Potenziale Elettrico: Concetti e Applicazioni

Potenziale Elettrico
La forza di Coulomb è conservativa (forza fondamentale).
L = "#U = U i " U f
E` quindi possibile parlare di energia potenziale
Energia potenziale di una carica q in un punto dello spazio
individuato da r in cui esiste un campo E≠ 0 : lavoro delle
forze del campo per portare q dall’infinito ad r.
r
r
U (") = 0 # L(" $ r ) = %U(r )
Come da F si e` definito E analogamente da ΔU
!si passa alla differenza di Potenziale:
!V = (V f " Vi )=
!
q
!
r
[V ]=
O
"V = #
LEL
q
J
=V
C
!U
U (r )
V (r ) =
q
q
Grandezza fisica scalare
- (lavoro forze elettriche)
+(lavoro forze esterne)
1
!
Potenziale Elettrico
per 2 cariche puntiformi.
q1
q2
r
r
r r
dr
1 q1 q2
U(r) = !$ F "d r = !kq1q2 $ 2 =
r 4%& 0 r
#
#
r
Il potenziale nel punto occupato da q2 (dovuto a q1) è
r
U
1 q1
V1 (r1 ) =
=
q2
4 "#0 r
!
en. potenziale di q2 nel campo di q1
en. potenziale di q1 nel campo di q2
en. potenziale del sistema q1, q2
r
r
r
U(r ) = q1V2 (r2 ) = q2V1(r1)
Il potenziale generato da una carica puntiforme q a distanza r è
r
V (r ) =
1 q
4!" 0 r
Come per il campo elettrico la !
d.d.p è definita in tutti i punti dello spazio, dipende
dalle cariche elettriche presenti e può essere calcolato con il P. di sovrapposizione.
2
Potenziale Elettrico
Con più cariche puntiformi: principio di sovrapposizione.
V1 = V1 2 + V1 3 =
q1
q2
q3
Se V è il potenziale generato dalle altre cariche
nella posizione di q, l’energia potenziale di q è
Campo elettrico
U =k
q1 q 2
r
F
1k
k
Con il vantaggio rispetto al
campo elettrico che stiamo
sommando delle grandezze
scalari
U = qV
Campo gravitazionale
U G = !G
v
!V
m1 m2
r
v
FG
3
Potenziale Elettrico
In generale vale quindi:
(L’integrale NON dipende dal percorso)
r
f
r r
F r
!V = " $ # d s = " $ E # d s
q
i
i
f
Ey
Ez
Il potenziale in un campo uniforme
A
l
B
E=ΔV/l
V
E
=
[ ]
m
!
!o
dV
dx
dV
="
dy
dV
="
dz
Ex = "
r r
!V = "E # !r
VA-VB=-El•cos180 =El
L’energia potenziale ΔU=qΔV di una
carica + aumenta quando questa si
muove contro il campo
Per una carica - la sua energia potenziale
aumenta quando si muove nella stessa
direzione del campo
4
Potenziale Elettrico
Potenziale di un dipolo elettrico.
θ
P
q $1
1'
V = V+ + V! =
! )
&
4"# 0 % r+ r! (
r+
r-
d
Se d << r
V =
1 p cos !
4"# 0
r2
Potenziale di un anello uniformemente carico.
1 dq
dV =
4!" 0 r
dq = λds
r costante
V =
1
4!" 0
q
(z
2
+ R2
)
5
Potenziale Elettrico
Regioni di potenziale costante:
 linee in 2D
 superfici in 3D
V3
sup. equipotenziali
Campo uniforme
V2
V1
r r
E " dr = #dV = 0
se dr appartiene ad una superficie equipotenziale
E ortogonale alla superficie equipotenziale
Superfici equipot. ortogonali alle linee di forza.
linee di forza
!
sup. equipotenziali
6
Elettrostatica.
Conduttori elettrici in equilibrio
Conduttore: cariche libere di muoversi (metalli o soluzioni ioniche)
In equilibrio: F = qE = 0
Entro un conduttore in equilibrio: E = 0
dV
Densità di carica: ρ=dq/dV=0 entro conduttore
In elettrostatica il volume interno e` equipotenziale
Vi=cost
Un conduttore in equilibrio è equipotenziale.
dq=0
A
Dati due punti qualsiasi A e B sulla
superficie del conduttore:
B
r r
!VAB = " $ E # ds =0
B
Linee di forza ortogonali alla superficie.
Carica: solo sulla superficie.
Vs=cost
A
Forze di superficie: lavoro di estrazione
delle cariche (elettroni). Ve-Vi=Lest/q
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Elettrostatica dei conduttori
NO
B
A
Cariche superficiali, ma
le linee di forza NON si
chiudono sul conduttore
(Perché è equipotenziale)
Cavità in un conduttore
Cariche sulla superficie interna?
