AVVISO La seguente parte, relativa alla modellizzazione dei carichi meccanici, è stata redatta da due lodevoli studenti. Non ho ancora potuto completare la revisione e il completamento con alcuni ulteriori dettagli. Nonostante questo, su richiesta di alcuni di voi, la rendo comunque disponibile in rete, ringraziando una volta ancora gli Autori. E' la versione intonsa, fornitami dagli studenti. Consideratela preliminare, assimilabile a degli appunti presi a lezione, alla quale seguirà, non appena pronta, la versione definitiva. prof. M.Zigliotto I.7 - Modellizzazione dei sistemi meccanici La meccatronica è la prova che a livello industriale meccanica ed elettronica sono strettamente interdipendenti. Per modellizzare a livello matematico un sistema meccanico complesso si può far riferimento a 3 blocchi elementari: 1) inerziale: rappresenta la capacità di un corpo di opporsi alle variazioni di velocità; si fonda sul rapporto causaeffetto: per corpi che traslano la causa è una forza f e l’effetto è una velocità lineare v; per corpi che ruotano la causa è una coppia τ e l’effetto è una velocità angolare ω: dv f =M dt dω τ=J dt 2) elastico: rappresenta la capacità di un corpo di deformarsi accumulando energia potenziale; f = K t ′ (x1 − x2 ) τ = K t (ϑ1 − ϑ2 ) La forza f rappresenta la reazione di tipo elastico della molla e τ è la coppia elastica di una molla torsionale. Kt è il coefficiente di rigidità torsionale. 3) attrito viscoso: tiene conto degli effetti dissipativi che si hanno ogni volta che un corpo si muove in un fluido. f = B′(v1 − v2 ) τ = B(ω1 − ω 2 ) con B coefficiente di attrito viscoso. Analogia tra un sistema meccanico e un sistema elettrico Si dice che due sistemi sono analoghi quando sono governati da equazioni formalmente identiche anche se riguardanti fenomeni fisici diversi. Per quanto riguarda i sistemi meccanici-elettrici si può far riferimento all’analogia proposta da Maxwell: coppia τ → tensione v velocità ω → corrente i su queste analogie di base si fondano le altre, ad esempio: posizione ϑ → carica q infatti: t ∫ t ∫ ϑ (t ) = ϑ (0) + ω (t )dt → q(t ) = q(0 ) + i (t )dt 0 0 Per un sistema meccanico inerziale vale la relazione: τ =J dω di →v= L per cui sarà valida anche l’analogia tra: dt dt inerzia J → induttanza L Per un sistema elastico vale la relazione: 1 τ = K t (ϑ1 − ϑ2 ) → v = (q1 − q2 ) per cui sarà valida anche l’analogia tra: C rigidità torsionale Kt → reciproco della capacità C Per un sistema soggetto ad attrito viscoso vale la relazione: τ = B(ω1 − ω 2 ) → v = R (i1 − i2 ) per cui sarà valida anche l’analogia tra: attrito viscoso B → resistenza R Il passaggio successivo è modellizzare un sistema meccanico e applicare le analogie. Esempio: Br ωm ϑm ϑL ϑm τm M Kt Jm ϑL ϑL JL τL τL τm: coppia del motore; Jm: inerzia del motore e dell’albero; ϑm: posizione angolare iniziale dell’albero; Kt: rigidità torsionale dell’albero; ϑL: posizione angolare finale dell’albero; JL: inerzia del carico; τL: coppia costante generata dal carico; Br: coefficiente di attrito viscoso delle pale. Si possono scrivere le seguenti equazioni di bilancio meccanico: 1) τ m = J m dω m + K t (ϑm − ϑL ) dt dove i termini a destra del segno di uguaglianza costituiscono la coppia resistente per il motore; 2) K t (ϑm − ϑL ) = J L dω L + τ L + Brω L dt dove il termine a sinistra del segno di uguaglianza ora rappresenta la coppia motrice; per il termine di origine viscosa si considera il fluido fermo. Da queste equazioni si possono ricavare le rispettive equazioni del circuito elettrico analogo: di 1 (im − i L )dt 1) v m = Lm m + dt Ct ∫ 2) 1 Ct ∫ (i m − i L )dt = LL diL + v L + RiL