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SISTEMI DI CONTROLLO IN REGIME PERMANENTE

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Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
ERRORE STATICO
CALCOLO DELL'ERRORE A REGIME
CONSIDERAZIONI SUL SEGNALE D'INGRESSO
COMPORTAMENTO DEI SISTEMI DI CONTROLLO TIPO 0
COMPORTAMENTO DEI SISTEMI DI CONTROLLO TIPO 1
COMPORTAMENTO DEI SISTEMI DI CONTROLLO TIPO 2
TABELLA RIASSUNTIVA
ESERCIZI
DISTURBI ADDITIVI
ESERCIZI
CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI DI CONTROLLO AD ANELLO CHIUSO
La classificazione dei sistemi ad anello chiuso per tipo, viene fatto in relazione al numero di poli nell’origine della f.d.t. ad anello
aperto. Il tipo del sistema indica il numero dei poli che la G(s)H(s) presenta nell’origine
N. dei poli nulli della G(s)H(s)
classificazione
0
1 (s al denominatore )
2 (s2 al denominatore )
sistema di tipo zero
sistema di tipo uno
sistema di tipo due
Nel progetto di un sistema di controllo ad anello chiuso occorre tener conto, della precisione e della sensibilità ai disturbi additivi e
parametrici .
ERRORE A REGIME
La precisione rappresenta la capacità di un sistema di produrre una risposta la più simile possibile a quella desiderata, ma in un
sistema di controllo reale l’uscita non è mai esattamente quella desiderata ma è affetto da errore
La precisione di un sistema è evidenziata dall’errore statico, cioè
l’errore permanente o a regime. Esso è definito come differenza tra
il valore d’uscita desiderata u0 (t )e il valore realmente ottenuto u(t )
a transitorio esaurito, quando vengono applicati in ingresso i segnali
tipici: gradino; rampa; parabola
ERRORE STATICO
Alimentazione di potenza
X(s)
E(s)
YRET(s)
Y(s)
G(s)
H(s)
Per errore statico si intende lo scostamento, a regime, della variabile controllata Y(s) dal valore
desiderato.
Tale scostamento è in relazione con il segnale errore E(s) uscente dal nodo di confronto: essi hanno
lo stesso valore percentuale.
E’ allora possibile svolgere i calcoli sul segnale errore E(s).
E(s)  X (s)  X RET (s)  X (s)  H (s) Y (s)  X (s)  H (s)  X (s) 
G(s)
X (s)

1 G(s)  H (s) 1 G(s)  H (s)
CALCOLO DELL’ERRORE A REGIME
Il calcolo dell’errore a regime richiede il calcolo del limite
dove è richiesta la conoscenza della funzione e(t), cioè della antitrasformata di E(s).
E’ possibile evitare la antitrasformazione ricorrendo al teorema del valore finale:
er  lim e(t)  lim s  E(s)
t  s0
e sostituendo l’espressione di E(s):
er  lim s 
s0
X(s)
X(s)
 lim s 
1 G(s) H(s) s0 1 L(s)
Osservazioni: la precisione statica dipende quindi dal
 Valore del segnale di ingresso X(s)
 Guadagno d’anello G(s)•H(s)
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
Considerazioni sul GUADAGNO D’ANELLO
L(s) = G(s)•H(s)
In assenza di ritardi finiti, le funzioni di trasferimento sono razionali, cioè si presentano come rapporto tra polinomi:
L(s)  G(s) H(s) 
1 N(s)
s n D(s)
I sistemi con retroazione sono classificati in tipi, in funzione del numero di poli nulli presenti nel guadagno d’anello:
n =0
n =1
n =2
………
sistema tipo 0
sistema tipo 1
sistema tipo 2
Ai fini del calcolo dell’errore statico conviene porre:
L' (s) 
N(s)
D(s)
LST = valore statico del guadagno d’anello
Considerazioni sul SEGNALE DI INGRESSO
Le prestazioni a regime dipendono anche dalla forma del segnale d’ingresso. In alcuni sistemi il segnale di ingresso non ha
una forma prestabilita, per cui si caratterizza la precisione statica considerando segnali con forma standard (canonica).
Ingresso a gradino
Ingresso a rampa
X0
X(s) 
s
x(t)  X 0
X(s) 
x(t)  X0  t
X0
s2
X0
t
X0 t
t
Ingresso a parabola
x(t)  X 0  t
2
2X0
X(s) 
s3
X0 t 2
t
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente TIPO 0
e r  lim s 
SISTEMA TIPO 0
s0
n =0
X(s)
1 L(s)
Guadagno d’anello: L(s)  N(s)
D(s)
Calcolo dell’ERRORE a regime:
Ingresso a gradino
Errore di posizione
X0
X0
X0
e r  lim s  s


