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Meccanica dei solidi

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1
Appunti delle lezioni
di Meccanica dei Solidi
per il corso di laurea in Ingegneria meccanica
2
Appunti delle lezioni
di Meccanica dei Solidi
per il corso di laurea in Ingegneria meccanica
Seconda edizione
Mattia Celli, Ilaria Del Vescovo
supervisione e riadattamento di Giuseppe Ruta
gennaio 2012
Indice
1 Meccanica dell’atto di moto rigido
1.1 Richiami di cinematica dell’atto di moto rigido . . .
1.2 Principio di potenza virtuale su atti di moto rigido
1.3 Vincoli, dispositivi ed equazioni lineari di vincolo .
1.4 Classificazione dei sistemi meccanici vincolati . . .
2 La trave, continuo monodimensionale
2.1 Continui . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 La trave come continuo deformabile . .
2.3 Principio di lavoro (potenza) virtuale .
2.4 Equazioni del problema elastico statico
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3 Risoluzione di travature
3.1 Travature staticamente determinate . . . . . . . . .
3.2 La linea termoelastica piana . . . . . . . . . . . . .
3.3 Campionamento di componenti di spostamento . .
3.4 Travature iperstatiche: metodo delle forze . . . . .
3.5 Travature iperstatiche: metodo degli spostamenti .
3.6 Travature iperstatiche: metodo degli elementi finiti
3.7 Sistemi reticolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Il continuo di Cauchy
4.1 Misure di deformazione per continui tridimensionali . . . . . . . .
4.2 Tensioni in un continuo tridimensionale . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Tensioni principali, rappresentazioni piane di Mohr . . . .
4.2.2 Interpretazione meccanica delle equazioni locali di bilancio
4.3 Relazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Il problema di Saint Venant
5.1 Il cilindro di Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Estensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Flessione uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Flessione retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Flessione deviata . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Estensione e flessione uniforme (trazione eccentrica)
5.4 Torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Sezioni di spessore sottile . . . . . . . . . . . . . . .
3
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4
INDICE
5.5
Flessione non uniforme (flessione con taglio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.5.1 Il centro di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6 Criterı̂ di resistenza
6.1 Criterio di Rankine-Navier
6.2 Criterio di Tresca . . . . .
6.3 Criterio di Mohr-Coulomb
6.4 Criterio di Saint Venant .
6.5 Criterio di Beltrami . . . .
6.6 Criterio di von Mises . . .
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. 116
. 117
. 118
. 120
. 120
. 120
7 Biforcazione elastica statica
125
7.1 Sistemi discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2 Instabilità euleriana di sistemi discreti rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.3 Instabilità euleriana di travi compresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8 Esercizi di riepilogo
136
9 Riferimenti bibliografici
143
INDICE
5
PREFAZIONE ALLA SECONDA EDIZIONE
Questa nuova edizione pretenderebbe di essere migliore rispetto alla precedente, grazie al suggerimento di molti studenti. Le migliorie, effettuate in parte da me, sarebbero state impossibili
senza l’intervento onnipresente di Mattia Celli e Ilaria Del Vescovo. Raramente ho conosciuto
persone più dedicate al lavoro utile per i colleghi. Ogni merito nella spinta a migliorare la prima
edizione va a loro – io, al più, sono stato un braccio, utile ma inessenziale.
da qualche parte nell’universo, novembre 2011
giuseppe ruta
PREFAZIONE
Queste pagine rappresentano, in prima stesura, la trascrizione ragionata delle lezioni da me
tenute nell’anno accademico 2007/2008 per l’insegnamento di Meccanica dei solidi per la laurea
base in Ingegneria meccanica.
I trascrittori – Mattia Celli e Ilaria Del Vescovo – sono stati sicuramente tra gli studenti più
brillanti che ho incontrato finora e questa sensazione è stata confermata anche dai docenti delle
altre discipline. Il loro amore per l’universitas dei saperi e per questa disciplina in particolare
non sono mai stati in discussione. Potrei dilungarmi sulle loro capacità e qualità umane ma
penso che lo sforzo da essi condensato qui – del tutto gratis et amore Dei, spinto solo dalla
solidarietà con i colleghi – ne sia una prova più che tangibile.
Prima di licenziare queste pagine ho cercato di controllarne il filo logico, l’aderenza al mio
percorso didattico e la correttezza della forma. Tengo moltissimo tuttavia a precisare che ogni
merito nella stesura, correzione, impaginazione, leggibilità di queste note, nella loro fruibilità
da parte di altri più giovani colleghi, spetta a Mattia Celli e Ilaria Del Vescovo.
Penso sia inevitabile (fa parte delle conseguenze dell’umana imperfezione, o del secondo principio della termodinamica, come dir si voglia) che imprecisioni, refusi, inesattezze alberghino
ancora qui. Di esse sono, come curatore e supervisore, l’unico responsabile e chiedo anzitempo
venia. Sarò grato a chiunque mi aiuti a migliorare questa prima versione, suggerendomi gli
emendamenti necessari.
Come disse un grande antico, è cattivo discepolo chi non supera il maestro.
da qualche parte nell’universo, marzo 2010
giuseppe ruta
Capitolo 1
Meccanica dell’atto di moto rigido
1.1
Richiami di cinematica dell’atto di moto rigido
Un sistema meccanico occupa regioni dello spazio ambiente, dette configurazioni o forme. L’applicazione che descrive un cambio di configurazione è il trasporto. Una famiglia di trasporti,
parametrizzata da una quantità scalare (tempo), è un moto. La descrizione referenziale del
moto segue le particelle del sistema, ‘etichettate’ una per una, nell’evoluzione dell’ascissa temporale a partire da una forma di riferimento. La descrizione spaziale del moto si concentra sulla
porzione di spazio attraversata dal sistema meccanico all’ascissa temporale t (istante) fissata.
La velocità è la variazione istantanea della configurazione. L’atto di moto è la distribuzione
delle velocità di un intero spazio solidale con un sistema meccanico in una descrizione spaziale
del moto. Si può pensare l’atto di moto come la fotografia ad un tempo t fissato dei punti che
compongono il sistema, a ciascuno dei quali è associato la propria velocità.
In ambiente tridimensionale, un trasporto rigido è una traslazione, una rotazione o una loro
composizione. Una traslazione è descritta da un campo uniforme di vettori. Una rotazione è
descritta da un operatore lineare R(t) ortogonale, per cui in una base ortonormale vale cioè 1
R> R = RR> = I
⇒ R−1 = R>
(1.1)
Se la rotazione dipende dal tempo, la sua derivata temporale è
i>
h
>
R(t)R> (t) ˙= İ = 0 ⇒ W = Ṙ(t)R> (t) = −R(t)Ṙ (t) = − Ṙ(t)R> = −W >
(1.2)
In genere R> R fornisce l’operatore metrico dello spazio, diverso dall’identità. L’ortogonalità di R si
dimostra date due basi ortonormali {ı, , k} e {ı 0 ,  0 , k 0 } ruotate. L’applicazione lineare associata a questa
rotazione si ottiene mettendo in colonna le componenti dei vettori della nuova base rispetto alla vecchia:


ı0 · ı 0 · ı k0 · ı




(R) =  ı 0 ·   0 ·  k 0 ·  


ı0 · k 0 · k k0 · k
1
Delle 9 componenti di R solo 3 sono indipendenti (i vettori delle basi rispettano le 6 condizioni di ortonormalità).
Il modulo di qualsiasi vettore a dev’essere uguale a quello del suo ruotato secondo R:
a · a = a 0 · a 0 = (Ra) · (Ra) = R> Ra · a
Per verificare l’uguaglianza dev’essere R> R = I ⇒ R> = R−1 e R è ortogonale, cioè il suo trasposto coincide
con il suo inverso. Gli operatori ortogonali conservano quindi la norma e rappresentano le isometrie.
6
1.1. RICHIAMI DI CINEMATICA DELL’ATTO DI MOTO RIGIDO
7
per cui l’operatore W (spin) è antisimmetrico. Come per ogni operatore antisimmetrico,2 esiste
w, vettore assiale dello spin, detto velocità angolare.
Considerando un trasporto rigido (isometria), all’istante considerato t si ha
−−→
−−→
−→
−→
∀ O, P, kOP k = kO0 P 0 (t)k ⇒ O0 P 0 (t) = R(t)OP ⇒
−−→
−−→
−−→
−−→
−→
(1.3)
⇒ OP 0 (t) = OO0 (t) + O0 P 0 (t) = OO0 (t) + R(t)OP ⇒
h−−→ i h−−→ i
−
−
→
−
→
⇒ OP 0 (t) ˙ = OO0 (t) ˙+ Ṙ(t)OP ⇒ v(P 0 ) = v(O0 ) + ṘR> O0 P 0
L’ultima delle (1.3) descrive il campo spaziale della velocità in un’isometria, cioè l’atto di
moto rigido. Nell’intorno di ogni punto O esso è dunque ben definito da una funzione lineare
−→
antisimmetrica rispetto al vettore posizione OP : vale quindi la
−→
v(P ) = v(O) + w × OP
(1.4)
che lega le velocità del generico punto P e di un altro punto O dello spazio solidale al sistema.
Moltiplicando formalmente la (1.4) per un tempuscolo dt si ottiene una formula analoga per
gli spostamenti approssimati al primo ordine δu (infinitesimi ), detti anche virtuali:3
−→
δu(P ) = δu(O) + δθ × OP
(1.5)
ove δθ è il vettore rotazione infinitesima.
Un atto di moto rigido è detto anche neutro, ovvero non rilevabile da misurazioni di energia
spesa, poiché non comporta alcun cambiamento della forma geometrica del sistema, il quale si
trasforma in sé stesso. Questa trasformazione si annulla, infatti, con un semplice cambiamento
di coordinate. Il generico atto di moto rigido per un corpo in ambiente tridimensionale è descritto da 6 parametri scalari (parametri lagrangiani ), le 3 componenti di v(O) e le 3 componenti
di w. In ambiente bidimensionale v(O) ha due componenti e w una sola. Si dice allora che un
corpo ha 6 gradi di libertà in uno spazio ambiente tridimensionale e 3 in uno bidimensionale.
Vale il Teorema di Mozzi: Ogni atto di moto rigido in spazio ambiente tridimensionale è
elicoidale, composizione di una rotazione e di una traslazione. Ne segue che in tre dimensioni
esiste una retta (asse del moto) luogo dei punti con velocità minima, solo di traslazione.
Un atto di moto in ambiente bidimensionale è invece sempre o una traslazione o una rotazione.
La traslazione è una rotazione intorno a un punto improprio O all’infinito. Intuitivamente, per
O ↑ ∞ i vettori velocità sono sempre più uniformi e la rotazione si confonde con una traslazione.
2
Dato un operatore antisimmetrico Z, un vettore z è detto vettore assiale di Z se
Za = z × a
∀a
dove × è l’usuale prodotto vettoriale (prodotto di Gibbs); per componenti si ha dunque



