Identità goniometriche Goniometria risolubili mediante le relazioni fondamentali 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 v 3.0 1 + π π π π π π πΌπΌ ππππππ πΌπΌ 1 = ππππππππππ πΌπΌ + π π π π π π πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ ππππππ πΌπΌ − 1 1 = − π π π π π π πΌπΌ ππππππ πΌπΌ ππππππππππ πΌπΌ (1 − ππππππ πΌπΌ)(ππππππ 2 πΌπΌ + ππππππ πΌπΌ + 1) 2 π π π π π π 2 πΌπΌ − π π π π π π 4 πΌπΌ − 1 1 = + 2 ππππππ πΌπΌ ππππππ πΌπΌ ππππππ πΌπΌ ππππππ πΌπΌ 1 − π π π π π π 2 πΌπΌ + ππππππππππ πΌπΌ = π π π π π π πΌπΌ + π π π π π π πΌπΌ + 1 − π π π π π π 2 πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ 2 2 1 π π π π π π πΌπΌ − 1 1 − π π π π π π πΌπΌ − ππππππ πΌπΌ + = ππππππ πΌπΌ ππππππ 3 πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ ππππππ πΌπΌ 1 1 ππππππ πΌπΌ(1 − π π π π π π πΌπΌ) − = π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ 1 1 + = ππππππ πΌπΌ(π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ + 1) 2 ππππππ πΌπΌ(1 + π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ) ππππππππππ πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ(1 − ππππππ 2 πΌπΌ) ππππππ 2 πΌπΌ − ππππππ 4 πΌπΌ + π π π π π π πΌπΌ 1 − π π π π π π 2 πΌπΌ 1 1 1 + = π π π π π π πΌπΌ + 2 1 + π‘π‘ππ πΌπΌ ππππππππππ πΌπΌ π π π π π π 2 πΌπΌ π π π π π π 2 πΌπΌ + π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ = ππππππ πΌπΌ + π π π π π π 2 πΌπΌ + π π π π π π πΌπΌ − 1 ππππππ πΌπΌ = π π π π π π πΌπΌ ππππππ πΌπΌ 1 − π π π π π π 2 πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ − ππππππ πΌπΌ = π π π π π π 2 πΌπΌ ππππππ πΌπΌ 2 ππππππ 2 πΌπΌ − 1 = 1 − π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ 1 − π π π π π π 2 πΌπΌ π π π π π π 2 πΌπΌ + π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ = π π π π π π 2 πΌπΌ 1 − ππππππ 4 πΌπΌ π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ + 1 π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ + ππππππ πΌπΌ = π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ − 1 π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ − ππππππ πΌπΌ π π π π π π 3 πΌπΌ = (ππππππ πΌπΌ − ππππππ 3 πΌπΌ) π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ π π π π π π 2 πΌπΌ + π‘π‘ππ2 πΌπΌ = π π π π π π 2 πΌπΌ 4 1 − ππππππ πΌπΌ ππππππ 2 πΌπΌ − ππππππ πΌπΌ − 1 π π π π π π 3 πΌπΌ − π π π π π π πΌπΌ + ππππππ πΌπΌ = π π π π π π πΌπΌ ππππππ 2 πΌπΌ 1 1 + π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ = 2 ππππππ 2 πΌπΌ − 1 1 − π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ 1 + π π π π π π πΌπΌ π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ + π π π π π π πΌπΌ = ππππππ πΌπΌ + ππππππ πΌπΌ 1 + ππππππ πΌπΌ (π π π π π π πΌπΌ + π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ)2 = 1 + π π π π π π πΌπΌ 1 − π π π π π π πΌπΌ © 2016- www.matematika.it 1 di 8 Identità goniometriche Goniometria 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 1 1 ππππππ πΌπΌ + 1 + = π π π π π π πΌπΌ π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ ππππππ 2 πΌπΌ π π π π π π 2 πΌπΌ = ππππππ 4 πΌπΌ π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ ππππππ 2 πΌπΌ = ππππππ πΌπΌ (1 − ππππππ 2 πΌπΌ) ππππππππ πΌπΌ ππππππ 2 πΌπΌ − 1 π π π π π π 2 πΌπΌ − = −π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ ππππππππ πΌπΌ 1 + π π π π π π 2 πΌπΌ 2 − ππππππ πΌπΌ + ππππππππ πΌπΌ(ππππππ πΌπΌ − 1) = π π π π π π πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ ππππππππππ πΌπΌ − ππππππππ πΌπΌ = π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ ππππππ πΌπΌ ππππππππ πΌπΌ =1 ππππππ πΌπΌ ππππππππππ πΌπΌ π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ + ππππππππ πΌπΌ 1 = π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ − ππππππππ πΌπΌ 1 − 2ππππππ 2 πΌπΌ ππππππππ πΌπΌ 1 (1 + ππππππ πΌπΌ) + 1 = π π π π π π πΌπΌ 1 − ππππππ πΌπΌ ππππππππππ πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ ππππππππ πΌπΌ + 1 = π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ ππππππ πΌπΌ (π π π π π π 2 πΌπΌ − ππππππ 2 πΌπΌ)ππππππππππ 2 πΌπΌ = 2 − π π π π π π πΌπΌ ππππππππ πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ 1 π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ ππππππππ πΌπΌ + −1 = + π π π π π π πΌπΌ(π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ − π π π π π π πΌπΌ) − ππππππ 2 πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ ππππππππππ πΌπΌ ππππππ πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ + ππππππ πΌπΌ π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ = + 2 ππππππππππ πΌπΌ 1 + π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ π π π π π π 2 πΌπΌ − ππππππ 2 πΌπΌ 1 1 = − π π π π π π πΌπΌ + ππππππ πΌπΌ ππππππππππ πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ − 1 π π π π π π πΌπΌ − ππππππ πΌπΌ = 1 + π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ + ππππππ πΌπΌ ππππππππππ πΌπΌ οΏ½π π π π π π πΌπΌ − ππππππππ πΌπΌ οΏ½ = 1 − ππππππππ2 πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ − 1 = 1 − 2ππππππ 2 πΌπΌ π π π π π π 2 πΌπΌ ππππππππ πΌπΌ ππππππππππ πΌπΌ + 1 2 + = ππππππππππ πΌπΌ − 1 ππππππππ πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ − π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ risolubili mediante angoli associati 39 40 v 3.0 π π π π π π 2 (ππ − πΌπΌ) + ππππππ(ππ − πΌπΌ) = 1 − ππππππ πΌπΌ − ππππππ 2 πΌπΌ π π π π π π 4 (ππ − πΌπΌ) = ππππππ 4 πΌπΌ − 1 + 2 π π π π π π 2 (ππ − πΌπΌ) © 2016- www.matematika.it 2 di 8 Identità goniometriche Goniometria 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 v 3.0 1 + π π π π π π πΌπΌ − π π π π π π (ππ − πΌπΌ) ππππππ(ππ − πΌπΌ) = π π π π π π (ππ − πΌπΌ) π π π π π π πΌπΌ ππππππ πΌπΌ ππππππ πΌπΌ = π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ − ππππππ(ππ − πΌπΌ) ππππππ 2 (ππ − πΌπΌ) ππππππ πΌπΌ − π π π π π π πΌπΌ = ππππππ 2 (ππ − πΌπΌ) − π π π π π π 2 (ππ − πΌπΌ) π π π π π π (ππ − πΌπΌ) − ππππππ(ππ − πΌπΌ) π π π π π π 2 (ππ − πΌπΌ) − ππππππ(ππ − πΌπΌ) − π π π π π π πΌπΌ π‘π‘π‘π‘(ππ − πΌπΌ) = π π π π π π πΌπΌ + 1 −ππππππ 2 (ππ − πΌπΌ) ππππππ2 πΌπΌ + 1 + 2 ππππππ(ππ + πΌπΌ) 1 + ππππππ(ππ + πΌπΌ) = π π π π π π 2 (ππ + πΌπΌ) 1 − ππππππ(ππ + πΌπΌ) − ππππππ(ππ + πΌπΌ) − π π π π π π πΌπΌ = π π π π π π (ππ + πΌπΌ) π‘π‘π‘π‘(ππ + πΌπΌ) 1 + π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ = π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ[1 + ππππππ(ππ + πΌπΌ)] ππππππ(ππ + πΌπΌ) + π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ = ππππππ2 (ππ + πΌπΌ) = 1 π π π π π π (ππ + πΌπΌ) ππππππ(ππ + πΌπΌ) 1 + ππππππ2 (ππ + πΌπΌ) 1 + π‘π‘π‘π‘2 (ππ + πΌπΌ) π π π π π π 2 (ππ + πΌπΌ) π π π π π π (ππ + πΌπΌ) = [π‘π‘π‘π‘(ππ + πΌπΌ) + ππππππ πΌπΌ] ππππππππππ(ππ + πΌπΌ) ππππππππππ 2 πΌπΌ ππππππππππ(2ππ − πΌπΌ) = − ππππππ(2ππ − πΌπΌ) ππππππ πΌπΌ − π π π π π π πΌπΌ π π π π π π (2ππ − πΌπΌ) ππππππ(2ππ − πΌπΌ) + 1 = − π π π π π π πΌπΌ + π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ π‘π‘π‘π‘(2ππ − πΌπΌ) ππππππ(2ππ − πΌπΌ) 1 − π π π π π π (2ππ − πΌπΌ) = 1 + π π π π π π (2ππ − πΌπΌ) ππππππ(2ππ − πΌπΌ) π π π π π π (2ππ − πΌπΌ) π‘π‘π‘π‘(2ππ − πΌπΌ) = π π π π π π (2ππ − πΌπΌ) − ππππππ(2ππ − πΌπΌ) π π π π π π (2ππ − πΌπΌ) ππππππ(2ππ − πΌπΌ) = π π π π π π 2 (2ππ − πΌπΌ) ππππππ(2ππ − πΌπΌ) + π‘π‘π‘π‘(2ππ − πΌπΌ) −ππππππ πΌπΌ = π π π π π π (2ππ − πΌπΌ) − ππππππππππ(2ππ − πΌπΌ) 1 − πππππ π (−πΌπΌ) 1 + π‘π‘π‘π‘2 (−πΌπΌ) 1 = 2 2 1 − π‘π‘π‘π‘ (2ππ − πΌπΌ) 2 ππππππ (−πΌπΌ) − 1 ππππππ(2ππ − πΌπΌ) = π‘π‘π‘π‘(−πΌπΌ) + π π π π π π (2ππ − πΌπΌ) 1 − π π π π π π (−πΌπΌ) ππππππ(ππ − πΌπΌ) = ππππππππ πΌπΌ π π π π π π (ππ + πΌπΌ) π‘π‘π‘π‘ (2ππ − πΌπΌ) π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ − ππππππ(ππ + πΌπΌ) = − π π π π π π (ππ − πΌπΌ) ππππππππππ πΌπΌ © 2016- www.matematika.it 3 di 8 Goniometria 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 Identità goniometriche ππππππππ (2ππ + πΌπΌ)π‘π‘π‘π‘ (ππ + πΌπΌ) = π π π π π π πΌπΌ ππππππππππ πΌπΌ π π π π π π (2ππ − πΌπΌ) ππππππ(ππ + πΌπΌ) π π π π π π (ππ + πΌπΌ) − π π π π π π πΌπΌ = ππππππ 2 πΌπΌ − 1 ππππππππππ πΌπΌ − ππππππππππ (ππ + πΌπΌ) π π π π π π πΌπΌ + π‘π‘π‘π‘ (ππ − πΌπΌ) 1 − ππππππ πΌπΌ = π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ ππππππππ (ππ − πΌπΌ) + ππππππ(ππ + πΌπΌ) 1 + π π π π π π πΌπΌ π π π π π π (2ππ + πΌπΌ)ππππππππ (ππ + πΌπΌ) = ππππππ(2ππ − πΌπΌ)π‘π‘π‘π‘ (2ππ + πΌπΌ)ππππππππππ (ππ + πΌπΌ) ππππππ(ππ − πΌπΌ) ππππππππππ (ππ + πΌπΌ) − π π π π π π (2ππ − πΌπΌ) = ππππππππππ (ππ − πΌπΌ) π π π π π π (πΌπΌ) (π π π π π π (ππ + πΌπΌ) + ππππππ(ππ − πΌπΌ)) π‘π‘π‘π‘ (2ππ − πΌπΌ) − π π π π π π (ππ + πΌπΌ) 1 + ππππππππ2 πΌπΌ =− π‘π‘π‘π‘ (3ππ + πΌπΌ) − π π π π π π (πΌπΌ − 2ππ) ππππππππππ 2 πΌπΌ ππππππ(3ππ − πΌπΌ) − π π π π π π (πΌπΌ − 2ππ) = π π π π π π (3ππ − πΌπΌ)(π π π π π π 2 πΌπΌ − 2) π‘π‘π‘π‘ (7ππ + πΌπΌ) − ππππππππ (−ππ − πΌπΌ) ππ ππ ππππππ 3 οΏ½2 − πΌπΌοΏ½ − π π π π π π 3 οΏ½ 2 + πΌπΌοΏ½ = π π π π π π πΌπΌ (ππππππ(2ππ − πΌπΌ) + ππππππππππ πΌπΌ) ππ π π π π π π (ππ − πΌπΌ) − π π π π π π οΏ½ 2 − πΌπΌοΏ½ ππ ππππππ 2 (ππ − πΌπΌ) − ππππππ 2 οΏ½ 2 + πΌπΌοΏ½ 1 + π‘π‘π‘π‘ (ππ + πΌπΌ) = ππ ππ π π π π π π (4ππ − πΌπΌ) π π π π π π οΏ½2 + πΌπΌοΏ½ + ππππππ οΏ½2 + πΌπΌοΏ½ ππ ππ οΏ½1 + π‘π‘π‘π‘2 (3ππ − πΌπΌ)οΏ½ οΏ½π π π π π π 2 οΏ½ + πΌπΌοΏ½ − ππππππ 2 οΏ½3 − πΌπΌοΏ½οΏ½ = 2 − π π π π π π 2 (ππ + πΌπΌ) 2 2 ππ ππ2 ππππππ(2ππ − πΌπΌ) − ππ 2 π π π π π π οΏ½2 + πΌπΌοΏ½ ππ (ππ = + ππ) οΏ½ππππππ οΏ½ − πΌπΌοΏ½ − ππππππππππ πΌπΌοΏ½ , ππ ≠ ππ ππ 2 ππ π‘π‘π‘π‘(ππ − πΌπΌ) + ππ ππππππππ οΏ½2 − πΌπΌοΏ½ ππ ππ 3 ππππππ(ππ − πΌπΌ) + ππ3 π π π π π π οΏ½3 2 − πΌπΌοΏ½ ππ + ππ = ππ ππ ππ2 ππππππππ (ππ + πΌπΌ) − ππ 2 π‘π‘π‘π‘ οΏ½ 2 + πΌπΌοΏ½ + ππππ ππππππππ(3ππ − πΌπΌ) π π π π π π οΏ½3 2 − πΌπΌοΏ½ ππ (ππ + ππ)2 π‘π‘π‘π‘(2ππ − πΌπΌ) + 4ππππ ππππππππ οΏ½ − πΌπΌοΏ½ π π π π π π 2 (ππ − πΌπΌ) 2 (ππ = − ππ) ππ ππ ππ ππ π‘π‘ππ οΏ½2 − πΌπΌοΏ½ + ππ π‘π‘π‘π‘ οΏ½2 + πΌπΌοΏ½ 1 − ππππππ 2 οΏ½ 2 + πΌπΌοΏ½ 3ππ 3ππ ππ4 π π π π π π οΏ½ 2 + πΌπΌοΏ½ + ππ 4 π π π π π π οΏ½ 2 − πΌπΌοΏ½ ππ 2 2 )π‘π‘π‘π‘ (ππ = − ππ οΏ½ + πΌπΌοΏ½ ππ 2 (ππ − ππ)2 π π π π π π (ππ − πΌπΌ) − 2ππππ ππππππππππ οΏ½ + πΌπΌοΏ½ 2 risolubili mediante formule goniometriche 75 76 77 v 3.0 π π π π π π (πΌπΌ + π½π½) π π π π π π (πΌπΌ − π½π½) = π π π π π π 2 πΌπΌ − π π π π π π 2 π½π½ π π π π π π πΌπΌ ππππππ(πΌπΌ + π½π½) = ππππππ πΌπΌ π π π π π π (πΌπΌ + π½π½) − π π π π π π π½π½ π π π π π π πΌπΌ π π π π π π (πΌπΌ − π½π½) + ππππππ πΌπΌ ππππππ(πΌπΌ − π½π½) = ππππππ π½π½ © 2016- www.matematika.it 4 di 8 Goniometria 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 v 3.0 Identità goniometriche ππππππ(πΌπΌ + π½π½) + ππππππ(πΌπΌ − π½π½) = ππππππ πΌπΌ π π π π π π (πΌπΌ + π½π½) + π π π π π π (πΌπΌ − π½π½) ππππππ(πΌπΌ − π½π½) 1 + π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ π‘π‘π‘π‘ π½π½ = ππππππ(πΌπΌ + π½π½) 1 − π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ π‘π‘π‘π‘ π½π½ ππππππ(πΌπΌ − π½π½) = (π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ + ππππππ π½π½) π π π π π π π½π½ ππππππ πΌπΌ (π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ + π‘π‘π‘π‘ π½π½)[ππππππ(πΌπΌ + π½π½) + ππππππ(πΌπΌ − π½π½)] = 2 π π π π π π (πΌπΌ + π½π½) π π π π π π 11πΌπΌ − π π π π π π πΌπΌ = 2 ππππππ 6πΌπΌ π π π π π π 5πΌπΌ ππππππ 4πΌπΌ − ππππππ 8πΌπΌ = π‘π‘π‘π‘ 6πΌπΌ π‘π‘π‘π‘ 2πΌπΌ ππππππ 4πΌπΌ + ππππππ 8πΌπΌ 2 ππππππ 2πΌπΌ ππππππ 3πΌπΌ = ππππππ 5πΌπΌ + ππππππ πΌπΌ π π π π π π 3πΌπΌ + π π π π π π πΌπΌ = ππππππ πΌπΌ π π π π π π 3πΌπΌ π π π π π π 5πΌπΌ − π π π π π π πΌπΌ ππππππ 2 4πΌπΌ = ππππππ 2 2πΌπΌ − π π π π π π 6πΌπΌ π π π π π π 2πΌπΌ 2 π π π π π π 3πΌπΌ π π π π π π 8πΌπΌ = ππππππ 5πΌπΌ − ππππππ 11πΌπΌ ππππππ 4 πΌπΌ − π π π π π π 4 πΌπΌ = ππππππ 2πΌπΌ 2 ππππππ 2πΌπΌ = (1 − ππππππ 2πΌπΌ) (ππππππ2 πΌπΌ − 1) 2 π π π π π π 2πΌπΌ ππππππ πΌπΌ − π π π π π π 3πΌπΌ = π π π π π π πΌπΌ π π π π π π 3πΌπΌ − π