Università degli Studi di Roma Tor Vergata
Dipartimento di Ing. Elettronica
corso di
ELETTRONICA APPLICATA
Ing. Rocco Giofrè
Esercizi su semiconduttori e
diodi
I/1
Esercizio potenziale
Sia data una barretta di semiconduttore drogata n in cui la
densità di drogaggio sia variabile nella direzione x, in accordo
con la figura seguente.
Si determini il valore della differenza di potenziale V0 esistente
tra i punti P1 e P2 all’equilibrio termodinamico (V0 = V(P1)-V(P2)).
Dati:
•Concentrazione in P1: ND(x1) = 5*1018 cm-3
•Concentrazione in P2: ND(x2) = 2*1015 cm-3
•Potenziale termico: VT = 25 mV
A cura dell’Ing. R. Giofrè
I/2
Esercizio potenziale - Soluzione
A temperatura ambiente,
ambiente tutti gli atomi donori si possono considerare
ionizzati. Di conseguenza, la concentrazione di elettroni liberi coincide
praticamente con la concentrazione di atomi donori, cioè:
n(x) ≅ N D (x)
per cui chiamiamo n1 = ND(x1) e n2 = ND(x2)
La corrente
L
t totale
t t l di elettroni
l tt i è parii alla
ll somma della
d ll corrente
t di deriva
d i e
della corrente di diffusione ed è data dalla seguente espressione:
dn(x)
d
( )
J n (x) = qμ n n(x)E(x) + qD n
=0
dx
dove l’ultima uguaglianza discende dal fatto che all’equilibrio
termodinamico, essendo la barretta di semiconduttore isolata e drogata
con soli atomi donori,, la corrente di elettroni deve essere identicamente
nulla. Cioè:
dn(x)
qμ n n(x)E(x) = − qD n
dx
A cura dell’Ing. R. Giofrè
I/3
Esercizio potenziale - Soluzione
sapendo che il campo elettrico è dipende dal gradiente del potenziale:
si ottiene:
dV
=
E=−
dx
dV(x) D n dn(x)
n(x)
=
dx
μ n dx
V(P2 )
n2
1
⇒ ∫ dV = VT ∫ dn
n
V(P1 )
n1
E di conseguenza:
n2
V(P2 ) − V(P1 ) = − V0 = VT ln
n1
n1
⇒ V0 = VT ln
= 195.6mV
n2
Come si può notare, la differenza di potenziale tra due punti qualsiasi della
b
barretta
tt di semiconduttore
i
d tt
di
dipende
d solo
l dai
d i valori
l i delle
d ll concentrazioni
t i i neii
due punti e non dipende dal particolare andamento della concentrazione dei
portatori tra i due punti stessi.
A cura dell’Ing. R. Giofrè
I/4
Esercizio Resistività
Si calcoli la resistività del silicio drogato uniformemente con atomi
donatori con concentrazione ND = 6·*1017 cm-3 a temperatura
ambiente.
D ti
Dati:
•Concentrazione intrinseca: ni = 1.45*·1010 cm-3
•Carica dell'elettrone: q = 1.6·*10-19 C
•Mobilità degli elettroni: µn = 1260 cm2/(V·s)
/(V s)
•Mobilità delle lacune: µp = 460 cm2/(V·s)
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I/5
Esercizio Resistività - Soluzione
La densità di corrente in un semiconduttore è data da:
JT = Jn + Jp
dp
J p = qμ p pE − qD p
dx
dn
J n = qμ n nE + qD n
dx
Dato che non è presente alcun gradiente di concentrazione è lecito
assumere nullo il contributo dovuto alla diffusione delle cariche.
Quindi:
J = (nμ n + pμ p )qE = σE K ⇒ σ = (nμ n + pμ p )q K ⇒ σ =
semiconduttore di tipo "n" allora N A− ≅ 0 &
p << n
1
ρ
Di conseguenza:
nn ≅ N D
p≅
ni2
ρ = 8.27 *10 −3 Ω • cm
ND
A cura dell’Ing. R. Giofrè
I/6
Esercizio Corrente di deriva
Sia data una barretta di semiconduttore drogata n alle estremità della
quale viene applicata una differenza di potenziale VA=0.5V. Si
determini il valore della densità di corrente di deriva trascurando il
contributo delle cariche minoritarie nel calcolo della conducibilità.
Dati:
•Concentrazione dei droganti: ND = 5·1018 cm-3
•Lunghezza
L
h
d ll barretta
della
b
tt di semiconduttore:
i
d tt
L = 500 μm
•Carica dell'elettrone: q = 1.6·10-19 C
•Mobilità degli elettroni: μn = 1200 cm2/(V·s)
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I/7
Esercizio Corrente di deriva - Soluzione
A temperatura ambiente, tutti gli atomi donori si possono
considerare ionizzati. Di conseguenza, la concentrazione di elettroni
liberi coincide praticamente con la concentrazione di atomi donori,
cioè:
nn ≅ ND
La conducibilità associata alle cariche maggioritarie (elettroni)
risulta:
σ = nμn q = 960 (Ωcm) −1
Il campo elettrico prodotto dalla tensione applicata vale:
E=
VA
= 10 (V / cm)
L
Infine la densità di corrente di deriva risulta:
3
2
J n ,deriva
=
σ
E
=
9.6
⋅
10
(
A
/
cm
)
d i
n
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I/8
Esercizio Corrente di diffusione
Sia data una barretta di semiconduttore drogata n in cui la densità di
drogaggio sia linearmente decrescente nella direzione x, in accordo
con la figura seguente.
Si determini il valore della corrente di diffusione degli elettroni
sapendo che le dimensioni della barretta nelle direzioni
perpendicolari ad x sono 10μm x 20μm.
Dati:
•Concentrazione
Concentrazione all
all’origine:
origine: ND(0) = 4
4·10
1017 cm-3
•Concentrazione all’estremità della barretta: ND(x1) = 0.2·1016 cm-3
•Lunghezza della barretta di semiconduttore: x1 = 2 μm
Carica dell
dell'elettrone:
elettrone: q = 1.6
1.6·10
10-19 C
•Carica
•Coefficiente di diffusione: Dn = 35 cm2/s
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I/9
Esercizio Corrente di diffusione - Soluzione
A temperatura ambiente, tutti gli atomi donori si possono
considerare ionizzati. Di conseguenza, la concentrazione di elettroni
liberi coincide praticamente con la concentrazione di atomi donori,
cioè:
nn ( x ) ≅ ND ( x)
Il gradiente di concentrazione produce una densità di corrente di
diffusione data dalla seguente espressione:
J n ( x ) = qDn
dnn ( x )
dx
= qDn
N D ( x1 ) − N D ( 0 )
x1
= −1.114 ⋅104 ( A / cm 2 )
Dove il segno negativo indica che tale corrente è diretta nel verso
contrario ad x. La corrente di diffusione risulta:
I n ( x ) = A ⋅ J n ( x ) = −22.3 mA
A = 200μm2 è la sezione della barretta di semiconduttore nella
direzione ortogonale ad x.
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I / 10
ESERCIZIO - GIUNZIONE P-N POLARIZZATA
Una giunzione pn, a cui è applicata una polarizzazione diretta, conduce
una corrente I=2.2µA. La giunzione ha una concentrazione di accettori
NA=1016cm-3 e una concentrazione di donori ND=1015cm-3 e un’area
A=400µm2. Nelle due zone si può assumere, alla temperatura di 20°C,
µp=480 [cm2 V-1 s-1 ], µn=1350 [cm2 V-1 s-1 ], τp =20*10-9 [s], τn =45*10-9 [s],
ni =1010 [cm-3 ].
a) Si trovi la tensione di polarizzazione VA che produce la corrente
specificata e la corrispondente tensione di barriera.
b) Si calcolino le cariche in eccesso immagazzinate nelle zone p ed n e
la carica complessiva.
c) Si determini
d t
i i la
l capacità
ità di diffusione
diff i
nelle
ll condizioni
di i i specificate.
ifi t
Si ricorda che la corrente di saturazione
inversa in un diodo è data dalla:
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⎛ DP
Dn ⎞
⎟⎟
+
I S = Aqni2 • ⎜⎜
⎝ N D LP N A Ln ⎠
I / 11
PUNTO A
La corrente che circolante in un diodo è data
(come è noto!) dalla formula:
⎛ ηV⋅VA
⎞
T
I = I s • ⎜ e − 1⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛I
⎞
VA = η ⋅ VT • ln ⎜ + 1⎟ Dove: V = KT = 25.23 mV
T
⎝ Is
⎠
q
Per risolvere l’equazione di cui sopra è necessario prima determinare la
corrente di saturazione inversa:
⎛ DP
Dn ⎞
⎟⎟
+
I S = Aqni2 • ⎜⎜
⎝ N D LP N A Ln ⎠
È necessario determinare
D P D n e LP Ln
Per determinare DP e Dn si può ricorrere alle relazioni di Einstein:
DP
μP
= VT =
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Dn
μn
Dn = VT • μ n = 34,08 cm 2 / s
DP = VT • μ P = 12,12 cm 2 / s
Attenzione alle
unità di misura
I / 12
PUNTO A
Per determinare LP e Ln si può ricorrere alle relazioni di Einstein:
LP = DPτ P = 12,12 • 20 • 10 −9 = 492,3 • 10 −6 cm = 4,923μm
Ln = Dnτ n = 34,08 • 45 • 10 −9 = 1238,4 • 10 −6 cm = 12,38μm
Noto il valore di tali grandezze e ricordando il valore della superficie della
giunzione A=400μm2 e il valore della concentrazione intrinseca ni=1010cm-3
⎛ DP
Dn ⎞
⎟⎟ = 1,98 • 10 −15 A
I S = Aqn • ⎜⎜
+
⎝ N D LP N A Ln ⎠
2
i
Attenzione alle
unità di misura
NOTA: L’effettiva corrente che si ha nel diodo con polarizzazione inversa è
molti ordini di grandezza maggiore del valore teorico dato
dall’eq a ione usata.
dall’equazione
sata A tale corrente teorica si sommano infatti
diversi fattori non previsti dal semplice modello assunto per la
giunzione, ma soprattutto gli effetti delle correnti che si generano
nelle zone di confine,
confine dove la giunzione raggiunge la superficie del
semiconduttore.
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I / 13
PUNTO A
Si può quindi calcolare la tensione di polarizzazione esterna che dà la
corrente I = 2.2 µA (si noti che I è 1.1*109 volte la corrente di saturazione Is)
−6
⎛I
⎞
⎛
⎞
•
2,
2
10
+
VA = η ⋅ VT • ln ⎜ + 1⎟ = 25, 25 • 10−3 • ln ⎜
1
⎟ = 525,83 mV
−15
⎝ 1,98 • 10
⎠
⎝ Is
⎠
La tensione di barriera è data da Vj =V0 –VA. Il valore di V0 all’equilibrio
(senza polarizzazione) si ricava dalla seguente espressione:
⎛ N AND ⎞
⎟⎟ = 640 mV
V0 = VT • ln⎜⎜
2
⎝ ni ⎠
e quindi, nelle condizioni considerate, la tensione di barriera Vj è
V j = V0 − VA = 0,640 − 0,52 = 114,17 mV
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I / 14
PUNTO B
L’espressione
L’
i
d ll carica
della
i
Qp in
i eccesso nella
ll zona neutra N e
analogamente la carica Qn in eccesso nella zona neutra P (fuori della zona
di svuotamento o regione di carica spaziale) sono le seguenti:
(slide 25 e 15)
⎛ VVA ⎞
Q p = AqL p pn 0 ⎜ e T − 1⎟ = I p • τ p
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ VVA ⎞
Qn = AqL
q n n p 0 ⎜ e T − 1⎟ = I n • τ n
⎜
⎟
⎝
⎠
L’espressione
p
della corrente di lacune nella zona N e analogamente
g
la
corrente di elettroni nella zona P si desume dalle equazioni di continuità
(slide 25 e 15): :
I p = A• J
diff
p
⎛ VVA ⎞
Dp
= Aq
pn 0 ⎜ e T − 1⎟
⎜
⎟
Lp
⎝
⎠
I n = A • J ndiff
⎛ VVA ⎞
Dn
= Aq
n p 0 ⎜ e T − 1⎟
⎟
⎜
Ln
⎝
⎠
C id
Con
datiti specificati
ifi ti sii h
ha:
( )
2
ni2
1010
5
−3
pn 0 =
=
=
10
cm
ND
1015
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( )
2
n p0
ni2
1010
4
−3
=
=
=
10
cm
NA
1016
I / 15
PUNTO B
D i valori
Dai
l i determinati
d
i i è ora possibile
ibil calcolare
l l
l due
le
d correnti:
i
I p = A • J pdiff
I n = A • J ndiff
⎛ VVA ⎞
= Aq
A
pn 0 ⎜ e T − 1⎟ = 2 μA
⎜
⎟
Lp
⎝
⎠
Dp
VA
⎛
⎞
Dn
V
T
= Aq
n p 0 ⎜ e − 1⎟ = 0,2 μA
⎜
⎟
Ln
⎝
⎠
come sii vede,
d sii ha
h corrente
t maggiore
i
nella
ll zona N,
N che
h è la
l meno drogata.
d
t
E’ utile verificare che la somma delle due correnti dà la corrente totale
specificata, cioè Ip +In = I =2.2 µA.
Infine, dai valori delle correnti e tenendo conto che τp =20*10-9 s e τn =45*10-9
s, si ottiene:
Q p = I p • τ p = 40 • 10
−15
C
Qn = I n • τ n = 8,9 • 10 −15 C
QTot = Q p + Qn = 48,9 • 10 −15 C
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I / 16
PUNTO C
L capacità
La
i à di diff
diffusione
i
èd
data d
da:
τT I T
CD =
ηVT
D
Dove:
•
•
•
•
I = è la corrente totale calcolata in precedenza
τT = è il tempo di vita medio totale delle cariche
η = è il fattore di idealità
VT = è l’equivalente in tensione della temperatura
VT =
Come calcoliamo il tempo di vita totale delle cariche???
kT
≅ 25 mV
q
rappresenta
t la
l media
di pesata
t ttra i ttempii di vita
it medi
di d
deglili elettroni
l tt i e d
delle
ll llacune
Qual’è la grandezza che
è direttamente
di tt
t legata
l
t aii
tempi di vita medi??
C
Corrente
o carica!
τT =
τp I p + τ n I n
IT
= 22.7 ns
e quindi per una corrente IT=2.2µA
=2 2µA e una tensione VA=0.52V
=0 52V
CD =
τT I T
= 1.98 pF
ηVT
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I / 17
