CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA Hay circuitos complejos en el corazón de todos los dispositivos electrónicos modernos. Las sendas conductoras de este circuito impreso son películas finas (en color azul verdoso) depositadas sobre una tarjeta aislante. El funcionamiento de cualquiera de estos circuitos, no impona cuán complejo sea. se comprende por medio de las reglas de Kírchhoff, un tema medular de este capítulo. ¿Es posible conectar varios resislores con diferentes resistencias de modo que todos tengan la misma diferencia de potencial? De ser as!, ¿será la corriente la misma en todos los resistores? S i examinamos el interior de nuestro televisor, de la computadora o del receptor estereofónico, o miramos bajo la cubierta de un automóvil, hallaremos circuitos muchísimo más complejos que los circuitos sencillos que estudiamos en el capítulo 25. Ya sea que estén conectados mediante alambres o integrados en un chip semiconductor, estos circuitos suelen incluir varias fuentes, resistores y otros elementos de circuito, como capacitores, transformadores y motores, interconecmdos en una red. En este capitulo estudiaremos los métodos generales para analizar estas redes; esto incluye cómo encontrar voltajes, corrientes y propiedades de elementos de circuito desconocidos. Aprenderemos a determinar la resistencia equivalente de varios resistares conectados en serie o en paralelo. En el caso de redes más generales necesitaremos dos reglas que se conocen como reglas de Kirchhoff. Una de ellas se fundamenta en el principio de conservación de carga aplicado a una confluencia de dos o más vías; el otro se deduce de la conservación de energía de una carga que se traslada alrededor de una espira cerrada. Analizaremos instrumentos para mcdir diferentes cantidades eléctricas; además examinaremos un circuito con resistencia y capacitancia en el que la corriente varia con el tiempo. Nuestro interés principal en este capímlo se centra en los circuitos de corriente continua (cc), en los que el sentido de la corriente no cambia con el tiempo. Las linternas de mano y los sistemas de cableado de automóvil son ejemplos de circuitos de corriente continua. La energia eléctrica doméstica se suministra cn forma de corriente alterna (ca), donde la corriente oscila en un sentido y otro. Se aplican los mismos principios para el análisis de redes a ambas clases de circuitos, y este capítulo concluye con un vistazo a los sistemas de cableado doméstico. Estudiaremos detenidamente los circuitos de corriente alterna en el capítulo 31. 980 981 26.1 1 Resistores en serie y en paralelo 26.1 « I Resistores en serie y en paralelo Los resistores aparecen en todo tipo de circuitos, desde secadoras de cabello y calentadores de espacios hasta circuitos que limitan o dividen la corriente o reducen o dividen un voltaje. Estos circuitos suelen contener varios resislores, por 10 que resulta apropiado considerarlos como combinaciones de resistores. Un ejemplo simple es una serie de focos de [as que se usan como adornos navideños; cada fo-co actúa como un resistor, y desde la perspectiva del análisis de circuitos la serie de fo~s es sencillamente una combinación de resistores. Supóngase que se tienen treS resistores con resistencias R]> R2 Y R). La figura 26.1 muestra cuatro maneras diferentes en que podrían estar conectados entre los puntos a y b. Cuando varios elementos de circuito, como resistores, baterías y mo-tares, están conectados en sucesión como en la figura 26.1a, con un solo camino de corriente entre los puntos, se dice que están conectados en serie. Estudiamos los capacitares en serie en la sección 24.2; hallamos que, en virtud de la conservación de la carga, los capacitares en serie tienen todos la misma carga si inicial· mente están descargados. En los circuitos nos suele interesar más la corriente, que es el flujo de carga por unidad de tiempo. De los resistores de la figura 26.\ b se dice que están conectados en paralelo entre los puntos a y b. Cada resistor ofrece un camino diferente entre los puntos. En el caso de elementos de circuito conectados en paralelo, la diferencia de pOlellcia/ es la misma entre los bornes de cada elemento. Estudiamos los capacitores en paralelo en la sección 24.2. En la figura 26.lc, los resistores R2 y Rl están en paralelo, y esta combinación está en serie con R 1• En la figura 26.1d, R2 Y RJ están en serie, y esta combinación está en paralelo con RI . Con respecto a cualquier combinación de resistores, siempre se puede hallar lUl solo resistor que podria tomar el lugar de la combinación y dar por resultado la misma corriente y diferencia de potencial totales. Por ejemplo, se podria sustituir una hilera de focos navideños por lUl solo foco e!ecmoo, correctamente elegido, que tomaría la misma corriente y tendria la misma diferencia de potencial entre sus bornes que la hilera original de focos. La resistencia de este único resistor se conoce como la resistencia equivalente de la combinación. Si cualquiera de las redes de la figura 26.1 sc sustituyese por su resistencia equivaleme R~, podríamos escribir Vd/> = IR.... " o V" 1 R =~ donde V"" es la diferencia de potencial entre los bornes a y b de la red e I es la corriente en el punto a o b. Para calcular lUla resistencia equivalente, supondremos lUla diferencia de potencial V.. entre los bornes de la red real y calcularemos la corriente ¡ correspondiente y la proporción V,,¡jT. Resistores en serie Podemos deducir las ecuaciones generales de la resistencia equivalente de una combinaci6n de resistores en serie o en paralelo. Si los resisto res estan en serie, como en la figura 26.1a, la corriente I debe ser la misma en todos ellos. (Como comentamos en la sección 25.4, la corriente /lO se "gasta" al pasar a través de un circuito). Aplicando V = iR a cada resiSlor se tiene Va.< = IR 1 Vol)' = IR 1 V).¿,·= IR j Las diferencias de potencial entre los extremos de cada resistor no son necesariamente las mismas (excepto en el caso especial en el que las tres resistencías son R, • x , R, R, b .I .I <a) R 1• R 1 Y R) en serie R, • '7 R, b .I R, (bIRI.R~) RjeDp:uaJodo R, • '7 R, b .I R, (c)R 1 en serie con combinación en paralelo de R 2 Y R) R, R, • '7 b R, '7 (d) R 1 en paralelo con combinación en serie de R 1 y RJ 26.1 Cuatro fonnas diferentes de concelar tres resistorcs. 982 CA PfTU LO 26 I Circuitos de corriente continua iguales). La diferencia de potencial V<lb entre los extremos de la combinación en su totalidad es la suma de estas diferencias de potencial individuales: Vab = VIU Act¡v Physcs 12.1 Circuitos de e,en serie (cualitativo) + V.oy + Vyb + R2 + RJ ) = ¡(R I Y. por tanto, Por defmición, la proporción V."jl es la resislencia equivalente~. En consecuencia, Rcq = R I + R~ + R) Es fácil generalizar eslo a cualquier número de resistores: Rcq = RI + R2 + RJ +... (resislores en serie) (26.1) La resistencia equinlente de cualqllier número de resistores en serie es igual a la suma de sus resistencias individuales. La resistencia equivaleme es mayor que cualquiera de las resistencias individuales. Comparemos este resultado con la ecuaci6n (24.5), referente a los capacitores en serie. Los resistores en serie se suman directamente porque el voltaje entre los extremos de cada uno es directamente proporcional a su resistencia y a la comente común. Los capacitares en serie se swnan recíprocamente porque el voltaje entre los bornes de cada uno es directamente proporcional a la carga común pero inversamente proporcional a la capacitancia individual. Resistores en paralelo Si los resistores están en paralelo, como en la figura 26.1 b. la corrieme l! través de cada resistor no es necesariamente la misma. Pero la diferencia de potencial entre los bornes de cada resistor debe ser la mísma e igual a V<lb (Fig. 26.2). (Recuerde que la diferencia de; potencial entre dos puntos cualesquiera no depende del camino seguido entre los puñtos.) Sean las corrientes en los tres resistores 11, 12 el). Entonces, dado que I = VIR, Val> R2 V ab 1,=- Val> 12 = - R, 1)=- R) En general, la corriente es di rerente a través de cada resistor. Puesto que no se acumula ni se pierde carga por el punto a, la corriente total 1 debe ser igual a las tres corrientes de los resistores: 1 = 1, + 12 + 1) = Vab (-.!.- + -.!.- + -.!.-) o bien, R, R2 I 1 I l Vab R] R2 R) R) -=-+-+Pero por definición de la resistencia equivalente Req, l/Val> = J/Req, de modo que 1 I I I Req R] R2,. R) -=-+-+2i.Z Los faros de un auto están coneclados ce panJe:1o. Por lanlo. cada faro está c'iJ"es;a· alOdlla diferencia de pCllencial que d sistema eleclrico del velricu10 y x dJI:icDe .. máxima brillanlez. 0mI ,;aItaja es que.. sise funde uno de los faros., el 0Ir0 COIIIIiDiia iluminando (véase el ejemplo 26.2). i". También en este caso es fácil generalizar a cualquier número de resistores en paralelo: I 1 1 I -=-+-+-+ ... Req Rf R2 R) (resistores en paralelo) (26.2) En el caso de cualquier nlÍmero de resistores en paralelo, el recíproco de la resistencia equivalente es igual a la suma de los recíprocos de sus resistencias in- 983 26.1 l Resistorcs en serie y en paralelo \ dividuales. La resistencia equivalente siempre es menor que cualquiera de las re· sistencias individuales. Comparemos este resultado con la ecuación (24.7), referente a los capacitares en paralelo. Los rcsistores en paralelo se suman recíprocamente porque la corriente en cada uno es proporcional al voltaje común entre sus extremos e inversamente proporcional a la resistencia de cada uno. Los capacitares en paralelo se suman directamente porque la carga de cada uno es proporcional al voltaje común entre sus bornes y directamente proporcional a la capacitancia de cada uno. En el caso especial de dos resiSlores en paralelo, I R«¡ 1 1 Rl R1 -=-+-= RI + R, . R]R 2 ActjV Physcs 12.2 Circuitos de ce en paralelo y (dos resistores en paralelo) Puesto que Vah = /IR I = ~= /2 (263) ¡2R2, se sigue que R2 R1 (26.4) (dos resistores en paralelo) Esto demuestra que las corrientes transportadas por dos resistores en paralelo son inversamente proporcionales a sus resistencias respectivas. Pasa más corriente por el camino que ofrece menos resistencia. Estrategia para resolver problemas Resistores en serie y en paralelo IDENTIFICAR los conceplos pertinentes: Muchas redes de rcsistores se componen de resistores en serie, en paralelo, o una combinación de los dos. El concepto clave es que una red de este tipo se puede sustituir por un solo resistor equivalente. PLANTEAR el problema utilizando las etapas siguientes: 1. Haga un dibujo de la red dc resistores. 2. Establezca si los resistores están conectados en scrie o en paralelo. Adviena que suele ser posible considerar las redes como las de las figuras 26.1c y 26.ld como combinaciones de arreglos en serie y en paralelo. 3. Determine cuáles son las variables que se buscan. Podrian incluir la resistencia equivalente de la red, la diferencia de potencial entre los extttmos de cada m;istor o la corriente a traves de cada resistor. EJECUTAR la solución como sigue: 1. Con basc en la ecuación (26.1) o la (26.2), halle la resistencia equivalente para una combinación en serie o en paralelo, respectivamente. 2. Si la red es más compleja, intente reducirla a combinaciones en serie y en paralelo. Por ejemplo, en la figura 26.lc . se sustituye primero la combinación en paralelo de Ni y R3 por su resistencia equivalente; ésta forma entonces una combinación en serie con RI • En la figura 26.1d, la com- binación de NI y R3 en scrie forma una combinación en paráÍelo con RI . 3. Al calcular diferencias de potencial recuerde que, cuando los resistores están conectados en serie, la diferencia de porencialtotal entre los extremos de la combinación es igual a la suma de las diferencias de potencial individuales. Cuando están conectados en paralelo, la diferencia dc potencial es la misma en todos los resistores y es igual a la diferencia de potencial entre los extremos de la combina· ción en paralelo. 4. Tenga en mente las expresiones análogas de la corriente. Cuando los resistores están conectados en serie, la corriente es la misma a traves de cada resistor y es igual a la corriente a través de la combinación en serie. Cuando los resislores están conectados en paralelo, la corriente lotal a través de la combinación es igual a la suma de las corrientes a través de los rcsistores individuales. EVALUAR la respuesta: Compruebe si sus resultados son congrucntes. Si los resistores están conectados en serie, la resistencia equivalente debe ser mayor que la de cualesquiera de los resis!ores individuales; si están conectados en paralelo, la resistencia equivalente debe ser menor que la de cualesquiera de los resistores individuales. • 984 e A pí TUL o 26 I Circuitos de corriente continua Ejemplo Resistencia equivalente 26.1 Calcule la resistencia equivalente de la red de la figura 26.3a, y encuentre la corriente en cada resistor. La resistencia interna de la fuente de [cm es insignificante. lE!!l3l!llI IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La red de tres resistores es una combinación de conexiones en serie y en paralelo, como en la figura 26.lc. Primero se determina la resistencia equivalente R'Q de esta red en conjunto. Una vez definido este valor, se halla la corriente en la rem, que es igual a la corriente en el resistor de 4 !l Esta misma cortiente se divide entre los resistorcs de 6 fl Y 3 fl; se determina cuánta pasa por cada resistor aplicando el principio de que la diferencia de potencial debe ser la misma entre los extremos de estos dos resistores (porque están conectados en paralelo). EJECUTAR: Las figuras 26Jb y 26.3c muestran etapas sucesivas de la reducción de la red a una sola resistencia equivalente. De acuerdo con la ecuación (26.2), los resistores de 6 O y 3 n en parnlc10 de la figura 26Ja son equivalentes al único resistor de 2 O de la figura 26.3b: 1 1 1 I R<q 60 30 20 -~-+-~- • (Se halla el mismo resultado aplicando la ecuación (26.3).) De acuerdo con la ecuación (26.1), la combinación en serie de este resistor de 2 O con el resislOr de 4 O es equivalente ,,-1 único resistor de 6 n dc la figura 26.3c. Para hallar la corriente en cada resistor de la red original, se invicrtc el ordcn de las etapas seguidas para reducir la red. En el circ\lilO de la figura 26.3d (idéntico al de la figura 26Jc), la corriente es 1 = VaJR = (18 V)/(6 O) = 3 A. Por tanto, la corriente en los resistores de 4 O y 2 O de la figura 26.3e (idéntica a la figura 26.3b) también es de 3 A. La diferencia de potencial Vcb entre los extremos del resistor de 2 O es, por consiguiente, Vcb = IR = (3 A)(2 O) = 6 V. Esta diferencia de potencial también debe ser de 6 V en la figura 26.3f(idcntica a la figura 26.3a). Como 1 = V<¡jR, ias corricntes en los resistores de 6 fl: Y3 O de la figura 26.3f son de (6 V)/(6 O) 1A Y(6 V)/(3 O) 2 A, respectivamente. = = EVALUAR: Dése cuenta que, en el caso dc los dos rcsistores en paralelo entre los puntos e y b de la figura 26.3f, hay dos veces más corriente a través del resistor de 3 fl: que a través del resistor de 6 fl; pasa más corricnte por el camino de menor resistencia, de acuerdo con la ecuación (26.4). Dése cuenta además que la corriente total a través de estos dos resistores es de 3 A, la misma que a través del resistor de 4 fl entre los puntos a y c. E= 18V,r= O ¡1~ 60 " 4O ]0 (.) VvW'-' + E=18V,r=O 12V (o) • 1 Jt c~b ~O 4 (6) r---"j+1, 18 V 60 a ~ h 12v 1 6V ~ a 40 e 20 h ]0 18V ~ 60 b (1 Jt ([) (,) (d) / 26.3 Etapas para reducir una combinación de resistores a un 5010 resistor equivalente y encontrar la corriente en cada resistor. Combinaciones en serie versus combinaciones en paralelo Se \"311 a coacc:rar dos foros idénticos a una fuente con E = 8 V Y resislencia Imcma insigniflC3D.te. Cada foco tiene una resistencia de R = 1 n. ~ b CIDIlimIe a lnlves de cada foco, la diferencia de potencial entre los bornes de cada uno y la potencia entregada a cada foco y a la red en conjunto si los focos están coneclados a) en serie, como en la figura 26.4a; b) en paralelo, como en la figura 26.4b. ,. 985 26.1 I ResislOres en serie y en paralelo c) Supanga que uno de los focos se funde; es decir, su filamento se rompe y deja de pasar comente a través de el. ¿Qué le ocurre al otro foco en el caso en serie? ¿Yen el caso cn paralelo? li l' mmm IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Las redes de resistores son cone.xiones simples cn serie y en paralelo. Se halla la potencia entregada a cada resistor con base en la ecuación (25.18): P = I!R = JftIR. (.) -11 t'=8V.r-O R=2n EJECUTAR: a) De acuerdo con la ecuación (26.1), la resistencia equivalente de los dos focos entre los puntos a y c de la figura 26.4a R-2n es la suma dc sus resistencias individuales: 1-+ Roq = 2R = 2(20) = 40 (') La corriente es la misma a través de uno u otro foco en serie: v.... 8V Roq 40 , 1-+ d 26.4 Diagramas de circuilo de dos focos eléctricos (a) en serie y (b) en paralelo. 1~-~-=2A l1esto que los focos tienen la misma resislencia, la diferencia de palencial es identica entre los bornes de cada foco: v... = Vio<" = IR = (2 A)(2 O) = 4V Esto es la mitad de la lensión de bornes de la fuente (8 V). De acuerdo con la ecuación (25.18), la patencia entregada a cada foco es P=I!R={2'A)~(20)=8W o V.i V,,,? (4 vF P=R=R=~=8\V La palcncia tolal entregada a los dos focos es P_ = 2P = 16 W. Tambien se puede encontrar la potencia total con base en la resiSlencia equivalente ~ 4 O, a través de la cual la coniente es / 2 A, Y entre cuyos extremos la diferencia de patencial es V<OC = 8 V: = P,wJ = p. oW = t = PR<q = (2A)l(40) = 16W V,,} -~ Roq o (8V)l - - = 16W 40 b) Si los focos están en paralelo, como en la figura 26.4b, la diferencia de potencial V.." entre los bornes de cada foco es la misma e igual a 8 V, la tensión de bornes de la fuente. Por tanto, la coniente a lraves de cada foco es V", 8V R 2n 1~-~-=4A y la potencia entregada a cada uno es P=PR=(4A)l(20)=32Wo V",l (8 vF P=R= 20 =32W Tanto la diferencia de potencial entre los bornes de cada foco y la corriente a través de cada uno son dos veces más grandes que en el caso en serie. Por tanto, la potencia que se entrega a cada foco es cllalro veces mayor, y la incandescencia de ellos es más brillanle que en el caso en serie. Si la meta es obtener la máxima cantidad de luz de cada foco, una configuración en paralelo es mejor que una configuración en serie. La potencia lotal entregada a la red en paralelo es P_ = 2P = 64 \'1. cualro veces mayor que en el caso en serie. Esta mayor polencia en comparación con el caso en serie no se obtiene ~gratuitameDte~: se extrae energía de la fuente con rapidez cuatro veces mayor en el caso en paralelo quc en el caso en serie. Si la fuente es una bateria, esta se agotará en la cuarta parte del tiempo. Tambien se puede hallar la polencia tOlal con base en la resistencia equivalente ~ dada por la ecuación (26.2): ~ = 2(2 10) = I 0- 1 •o R<q = IO La corricnte total a través del resislor equivalente cs I''''al = 21 = 2(4A)= SA, y la diferencia de potencial entre los bornes del resistar equivalente es 8 V. Por lo tanlo el potencial total es P"",oJ = I<Req = V",1 Pon! = - R ~ (8 A)"(I O) = 64 w o (8 V)l - - - = 64W 10 La diferencia de potencial entre los bornes de la resislencia equivalentes la misma en ambos casos. tanlo en serie como en paralelo, pero en este uhiffiO el valor de Rcq es menor Y. por tanto. P_ = V21Roq es más grande. c) En el caso en serie fluye la misma corriente a traxes de los dos focos. Si uno de ellos se funde. no habrá corriente en todo el circuito y ninguno emitici luz. En el caso en paralelo la difereocia de palencial enlre los bomesde cualquiera de los focos sigue siendo de 8 V aunque se funda uno de ellos. Por tanto, la corriente a través del foco que funciona se mantiene en 4 A, Y la potencia que se enfrega a ese foco sigue siendo de 32 W, la misma que antes de fundirse el otro foco. Esta es una de las ventajas de la configuración de focos en paralelo: si uno se funde, este hecho no influye en los otros. Este principio se aplica en 986 CAPíTULO 26 I Circuitos de comente conlinua los sistemas de cableado doméstico, que analizaremos en la seco ción 26.5. EVALUAR: Nuestro cálculo no es dc1 todo exacto, porque la resistencia R = VII de los focos reales no es una constante independiente de la diferencia de potencial Ventre los bornes del foco. (La resistencia del filamento aumenta con la temperatura de funcionamiento creciente y, por tanto, con V I'n aumento). Pero si es efectivamente cierlO que la incandescencia de los focos conectados en serie entre los bornes de una fuente es menos brillante Que cuando están conectados en paralelo entre los bornes de la misma fuente (Fig. 26.5). 