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09 12 identita goniometriche 3 0

Identità goniometriche
Goniometria
risolubili mediante le relazioni fondamentali
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7
8
9
10
11
12
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15
16
17
18
19
20
v 3.0
1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
1
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 +
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 − 1
1
=
− 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
(1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼)(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 + 1) 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4 𝛼𝛼 − 1
1
=
+
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼
+
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝛼𝛼
=
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝛼𝛼
+
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝛼𝛼
+
1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
2
2
1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 − 1 1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
+
=
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
1
1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼(1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼)
−
=
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
1
1
+
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼(𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 + 1)
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼(1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼(1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4 𝛼𝛼
+
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼
1
1
1
+
= 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 +
2
1 + 𝑑𝑑𝑔𝑔 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 +
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 − 1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
=
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 1
= 1 − 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝛼𝛼
1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 + 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝛼𝛼
= 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 𝛼𝛼
1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4 𝛼𝛼
𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝛼𝛼 + 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
=
𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝛼𝛼 − 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3 𝛼𝛼 = (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3 𝛼𝛼) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 + 𝑑𝑑𝑔𝑔2 𝛼𝛼
= 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 𝛼𝛼
4
1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 − 1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3 𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
+ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼
1
1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝛼𝛼
=
2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 1 1 − 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝛼𝛼
1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
=
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼)2 =
1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
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1 di 8
Identità goniometriche
Goniometria
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38
1
1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 + 1
+
=
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4 𝛼𝛼
𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼
−
= −𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼
2 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
+ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 − 1) =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
=1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
1
=
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 1 − 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
1
(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼) + 1 =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
+
1
=
𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 = 2 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
1
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
+
−1 =
+ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼(𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼) − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
=
+
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼
1
1
=
−
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 − 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
=
1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 −
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
οΏ½ = 1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝛼𝛼 − 1
= 1 − 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 + 1
2
+
=
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 − 1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 − 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼
risolubili mediante angoli associati
39
40
v 3.0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) = 1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4 𝛼𝛼 − 1 + 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
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2 di 8
Identità goniometriche
Goniometria
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42
43
44
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51
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56
57
58
59
60
v 3.0
1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
= 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 + 1 −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝛼𝛼 +
1 + 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) 1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
=
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) 𝑑𝑑𝑑𝑑(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼[1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)]
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) + 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) =
1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑2 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
= [𝑑𝑑𝑑𝑑(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼]
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) = − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) + 1 = −
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼
𝑑𝑑𝑑𝑑(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
=
1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) 𝑑𝑑𝑑𝑑(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
=
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 (2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) + 𝑑𝑑𝑑𝑑(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(−𝛼𝛼)
1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑2 (−𝛼𝛼)
1
=
2
2
1 − 𝑑𝑑𝑑𝑑 (2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (−𝛼𝛼) − 1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
= 𝑑𝑑𝑑𝑑(−𝛼𝛼) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(−𝛼𝛼)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
𝑑𝑑𝑑𝑑 (2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼
− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) = −
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
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3 di 8
Goniometria
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62
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71
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73
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Identità goniometriche
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (2πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)𝑑𝑑𝑑𝑑 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
= 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
= 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (2πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)𝑑𝑑𝑑𝑑 (2πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼) (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼))