π π π π π πΌπΌ = ππππππ 2πΌπΌ ππππππ πΌπΌ − ππππππ 3πΌπΌ πΌπΌ 2 π π π π π π 2 π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ = π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ − π π π π π π πΌπΌ 2 πΌπΌ 2 ππππππ 2 − ππππππ πΌπΌ = 1 2 πΌπΌ 2 ππππππ πΌπΌ = (1 − ππππππ πΌπΌ) οΏ½ππππππ2 − 1οΏ½ 2 ππππππ(πΌπΌ + π½π½) − ππππππ(πΌπΌ − π½π½) = −2π π π π π π πΌπΌ π π π π π π π½π½ π π π π π π (πΌπΌ + π½π½) + π π π π π π (πΌπΌ − π½π½) = 2π π π π π π πΌπΌ ππππππ π½π½ π π π π π π (πΌπΌ − π½π½) − ππππππ(πΌπΌ + π½π½) = (π π π π π π πΌπΌ − ππππππ πΌπΌ)(ππππππ π½π½ + π π π π π π π½π½) π π π π π π 2 (πΌπΌ + π½π½) − ππππππ 2 (πΌπΌ − π½π½) = (1 − 2π π π π π π 2 π½π½)(2π π π π π π 2 πΌπΌ − 1) © 2016- www.matematika.it 5 di 8 Identità goniometriche Goniometria 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 v 3.0 ππππππ(πΌπΌ + π½π½) 1 = (ππππππππ πΌπΌ − π‘π‘π‘π‘ π½π½) π π π π π π (πΌπΌ − π½π½) + π π π π π π (πΌπΌ + π½π½) 2 π π π π π π (πΌπΌ + π½π½)π π π π π π (πΌπΌ − π½π½) = π π π π π π 2 πΌπΌ − π π π π π π 2 π½π½ π‘π‘π‘π‘(πΌπΌ − π½π½) + π‘π‘π‘π‘(πΌπΌ + π½π½) = π π π π π π 2πΌπΌ ππππππ 2 π½π½ − π π π π π π 2 πΌπΌ π‘π‘π‘π‘(πΌπΌ + π½π½) π π π π π π 2 πΌπΌ − π π π π π π 2 π½π½ = ππππππππ(πΌπΌ − π½π½) ππππππ 2 π½π½ − π π π π π π 2 πΌπΌ ππππππππ(πΌπΌ − π½π½) ππππππ 2 π½π½ − π π π π π π 2 πΌπΌ = π π π π π π (πΌπΌ + π½π½) π π π π π π πΌπΌ ππππππ π½π½ − π π π π π π π½π½ ππππππ πΌπΌ ππππππ(πΌπΌ − π½π½) = π π π π π π πΌπΌ ππππππ πΌπΌ + π π π π π π π½π½ ππππππ π½π½ ππππππππππ(πΌπΌ + π½π½) ππππππ 2πΌπΌ − π π π π π π 2πΌπΌ = (ππππππ πΌπΌ − π π π π π π πΌπΌ)2 − 2π π π π π π 2 πΌπΌ π π π π π π 2πΌπΌ = 2 π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ π π π π π π 2 πΌπΌ ππππππ πΌπΌ π π π π π π 2πΌπΌ − ππππππ 2πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ = π π π π π π πΌπΌ ππππππ(πΌπΌ + π½π½) + ππππππ(πΌπΌ − π½π½) = ππππππ πΌπΌ ππππππ π½π½ 2 2 π‘π‘π‘π‘ 2πΌπΌ(ππππππ πΌπΌ − π π π π π π πΌπΌ) = ππππππππππ πΌπΌ + π π π π π π πΌπΌ π π π π π π 2πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ ππππππππππ πΌπΌ =1 2 1 π π π π π π 2πΌπΌ ππππππππ 2πΌπΌ + ππππππππππ 2πΌπΌ π π π π π π 2 πΌπΌ = π π π π π π πΌπΌ ππππππππππ πΌπΌ − ππππππππ πΌπΌ 2 1 − ππππππ 2 2πΌπΌ = 4π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ ππππππ 4 πΌπΌ 1 ππππππππ πΌπΌ ππππππ 2 πΌπΌ π‘π‘π‘π‘ 2πΌπΌ + ππππππππ πΌπΌ = 2 ππππππ 2πΌπΌ ππππππ 2 πΌπΌ + ππππππ 2πΌπΌ = ππππππ 2 πΌπΌ (2 − π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ) di riepilogo 1 1 − π π π π π π πΌπΌ ππππππ πΌπΌ π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ + = ππππππππππ πΌπΌ ππππππ πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ 2 − π π π π π π 2 πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ ππππππ πΌπΌ ππππππππππ πΌπΌ + π π π π π π πΌπΌ = ππππππ πΌπΌ 2 π π π π π π πΌπΌ(1 − ππππππ πΌπΌ) ππππππ 2 πΌπΌ − ππππππ 4 πΌπΌ π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ + π π π π π π 2 πΌπΌ = + π π π π π π πΌπΌ 1 − π π π π π π 2 πΌπΌ 1 1 2 π π π π π π 2 πΌπΌ − 1 − = ππππππ πΌπΌ π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ ππππππ πΌπΌ © 2016- www.matematika.it 6 di 8 Identità goniometriche Goniometria 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 v 3.0 π π π π π π πΌπΌ = π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ ±οΏ½1 + π‘π‘ππ2 πΌπΌ √ππππππππππ 2 πΌπΌ − 1 ππππππππππ πΌπΌ 2 π π π π π π 2 (ππ − πΌπΌ) − 1 1 + ππππππ(−πΌπΌ) ππππππππππ(ππ − πΌπΌ) = π π π π π π πΌπΌ ππππππ(2ππ − πΌπΌ) ππππππ(ππ + πΌπΌ) ππππππ πΌπΌ = ± 1 + 2 π π π π π π (2ππ − πΌπΌ) ππππππ(ππ + πΌπΌ) = [π π π π π π (ππ − πΌπΌ) − ππππππ(ππ + πΌπΌ)]2 1 + ππππππ(ππ + πΌπΌ) ππππππ(ππ + πΌπΌ) + 1 = π π π π π π πΌπΌ − π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ − π π π π π π (2ππ − πΌπΌ) ππππππ πΌπΌ π‘π‘π‘π‘(ππ + πΌπΌ) [π π π π π π (ππ − πΌπΌ) − ππππππ(ππ − πΌπΌ)]2 = 2 π π π π π π (ππ−πΌπΌ) π π π π π π (2ππ−πΌπΌ) π‘π‘π‘π‘(ππ + πΌπΌ) ππππππ(ππ + πΌπΌ) = 1 − π‘π‘π‘π‘2 (ππ − πΌπΌ) ππππππ2 (2ππ − πΌπΌ) − 1 +1 − π π π π π π 3 (2ππ − πΌπΌ) = π‘π‘π‘π‘(ππ + πΌπΌ)[ππππππ(−πΌπΌ) + ππππππ 3 (ππ − πΌπΌ)] π π π π π π πΌπΌ(1 + π π π π π π πΌπΌ) π‘π‘π‘π‘(2ππ − πΌπΌ) = π π π π π π (ππ + πΌπΌ) [1 − π π π π π π (2ππ − πΌπΌ)] π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ 1 π π π π π π 2(πΌπΌ + π½π½) = π π π π π π (πΌπΌ + π½π½) ππππππ(πΌπΌ + π½π½) 2 2 π π π π π π (πΌπΌ − π½π½) ππππππ(πΌπΌ + π½π½) = π π π π π π 2πΌπΌ − π π π π π π 2π½π½ πΌπΌ πΌπΌ − π π π π π π 4 = ππππππ πΌπΌ 2 2 πΌπΌ ππππππππππ πΌπΌ + ππππππ πΌπΌ = ππππππ 2 ππππππ 4 2 π π π π π π πΌπΌ − π π π π π π 2πΌπΌ πΌπΌ = π‘π‘π‘π‘2 2 π π π π π π πΌπΌ + π π π π π π 2πΌπΌ 2 π π π π π π 6πΌπΌ + π π π π π π 2πΌπΌ + ππππππ 2πΌπΌ 2 π‘π‘π‘π‘ 4πΌπΌ + π π