26.5 Cuando están conectados a la misma fuente, dos focos en serie (izquierda) consumen menos polencia y brillan meDOS intensamente que cuando están en paralelo (lkrecha). Suponga que los tres resistores de la figura 26.1 tienen la misma resistencia, de modo que R, = R2 = R) = R. Clasifique las cuatro configuraciones que se muestran en las partes de la (a) a la (d) de la figura 26.1 en orden de su resistencia equivalente, de menor a mayor. 26.2 I Reglas de Kirchhoff En la practica, muchas redes de resistores no se pueden reducir a combinaciones simples en serie o en paralelo. La figura 26.6a muestra una fuente de energía eléc· trica de cc con fem f: 1que carga una batería con una fcm más pequeña f:2 yalimenta corriente a un foco con resistencia R, La figura 26.6b es un circuito de "pucnte", que se utiliza en muchos tipos distintos de sistemas de medición y control. (En el problema 26.77 se describe una aplicación importante de un circuito de ''puente''). No es necesario recurrir a ningún principio nuevo para calcular las corrientes en estas redes, pero hay ciertas técnicas que facilitan el manejo sistemático de esle tipo de problemas. Describiremos las técnicas ideadas por el fisico aleman Guslav Roben Kirchhoff (1"824-1887). En primer lugar, he aquí dos términos que utilizaremos oon frecuencia. Una un.iÓn de un circuito es un punto donde se encuentran tres o más conductores. Las uni~ nes también se conocen como n.odos o plintos de derimción.. Una espira es cualquier camino conductor cerrado. El circuito de la figura 26.00 tiene dos uniones: a y b. En la figura 26.6b, los puntos a, b, c y d son uniones, pero los puntOS e y f no lo son. Algunas de las espiras posibles de la figura 26.6b son los caminos cerrados acdba, acde- , fa, abdefa yabcdefa. + ''------''''dd (b) 26.6 Dos redes que no se pueden reducir a combinaciones simples de resistores en serielparnlelo. Las reglas de Kirchhoff consisten de los dos enunciados siguientes: Regla de Kirchhoff de las uniones: La suma algebraica de las corrientes en cualquier unión es cero. Es decir, (regla de las uniones, valida en cualquier unión) (26.5) 987 26.2 1 Reglas de Kirchhoff Regla de Kirchhoff de las espiras: La suma algebraica de las diferencias de potencial en cualquier espira, incluso las asociadas con las fem y las de elementos con resistencia, debe ser igual a cero. Es decir, Unión (regla de las espiras, válida en cualquier espira) (26.6) , La regla de las espiras se basa en la conservación de la carga elecfrica. No se puede acumular carga en una uni6n; de este modo, la carga lotal que entra en la unión por unidad de tiempo debe ser igual a la C3Jg3 total que sale del empalme por unidad de tiempo (Fig. 26.7). La carga por unidad de tiempo es corriente; así que, si se consideran las corrientes que entran en una unión como positivas., y las que salen, como negativas, la suma algebraica de las corrientes en una unión debe ser cero. Es como un ramal T de un tubo de agua; si entra un litro por minuto en un tubo, no pueden salir tres litros por minuto de los otros dos tubos. Más vale confesar ahora que en la secci6n 26.1 utilizamos la regla de las uniones (sin mencionar el hecho) en la deducci6n de la ecuación (26.2) de las resistencias en paralelo. La regla de las espiras es una aseveración de que la fuerza electrostática es con· servativa. Suponga que se recorre una espina, midiendo de paso las diferencias de potencial entre los extremos de elementos sucesivos del circuito. Al regresar al punto de partida, es preciso que la sl/ma algebraica de estas diferencias sea cero; de lo contrario, no se podria afirmar que la diferencia de potencial en este punto tiene un valor definido. Para aplicar la regla de las espiras son necesarias ciertas convenciones en cuanto a signos. La estrategia para resolver problemas que viene a continuación describe en detalle cómo utilizarlas, pero un panorama general es el siguiente. Primero se supone un sentido de la corriente en cada ramal del circuito y se marca sobre un diagra· ma de éste. En seguida, a partir de cualquier punto del circuito, se realiza un recorrido imaginario de la espira sumando las fem y los términos IR conforme se llega a ellos. Cl:!.ando se pasa a través de una fuente en el sentido de - a +, se consi· dera la fem como positiva; cuando se pasa de + a -, se considera la fem como negativa. Al pasar a través de un resistor en el mismo sentido de la corriente supuesta, eITérmino IR es negativo porque la corriente avanza en el sentido de potencial decreciente. Cuando se pasa a través de lU1 resistor en el sentido opuesto al de la corriente supuesta, ellérmino IR es positivo porque representa una elevación del potencial. Las dos reglas de Kirchhoff son todo lo que se necesita para resolver una extensa variedad de problemas de redes. Por 10 regular se conocen algunas de las fem, corrientes y resistencias, y otras son inc6gnitas. Siempre debemos obtener a partir de las reglas de Kirchhoffun número de ecuaciones independientes igual al número de inc6gnitas, a fin de poder resolver las ecuaciones de forma simultánea. La parte más dificil de la resolución suele ser, no la comprensión de los principios básicos, ¡sino seguir la pista de los signos algebraicos! Estrategia para resolver problemas 26.7 La regla de Kirchhoffde las uniones establece que fluye tanta corrienle hacia una unión como la que sale de ella. Reglas de Kirchhoff IDENTIFICAR los COnceptos pertinentes: Las reglas de Kirch- hoff son herramientas importantes para analizar cualquier cirCUilO más complicado que uoa espinl individual. PLANTEAR el problema utilizando las elapas siguientes: l. Dibuje un diagrama de circuito gronde para que tenga espacio sobrado parn rótulos. Ideotifique todas las canrida- des, conocidas y desconocidas, incluso un senlido supuesto de cada corriente y fem desconocidas. En muchos casos no se conoce por adelantado el sentido real de una corriente o fem, pero eso no importa. Si el sentido real de una canlidad en particular es opuesto al que se supuso, se obtendrá el resultado con signo negativo. Si se aplican correctamente las reglas de Kirchhoff, le proporcionarán los 988 e A l' fT UL o 26 I Circuitos de corriente continua E, " 1, . +!. '1. <1, " E, " '1. l' I,t R, ~ 1, 1, <1, 1, <- -"> ". " t R, 11+/2 . .¡. ~ 1, " 1, <- -"> R, R, (bl ('l 26.8 La aplicación de la regla de las uniones al punto (l reduce de tres a dos el número de corrientes desconocidas. 2. 3. sentidos y también las magnirudes de las corrientes y fem desconocidas. Al rotular corrientes, por lo regular es mejor aplicar la regia de las uniones de inmediato para I;:xpresar las corrientt;:s en témlinos del menor numero posible de cantidades. Por ejemplo, la figura 26.8a muestra un circuito rol~'lado correctamente. La figura 26.8b muestra el mismo circuito reetiquetado aplicando la regla de las uniones al punto a para eliminar ¡Jo Establezca cuáles cantidades son las variables que se bus- can. EJECUTAR la solución como sigue: 1. 2. 3. ~. Elija una espira cerrada cualquiera de la red y designe un sentido (el de las manecillas del reloj o el contrario) para recorrer la espira al aplicar la regla de las espiras. El sentido no debe ser necesariamente el mismo que el sentido supuesto de la comente. Recorra la espira en el sentido designado, sumando las diferencias de potencial conforme las cruce. Recuerde que una diferencia de potencial positiva correspondc a un aumento de potencial, y una diferencia de potencial negativa, a una disminución de potenciaL Una fem se cuenta como positiva cuando se cruza de (-) a (+), y negativa cuando se eruza de (+) a (-). Un término IR es negativo si se pasa por el resistor en el mismo sentido de la corriente supuesta, y positivo si se pasa en el sentido opuesto. La figura 26.9 resume estas convenciones de signos. En cada parte de la figura el '"recorrido" es el sentido en el que supongamos circular por la espira al aplicar la regla de Kirchhoff de las espiras, no necesariamente el sentido de la corriente. Iguale a cero la suma de la etapa 2. Si es necesario, elija otra espira para obtener otra relación entre las incógnitas, y continúe hasta tener tantas ecuaciones independientes como incógnitas, o hasta que el ele- 5. 6. mento de circuito haya sido incluido en al menos una de las espiras elegidas. Resuelva simultáneamente las ecuaciones para hallar las incógnitas. Este paso requiere álgebnl. no fisica, pero puede llegar a ser bastante complejo_ Tenga cuidado con las manipulaciones algebraicas; un error de signo resultaria nefasto para la solución en su totalidad. Puede aplicar este mismo sistema de contabilidad para hallar el potencial Vab de cualquier punto a con respecto a cualquier otro punto b. Inicie en b y sume los cambios de potencial quc encuentre al ir de b a a, aplicando las mismas reglas de signos que en la etapa 2. La suma algebraica dc estos cambios es Val> = Va - Vb• EVALUAR la respuesta: Compruebe todas las ctapas algebraicas. Una estrategia útil consiste en considerar una espira distinta de las utilizadas para resolver el problema; si la suma de las caídas de potencial alrededor de esta espira no es cero, se cometió un error en algilli punto de los cálculos. Como siempre, pregúntese si las respuestas son razonables. , Recorrido Recorrido ) E ---=ji-=- -E . , Recorrido Recorrido R R ) - ~-!R ----> 1 ~+!R <-1 26.9 Al aplicar las reglas de KirchhofT, siga estas convenciones de signos al recorrer la espira de un circuito. , 989 26.2 I Reglas de KirchhoIT f JPmplo 16 J Circuito de una sola espira El circuito que se muestra en la figurn 26. lOa contiene dos baterias. cada una con una fem y una ~sistencia inlema. y dos resislores. Halle a) la corriente en el circuito. b) la diferencia de pOlencial Y.Yc) la potencia de salida de la fem de cada balería. E!l!!l!r:1I IDENTIFICAR YPLANTEAR: Este circuito de una sola espirn no tiene uniones: así que, no se necesita la regla de Kirchhotr de las uniones. Para aplicar la regla de las espims a la única espira, primero se supone un sentido de la corriente; supongamos un sentido contrario a las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 26.IOa. da uno representa un aumento de potencial al ir de b hacia a. Si en cambio se sigue el camino superior. la ecuación resultante es V. ~ 12 V - (0.5 A)(2 fi) - (0.5 A)(3 fi) ~ 9.5 V En estc caso los lerminos IR son negativos porque nuestro camino sigue el sentido de la corriente, con reducciones de potencial al pasar por los resistores. El resultado es el mismo que con el camino inferior, como dcbe scr para que el cambio total de potencial aire· dedor de la espira completa sea cero. En cada caso, las subidas de potcncial se tornan como positivas. y las caidas, como negativas, e) La poleneia de salida de In fem de la bateria de 12 V es p = t:I EJECUTAR: a) Iniciando de (J y avanzando en sentido contrario a las manecillas del reloj, se SUlllan los aumentos y disminuciones de potencial y se iguala la suma a cero, como en la ecuación (26.6). La ecuación resultante es + 12 V - 1(2 fi) - 1(3 fi) -1(4 fi) - 4 V - 1(7 fi) ~ O Juntando los términ¡no.que conlicoen I y se resuelve para I se obtiene. 8V=/(160) + 4 V + (0.5 A)(4 0.) = 9.5 V El punto a está a un potencial 9.5 más alto que b. Todos los términos de csta suma, incluso los términos IR, son positivos porque ca· 20 -,- 30 • p= &/= (-4V)(O.5A) = -2W El signo negalivo de [ de la batería de 4 V aparece porque la corriente fluye en realidad del lado de mayor potencial de la batería al lado de menor potencial~'81ornegativo de P significa que estamos al",aCf'nalldo energia en esa baleria, la cual eS{¡l siendo recar· gaJii por la baleria de 12 V. EVALUAR: Aplicando la expresión P = 11 R a cada lUlO de los cuatro resiSIDre5 de la figura 26.103.. usted debe poder demostrar que la potencla 10Ia1 que se disipa en los cuatro resiSlores es de 4 W. De los 6 W que suministra la fcm de la OOler1a de 12 V. 2 W se emplean en almacenar energía en la batería de 4 W Y4 W se disipan en las resislencias. El circuilo de la figura 26. lOa es muy parecido al que se utiliza cuando se emplea un acumulador de automóvil para recargar una bateria descargada de otro aUlotnÓvil (Fig. 26.1 Ob). Los l1\Iiistores o. y n de 3 7 de la figura 26. lOa representan las resistencias de los cables de puentes y del camino conductor a lraves del automóvil con la batería descargada. (Los valores de las resistencias de los automóviles y cables de puentes reales son diferentes de los que se utilizan en este ejemplo). 12v .1, l' !I E3<lj b 70 -4 .1, l' o • y la potencia de salida de la fem dc la batería de 4 V es ..--- e 1=0.5A El resultado de 1 es positivo. lo que demuestra que el senlido supu~to ~ el correcto. Como ejercicio. pruebe a supo~r que lliene el sentido opuesto; deberá obtener I = -0.5 A. lo que indica que la corrieDle real es opuesta a ~ta suposición. b) Para cncontrar V"", el potencial de a con respecto a b, se inicia en b y se suman los cambios de polencial conforme se avanza hacia a. Hay dos caminos posibles de b a a: tomando primero el inferior ha· llamos que V"" = (0.5 A)(7 0.) 40 ('1 = (12V)(Ü.5A) = 6W 4V (b) 26. tO (a) En este ejemplo se recorre la espira en el mismo sentido que se ha supuesto respecto a la corricnte: por tanto, todos los términos IR son negalivos. El polencial disminuye al recorrer el circuito de + a - a traves de la fem inferior, pero aumenta al ir de - a + a través de la fem superior. (b) Un ejemplo de la vida real de un circuito de este lipo. 990 e APfT UL o 26 I Circuitos de corriente continua Ejemplo Carga de una batería 26.4 En el circuito que se muestra en la figura 26.11, una fuente de energía eléctrica de 12 V con resistencia interna r desconocida está conectada a una batería recargable descargada con fem desconocida y resistencia interna de 1 n, y a un foco indicador con resistencia de 3 n que transporta una corriente de 2 A. La corriente a traves de la ras. Son tres las variables quc se buscan; por tanto, se necesitan tres ecuaciones. e EJECUTAR: Primero se aplica la regla de las uniones [ccuación (26.5)] al punlo a. Se encuentra que batería desca~ada es de I A en el sentido que se muestra. Encuenla corriente desconocida 1, la resistencia interna,. y la fem S. -[+ lA+2A=0 tre por tanto 1=3A Para hallar r se aplica la regla de las espiras (ecuación (26.6)] la espira exteríor marcada como (1); se encuentra que l'lll!!millI IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Se supone que el sentido de la corriente a través de la fuente de energía eléctrica de 12 V es como se muestra. Este circuito tiene más de una espira, por lo que es necesario aplicar tanto la regla de las uniones como la regla de las espí- , I2V - E.+(IA)(10)-(2A)(3fl)=ü ~ I (3D E " 10 • b <-¡-¡- 'O 30 E de modo que 2A 26.11 En esle circuito una fuente de energía eléctrica carga una balería agotada y enciende un foco. Se ha hecho una suposición acerca de la polaridad de la fem de la batería agotada; ¿es correcta esta suposición'! r=20 Los téoninos que contienen las resistencias r y de 3 O son ncgalÍvos porque nuestra espira pasa por cstos elementos en el mismo sentido de la corriente y, por tanto, se encuentran caídas dc potencial. Si hubiésemos optado por recorrer la espira (1) en el sentido opueslO, todos los téoninos habrían tenido el signo opuesto, y el resultarlo de r habria sido el mismo. Para determinar [se aplica la regla de las espiras a la espira (2): - • (11 12V- (3A)r- (2A)(3n) =0 portanto E.·=-SV El término que (;orresponde al resistor de lOes positivo porque al recorrerlo en el sentido opuesto al de la corriente encontramos una subida de potencial. El valor negativo de E. demuestra que la polaridad real de esta fem es opuesta a la que se supuso en la figura 26.1 1; el borne positivo de esta fuente está en rcalidad del ladOde- recho. Como en el ejemplo 26.3. se está recargando la batería. EVALUAR: Podemos comprobar nuestro resultado de [empleando la espira (3) para obtener la ecuación 12V ~ (3A)(2n) ~ (1 A)(I O) + &~ O de laque se obtiene nuevameille que [= -S A. Como comprobación adicional de congruencia, advertimos que V.... = Vh - t/4 es igual al voltaje entre los extremos de la resistencia de 3 fl, que es (2 A)(3 fl) = 6 V. Al irtle a hacia b por el ramal superior, encontramos diferencia." de potencial de + 12 V ~ (3 A)(2 O) = +6 V, y por el ramal intermedio hallamos que -{-S V) + (1 A) (1 n) = +6 V. Las tres maneras de obtener V/la dan los mismos resultados. Asegúrese de entender todos los signos de estos cálculos. • Ejemplo 26.5 Potencia en un circuito de carga de batería En el circuito del ejemplo 26.4 (Fig. 26. I 1), encuentre la potcncia ennegada por la fuente de energía eléctrica de 12 Vy por la bateria que se está recargando, 'j encuentre la potencia disipada en cada resistor. a un circuito es [1, 'j la potencia entregada a un reslstor desde un circuito es V,,¡) = [2R. l'lll!!millI EJECUTAR: La potencia de salida de la fem de la fuente de energía eléctrica es mornRCAR Y PLANTEAR: Utilizaremos los rcsultados de la secó3a3..5. doode hallamos que la potencia entregada desde una fem 991 26.2 I Reglas de Kirchhoff , La potencia disipada por la resistencia interna r de la fuente de energia eléctrica es macenando energía en la bateria al cargarla. Se disipa mas p<)[encia en la resistencia interna de la batería; esta potencia es P'"'-=Il_r,..