s0
1 L(s) 1 lim N(s) 1 L ST
s0 D(s)
Ingresso a rampa
Errore di velocità
X0
2
X0
s
e r  lim s 
 lim

s0
s0
1 L(s)
s  s L(s)
Ingresso a parabola
Errore di accelerazione
2  X0
3
2  X0
s
e r  lim s 
 lim 2

2
s0
s0
s

s
L(s)
1 L(s)
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente TIPO 0
Ingresso a rampa
SISTEMA TIPO 0
Errore di velocità
Errore assoluto sull’uscita del sistema si ricava dividendo quello
sul nodo di confronto er per il guadagno statico della fdt di
retroazione H0:
e
yr 
r
H0

Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente TIPO 1
e r  lim s 
SISTEMA TIPO 1
n=1
Guadagno d’anello:
Calcolo dell’ERRORE
Ingresso a gradino
Errore di posizione
Ingresso a rampa
Errore di velocità
Ingresso a parabola
Errore di accelerazione
s0
L(s) 
X(s)
1 L(s)
1 N(s)
s D(s)
X0
X0
s
e r  lim s 

0
s 0
1  L(s) 1  lim 1N(s)
s0 s D(s)
X0
X0
X
s 2  lim
er  lim s 
 0
s0
1 L(s) s0 s  s  N(s)
LST
s  D(s)
2X 0
3
X0
s
e r  lim s 
 lim

s0
s0
1N(s)
1 L(s)
s2  s2
s D(s)
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente TIP0 1
Ingresso a rampa
SISTEMA TIPO 1
Errore assoluto sull’uscita del sistema si ricava
dividendo quello sul nodo di confronto er per il
:
guadagno statico
della fdt di retroazione H0
yr 
Ingresso a gradino
Errore di posizione
Errore di velocità
Errore assoluto
sull’uscita del sistema
y r 
X0
LST  H 0
er
H0
0
Ingresso a parabola
Errore di accelerazione

Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente tipo 2
SISTEMA TIPO 2
n =2
Guadagno d’anello:
L(s) 
1 N(s)
s 2 D(s)
Calcolo dell’ERRORE
Ingresso a gradino
Errore di posizione
Ingresso a rampa
Errore di velocità
Ingresso a parabola
Errore di accelerazione
X0
X0
s
e r  lim s 

0
s0
1 L(s) 1  lim 1 N(s)
s0 s2 D(s)
X0
s2
e r lim s 
 lim
s0
1 L(s) s0
X0
0
1 N(s)
s s 2
s D(s)
2X 0
2X 0
X0
s3  lim
e r lim s 

