = 1
crescenti
se a1+ a2 > 1
decrescenti se a1+ a2 < 1.
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Caso generale
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Se, per un qualsiasi vettore di inputs (x1,…,xn),
f ( kx1 , kx 2 , L , kx n ) = kf ( x1 , x 2 , L , x n )
allora la tecnologia descritta dalla funzione
di produzione presenta ritorni-di-scala
costanti.
Se k = 2, raddoppiando tutti gli inputs, si
raddoppia anche l’output.
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Se, per un qualsiasi vettore di inputs (x1,…,xn),
f ( kx1 , kx 2 , L , kx n ) < kf ( x1 , x2 , L , xn )
allora la tecnologia descritta dalla funzione
di produzione presenta ritorni-di-scala
decrescenti.
Se k = 2, raddoppiando tutti gli inputs, l’output
non viene raddoppiato.
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Se, per un qualsiasi vettore di inputs (x1,…,xn),
f ( kx1 , kx 2 , L , kx n ) > kf ( x1 , x 2 , L , x n )
allora la tecnologia descritta dalla funzione
di produzione presenta ritorni-di-scala
crescenti.
Se k = 2, raddoppiando tutti gli inputs,l’output
è più che raddoppiato.
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Ritorni-di-scala e produttività decrescenti
• Una tecnologia può presentare ritorni-di scala crescenti se tutte
le produttività marginali sono decrescenti?
• Si.
• Consideriamo ad esempio:
y = x12 / 3 x22 / 3 .
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questa tecnologia presenta
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a
+
a
=
>1
1
2
ritorni-di-scala crescenti.
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Tuttavia
PM 1 =
2 −1/ 3 2 / 3
x1 x2
3
diminuisce se x1 aumenta e
PM 2 =
2 2 / 3 −1/ 3
x1 x2
3
diminuisce se x2 aumenta
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• La produttività marginale è la variazione di output indotta
dall’aumento in un solo input.
• La produttività marginale diminuisce in quanto i livelli degli
altri input sono costanti, quindi ogni unità dell’input che cresce
trova sempre meno unità degli altri inputs con cui
“collaborare”.
• Quando tutti gli inputs vengono aumentati
proporzionatamente, non è detto che vi sia diminuzione delle
produttività marginali.
• ogni fattore produttivo ha sempre la stessa quantità degli altri
inputs con cui “collaborare”.
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Breve e lungo periodo
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• Il lungo periodo è la situazione in cui un impresa non è
vincolata nella scelta di nessun fattore produttivo.
• Il breve periodo è una situazione in cui un impresa è
vincolata in qualche modo nella scelta di (almeno) un
fattore produttivo.
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• Esempi di possibili vincoli ‘di breve periodo’ :
– impossibilità (o eccessivo costo) nell’installare/rimuovere capitale
– impossibilità legale di licenziare lavoratori.
• Supponiamo che i vincoli di breve periodo riguardino il livello di
input del fattore 2 (input fisso).
• Il fattore 1 rimane variabile.
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1/ 3 1/ 2
Sia y = x1 x 2 la funzione di produzione
di lungo periodo (x1 e x2 sono variabili).
La funzione di produzione di breve periodo
con x2 = 4 è:
y = x11 / 3 41 / 2 = 2 x11 / 3 .
La funzione di produzione di breve periodo
con x2 = 16 è:
y = x11 / 3161 / 2 = 4x11 / 3.
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Isoquanti per y = 2, 4, 8
Funzione di produzione di
breve periodo (x2=4).
x2
y
C
B
4
A
B
C
A
x1
x1
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Isoquanti per y = 2, 4, 8
Funzione di produzione di
breve periodo (x2=16).
x2
y
16
AB
C
C
B
A
4
x1
x1
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