= (3A)l(20) = 18W de modo que la salida de potencia neta de la fuente de energía electriea es P_ "" 36 W - 18 W "" 18 W Como otra solución. según el ejemplo 26.4 la tensión de bornes de la batería es Y"" = 6 Y; asi que, la potencia de salida neta es En estos u~rminos. la potencia de alimentación total a la batcría es, I W + 1--5 WI = 6 w. De esto, 5 W represenlaIt cnergía Íltil almacenada en la batería; el resto.se desperdicia en su resistencia interna. La potencia que se disipa en el foco es p_ = V... / _ = (6V)(3A) = 18W La potencia de salida de la fem E de la bateria que se está cargando es Pr... = E/bourl> = (-5 V)( 1A) = -5 W Esta es negativa porque la corriente de I A fluye a tnl.ves de la bao teria de lado de mayor potencial aliado de menor potencial. (Como mencionamos en el ejemplo 26.4, la polaridad supuesta con respec- EVALUAR: Como comprobación, advierta que se ha descrito toda la potencia de la fuentc. De los 18 W de potencia ncta de la fuente de energia eléctrica, 5 W se emplean en recargar la balería, I W se disipa en la resistencia interna de la batería, y 12 W se disipan en el foco. to a esta batería en la figura 26.11 estaba equivocada). Estamos al- • Ejemplo 266 Red compleja /"-------->(2)---------.. La figura 26.12 muestra un circuito de "puente" del tipo descrito al principio de esta sección (v6!se la Fig. 26.6b). Halle la corriente en cada resistO!" y la resistencia equivalente de la red de cinco resistores. , ln!IllmilI , ,, • IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Esta red no se puede representar en términos de combinaciones en serie y en paralelo. Soo cinco las comcntes por determinar, pero aplicando la regla de las uniones a los nodos a y b, es posible representarlas en términos de tres corrientes desconocidas, como se muestra en la figura. La corriente en la batcría es /. + /2' EJECUTAR: Se aplica la regla de las espiras a tres espiras que se muestran, y se obtienen las tres ecuaciones siguientes: 13V-/,(IO)-(II-h)(ln)=O (1) -/1(ln)-(i2+/J)(2n)+13V=O (2) -/¡(I n) - IJ{I O) + /2(1 n) = O (3) Se trata de un conjunto de tres ecuaciones simultáneas con tres corrientes incógnitas. Se pueden resolver por diverws metodos; un procedimiento directo consíste en resolver la tereera ecuación para /2 para obtener /2 = /1 + IJ y en seguida sustituir esta expresión en las primeras dos ecuaciones para eliminar 12, Al terminar, nos quedan las dos ecuaciones siguientes: 1 ):¡ (1) 13V=/.(20)-/J(10) 13V=/1(3n) -/J(50) (1') (2') Ahora se puede eliminar /J multiplicando la ecuación (1') por 5 y sumando las dos ecuaciones. Se obtiene 13V + O (3) · 1n In Pi. 1!1 "~--JYvy'---~b 26.12 Circuito dc red con varios resistores. Se sustituye cste resultado de nuC\'o en la ecuacion (1) para obtcner -1 A, Yfinalmente, de acuerdo con la ecuación (3), se encuentra que /2 = 5 A. El valor negativo de /J nos indica quc su sentido es opuesto al que supusimos inicialmente. La corriente total a través de la red es /¡ + /2 = 11 A, Yla caida de potencial entre sus eJltremos es igual a la fem de la bateria, esto cs. 13 V. La resistencia equivalente de la red es h= 13V R~--=1.20 eq 11 A EVALUAR: Los resultados l. = 6A,1z = 5 A e /J = -1 A se pueden comprobar sustituyendo estos valores en las tres ecuaciones (1), (2) y (3). ¿Qué encuentra usted? 992 e Ejemplo 267 A P í T U LO 26 I Circuitos de corriente continua Diferencia de potencial dentro de una red compleja Halle la diferencia de potencial Vab en el circuito del ejemplo 26.6 (Fig.26.12). lE.l!m!llI IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Par" encontrar Va/> = Va - Vb se parte del punto b y se sigue un camino hacia el punto n, sumando las subidas y caidas al avanzar. Se pueden seguir varios caminos de b a G; el valor de Voh dcbe ser independiente del camino que se elija, lo cual proporciona un medio natural para comprobar el resultado. EJECUTAR: El camino más simple es el quc pasa por el resistor ccntral de I n. Hemos hallado que!) = -1 A, lo cual indica que el sentido real de la corriente en este ramal es de derecha a izquierda. Por tanto, al ir de b hacia a hay una caida de potencial de magnitud IR = (1 A)(\ 11) = 1 V, Y Val> = -1 V. Es decir, el potencial en el punto a es 1 V menor que en el punto b. EVALUAR: Para poner a prueba nuestro resullado, ensayemos un camino de b a a que pase por los dos resistores inferiores. Las corrientes a través de éstos son /2 + IJ 11 - = 5 A + (-1 A) = 4 A e 13 = 6 A - (-) A) = 7 A y, dc este modo, V•• ~ -(4A)(20) + (7 A)(J O) ~ -J V Le sugerimos ensayar algunos otros caminos de b a a para verificar que mmbién dan este resultado. va ue s co Reste la ecuación (1) de la ecuación (2) del ejemplo 26.6. ¿A cuál espira de la figura 26.12 corresponde esta ecuación? ¿Habria simplificado esta ecuación la resolución del ejemplo 26.6? 26.3 I Instrumentos de medición eléctrica Hemos venido hablando acerca de diferencia de potencial, corriente y resistencia a lo largo de dos capítulos, así que ya es tiempo de mencionar algo respecto a cómo medir estas magnitudes. Muchos dispositivos comunes, como tableros de instrumentas de automóvil, cargadores.de baterias e instrumentos eléctricos económicos, miden diferencias de potencial (voltajes), corrientes o resistencia mediante un galvanómetro de d'Arsonval (Fig. 26.13). En la exposición que sigue lo llamaremos a menudo simplemente un medidor. Una bobina de pivote de alambre fino está colocada en el campo magnético de un imán permanente (Fig. 26.14). Acoplado a la bobina hay un resorte, semejante a la espiral del volan.te de un reloj. En la posición de equilibrio, sin comente en la bobina, el indicador está en el cero. Cuando hay una corriente en la bobina, el campo magnético ejerce sobre la bobina un momento de torsión proporcional a la corriente. (Examinaremos detenidamente esta interacción magnética en el capítulo 27). Cuando la bobina gira, el resorte ejerce un momento de torsión de recuperación que es proporcional al desplazamiento angular. Así que la desviación angular de la bobina y el indicador es directamente proporcional a la corriente de la bobina, y se puede calibrar el dispositivo para medir corriente. La desviación máxima, que típicamente es de 90° más o menos, se conoce como desviación de escala completa. Las características eléctricas fundamentales del medidor son la corriente le<; necesaría para una desviación de escala completa (típicamente del orden de 10 ¡.tA alOmA) y la resistencia Re de la bobina (típicamente del orden de 10 a 1000 O). La desviación del medidor es proporcional a la corriente en la bobina. Si la bobina obedece la ley de Ohm, la corriente es proporcional a la difá"encia de potencial entre los bornes de la bobina, y la desviación también es proporcional a esta diferencia de potencial. Por ejemplo, considérese un medidor cuya bobina tiene una resistencia Re = 20.0 O y que se desvía la escala completa cuando la corrieo- • 26.13 Esle amperímetro (arriba) y el voltimelro (abajo) son ambos galvanómetros de d'Arsom"3.l.. la diferencia tiene que ver con sus conexiones internas (veasc la Fig. 26.15). 26.3 I Instrumentos de medición el&uica 993 ~) l') 26.14 (a) Galvanómetro de d'Arsonval. Se muestra la bobina articulada con indicador acoplado, el imán permanente que suministra un campo magnético de magnitud uniforme y el resorte que proporciona el momento de torsión de recupc1'lIción, opuesto al momento de torsión del campo magnético. (h) Bobina articulada alrededor de un núcleo de hierro dulce. Se han quitado los soportes. te en la bobina es Ir. = 1.00 mA. La diferencia de potencial que corresponde a la desviación de escala completa es V ~ I"R, ~ (l.OO X 10-' A)(20.0 n) ~ 0.0200 V Amperimetro l El nombre que se da habitualmente a un instrumento que mide corriente es el de amperímetro (o miliamperimetro, microamperímetro, y así sucesivamente, según su esc~la). Un amperímetro siempre mide la cor:-ieme que pas~ a ')Ovés ~e él. Un ampenmetro ideal, como se coment6 en la seccl6n 25.4, tendria una reststen· cia de cero, por lo que su inclusión en un ramal de un circuito no influye en la corriente de ese ramal. Los amperimetros reales siempre lienen cierta resistencia finita, pero en todos los casos es deseable que el amperímetro tenga tan poca resistencia como sea posible. Cualquier medidor se puede adaptar para medir corrientes mayores que su lectura de escala complelh conectando un resistor en paralelo con él (Fig. 26.15a), a fin de que parte de la corriente se desvíe de la bobina del medidor. El resistor en paralelo recibe el nombre de resistor de derivación o simplemente derivación. y se denota como R"". --+ I v. --+ emenlo do circuito I l') v" --+ I (b) 26.15 (a) Conexiones internas de un amperímetro de bobina móvil. (h) Conexiones internas de un voltímetro de bobina móvil. :. 994 e A P f T U LO 26 I Circuitos de corriente continua Suponga que se desea convertir un medidor con corriente de escala completa Ir. y resistencia de bobina Re en un amperímetro con lecrura de escala completa lo' Para determinar la resistencia de derivación Rsh que se necesita, dése cuenta que, con desviación de escala completa, la corriente total a través de la combinación en paralelo es la. la corriente a traves de la bobina del medidor es lfu y la corriente a través de la derivación es la diferencia l. -lec' La diferencia de potencial V<lb es la misma en ambos caminos; por tanto, (26.7) (en un amperimetro) Ejemplo 26.8 Diseño de un amperímetro ¿Qué resistencia de derivación se necesita para convertir el medidor de 1.00 mA Y20.0 n antes descrito en un amperímetro con una escala de OA a 50.0 mA? l 1 1 ~ R~ R.. I 20.0 n I 0.408 -=-+-:--+--- l'lll!!ImllI IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Se busca que el ampcrimetro sea capaz de manejar W\3 corriente máxima l. = 50.0 mA = 50.0 X urJ A. La resistencia de la bobina es Re = 20.0 n y el medidor mucstn! la desviación de escala completa cuando la corriente a troVes de la bobina es 1,.= 1.00 X l¡r! A. La variable que se busca es la resistencia de derivación ~ la cual se halla mediante la ecuación (26.7). EJECUTAR: Despejando R"" de la ecuación (26.7) se obtiene R~ EVALUAR: Resulta útil considerar la resistencia equivalente ~ del amperimetro en conjunto. De acuerdo con la ecuación (26.2), (l.OO X 10- 3 A)( 20.0 n) = l. _ 1,. = 50.0 X 10- 3 A-l.OO X 10 lA I,.R. n ... : 0.4000 La resistencia de derivación es tan pequeña en comparación oon la resistencia del medidor, que la resistencia equivalente es casi igual a la resistencia de derivación. El resultado es un instrumento de baja resistencia oon la escala deseada de Oa 50.0 mA. Con desviación de escala completa, 1 = l. = 50.0 mA, la corriente a través del galvanómetro es de 1.00 mA, la corriente a tJ'8vés del resistor de derivación es de 49.0 mA Y V06 = 0.0200 V. Si la corriente es menor que 50.0 mA, la corriente de bobina y la desviación son proporcionalmente más pequeñas, pero la resistencia Req sigue siendo de 0.400 n. = 0.4080 Voltímetros Act¡"v Physcs 12.4 Cómo utilizar amperfmetros y voltlmetros Este mismo medidor básico sirve también para medir diferencia de potencial o vollaje. Un dispositivo que mide voltaje recibe el nombre de voltímetro (o mílivoltímetro, y así sucesivamente, según la escala). Un voltímetro s:empre mide la diferencia dc potencial entre dos puntos, y sus bornes deben estar conectados a esos puntos. (El ejemplo 25.7 de la sección 25.4 describe lo que puede ocurrir si se conecta un voltímetro incorrectamente). Como comenlamos en la sección 25.4, un voltímetro ideal tendría una resistencia infinita, por lo que al conectarlo entre dos puntos de un circuito no alteraria ninguna de las corrientes. Los voltímetros reaJes siempre tienen una resistencia fmita, pero ésta debe ser 10 suficientemente grande para que al conectar el voltimetro a un circuito no altere las otras corrientes en grado apreciable. Con respecto al medidor descrito en el ejemplo 26.8, el voltaje entre los bornes de la bobina del medidor con desviación de escala completa es de sólo lr/?= (1.00 X 10-3 A)(20.0 fi) = 0.0200 V Esta escala se puede ampliar conectando un resistor ~ en serie con la bobina (Fig. 26.15b). En estas condiciones sólo una fracción de la diferencia de potencial total aparece entre los bornes de la bobina misma, y el resto aparece entre los exttemos de R,. En el caso de un voltimetro con lectura de escala completa Vv, se necesita un resistor en serie ~ e-n la figura 26.15b tal qu< (en un voltímetro) (26.8) 995 26.3 1 Instrumentos de medición el&:trica Ejemplo Diseño de un voltímetro 26.9 ¿Cómo se puede convenir un galvanómetro con Rc = 20.0 O e 1ft=1.00 mA en un voltímetro con una escala máxima de 10.0 V? llE!!Iil!JlI IDENTIFICAR Y PLANTEAR: El voltaje máximo permisible entre los bornes del voltimetro es Vv =- 10.0 V. Se desea que esto ocurra cuando la corriente a través de la bobina (de resistencia Ro=- 20.0 O) sea 1,.= 1.00 X IO-J A. La variable que se busca es la resistencia en serie Ro> la cual se bal1a a partir de la ecuación (26.8). EJECUTAR: De acuerdo con la ecuación (26.8), V, R =---R • Ir. o 10.0 V - 20.0 n = 99800 0.00100 A EVALUAR: Con desviación de escala completa, V... = 10.0 V; el voltaje entre los borncs del medidor es de 0.0200 V; el voltaje entre los cxtremos de R. es de 9.98 V, Y la corriente a través del voltímetro es de 0.00100 A. En este caso, la mayor parte del voltaje aparece entre los extremos del rcsistor en serie. La rcsistencia equivalente del me· didor es R<q = 20.0 n + 9980 n =- 10 000 f.l:. Un medidor como éste se describe como un "medidor de 1000 ohm por voh", en refe· rencia a la proporción de la resislertcia respecto a la desviación de escala completa. Durante el funcionamiento nonnalla corriente a través del elemento de circuito que se mide (1 en la Fig. 26.l5b) es mucho mayor que 0.00100A, y la resistencia entre los puntos a y b del circuilo es mucho menor que 10000 f.l:. Por consiguiente, el voltímetro torna sólo una pequeña fracción de la corriente y altera muy poco el circuito que se mide. R, , Amperímetros y voltímetros en combinación b ~ Se pueden utilizar un amperímetro y un voltímetro juntos para medir resistencia y potencia. La resistencia R de un resistor es igual a la diferencia de potencial V<lb entre sus bornes dividida entre la corriente 1; es decir, R = V«JI. La potencia de alimentación P a cada elemento de circuito es el producto de la diferencia de patencial entre sus bornes por la corriente que pasa a través de él: P = V..,J. En principio, la manera más directa de medir R o P es medir V.. e I simultáneamente. Con los amperimetros y voltímetros practicas esto no resulta tan simple como parece. En la figura 26.16a, el amperimetro A lee la corriente I en el resistor R. No obstante, el voltímetro V lee la suma de la diferencia de potencial V<Jo entre los extremos del resistor y la diferencia de potencial Vbe entre los bornes del amperimetro. Si se transfiere el borne del voltímetro de e a b, como en la figura 26.l6b, entonces el voltímetro lee correctamente la diferencia de potencial Vah , pero ahora el amperímetro lee la suma de la corriente I en el resistor y la corríente Iv en el voltímetro. De una u otra manera, es necesario corregir la lectura de un instru· mento o del otro a menos que las correcciones sean lo suficientemente pequeñas para ser insignificantes. R A , I v R, (.) " R b A , 7 (b) 26.16 Mélodo de amperimerro-voltimetro para medir la resistem;ia. Ejemplo 2610 Medición de resistencia I Supóngase que se desea medír una resistencia desconocida R mediante el circuito de la figura 26.100. Las resistencias de los medi· dores son Rv = 10000 f.l: (en el voltímetro) y RA = 2.00 n (cn el amperímetro). Si el voltímetro indica 12.0 V, Yel amperímetro, 0.100 A, ¿cuáles son la resistencia R y la potencia que se disipa en el resiSlor? llE!!Iil!JlI IDENTIFICAR Y PLANTEAR: El amperímetro lee la corriente I = 0.100 A a través del resistor y el voltímetro lee la diferencia de potencia! entre a y c. Si el amperimetro fuera ideal (esto es, si RA = O), habría una diferencia de potencial de cero entre b y c, la lectura del voltimetro V = 12.0 V seria igual a la diferencia de potencial V.. entre los extremos del resisto!. Y la resistencia seria simplemente igual a R = V:¡ = (12.0V)l(O.IOOA) = l20n. Sin embargo, el amperímetro no es ideal (su resístencia es RA = 2.00 n); por tanto, la lectura V del voltimetro es en realidad la suma de las diferencias de potencial V... (entre los bornes del amperímetro) y Voh (entre los extremos del resistor). Relacionaremos estos valores con la corriente conocida mediante la lcy de Ohm, y resolveremos para VoJb Yla resistencia R. Una vez conocidos eSlOS valores, podremos calcular la pOtencia P que se alimenta al resistor. 996 e A P í T U LO 26 I Circuitos de corriente continua EJECUTAR: De acuerdo con la ley de Ohm, VI><; = IR" = (0.100 A)(2.00 O) = 0.200 Vy Vab = IR. La suma de éstos es V= 12.0 Y; por tanto, la diferencia de potencial entre los extremos del resistor es V..., = V - Vbe = (J 2.0 V) - (0.200 V) = J 1.8 V. Así pues, la resistencia es Vab [I,SV R~-~--= 1 O.IOO A Ejemplo 26.11 La potencia que se disipa en este resistor es P = Vobi = (11.8 V) (0.100 Al L18W EVALUAR: Se puede confirmar este resultado de la potencia aplicando la fórmula P = ¡lR. ¿Obtiene usted la misma respuesta? 1180 Medición de resistencia 11 Suponga que los medidores del ejemplo 26.\ O se conectan a un resistor diferente, en el circuito de la figura 26.16b, y que las lecturas que se obtienen en los medidores son las mismas que en el ejemplo 26.10. ¿Cuál es el valor dc csta nucva resistcncia R, y cuál cs la potencia que se disipa en el resistor? lIli'l!.!DlI EJECUTAR: Se tiene Iv = VIR v = (12.0 \1)/(10 000 O) = 1.20 mA. La corriente real I en el resistor es I = lA -Iv = 0.100 A - 0.00 12 A = 0.0988 A, Yla resistencia es R ~ _Vo_o ~ ;C;;;J2;;:,O",V.,[ 0.0988 A 1210 La potencia que se disipa en el resistor es IDENTIFICAR Y PLANTEAR: En el ejemplo anterior, el amperime- Ira leía la corriente real a través del resistor, pero la lectura del voltímctro no era igual a la difcrencia de potcncial cntre los clltrcmos del rcsistor. Ahora se ha invertido la situación: la lectura del voltímetro V = 12.0 V mucstra la difcrencia de potencial real Val> entre los extremos del resistor, pero la lectura del amperímetro = 0.100 A no es igual a la corriente I a través del resistor. La aplicación de la regla de las uniones a b de la figura 26.16b muestra que lA = I + Iv, donde Iv es la corriente a través del voltímetro. Se obliene Iv a partir de los valores conocidos de Vy la resistencia Rv del voltímetro, y se utiliza este valor para hallar la corriente del resistor l. Después se detennina la resistencia R a panir de I y la lectura del voltímetro, y se calcula la potencia como en el ejemplo 26.10. 'A p= V,,¡,I= (12.0 V)(O.0988 A) 1.l9W EVALUAR: Nuestros resultados de R y P no dificren exccsivamen~ te de los resultados del ejemplo 26.10, donde los medidores están conectados de otra manera. Esto es porque el amperímetro y el voltímetro son casi ideales: en comparación con la resistencia R en cxperimentación, la resistencia RA del amperimetro es muy pequeña y la rcsistencia Rv del voltimetro es muy grande. No obstante, los resultados de los dos ejemplos son diferentes, 10 cual demuestra que es necesario tener en cuenta cómo se utilizan los amperimetros y vol!