s0
1 L(s) s0 s 2 s 2 1 N(s)
LST
2
s D(s)
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente: tipo 2
Ingresso a rampa
SISTEMA TIPO 2
Errore assoluto sull’uscita del sistema si ricava dividendo quello
sul nodo di confronto er per il guadagno statico della fdt di
retroazione H0:
yr 
Ingresso a gradino
Errore di posizione
Errore di velocità
0
er
H0
0
Ingresso a parabola
Errore di accelerazione
Errore assoluto
sull’uscita del sistema
y r 
2 X 0
LST  H 0
RIEPILOGO
TABELLA RIASSUNTIVA
NB: le espressioni che appaiono in tabella si riferiscono ai valori assoluti calcolati
rispetto al segnale errore er :
RIEPILOGO
ESERCIZIO
1) Dimensionare il ramo di retroazione
2) Calcolare il guadagno A0 del convertitore di potenza in modo da avere un errore a regime al 5%
3) Verificare la stabilità del sistema ricorrendo al metodo di Routh, nell’ipotesi che il convertitore sia caratterizzato
da una risposta istantanea.
Soluzione
1) Dimensionare il ramo di retroazione
Si calcola il valore statico di H(s):
H0 
XRIF  4  0.0465
YID
86
2) Calcolare il guadagno statico A0 del convertitore di potenza in modo da avere un errore a regime  al 5%
L’incognita A0 è nascosta all’interno dell’espressione dell’errore a regime e precisamente nella costante LST.
Il sistema è di tipo 0, l’ingresso è un gradino, dalla specifica risulta
er 
La costante LST risulta:
X0
 er MAX
1  L ST
LST  lim L'(s)  A 0 10 H 0  A 0  0.465
s0
mentre l’errore massimo ammissibile è :
e r MAX  0.05  4  0.2
Per il calcolo di A occorre dunque
0 risolvere ladisequazione:
La cui soluzione conduce a A0  40.9
4
 0.2
1 A0 0.465
Soluzione
3) Verificare la stabilità del sistema ricorrendo al metodo di Routh
Occorre valutare il comportamento dinamico del ramo di retroazione e del convertitore di potenza.
Si ipotizza che siano entrambi privi di fenomeni dinamici, cioè che presentino una risposta immediata.
• H(s) = H0
• A(s) = A0
Si deve calcolare l’equazione caratteristica dell’intero sistema, ma prima occorre assegnare un valore
al guadagno A0 del convertitore:
Ipotesi A0 = 41.
L’equazione risulta:
Tabella di Routh:
1
6
5
20.1
1.98
20.1
s3  5s 2  6 s  20.1  0
Non essendoci variazioni di segno nella prima colonna, il sistema risulta stabile.
Infatti le soluzioni risultano: S1 = - 4.639
S2 = - 0.181 + j 2.072 S3 = - 0.181 – j 2.072
Esercizio
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
Sapendo che l’errore a transitorio esaurito vale 1,5 per un segnale d’ingresso a parabola unitaria, determinare il valore di k
Soluzione
Il
sistema è di tipo 2, poiché nella della f.d.t. ad anello aperto compaiono due poli nulli.
L’errore a regime è uguale a
e()  lim s 
s0
 Per un segnale a parabola unitaria
R(s)
H0 1G(s)H0 
r(t) = t2
2
e R(s) =
s3
questo errore è:
Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente
Esercizio
Ricavare il valore di k affinché l’errore a regime sia minore del 2% per un segnale d’ingresso a gradino unitario.
Soluzione
Il sistema è di tipo 0, poiché la f.d.t. ad anello aperto non ha poli nell’origine .
G(s)H(s) =
L’errore a regime è uguale a
e()  lim s 
s0
0,4k
s2  0,4s  0,04
R(s)
H0 1G(s)H0 
 Per un segnale a gradino unitario r(t) = 1 e R(s) = 1/s questo errore è:
p= e()  lim s 
s0
1