0
Z12 Z13
a1
ı
 k






⇒ z1 = −Z23 , z2 = Z13 , z3 = −Z12 .
 −Z12
0
Z23   a2  = z1 z2 z3



−Z13 −Z23
0
a3
a1 a2 a3
3
Infatti, questi spostamenti sono solo geometricamente ammissibili con la configurazione del sistema all’istante considerato t ma in generale non coincidono con quelli effettivamente assunti all’istante successivo t + dt.
Infatti, si osservi che nelle (1.4), (1.5) non compare la legge del moto, che lega il tempo con le configurazioni
assunte dal sistema nello spazio ambiente. Si approssima con uno sviluppo in serie arrestato al primo ordine,
invece, lo spostamento all’istante t + dt a partire dalle conoscenze cinematiche all’istante t.
8
CAPITOLO 1. MECCANICA DELL’ATTO DI MOTO RIGIDO
!
Figura 1.1: Teorema di Chasles.
Teorema di Chasles: in un atto di moto rigido piano, conoscendo le direzioni di velocità di
due punti distinti P, Q si determina il centro di istantanea rotazione O. Infatti, per la formula
−→
−→
(1.4) dell’atto di moto rigido, OP e v(P ), nonché OQ e v(Q), sono ortogonali, e si hanno i casi:
• le ortogonali alle direzioni di velocità di P e Q si intersecano in un punto O proprio del piano
del moto, che è centro d’istantanea rotazione: c’è atto di moto rotatorio intorno a O;
• le ortogonali alle direzioni di velocità di P e Q sono parallele e individuano un punto improprio
O del piano del moto: c’è atto di moto traslatorio ortogonale alla direzione individuata da O.
Teorema di Kennedy (delle catene cinematiche): due corpi
in atto di moto rigido piano
!
hanno tre centri d’istantanea rotazione, due assoluti e uno relativo, allineati tra loro. Tre corpi
in atto di moto rigido piano hanno sei centri di istantanea rotazione, tre assoluti e tre relativi;
non solo i centri assoluti e relativi di ogni coppia sono allineati, ma anche i tre centri relativi.
1.2
Principio di potenza virtuale su atti di moto rigido
Si postula che le interazioni dell’universo con il sistema siano rilevabili solo sottoponendo quest’ultimo a un atto di moto. Una misura per le interazioni è la potenza (forza viva) P, quantità
scalare data dall’integrale di una densità sulla configurazione C assunta dal sistema all’istante
considerato. La densità di potenza dP è pensata lineare nell’atto di moto, data quindi dal
prodotto scalare tra il campo di velocità e un costo di densità di potenza sull’unità di velocità:
Z
P = dP,
dP = df (P ) · v(P )
C
Il costo df (P ) viene detto misura di densità di forza e lo si immagina diversamente distribuito
all’interno di C (forze a distanza) e sulla sua frontiera ∂C (forze per contatto).
Tenendo conto della (1.4), la potenza spesa su un atto di moto rigido vale
Z
h
−→i
P =
df (P ) · v(O) + w × OP =
C
(1.6)
Z
Z
−→
= v(O) · df (P ) + w · OP × df (P ) = v(O) · r + w · mO
C
C
Nella (1.6) si è permutato due volte il prodotto misto che compare nel secondo addendo; si sono
inoltre portati fuori dall’operatore d’integrazione i vettori v(O) e w, uniformi rispetto ai punti
1.3. VINCOLI, DISPOSITIVI ED EQUAZIONI LINEARI DI VINCOLO
9
di C (si ricorda che si sta considerando un istante fissato). Infine, r è detto forza risultante e
mO è detto momento risultante rispetto al polo O delle interazioni dell’universo col sistema.
La (1.6) è il teorema di König per un sistema in atto di moto rigido,4 e i due addendi sono i
contributi di potenza sulle componenti traslatoria e rotatoria dell’atto di moto, rispettivamente.
Quanto detto per la potenza si estende al lavoro, moltiplicando P per il tempuscolo dt.
Postuliamo il Principio della potenza virtuale: la potenza spesa da tutte le interazioni
dell’universo con un sistema in un qualsiasi atto di moto rigido è nulla.
L’atto di moto rigido, infatti, non varia lo stato del corpo e le interazioni tra sistema e universo
sono inefficaci. La somma delle potenze spese da risultante e momento risultante deve quindi
svanire. L’enunciato della potenza virtuale è un bilancio in forma integrale, detta debole in
quanto l’integrazione ‘addolcisce’ eventuali irregolarità dei campi. Da questo si dimostra

 r = 0,
P = 0 ∀ v(O), ∀ w ⇔
(1.7)
 m =0
O
e le (1.7) sono dette equazioni di bilancio meccanico o equazioni cardinali della statica.
Esse esprimono il bilancio meccanico in forma ‘forte’, supponendo, cioè, tutte le regolarità necessarie per passare dalla forma integrale alle integrande. Le (1.7) sono valide per un osservatore
solidale con le stelle fisse (inerziale) o in moto rettilineo uniforme rispetto a esse.
Se si introduce la densità di forza d’inerzia
df in (P ) = −dm(P )a(P )
(1.8)
in cui dm è la misura di massa inerziale e a(P ) è l’accelerazione dell’elemento materiale
sovrapposto al punto P dello spazio ambiente nell’istante considerato, le (1.7) diventano
r − maG = 0,
mG − I G α = 0
(1.9)
con G centro di massa, I G matrice d’inerzia attorno a G e α accelerazione angolare del sistema.
1.3
Vincoli, dispositivi ed equazioni lineari di vincolo
Si vogliono determinare gli atti di moto rigidi consentiti a un sistema collegato a dispositivi
meccanici che ne controllano alcuni movimenti, limitandone i gradi di libertà. Si vuole, cioè,
determinare quanti e quali sono i gradi di libertà residui e identificare i parametri per descriverli.
Figura 1.2: Un esempio di sistema vincolato.
Fissate le cordinate cartesiane xyz come in figura 1.2, una scatola su un tavolo può solo ruotare
attorno a y e traslare lungo x e z: tutti gli altri atti di moto rigido sono composizione di questi.
4
Esso vale anche per un sistema particellare. Di solito O coincide con il centro di massa G del sistema, (1.9).
10
CAPITOLO 1. MECCANICA DELL’ATTO DI MOTO RIGIDO
La scatola ha allora 3 gradi di libertà, non più 6: si dice che essa è vincolata a muoversi sul
piano del tavolo, che è un dispositivo di vincolo che limita i gradi di libertà della scatola.
Si dice vincolo semplice una funzione scalare che ‘lega’ i gradi di libertà dell’atto di moto
rigido, imponendo loro di seguire una legge assegnata. Un dispositivo di vincolo è un sistema
meccanico che interagisce con quello considerato, realizzando un insieme di condizioni di vincolo
semplice. Il tavolo impone che le componenti lungo x e z della velocità angolare della scatola
siano nulle, cosı̀ come nulla è la componente lungo y della velocità di un qualsiasi suo punto O.
La figura 1.3 mostra alcuni dispositivi di vincolo, con i simboli e le equazioni che li descrivono.
Figura 1.3: Dispositivi di vincolo piani.
Un dispositivo di vincolo, influendo sul moto d’un sistema, interagisce con esso per contatto
e spende potenza, detta reattiva, sugli atti di moto che controlla. Considereremo dispositivi di
vincolo perfetti : essi, pensati fissi all’istante t, spendono potenza nulla su tutti gli atti di moto
che consentono. I vincoli perfetti non dissipano in calore parte dell’energia spesa e perciò sono
anche detti lisci o privi d’attrito. Se il tavolo è liscio, esplica densità di forze reattive ortogonali
al piano, con risultante che controlla la traslazione lungo y e momento risultante che controlla
la rotazione attorno a x e z. Le componenti di reazione esplicate sono indicate nella figura 1.3.
Un dispositivo di vincolo è interno se collega due o più parti di un sistema; è esterno se collega
1.4. CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI MECCANICI VINCOLATI
11
Figura 1.4: Un sistema soggetto a dispositivi di vincolo interni ed esterni.
una parte del sistema ad un corpo esterno, detto suolo o telaio, di stato supposto noto a priori,
figura 1.4. Vi sono dispositivi di vincolo in parte interni ed in parte esterni:
• una cerniera tra n corpi e il suolo è un vincolo sia interno sia esterno e funziona da vincolo
doppio per ciascuno degli n corpi, quindi esplica 2n condizioni di vincolo semplice;
• una cerniera tra n corpi, ma non il suolo, è un vincolo interno doppio per ognuna delle n − 1
coppie indipendenti di corpi, quindi esplica 2(n − 1) condizioni di vincolo semplice;
• un carrello tra n corpi e il suolo è vincolo sia interno sia esterno e funziona da vincolo doppio
per ciascuna delle n − 1 coppie indipendenti di corpi, da vincolo semplice tra i corpi e il suolo,
per cui esplica 2n − 1 condizioni di vincolo semplice.
1.4
Classificazione dei sistemi meccanici vincolati
Apparentemente, per controllare gli atti di moto rigido di un sistema meccanico a N gradi di
libertà basterebbe sottoporlo a N vincoli semplici. In realtà, non tutti i dispositivi di vincolo
possono essere efficaci. Per esempio, il sistema della figura 1.5 è caratterizzato da 3 gradi di
libertà e sottoposto a 3 dispositivi di vincolo semplice di tipo carrello. L’azione di ciascun
carrello, però, viene replicata dagli altri e non viene controllata la traslazione lungo x. In
questo caso uno dei dispositivi di vincolo si dice inefficace o mal posto.
Figura 1.5: Un sistema soggetto a dispositivi di vincolo mal posti.
Ha senso, allora, porsi il Problema cinematico: si vuole determinare se il sistema considerato
ammette atti di moto rigido compatibili con i dispositivi di vincolo assegnati nella configurazione
assunta all’istante fissato. Si noti che le equazioni scalari di vincolo semplice sono lineari nelle
componenti dell’atto di moto rigido, cosı̀ come lineare è la formula (1.4). Applicare m vincoli
semplici a un sistema meccanico composto di n corpi equivale quindi a scrivere un sistema
algebrico lineare di m equazioni di vincolo negli l (l = 6n se lo spazio ambiente è tridimensionale,
l = 3n se è bidimensionale) parametri lagrangiani q̇j (j = 1, . . . , l) del sistema meccanico:
Aij q̇j = ci ,
Al̇ = c
(1.10)
in cui ci , i = 1, . . . , m è la velocità (o spostamento linearizzato) imposto dall’i-esimo vincolo
semplice. La matrice A dei coefficienti di questo sistema di equazioni, che traducono il problema cinematico, è detta matrice cinematica. Per il teorema di Rouché-Capelli, il problema
cinematico è compatibile se e solo se la matrice dei coefficienti ha lo sesso rango ρ di quella
12
CAPITOLO 1. MECCANICA DELL’ATTO DI MOTO RIGIDO
ottenuta completandola con il vettore colonna dei termini noti. Se cosı̀ è, vi sono l − ρ gradi
di libertà residui, ovvero atti di moto rigido permessi al sistema meccanico. Se tutti i vincoli
sono fissi, il problema cinematico è omogeneo, è sempre compatibile (l’aggiunta di una colonna
di termini nulli non altera il rango di A) e ammette sicuramente la soluzione nulla. Si hanno
• sistemi singolari se il rango di A non è massimo (det A = 0 per A quadrata) e una
o più equazioni di vincolo dipendono da altre; i vincoli in oggetto sono inefficaci o mal
posti, in generale non si risponde al problema cinematico e ogni caso va studiato a sè.
• sistemi non singolari se il rango di A è massimo (det A 6= 0 per A quadrata); sono
– cinematicamente indeterminati: ρ = m < l, vi sono meno vincoli indipendenti che
gradi di libertà e il sistema ha l − m gradi di libertà non determinati dai vincoli; la
configurazione adiacente in termini di atto di moto rigido è inconoscibile;
– cinematicamente univocamente determinati: ρ = m = l, vi sono tanti vincoli indipendenti quanti gradi di libertà; il sistema ha un unico atto di moto rigido determinato
dai vincoli e la configurazione adiacente è univocamente determinata;
– cinematicamente impossibili: ρ = l < m, vi sono più vincoli (almeno l dei quali
indipendenti) che gradi di libertà; il sistema non può ammettere gli atti di moto
rigido imposti dai vincoli, tranne nel caso di vincoli fissi, l’unico in cui il problema è
banalmente compatibile e la configurazione adiacente coincide con quella di partenza.
Poiché i dispositivi di vincolo hanno aspetto duplice, cinematico e d’interazione col sistema
considerato, ha senso porsi il Problema statico: si vuole stabilire se i dispositivi di vincolo
cui è soggetto un sistema meccanico in una configurazione assegnata a un istante fissato siano
in grado di bilanciare i carichi esterni. In altre parole, si vuole vedere se si possono esplicare
distribuzioni di reazioni vincolari che garantiscano equilibrio statico al sistema, ovvero assenza
di accelerazioni a tutti i suoi punti. In tal caso, le equazioni (1.9) si riducono alle (1.7) e si può
mettere in evidenza la diversa natura delle azioni (attive e reattive) scrivendo
r A + r V = 0,
mO,A + mO,R = 0.
(1.11)
Se dalle (1.11) si vuole valutare la potenza spesa secondo la formula di König (1.6), bisogna
ricordare che le azioni attive fanno lavoro sui parametri liberi q̇j , che raccolgono le componenti
di v(O) e w, mentre le azioni reattive fanno lavoro sulle velocità dei vincoli ci . Ne segue che

