Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: INGEGNERIA INFORMATICA E DELLA AUTOMAZIONE 2010 Analisi Numerica 15 Inversione di matrici 1 Facoltà di Ingegneria Come già detto nella lezione precedente (Lezione 14), il metodo di Gauss Jordan è un metodo numerico molto utile in molti problemi ingegneristici dove è necessario determinare l’inversa di una matrice. Tuttavia, bisogna tener ben presente che l’inversione di una matrice è una operazione molto onerosa e quindi da evitare quando è possibile arrivare alla soluzione in un’altra maniera. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 Inversione di matrici (sessione 1) Facoltà di Ingegneria © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 Inversione di matrici (sessione 1) Facoltà di Ingegneria INVERSIONE DI MATRICI Quando si è parlato dell’ inversa di una matrice ( vedi lezione 5 e 6 ) si è detto che : se una matrice A è quadrata allora esiste un’ altra matrice A inversa di A per la quale vale la relazione: A·A -1 =A -1 ·A=I. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] -1 detta Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 Inversione di matrici (sessione 1) Facoltà di Ingegneria Si è anche visto come l’ inversa venga usata per risolvere i sistemi di equazioni attraverso la formula: - X = A 1· C . Un caso in cui l’ inversa trova applicazione riguarda la risoluzione di sistemi di equazioni nella forma: A·X=C, quando questi sistemi differiscono solo per il vettore dei termini noti C . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 Inversione di matrici (sessione 1) Facoltà di Ingegneria In questo caso, invece di risolvere i singoli sistemi separatamente, si adotta un approccio diverso: si calcola una sola volta l’ inversa della matrice dei coefficienti eppoi attraverso la formula X = A soluzione di ogni sistema moltiplicando A -1 -1 · C si ottiene la per il particolare vettore C . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 Inversione di matrici (sessione 1) Facoltà di Ingegneria Dato che la moltiplicazione tra matrici richiede un numero di operazioni decisamente inferiore rispetto all’ inversione, è preferibile eseguire la parte onerosa dei calcoli una volta sola per poi ottenere velocemente le varie soluzioni. Per il calcolo dell’ inversa ci si avvale del metodo di Gauss-Jordan. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 Inversione di matrici (sessione 1) Facoltà di Ingegneria A tal fine si aggiunge una matrice unità alla matrice dei coefficienti. Poi mediante tale metodo si riduce la matrice dei coefficienti ad una matrice unità, come si è visto nella parte teorica della lezione 14 ( vedi lezione 14 – attività teorica - metodo di Gauss-Jordan ). © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 Inversione di matrici (sessione 1) Facoltà di Ingegneria A questo punto la metà di destra della matrice conterrà l’ inversa della matrice di partenza. A I I − − La notazione − − A -1 − − − − − − indica l’elemento ij dell’inversa della matrice A. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: INGEGNERIA INFORMATICA E DELLA AUTOMAZIONE 2010 Analisi Numerica 15/S1 Inversione di matrici 1 Facoltà di Ingegneria In questa attività di studio si presenta un esempio di applicazione del metodo di Gauss Jordan per determinare l’ inversa di una matrice. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S1 Inversione di matrici (sessione 2) 1 Facoltà di Ingegneria LEZIONE 15 ----------attività di studio 1 INVERSIONE DI MATRICI (sessione 2) © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S1 Inversione di matrici (sessione 2) 1 Facoltà di Ingegneria Esempio. Dato il seguente sistema: − . . + . − . − . − . + = . = − . = . ( il sistema è analogo a quello dell’ esempio in lezione 12 – attività di studio 2 e 3- punti deboli metodo di Gauss ). © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S1 Inversione di matrici (sessione 2) 1 Facoltà di Ingegneria Si vuole determinare l’ inversa della matrice dei coefficienti e risolvere il sistema moltiplicando A C = [ 7.85 -19.3 -1 per il vettore dei termini noti : T 71.4 ] . Inoltre, si vuole calcolare la soluzione anche per un altro vettore dei termini noti: C = [ 20 50 T 15 ] . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S1 Inversione di matrici (sessione 2) 1 Facoltà di Ingegneria Innanzitutto, si rappresenta la matrice dei coefficienti : . . − . − . − . − . . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S1 Inversione di matrici (sessione 2) 1 Facoltà di Ingegneria Poi, si aggiunge a tale matrice dei coefficienti la matrice unità: . . − . − . − . − . Si normalizza la prima riga utilizzando l’elemento . come pivot . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S1 Inversione di matrici (sessione 2) 1 Facoltà di Ingegneria In seguito si utilizza quest’ ultima riga per eliminare − . − . . − . − . . − . − . dalle altre righe. . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] . Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S1 Inversione di matrici (sessione 2) 1 Facoltà di Ingegneria Adesso, si utilizza come pivot l’ elemento e si elimina dalle altre righe. − . − . . − . . − . . . . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] . Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S1 Inversione di matrici (sessione 2) 1 Facoltà di Ingegneria Infine, si utilizza come pivot l’ elemento e si elimina dalle altre righe. − . − . . . . . . . . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] . Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S1 Inversione di matrici (sessione 2) 1 Facoltà di Ingegneria L’ inversa è: = − . − . . . . . . . . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] . Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S1 Inversione di matrici (sessione 2) 1 Facoltà di Ingegneria Ora si può calcolare la soluzione del sistema moltiplicando l’ inversa per il vettore dei termini noti : = = = . . . . − . − . − . = . − =− . − = . . . . . . + + . + . . . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] . . Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S1 Inversione di matrici (sessione 2) 1 Facoltà di Ingegneria Anche la seconda soluzione si ottiene con una semplice moltiplicazione tra matrici : = = = . − . − . + = . + = . + = . . . . + + . + . . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: INGEGNERIA INFORMATICA E DELLA AUTOMAZIONE 2010 Analisi Numerica 15/S2 Esercizi 1 Facoltà di Ingegneria In questa attività di studio, vengono proposti degli esercizi utili allo studente per verificare la sua padronanza degli argomenti trattati nelle attività di studio precedenti. Gli esercizi possono essere inviati al docente nel sistema di messaggistica per avere conferma del proprio operato. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S2 Esercizi 2 Facoltà di Ingegneria LEZIONE 15 ----------attività di studio 2 INVERSIONE DI MATRICI : Esercizi © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S2 Esercizi 2 Facoltà di Ingegneria © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S2 Esercizi 2 Facoltà di Ingegneria © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria LEZIONE 15 ----------attività di studio 3 FATTORIZZAZIONE LU. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria FATTORIZZAZIONE LU L’algoritmo di Gauss effettua contemporaneamente la trasformazione sulla matrice dei coefficienti A e su quella dei termini noti C ma non sempre tale procedura è molto efficiente; esistono dei casi in cui è preferibile eseguire separatamente le due operazioni appena dette. La fattorizzazione LU è una variante del metodo di Gauss che fa proprio questo: scinde la trasformazione sulle matrici A e C. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria Tale metodo si basa sul seguente: . Teorema di fattorizzazione Data una matrice A non singolare, con le sottomatrici principali di dimensione 1, 2, …, n-1 non singolari, esiste una ed una sola fattorizzazione di A : A =LU dove L è una matrice triangolare inferiore con gli elementi diagonali uguali a 1 e U è una matrice triangolare superiore. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria Noti i risultati L e U della matrice dei coefficienti di A, si ha : AX =C E , quindi, posto UX =Y LU X =C la soluzione del problema si ottiene risolvendo: LY =C sostituzione in avanti UX =Y sostituzione all’indietro © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria Il risultato fondamentale a cui si arriva è la connessione tra la fattorizzazione LU e l’algoritmo di Gauss. L’algoritmo di Gauss realizza la fattorizzazione LU ovvero ne calcola proprio le matrici L e U. Si dimostra che le matrici della fattorizzazione sono: … L= ⋮ ⋮ ⋮ … … ⋱ … ⋮ = matrice dei moltiplicatori © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria Che è una matrice triangolare inferiore con elementi diagonali uguali a 1 ed elementi della colonna al di sotto dell’ elemento diagonale uguali ai , moltiplicatori calcolati al = , − , durante l’ algoritmo di Gauss. … U =A (n-1) ⋮ ⋮ ⋮ … … … ⋱ = matrice finale di Gauss ⋮ © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] − = Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria Esempio. Data la matrice A : A= − − , − Se si applica l’ algoritmo di Gauss si ottiene: U= − − ! −" . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria I moltiplicatori utilizzati sono: • al passo 1: • al passo 2: = ; = . % = . Si consideri adesso la matrice dei moltiplicatori: L= = / %/ © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] . Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria Se si calcola il prodotto LU si ottiene : LU = / %/ × − − ! = −" − Ovvero LU =A . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] − − =A Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria Si può osservare che: LU Fattorizzazione LU Algoritmo di Gauss LY =C ; UX =Y UX =C (n-1) Ciò implica che: C (n-1) =Y=L -1 C. Quindi risolvere LY =C equivale ad effettuare su C gli ( n-1 ) passi di Gauss. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria In conclusione: Gauss fattorizzazione LU + risoluzione LY=C. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria La risoluzione di AX =C si effettua, quindi, mediante tre procedure: 1. calcolo dei fattori L e U attraverso l’ algoritmo di Gauss applicato ad A. 2. risoluzione di LY =C con la sostituzione in avanti. 