s 1
1
0,4k
s2  0,4s  0,04
1
0,4k
= lim
s0 1 
s2  0,4s  0,04
=
1
0,4k
1
0,04

Posto p < 2/100 si ricava k
2  1  0,4k  50  0,4k  49
1
<
0,04
0,04
1  0,4k 100
0,04
k
49  0,04
0,4
 k  4,9
DISTURBI ADDITIVI: GENERALITÀ
I disturbi additivi sono segnali indesiderati che entrano nel sistema e si sommano al segnale utile
Ad esempio in un sistema di riscaldamento la variazione della temperatura esterna è un disturbo additivo che provoca una
variazione non desiderata del valore della grandezza fisica. Per valutare l’effetto prodotto da uno o più disturbi sulla risposta si
applica il principio di sovrapposizione degli effetti.
ESERCIZI - EFFETTI DEI DISTURBI ADDITIVI
Esercizio 1 – Disturbo sul blocco di andata - Risposta a regime
Determinare la risposta a regime del sistema in figura sollecitato da un segnale a gradino unitario. Il disturbo ha ampiezza 0,1.
Soluzione
Per determinare l’uscita applichiamo e il principio di sovrapposizione degli effetti: considerando l’uscita
come somma dell’uscita U1(S) dovuta al segnale R(s), e U2(s), dovuta al disturbo.
Consideriamo agente solo il segnale R(s) poniamo 1(s) =0
Riducendo i due blocchi in cascata ad un solo blocco con fdt G1G2 si ha
W1 
G1  G 2
1  G1  G 2  H
U1  W  R
Soluzione
Avendo in ingresso un gradino di ampiezza unitaria
R(s)=1/s :
8
1
(uscita complessa in assenza del disturbo)
U1(s)  
s s3  6s2  11s  38
1 8
= 0,21 (valore a regime)
Uf1 = lim s  U1(s) = s 
s s3  6s2  11s 38
s0

Consideriamo ora, agente solo il disturbo 1(s) poniamo R(s)= 0
Lo schema è equivalente
Riducendo i due blocchi in cascata ad un solo blocco si ha
Soluzione
W2 
G2
1  G2  G1  H
U2  W2  1
8
8
8(s 3)
(s 1)(s 2)
W2  (s  1)(s 2)
= W2 

32
(s 1)(2)(s  3)  32 (s  1)(s  2)(s  3)
1
(s  1)(s  2)(s  3)
(s 1)(s  2)(s  3)
8(s  3)
=
s3  6s2 11s  38
Avendo in ingresso un disturbo di ampiezza 0,1  1(s)=0,1/s sostituendo si ha :
(uscita complessa dovuta al solo disturbo)
U2 (s)  0,1  8(s 3)
s s3  6s2 11s  38
8(s 3)
Uf 2 = lim s  U2 (s) = lim s  0,1  8(s 3)
= lim
3
2
3
s s  6s  11s 38 s0 s  6s2  11s  38
s0
s0
Uf 2 =
2,4
= 0,063 (valore a regime dovuto al solo disturbo)
38
La risposta complessiva a regime è
Uf  Uf1  Uf 2 = 0 , 21 +0 , 06 3 = 0,273

ESERCIZIO
Esercizio 2 – Disturbo all’ ingresso e sul blocco di andata - Risposta a regime
Determinare la risposta a regime del sistema in figura sollecitato da un segnale a gradino unitario. I disturbi hanno entrambi
ampiezza 0,1 Per determinare l’uscita applichiamo e il principio di sovrapposizione degli effetti: considerando
l’uscita come somma dell’uscita U0(S) dovuta al segnale R(s), U1(s), dovuta al disturbo 1(s) e U2(s) , dovuta al disturbo 2 (s)