 
 

rA
v
rV
· 0 +
·c=
0 = 
mO,A
w
mO,R
(1.12)
= lA · l̇ + lR · Al̇ = A> lR + lA l̇
∀l̇ ⇒
⇒ A> l R + l A = 0
in cui lA raccoglie le componenti lagrangiane della sollecitazione attiva, lR quelle della sollecitazione reattiva. Le equazioni (1.12) del problema statico costituiscono anch’esse, come le (1.10),
un sistema algebrico lineare la cui matrice dei coefficienti è la matrice cinematica trasposta.
È dunque possibile classificare i sistemi meccanici anche con riferimento al problema statico;
con le stesse notazioni adottate per il problema cinematico, si hanno
1.4. CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI MECCANICI VINCOLATI
13
• sistemi singolari se il rango di A non è massimo (det A = 0 per A quadrata), una o
più equazioni di vincolo sono dipendenti. I vincoli in oggetto sono inefficaci o mal posti
e in generale non si può rispondere al problema statico; ogni caso va considerato a sè.
• sistemi non singolari se il rango di A è massimo (det A 6= 0 per A quadrata); sono
– staticamente impossibili: ρ = m < l, vi sono meno vincoli indipendenti che gradi
di libertà e le componenti di reazione vincolare non bastano a bilanciare le azioni
attive, in numero di l − m superiori ad esse;
– staticamente univocamente determinati: ρ = m = l, i vincoli, indipendenti e pari
ai gradi di libertà, possono erogare reazioni vincolare che bilanciano le componenti
dell’azione attiva; la loro distribuzione è univocamente determinata;
– staticamente indeterminati: ρ = l < m, vi sono più vincoli (almeno l dei quali
indipendenti) che gradi di libertà, quindi più componenti di reazione vincolare che
componenti di sollecitazione attiva, la quale può essere bilanciata in m − l modi.
A questo punto è possibile caratterizzare un sistema meccanico vincolato caratterizzato da una
matrice cinematica di rango massimo come segue: chiameremo
• iperstatico un sistema cinematicamente impossibile e staticamente indeterminato, con più
equazioni di vincolo semplice che gradi di libertà; al corpo non sono consentiti atti di moto
rigidi (se non quello banale nel caso di vincoli fissi) e le reazioni vincolari, sovrabbondanti,
non sono univocamente determinabili tramite le equazioni di bilancio meccanico;
• isostatico un sistema cinematicamente determinato e staticamente determinato, con tanti
vincoli semplici indipendenti quanti gradi di libertà, che ammette un unico atto di moto compatibile e un’unica distribuzione di componenti di reazione vincolare in grado di
bilanciare meccanicamente ogni distribuzione di azioni esterne attive;
• labile un sistema cinematicamente indeterminato e staticamente impossibile, con meno vincoli semplici che gradi di libertà, che si comporta da meccanismo dal moto non
determinato e in generale non bilanciabile staticamente.
Capitolo 2
La trave, continuo monodimensionale
2.1
Continui
Il corpo rigido, potendo assorbire e restituire quantità anche infinite di energia meccanica,
è un modello spesso troppo astratto. Si usano modelli continui per i corpi reali, deformabili,
trascurandone la costituzione reale e descrivendone le forme assunte nell’ambiente euclideo. Per
i continui deformabili si studiano: la cinematica della deformazione; il bilancio tra sollecitazioni
esterne (carichi ) e interne (tensioni ); le leggi costitutive del materiale, che legano tensioni e
deformazioni. Le equazioni derivanti da questi studi permettono la risoluzione dei problemi dei
continui deformabili e in particolare di quello elastico lineare, del quale ci interesseremo.
Gli strumenti matematici utilizzati per descrivere i continui non sono gli stessi che per i
sistemi discreti: non si avrà un numero finito d’incognite (parametri lagrangiani) ma in generale
funzioni di campo delle variabili spaziali. Le funzioni si supporranno sufficientemente regolari
per le operazioni che verranno eseguite. Le equazioni della statica da algebriche lineari diventano
differenziali ordinarie (per le travi) o alle derivate parziali (per piastre, gusci ed elementi estesi
in genere), mantenendosi lineari. Le difficoltà analitiche dunque si accrescono enormemente
richiedendo spesso risoluzioni numeriche, che partono però dalla ricerca e dalla comprensione
delle soluzioni analitiche, che suggeriscono la comprensione della meccanica dei problemi.
In meccanica dei solidi la forma di riferimento è semplice, generalmente assunta come uno
stato naturale, privo di tensioni. In meccanica dei fluidi non si hanno forme preferite: di solito
si considera un volume di controllo, la regione occupata dal volume di fluido nell’istante fissato.
2.2
La trave come continuo deformabile
Molti elementi strutturali assumono forme con una dimensione prevalente sulle altre e si descrivono con un modello fisico-matematico detto trave. Esso consta di un tratto di linea di
supporto (asse) a ciascun punto del quale sono associate copie di una regione piana (sezioni ).
Ganci, archi, molle elicoidali hanno asse curvo; assi, alberi, bielle hanno asse rettilineo e sezioni
a esso ortogonali nella forma di riferimento. Studieremo queste ultime, per cui il segmento
d’asse sia spazzato dall’ascissa z con origine nell’estremo di sinistra.
Un’altra configurazione è descritta dalla nuova forma del supporto e dal nuovo assetto delle
sezioni, considerate suscettibili solo di moti rigidi. In cinematica infinitesima occorrono dunque:
•) il campo vettoriale di spostamento dei punti dell’asse, di componenti u(z), v(z), w(z); •) il
campo dei vettori assiali della rotazione incrementale delle sezioni, con componenti θx , θy , θz .
14
2.2. LA TRAVE COME CONTINUO DEFORMABILE
15
La situazione è mostrata nella figura 2.1 per uno spazio ambiente bidimensionale, descritto senza restrizione di generalità dalle coordinate yz, in cui lo spostamento ha componenti
v(z), w(z) e la sola rotazione possibile è θx (z). La coordinata x, ortogonale al piano, forma un
sistema levogiro xyz in cui z è parallelo al versore tangente, x al versore normale e y al versore
binormale della base di Frénet per l’asse.
Figura 2.1: Cinematica piana di una trave a supporto rettilineo.
Un trasporto rigido infinitesimo ha rotazione uniforme θ ed è lineare in θ e nella posizione:
−→
u(Q) = u(P ) + θ × P Q
Senza restrizione di generalità, i punti P e Q si possono pensare posti alle ascisse rispettivamente
z e z + dz sull’asse, per cui in cinematica rigida infinitesima si ha


 
0
θ
u (z)

  y 


 
u(z + dz) − u(z) = θ × kdz ⇒ u0 (z) = θ × k ⇒  v 0 (z)  =  −θz  , θ 0 = 0 (2.1)


