l5 lezione 2015

QUINTA LEZIONE
CORRENTI ELETTRICHE E CAMPI
MAGNETICI
•Forze magnetiche su una corrente elettrica;
•Forza magnetica su una corrente elettrica
rettilinea;
•Effetto Hall;
•Coppia magnetica su una corrente in un
circuito chiuso;
•Azioni meccaniche su dipoli magnetici;
•Applicazione (Galvanometro);
•Campo magnetico generato da una corrente,
legge di Ampere-Laplace;
•Il campo magnetico generato da una corrente
rettilinea di lunghezza infinita, legge di BiotSavart
•Campo magnetico generato da una corrente
circolare (spira) lungo l’asse
•Campo di un dipolo magnetico a grande
distanza
•Forze magnetiche tra correnti
•Le unità di misura elettromagnetiche
FORZE MAGNETICHE SU
CORRENTI ELETTRICHE
La forza F su una carica q in moto con velocità v
in un campo magnetico B vale

 
F  qv  B
In una corrente in un conduttore abbiamo n cariche
per unità di volume, quindi la forza per unità di
volume Fv è

   
Fv  nqv  B  j  B

   
Fv  nqv  B  j  B
Se il conduttore ha lunghezza dl e sezione S e le
cariche si muovono lungo dl (con u versore tangente
al conduttore), la forza dF sul tratto dl vale


  
 
dF  nqS dl v  B  j S dl  B  I dl u  B
 
I dl  B
Quindi la forza dF su un tratto dl del conduttore in cui
passa la corrente I ed è immerso in un campo magnetico
esterno B è
 



dF  Idlu  B  Idl  B
 

Su tutto il conduttore 
F   dF  I  dl  B
condut.
cond.
Forza magnetica su una corrente
elettrica rettilinea
Campo uniforme

FI
 
 
 
 dl  B  I ( Lu )  B  IL  B
cond.
Effetto Hall
L’effetto Hall è la
dimostrazione della forza
sulle cariche che percorrono
un conduttore.
Se prendiamo una lamina
metallica e vi facciamo
passare una corrente I
parallela alla superficie in
un campo B perpendicolare
alla lamina, gli elettroni
vengono spinti nella direzione
Y positivo.
Se i portatori fossero cariche
positive si avrebbe l’effetto
opposto.
Lungo l’asse Y viene a crearsi
un campo elettrico E a causa
dell’accumulo di carica , tale
per cui qE bilancia
la forza



magnetica F  qv  B

 
E  v  B
Coppia magnetica su una corrente elettrica

F

B

F

M
Se una spira rettangolare percorsa da corrente è
messa in un campo magnetico uniforme, sui quattro
lati si esercitano le forze:

 
F  IL  B

 
F '  IL'B
F I LB


F'  IL' B sin     I L' B cos
2

Le due forze F danno origine ad una coppia intorno



all’asse PQ di momento
  ISuN  B
Definiamo momento di dipolo magnetico la


quantità
M  ISu
N
Interazioni meccaniche su dipoli magnetici

Quanto ottenuto per una spira rettangolare può
essere generalizzato per una spira di forma qualsiasi
Un circuito in un campo magnetico è soggetto ad una
coppia di forze che tendono ad orientare il momento
di dipolo magnetico del circuito parallelamente al
campo.
  
Il momento generato dalla coppia vale:   M  B
 
L’energia del dipolo vale:
EP  M  B
infatti
dEP    d  M  B sin  d 
 
 d ( M  B cos  )  d ( M  B)
Galvanometro ad avvolgimento mobile

F

B

F

M
 
  M B

Cost. elastica molla
Area avvolg.
  I S B
Corrente avvolg.
Bilanciato da
k 
I
SB
  k 
Campo magnetico generato da una corrente
Una carica elettrica in moto a velocità v genera
un campo magnetico:   qv  u
B
0
r
4
r2
In un filo percorso da corrente ci sono n cariche
per unità di volume che si muovono con velocità v
 
e generano un campo: B
 nqv  u
Vol

0
4
r
r2
Se prendiamo un tratto di filo di sezione S e
lunghezza dl (cioè volume dV=Sdl) il campo
magnetico generato da quel tratto vale:
 




  0 nq( Sdl )v  u r  0 IdluT  u r  0 dl  u r
dB 


I
2
2
4
4
4
r
r
r2
Se un tratto infinitesimo di filo genera un campo
magnetico:
 