3. risoluzione di UX =Y con la sostituzione all’ indietro. La possibilità di fattorizzare A nella forma A = LU tramite l’ algoritmo di Gauss risulta particolarmente vantaggiosa nella risoluzione di molti problemi come, ad esempio, la risoluzione di più sistemi con la stessa matrice e termini noti diversi o per il calcolo del determinante di una matrice. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria Riferimenti bibliografici • Barozzi .G.C. INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI DELL’ ALGEBRA LINEARE. Zanichelli, Bologna 1976. • Bini, Capovani,Menchi. Metodi numerici per l’algebra lineare. Zanichelli, Bologna 1988. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: INGEGNERIA INFORMATICA E DELLA AUTOMAZIONE 2010 Analisi Numerica 15/S3 Fattorizzazione LU 1 Facoltà di Ingegneria In questa attività di studio, viene trattato il metodo numerico della fattorizzazione LU ed il suo stretto legame con il metodo di Gauss, algoritmo già trattato in precedenza (Lezione 12). © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria LEZIONE 15 ----------attività di studio 3 FATTORIZZAZIONE LU. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria FATTORIZZAZIONE LU L’algoritmo di Gauss effettua contemporaneamente la trasformazione sulla matrice dei coefficienti A e su quella dei termini noti C ma non sempre tale procedura è molto efficiente; esistono dei casi in cui è preferibile eseguire separatamente le due operazioni appena dette. La fattorizzazione LU è una variante del metodo di Gauss che fa proprio questo: scinde la trasformazione sulle matrici A e C. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria Tale metodo si basa sul seguente: . Teorema di fattorizzazione Data una matrice A non singolare, con le sottomatrici principali di dimensione 1, 2, …, n-1 non singolari, esiste una ed una sola fattorizzazione di A : A =LU dove L è una matrice triangolare inferiore con gli elementi diagonali uguali a 1 e U è una matrice triangolare superiore. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria Noti i risultati L e U della matrice dei coefficienti di A, si ha : AX =C E , quindi, posto UX =Y LU X =C la soluzione del problema si ottiene risolvendo: LY =C sostituzione in avanti UX =Y sostituzione all’indietro © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria Il risultato fondamentale a cui si arriva è la connessione tra la fattorizzazione LU e l’algoritmo di Gauss. L’algoritmo di Gauss realizza la fattorizzazione LU ovvero ne calcola proprio le matrici L e U. Si dimostra che le matrici della fattorizzazione sono: … L= ⋮ ⋮ ⋮ … … ⋱ … ⋮ = matrice dei moltiplicatori © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria Che è una matrice triangolare inferiore con elementi diagonali uguali a 1 ed elementi della colonna al di sotto dell’ elemento diagonale uguali ai , moltiplicatori calcolati al = , − , durante l’ algoritmo di Gauss. … U =A (n-1) ⋮ ⋮ ⋮ … … … ⋱ = matrice finale di Gauss ⋮ © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] − = Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria Esempio. Data la matrice A : A= − − , − Se si applica l’ algoritmo di Gauss si ottiene: U= − − ! −" . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria I moltiplicatori utilizzati sono: • al passo 1: • al passo 2: = ; = . % = . Si consideri adesso la matrice dei moltiplicatori: L= = / %/ © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] . Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria Se si calcola il prodotto LU si ottiene : LU = / %/ × − − ! = −" − Ovvero LU =A . © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] − − =A Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria Si può osservare che: LU Fattorizzazione LU Algoritmo di Gauss LY =C ; UX =Y UX =C (n-1) Ciò implica che: C (n-1) =Y=L -1 C. Quindi risolvere LY =C equivale ad effettuare su C gli ( n-1 ) passi di Gauss. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria In conclusione: Gauss fattorizzazione LU + risoluzione LY=C. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria La risoluzione di AX =C si effettua, quindi, mediante tre procedure: 1. calcolo dei fattori L e U attraverso l’ algoritmo di Gauss applicato ad A. 2. risoluzione di LY =C con la sostituzione in avanti. 3. risoluzione di UX =Y con la sostituzione all’ indietro. La possibilità di fattorizzare A nella forma A = LU tramite l’ algoritmo di Gauss risulta particolarmente vantaggiosa nella risoluzione di molti problemi come, ad esempio, la risoluzione di più sistemi con la stessa matrice e termini noti diversi o per il calcolo del determinante di una matrice. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected] Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°: Titolo: Attività n°: Ingegneria Analisi Numerica 15 S3 Fattorizzazione LU 3 Facoltà di Ingegneria Riferimenti bibliografici • Barozzi .G.C. INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI DELL’ ALGEBRA LINEARE. Zanichelli, Bologna 1976. • Bini, Capovani,Menchi. Metodi numerici per l’algebra lineare. Zanichelli, Bologna 1988. © 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004 Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected]