Consideriamo agente solo il segnale R(s), poniamo 0(s) =0 e 1(s) =0
10
(s
1)(s
5)
W0 (s) 
=
50
1
(s 1)(s  2)(s  5)
10(s  2)
=
s3  8s2  17s  60
10
10(s  1)(s  5)
(s 1)(s 5)
=
=
(s 1)(s  2)(s  5)  50 (s2  3s  2)(s  5)
(s 1)(s  2)(s  5)
SOLUZIONE
U0 (s)  W1(s)  R(s)
Avendo in ingresso un gradino di ampiezza unitaria
U0 (s) = 1  10(s  2)
s s3  8s2  17s  60
Uf 0
(uscita complessa in assenza dei disturbi)
= lim s  U0 (s) = s  1  10(s  2)
s0
R(s)=1/s, sostituendo si ha:
s s3  8s2  17s 60
= 20
=
0,333
( valore a regime)
60
 Consideriamo ora agente solo il disturbo 1(s) =0, poniamo R(s) e 1(s) =0
W1(s)  W0 (s)  =
10(s 2)
s3  8s2 17s  60
; U1(s)  W1(s) 1(s)
Avendo in ingresso un disturbo di ampiezza 0,1  1(s)=1/s, sostituendo si ha:
(uscita complessa dovuta al disturbo 1 )
U1(s)  0,1 10(s  2)
s s3  8s2  17s  60
0,1 10(s  2)
Uf1 = lim s  U0 (s) = s  
= 20 = 0,033 (valore a regime )
s s3  8s2  17s 60 60
s0
SOLUZIONE

Consideriamo infine agente solo il disturbo 1(s) =0, poniamo R(s) e 0(s) =0

(uscita complessa dovuta al disturbo 1 )
U2 (s)  0,1 (s  2)(s  5)
s s3  8s2 17s  60
0,1 (s  2)(s 5)
= 1 = 0,017 ( valore aregime)
U f 2 = lim s  U0(s) = s  
s s3 8s 2 17s 60
60
s0
Nota
:
L’effetto del disturbo che si introduce nel blocco di andata è minore di quello all’ingresso.
Uf = Uf 0 + Uf1 + Uf 2 = 0,333+0,033+0,017 = 0,383
STABILITA DEI SISTEMI LINEARI
STABILITA DEI SISTEMI LINEARI
CRITERIO DI ROUTH-HURWITZ
RETROAZIONE NEGATIVA E VELOCITà DI RISPOSTA
STABILITA DEI SISTEMI LINEARI
• Introduzione
• Definizione: lo stato di un sistema è rappresentato dalla quantità e distribuzione dell’energia all’interno del sistema,
ed è riassumibile col valore assunto dalle variabili di stato.
• Lo studio del comportamento di un sistema si effettua esaminando l’evoluzione del suo stato.
• Quando il sistema permane in un determinato stato, cioè le sue variabili di stato permangono nei loro valori, lo stato è
definito ‘stato di equilibrio’.
• Lo stato di equilibrio può essere:
• instabile:
Il disturbo temporaneo fa
cambiare stato al sistema.
• stabile: Il disturbo temporaneo provoca variazioni limitate dello
stato (temporanee o permanenti).
STABILITA DEI SISTEMI LINEARI
Stabilità dei sistemi lineari
Nei controlli industriali si pretende però che, col venir meno della perturbazione, lo stato ritorni a quello di partenza, in
quanto diversamente la variabile controllata verrebbe a dipendere oltre che dall’ingresso di controllo, anche dalle
perturbazioni presentatesi in passato.
Nei sistemi la variabile controllata deve dipendere solo dall’ingresso di controllo (ingresso forzante), deve cioè essere
descritta dai soli termini della componente forzata. Solo così il controllore può controllare la variabile d’uscita del sistema.
Ciò equivale a pretendere che il sistema di controllo sia caratterizzato da una risposta libera che tenda ad estinguersi in
seguito alla scomparsa della perturbazione.
Esempio:
Risposta libera
che si estingue
t
Risposta
libera che si
estingue
Esempio:
y(t)
x(t)
Sistema
t
t
Comparsa
del disturbo
Esempio:
Scomparsa
del disturbo
y(t)
x(t)
Sistema
t
Risposta libera
che si estingue
t
STABILITA DEI SISTEMI LINEARI
Nei sistemi lineari la stabilità dell’intero sistema è garantita dalla stabilità di un singolo stato di equilibrio, in
quanto se la risposta libera si estingue a partire da uno stato si estingue a partire da qualsiasi altro stato di
equilibrio.
Ciò non è vero per i sistemi non lineari. Per essi lo studio della stabilità dell’intero sistema richiede lo studio della
stabilità di ogni singolo stato di equilibrio, che, in questi sistemi, dipende dall’ampiezza del disturbo.
Esempio:
STABILITA DEI SISTEMI LINEARI
Metodo di Routh - Hurwitz
a n s n  a n1 s n1  ............  a1 s  a 0  0
Data la seguente equazione caratteristica:
Condizione necessaria, ma non sufficiente, affichè tutte le radici siano a parte reale negativa è che i coefficienti abbiano
tutti lo stesso segno.
Il metodo permette la determinazione del segno delle radici senza risolvere l’equazione caratteristica: si costruisce la
seguente tabella:
n
an
an-2
an-4
…
n-1
an-1
an-3
an-5
…..
n-2
b1
b2
……
…..
…..
c1
…..
…..
….
0
….
b1 
c1 
a n1  a n2  a n  a n3
a n 1
b2 
a n1 a n4  a n a n5
a n1
b1 a n3  a n1  b 2
b1
Regola: ad ogni variazione di segno tra i termini consecutivi della prima colonna presentano corrisponde
una radice con parte reale positiva, ad ogni permanenza una radice con parte reale negativa.
STABILITA DEI SISTEMI LINEARI
ESEMPIO:
+
_
1
A
s  2 s  5 s 1
3
2
1)
Verificare la stabilità per A = 40.
2)
Calcolare il valore limite di A per cui il sistema si mantiene stabile.
0.1
Soluzione: occorre calcolare l’equazione caratteristica del sistema:
1)
3
1
s3  2 s 2  5 s 1 A 0.1  0
5
Non essendoci variazioni di segno nella prima colonna le
2)
2
2
1+4
1
2.5
0
0
5
soluzioni hanno parte reale negativa e quindi il sistema è
stabile.
3
1
5
2
2
1 + A·0.1
1
4.5 - A·0.05
0
0
1 + A·0.1
Per la stabilità non devono esserci variazioni di segno nella prima colonna:
4.5  A  0.05  0