 0 dl  ur
dB 
I
4
r2
Il filo completo (il circuito) percorso da una
corrente I genererà il campo magnetico:
 

 0
dl  ur
B   dB 
I 
2
4

r
circuito
circuito
L’espressione è detta
LEGGE DI AMPERE-LAPLACE
ed è stata ricavata sperimentalmente
Il campo magnetico generato da una
corrente rettilinea di lunghezza infinita
 

 0
dl  ur
B   dB 
I
2
4

r
filo
filo
dl

Usando le notazioni della figura:
  0  sin  
B
I  dl 2 u 
4 
r
essendo r 
essendo
R
sin(   )

R
sin 
R
 tg (   )  tg 
l
l -
R
tgθ
dl 
R
d
2
sin 


 0 I  sin  2 sin 
0 I 
R

d

u

sin

d

u

 
2
2


4 0
R
sin 
4R 0
I
I
I 
 
0 
 0  cos  0 u  0 cos   u  0 u
4R
4R
2R
In conclusione il campo magnetico generato
da una corrente rettilinea ha modulo inversamente
proporzionale alla distanza dal filo e ha come
linee di campo circonferenze centrate sul filo.
 0 I 
B
u
2R
Legge di Biot-Savart
Campo magnetico generato da una corrente
circolare (spira) lungo l’asse
 0
dB 
I
4

B


u
 
dl  u r
r
L’unica componente di
dB che sopravvive è
dB = dB cos
2
0
dB cos  
I
4
spira
cosa/r
  0 Ia
B
4 r 3

B

2
r
spira
2a

cos  u 

 0 Ia 2 
dl u  
u
3
2r
0

 0 Ia 2
2 a R
2

dl

2 3/ 2

u
Campo di un dipolo magnetico a grande distanza
Scriviamo adesso il campo magnetico generato
da una carica in moto lungo l’asse dell’orbita.
Essendo assimilabile ad una spira percorsa da
corrente I = q / t = (q v) / (2a)
a grande distanza a<<R abbiamo

B
 0 Ia 2

 0 Ia 2 
B
u
3
/
2
3
/
2
2 a2  R2
2 R2

2
 0 Ia  2 
 0 2M
u 
3
/
2
3
2
4

R
2 R
 2



u
 
 
Se confrontate il campo magnetico B generato
dal dipolo magnetico lungo l’asse a quello
elettrico E generato da un dipolo elettrico lungo
l’asse, scoprite che hanno la stessa forma !
Campo elettrico
di un dipolo elettr.


E  (P)
Lungo l’asse z del dipolo
EZ 
1

2p
4 0 r 3
Forze magnetiche tra correnti
Quando due fili rettilinei percorsi da correnti I e I’
sono posti parallelamente ad una distanza R l’uno
dall’altro, il filo I genera un campo magnetico B che
agisce con una forza F’ su I’.   I 
B
0
2R
u


  0 I

F '  I ' L' uT  B  I ' L'u
2R

  0 II '
F '  u R
L'
2R
Due correnti parallele e equiverse come risultato
della loro interazione magnetica si attraggono;
se le correnti hanno versi opposti si respingono.
Le unità di misura elettromagnetiche
Per lo studio delle interazioni elettriche e magnetiche
abbiamo dovuto introdurre:
(i) una nuova grandezza fisica Q
(CARICA ELETTRICA);
(ii) due nuove costanti 0
(PERMETTIVITA’ ELETTRICA DEL VUOTO)
e 0
(PERMEABILITA’ MAGNETICA DEL VUOTO).
Queste tre quantità non sono indipendenti:
Fissata in modo operativo una di esse le altre sono
derivate.
Scegliamo la strada di fissare l’unità di misura della
corrente elettrica = carica/tempo
[nel S.I. l’Ampere, 1A=1 C/s]
attraverso l’interazione di due correnti.
Un AMPERE è la corrente che circola in due
conduttori rettilinei e paralleli, separati dalla
distanza di un metro, che si attirano con una
forza di 2 10-7 N per metro di lunghezza
dei conduttori.
 0 II '
 0 ' 1A  1A
7
F
L'  2 10 N 
1m
2 R
2 1m
 0  4  10 7 N C 2 s 2
In seguito dalle Equazioni di Maxwell vedremo che
0 e 0 non sono indipendenti ma sono legate alla
velocità della luce nel vuoto c (costante universale)
1
10
2 2
 c  0  2 
N
C
m
2
 0 0
c 0 4 c
2
1
7