ímetros al interpretar sus lecturas. Ohmiómetros R 26.17 Círeuito de ohmiómetro. El resistor Ro tiene resistencia variab-le, como lo indica la flel;ha qne atraviesa el símbolo de resistor. Para utilizar el ohmiórnelrO, primero se conecta.le directamente a y y se ajusta R, asa que la recruca del medidor es de cero. J:JapJes se conectan x y y a los extremos .Id;c:sistor R Yse lee la escala. Otro método para medir resistencia consiste en emplear un medidor de d'Arsonval en una configuración conocida como ohmiÓmetro. Consta de un medidor, un resistor y una fuente (suele ser una bateria de linterna) conectados en serie (Fig. 26.17). La resistencia R que se va a medir se conecta entre los bornes x y y. La resistencia en serieR, es variable; se ajusta de modo que, cuando los bornes x y y estén en cortocircuito (es decir, cuando R = O), el medidor muestre una desviación de escala completa. Cuando nada está conectado a los bornes x y y, de modo que el circuito entre x y y está abierto (es decir, cuando R ---+ 00), no hay corriente ni desviación. Con cualquier valor illlermedio de R la desviación del medidor depende del valor de R, y se puede calibrar la escala para leer directamente la resistencia R. Una corriente mayor corresponde a una resistencia más pequeña; por tanto, esta escala se lee hacia atrás en comparación con la escala que muestra la corriente. Todos hemos visto probablemente medidores de varias escalas, o "multímetros", que emplean galvanómetros de d'Arsonva1. Un dispositivo de este tipo utiliza un medidor de bobina móvil de escala única; se obtienen diversas escalas conmutando diferentes resistencias en paralelo y en serie con la bobina del medidor. Mediante el uso de resistencias apropiadas, un multímetro sirve como voltímetro o como amperimetro. Los multímetros también incluyen una batería, la cual, colocada en serie con la bobina, consigue que el medidor funcione como ohmiómetro. 997 26.4 I Circuilos R-e En situaciones que exigen gran pra:isión, los instrumentos que contienen medidores de d'Arsonval han sido sustituidos por instrumentos electrúnicos de lectura digital directa. Estos son más precisos, estables y mecánicamente resistentes que los medidorcs de d'Arsonval. Se pueden construir voltímetros digitales con una resistencia interna extremadamente grandc, del orden de 100 MO. E, • !I " El potenciómetro El potenciómetro es un instrumento con el que se puede medir la fem de una fuente sin que tome corriente alguna de ella; además, tiene otras aplicaciones útiles. En esencia, el potcnciómetro compensa una diferencia de potencial desconocida contra una diferencia de potencial mensurable y ajustable. En la figura 26.18 se muestra esquematicameme el principio del potenciómetro. Un alambre de resistencia ab con resistencia total R. está conectado permanentemente a los bornes de una fuente dc fem conocida El' Un contaclO corredizo e esta conectado a través del galvanómetro G a una segunda fuente cuya fem t; se va a medir. Conforme el contacto e se desliza a lo largo del alambre de resistencia, la resistencia Rcb entre los puntos e y b varia; si el alambre de resistencia es uniforme, Rcb es proporcional a la longitud del alambre emre e y b. Para medir el valor de &2' se desliza el contacto e hasta que se halla un punto en el que el galvanómetro no muestra desviación; esto corresponde a una corriente nula a través de E2• Con /2 = 0, la regla de Kirchhoff de las espiras da li <--¡- -4 , 12 = b o (.) (b) 26.18 (a) Circuito de potenciómetro. Simbolo de circuito de un potenciómetro (resistor variable). (b) &2 = /Rrb Con /2 = 0, la corriente 1 que produce la fem [. tiene el mismo valor cualquiera que sea el valor de la fem &2' Se calibra el dispositivo sustituyendo &2 por una fueme de Cem conocida; en estas condiciones se puede hallar cualquier fem &2 desconocida midiendo la longitud del alambre eb con la cual/2 = (véase el ejercicio 26.31). Dése cuenta que, para que esto funcione, V. debe ser mayor que t;. El término potenciómetro se aplica además a cualquier resistor variable, que por lo regular tiene un elememo de resistencia circular y un contacto corredizo comrolado mediante un eje giratorio y una perilla. El simbolo de circuito de un potenciómetro se muestra en la figura 26.18b. ° Se desea medir la corriente a través del resistor de 2 n de la figura 26.12 (cjcmplo 26.6 de la sección 26.2), asi como la diferencia de potencial entre sus extre· mos. ¿Cómo conectaría un amperímetro y un voltimetro para hacer esto? ¿Qué resistencias deben tener estos medidores? 26.4 I Circuitos R-e En los circuitos que hemos analizado hasta aqui, hemos supuesto que todas las fem y resistencias son constantes (independientes del tiempo), por lo que todos los potenciales, corrientes y potencias también son independientes del tiempo. Pero en el simple acto de cargar o descargar un capacitor nos topamos con una situación en la que las corrientes, voltajes y potencias cambian con el tiempo. Muchos dispositivos importantes incluyen circuitos en los que se carga y descarta alternativamente un capacitar. Entre ellos se cuentan los marcapasos cardiacos (Fig. 26.19), los semáforos intennitentes, las señales direccionales de los automóviles y las unidades de destello eleclTÓnico (Fig. 24.9). Por consiguiente, es de gran imponancia práctica comprender 10 que ocurre en los circuitos de este tipo. 26.19 Esta imagen coloreada de rayos X muestra un marcapaso implantado quirur. gieamente en un paciente con mal funcionamiento de un nódulo auriculoventricular, la parte del corazón que genera la señal cléctrica que ponc en marcha los latidos. Para compensar, un marcapaso (situado cerca de la clavícula) envía una señal eléctrica pulsante a lo largo dcl conductor hasta el corazón para mantener un latido regular. 998 CAPiT InternlplOr i abieno +~ q=O i=Q I b R e , (a) Capacitor inicialmente sin carga Interruptor cerrado + +q -q r R b 1 e (b) Carga del capacitor 26.20 Carga de un capacitor. (a) Inmediatamente antes de cerrar el interruptor, la carga q es cero. (b) Cuando se cierra el interruptor (en t = O), la corriente salta de cero a E/R. Conforme pasa el tiempo, q tiende a Qr, y la corriente i tiende a cero. ULO 26 I Circuitos de corriente continua Carga de un capacitor La figura 26.20 muestra un circuito simple para cargar un capacitor. Un circuito como éste, con un resistor y un capacitor en serie, se denomina circuito R-C. Se idealiza la batería (o fuente de energía eléctrica) de modo que tenga fem [; constante y resistencia interna nula (r = O), Yno se tiene en cuenUl la resistencia de todos los conductores de conexión. Inicialmente, el capacitor está descargado (Fig. 26.20a); después, en cierto tiempo inicial t = Ose cierra el interruptor para completar el circuito y permitir que la corriente alrededor de la espira comience a cargar el capacitor (Fig. 26.20b). Para toda consideración práctica, la corriente comienza en el mismo instante en todas las partes conductoras del circuito, y en cada instante la corriente es la misma en todas las partes. IlIDl!lll!l!l Hasta este punto hemos trabajado con diferencias de potencial (voltajes), corrientes y cargas constantes, y hemos utilizado las letras mayúsculas V.!y Q, respectivamente, para denotar estas magnitudes. A fin de distinguir entre las magnitudes que varían con el tiempo y las que son constantes, utilizaremos las letras minúsculas v, i y q, respectivamente, para representar los voltajes, corrientes y cargas que varían con el tiempo. Le sugerimos atenerse a esta misma convención en su propio trabajo. Ya que inicialmente el capacitor de la figura 26.20 está descargado, la diferencia de potencial ubcentre los extremos es cero en t = O. En ese momento, de acuerdo con la regla de las espiras de Kirchhoff, el volUlje V.b entre los extremos del resistor Res igual a la fem & de la batería. La corríente inicial (t = O) a través del resistor, a la que llamaremos lo, está dada por la ley de Ohm: lo = va¡jR = E/R. A medida que el capacitor se carga, su voltaje Vbc aumenta y la diferencia de potencial Vah entre los extremos del resistor disminuye, lo que corresponde a una reducción de la corríente. La suma de estos dos voltajes es constante e igual a E. Al cabo de un largo tiempo el capacitar se carga totalmente, la corriente disminuye a cero y la diferencia de potencial val> entre los extremos del resistor se hace cero. En ese momento aparece la totalidad de la fem & de la batería entre los bornes del capacitar, y Vbc = E. Sea q la carga del capacitar e i la corriente en el circuito al cabo de cierto tiempo I después de cerrar el interruptor. Asignamos el sentido positivo a la corriente en correspondencia al flujo de carga positiva hacia la placa izquierda del capacitor, como en la figura 26.20b. Las diferencias de potencial instantáneas Vah Y ViJe son q Val> = iR Ubc = - e Utilizando éstas en la regla de Kirchhoff de las espiras, se obtiene E-iR-!i=O e (26.9) El potencial cae una cantidad iR al pasar de a a b y q/C al pasar de b a c. Resolviendo para i de la ecuación (26.9) se tiene Act'¡V Physcs 12.6 Capacitancia . E q R Re ,~--- (26.10) En el tiempo t = O, cuando se cierra inicialmente el interruptor, el capacitar está descargado y, por tanto, q = o. Sustituyendo q = Oen la ecuación (26.10) resulta que la corriente inicia! 10 está dada por 10 = EIR, como ya lo habiamos señalado. 999 26.4 I Circuitos R-e Si el capacitar no estuviera en el circuito, el último término de la ecuación (26.10) estaría ausente; entonces la corriente sería constante e igual a E/R. Confonne la carga q aumenta, elténnino q/RC crece y la carga del capacitor Carga de un capacitor: corriente en Función del tiempo tiende a su valor final, al que llamaremos Qf. La corriente disminuye y termina por desaparecer. Cuando i = O, la ecuación (26. IO) da E R ~ Q, Qf= CE RC (26.11) Dése cuenta que la carga final Qfno depende de R. En la figura 26.21 se muestran la corriente y la carga del capacitar en función del tiempo. En el instante en el que se cierra el interruptor (t = O), la corriente salta de cero a su valor inicial lo = E/R; a partir de ese punto, se aproxima gradualmente a cero. La carga del capacitar comienza en cero y poco a poco se aproxima al valor final dado por la ecuación (26.11): Qf = CE. Se pueden deducir expresiones generales de la carga q y la corriente i en función del tiempo. Por haber asignado el sentido positivo a la corriente (Fig. 26.20b), i equivale a la rapidez con la que llega carga positiva a la placa izquierda (positiva) del capacitor; por tanto, i = dq/dt. Haciendo esta sustitución en la ecuación (26.10) se obtiene E dq q 1 R dI RC q Qf Carga de un capacitor: carga en función del tiempo --~t---~~-------- Qfle ___ 'L_ o --(q - CE) RC -~- (ol Re (b) Esto se puede reordenar a dq q dI RC CE para luego integrar ambos lados. Se cambian las variables de integración a q' y l' para poder fijar q y tcomo limites superiores. Los limites inferiores son q' = OYt' = O: i q ,dq' oq-CE = -it~ oRC Después de integrar se obtiene ln(q -C~E) = RC Exponenciando ambos lados (es decir, tomando el logaritmo inverso) y resolviendo para q se encuentra que q - CE = e-,IRe ce q = CE(1 ~ e-tlRC) = Qf(1 ~ e-tIRC) (26.12) (circuito R-C, capacitar en carga) La corriente instantánea i es simplemente la derivada de la ecuación (26.12) con respecto al tiempo: i = dq = !:..e ~,'RC = loe -tiRe dI R (circuito R-C, capacitor en carga) (26.13) Tanto la carga como la corriente son funciones exponenciales del tiempo. La figura 26.21a es una gráfica de la ecuación (26.13), y la figura 26.2Ib, de la ecuación (26.12). 26.21 La corriente i y la carga q del capacitar en función del tiempo en el circuito de la figura 26.20. La corriente inicial es lo y la carga inicial del capacitor es cero. La corriente tiende asinlóticamente a cero y la carga del capacitor tiende asintóticamente a un valor final Qf. , 1000 e A P í TUL o 26 I Circuitos de corriente continua Constante de tiempo Aet¡"v Physcs i t 12,7 Capacitares en serie y en paralelo I 12.8 Constantes de tiempo de circuitos • Al cabo de un tiempo igual a Re, la corriente en el circuito R-C ha disminuido a l/e (alrededor aproximadamente de 0.368) de su valor iniciaL En este momento, la carga del capacitor ha alcanzado una fracción (l - l/e) = 0.632 de su valor final Qf = CE. El producto RC es, en consecuencia, una medida de la rapidez de carga del capacitor. Llamaremos a Re la constante de tiempo, o tiempo de relajación, del circuito, y la representaremos como r: T = RC (constante de tiempo del circuito R-C) (26.14) Cuando Tes pequeña, el capacitor se carga rápidamente; cuando es más grande, el proceso de carga toma más tiempo. Si la resistencia es pequeña, la corriente fluye con más facilidad y el capacitor se carga más pronto. Si R está en ohm y C en farad, T está en segundos. En la figura 26.2la el eje horizontal es una asíntota de la curva. En términos estrictos, i nunca llega a ser exactamente cero. Sin embargo, cuanto más tiempo transcurre, más se acerca a ese valor. Al cabo de un tiempo igual a 10 Re. la corriente ha disminuido a 0.000045 de su valor inicial. De manera análoga, la curva de la figura 26.21b se aproxinia a la línea discontinua horizontal marcada como Qf como una asíntota. La carga q nunca alcanza exactamente cste valor, pero al cabo de un tiempo igual a 10RCla diferencia entre q y Qrcs de sólo 0.000045 de Qr. Le invitamos a comprobar que las unidades del producto RC son de tiempo. lmurupror abierto +(10 -Qo i=O II b R (a) Capacitor inicialmente cargado Interrupror cerrado Descarga de un capacitor Supóngase ahora que, cuando el capacitor de la figura 26.20b ya ha adquirido una carga Qo, quitamos la bateria del circuito R-C y conectamos los pWltos a y e a un interruptor abierto (Fig. 26.22a). En seguida cerramos el interruptor y en el mismo instante reajustamos nuestro cronómetro a t = O; en ese momento, q = Qo. Por 10 que el capacitor se descarga a través del resistor, y su carga disminuye finalmente a cero. Sean una vez más i y q la corriente y la carga que varian con el tiempo, en cierto instante después de efectuar la conexión. En la figura 26.22b se asigna el mismo sentido positivo a la corriente, como en la figura 26.20b. En estas condiciones la regla de Kirchhoff de las espiras da la ecuación (26.10), aunque con E = O; es decir, . dq q dt RC (26.15) 1=-=-- +q -q ----4 , R I b e , (b) Descarga del capacitor 26.22 Descarga de un capacitar. (a) Antes de cerrar el interruptor en el tiempo t = 0, la carga del capacitor es Qo y la corriente es cero. (b) En el tiempo I después de cerrar el interruptor, la carga del capacitor es q y la corriente es i. El sentido de la corriente real es opueslO al que se muestra; i es negativa. Al cabo de un lÍempo largo, tamo q como i tienden a cero. Ahora la corriente i es negativa; esto se debe a que sale carga positiva q de la placa izquierda del capacitor de la figura 26.22b, de modo que la corriente tiene el sentido opuesto al que se muestra en la figura. En el tiempo t = O, cuando q = Qo, la corriente inicial es Jo = -QrlRC. Para hallar q en función del tiempo, debemos reordenar la ecuación (26.15), cambiar de nuevo los nombres de las variables a q' y t', e integrar. Esta vez los limites de q' son de Qo a q. Se obtiene s, dq'- -1 - 00 q' Re i' , dr o q r ln-= - Qo RC q = Qoe -IIRe (circuito R-C, capacitor en descarga) (26.16) 1001 26.4 I Circuitos R-C La corriente instantánea i es la derivada de esto con respecto al tiempo: i = dq = _ Qo e-dRC = loe-úRC dt Re (circuito R·C. capacitar en descarga) , RC o (26.17) JoI~ ------- /,12 Descarga de En la figura 26.23 se han graficado la corriente y la carga; ambas magnitudes tienden exponencialmente a cero con el tiempo. Si comparamos estos resultados con las ecuaciones (26.12) y (26.13), advertiremos que, aparte del signo de lfh las expresiones de la corriente son idénticas. La carga del capacitor tiende de manera asintótica a cero en la ecuación (26.16), en tanto que, en la ecuación (26.12), la diferencia entre q y Q tiende asintóticamente a cero. Las consideraciones energéticas nos ofrecen una visión más clara del comportamiento de un circuito R-C. Cuando se está cargando el capacitar, la rapidez instantánea a la que la batería entrega energía al circuito es P = &i. La rapidez instantánea a la que se disipa energía en el resistor es IR, y la rapidez a la que se almacena energia en el capacitar es iU/J<: = iq/C. Multiplicando la ecuación (26.9) por i se obtiene 2 Ei = i R I + iq/C 26.12 lo (o) q Desca!ga de un c:apacilOl': carp en función del tiempo o RC (b) (26.18) Esto significa que, de la potencia suministrada ti por la batería, una parte (i2 R) se disipa en el rcsistor, y otra (iq/C) se almacena en el capacitor. La energía total suministrada por la batería durante la carga del capacitor es igual al producto de la fem E de la batería por la carga total Qr, o EQf. La energía total almacenada en el capacitar, según la ecuación (24.9), es Q,E!2. De este modo, de la energía swninistrada por la batería, exactamente la mitad se almacena en el capacitor, y la otra mitad se disipa en la resistencia. Resulta un poco sorprendente que esta división de la energía por mitades no dependa de C. R ní E. Este resultado también se puede verificar ponnenorizadamente tomando la integral con respecto alliempo de cada una de las cantidades de polencía de la ecuación (26.18). Le dejamos esle calculo como diversión (véase el problema 26.87). Elemplo un capacitor: corriente Cll función del tiem 26.23 La corriente i y la carga q dcl capacitor en función dcl tiempo en el circuito de la figura 26.22. La corriente inicial es lo y la carga inicial del capacitor es Qll; tanto ¡como q tienden asintóticamenle a cero. Carga de un capacitor Un resistor cuya resistencia es de 10 Mn se conecta en serie con un capacitor cuya capacitancia es de 1.0 ¡.loF Y una batería con una (em de 12.0 V, como en la figura 26.20. Antes que se cierre el inlerruplor en elliempo I = O, el capacitar eslá descargado. a) ¿Cuál es la constante de tiempo? b) ¿Qué fracción de la carga final está en las placas en el tiempo t = 46 s1 c) ¿Qué fracción de la corriente inicial queda en t = 46 s? lE!.!I3mlI b) La fracción dc la carga final del capacitor es q/Qf. Según lu ecuación (26. l2), :L. = I _ e-rJRe = l _ e-(46,)I{10,) = 0.99 Q, El capacitar está cargado al 99% después de un tiempo igual a 4.6 RC, o 4.6 constantes de tiempo. c) De acuerdo con la ecuación (26.13), i - = e-~.6 = 0.010 IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Con respecto a un capacitor que se está cargando, la carga está dada por la ecuación (26.12), y la corriente, por la ecuación (26.13). La ecuación (26.14) proporciona la constante de tiempo. Al cabo de 4.6 constantes de tiempo la corriente ha disminuido al 1.0"/0 de su valor inicial. EJECUTAR: a) De acuerdo con la ecuación (26.14), la constante de tiempo es 1 = Re = (10 x Icfin)(I.O x 1O-6 F) = lOs EVALUAR: La constante de tiempo es relativamente grande porque la resistencia es muy grande. El circuito cargar.i con más rapidez si se utiliza una resistencia más pequeña. 1, 1002 CA pfTULO 26 I Circuitos de comente continua Ejemplo Descarga de un capacitar 2613 El resistor y el capacitor que se describen en el ejemplo 26.12 se conectan ahora como se muestra en la figura 26.22. Al capacitor se le proporciona originalmente una carga de S.O ¡Le, en seguida se descarga cerrando el interruplor en t = Q. a) ¿Al cabo de cuanto tiempo será la carga igual a 0.50 ¡.