 
0
0
w (z)
con le ovvie semplificazioni in spazio ambiente bidimensionale descritto dalle coordinate yz.
La deformazione si definisce in modo naturale come difetto di rigidità del trasporto infinitesimo
e(z) = u0 (z) − θ(z) × k,
χ(z) = θ 0 (z)
(2.2)
e le misure di deformazione e, χ hanno componenti dette
• allungamento specifico , difetto di rigidità della componente assiale di spostamento; in
uno spostamento rigido w0 (z) = 0 e il supporto deformabile subisce allungamento se
(z) = w0 (z) 6= 0
come mostrato nella figura 2.2. L’allungamento specifico è un numero puro.
Figura 2.2: Allungamento specifico e scorrimenti angolari per la trave.
(2.3)
16
CAPITOLO 2. LA TRAVE, CONTINUO MONODIMENSIONALE
• scorrimento angolare γ, numero puro, difetto di rigidità della componente trasversale di
spostamento. In un trasporto rigido u0 (z) − θy = 0, v 0 (z) + θx = 0, equazione (2.1); gli
angoli inizialmente retti tra supporto e sezione variano, figura 2.2, se
γxz (z) = u0 (z) − θy 6= 0,
γyz (z) = v 0 (z) + θx 6= 0
(2.4)
• incurvamento χ, difetto d’uniformità della rotazione infinitesima; in uno spostamento
rigido θ 0 = 0 e due sezioni poste a distanza dz sull’asse variano il loro assetto relativo se
χ(z) = θ 0 (z) 6= 0 .
(2.5)
L’incurvamento, con dimensioni fisiche di reciproco di una lunghezza, ha componenti
trasversali 1 dette incurvamenti flessionali, vedi figura 2.3, e componente assiale detta incurvamento torsionale. Gli incurvamenti flessionali sono i reciproci dei raggi di curvatura
locali;2 l’incurvamento torsionale descrive la rotazione assiale relativa, figura 2.3.
Figura 2.3: Incurvamenti flessionali e torsionale per la trave.
Le 6 componenti scalari delle misure di deformazione si riducono a 3 in ambiente bidimensionale: allungamento specifico dell’asse, scorrimento tra asse e sezione e incurvamento flessionale.
Le equazioni di compatibilità cinematica (2.3)–(2.5) esprimono le condizioni analitiche tra
spostamento e deformazione infinitesimi per evitare lacerazioni e compenetrazioni di materia.
2.3
Principio di lavoro (potenza) virtuale
Un atto di moto rigido, ovvero uno spostamento rigido infinitesimo, non cambia lo stato meccanico del sistema in quanto svanisce con un cambiamento d’osservatore. In uno spostamento infinitesimo deformativo lo stato meccanico del sistema è cambiato e immaginiamo di conseguenza
che la potenza spesa dalle interazioni del sistema con l’universo sia diversa da zero.
La potenza, si veda il § 1.2, è l’integrale di una densità di potenza, lineare nei descrittori
dell’atto di moto rispetto a una misura di azioni esterne che possono essere a distanza e di
contatto. Quanto detto per la potenza si estende naturalmente al lavoro se al posto dell’atto di
moto si considerano i campi descrittori dello spostamento infinitesimo (ottenuti moltiplicando
i campi dell’atto di moto per un tempuscolo infinitesimo dt). Per il modello fisico-matematico
1
Cioè lungo normale e binormale della terna locale di Frénet, ovvero lungo gli assi x e y di un sistema
cartesiano se l’asse della trave, come scelto qui, coincide con z.
2
Per convincersene, si pensi che per la lunghezza l di un arco di circonferenza di raggio r e ampiezza φ si ha
l = rφ, da cui 1/r = φ/l e, se φ → dφ, l → dz, si ha 1/r = dφ/dz.
2.3. PRINCIPIO DI LAVORO (POTENZA) VIRTUALE
17
trave, le azioni a distanza sono distribuite all’interno del supporto ]0, l[, quelle per contatto al
suo contorno, dato dai punti z = 0 e z = l. Per costruire un funzionale lineare nei descrittori
dello spostamento infinitesimo, le azioni esterne a distanza e per contatto sono un campo
vettoriale di forza e uno di coppia:
Z l
[b(z) · u(z) + B(z) · θ(z)] dz+
L=
0
(2.6)
+ [t(0) · u(0) + T (0) · θ(0)] + [t(l) · u(l) + T (l) · θ(l)]
Le densità di forza b di coppia B per unità di misura del supporto hanno dimensioni fisiche di
forza e momento per unità di lunghezza, rispettivamente. Le forze t e le coppie T di contatto
hanno dimensioni fisiche di forza e coppia, rispettivamente.
L’enunciato del lavoro virtuale su atti di moto rigido conduce alle equazioni globali di bilancio
meccanico per forza e momento rispetto all’origine sul supporto, che ricalcano le (1.7) e la cui
prova si lascia per esercizio:
Z l
b(z)dz + t(0) + t(l) = 0
0
(2.7)
Z l
[B(z) + zk × b(z)] dz + T (0) + T (l) + lk × t(l) = 0
0
Quando il sistema meccanico cambia stato per effetto di una spesa di lavoro (potenza) da
parte dell’universo che su di esso agisce, ammettiamo anche che ogni sottoparte del sistema, per
adattarsi al nuovo stato, scambi con le contigue flussi di lavoro (potenza). Se la caratterizzazione
del lavoro (potenza) delle azioni esterne risulta quasi intuitiva, per il lavoro scambiato dalle
parti del sistema occorre avanzare delle ipotesi, dette costitutive poichè tengono in conto di
come il materiale di cui è costituito il sistema trasmette i flussi di lavoro dall’esterno verso le
sue parti. L’ipotesi minimale è che il lavoro tra le sottoparti del sistema (lavoro interno) Li
sia lineare nello spostamento infinitesimo dell’intorno del punto considerato, ovvero si rilevi
testando lo spostamento infinitesimo di ogni punto e la sua approssimazione prima:3
Z l
[s0 (z) · u(z) + s1 (z) · u0 (z) + S 0 (z) · θ(z) + S 1 (z) · θ 0 (z)] dz
(2.8)
Li =
0
dove i campi s0 , S 0 sono detti di autotensione, i campi s0 , S 0 sono detti di tensione. Se si
volesse modellare un continuo le cui porzioni sentono le azioni di porzioni “lontane”, ovvero oltre
l’intorno del primo ordine del punto considerato, si dovrebbero inserire nella (2.8) termini che
spendano lavoro sull’approssimazione seconda, terza, . . . del campo di spostamento infinitesimo.
La richiesta che il lavoro interno tenga conto del cambiamento di stato del sistema impone che
Li = 0 comunque si scelga un campo di spostamento rigido infinitesimo come in (2.1). Posta z̄
l’ascissa di un posto P fissato ad arbitrio sull’asse della trave, deve essere
Z l
0=
[s0 (z) · u(z̄) + s1 (z) · (θ × k) + S 0 (z) · θ] dz ⇒ s0 (z) = 0, S 0 (z) = −k×s1 (z) . (2.9)
0
Infatti, per la generalità del campo d’integrazione, l’annullamento dell’integrale implica quello
dell’integrando e per la generalità di u(z̄), θ l’annullarsi dell’integrando implica quello dei due
addendi separatamente.4 Infine, si è applicata la permutazione ciclica del prodotto misto.
3
Quanto per il lavoro s’estende alla potenza, dividendo lo spostamento per dt e considerando l’atto di moto.
Infatti, la (2.9) vale per ogni spostamento infinitesimo e si può pensare prima a uno in cui u(z̄) 6= 0, θ = 0,
poi a uno in cui u(z̄) = 0, θ 6= 0, da cui l’asserto.
4
18
CAPITOLO 2. LA TRAVE, CONTINUO MONODIMENSIONALE
Sostituendo le (2.9), (2.2) nella (2.8) si ricava la formula ridotta del lavoro interno:
Z l
[s1 (z) · u0 (z) + (s1 (z) × k) θ + S 1 (z) · θ 0 (z)] dz =
Li =
Z
0
l
(2.10)
(s1 (z) · e(z) + S 1 (z) · χ(z)) dz
=
0
il quale, come intuibile empiricamente, risente solo della componente non neutra dello spostamento infinitesimo, ovvero della deformazione. Le azioni interne che spendono lavoro sulla
deformazione sono forze, raccolte nel vettore s1 , e coppie, raccolte nel vettore assiale S 1 .
Nella figura 2.4 a sinistra si mostra l’azione interna che spende lavoro sull’allungamento specifico, detta forza normale N . Nella figura 2.4 a destra si mostra una componente dell’azione
Figura 2.4: Forza normale e tagliante.
interna che spende lavoro sullo scorrimento, la forza tagliante Tx (Ty ). Nella figura 2.5 si mostra
una componente dell’azione interna che spende lavoro sull’incurvamento flessionale, la coppia
flettente Mx (My ). Analogamente si illustrerà la coppia torcente Mz .
Figura 2.5: Coppia flettente.
Poiché non possiamo ammettere che in un qualsivoglia processo meccanico, ancorché infinitesimo e di prova, semplicemente ammissibile (virtuale), il lavoro si disperda, deve valere il
principio dei lavori virtuali: per ogni spostamento infinitesimo e per ogni campo di deformazioni infinitesime con esso compatibile, il lavoro speso virtualmente dall’universo sul sistema
deve uguagliare quello speso da tutte le sottoparti del sistema 5
Z l
[b(z) · u(z) + B(z) · θ(z)] dz + [t(0) · u(0) + T (0) · θ(0)] +
0
(2.11)
Z l
+ [t(l) · u(l) + T (l) · θ(l)] =
(s1 (z) · e(z) + S 1 (z) · χ(z)) dz
0
5
Un enunciato analogo vale per la potenza.
2.3. PRINCIPIO DI LAVORO (POTENZA) VIRTUALE
19
L’equazione (2.11), che traduce il principio del lavoro virtuale, deve valere per qualsiasi trave,
al limite di lunghezza nulla, quindi anche per la singola sezione all’ascissa z̄.6 Gli integrali nella
(2.11), essendo allora estesi a un insieme di misura nulla, valgono zero e la (2.11) fornisce
|t · u + T · θ|z̄− + |t · u + T · θ|z̄+ = 0 ⇒ t(z̄ − ) = −t(z̄ + ), T (z̄ − ) = −T (z̄ + )
(2.12)
per la continuità dei campi dello spostamento infinitesimo in z̄. La (2.12) traduce la legge di
azione e reazione: l’azione di contatto che il mondo a sinistra della sezione in z̄ esercita sulla
parte a destra è opposta di quella che il mondo a destra della sezione in z̄ esercita sulla parte
a sinistra. Questo risultato permette di rappresentare le azioni di contatto riferendosi solo a
Figura 2.6: Azioni di contatto su un tratto di trave.
quelle su una faccia della sezione; per convenzione, a quelle sulla faccia di destra (z̄ + ) si dà il
verso della base locale di Frénet, che per un tratto uniformemente rettilineo coincide con la base
esterna. Nella figura 2.6 è mostrata questa scelta per una trave in ambiente bidimensionale.
Scegliendo dunque come rappresentative delle azioni di contatto quelle sulle pagine di destra
di ogni sezione, i termini al contorno che compaiono nella (2.11) si compattano e per essi, sotto
ipotesi di regolarità opportune, si può applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale:
Z
l
[b(z) · u(z) + B(z) · θ(z)] dz + |t(z) · u(z) + T (z) · θ(z)|l0 =
0
Z
l
(s1 (z) · e(z) + S 1 (z) · χ(z)) dz ⇒
=
0
Z ln
⇒
b(z) · u(z) + B(z) · θ(z) + [t(z) · u(z) + T (z) · θ(z)]0 +
(2.13)
0
o
− [s1 (z) · e(z) + S 1 (z) · χ(z)] dz =