dt Si può disegnare lo schema elettrico relativo: Circuito elettrico relativo all'equazione 1 Circuito elettrico relativo all'equazione 2 Circuito elettrico completo analogo al sistema meccanico Si vuole ora vedere come un azionamento elettrico reagisce alla variazione di uno o più parametri. L’azionamento ha il seguente schema completo (con R si indicano i regolatori, con l’asterisco le grandezze di riferimento e con M il motore): Per valutare la variazione di alcuni parametri relativi al sistema meccanico dell’esempio, sarà sufficiente sostituire i componenti dell’analogo circuito elettrico (condensatori, resistenze, ecc.) piuttosto che sostituire i componenti meccanici corrispondenti (albero, pale, ecc.). Ciò comporta un notevole risparmio economico in sede di prove di laboratorio. C’è solo un limite legato alla fattibilità pratica: i valori del sistema meccanico possono tradursi in valori di componenti elettrici difficili da reperire. Esempio numerico Dati del problema: τnom = 11 Nm B = 3.3 Nms/rad Jm = 0.093 kg/m2 JL = 0.18 kg/m2 ⇒ Kt = τ nom 11 = = 630.25 Nm / rad ∆ϑ π / 180 Per le analogie appena viste si ricavano le caratteristiche dei componenti del circuito elettrico equivalente: vm = 11 V vL = 5 V Lm = 93 mH LL = 180 mH Ct = 1586 µF R = 3.3 Ω Il valore della capacità del condensatore è molto alta per cui serviranno molti condensatori in parallelo. Il valore della resistenza è molto piccolo: le resistenze dei cavi del circuito possono spostare di qualche decimo di ohm la resistenza globale, quindi è necessaria molta attenzione per un calcolo preciso. Un gradino di coppia applicato al sistema meccanico produce un andamento della velocità analogo all’evoluzione della corrente iL che si può registrare nel circuito elettrico. Equazioni per il calcolo dell’inerzia equivalente Se il carico non ruota, bisogna trovare una conversione da moto rotatorio ad assiale per calcolare un’inerzia equivalente. Esempio pignone-cremagliera cremagliera ωm τm pignone Al ruotare del pignone, la cremagliera trasla: si ipotizza un sistema privo di perdite; tutta l’energia meccanica del pignone viene trasferita alla cremagliera. fc: forza di cui risente l’utensile montato sul castello quando deve scavare il pezzo (forza resistente). La cremagliera si sposta di: x(t) = rϑm(t), con velocità v(t) = rωm(t) e accelerazione a(t) = rαm(t) con ϑm rotazione del pignone, ωm velocità angolare e αm accelerazione angolare. Il bilancio delle potenze fornisce: - motore e pignone: τ mω m (t ) = f v = f rω m (t ) da cui : τ m = f r coppia trasferita al pignone. dω τ motore = τ m + J m m dt dω m con J m coppia dovuta all'inerzia di motore e pignone dt - cremagliera: τm = M dv dω m + f c r = Mr 2 + f c r coppia di reazione della cremagliera; dt dt Uguagliando le due equazioni si ottiene: ( ) dωdt = (J + Mr ) τ motore = J m + Mr 2 con J eq m m + f c r = J eq dω m + fcr dt 2 Quindi con i contributi di Jeq e fc è possibile calcolare la coppia motrice e dimensionare il motore. Esempio vite-madrevite Il moto rotatorio dell’albero del motore fa girare la vite che a sua volta fa avanzare o indietreggiare la madrevite. madrevite vite L = passo vite (avanzamento lineare della madrevite per un giro completo della vite), per cui vale la proporzione: L : 2π = x(t) : ϑm(t) da cui: L x(t ) = ϑm (t ) . 2π In questo caso quindi velocità e accelerazione valgono rispettivamente: L v(t ) = ω m (t ) 2π L a(t ) = α m (t ) 2π L 2π rappresenta un raggio equivalente in analogia con l’esempio precedente; è quindi possibile utilizzare le stesse L equazioni sostituendo r = . 2π 2 L Si otterrà un’inerzia equivalente pari a: J eq = J m + M . 2π