¡.C! b) ¿Cuál será la corriente en ese momento? l'Iil!!mmI IDENTIFICAR Y PLANTEAR: En este caso el capacitar se está descargando; por tanto, la carga está dada por la ecuación (26.16), y la corriente, por la ecuación (26.17). EJECUTAR: a} Resolviendo para 1 de la ecuación (26.16) se obtiene Esto equivale a 2.3 veces la constante de tiempo 7' = Re = lOs. b) De acuerdo con la ecuación (26.17), con Qo = 5.0 p'e = 5.0 X JO-6 e, Qo i = _ _ e-rlM: = - Re 5.0 x 10-' e e-u = -5.0 x lO-a A lOs Cuando se descarga el capacitar, la corriente tiene el signo opuesto que cuando se carga. EVALUAR: Nos podríamos haber ahorrado el esfuerzo de calcular e-;l.'« advirtiendo que, en el tiempo en cuestión, q = 0.10 Qo; de acuerdo oon la ecuación (26.16) esto significa que e-l.'K: = 0.10. t = -RCln.!L Q, = -(IOX ¡<J'in)(1.0x 1O-'F)In 0.50 ¡Le 5.0j.lC =235 tille. La energía almacenada en un capacitor es igual a Cuando se_descarga un capacitor, ¿qué fracción de la energía inicial pennanece cuando ha transcurrido un lapso equivalente a una constante de tíempo? ¿Depende la respuesta de cuánta energía había almacenada inicialmente? 26.S I Sistemas de distribución de energía Concluiremos este capitulo con un breve análisis de los sistemas prácticos de distribución de energía eléctrica en hogares y automóviles. Los automóviles utilizan sistemas de corriente continua (cc), en tanto que casi todos los sistemas domésticos, comerciales e industriales emplean corriente alterna (ca) debido a la facilidad con la que se eleva y reduce el voltaje por medio de transformadores. En su mayor parte, se aplican los mismos conceptos básicos de cableado a ambos tipos. Hablaremos con más detenimiento acerca de los circuitos de corriente alterna en el capítulo 31. Las diversas lámparas, motores y otros aparatos que se van a utilizar siempre se conectan en paralelo a la fuente de energía eléctrica (los cables de la compañía de electricidad cuando se trata de casas, o de la batetia y el alternador en el caso de un automóvil). Si los aparatos se conectasen en serie, al apagar uno de ellos se apagatian todos los demás (véase el ejemplo 26.2 de la sección 26.1). En la figura 26.24 se muestra el concepto básico del cableado doméstico. Un lado de la "línea", como se le llama al par de conductores, se designa como el lado neutro; siempre está conectado a "tierra" en el tablero de servicio. En el caso de los hogares, la tierra es un electrodo real insertado en el suelo (que nonnalmente es un buen conductor) o, a veces, conectado a la tuberia de agua de la vivienda. Los electricistas hablan del lado con corriente y del lado "neutro" de la línea. Casi todos los sistemas modemos de cableado tienen dos líneas con corriente de polaridad opuesta respecto a la neutra. Regresaremos a este detalle más adelante. El voltaje doméstico es nominalmente de 120 V en América del Norte, y suele ser de 240 V en Europa. (En el caso de la corriente alterna, que varia sinusoidalmente con el tiempo, estas cifTas representan el voltaje medio cuadrático, o volta- 1003 26.5 I Sistemas de distribución de energía Fusible LiDCOl con r -<f'\..t---r--r--,.---r-------- corriente De la a)I1Ipai'iía de: electricidad Lfu<. Fl1.'lible principal r-"--"-"'--+-....-+-------O-----~~ Fusible í~~Ji--1@~JLi~~t_--I-I-,--,--__==__;:=_- Linea con cnnicn!c Tomas de ___r-__---<>---_--="omo'o'c"=-'-_'- ------....- - Unea neutra Medidor 26.24 Diagrama esquemático de parte del sistema de cablcado dc una casa. Sólo se muestran dos circuitos de ramal; un sistema real podría tcncr de cuatro a treinta circuitos del ramal. Se pueden conectar lámparas y aparatos en las tomas dc corriente. No se muestTan los alambres de conexión a tierra, quc normalmente no transportan corriente. je eficaz, que es 1IV2 del voltajc máximo. Analizaremos eslO más a fondo en la sección 31.1.) La cantidad de corriente {que toma un dispositivo en particular está detenninada por su potencia de alimentación P, dada por la ecuación (25.17): P = VI por tanto, {=P/V. Por ejemplo, la corriente en un foco de 100 W es P IOOW 1=- = - - = 0.83A V 120V La potencia de alimentación a este foco eslá determinada de hecho por su resistencia R. Con base en la ecuación (25.18), la cual establece que P = VI = 1 2R = V 2R en el caso de un resistor, la resistencia de este foco a la tempernlUnl de funcionamiento es V 120V V' (120V)' R=-=--=I44fi o R=-= =1440 I 0.83 A P IOOW De modo análogo, una waflera de 1500 W toma una corriente de (1500 W)/ (120V) = 12.5 A Y tiene una resistencia, a la temperatura de funcionamiento, de 9.6 n. Debido a que la resistividad depende de la temperarura, las resistcncias de estos aparatos son considerablemente menores cuando están frios. Si se mide la resistencia de un foco de 100 W con un ohmiómetro (cuya pequcña corriente eleva muy poco la temperatura), es probable que se obtenga un valor dc alrededor de 10 n. Cuando se enciende un foco, esta baja resistencia da lugar a una oleada inicial de corriente hasta que el filamento se calienta. Es por cStO que un foco que ya está cerca de fundirse casi siempre 10 hace en el momento de encenderlo. La corriente máxima disponible dc un circuito individual cstá limitada por la resistencia de los alambres. Como señalamos en la sección 25.5, la pérdida de potencia ¡lR en los alambres eleva la temperatura de éstos, y en casos extremos puede provocar un incendio o fundir los alambres. Para el cableado ordinario de iluminación y tomas de corriente de las casas se utiliza normalmente alambre de calibre 12, el cual tiene un diámetro dc 2.05 mm y puede transponar como máximo una corriente de 20 A sin peligro (sin sobrecalentarse). Se utiliza alambre más grueso, por ejemplo de calibre 8 (3.26 mm) o 6 (4.11), para aparatos que toman mucha corriente, como esrufas eléctricas y secadoras de ropa, y de calibre 2 (6.54 mm) o más grueso en las líneas eléctricas principales de entrada en una casa. los circuitos se protegen contra sobrecarga y sobrecalentamiento mediante fusibles o conacircuitos. Unfllsible contiene un enlace de aleación de plomo y estaño que funde a una temperatura muy baja; el enlace se funde y rompe el circuito 26.25 Juego de fusibles electricos. Un alambre fino de aleación de plomo y estaño se extiende a 10 largo de cada rusible, adentro del estuche transparente. • 1004 i 1 t CAPÍTULO 26 I Circuitos de corriente cOnlinua cuando se excede su comente nominal (Fig. 26.25). Un cortacircuitos es un disposilivo electromecánico que realiza la misma función mediante un electroiman o una lira bimclálica que "dispara" el ruptor e interrumpe el circuito cuando la corriente excede un valor especifico. Los cortacircuitos tienen la ventaja de que se pueden reconectar después de que se han disparado, mientras que un fusible fundido debe ser sustituido. De cualquier modo, algunas veces los fusibles son más fiables en operación que los cortacircuitos Si el sistema tiene fusibles y se conectan a una misma toma demasiados aparatos que toman mucha corriente, el fusible se quema. No se debe sustituir el fusible por uno de mayor capacidad, pues se corre el riesgo de sobrecalentar los alambres e iniciar un incendio. La única solución que no ofrece peligro es distribuir los aparatos entre varios circuitos. Las cocinas modernas suelen tener tres o cuatro circuitos individuales de 20 A. El contacto entre los lados con corriente y neutro de la línea provoca un conocircuito. Esta situación, que puede ser debida a un aislamiento defectuoso o a diversas fallas mecanicas, ofrece un camino de muy poca resistencia a la corriente y permite que fluya una corriente muy grande que rápidamente fundiria los alambres y haria arder su aislamiento si un fusible o conacircuitos no interrumpiese la corriente (véase el ejemplo 25.11 de la sección 25.5). Una situación igualmente peligrosa es un alambre roto que interrumpe el trayecto de la corriente y crea un circuito abierto. Esto es peligroso porque se producen chispas en el punto de contacto intermitente. En la práctica de cableado autorizada, se coloca un fusible o cortacircuitos só· lo en el lado con corriente de la línea, nunca en el lado neutro. De otro modo, si llegase a haber un conocircuito debido a un aislamiento defectuoso u otra falla, el fusible del lado de tierra podría quemarse. El lado con corriente todavía estaría vivo y representaría un peligro de choque electrico si se toca el conductor vivo y un objeto conectado a tierra, como un tubo de agua. Por razones analogas, el inte· rruptor de pared de un elemento de iluminación siempre esta en el lado cargado de la linea, nunca en el neutro. Un tercer conductor, llamado alambre de conexión a tierra, que se incluye en todo el cableado moderno, ofrece protección adicional contra el peligro de descargas electricas. Este conductor corresponde a la punta larga y redonda o con forma de U de la clavija de tres puntas de un aparato o de una herramienta eléctrica. Se conecta aliado neutro de la linea en el tablero de servicio. Normalmenle, el alam· bre de conexión a tierra no conduce corriente, sino que conecta a tierra la carcasa o el bastidor metalico del dispositivo. Si un conductor del lado con corriente de la línea entra en contacto accidentalmente con el bastidor o la carcasa, el conductor de conexión a lierra proporciona un camino para la corriente y entonces el fusible se quema. Sin el alambre de conexión a tierra, el bastidor quedaría "cargado", es decir, a un potencial de 120 V más alto respecto a la tierra. En estas condiciones, si una persona toca el bastidor y un tubo de agua (o incluso el piso húmedo de un sótano) al mismo tiempo, podría recibir una descarga peligrosa (Fig. 26.26). En ciertas situaciones, especialmente en tomas situadas al aire libre o cerca de un su· midero u otros tubos de agua, se utiliza un tipo especial de cortacircuitos conocido como internlptordeJalla de tierra (GFI o GfCl, por sus siglas en inglés). Este dispositivo percibe la diferencia de corriente entre los conductores con corriente y neutro (que normalmente es cero) y se dispara cuando esta diferencia excede cierto valor muy pequeño, típicamente de 5 mA. De hecho, casi todos los sistemas de cableado doméstico se basan en un pequeño refinamiento del sistema que hemos descrito. La compañía de electricidad su· ministra tres conductores (Fig. 26.27). Uno de ellos es neutro; los otros dos están a 120 V con respecto al neutro pero son de polaridad opuesta, 10 que da un volta· 1005 26.5 I Sistemas de distribuci6n de energía 26.26 (a) Si se conecta un taladro eléctrico que funciona mal a un enchufe de pared por medio de una clavija de dos puntas, la persona puede recibir una descarga eléctrica. (b) Cuando el taladro funciona mal hallándose conectado por medio de una c1avij3 de tres puntas, la persona que lo fOca no recibe una descarga, porque la carga eléctrica fluye por el alambre de conexión a tierra (verde) a la tercera punta y hacia lierra, en vez de entrar en el cuerpo de la persona. Si la corriente hacia tierra es apreciable, el fusible se quema. ¡ (a) Clavija de dos puntas (b) Clavija de tres puntas je de 240 V entre ellos. La compañia de electricidad llama a esto una línea de tres hilos, en contraste con la linea de 120 V de dos hilos (más uno de conexión a tierra) antes descrita. Con una linea de tres hilos, las lámparas y aparatos de 120 V se pueden coneclar entre el conductor neutro y cualesquiera de los cargados, y los dispositivos de aila potencia que requieren 240 V, como las estufas eléctricas y las secadoras de ropa, se conectan entre los dos alambres cargados. A fin de evitar erroreS de cableado, los sistemas domésticos emplean un código estandarizado de colores en el que el lado con corriente de una linea tiene aislamiento negro (negro y rojo para los dos lados de una linea de 240 V), el lado neutro tiene aislamiento blanco y el conductor de conexión a tierra esta desnudo o tiene aislamiento verde. Sin embargo, en los dispositivos y equipos electrónicos los lados de las lineas a tierra y neutro por lo general son negros, ¡cuidado! (Las ilustraciones no siguen este código estándar, sino que muestran en rojo la línea cargada y en azul la neutra). Todo lo que acabamos de exponer se aplica directamente al cableado de un automóvil. El voltaje es de aproximadamente 13 V (corriente continua); la potencia es suministrada por la bateria y el alternador, que carga la batería cuando el motor está funcionando. El lado neutro de cada circuito está conectado a la carroceria y al bastidor del vchiculo. Con este bajo voltaje no se requiere un conductor adicional de conexión a tierra como medida de seguridad. La disposición de los fusibles o cortacircuitos es la misma, en principio, que en el cableado doméstico. A causa del bajo voltaje (menos energía por carga), se requiere más corriente (mayor miLám¡MIa{t211 , - " " ." " V) 11 -:;:- Tom1prif11:ipaI Eorufo e BlII"""'O (2.lOV) (l:!(lV) Lo......jiIIas (l20V) (l1OV) 26.27 Diagrama de un sistem3 de cableado tipico de 120-240 V de una cocina. No se muestran los alambres de conexión a tierra. En cada línea, dIado con corriente se muestra en rojo, y la linea neutra se muestra en azul. (En d cableado doméstico real se utilizan otros colores). 1006 CAPíTULO 26 I Circuítosdeconienteconlinua mero de cargas por segundo) para obtener la misma potencia; un foco de faro de 100 W requiere una corriente de alrededor de (100 W)/(l3 V) = 8 A, Aunque hemos hablado de potencia en los párrafos precedentes, 10 que adquirimos de la compañía de electricidad es energía. Potencia es energía transferida por unidad de tiempo; en estos términos, energía es potencia promedio multiplicada por tiempo. La unidad habirual de la energía que vende la compañía de electricidad es el kilowatt-hora (1 kWh): 1 kWh = (10 3 W)(3600s) = 3.6 X 106 W's = 3.6 X lOóJ El costo tipico de un kilowatt-hora es de 2 a 10 centavos de dólar, según la localidad y la cantidad de energía consumida. El funcionamiento continuo de una waflera de 1500 W (1.5 kW) durante una hora requiere 1.5 kWh de energía; a 10 centavos porldlowatt-hora, el costo de la energía es de 15 centavos de dólar. El costo de tener encendida una lámpara o aparato durante un tiempo determinado se calcula de la misma manera si se conoce su potencia nominal. No obstante, muchos utensilios eléctricos de cocina (incluso las wafleras) se encienden y apagan cíclicamente para mantener una temperatura constante, de modo que la potencia promedio puede ser menor que la potencia nominal indicada en el dispositivo. _ Circuito de cocina Una tostadora de ISOO W, una sartén eléctrica de 1.3 kW y una lámpara de 100 W están conectadas a un mismo circuito dc 20 A Y 120 V. a) ¿Cuánta corriente toma cada dispositivo, y cuál es la resistencia de cada uno? b) ¿Hará esta combinación que se queme el fusible? + 'sartén + f lámpan = 15 A + 11 A + 0.S3 A = 27 A Esto excede la capacidad nominal de 20 A de la línea, y el fusible se quemará sin lugar a dudas. lE!!lil!llI EVALUAR: Tambié.n se podría hallar la corriente encontrando primero la resistencia equivalente de los tres dispositivos en paralelo: f = 1,,,,wJon IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Cuando están conectados al mismo circuito, los tres dispositivos están en paralelo. El voltaje entre los bornes de cada uno es V = 120 V La corriente I que cada dispositivo toma se halla mediante la relación P = VI, donde P es la potencia de alimentación del dispositivo. Para hallar la resistencia R de cada dispositivo se emplea la relación P = VI/R. EJECUTAR: a) Para simplificar el cáleulo de la corriente y la resistencia conviene advertir que I = P/Vy R = V 2/p. Por tanto, (120 V)2 ISOOW Ito>tll<loco = 120 V = 15 A R~= = IIA R~n = 1300W f'onI:n = 120 V 100W 11,,,,,,,,,,, = - - = 0.S3 A 120V ISOOW =SO (120V)2 -'-c-,-,---'- = 11 1300W n RI,,"p>rO. = ,(_12_0_V_l,--2 = 144 O lOOW Con voltaje constante el dispositivo con menos resistencia (en este caso la losladora) toma la mayor cantidad de corriente y recibe la potclKia más grande. ) la corriente total a través de la linea es la suma de las corrientes ~ bIJaD. los tres dispositivos: 1 1 1 I R<:<¡ R,,,,,,,,,,,,,, R''''én Rlómpan -~---+--+-- = 1 1 I 1SO + 11 0+ 1440 = 0.220- R<:<¡=4.5n De tal modo que la corriente total es I = V/R<:<¡ = (120 V)/(4.5 O) = 27 A, como antcs. Una tercera manera de hallar I es emplear J = P/V y simplemente dividir la potencia total entregada a los tres dispositivos entre el voltaje: I ~ P,,,,,.w.o + +P -=-=-=--== V p~" 1ómpua ISOOW + 1300W + lOOW 120V = 27 A Demandas de corricnte como ésta se presentan cotidianamente en las cocinas, y es por esto quc las cocinas modernas tienen más de un circuito de 20 A. En la práctica, la tostadora y la sartén eléctrica se deben conectar a circuitos diferentes; en estas condiciones la corriente en cada circuito estaría por debajo de la capacidad nominal de 20 A. Para evitar que se queme el fusible del ejemplo 26.14, un electricista sustituye el fusible por uno de 40 A. ¿Es razonable hacer esto? 1007 Resumen RESUMEN Cuando se coneclaD en serie varias resistencias R¡, R~, R], . .. ,la resistencia equivalente R"{ es la suma de las resistencias individualcs. La misma corrienle fluye a trnvés de todos los resistores en una conexión en serie. Cuando se coneclan varios resistores en paralelo, el reciproco de la resistencia equivalente R"{ es la suma de los reciprocas de las resistencias individuales. Todos los resistores de una conexión en paralelo tienen la misma diferencia de potencial entre sus bornes. (Véanse los ejemplos 26. I Y26.2). R"{ = R, + R2 + R] + ... (26.1) (resistores en serie) x , R, - R, b I 1 I I I 1 -=-+-+-+ ... R"{ R2 R] (resislores en paralelo) R1 (26.2) Rl,R2 yR,eoscrie R, - R, o b R, I LI ~ O (26.5) 1,-- -1, (regla de las uniones) LV~O ~11·1, 20 12V (26.6) '+~f (regla de las espiras) -'. • ~O En un galv3.nómerro de d'Arsonval, la desviación es proporcional a la corriente en la bobina. Para lener una escala de corriente mas amplia, sc agrega un resistor de derivación a fin de que pane de la corriente se desvie de la bobina del medidor. Un instrumemo de este tipo recibe el.... nombre de amperimerro. Si la bobina y loda resistencia adicional en serie obedecen la ley de Ohm, lambién se puede cnlibrar el medidor para leer diferencia de potencial o vahaje. Por lo tanto el instrumcnto se llama voltímetro. Un buen amperímetro tiene muy baja resistencia; un buen voltímetro tiene una resistencia muy grande. (Véanse los ejcmplos del 26.8 al 26.11). Qr( I - t-tlRe) 4V -7 q = CE( I - e-'IRe) = I R1• Rl YR, en paralelo La regla de Kirchholf de las uniones se basa en la conservación de la carga. Eslablcce que la swna algebraica de las corrientes en cualquier unión empalme debe ser cero. La regla de Kirchholf de las espiras se fundamenta en la conservación de la enCJgia y en la nanualeza conservativa de los campos cIectrOS!