Z ln
=
[b(z) + t 0 (z)] · u(z) + [B(z) + T 0 (z) + k × s1 (z)] · θ(z)+
0
o
+ [t(z) − s1 (z)] · u0 (z) + [T (z) − S 1 (z)] · θ 0 (z) dz = 0
avendo inoltre sviluppato le derivate indicate nella (2.13) e avendo sfruttato le definizioni di
misure di deformazione nella (2.2). Per la generalità del dominio, l’annullarsi dell’integrale
6
Si immagina che l’estremo di sinistra della trave 0 → z̄ − e che l’estremo di destra l → z̄ + .
20
CAPITOLO 2. LA TRAVE, CONTINUO MONODIMENSIONALE
nella (2.13) comporta l’annullarsi dell’integrando. Per la generalità dei campi cinematici che
compaiono nell’integrando, tutti i termini della somma in esso presenti devono annullarsi:7
s1 (z) = t(z),
S 1 (z) = T (z),
t 0 (z) + b(z) = 0,
T 0 (z) + k × t(z) + B(z) = 0.
(2.14)
Le prime due (2.14) esprimono un fatto essenziale della meccanica della trave:8 quelle interne
sono azioni per contatto che il pezzo (‘concio’) considerato riceve dagli altri pezzi, visti come parte del mondo esterno. In una interpretazione suggestiva dal punto di vista meccanico, le azioni
interne si possono vedere come ‘reazioni vincolari’ esercitate per contatto sul concio considerato
dai pezzi di trave adiacenti per mantenere la continuità della trave nella sua interezza, ovvero
per garantirne il comportamento come unico sistema sotto gli atti di moto rigido. Le azioni
interne si possono allora ricavare, con questa interpretazione, tramite il bilancio meccanico di
una porzione finita di trave a partire dalla conoscenza di tutte le altre azioni esterne.
Le seconde due (2.14) esprimono il bilancio meccanico in forma locale: se forza e momento
hanno somma nulla per il sistema nella sua interezza, la devono avere anche per ogni tratto
infinitesimo. Le (2.7) si ottengono facilmente dalle (2.14) per integrazione su un dominio finito.
Con una interpretazione suggestiva dal punto di vista meccanico, visto che la divergenza di
un campo vettoriale diventa la derivata ordinaria per un dominio monodimensionale, il flusso
di forza per contatto è bilanciato dalla densità di forza a distanza e il flusso di coppia per
contatto è bilanciato dalle densità di coppia a distanza e di momento della forza per contatto.
Le componenti scalari delle (2.14) sono, omettendo la dipendenza dei campi indicati dall’ascissa
z per alleggerire la notazione e posto b = (bx , by , bz ) e B = (mx , my , mz ),
Tx0 + bx = 0,
Ty0 + by = 0,
N 0 + bz = 0,
Mx0 − Ty + mx = 0,
My0 + Tx + my = 0,
Mz0 + mz = 0
(2.15)
con le semplificazioni ovvie se ci si riduce a uno spazio ambiente bidimensionale.
Seguendo l’interpretazione delle azioni interne come azioni per contatto, le (2.15) si possono
ottenere tramite il bilancio meccanico su un concio di ampiezza infinitesima; per semplicità, se
si considera una trave nello spazio ambiente bidimensionale descritto dagli assi yz e con una
lieve modifica di simboli per alleggerire la notazione, si ha
• bilancio della forza in direzione assiale (lungo la tangente all’asse):
−N + N +
dN
dz + p = 0 ⇒ N 0 + p = 0
dz
• bilancio della forza trasversalmente all’asse (lungo la binormale):
−T + T +
7
dT
dz + b = 0 ⇒ T 0 + b = 0
dz
Si può infatti pensare di scegliere di volta in volta uno spostamento infinitesimo caratterizzato da uno dei
quattro campi u, θ, u0 , θ 0 diverso dal vettore nullo e gli altri nulli, da cui l’asserto.
8
In realtà, come si vedrà oltre, questo è un risultato generale della meccanica dei continui di grado uno, in
cui cioè si considerano le azioni interne solo nell’intorno di primo ordine di ogni punto.
2.4. EQUAZIONI DEL PROBLEMA ELASTICO STATICO
21
Figura 2.7: Bilancio meccanico locale in ambiente bidimensionale.
• bilancio del momento (attorno alla normale) rispetto al polo “di destra” del concio:
−M + M +
dz
dM
dz − T dz − bdz + mdz = 0 ⇒ M 0 − T + m = 0
dz
2
avendo trascurato il contributo delle forze a distanza, che rappresenta un infinitesimo di
ordine superiore al primo.
2.4
Equazioni del problema elastico statico
Le (2.2), (2.14) rappresentano le equazioni locali di compatibilità cinematica tra campi di
spostamento e deformazioni infinitesime e di bilancio meccanico tra azioni esterne e interne.
Esse equivalgono a 12 equazioni scalari differenziali lineari e ordinarie del primo ordine. I campi
dati sono le densità di azione a distanza b, B, gli incogniti sono lo spostamento e la deformazione
infinitesima u, θ, e, χ e l’azione interna t, T , in totale quindi 18 funzioni scalari. Appare
evidente che, mentre in un sistema isostatico le equazioni di bilancio meccanico, separatamente
dalle altre, permettono di ricavare almeno le azioni interne, in generale solo le equazioni di
compatibilità e di bilancio non sono sufficienti a determinare tutti i campi incogniti.
Per chiudere il problema occorrono sei equazioni indipendenti che esprimano altri fatti fisici
oltre la compatibilità e il bilancio. Finora si sono visti la cinematica indipendentemente dalle
sollecitazioni e il bilancio indipendentemente dalla cinematica: per descrivere appieno la fisica
del problema, mancano relazioni che descrivano il legame tra cinematica e sollecitazioni, ovvero
la dipendenza degli ‘effetti’ (i cambiamenti di stato) dalle ‘cause’ (le sollecitazioni). I cambiamenti di stato sono descritti dalle misure di deformazione, le sollecitazioni che le rivelano,
spendendo lavoro su di esse, sono quelle interne. Inoltre, poiché le sollecitazioni interne in una
trave agiscono sulla pagina di una sezione, il legame tra sollecitazioni interne e deformazioni
deve dipendere dal materiale che compone la trave e dalle proprietà geometriche della sezione.
Nel campo delle deformazioni infinitesime qui trattate, quasi tutti i materiali d’impiego abituale nell’ingegneria industriale si comportano in maniera reversibile, ovvero cessata la sollecitazione tornano allo stato iniziale. Si ammette allora che la trave si comporti in modo elastico
lineare: l’elasticità descrive la reversibilità, la linearità discende dall’ipotesi di piccole deformazioni (una variazione ‘piccola’ rispetto allo stato iniziale). Sotto questa ipotesi si possono
scrivere relazioni algebriche lineari tra le componenti dell’azione interna e della deformazione in
22
CAPITOLO 2. LA TRAVE, CONTINUO MONODIMENSIONALE
ogni punto dell’asse. Queste sono in generale descritte da 21 coefficienti indipendenti,9 ma sulla
base di osservazioni sperimentali si può accettare che ogni misura di deformazione influenzi solo
l’azione interna che su di essa spende potenza, ottenendo delle relazioni elastiche diagonali:
Tx = Cx γxz,el ,
Ty = Cy γyz,el ,
N = Ael ,
Mx = Bx χx,el ,
My = By χy,el ,
Mz = Dχz,el
(2.16)
dove il pedice ‘el ’ indica che la componente indicata della misura di deformazione è di origine
elastica, mentre in generale ci potrebbero essere altre cause di deformazione, come un gradiente
di temperatura rispetto a quella di posa in opera.
Le grandezze A, Bi , Ci , D sono le rigidezze all’allungamento, alla flessione attorno all’asse
i-esimo, allo scorrimento angolare nel piano xi z, alla torsione. La riduzione delle relazioni
(2.16), dette costitutive della trave in questione, a un sistema bidimensionale è semplice. Con
l’aggiunta delle equazioni costitutive a quelle di compatibilità e di bilancio il problema elastico
statico lineare è chiuso (18 equazioni indipendenti in 18 campi incogniti) e ammette sempre
soluzione, trattandosi di un sistema di equazioni differenziali lineari per cui esistono teoremi
di esistenza e unicità sotto opportune ipotesi. Nel seguito si vedranno alcune tecniche di
determinazione delle soluzioni del problema.
9
P
In elasticità lineare esiste una densità d’energia potenziale (1/2) i,j Kij δi δj , in cui Kij è la matrice delle
rigidezze elastiche e δi , δj sono le varie deformazioni elastiche. La matrice di rigidezza è simmetrica (teorema
di Schwartz sull’uguaglianza delle derivate seconde miste) per cui le componenti indipendenti di Kij sono solo
quelle da una parte della diagonale principale, questa compresa.
Capitolo 3
Risoluzione di travature
3.1
Travature staticamente determinate
Il problema statico per travature isostatiche si risolve applicando il bilancio meccanico in forma
globale e locale. Si caratterizza il sistema valutando numero ed efficacia dei vincoli; si determinano le reazioni vincolari esterne e interne; infine, si trovano le distribuzioni delle azioni interne
e se ne tracciano i diagrammi per individuare la sezione più sollecitata.
L’ascissa assiale sia positiva da sinistra a destra, la pagina positiva della sezione sia orientata
come la base esterna; le azioni interne sulla pagina positiva siano concordi con la base esterna,
!
figura 2.6.1 Per convenzione, i diagrammi del momento flettente vanno dalla parte esterna
alla
concavità dell’asse, per simulare la configurazione deformata della trave.
!
Figura 3.1: Esempio 3.1: travatura staticamente determinata.
Esempio 3.1. Applicazione del bilancio in forma finita. Per caratterizzare la struttura
nella figura 3.1 si valutano i suoi elementi, i dispositivi di vincolo cui è soggetta e le reazioni
da questi esplicate. C’è un’unica trave con asse rettilineo a tratti e 3 gradi di libertà; i vincoli
1
In alcuni testi si orienta l’asse y in basso e apparentemente taglio e momento flettente hanno segni opposti.
23
24
CAPITOLO 3. RISOLUZIONE DI TRAVATURE
semplici sono 3, indipendenti. Infatti, la cerniera in A è un centro d’istantanea rotazione, ma
la velocità di B sarebbe ortogonale a AB per la (1.4), in disaccordo col carrello in B: l’unico
atto di moto compatibile con i vincoli è quello nullo e il sistema risulta isostatico.
Nella figura 3.1 sono evidenziate le reazioni vincolari xA , yA , yB , con versi arbitrari,2 suggerendo il passaggio logico sistema→corpo libero per meglio scrivere le equazioni (1.7) di bilancio
a traslazione e rotazione. Trattando il bilancio su atti di moto rigido, la distribuzione di carico
equivale al suo risultante applicato al centro di figura della distribuzione;3 scegliendo O ≡ A è






