IL PIANO INCLINATO
Il piano inclinato è una macchina semplice che può essere ottenuta appoggiando un corpo
rigido sopra una superficie inclinata di un prefissato angolo rispetto all'orizzontale.
Il contatto fra le superfici del corpo appoggiato può essere caratterizzato da attrito, oppure
no;
in
quest'ultimo
caso
si
parla
di
vincoli
lisci.
Ipotizziamo per semplicità la situazione disegnata in figura, dove un parallelepipedo dotato
di massa m e quindi di peso p=mg venga appoggiato al piano inclinato che qui
immaginiamo privo di attrito.
Scomponiamo il vettore forza peso [p] secondo le direttrici normale [n] e tangenziale [t] al
piano, passanti per il baricentro del corpo rigido ottenendo i due vettori pN e pT.
Utilizzando il Teorema di Pitagora possiamo calcolare L essendo noti h e b.
Notiamo che i tre triangoli presenti sulla figura in alto, sono triangoli simili in quanto
hanno la stessa forma ovvero i tre angoli interni sono uguali fra loro.
Ricordo che due triangoli simili presentano la stessa forma ma non la stessa area, quindi
anche le lunghezze dei loro tre lati possono essere diverse!!
Assodato ciò possiamo applicare a questi tre triangoli la legge di proporzionalità fra i lati,
quindi:
p/L = pT/h = pN/b
e conseguentemente avremo:
p/L = pT/h
p/L = pN/b
da cui:
pT = p*h/L
pN = p*b/L
Quando un corpo è semplicemente appoggiato ad un piano, la reazione vincolare N di
questo è sempre perpendicolare al piano stesso.
Se immaginiamo il corpo rigido descritto come un punto materiale,
identificabile col suo baricentro in cui sia concentrata tutta la forza
peso notiamo come la componente pN normale al piano sia
compensata dalla reazione vincolare N mentre la componente
tangenziale al piano pT non è compensata da niente.
Da qui si deduce che se non ci sono forze che vanno ad equilibrare la pT questa forza
tende a far scendere il corpo lungo il piano.
Le possibili forze che possono compensare pT sono:
a) la forza di attrito tra il piano ed il parallelepipedo;
b) una forza equilibrante esterna applicata al parallelepipedo (ad esempio una molla di
trattenuta).
Quando non vi è attrito, si parla esplicitamente di vincolo liscio.
Quando vi è attrito, deve essere assegnato un coefficiente di attrito f.
Se si ragiona semplicemente su un corpo rigido appoggiato ad un piano orizzontale, la
forza di attrito si calcola moltiplicando la forza peso perpendicolare al piano di appoggio
per il coefficiente di attrito f.
In questo caso la forza normale coincide con la forza peso p, quindi la forza di attrito
radente è pari a:
R=f·p
ne consegue che per muovere orizzontalmente il corpo in
questione bisogna applicare una forza motrice:
F ≥ R.
Bisogna fare attenzione al fatto che la forza di attrito si manifesta sempre in senso
contrario alla direzione dello spostamento!!
Se il corpo è inizialmente fermo si parla di coefficiente di attrito statico [fs] mentre
quando lo stesso oggetto è già in moto bisogna considerare il coefficiente di attrito
dinamico [fd], chiaramente risulta fs > fd.
Nel caso specifico del piano inclinato la forza normale al piano è pN essa genera una
forza di attrito
R=fs·pN
e pertanto se:
il corpo resta fermo!!
Quando questa condizione non è più vera, il corpo si mette il movimento lungo il piano.
Possiamo ipotizzare di trattenere il blocco che scivola con o senza presenza di attrito
utilizzando una molla di trattenuta di prefissata costante costante elastica KE.
In questo caso lo schema grafico del problema risulterà essere quello qui sotto
rappresentato.
La forza elastica di richiamo della molla sarà pertanto:
FE = KE * ΔL
e l’allungamento della molla ΔL sarà ottenuto tramite questa relazione:
(pT – R) = FE
Note le:
pT = p*h/L
pN = p*b/L
R = f s * pN
FE = KE * ΔL
[(p*h/L) - ( fs * pN)] = KE * ΔL
{[p*h/L] - [fs * (p*b/L)]} = KE * ΔL
ΔL = {[p*h/L] - [fs * (p*b/L)]}/ KE
Possiamo ipotizzare di trattenere il blocco che scivola utilizzando anche un’ altra massa
agganciata al blocco che scivola mediante una fune ed una carrucola di rinvio, come è
possibile vedere nello schema qui sotto aggiunto:
In tal caso dovremo calcolare il valore della massa m2 che con la sua forza peso
controbilancerà la residua forza motrice generata dalla componente della forza peso
parallela al piano di scivolamento, decurtata della eventuale forza di attrito radente
statica, e quindi:
note le:
pT = p*h/L
pN = p*b/L
si ha:
(pT - R) = FP1
R = f s * pN
FP! = m2 * g
[(p*h/L) - ( fs * pN)] = m2 * g
{[p*h/L] - [fs * (p*b/L)]} = m2 * g
m2 = {[p*h/L] - [fs * (p*b/L)]}/ g
NB: studiate bene questa lezione perchè entro domani riceverete
esercizi già svolti e da svolgere su questo argomento. Questa
lezione e gli esercizi che riceverete dovranno essere trascritti,
studiati e svolti sul vostro quaderno che mi mostrerete al rientro a
scuola. Gli argomenti trattati in queste dispense faranno parte
delle verifiche che svolgerete al vostro rientro a scuola.
Per eventuali dubbi o chiarimenti resto a disposizione sulla mia
posta istituzionale: [email protected]