áticos. Establece que la suma algebraica de las diferencias de potencial en tomo a una espira cualquiera debe ser cero. La aplicación minuciosa de reglas de sigIlOS congruentes es indispensable para aplicar las reglas de Kirchhoff. (V6anse los ejemplos del 26.3 al 26.7). Cuando se carga un capacitar por medio de una batería en scrie con un resistor, la corriente y la carga del capacitar no son constantes. La carga ticnde asintóticamente a su valor final, y la corriente tiende asintóticamente a cero. La carga y la corricnte del circuito están dadas por las ecuaciones (26.12) y (26.13). Al cabo de un tiempo 'T = RC, la carga se ha aproximado a menos de lIe de su valor fmal. Este tiempo se llama constante de tiempo o tíempo de relajación del circuito. Cuando el capacitar se descarga, la carga y la corriente estin dadas en función del tiempo por las ecuaciones (26.16 y 26.17). La constante de tiempo es la misma en la carga y en la descarga.. (Véanse los ejemplos 26.12 y 26.13). - R, o 7 Carga de un capacitor: (26.12) 1, corriente en función del tiempo (capacitar en carga) dq E ¡=_=_t-I/Re d, 1of2 101' R = loe-l/Re (26.13) O (capacitar tn carga) q = Q(ll!' -IIIIC (26.16) (capacitar en descarga) i = dq = _.fke-otRe di Re = loe-tiRe (capacitar en descarga) (26.17) Re 1008 e A pí T u LO 26 I Circuitos de comente cofuinua En los sistemas de cableado doméstico, los diversos dispositivos eléctricos se co· nectan en paralelo entre los extremos de la línea de energía eléctrica, que consiste en un par de conductores, uno con corriente y el otro "neutro". Se incluye un alambre de conexión a "tierra" como medida de seguridad. La corriente máxima permisible en un circuito está determinada por el tamaño de los alambres y la temperarura máxima que toleran. Se proporciona protección contra una corriente excesiva y el consiguiente peligro de incendio mediante fusibles o cortacircuitos. (Véase el ejemplo 26.14). Términos clave amperímetro,993 circuito R-e, 998 constante de tiempo (tiempo de relajación),lOOO corriente alterna, 980 corriente continua, 980 Notas espira, 986 galvanómetro de d'Arsonval, 992 ohmiómetro, 996 paralelo, 981 regla de Kirchhoff de las espiras, 987 regla de Kirchhoff de las uniones, 986 resistencia equivalente, 981 resistor de derivación, 993 serie, 981 unión,986 voltímetro, 994 Preguntas para análisis Respuesta a la pregunta inicial del capítulo j • La difcrencia dc potcncial Ves la misma entre los extremos de los resislores concclados en parnlclo. Oc cualquier modo, pasa una corriente diferente la lravés de cada resistor si las resistencias R son diferentes: I "" VIR. Respuestas a las preguntas de Evalúe su comprensión Sección 26.1 En orden de resistencia equivalente ~ creciente, las configuraciones son (b), (d). (e) y (a). Las rawnes son: (a) los tres resistores de la figura 26.1 a están en serie; por- tanto, ~ = R + R + R = 3R. (b) En la figura 26.1b los tres resistores están en paralelo; por tanlO, IIR... = I/R + IIR + IIR = 31R. (e) En la figura 26.lc los re· sislom; segundo y tercero están en para1elo, por lo que su resistencia equivalente RlJ está dada por IIRlJ = IIR + IIR = 2JR; por tanto. R]J = RIl. Esla combinación está en serie con el primer resistor; por tafl. 10. los tres resistoresjuntos tienen una resistencia equivalente R"'I = R + RI2 = 3R12. (d) En la figura 26.ld los resistores segundo y lmero están en serie, por lo que su resistCttcia cquivalenle es Rl l = R + R :: 2R. Esla combinación está cn pantlclo con el primer resislor. por lo que la resistcncia equivalcnlc dc la combinaciÓlt de tres resislOrcs cs· tá dada por 1I~ = IIR + IflR = 3n.R. Portaoto, R".¡ = 2R/3. Sección 26.2 La ccuación (2) menos la ecuación (1) da -/z( I fi)(/l + hX2 fi) + (/ 1 -/JXI fi) + /l(l fi) = O. Se puede oblener es-ta ecuación aplicando la regla de las espiras alrededor del trayecto de c a b a d a a a e de la figura 26.12. Esta ecuación no es nueva, por lo que no habría ayudado a resolver el ejemplo 26.6. Sección 26.3 El amperímetro se debe conectar en serie con el resistal' de 2 fi entre los puntos b y d , Ylos bornes del voltímetro se debcn concctar a los puntos b y d. Idealmente, la resistencia del amperímetro sería cero y la del voltímetro infinita, por 10 que su presencia no innuiría ni en la corriente ni en el<Voltaje del resistor. Ninguna de estas idealizaciones es posible, pero la resistencia del amperimctro dcbc ser mucho menor que 2 n, y la resistencia dcl voltímelro dcbe ser mucho mayor que 2 fi. Sección 26,4 Al cabo de una constante de tiempo, 1= RCy la carga inicial Qo ha disminuido a Qoe~rlRC = Qrf!-RC/RC = Qrf!-l = QJe. Por tanto, la energía almacenada ha disminuido de Qoznc a (Qrle)lI2C ,. Qol12C¿', una fracción 1I¿' = 0.135 de su valor ini· cial. Este resultado no depende del valor inicial de la energía. Sección 26.S EsIO es algo muy peligroso. El fusible permitirá ca· rrientes de hasla 40 A, el doble del valor nominal del cableado. La cantidad de potencia P = /zR que se disipa en una sección del alambre puede ser, por tanto, de hasta cuatro veces el valor nominal. y los alambres podrían calentarse mucho e iniciar un incendio. Preguntas para análisis P26.1 ¿En cuál foco de 120 V tiene mas resistencia el filamento; en uno de 60 W o en uno de 120 W? Si se conectan en serie los dos focos a una linea de 120 V, ¿a tt:avés de cuál foco habrá la mayor caída de vollaje? ¿Y si se conectan en paralelo? Explique su cazo. namiento. 1009 P26.2 Se conectaron en serie dos focos dc 120 V, uno de 25 W y aIra de 200 W entre los bornes de una línea de 240 V. En principio eslO parecía una buena idea, pero uno de ellos se fundió casi instantáneamenle. ¿Cuál se fundió y por qué? P26.3 Se conectan varios focos idénticos a una bateria de linterna de mallO. ¿Qué le ocurre a la brillantez de cada foco a medida que se agregan mas al cireuito si se conectan: i) en serie, ii) en parnle. lo? ¿Durará más la batcría si los focos eslán en serie o en paralelo? Explique su razonamiento. P26.4 En el cireuitoque se muestra en la figura 26.28 hay tres focos idénticos conectados a una batería de linterna de mano. ¿Cómo es la brillantez relativa de los focos? ¿Por cuál pasa la mayor cantidad de corriente? ¿Cuál de ellas tiene la diferencia de polen- Figura 26.28 Pregunla P26.4. cíal más grande entre sus bornes? ¿Qué ocurre si se dcsenrosca el foco A? ¿Y el foco B? ¿Y el foco C! Explique su razonamienlo. P26.5 ¿Por qué se atenúan las luces de un auto al accionar el motor de arranque? P26.6 Los resistores Rl y Rz eslán conectados en paralelo a una fuente de fem con resistencia interna insignificante. ¿Qué le ocurre a la corriente que pasa por Rl cuando se quita Rz del circuilo? Explique su razonamiento. P26.7 Los resistores Rl y Rz están conectados en scrie a una fuente de fem con resistencia interna insignificante. ¿Qué le ocurre a la corriente que pasa por Rl cuando se conecla un tercer resistor Rl en paralelo con Rz? Expliquc su razonamiento. P26.8 Compare las fórmulas referentes a resistores en serie y en paralelo con las correspondientes a capacitares en serie y en paralelo. ¿Qué semejanzas y diferencias observa? A veces se cmplea en el análisis de cireuitos la magnítud conductancia, que se denota como G y se define como el reciproco dc la rcsistencia: G = l/R. Haga la comparación correspondiente entre conductancia y capaci. tancia. P26,9 ¿Es posible conectar resistores unos con arras de modo que no sc pucdan rcducir a alguna combinación de conexiones en serie y en paralelo? En caso afirmativo. cite ejemplos. En caso negativo. cxplique por qué. P26.10 Se pucdc ínvenir el sentido de la corriente en una balería conectando esta a una segunda batería de fem más grande, uniendo los bornes positivos de las dos baterías. Cuando se inviene el sentido de la corriente en una batería. ¿se imic:ne también la fcm? ¿Por qué? P26.11 En una linterna de dos baterias. éstas se conectan normal· mente en serie. ¿Por qué 00 conectarlas en paralelo? ¿Qué Posible ventaja se podria ganar conectando \'lIrias balerias idénticas en paralelo? P26.12 Las mantaml)'llS elécuicas (género Torpedo) emiten descargas e1Cctricas para aturdir a sus presas y ahuyentar a los depredadores. (En la antigua Roma, los médicos prncticaban una fonna primitiva de taapia de electrochoque colocando maDtarrnyas e1Cctricas sobre sus pacientes oon el propósito de curar las jaquecas y la gota). La figurn 26293 muestra una Torpedo vista desde abajo. El voltaje es produci. do por unas células delgadas parecidas a obleas, llamadas electroeitos. 1010 CAPíTULO 26 t Circuitosciecorrientecontinua ('l guientes deben ser verdaderas? Justifique su respuesla en todos los casos. a) /¡ ::: /] ::: /). b) La corriente es mayor en R1 que en R1 . c) El consumo de enorgía e1&trica es el mismo en ambos resistores. d) El consumo de energia eléctrica es mayor en R2 que en R,. e) La calda de potencial es la misma entre los extremos de ambos resistores. f) El polencial en el punto a es igual que en el puntó .:. g) El potencial en el punto b es menor que en el punto e, h) El potencial en el punto c es menor quc en el punto b. 26.4 Si se conectan en paralelo JI R¡ dos mistores R 1 y R1 (R~ > R¡) como se mueslra en la figura !J..~~ 26.31, ¿cuáles de las afirmacio, f nes siguientes deben ser verdaFigura 26.31 Ejercicio 26.4. deras? Justifique su respuesta en todos los casos. a) /1 == /~. b) /l ::: I~. c) La corriente es mayor en R¡ que en R2. d) La rapidcz de consumo de energía eléctrica es la misma en ambos resislOres. e) La rapidez de conswno de energía eléctrica es mayor en R~ que en R,. f) V... = V",::: V,o/). g) El punto e esta a un potencial más alto que el punto d. h) El puntofestá a un potencial más alto que el punto e. i) El punto e está a un potencial más alto que el punto e. 26.5 Tres resistores con resistencias de 1.60 n. 2.40 n y 4.80 n se con«tan en paralelo a una bateria de 28.0 V cuya resistencia interna es insignificante. Halle a) la resistencia equivalcnte dc la combinación; b) la corriente cn cada resistor; c) la corriente total a través de la bateriaj d) el voltaje entre los ex~mos de cada·resistor; e) la potencia que se disipa en cada resistor. f) ¿Cuál resistor disipa más energía: el que tiene mayor resistencia o el dc resistencia más pequeña? Explique por qué debe ser así. 26.6 Ahora los tres resistores del ejercicio 26.5 están conectados en serie a la misma batcría. Responda las mismas preguntas con respecto a esta situación. E=60.QV. ,-0 26.7 a) La potencia nominal de un resistor es la energía máxima que el resisl.Or puede disipar sin excesiva elevación de su temperatura. La potencia nominal de 6.000 4.000 un resistor de 15 kn es de 5.0 W. Figura 26.32 Ejercicio 26.8. ¿Cuál es la máxima diferencia de potencial permisible entre los E=48.0V, ,-0 bornes del resistor? b) Se va a coneclar un resiSlOr de 9.0 kn a través de una diferencia de potencial de 120 V. ¿Qué potencia 7.000 5.000 nominal se requiere? 26.8 Calcule la resistencia equi- Figura 26.33 Ejercicio 26.9. valente de la red de la figuro 26.32 Y encuentre la corriente en cada resistor. La resislencia interna de la batería es ins.ignificante. 26.9 Calcule la resistencia equi- Figura 26.34 Ejercicios 26.10 valente de la red de la figura 26.33 y26.11. y encuentre la corriente en cada resister. La resistencia inlema de la batería es insígnifieal1te. 26.10 Se ensamblan cuatro resistores y una balería con resistencia interna insignificante para formar el circuito de la figura 26,34. ~ (ol figura 26.29 Pregunta P26.12. cada llila de las cuales actúa como una batcria con una fcm aplU.Jtimada de 10'" V. Hay pilas de clectroeitos dispueslaS unas al lado de OIJ1lS en la cara inferior de la Torpedo (Fig. 2629b); en estas pilas, la cara positiva de cada elcctrocito loca la cara negativa del electrocito si· guiente (Fig. 26.29c). ¿Cuál es la ventaja de apilar los e!ectrocitos? ¿Y de tener las pilas unas aliado de otras? P26.13 La fero de una balerla de linterna es casi constante al paso del tiempo, pero su resistencia interna aumenta con el tiempo y con el uso. ¿Qué clase de medidor se debe utilizar para probar la antigüedad de una bateria? P26.14 ¿Es posible tener un circuito en el que la diferencia de pcl(en· cial entre los bornes de una balerla incluida en el circuito sea cero? En caso afirmativo, cite un ejemplo. En caso negativo, explique por qué. P26.15 Con resistencias muy grandes es fácil construir circuitos RC con constantes de tiempo de varios segundos o minutos. ¿Cómo se podria aprovechar este hecho para medir resistencias que son demasiado grandes para ser medidas por medios más convencionales? P26.16 Cuando se conecta en serie un capacitar con una bateria y un resistor, ¿influye el resistoren la carga m.ixima que se almacena en el capacitol1 ¿Por qué? ¿Qué propósito tiene la inclusión del resistol1 P26.17 Cuanto más grande es el diámetro de alambre que se utiliza en el cableado doméstico, tanto mayor es la corrienle maxima que el alambre puede IIaJlsportar sin peligro. ¿A qué se debe esto? ¿Depende la corriente permisible de la longitud del alambre? ¿Depende del material del que está hecho el alambre? Explique su razonamiento. Ejercicios Sección 26.1 Resistores en serie y en paralelo 26.1 Se conectan en paralelo un resistor de 32 n yuno de 20 n. y se conecta la combinación entre los bornes de una línea de ce de 240 \~ a) ¿Cuál es la resistencia de la combinación en paralelo? b) ¿Cuál es la corriente tOlal a través de la combinación en paralekJ? e) ¿Cuál es la corriente a través de cada resistol1 26.2 Pruebe que cuando dos resistores están conectados en paralckJ. la Te:SISletICia equivalente de la combinación siemprc es menor que la de cvalquiera de los resistoros. 263 Si se CODCCtan en serie dos 1, R, J~ R~ 1) resistores R¡ ~. R: fR~ > R¡) coaVfrbvr,c mo se mucstt1l en b figura 2630. ¿cuáles de las afirmaciones si- Figura 26.30 Ejercicio 26.3. .............. 5§ ~;\§ 1011 Ejercicios Sean [ = 6.00 V, R¡ = 3.50 n, R2 = 8.20 n, R] = 1.50 n y R4 = 4.50 n. Halle a) la resistencia equivalente de la red; b) la corriente en cada resistor. 26.11 En el circuito de la figura 26.34 cada resistor representa un foco. Sean R] = R"! = R] = R4 = 4.50 n y E = 9.00 V. a) Encuentre la corriente en cada foco. b) Proporcione la potencia que se disipa en cada foco. ¡,Cuál o cuáles bombillas iluminan con más brillantez? e) Ahom se quita del circuito la bombilla R4 y el alambre queda interrumpido en la posición que ocupaba. ¿Cuál es ahora la corriente en cada uno de los focos restantes R 1, R, Y RJ ? d) Sin el foco R 4, ¿cuánta potencia se disipa en cada uno de los focos restantes? e) ¿En cuál o cuáles de los focos es más brillante la incandescencia ," 1 • • como consecuencia de la eliminación de R4 ? ¿En cuál o cuáles es menos brillante? Comente por qué son diferentes los efectos en los distintos focos. 20.0 n 26.12 Considere el circuito que se muestra en la figura 2635, La corriente a través del resistor de Figura 26.35 Ejercicio 26.12. 6.00 fl es de 4.00 A, en el sentido que se indica. ¿Cuáles son las E corrientes a través dc los resistores de 25.0 fl Y20.0 O? 26.13 Ene1circuitoqucscmucstra cn la figura 26.36, el voltaje cntre los extrcmos del resistor de Figura 26.36 Ejercicio 26.13. 2.00 fl es de 12.0 v: ¿Cuáles son la fem de la bateria y la corriente a través del resistor de 6.00 D.? 26.14 Foco de tres vías. Un foco de tres vias tiene tres ajustes de brillantez (baja, media y alta), pero sólo dos filamentos. a) Cierta bombilla eléctrica de tres vias conectada entre los extremos de una linea de 120 V puede disipar 60 W, 120 W o 180 W. Describa cómo están dispuestos los filamentos en el foco y calculc la resistcncia de cada filamento. b) Suponga que el filamento de mayor resistencia se funde. ¿Cuánta potencia disipará el foco en cada uno de los ajustes de brillantez? ¿Cuál será la brillantez (baja, media o alta) en cada ajuste? e) Repita el inciso (b) con respecto a la situación donde el filamento que sc fundc es el de menor resistencia. 26.15 Focos en serie y en paralelo. Las resistencias respectivas de dos focos son de 400 fl y 800 fl. Si los dos focos están conectados en scric entre los extremos de una línea de 120 V, encuentre a) la corriente a través de cada foco; b) la energia que se disipa en cada foco y la energia total que se disipa en ambos. Ahora se conectan las dos bombillas en paralelo entre los extremos de la línea de 120 V. Halle e) la corriente a través de cada bombilla; d) la potencia que se disipa en cada foco y la energia total que se disipa en ambos. e) En cada situación, ¿cuál de los dos focos ilumina con más brillantez? ¿En cuál situación produce más luz la combinación de ambos focos? 26.16 Focos en serie. Un foco de 60 W y 120 V Yuno de 200 W y 120 V se conectan en serie entre los extremos de una línea de 240 v: Suponga que la resistencia de los focos no varia con la corriente. (SOla: Esta descripción de un foco proporciona la potencia que disipa wando esta conectado a la diferencia de potencial señalada; es decir. unabombi11a de25 W y 120V disipa 25 W cuando está conectada a UlUliDea de 120 V). a) Encucntre la corriente a través de los , focos. b) Proporcione la energía. 100n 100n que se disipa en cada foco. e) Uno 20.00 10.0 n 10.0 n de los focos se funde muy pronto. Agua 5.0H 5.00 ¿Cuál es? ¿Porqué? 26.17 En el circuito de la figura 30.0 V 5.00 26.37, un resistor de 20 n está sumergido cn 100 g de agua pum Figura 26.37 Ejercicio 26.17. rodeada de espuma de poliestireno aislantc. Si cl agua cstá inicialmente a 1O.00 C, ¿cuánto tiempo tomará para que su temperatura se eleve a 58.0°C? 26.18 Encleireuitoquesemuestra en la figum 26.38, la proporFigura 26.38 Ejercicio 26.18. ción a la que R] disipa energia eléctrica cs dc 20.0 W. a) HalleR 1 y R!, b) ¿Cuál es la fem de la batena? c) Encuentre la corriente a través de R! y del resistor dc 10.0 n. d) Calcule el consumo total de potencia eléctrica en todos los resistores y la potencia eléctrica entregada por la batena. Demuestre que sus resultados son congruentes con la conservación de la energia. • Sección 26.2 Reglas de Kirc.hhoff 26.19 En cl circuito de la figura 28.0V R 26.39, encuentre a) la corriente en el resistor R; b) la resistencia R; c) la fem desconocida E. d) Si se interrumpe el circuito en el punto x, ¿cuál es la corriente en el resistor R? 3.00 n 26.20 Proporcione las fem Cl y Figura 26.39 Ejercicio 26.19. E2 en el circuito de la figura 26.40, y también la diferencia de 1.000 20.0 Y 6000 potencial del punto b con respecto al punto a. 1.00 A LOO O E, 400 O 26.21 En el circuito de la figura b 26.41, halle a) la corriente en el " t.oo n E, 1.00 A 2.000 resistor de 3.00 O; b) las fem desconocidas El y E2 ; e) la resistcncia R. Advierta que se dan tres Figura 26.40 Ejercicio 26.20. corrientes. • ! ! 