−xA − F = 0
xA = −F












L1
L1
L2
h
yA + yB − p − pL2 = 0
⇒
yB = p + pL2 1 +
+F
2


8
2L1
L1








L1 L1
L2
L2
h
3pL1




− pL2 L1 +
− Fh = 0
 yA =
 y B L1 − p
+ pL2
−F
2 4
2
8
2L1
L1
Per determinare le distribuzioni delle azioni interne si fissa la base locale di Frénet per ogni
tratto regolare e si opera un sezionamento immaginario della travatura in due parti all’ascissa
generica ξi sull’i-esimo tratto. Le azioni interne sono la forza e la coppia che la parte a destra
del sezionamento immaginario esercita sulla parte a sinistra per mantenerla in equilibrio statico.
Esse si ricavano quindi applicando il bilancio globale sulla porzione finita di travatura dall’inizio
fino a ξi , considerando le azioni interne applicate per contatto alla sezione di separazione con i
versi concordi a quelli scelti. Cosı̀, a un’ascissa A ≤ ξ1 < E si deve scrivere
ξ1
N (ξ1 ) + F = 0,
T (ξ1 ) + yA − pξ1 = 0,
M (ξ1 ) + yA ξ1 − pξ1 = 0
2
da cui si ricavano N, T, M come funzioni dell’ascissa. Alla sezione E < ξ2 < C si ha
L1
L1
L1 L1
N (ξ2 ) + F = 0,
T (ξ2 ) + yA − p
= 0,
M (ξ2 ) + yA
+ ξ2 − p
+ ξ2 = 0
2
2
2
4
In corrispondenza dell’ascissa C < ξ3 < B si ha
L1
N (ξ3 ) − yA + p
= 0,
T (ξ3 ) + F = 0,
2
Infine, per C < ξ4 ≤ D si ha
M (ξ3 ) + F ξ3 + yA L1 − pL1
3L1
=0
4
L1
T (ξ4 ) + yA − p + yB − pξ4 = 0,
2
L1 3L1
ξ4
M (ξ4 ) + yA (L1 + ξ4 ) − p
+ ξ4 + F h + yB ξ4 − pξ4 = 0
2
4
2
N (ξ4 ) + F − F = 0,
Trovate le distribuzioni delle azioni interne, si passa al tracciamento dei loro diagrammi, illustrati nella figura 3.2. Si osservi che la forza normale è uniforme a tratti e il tratto CD non ne è
interessato perché non sarebbe altrimenti bilanciato. Per la geometria dell’asse, la forza normale nel tratto BC avrà effetto tagliante nel tratto AD e viceversa; nel punto singolare (‘nodo’) C
il bilancio di forza e coppia genera discontinuità sia sulle leggi analitiche sia sui loro diagrammi.
Poiché il carico trasversale è distribuito uniformemente nei tratti AE e CD, le forza tagliante
è lineare e il momento di secondo grado. Si ottengono gli stessi risultati determinando le azioni
interne per integrazione delle equazioni locali di bilancio, come nell’esempio successivo.
2
3
La yB , solo ai fini del bilancio su atti di moto rigido, si può spostare lungo la sua retta d’azione, v. figura.
Se il carico fosse stato a distribuzione lineare il centro sarebbe stato a 2/3 della lunghezza della distribuzione.
3.1. TRAVATURE STATICAMENTE DETERMINATE
25
Figura 3.2: Esempio 3.1 – diagrammi delle azioni di contatto.
Esempio 3.2. Applicazione del bilancio in forma differenziale. La travatura nella
figura 3.3 consta di 2 elementi (6 gdl) ed è soggetta a 6 vincoli semplici (3 all’incastro, 2 alla
cerniera interna, 1 al carrello esterno). I vincoli sono indipendenti: l’incastro controlla tutti
i gdl dell’elemento 1, la cerniera interna, solidale a un elemento il cui moto è determinato,
è centro d’istantanea rotazione per l’elemento 2; la velocità del punto vincolato dal carrello,
ortogonale alla congiungente cerniera-carrello per la (1.4), è controllata dal carrello. C’è un
unico atto di moto compatibile con i vincoli e il sistema risulta dunque isostatico.
Figura 3.3: Esempio 3.2: problema assegnato e corpi liberi.
Si determinano dapprima le reazioni vincolari; poiché vi sono vincoli sia esterni sia interni, è
necessario effettuare i diagrammi di corpo libero per ogni elemento (l’equilibrio della struttura
implica quello di ogni sua parte). Sezionando il sistema in corrispondenza dei vincoli interni,
si opera il bilancio di ogni sottosistema e si trovano tutte le reazioni vincolari, ricordando la
‘legge di azione e reazione’: in questo caso, le azioni che la trave 1 esercita sulla trave 2 per
mezzo della cerniera interna saranno opposte alle azioni che la trave 2 esercita sulla trave 1.
Per trovare le leggi delle azioni interne si fissano ascisse locali sui tratti e si integrano le
(2.15) particolarizzate allo spazio ambiente bidimensionale. Le reazioni vincolari costituiscono
le condizioni al contorno per il problema d’integrazione, facendo attenzione ad azioni sulla
pagina di sinistra o di destra della sezione in oggetto. Nell’esempio considerato, non vi sono
azioni assiali, quindi ci si concentra sulle azioni taglianti e flettenti. Per il primo tratto si ha
T 0 (ξ1 ) = 0 ⇒ T (ξ1 ) = c1 ,
M 0 (ξ1 ) − T (ξ1 ) = 0 ⇒ M (ξ1 ) = c1 ξ1 + c2
con c1 , c2 costanti d’integrazione, determinate con le condizioni al contorno all’incastro. Le
reazioni vincolari agiscono per contatto sulla pagina negativa della sezione d’incastro, quindi
se ne deve tener conto cambiando il loro segno per riferirle alla pagina positiva. Si ha allora
l
l2
l
l
T (ξ1 ) = − F + p
,
M (ξ1 ) = p + F − F + p
ξ1 .
2
2
2
2
26
CAPITOLO 3. RISOLUZIONE DI TRAVATURE
In ogni punto regolare, per continuità, le condizioni finali del tratto precedente diventano iniziali
del successivo. Le azioni localizzate rappresentano discontinuità che richiedono di scrivere
bilanci puntuali di sezione. Nel punto medio dell’elemento 1 c’è una discontinuità di forza
trasversale; il bilancio puntuale della sezione corrispondente porta a
+
+
−
l
l
l
l
−F +T
=0⇒T
= −p ,
−T
2
2
2
2
−
+
−
+
l
l
l
l
−M
+M
=0⇒M
=M
.
2
2
2
2
Nel secondo tratto dell’elemento 1 si ha, poste c3 , c4 costanti d’integrazione,
T 0 (ξ2 ) = 0 ⇒ T (ξ2 ) = c3 ,
M 0 (ξ2 ) − T (ξ2 ) = 0 ⇒ M (ξ2 ) = c3 ξ2 + c4
Le condizioni al contorno alla pagina positiva del punto intermedio danno c3 , c4 :
2
l
lξ2
l
M (ξ2 ) = p
−
T (ξ2 ) = −p ,
2
4
2
Come dev’essere, in corrispondenza della cerniera interna, che non esplica momento di contatto,
la legge e il diagramma del momento dovrà sempre avere valore nullo. Nell’elemento 2 si ha
ξ3
0
0
T (ξ3 ) − p = 0 ⇒ T (ξ3 ) = pξ3 + c5 ,
M (ξ3 ) − T (ξ3 ) = 0 ⇒ M (ξ3 ) = p + c5 ξ3 + c6
2
con c5 , c6 costanti da trovare con le condizioni alla cerniera interna, con l’accortezza di cambiar
segno alle reazioni vincolari se agiscono sulla pagina negativa di sezione. Si ha infine
l
T (ξ3 ) = −p + pξ3 ,
2
M (ξ3 ) = p (ξ3 − l)
ξ3
2
e si possono tracciare i diagrammi presentati nella figura 3.4.
Figura 3.4: Esempio 3.2 – diagrammi delle azioni di contatto.
I metodi degli esempi 3.1 e 3.2 sono equivalenti: nelle travature isostatiche la risposta alle
equazioni di bilancio meccanico è univoca e non occorrono le equazioni della cinematica e del
legame elastico. Vediamo ora casi in cui sono necessarie tutte le equazioni del problema elastico.
3.2
La linea termoelastica piana
Le equazioni ‘della linea termoelastica’ per la trave forniscono la configurazione adiacente a
quella di riferimento, indipendentemente dalla classificazione cinematica/statica. Infatti, se il
3.2. LA LINEA TERMOELASTICA PIANA
27
problema statico ammette soluzione, le azioni esterne spendono potenza nulla sugli atti di moto
rigidi compatibili coi vincoli e all’azione esterna corrisponde una deformazione. Se il problema statico non ammette soluzione, le azioni esterne accendono moti rigidi; in entrambi i casi
lo spostamento infinitesimo a partire dalla configurazione di riferimento è ben descritto dalle
equazioni della linea termoelastica. Per giungere ad esse occorre usare congiuntamente compatibilità cinematica, leggi costitutive e bilancio meccanico, includendo anche le forze d’inerzia.
!
Figura 3.5: Decomposizione di un gradiente termico lineare e incurvamento termico.
Se la trave separa ambienti a temperatura uniforme, diversa da quella di posa in opera, e
ha sezione di altezza h ‘piccola’ rispetto ad altre dimensioni, l’incremento di temperatura è
lineare lungo h per la legge di Fourier. Detto α il coefficiente di dilatazione termica della
trave,4 per gradienti termici Θ non troppo ampi ogni fibra della trave parallela all’asse si dilata
proporzionalmente al gradiente termico e al coefficiente α.5 I contributi uniforme e lineare del
gradiente di temperatura, figura 3.5 a sinistra, inducono le deformazioni
t = αΘ̄,
χt =
2α∆Θ
h
(3.1)
L’incurvamento termico χt si interpreta con riferimento alla figura 3.5 a destra:
t
α∆Θ
h
dθ
h dθ
dθ
2α∆Θ
dz
=
dz = tan
≈
⇒ χt =
=
2
2
2
2
2 2
dz
h
Riprendiamo le equazioni di compatibilità (2.2)–(2.5), bilancio (2.14)–(2.15) e costitutive
(2.16), (3.1), particolarizzate in ambiente bidimensionale. Per alleggerire la notazione, si omette la dipendenza dei campi indicati dall’ascissa z sull’asse e i pedici relativi allo scorrimento e
all’incurvamento e si indica con l’apice la derivazione rispetto a z:



0
0






χ=θ
M −T +m=0
M = B(χ − χt )






,
(3.2)
γ = θ + v0 ,
T0 + p = 0
T = Cγ









 = w0
 N0 + q = 0
 N = A( − )
t
dove = el + t , χ = χel + χt sono deformazioni totali, somma dei contributi elastico e termico.
Sostituendo le leggi costitutive e le equazioni di compatibilità in quelle di bilancio meccanico,
4
5
Le sue dimensioni fisiche sono pari all’inverso della temperatura.
Se i gradienti termici sono elevati in generale non è lecito assumere α costante.
28
CAPITOLO 3. RISOLUZIONE DI TRAVATURE
si ottiene il sistema di equazioni della linea termoelastica:
0
[B (θ0 − χt )] − C (v 0 + θ) + m = 0,
0
[C (v 0 + θ)] + p = 0,
0
[A (w0 − t )] + q = 0 (3.3)
Dal sistema originario di sei equazioni differenziali ordinarie di primo ordine e tre lineari algebriche si è passati a un sistema del sesto ordine di tre equazioni differenziali ordinarie, ciascuna
di secondo ordine. Dati m, p, q sufficientemente regolari e sei condizioni al contorno il sistema
ammette sempre soluzione unica. Le (3.3) si estendono facilmente all’ambiente tridimensionale.
Figura 3.6: Vincolo interno di scorrimento nullo.
È possibile semplificare le (3.3) introducendo le ipotesi di Euler-Bernoulli: se le dimensioni
della sezione sono trascurabili rispetto alla lunghezza della trave (trave ‘snella’), si può ammettere, anche a seguito di evidenze sperimentali, che le sezioni si mantengano sempre ortogonali
all’asse. Ne segue il vincolo interno di indeformabilità a scorrimento, illustrato nella figura 3.6,
γ = 0 ⇒ θ = −v 0
(3.4)
Perché sia valida la (3.4), nelle equazioni costitutive C → ∞. Infatti il taglio T non può essere
nullo, dovendo essere presente nella potenza e nel bilancio meccanico: allora il prodotto Cγ
dev’essere indeterminato costitutivamente e C → ∞ con l’ordine di 1/γ. Si ipotizza, quindi, che
l’elemento piano costituito dalla fibra tangente l’asse e da una fibra di sezione non si distorca.
Se si sostituisce la (3.4) nelle (3.2), il campo di forza di taglio non può essere determinato dalla
relazione costitutiva; allora si può derivare l’equazione di bilancio del momento e ivi sostituire
il campo della derivata del taglio ricavato dal bilancio della forza trasversale
M 00 − T 0 + m0 = 0,
T 0 = −p ;
queste e le altre equazioni di compatibilità e costitutive (3.2) danno il nuovo sistema
00
[B (v 00 + χt )] − p − m0 = 0,
0
[A (w0 − t )] + q = 0
(3.5)
La prima (3.5) descrive il comportamento trasversale della trave, la seconda quello assiale, disaccoppiati per spostamenti infinitesimi. Se la trave è omogenea (materiale e sezione uniformi),
le rigidezze A e B sono costanti intatte dalla derivazione. Se le azioni esterne sono solo trasversali la seconda (3.5) può essere trascurata e, se la rigidezza flessionale è uniforme, l’equazione
della linea termoelastica è del quarto ordine nel campo incognito v,
00
B (v 00 + χt ) − p − m0 = 0
(3.6)
3.2. LA LINEA TERMOELASTICA PIANA
29
Le (3.5) valgono in ogni tratto regolare per geometria e distribuzioni di carico e sono sempre
integrabili. Le condizioni al contorno sono sei per il sistema completo, quattro se si trascura il
comportamento assiale, metà da assegnare all’estremo sinistro del tratto e metà a quello destro.
Le condizioni di natura assiale possono riguardare:
• il valore dello spostamento w se c’è un vincolo assiale;
• il valore di w0 , legato a dall’equazione di compatibilità (2.3) e quindi a N per la legge
costitutiva (2.16), se è assegnata la componente assiale della forza di contatto.
Le condizioni di natura trasversale possono riguardare:
• il valore dello spostamento v se c’è un vincolo trasversale;
• il valore di rotazione θ, pari a −v 0 per scorrimento nullo, se c’è un vincolo corrispondente;
• il valore di θ0 , pari a χ per la compatibilità (2.5) e a −v 00 nell’ipotesi di Euler-Bernoulli,
legato a M per la legge costitutiva (2.16), se è assegnata la coppia di contatto;
• il valore di θ00 (pari a −v 000 nell’ipotesi di Euler-Bernoulli), legato a χ0 dall’equazione di
compatibilità (2.5), quindi a M 0 per la legge costitutiva (2.16) e a T dal bilancio alla
rotazione (2.14) se è assegnata la componente tagliante della forza di contatto.
Questo metodo comporta oneri computazionali notevoli: una travatura di sette tratti regolari,
per esempio, è descritta da un sistema differenziale di 42o ordine e 42 condizioni al contorno.
Le condizioni al contorno per tratti contigui devono assicurare la compatibilità cinematica e il
bilancio locale, cioè che nel punto comune non ci siano lacerazioni o compenetrazioni di materia e
le sollecitazioni interne siano bilanciate con eventuali azioni esterne concentrate. Saranno quindi
condizioni sulle componenti relative di spostamento e sul salto delle sollecitazioni interne.
Osservazione. Il sistema (3.5) vale anche in dinamica, come nella Meccanica delle vibrazioni
per le piccole oscillazioni, includendo tra le densità di forza a distanza quella d’inerzia. In
tal caso l’equazione è di evoluzione (iperbolica) con soluzione diversa da quella stazionaria
(ellittica). Per sistemi lineari, la separazione delle variabili spaziale e temporale riporta alla
soluzione della linea termoelastica per la parte spaziale, fornita dalla Meccanica dei solidi.
Esempio 3.3. Applicazione della linea termoelastica. Il sistema nella figura 3.7 è
iperstatico una volta: l’incastro a sinistra è un dispositivo necessario e sufficiente a caratterizzare
tutti gli spostamenti rigidi infinitesimi, quindi il carrello a destra è ridondante.
Figura 3.7: Esempio 3.3: problema assegnato e corpo libero.
Usiamo le equazioni della linea termoelastica (3.5) per risolvere il problema elastico statico; la
travatura consta di un solo tratto regolare per geometria e distribuzioni di carico esterno. Le due
equazioni (3.5) possono essere risolte separatamente: per piccoli spostamenti i comportamenti
assiale e trasversale sono disaccoppiati. La trave è omogenea, con rigidezze A e B uniformi; si
fissi l’ascissa z con origine all’incastro. Analizziamo per primo il comportamento assiale; non
30
CAPITOLO 3. RISOLUZIONE DI TRAVATURE
ci sono azioni distribuite parallele all’asse, per cui q = 0, né gradienti termici, per cui t = 0.
L’equazione per il comportamento assiale (3.5-2) dà, poste c1 , c2 costanti d’integrazione,
Aw00 = 0 ⇒ w = c1 z + c2
e le ci si ricavano imponendo una condizione al contorno di tipo assiale per ciascun estremo:
• in z = 0 è presente un incastro fisso, per cui w(z = 0) = 0 ⇒ c2 = 0;
• in z = L il carrello non vincola lo spostamento assiale, quindi, in quanto vincolo perfetto,
non esplica alcuna reazione in tale direzione; poiché al bordo, per le (2.14), le azioni per
contatto coincidono con quelle interne, in questo punto la forza normale è nulla, per cui
N (z = L) = 0 ⇒ A(z = L) = Aw0 (z = L) = 0 ⇒ c1 = 0.
Si deduce allora che:
w(z) = 0 ∀z ∈ [0, L]
⇒ N (z) = A(z) = Aw0 (z) = 0 ∀z ∈ [0, L],
ccome intuitivo: la sollecitazione esterna è trasversale, il comportamento assiale è indipendente
da quello trasversale, per cui assialmente la trave è scarica e sarà nulla anche la reazione H1 .
Poiché non ci sono coppie a distanza (m = 0) e gradienti termici (χt = 0) e il carico trasversale è uniformemente distribuito con intensità 6 pari a −p, l’equazione per il comportamento
trasversale (3.5-1) dà, poste c1 , c2 , c3 , c4 costanti d’integrazione,
Bv 0000 − (−p) = 0 ⇒ v = −p
z3
z2
z4
+ c3 + c4 + c5 z + c6
24B
6
2
Le ci si ricavano imponendo due condizioni al contorno di tipo trasversale per ciascun estremo:
• in z = 0 c’è un incastro fisso che annulla spostamento trasversale e rotazione della sezione
corrispondente, per cui v(z = 0) = 0 ⇒ c6 = 0, θ(z = 0) = −v 0 (z = 0) = 0 ⇒ c5 = 0;
• in z = l il carrello impone che lo spostamento trasversale sia nullo, quindi v(z = l) = 0;
il carrello non vincola la rotazione della sezione corrispondente, quindi, in quanto vincolo
perfetto, non esplica alcuna coppia reattiva, per cui M (z = L) = 0 ⇒ Bχ(z = L) =
Bv 00 (z = L) = 0. Da queste due ultime condizioni si ricava il sistema