𝑑𝑑𝑑𝑑 (2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝛼𝛼
=−
𝑑𝑑𝑑𝑑 (3πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝛼𝛼 − 2πœ‹πœ‹)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(3πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝛼𝛼 − 2πœ‹πœ‹)
= 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (3πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 − 2)
𝑑𝑑𝑑𝑑 (7πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (−πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
πœ‹πœ‹
πœ‹πœ‹
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3 οΏ½2 − 𝛼𝛼� − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3 οΏ½ 2 + 𝛼𝛼�
= 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼)
πœ‹πœ‹
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 οΏ½ 2 − 𝛼𝛼�
πœ‹πœ‹
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 οΏ½ 2 + 𝛼𝛼� 1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
=
πœ‹πœ‹
πœ‹πœ‹
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(4πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 οΏ½2 + 𝛼𝛼� + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 οΏ½2 + 𝛼𝛼�
πœ‹πœ‹
πœ‹πœ‹
οΏ½1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑2 (3πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)οΏ½ �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 οΏ½ + 𝛼𝛼� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 οΏ½3 − 𝛼𝛼�� = 2 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
2
2
πœ‹πœ‹
π‘Žπ‘Ž2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) − 𝑏𝑏 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 οΏ½2 + 𝛼𝛼�
πœ‹πœ‹
(π‘Žπ‘Ž
=
+
𝑏𝑏)
�𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
οΏ½
− 𝛼𝛼� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼� , π‘Žπ‘Ž ≠ 𝑏𝑏
πœ‹πœ‹
2
π‘Žπ‘Ž 𝑑𝑑𝑑𝑑(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) + 𝑏𝑏 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 οΏ½2 − 𝛼𝛼�
πœ‹πœ‹
𝑏𝑏 3 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) + π‘Žπ‘Ž3 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 οΏ½3 2 − 𝛼𝛼�
π‘Žπ‘Ž + 𝑏𝑏
=
πœ‹πœ‹
πœ‹πœ‹
π‘Žπ‘Ž2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) − 𝑏𝑏 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 οΏ½ 2 + 𝛼𝛼� + π‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Ž 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(3πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 οΏ½3 2 − 𝛼𝛼�
πœ‹πœ‹
(π‘Žπ‘Ž + 𝑏𝑏)2 𝑑𝑑𝑑𝑑(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) + 4π‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Ž 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 οΏ½ − 𝛼𝛼�
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
2
(𝑏𝑏
=
−
π‘Žπ‘Ž)
πœ‹πœ‹
πœ‹πœ‹
πœ‹πœ‹
π‘Žπ‘Ž 𝑑𝑑𝑔𝑔 οΏ½2 − 𝛼𝛼� + 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑑𝑑 οΏ½2 + 𝛼𝛼�
1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 οΏ½ 2 + 𝛼𝛼�
3πœ‹πœ‹
3πœ‹πœ‹
π‘Žπ‘Ž4 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 οΏ½ 2 + 𝛼𝛼� + 𝑏𝑏 4 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 οΏ½ 2 − 𝛼𝛼�
πœ‹πœ‹
2
2 )𝑑𝑑𝑑𝑑
(π‘Žπ‘Ž
=
−
𝑏𝑏
οΏ½
+ 𝛼𝛼�
πœ‹πœ‹
2
(π‘Žπ‘Ž − 𝑏𝑏)2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) − 2π‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Ž 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 οΏ½ + 𝛼𝛼�
2
risolubili mediante formule goniometriche
75
76
77
v 3.0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛽𝛽
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛽𝛽
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽
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4 di 8
Goniometria
78
79
80
81
82
83
84
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86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
v 3.0
Identità goniometriche
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽)
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) 1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛽𝛽
=
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) 1 − 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛽𝛽
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) = (𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
(𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛽𝛽)[𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽)] = 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 11𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 = 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 6𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 5𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 8𝛼𝛼
= 𝑑𝑑𝑑𝑑 6𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 8𝛼𝛼
2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3𝛼𝛼 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 5𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 3𝛼𝛼 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 3𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 5𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 4𝛼𝛼 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 2𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 6𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛼𝛼
2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 3𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 8𝛼𝛼 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 5𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 11𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4 𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4 𝛼𝛼 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝛼𝛼
2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝛼𝛼 = (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝛼𝛼) (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝛼𝛼 − 1)
2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 3𝛼𝛼 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 3𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3𝛼𝛼
𝛼𝛼
2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
2
𝛼𝛼
2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 = 1
2
𝛼𝛼
2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 = (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼) �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 − 1οΏ½
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) = −2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛽𝛽
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) = 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) = (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼)(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛽𝛽)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) = (1 − 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛽𝛽)(2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 − 1)
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5 di 8
Identità goniometriche
Goniometria
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
v 3.0
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)
1
= (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 − 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛽𝛽)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) 2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛽𝛽
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) + 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛽𝛽 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛽𝛽
=
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛽𝛽 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛽𝛽 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼
=
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽)
= 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛼𝛼 = (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼)2 − 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛼𝛼 = 2
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽)
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽
2
2
𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝛼𝛼(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼) =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
=1
2
1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
2