1 A  0.1  0
A  90

A  10
Il guadagno negativo non ha significato pratico, per cui:
A < 90.
STABILITA DEI SISTEMI LINEARI
ESEMPIO:
+
_
1
s 2s  3
A
Calcolare il valore dell’intervallo di A per cui il sistema si mantiene stabile.
0.1
Soluzione: equazione caratteristica del sistema:
2
1
1
1
0
-6 + A·0.1
s 2  s  6  A 0.1  0
-6 + A·0.1
Per la stabilità deve essere:
6  A  0.1  0
Da cui:
A  60
NB: in questo esempio il sistema complessivo è tanto più stabile quanto maggiore è il guadagno. La causa è da ricercarsi nell’instabilità del blocco del
ramo diretto: la retroazione, unita a un alto guadagno, stabilizza il sistema.
Retroazione negativa e velocitò di risposta
La retroazione negativa modifica la larghezza di banda del sistema e quindi la sua velocità di risposta.
Come esempio si consideri il seguente sistema del 1° ordine:
k
s   1
X(s)  X 0
Y(s)  X(s)
k
s   1
Il valore di regime risulta:
YR  X k
0
Se si introduce un ramo di retroazione: h
X(s)  X 0
+
Y(s)  X(s)
k
s   1
_
k
s   1  k  h
Sono evidenti due conseguenze:
• diminuzione della costante di tempo:
h
• diminuzione del valore di regime:
Il calo del valore di regime dell’uscita può essere affrontato
preamplificando il segnale di ingresso:
X(s)  X 0
1 k  h
+
_
k
s   1
h
YR X  01 k h
'

1 k  h
YR X  0
k
1 k  h
k
 X 0 k
1 k  h
Retroazione negativa e velocitò di risposta
Con retroazione e
preamplificazione
Retroazione negativa e velocitò di risposta
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