200A <- •" 4.00f1 3.00A ¡ • • • R '\ 3.00 n 6.00 n ¡ S.OOA Figura 26.41 Ejercicio 26.2l. 26.22 En el circuito de la figura 26.42, halle a) la corriente en cada ramal; b) la diferencia dc potencial Val> del punto a respecto al punto b. 26.23 La batería de 10.00 V de la figura 26.42 se quita del circuito y se inserta de nucvo con la polaridad opuesta, de modo que ahora su borne positivo cstájunto al punto a. El resto del circuito es como se muestra en la figura. Proporcione a) la corriente en cada ramal; b) la diferencia de potencial Vah del punto a respecto al punto b. 1012 26.24 La batería de 5.00 V de la figura 26.42 se quita del circuito y se sustituye por una balería de 20.00 V con su borne negativo junto al punto b. El resto del circuito es como se muestra en la figura. Encuentre a) la corrienle en cada ramal: b) la diferencia de potencial V<IIl del punto a respecto al punto b. CAPfTULO 2.00 fl 10,00 V3 • , 00 261 Cirt:uitosdecorrienlecontinua n 1.00 o ~.OO V•.oo fl • • 10.00 n Figura 26.42 Ejercicios 26.22, 26.23 Y 26.24, 26.25 Con base en la expresión P = 1 1 R, calcule la potencia total que se disipa en los cuatro resistores de la figura 26.1 Da. 26.26 En el cin:uito de la figura 26.103 (ejemplo 26.3. sección 26.2), se quita la baleria de 12 V Yse inserta de nuevo con la polaridad opucsla. de modo que ahora su borne posith'O está jWlIo al punto b. El ~ del circuito es como se muestra en la figura. Halle a) la corriellle en el circuito (magnitud y dirección); b) la diferencia de potencial Vo/y 26.27 En el circuito que se muestra en la figura 26.12 (ejemplo 26.6, sección 26.2), se sustituye el resislor de 2 n por uno de 1 O, Y cl resistor ccntral de I O (por el quc pasa la corriente /l) sc cambia por un resistor de resistencia desconocida R. El resto del circuito es como se muestra en la figura. a) Caleule la corriente cn cada resistor. Dibuje un diagrama del circuito y marque cada resistor con la corriente que pasa por él. b) Calcule la resistencia equivalente de la red. c) Calcule la diferencia de pOleneial V.. d) Sus respuestas de los incisos (a). (b) y (c) no dependen del valor de R. Explique por que. • • Sección 26.3 Instrumentos de medición eléctrica 26.28 La resistencia de una bobina de galvanómetro es de 25.0 O, y la corriente que se requiere para una desviación de escala completa es de 500 ¡JA. a) Muestre en un diagrama cómo convertir el galvanómetro en un amperímetro con una lectura de escala completa de 20.0 mA, Ycalcule la resistencia de derivación. b) Muestre cómo transformar el galvanómetro en un voltímetro con una lectura de escala completa de 500 mV, y calcule la resistencia en serie. 26.29 La resistencia de In bobina de un galvanómetro de bobina de pivote es de 9.36 O, Y una corriente dc 0.0224 A provoca una desviación de escala completa. Se desea convertir este galvanómetro en un amperimetro con una lectura de escala completa de Figura 26.43 Ejercicio 26.29. 20.0 A. La única derivación disponible tiene una resistencia de 0.0250 O. ¿Que resistencia R se debe conectar en serie con la bobina (vease la Fig. 26.43)? 26.30 La resistencia interna de cicrta bateria de 90.0 V es r = 8.23 O. a) ¿Cuill es la lecrura de un voltímetro con una resistencia Rv = 425 n cuando se conecta entre: los bornes de la batería? b) ¿Cuál es el valor máximo que la proporción r1R v puede tener pa13 que el errar de la lectura de la fem de una batería no sea de más de un 4.0%? 2631 Considere el circuito del potenciómetro de la figura 26.18. El resistor entre a y b es un alambre uniforme de longitud 1, con un contacto corredizo c a uoa dislanciax de b. Se mide una fem deseoDOCÍ.da ~ deslizando el contacto hasta que la lectura del galvanóIIICU'O G es cero. a) Demuestre que en estas condiciones la fem ks 'lbXida ~ dada por [1 = (xll)[l' b) ¿Por que no es importan- te la resistencia interna del galvanómetro? c) Suponga que [1 = 9.15 V YI = 1.000 m. La lectura del galvanómetro G es cero cuandox = 0.365 m. ¿Cuál es la fem [2? 26.32 Dos voltímetros de 150 V, uno con una resistencia dc 10.0 O y el otro con una resistencia de 90.0 kO, están conectados en serie entre los extremos de una Imea de ce de 120 V. Encuentre la lectura de cada voltimetro. (Un voltimetro dc 150 V sufre una desviación de escala complela cuando la diferencia de potencial entre sus dos bornes es de 150 V). 26.33 En el ohmiómetro de la figum 26.16, la bobina del medidor tiene una resistencia Ro = 15.0 O y la corriente necesaria para una desviación de escala completa es 3.60 mA. La fuente es una batería de lintcrna con [= 1.50 Vy rcsiSlencia interna insigJIificaDle. El ohmiómetro debe: mostrar una desviación del medidor de media escala completa cuando estD. conectado a un resistorcon R = 600 O. ¿Qué resistencia en serie R. se requiere? 26.34 En el ohmiómetro de la figura 26.44, Mes un medidordc 2.50 mA con una resistencia de 65.0 O. (Un medidor de 2.50 roA sufre una desviación de es- Figura 26.44 Ejercicio 26.34. cala completa cuando la corriente a tra\'es de d es de 2.50 mAl. La batería B tiene una fem de 1.52 V Y su resistencia interna es insignificante. R se elige dc modo que, cuando se ponen en cortocircuito los bornes a y b (R, = O), la lectunI del medidor es la escala completa. Cuando a y b están abienos (R, = oc), la lectura del medidor es cero. a) ¿Cuál es la rc:sistencia del resistor R? b) ¿Qué corriente indica una resistencia R, de 200 O? c) ¿Qué valores de Rx corresponden a dcsviaciones del medidor de}, t y ~ de la escala completa si la desviación es proporcional a la corrienlc que pasa por el galvanómetro? ',.= Sección 26.4 Circuitos R-e 26.3S Compruebe que el producto Re tiene dimensiones de tiempo. 26.36 Un capacitor de 4.60 p.F que inicialmente esta sin carga se ronccla en serie con un resistor de 7.50 kO y una fuentc de fem con S = 125 V Y resistencia interna insignificante. Inmcdiatamente despues de completar el circuito, ¿cuál es: a) la caida de voltaje entre los extremos del capacitar, b) la caida de voltaje entre los extremos del resistor, c) la carga del capacitar, d) la corriente a través del resistor? e) Mucho tiempo después de completado el circuito (al ca· bo de muchas constantes de tiempo), ¿cuáles son los valores de las cuatro cantidades antcriores? 26.37 Se carga un capacilor de capacitancia e = 455 pF con una carga cuya magnitud es dc 65.5 nC en cada placa. Después se conecta el capacitar a un voltimetro con una resistencia interna de 1.28 MO. a) ¿Cuál es la corriente a traves del voltimetro inmedia· tamente después de establecer la conexión? b) ¿Cuál es la constan· te de tiempo de este circuito R~C! 26.38 Se carga un capacitar a un potencial de 12.0 V Yluego se conecta a un voltimetro con una resistencia interna de 3.40 MO. Al cabo de un tiempo de 4.00 s la lectura del voltímetro es de 3.0 V. ¿Cuill es la capacitancia? 26.39 Se conecta un capacitor de 12.4p,F, a través de un resislor de 0.895 MO, a una diferencia de potencial constante de 60.0 V. a) Calcule la carga del capacitor a los tiempos siguientes despues de Problemas establecer las conexiones: O, 5.0 s, 10.0 S. 20.0 s y 100.0 s. b) Calcule las corrientes de carga en los mismos instantes. e) Grafiquc los resultados de los incisos (a) y (h) con respecto a I entre O y 20 s. 26.40 Un resistor y un capacitar se conectan en serie a una fuente de fem. La constante de tiempo del circuito es de 0.870 s. a) Se agre- T r ga en serie un capacitar idéntico al primero. ¿Cuál es la constante de tiempo de este nuevo circuito? b) Se conecta en el circuito original un segundo capacitar, idéntico al primero, en paralelo con el primer capacitar. ¿Cuál es la constante de tiempo de este nuevo circuito? 26.41 Una fuente de fcm con E. = 120 Y, un TeSistor con R = 80.0 fI Yun capacitar oon e = 4.00 J.l.F están conectados en serie. Mientras se carga el capacitOf. cuando la corriente en el resistor es de 0.900 A, ¿cuál es la magnitud de la carga en cada placa del capacitor? 26.42 En el circuito que se muestra en la figura 26.45, e = 5.90 p.F, & = 28.0 Vy la resistencia intema de la fem es insignificante. Inicialmente, el capacilor eslá descargado"y el interruptor S esro. en la posición l. Después se lleva el interruptor a la posición 2 para que el capacitor se comience a cargar. a) ¿Cuál será la carga del Figura 26.45 Ejercicios capacitor mucho tiempo después 26.42 y 26.43. de que se ha llevado el interruptor a la posición 2? b) Cuando el interruptor ha estado en la posición 2 durante 3.00 ms, se mide la carga del capacitor y resulta ser de 110 p.C. ¿Cuál es el valor de la resistencia K? c) ¿Cuánto tiempo después de que se ha llevado el interruptor a la posición 2 será la carga del capacitor igual al 99J)'%~ del valor final bailado en el inciso (a)? 26.43 Un capacitO!" con e = 1.50 x lo-' F esta conectado oomo se muestm en la figura 26.45 a un resistor con R = 980 n y a una fuente de fem con & = 18.0 Vy resistencia intema insignificante. inicialmente, el capacitO!" está descargado y el interruptO!" S está en la posición l. Después se lleva el ínterruplor a la posición 2 para que el capacitO!" se comience a cargar. Cuando el interruptor ha estado cn la posición 2 durante 10.0 ms, se lleva de regreso el interruptor a la posición 1 para que el capacitor se comience a descargar. a) Calcule la carga del capacitor inmediatamente ames de que se lleve de regreso el interruptor dc la posición 2 a la posición 1. b) Calcule las caidas de voltaje entre los extremos del resislor y entre los ex.lremos del capacitor en el instante descrito en el inciso (a). e) Calcule las caidas de voltaje entre los extremos del resistor y entre los extremos del capacilor inmediatamente después de llevar de regreso el interruplor de la posición 2 a la posición l. d) Caleule la carga del capacitar 10.0 ms después de llevar de ~ el intenuptor de la posición 2 a la posición l. , Sección 26.5 Sistemas de distribución de energía 26.44 El elemento calentador de una seeadora elécuica tiene una potencia nominal de 4.1 kW cuando está conectado a una línea de 14{1 V. a) ¿Cuál es la corriente en el elemento calentador? ¿Es el alambre de calibre 12 suficientemente grande para suministrar esta corriente? b) ¿Cuál es la resistencia del elemento calentador dc la soc:adora a su temperatura dc funcionamiento? c) A 11 centavos de dDb:r por kWh, ¿cuál es cl costo por hora de usar la sccadora? 26.A5 Se enchufa un calentador eléctrico de I 500 W a la toma de un ara..de 120 V que tiene un cortacircuitos de 20 A. Luego se enchufa _ ~ déctrica de pelo en la misma toma. La secadora de pe- 1013 lo tiene ajustes de potencia de 600 W, 900 W, 1200 W y 1500 W. Se romienza a utilizar la secadora de cabello en el ajuste de 600 W y se au~ menta el ajuslC de potencia hasta que se dispara el cortacircuitos. ¿Cual fue el ajuste de potencia que provocó el disparo del cortacircuilos? 26.46 ¿Cuántos focos de 90 W y 120 V se pueden cone<;tar a un circuito dc lOA y 120 V sin que se dispare el cortacircuitos? (Véase la nota dcl ejercicio 26.16). 26.47 El elemento calentador dc una estufa eléctrica consiste en un alambre calentador incrustado en un material eléctricamente aislante, que a su vez se encucntra denlro de una cubicrta metálica. El alambre calenlador tiene una resistencia de 20 n a lemperatura ambiente (23.()"q y un coeficiente de lemperatura de la resistividad a = 2.8 x IO-)("q-l. El elemento calentador funciona coneelado a una linea de 120 V. a) Cuando se enciende inicialmente el elemento calentador, ¿cuánta comente toma y qué energia eléctrica disipa? b) Cuando el elemento calcntador ha alcanzado una temperatura de funcionamiento de 280"C (536"F), ¿cuánta corriente loma y cuánta energia eléctrica disipa? Problemas 26.48 a) Se tienc una resistencia R2 conectada cn paralelo con una resistencia R¡. Deduzca una expresión de la resistcncia RJ que se debe conectar en serie con la combinación de R¡ y R1 para que la resislencia equivalente sea igual a la resistencia R j • Mucslre el arreglo de resistores en un diagrnma. b) Se tiene una resistencia R1 conectada en serie con una resislencia R l • Deduzca una expresión de la resistencia RJ que se debe conectar en paralelo con la combina¡;ión de R. YR1 para que la resistencia equivalente sea igual a Rl . Muestre el arreglo de resistores en un diagrama. 26.49 Se necesita un resistor de 400 n y2.4 W, pero sólo se dispone de varios resistores de 400 n y 1.2 W (vease el ejercicio 26.7). a) ¿CuiJ.les serian dos combinaciones diferentes de las unidades disponibles que dan la resistencia ypoteneia nominal que se requieren? b) Con respecto a cada una de las redes de resistores del inciso (a), ¿cuánta potencia se disipa en cada resistor cuando la combinación disipa 2.4 W? 26.50 Un cable de 20.0 m de largo consiste de un centro cilíndrico sólido de níquel de 10.0 cm de diámetro rodeado por una cubierta ci¡indrica exterior sólida de cobre de 10.0 cm dc diámetro interior y 20.0 cm de diámetro exterior. La resistividad del níquel es dc 7.8 x I~ n· m. a) ¿Cuál es la resistencia de este cable? b) Si se piensa en este cable como en un solo material, ¿cuál es la resistividad equivalente? 26.51 Dos alambres idénlicos de 1.00 n están colocados uno aliado del otro y soldados.de modo que están en contacto a lo largo de la mitad de su longitud. ¿Cuál es la resistencia equivalente de esta combinación? 26.52 Los dos focos idénticos del ejemplo 26.2 (sección 26.1) están conectados en paralelo a otra fuente, con & = 8.0 Vy resistencia ínterna de 0.8 O. Cada foco tiene una resistencia de R = 2.0 n (se supone independiente de la corriente que pasa por el foco). a) Halle la corriente a través de cada foco, la difcrencia de potencial entre los bornes de cada foco y la potencia cntregada a cada foco. b) Suponga que uno de los focos se funde, de modo que su filamento se rompc y ya no fluye corriente a través de él. Hallc la potencia que se entrega al foco restante. ¿Aumenta o disminuye la brillanlez de la incandescencia del foco restante después que la otra bombilla se ba fundido? 1014 CAPfTULO 26 I Circuilosdecorrieotecontinua 26.53 Cada uno de los tn:s resislares de la figura 26.% liene una resistencia de 2.4 n y puede disipar un maximo de 36 \V sin Figura 2Ei.4Ei Problema 26.53. calentarse excesivamente. ¿Cuál 8.0n es la energia máxima que el ciT20.0 n cuilO puede disipar? 26.54 a) Calcule la resistencia equivaleme del cin:uito de la figura 26.47 entre x y y. b) ¿Cuál es el potencial del punto a respecto al punto.~ si la corriente en el re- Figura 26.47 Problema 26.54. sistor de 8,0 n es de 2.4 A en el sentido de izquierda a derecha de la figura? 26.55 Si se conecta un ohmiómetro entre los puntos a y b de cada uno de los circuitos de la figum 26.48, ¿cuál será la lectura? ~ 1.00n"IO.OOb ¡;;;;;-¡ ~ 40.0 n SIlO n (b) 26.56 En la red de resistores de la figura 26.49, la lectura del ohmiometro es de 20.2 íl. ¿Cuál es la resistencia del resistor X? ~ 26.57 Calcule las tres corrientes /10 I~ e 1) indicadas en el diagrama de circuilo de la figura 26.50. "'O n 800n /. , , \ I~ IIS.1H1 - I'~~ V SSO O 1.00 IJ LOO n~n 9:~ V Figura 26.50 Problema 26.57. rn 24.0 V 3.00 fI n sea ",' Q e·~~l.oon 1.00 n !.~2.oon 2.000 Figura 26.54 Problema 26.61. 26.62 En el circuito de la figura 26.55: a) ¿Cuál dcbe ser la fem [de la bmeria para que Iluya una coniente de 2.00 A a tr.tvés de la bmeria de 5.00 V, como se muestra? ¿Es correcta la polmidad de la batena que se indica? b) ¿Cuánto tiempo toma producir 60.0 J dc energía ténnica en el resistor de 10.0 O? I 60.00 ; s.ov JO.OO 60.0 n s.on 10.0 V Is.on E+ s.on , ,I 20.0 n 26.63 En el circuito que se muestnl en la figura 26.56, la coniente medida a través de la batería de 12.0 V resulta ser de 70.6 mA, en el sentido que se indica. ¿Cual es el voltaje de bornes V... de la batena de 24.0 V? E .' 30,0 n 10.on 200 n 24.0 V 10.on 7.0011 2.00 ¡o.ov HIOll 67F~}m 14.0 V Figura 26.52 Problema 26.59. V 12.0 V ,, b Figura 26.51 Problema 26.58. 14.0 -- 706mA 10.000 8S.00 26.58 ¿Cuál debe ser la fem [ de la figura 26.51 para que la co· rriente a traves del resistor de 7.00 de 1.80 A? Todas las fuentes de fem tienen una resistencia inlerna insignificante. 26.59 Halle [a corriente a tra\"es de cada uno de los tres resiSlores del circuito que se muestra en la figura 26.52. Las fuentes de (ero tienen una resiSlencia interna insignificante. 26.60 a) Halle la corriente a lra\'c:s de la batería y de cada ~istor del circuito de la figura ~6.53. b) ¿Cuál es la resistencia eqtID"3lenle de la red de resisto- 2.000 Figura 26.55 Problema 26.62. Ohmiómclm Figura 26.49 Problema 26.56. , 2.~ Figura 26.48 Problema 26.55. n,o fI LOO n 12.0V 1000 2000 ~ 45.00 (.) 26.61 a) Halle el polencial en el punto Q con respecto al punlo b de la figura 26.54. b) Si los punlos a y b están conectados mediante un alambre de resistencia insignificante. halle la eorrienle en la baterla de 12.0 V. Figura 26,56 Problema 26.63. 26.64 En el circuito de la figura 26.57, lodos los resistores tienen una potencia máxima nominal de 1.00 W. ¿Cuál es la (cm máxima [que la bateria puede tener sin quemar ninguno de los resislOres? 2S.O 11 30.0 11 , L-jJ----1SO.01l R1-I.OOfl Rj=I.ooO IS.o 11 1 11 lODO ...n ...n f---' Figura 26.57 Problema 26.64. R. - 2.00 fI R, = t.ooo Figura 26.53 Problema 26.60. 26.65 En el circuito de la figura 26.58, la corriente en la batería de 20.0 V es de 5.00 en el sentido que se indica, y el voltaje entre los 1015 Problemas extremos del resistor de 8.00 n es de 16.0 V, con el extremo inferior del mistor al potencial mas alto. Halle a) la fero (con su polaridad) de la batería X; b) la corriente ¡ a través de la batería de 200.0 V (COD su sentido); c) la resistencia R. 2000 R JO.on R 18.00 - 2O.0V 8.00 n Lb lOO.OV , lo- S.OOA Figura 26.58 Problema 26.65. 26.66 Se conectan en serie tres resistores idénticos. Cuando sc aplica cierta diferencia de potencial entre los cxtremos de la combinación, la potencia total que se disipa es de 27 W ¿Cuánta potencia se disiparía si los Ires resistores estuvieran conectados en paralelo a través de la misma diferencia de potencial? 26.67 Cierto resiSlor R, consume una potencia eléctrica PI cuando está conectado a una fem E. Cuando se conecta el mistor R, a la misma fem, consume una potencia eléctrica P2. En términos de PI '/ P1 , ¿cual es la potencia eléctrica total que se consume cuando ambos resistores estan conectados a esta fuente de fem: a) en paralelo, b) en serie? 26.68 loici~nte, el capacitor de la figura 26.59 está descafgado. T .:.42.0V Se cierra el interruptor en I = O. RJ -3.000 R,a) Inmediatamente después de 6.000 e - ~.OOI'F eerrar el interruptor, ¿cuál es la corriente a través de cada resisFigura 26.59 Problema 26.68. tor? b) ¿Cuál es la carga final del capacitor? Va 36.0 V 26.69 En la figura 26.60 sc sigue una convención que se suele empicar en los diagramas de cir'00" 300" " S b cuito. La bateria (u otra fuente 3.00 n 6.00 O de potencia) no se muestra explícitamente. Se sobreentiende que el punto de la parte superior, Figura 26.60 Problema 26.69. marcado como "36.0 V" está conectado al borne positivo de una batería de 36.0 V con resistencia inlema insignificante, '/ que el símbolo de "Iierra" de la parte inferior está conectado al borne ncgalivo de la batería. El circuito se completa a tnl.vés de la hateria, no obstante que esta no se muestTa en el diagrama. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial V... (el potencial del punto a respectO al punto b) cuando el interruptor S está abierto? b) ¿Cual es la corriente V-I8.0V a través del interruplor S cuando éste se halla cerrado? c) ¿Cuál es la resistencia equivalente cuando el interruptor S está cemdo? 3.00 I'f 3.00 O 26.70 (Véase el problema 26.69). a) ¿Cuál es el potencial en el punto a respecto al punto b de la figura 26.61 cuando el interruptor S Figura 26.61 Problema 26.70. lS!I' -, '.00 "on' OO"F ~.bfb está abierto? b) ¿Cuál de los puntos, a o b, está al potencial más allO? e) ¿Cuál es el potencial final del punto b con respecto a tiema cuando el inlerruptor S está cerrado? d) ¿Cuánto cambia la carga de cada capacitar cuando se eiem 5? 26.71 (Véase el problema 26.69). V_18.0V a) ¿Cuál es el pOlencial en el punto a respecto al punto b de la figura 26.62 cuando el inteO rruptor S está abierto? b) ¿Cuál " s ' 3.000 de los puntos, a o b, está al potencial más alto? e) ¿Cuál es el potencial final del punto b con Figura 26.62 Problema 26.71. respecto a tierra cuando el interruptor S está cerrado? d) ¿Cuánta carga fluye a través del interruptor S cuando éste se halla cerrado? 26.72 Amperímetro de escalas múltiples. La resistencia de la bobina móvil del galvanómetro G de la figura 26.63 es de 48.0 n, y el galvanómetro sufre una + 1O.0A ].OOA O.IOOA desviación de escala completa Figura 26.63 Problema 26.72. con una corriente de 0.0200 A. Cuando se conecta el medidor al circuito que se \'a a medir, se establece una cone;<ión con el posle marcado como + '/ la Otnl. con el poste marcado con la escala de corriente deseada. Halle las magnitudes respectivas de las resistencias R]o Rl YRJ que se requieren para com'crrir el gal 'lanÓmetro en un amperímetro de escalas múlliples que se desvíe la escala completa con corrienles de 10.0 A, 1.00 A Y O.IOOA. 26.73 Voltímetro de escalas múltiples. La figura 26.64 muestnI. las conexiones imemas de un voltímetro de "tres escalas" cu+ 3.00V IS.OV ISOV yos postes de conexión están Figura 26.64 Problema 26.73. marcados como +, 3.00 V, 15.0 V Y 150 V. Cuando se conecta el medidor al circuito que se va a medir, se establece una conexión con el poste marcado como + y la otra con el poste marcado con la escala dc voltaje deseada. La resistencia de la bobina móvil, Ro, es de 40.0 0, Y una corriente de 1.00 roA en la bobina provoca una desviación de escala completa. Halle las resistencias Rl • R2 YRJ Y la resistencia global del medidor en cada una de 'rus escalas. 26.74 El punto a de la figura IOOkfl 200tn 26.65 se mantiene a un potencial " ,vI b ff' constante de 400 V mas alto respecto a la tierra. (Véase el pro- Figura 26.65 Problema 26.74. blema 26.69). a) ¿Cuál es la lectura de un voltimetto con la escala apropiada y con una resistencia de 5.00 x la' n cuando está conectado entre el punto b y la tiem? b) ¿Cuál es la leclUJ'a de un voltimetto cuya resistencia es de 5.00 x uf O? c) ¿Cual es la lectura de un '.'oltímetro con resistencia infinita? 26.75 Cíerto voltímetro de 150 V tiene una resistencia de 30 000 n. Cuando eslá coneclado en serie con una resistencia grande R entre los extremos de una línea de 110 V, la lectura del medidor es de 68 v. Halle la resistencia R. '.00 8'·00,.F 13'00~f ~ ~ • u.' • 'H' '1 1016 ,, 1 CAPiTULO 26 I 26.76 Sean Ve /, respectivamente, las lecturas del voltímetro y del amperimeuo que se llluestran en la figura 26.16, y sean Rv YRAsus resistencias equivalentes. Debido a las resistencias de los medidores, la resistencia R DO es simplemente igual a VI/. a) Con el circuilO conectado como en la figura 26.100. demuestre que V R "" - - RA I \ \ CircuilOsdecorricntecontinua Explique por qué la resistencia verdadera R siempre es menor que VII. b) Cuando las conexiones son como en la figura 26.16b. de- muestre que R V 1 Explique por qué la resistencia verdadera R siempre es mayor que VII. e) Demuestre que la potencia entregada al rcsistor en el inciso (a) es IV - fR A , Yen el inci!>O (b) es IV - (V 1/R..,). 26.77 Puente de Whealslonc. El circuito que se muestra en la figura 26.66, conocido como pl/enle de WhealslOne, se utiliza • para detenninar el valor de un re· E sislor desconocido X por comparación con tres rcsistores M, N Y K, P cuyas resistencias se pueden modificar. Se conoce con precio Figura 26.66 Problema 26.77. sión la resistencia de cada resislOr que corresponde a cada posición de ajuste. Con los interruptores K 1 y K 2 cemdos, se modifican estos resistores hasta que la corriente en el galvanómetro G es cero; se dice enlonces que el puente está equilibrado. a) Demuestre que en estas condiciones la resistenci3 desconocida está dada por X = MPIN. (Este método permite alcanzar un3 precisión muy grande al comp3rar resistores). b) Si el galvanómetro G muestra una desviación nula cuando M = 850.0 n, N = 15.00 n y P = 33.48 n, ¿cuál es la resistencia desconocida X? 26.78 Cicrto galvanómetro tiene una resistcncia de 65.0 n y sufre una desviación dc escala completa con una corricntc dc 1.50 roA en su bobina. Esto sc va a sustituir por un segundo galvanómctro cuya resistencia es de 38.0 n y surre una desviación de escala completa con una corriente de 3.60 pA en su bobina. Idee un cirCUito que incluya el segundo galvanómetro y cuya resistencia equivalente sea igual a la resistencia del primer galvanómetro, y en el que el segundo galvanómetro sufra una desviación de escala completa cuando la corriente a través del circuito sea igual a la corricnte de escala completa del primer galvanómetro. 26.79 Un resistor de 224 uno de 589 se conectan en serie entre los bornes de una línea de 90.0 V. a) ¿Cuál es el voltaje entre los c::<tremos de cada resistor? b) Un voltimetro conectado entre los extremos del resislor de 224 n muestra una lectura de 23.8 V. Halle la resistencia del voltimetro. c) Halle la lectura del mismo voltime• tro cuando está cODCctado entre los extremos del resislor de 589 n. d) En este \""Oltímetro las lecturas son menores que los voltajes ~ver· daderos- (es decir, en ausencia del vollimetro). ¿Seria posible proyectar un \""Oltimetto que diese lecturas mayores que los voltajes "verdaderos'! Explique su respuesta. 26.80 Un capacitor de 2.36 ¡J.F que inicialmente no ticne carga se conecta en serie con un resistor de 4.26 n y una fuente de fem con ny n [. = 120 V Yresistcncia interna insignificanle. a) Inmediatamenle después de efectuar la conexión, ¿cuál es: i) la rapidez a la que se disipa energía eléctrica en el resistor. ií) la rapidez con la que aumenta la energia eléctrica almacenada en el capacitar, iii) la potencia de salida eléctrica de la fuente? ¿Cómo son comparativamente las respuestas a los incisos (j), (ji) y (iii)? b) Responda las mismas preguntas del inciso (a) luego de que ha transcurrido mucho liempo después de efectuar la conexión. c) Responda las mismas preguntas del inciso (a) respecto al inSlanle en que la carga del capacitor es de la milad de su valor final. 26.81 Un capacitor de 3.40 ¡J.F que eSlá inicialmente cargado se conecta en serie con un resistor de 7.25 kO y una fuente de fcm con E = 180 Vy resistencia interna insignificante. a) Poco tiempo después la carga del capacitor es de 815 ¡J.e. En cste instante, ¿cuál es la corricnte y cuál es su sentido: hacia la placa positiva del capacitor o hacia la placa negativa? b) Cuando haya transcurrido mucho tiempo, ¿cuál será la carga del capacitor? 26.82 Se conecta un resistor de 5.88 kO a las placas de un capacitor cargado cuya capacitancia es e :: 8.55 x 10 10 F. La corriente inicial a través del resistor, inmediatamente despues de efecluar la conexión, es dc 0.620 A. ¿Cuál era la magnitud de la carga inicial en cada placa del capacitor? 26.83 Un capacitor que inicialmente está descargado se conecta en serie con un rcsistor y una fuente de fem con E:: 110 V Y resisten· cia interna insignificante. l.nmcdiatamente después de completar el circuito la corriente a través del resistor es de 6.5 x 10-s A. La constante de tiempo del circuito es de 6.2 s. ¿Cuáles son la resistencia del resistor y la capacitancia del capacitar? 26.84 Un resistor con R = 850 n se conecta a las placas de un capacitar cargado con capacitancia e = 4.62 ¡.ú'. Inmediatamente antes de efectuar la conexión, la carga del capacitor es de 8.10 me. a) ¿Cuánta energía estaba almacenada inicialmente cn el capacitar? b) ¿Cuánta energia c1ectrica se disipa en el resistor inmediatamente después de efectuar la conexión? c) ¿Cuánta encrgía cléctrica se disipa en el resistor en cl instante en que la energia almacenada en el capacitor ha disminuido a la mitad del valor calculado en el inciso (a)? 26.85 En términos estrictos, la ecuación (26.16) implica que se requiere una cantidad de tiempo infil/ita para descargar totalmente un capacitar. Sin embargo, para fines prácticos, se puede considerar que un capacitor cstá totalmente descargado al cabo de un lapso fi· nito. Específicamente, considere que un capacitor de capacitancia coneclado a un resistor R está totalmente descargado si su carga q difiere de cero en no más que la carga de un electrón. a) Calcule el tiempo necesario para alcanzar este estado si e = 0.920 JtF, R = 670 kn y Qo = 7.00 ¡J.C. ¿A cuántas conStanles de tiempo equi"ale? b) Dada cierta Q" ¿es el tiempo nc:cesario para alcanzar este estado siempre el mísmo número de constantes de tiempo, cualesquiera que sean los valores de e y Ir! ¿Por qué? 26.86 Una batería de 12.0 V con una resistencia interna de 1.00 n carga dos capacitares en serie. Hay un resistor de 5.00 n en se3 OO . l'F E' rie entre los capacitores (Fig. 2.0V s.oon 26.67). a) ¿Cuál es la constante ~.~n -- b6.00¡J.F de tiempo del circuito de carga? b) Después que el interruptor ha permanecido cerrado durante el Figura 26.61 Problcma 26.86. e I d--;;t" ~ Problemas de desafío tiempo determinado en el inciso (a), ¿cuál es el voltaje eDlre los bornes del capacitar de 3.00 J,tF1 26.87 En un capacitar en proceso de carga la corrientc está dada por la ecuación (26.13). a) La potcncia instantánea que la bateria suministra es &i. Integre: esto para hallar la energía total suminiSlra· da por la bateria. b) La potencia instantánea que se disipa en el re· sistor es ¡'-R. Integre csto para hallar la energía total disipada cn el resistor. e) Halle la encrgía final almacenada en el capacitar, y demuestre que es igual a la energía total suministrada por la batería menos la energía disipada en el resistor, según se obtuvo en los incisos (a) y (b). d) ¿Qué fracción de la energía suministrada por la batería queda almacenada en el capacitar? ¿De qué forma depende de R esta fracción? 26.88 A partir de la ecuación (26.17), que descnbe la corriente en un capacitar que se descarga, deduzca una expres.ión de la potencia instantánea p:: ¡2R que se disipa en el resislor. b) Integre la expresión con respecto a P para hallar la energía total disipada en el re· sislor, y demueslre quc es igual a la energía total almacenada inicialmente en el eapacilor. Problemas de desafio 26.89 De acuerdo con el teore140.0 O 35.0 O ma de sobreposición, en un circuita la respuesta (corriente) es propon::ional al estimulo (voltaje) que la provoca. Esto se cumple incluso cuando hay varias fuentes en un circuíto. Estc lcorema permite analizar un circuito sin recu· rrir a las reglas de Kirchhoff, considerando las corrienles del circuito como la sobreposición de corrientes generadas independientemente por cada fuente. De este modo se puede analizar cl circuito calculando resistencias equivalentes en vez de utilizar el (a veces) más cngorroso método de las rcglas de Kirchhoff. Adcmás, mediante el teorema de sobreposición es posible examinar la influencia que la modificación de una fucntc en una parte del circuito tendrá en las corrientes de todas 135 panes del circuito, sin tener que utilizar las reglas de Kircbhoff para calcular de nuevo todas las corrientes. Considere el circuito de la figura 26.68. Si se dibujara de nuevo el circuito sustituyendo las fuentes de 55.0 Vy 57.0V porconocircuitos. se podria analizar por el método de resislcncias equivalentes sin recurrir a las reglas de Kirchhoff, y se podría hallar la comente en cada rama1 de una manera sencilla. Aruilogamente, si se dibujase de: nuevo el circuito sustituyendo las fuentes de: 92.0 V Y57.0 V por conocircuilos, también se podria analizar el circuito de un modo sencillo. Finalmente, reemplazando las fuentes 92.0 V Y57.0 V con un cortocircuito, el circuito podria ser de nuevo analizado simplemente. Sobreponiéndose las corrientes respectivas halladas en cada uno de los ramales mediantc el uso de tres circuitos simplificados, se puede hallar la corriente real en cada ramal. a) Con basc cn las reglas de Kircbhoff, halle las corrientes dc ~ en los resiSlores de 140.0 n, 210.0 n y 35.0 n. b) Con base ea UD cirro.ito semejanle al de la figura 26.68, pero con un conocirCllllmen lugardc las fuentes de 55.0 V Y57.0 V; determinc la corrien2 madi resistencia e) Repita el inciso (b) sUSlituyendo las fuenles 1017 de 92.0 V Y55.0 V por cortocircuitos y dejando intacta la fuente de 57.0 V. d) Repita el inciso (b) sustituyendo las fuentes de 92.0 V Y 57.0 V por cortocircuitos y dcjando intacta la fuente de 55.0V. e) Ve· rifique el teorema de sobreposición comparando las corrientes calculadas en los incisos (b), (e) y (d) con las comcntes calculadas en el inciso (a). f) Si se suslituye la fuente dc 57.0 V JXlr una fuente dc 80.0 V, ¿cuáles scnln las nuevas corrientes cn lodos los ramales del circuito? [Sugerencia: Con base en elleorema de sobreposición, calcule de nuevo las corrientes parciales calculadas en el inciso (e) con base en el hecho de que esas corrientes son proporcionales a la fuente que se sustituye. A continuación, sobreponga las nuevas corrientes parciales a las halladas en los incisos (b) y (d).] 26.90 Alarma de capacitores contna robo. En la capacitancia de un capacitor puedc influir un material dieléctrico que, aunque no esté presente dentro del capaciR tor, se halle suficientemente cerca de éste para ser polarizado por el campo eléclrico pcslañeante que existe cerca dc un capacitor cargado. Este efccto es por 10 re· Figura 26.69 Problema de guIar del ordcn de picofarad desafio 26.90. (pF), pero, con ayuda de circuitos electrónicos apropiados, permitc dctectar un cambio en el matcrial dieléctrico que rodea al capacitor. Este material dieléctrico puede ser el cuerpo humano, y el efcclo aOles descrito podria utilizarse en el diseño de una alarma conlra robo. Considere el circuilo simplificado que se muestra en la figura 26.69. La fuente de voltaje tiene una fcm t::: 1000 V, y la capacitancia del capacitar es e:: 10.0 pF. Los cire:uitos electrónicos que detectan la corriente, repre· sentados como un amperimetro en el diagrama, tienen una resistencia insignificante y son capaces de detectar una corriente que persisle a un nivd dc al menos 1.00 jJ.A durante al menos 200 1JS después que la capacitancia ha cambiado abruptamente de a C. La alarma contra robo se proyecta de modo que se active si la capacitancia cambia en un 10";". a) Determine la carga del capacitor de 10.0 pF cuando cstá totalmeOle cargado. b) Si el capacitor está too talmente cargado allles que se detecte el intruso, y suponiendo que el tiempo quc la capacitancia tarda en cambiar lOO;" es suficientementc pequei'io para no tenerlo en cuenta, deduzca una ecuación que exprese la corriente a través del resistor R en función del tiem· po r a partir de que la capacitancia cambia. c) Delermine d intervalo dc valores de la resistencia R que reunen las especificaciones de diseiio de la alarma contra robo. ¿Qué OCUrTe si R es demasiado pequeña? ¿Y demasiado grande? (Sugerencia: No podrá resolver este problema analíticamente: debe emplear métodos numéricos. Exprese R como una función logarítmica de R más cantidades conocidas. Utilice un valor tentativo de R y calcule un nue\"O valor a partir de la expresión. Continúe haciendo esto hasta que los valores de alimentación y salída de R concuerden con tres cifras significativas). 26.91 Red infinita. Como se muestra en la figura 26.70, una red de resistorcs de resistencias R¡ y Rz se extiende al infinito hacia la derecha. Pruebe quc la resistencia total Rr de la red infinila cs igual a e (Sugerencia: Dado que la red es infinila, la resistencia de la red a la derecha de los puntos e y d también es igual a RT). • 1018 CA PfT ULO 26 I Circuitos de corrienle continua 26.92 Suponga que se tiene un resistor R a lo largo de cada arista de un cubo (12 resislOres en total) eOIl cone¡¡;iones en los vértices. :E~;-"· Rl d R1 -'" Rl Figura 26.70 Problemas de desafio 26.91 y 26.93. Halle la resistencia equivalente entre dos vertices diagonalmente opuestos del cubo (punlos a y b de la figura 26.71). 26.93 Cadenas atenuadoras)' Figura 26.71 Problema de axones. La red infinita de resisdesafio 26.92. lOres de la figura 26.70 se conoce como una cadena olenuadora, porque esta cadena de resistores ~,o atenúa. la diferencia de potencial entre los alambres superior e inferior a todo lo largo de la cadena. a) DemueslR que si la diferencia de pol:encial entre los puntos Q y b de la figura 26.70 es V."" enlonces la diferencia de potencial entre los puntos e y d es Vcd = Y-'(1 + (3), donde fJ:: 2R 1(RT + RlIRTR1 y RT , la resistencia lotal de la red, está dada en el problema de desafio 26.91. (Véase la sugerencia proporcionada en ese problema). b) Si la diferencia de potendal entre los bornes a y b del extremo izquierdo de la red infinita es Vo- demueslre que la diferencia de potencial enlre alambres superior e inferior a n segmentos del extremo izquierdo es V. = Vo"( I + {J't. Si R[ = R2 , ¿cuánros segmentos se necesitan para reducir la difcrenciade potcncial V.amenosdeIIJ)%dc VQ? c) Una cadena ate- nuadora infinita constituye un modelo de la propagación de una pulsación de vohaje a lo largo de una fibra nerviosa, o lI}(Ón. Cada segmemo de la red de la figura 26.70 representa un segmento corto del axón. de longitud 6:r. Los resistores R[ represcman la resistencia del líquido por dentro y por fuera de la pared de membrana del lI}(ón. La resistencia de la membrana al flujo de corrieDle a ttavés de la pared está representada por R2• En un segmento de axón de longirud AT 1.0 JUn, Rl 6.4 X UY n y R2 "" 8.0 X lOS O (la pared de la membrana es un buen aislador). Calcule la resistencia total RT Y fJ de un axón infinitamente largo. (Ésta es una buena aproximación. porque la longirud del axón es mucho mayor que su anchura; los axones largos del sistema nervioso humano tienen de 1 m de longirud pero sólo lIprmtimadamente 10-1 m de radio). d) ¿En que fracción se reduce la diferencia de potenciaJ cn~ el inteO(H" y el exterior del axón a lo largo de una distancia de 2.0 uun? e) La atenuación de la diferencia de potencial calculada en el inciso (d) muestta que el axón no puede ser simplemente un cable electrico pasivo que transporta corriente; es necesario reforzar periódicamente la diferencia de potencial a lo largo de todo el axón. Este mecanismo de refuerzo es lento, por lo que una señal se propaga a lo largo del axón aproximadamente a 30 mis. En las siruaciones donde se requiere una respuesta mas rápida. los axones están cubiertos de una vaina segmentada de mielina grasa. Los segmentos son de aproximadamente 2 mm de largo. separados por espacios Uamados 110dos de Ram;ier. La mielina aumenta la resistencia de un segmento de la membrana de 1.0 p.rn de largo a R2 =' 3.3 X 10 12 O. En el caso de un axón mielinndo de estc tipo, ¿en qué fracción disminuye la diferencia de potencial entre el interior y el exterjor del axón a lo largo de la distancia dc un nodo de Ranvier al siguiente? Esta menor atenuación significa que la rapidez de propagación aumenta. = = mas mas