B
NO: VA=VB
A
SI: in presenza di
cariche nel volume
interno
8
Elettrostatica nei conduttori
Sfera conduttrice isolata (dens. carica uniforme):
E
V
E=
V=
1 q
4!" 0 r 2
V=
E=0
R
1 q
4!" 0 r
q
4!" 0 R
r
R
r
Campo elettrico sulla superficie di un conduttore:
E ortogonale (V costante)
E =
"
#0
9
Conduttori in equilibrio elettrostatico
In equilibrio nel conduttore E=0 : il campo E generato da q è neutralizzato dal campo delle
cariche indotte (ridistribuzione della carica nel conduttore)
Eind
Eq
q+
+ + + Conduttore isolato:qTOT=cost=0
- -
- -
+ +
Induzione elettrostatica (Forza attrattiva su q).
Eind
q+
Conduttore a V costante (V=0)
Eq
--- ---
V=0
Nota: messa a terra/massa.
Riferimento pratico V=0.
Schermaggio elettrostatico
q
+
+
+
++
+
+ -- - +
-
- q’ - +
+
-
-
Il campo esterno
non modifica
quello interno
e viceversa.
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Alcune esempi:
1. Un atomo con un momento di dipolo p=8.45x10-30Cm è in un campo elettrico
uniforme E=104NC-1. Se l’angolo tra p ed E è 30o calcolare:
a)
il modulo del momento agente sul dipolo
b) l’energia potenziale
τ=pxE |τ|=pEsen30o= 8.45x10-30x 104 x0.5 =4.22x10-26 Nm
U=-p·E=-pEcos30o= -8.45x10-30x 104 x0.866=-7.32x10-26 J
2. Un atomo di He si trova momentaneamente nella seguente configurazione
Calcolare:
0.1nm
°
elettrone
0.1nm
°
nucleo
• il campo elettrico e il potenziale nella posizione in cui si trova
elettrone l’elettrone di sinistra e dovuto al nucleo e dall’altro elettrone
°
• il lavoro richiesto per rimuovere uno dei due elettroni
• l’energia potenziale totale del sistema costituito dalle tre11cariche
2. Mantenete le vostre mani parallele ad una ad una e ad una distanza di 10 cm;
• stimare il numero totale di elettroni in ogni mano
• stimare la forza repulsiva totale tra tutti gli elettroni di una mano su tutti quelli
dell’altra
• perche` nella realta` non si esperienta alcuna forza repulsiva
• stimate di quanto la carica del protone dovrebbe differire dalla carica
dell’elettrone senza che cio` produca alcuna forza appprezzabile tra le due mani
3. Un piano isolante viene caricato uniformemente con una densita` superficiale
di carica σ=+2.5x10-6 C/m2. Una carica q=5µC è posta con velocita` nulla nel
punto A ad una distanza d=20cm dal piano. Calcolare:
•Il campo elettrico generato dal piano uniformemente carico
•La forza che agisce sulla carica q
•Il lavoro fatto dalla forza elettrica per portare la carica q nel punto B ad una
distanza dal piano d’=30cm
•La velocita` della carica quando transita per B sapendo che la sua massa vale
m=1g
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sistema
Campo Elettrico
Carica puntiforme
Potenziale
q
r
V (") = 0
r
q
E = k 2 rˆ
r
Dipolo // all’asse
Momento di dipolo p=qd [Cm]
V (r) = k
!
p(2y 2 " x 2 )
Ex = k 2
(x + y 2 ) 5 / 2 !
!
Ey = k
Dipolo ⊥ all’asse
Piano infinito unif. carico
! 2]
σ=densita` sup. di car.[C/m
V =k
pcos"
r2
3pxy
(x 2 + y 2 ) 5 / 2 !
r "
E=
2#o
V (d) = "
#
d
2$o
V (0) = 0
⊥ al piano
!
!
13
sistema
Campo Elettrico
Sfera unif. Carica
ρ=densita` di carica [C/m3]
4 3
Carica totale Q = "R #
3
!
Superficie sferica unif. carica
!
σ=densita` superf, di carica
[C/m2]
2
Q
=
4
"
R
#
Carica totale
!
Cilindro
! di raggio R unif. carico
ρ=densita` di carica [C/m3]
!
r
" r
E=
r
3#o
r
" R3
E=
rˆ
3#o r 2
r
E = 0!
r " R2
E=
rˆ
2
#o r
r
" r
E= !r
2#$o
r
" R2
E=
rˆ
2#$o r
!
r"R
r>R
r"R
!
r>R
Potenziale
" % 2 r2 (
V (r) =
'R $ *
2#o &
3)
" % R3 (
V (r) =
' *
3#o & r )
V (+) = 0
"
R
#o
" $ R2 '
V (r) = & )
#o % r (
V (*) = 0
V (r) =
r"R
& & r )2 )
#
2
V (r) = "
R (1+ ( + +
4 $%o (' ' R * +*
r>R
V (r) = "
!
!
& r )/
# , 2
R
+
ln
( +1
.
' R *0
2$%o -
14
Bioelettricita`
In particolare nelle cellule nervose esiste una differenza di potenziale tra
l’interno e l’esterno della cellula, all’interno è di -85mV rispetto all’esterno. Un
impulso nervoso consiste in una variazione di questo potenziale che si propaga
lungo una fibra nervosa, (assone).vedi lez19_bis
15