π π π π 4πΌπΌ = ππππππ 6πΌπΌ + 2 ππππππ 2πΌπΌ 2 + π π π π π π 4πΌπΌ π π π π π π (3πΌπΌ + π½π½) π π π π π π (3πΌπΌ − π½π½) − π π π π π π (πΌπΌ + π½π½) π π π π π π (πΌπΌ − π½π½) =1 π π π π π π 4πΌπΌ π π π π π π 2πΌπΌ ππππππ π½π½ ππππππ π½π½ ππππππ πΌπΌ ππππππ πΌπΌ − = − π π π π π π π½π½ − ππππππ πΌπΌ π π π π π π π½π½ + ππππππ πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ − ππππππ π½π½ π π π π π π πΌπΌ + ππππππ π½π½ π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ − π π π π π π 2 πΌπΌ = π π π π π π 2 πΌπΌ π‘π‘π‘π‘2 πΌπΌ ππππππ 3πΌπΌ π π π π π π πΌπΌ = 4ππππππ 2 πΌπΌ − 3 π π π π π π 3πΌπΌ = π π π π π π 3 πΌπΌ(3ππππππππππ 2 πΌπΌ − 4) π π π π π π (ππ − πΌπΌ) = ππππππππππ 2πΌπΌ 2π π π π π π (−πΌπΌ) © 2016- www.matematika.it 7 di 8 Identità goniometriche Goniometria 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 v 3.0 ππ 2π π π π π π οΏ½πΌπΌ + 6 οΏ½ ππ (3ππ = + πΌπΌ) + π π π π π π οΏ½ + πΌπΌοΏ½ π π π π π π (πΌπΌ − ππ) √3π‘π‘π‘π‘ ππ 2 π π π π π π οΏ½2 − πΌπΌοΏ½ 3 π π π π π π 4 ππ = −ππππππππ(−2πΌπΌ) √2 π‘π‘π‘π‘(ππ + 2πΌπΌ) ππ π π π π π π οΏ½πΌπΌ + 4οΏ½ = 1 − π‘π‘π‘π‘(−πΌπΌ − 3ππ) √2 ππππππ(πΌπΌ − 2ππ) ππ ππ π‘π‘π‘π‘ οΏ½πΌπΌ + οΏ½ οΏ½ππππππ(−πΌπΌ) + π π π π π π (−πΌπΌ)οΏ½ = √2 ππππππ οΏ½πΌπΌ − οΏ½ 4 4 1 π π π π π π 4 πΌπΌ + ππππππ 4 πΌπΌ + π π π π π π 2 2πΌπΌ = 1 2 1 1 π π π π π π 2πΌπΌ − = π π π π π π (ππ − πΌπΌ) + 1 π π π π π π (ππ + πΌπΌ) + 1 ππππππ 3 (3ππ + πΌπΌ) ππ 1 + ππππππππ2 οΏ½2 + πΌπΌοΏ½ ππ ππ 2 π π π π π π οΏ½ + πΌπΌοΏ½ ππππππππππ οΏ½πΌπΌ − οΏ½ = 2 2 1 − ππππππ 2 (ππππ + πΌπΌ) 2 2 οΏ½ππππππ(2ππ − πΌπΌ) − π π π π π π (ππ + πΌπΌ)οΏ½ − 3 ππππππ 2 πΌπΌ − ππππππ 2 οΏ½2 ππ + πΌπΌοΏ½ 1 + π‘π‘π‘π‘(7ππ + πΌπΌ) = 2 = ππππππ 2πΌπΌ + π π π π π π 2πΌπΌ 1 + ππππππππ2 πΌπΌ 1 + ππππππ 2πΌπΌ − π π π π π π 2πΌπΌ 2 ππ 2 ππ ππππππ οΏ½πΌπΌ − οΏ½ + ππππππ οΏ½πΌπΌ − πποΏ½ = π‘π‘π‘π‘ π π π π π π πΌπΌ 3 3 3 ππ √2π π π π π π οΏ½2πΌπΌ + 4οΏ½ + 1 ππ ππ 2 οΏ½ππππππ οΏ½2 − πΌπΌοΏ½ + π π π π π π οΏ½ 2 + πΌπΌοΏ½οΏ½ = ππππππ πΌπΌ ππ ππππππ οΏ½πΌπΌ + 4οΏ½ 1 + π‘π‘π‘π‘(−πΌπΌ) = −1 + π‘π‘π‘π‘(ππ − πΌπΌ) ππππππ οΏ½πΌπΌ + 3 πποΏ½ 4 ππ ππ ππππππ οΏ½πΌπΌ − 3 οΏ½ + π π π π π π οΏ½πΌπΌ + 3οΏ½ √3 + 1 = ππ √2 π π π π π π οΏ½πΌπΌ + οΏ½ 2 4 ππππππ(πΌπΌ − π½π½) + ππππππ(πΌπΌ + π½π½) = [π‘π‘π‘π‘(πΌπΌ + π½π½)(1 − π‘π‘π‘π‘ πΌπΌ π‘π‘π‘π‘ π½π½)]−1 2π π π π π π (πΌπΌ + π½π½) © 2016- www.matematika.it 8 di 8