1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 2𝛼𝛼 = 4𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4 𝛼𝛼
1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼
𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 =
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝛼𝛼 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 (2 − 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝛼𝛼)
di riepilogo
1
1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼
+
=
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
2 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼(1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4 𝛼𝛼
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 =
+
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼
1
1
2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 − 1
−
=
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
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6 di 8
Identità goniometriche
Goniometria
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
v 3.0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 =
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼
±οΏ½1 + 𝑑𝑑𝑔𝑔2 𝛼𝛼
√𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) − 1
1
+ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(−𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 = ±
1 + 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) = [𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)]2
1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) + 1
= 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 − 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 −
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑑𝑑𝑑𝑑(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
[𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)]2 =
2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (πœ‹πœ‹−𝛼𝛼)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (2πœ‹πœ‹−𝛼𝛼)
𝑑𝑑𝑑𝑑(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
=
1 − 𝑑𝑑𝑑𝑑2 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 (2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) − 1
+1
− 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3 (2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) = 𝑑𝑑𝑑𝑑(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)[𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(−𝛼𝛼) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3 (πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)]
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼(1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼) 𝑑𝑑𝑑𝑑(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
= 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) [1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)]
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼
1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)
2
2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛽𝛽
𝛼𝛼
𝛼𝛼
− 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
2
2
𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4
2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛼𝛼
𝛼𝛼
= 𝑑𝑑𝑑𝑑2
2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛼𝛼
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 6𝛼𝛼 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝛼𝛼 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 4𝛼𝛼 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 4𝛼𝛼
=
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 6𝛼𝛼 + 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝛼𝛼
2 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 4𝛼𝛼
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(3𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(3𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽)
=1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 4𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
−
=
−
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛽𝛽 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛽𝛽 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽
𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝛼𝛼
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 = 4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 3
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 3𝛼𝛼 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3 𝛼𝛼(3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 4)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼)
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝛼𝛼
2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (−𝛼𝛼)
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7 di 8
Identità goniometriche
Goniometria
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
v 3.0
πœ‹πœ‹
2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝛼𝛼 + 6 οΏ½
πœ‹πœ‹
(3πœ‹πœ‹
=
+
𝛼𝛼)
+
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
οΏ½
+ 𝛼𝛼� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 − πœ‹πœ‹)
√3𝑑𝑑𝑑𝑑
πœ‹πœ‹
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 οΏ½2 − 𝛼𝛼�
3
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 4 πœ‹πœ‹
= −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(−2𝛼𝛼)
√2
𝑑𝑑𝑑𝑑(πœ‹πœ‹ + 2𝛼𝛼)
πœ‹πœ‹
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝛼𝛼 + 4οΏ½
= 1 − 𝑑𝑑𝑑𝑑(−𝛼𝛼 − 3πœ‹πœ‹)
√2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 − 2πœ‹πœ‹)
πœ‹πœ‹
πœ‹πœ‹
𝑑𝑑𝑑𝑑 �𝛼𝛼 + οΏ½ �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(−𝛼𝛼) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(−𝛼𝛼)οΏ½ = √2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝛼𝛼 − οΏ½
4
4
1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4 𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4 𝛼𝛼 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 2𝛼𝛼 = 1
2
1
1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛼𝛼
−
=
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) + 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼) + 1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3 (3πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
πœ‹πœ‹
1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 οΏ½2 + 𝛼𝛼�
πœ‹πœ‹
πœ‹πœ‹
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 οΏ½ + 𝛼𝛼� 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝛼𝛼 − οΏ½ =
2
2
1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝑛𝑛𝑛𝑛 + 𝛼𝛼)
2
2
�𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)οΏ½ −
3
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 οΏ½2 πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼�
1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑(7πœ‹πœ‹ + 𝛼𝛼)
=
2
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝛼𝛼 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛼𝛼
1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝛼𝛼
1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝛼𝛼
2
πœ‹πœ‹
2
πœ‹πœ‹
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝛼𝛼 − οΏ½ + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝛼𝛼 − πœ‹πœ‹οΏ½ = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
3
3
3
πœ‹πœ‹
√2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 οΏ½2𝛼𝛼 + 4οΏ½ + 1
πœ‹πœ‹
πœ‹πœ‹
2 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 οΏ½2 − 𝛼𝛼� + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 οΏ½ 2 + 𝛼𝛼��
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
πœ‹πœ‹
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝛼𝛼 + 4οΏ½
1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑(−𝛼𝛼)
=
−1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑(πœ‹πœ‹ − 𝛼𝛼) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝛼𝛼 + 3 πœ‹πœ‹οΏ½
4
πœ‹πœ‹
πœ‹πœ‹
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝛼𝛼 − 3 οΏ½ + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝛼𝛼 + 3οΏ½
√3 + 1
=
πœ‹πœ‹
√2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝛼𝛼 + οΏ½
2
4
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)
= [𝑑𝑑𝑑𝑑(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)(1 − 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛽𝛽)]−1
2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)
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