5pL
pL4
L3
L2




+ c3
+ c4
=0
 c3 = 8B
 −
24B
6
2
⇒
2
2


pL


 −
 c4 = − pL
+ c3 L + c4 = 0
8B
2B
Si osservi che per esprimere le condizioni al contorno in termini di azioni per contatto ai bordi
di questo sistema iperstatico si sfruttano le reazioni che il vincolo non è in grado di esplicare,
poiché quelle esplicabili sono incognite e non determinabili dal bilancio meccanico.
Spostamento trasversale, rotazione, momento flettente e forza tagliante sono dati dalle (3.2)
pz 4
5pLz 3 pL2 z 2
v(z) = −
+
−
,
24B
48B
16B
M (z) = Bχ(z) = −Bv 00 (z) =
6
pz 2 5pLz pL2
−
+
,
2
8
8
pz 3 5pLz 2
θ(z) = −v (z) =
−
6B
16B
0
T (z) = M 0 (z) = pz −
5pL
8
La densità di forza a distanza si riferisce alla base esterna e trasversalmente il verso positivo è ‘in alto’.
3.3. CAMPIONAMENTO DI COMPONENTI DI SPOSTAMENTO
31
Si osservi che la forza tagliante T (z) è una funzione lineare, essendo una primitiva, per le
equazioni locali di bilancio meccanico (2.15) del carico distribuito con intensità uniforme −p.
Parimenti, il momento flettente M (z) è una funzione di secondo grado, essendo una primitiva,
per le equazioni locali di bilancio meccanico (2.15) della forza tagliante.
Il momento di valore estremo si attinge ai bordi vincolati e dove s’annulla la derivata prima
della funzione momento, cioè la forza tagliante. In questo caso il taglio s’annulla in z = 5L/8;
corrispondentemente, il momento vale M (z = 5L/8) = −9pL2 /128 (fibre tese inferiori). Questo
valore va confrontato con quello in z = 0 e in z = L per identificare la sezione più sollecitata a
flessione. Si trova M (z = 0) = pL2 /8 (fibre tese superiori), che fornisce la reazione vincolare M1
nell’incastro, agente sulla pagina negativa della sezione. In z = L si riottiene, come dev’essere,
momento nullo in quanto non vi sono agenti esterni che erogano localmente coppie di contatto.
Analogamente, il taglio agli estremi fornisce la reazione vincolare corrispondente: V1 = −T (z =
0) = 5pL/8 (all’origine la forza è applicata per contatto alla pagina negativa di sezione),
V2 = T (z = L) = 3pL/8 (al bordo di destra la forza è applicata per contatto alla pagina
positiva di sezione), con i versi riportati nella figura 3.7. Poiché l’incastro è un dispositivo di
vincolo più ricco del carrello, si fa carico di una quota più elevata del carico esterno e |V1 | > |V2 |.
Se ci fosse stato un incastro anche in z = L, essendo carico e dispositivi di vincolo simmetrici
rispetto alla mezzeria della trave, le reazioni sarebbero state di stesso modulo.
Noti le forze N (z) e T (z) e il momento M (z), è semplice tracciarne i diagrammi, magari
inserendone le leggi analitiche in un programma di calcolo e rappresentazione grafica.
3.3
Campionamento di componenti di spostamento
Il sistema della linea termoelastica fornisce tutti i campi soluzione del problema statico. Tuttavia, spesso non occorre conoscere le componenti di spostamento di tutti i punti della struttura,
ma basta valutare come varia la posizione di pochi punti significativi. In questi casi, ci si chiede
se sia possibile campionare dalle funzioni di spostamento solo i valori nei punti interessanti.
Per rispondere a questa esigenza, ci si appoggia sull’equazione dei lavori virtuali (2.13). A
partire dal principio del bilancio dei lavori su campi cinematici virtuali e compatibili, abbiamo
ricavato che necessariamente i campi di azione esterna e interna devono essere bilanciati. Di
contro, assumendo campi di azioni virtuali e bilanciati e che il lavoro esterno sia equivalente a
quello interno, inevitabilmente si ricaveranno campi cinematici compatibili.7
Si può allora pensare di sondare la componente di spostamento cercata con una singola azione
virtuale esploratrice (una forza se si vuole valutare una componente di traslazione, una coppia
se si vuole valutare una rotazione), magari di ampiezza unitaria. Se la travatura è staticamente
determinata 8 si può determinare univocamente lo stato di sollecitazione virtuale della struttura.
D’altra parte, sempre nel caso di strutture staticamente determinate, la conoscenza del loro
stato di sollecitazione dovuto alle azioni esterne permette di ricavare i campi di deformazione
effettivi ad essi dovuti tramite le leggi costitutive (2.16).
In base alle (2.13) si ha, omettendo la dipendenza da z dei campi per semplicità di scrittura
∗
∗
∗
H η + |t · u + T ·
θ|l0
Z
=
l
(t∗ · e + T ∗ · χ) dz
0
7
8
La prova di questo enunciato ricalca quella della (2.13) e si lascia per esercizio.
L’estensione a travature iperstatiche sarà fatta più oltre.
(3.7)
32
CAPITOLO 3. RISOLUZIONE DI TRAVATURE
in cui l’asterisco indica le grandezze bilanciate con l’azione esploratrice H ∗ e η è la componente di
spostamento cercata nel punto scelto. Da notare che, poiché l’azione esterna attiva esploratrice
è concentrata, l’integrale del lavoro delle azioni a distanza nella (2.13) svanisce.
Scrivendo per componenti in ambiente bidimensionale 9 le (2.16), (3.7) forniscono
Z l
l
∗
∗
∗
∗
∗M
∗T
∗N
H η + |M θ + T v + N w|0 =
M
+T
+N
dz
(3.8)
B
C
A
0
in cui tutte le grandezze sono note per bilancio meccanico e leggi costitutive tranne η, la
componente di spostamento cercata, cosı̀ determinata dal bilancio dei lavori virtuali. La (3.8)
ammette espressioni ridotte se lo scorrimento è nullo o se la trave è puramente flessibile.
Esempio 3.4. Campionamento di una componente di spostamento. Si supponga di
voler determinare l’abbassamento all’estremità libera (freccia di flessione) di una trave soggetta
a un incastro fisso, caricata da una distribuzione uniforme trasversale di intensità −p. La
lunghezza dell’asse sia l, la trave sia puramente flessibile ( = γ = 0) con rigidezza B uniforme.
La trave incastrata è isostatica, le reazioni all’incastro sono Minc = −pl2 /2 e Tinc = pl (qui riferite alla base esterna, si ricordi che esse agiscono sulla pagina negativa della sezione incastrata)
e la legge analitica del momento è M (z) = p(l − z)2 /2. Per campionare l’abbassamento dell’estremità libera, si sondi il punto con una forza esploratrice F ∗ orientata in basso: le reazioni
∗
∗
= F ∗ (anche in questo caso riferite
= −F ∗ l e Tinc
virtualmente presenti all’incastro sono Minc
alla base esterna e agenti sulla pagina negativa della sezione incastrata). La distribuzione di
momento virtuale vale M ∗ (z) = F ∗ (l − z), per cui dalla (3.8) si ricava
Z l
M (z)
pl3
pl3
∗
dz = F ∗
⇒ η=
F η=
M ∗ (z)
B
6B
6B
0
indipendentemente dal valore di F ∗ , in accordo con il suo ruolo di azione virtuale esploratrice.
∗
∗
Se il vincolo fosse stato mobile, le reazioni virtuali Minc
, Tinc
avrebbero speso lavoro sui suoi
cedimenti al primo membro della (3.8) e si sarebbe comunque determinato univocamente η.
3.4
Travature iperstatiche: metodo delle forze
Mentre le equazioni della linea termoelastica non si curano della caratterizzazione cinematica/statica, il metodo delle forze risolve sistemi iperstatici.10 Il metodo è detto ‘delle forze’
perché le incognite del problema sono le reazioni di un gruppo di vincoli ridondanti (la cui
scelta non è univoca, come non lo è la scelta di un minore di rango massimo in una matrice con
più righe che colonne). Si opera per sovrapposizione di effetti, con i passi illustrati di seguito:
1. Dalla travatura iperstatica di partenza si immagina di estrarne una isostatica (struttura
principale) rilassando alcuni vincoli sovrabbondanti. Nell’esempio 3.3, strutture principali
sono: a) la trave incastrata, ottenuta da quella di partenza rilassando il carrello a destra;
b) la trave appoggiata, ottenuta da quella di partenza rilassando il vincolo alla rotazione
nell’incastro; c) la trave con pattino (a scorrimento non parallelo all’asse) e carrello,
ottenuta da quella di partenza rilassando uno dei vincoli alla traslazione nell’incastro.
9
L’estensione al caso tridimensionale è semplice.
Sebbene in linea di principio non vi siano limiti al numero di vincoli sovrabbondanti che si possono
considerare, si vedrà che questo metodo è di semplice applicazione per sistemi con pochi vincoli ridondanti.
10
3.4. TRAVATURE IPERSTATICHE: METODO DELLE FORZE
33
2. Per la linearità del problema, sulla travatura agisce la somma dei carichi esterni e di tante
azioni quante reazioni sovrabbondanti, pensate come azioni esterne incognite X1 , X2 , . . .
(incognite iperstatiche) e agenti una indipendentemente dall’altra sulla travatura principale. Poiché questa è isostatica, tutte le azioni interne corrispondenti ai carichi e alle incognite iperstatiche sono determinabili solo per mezzo delle equazioni di bilancio meccanico,
in funzione dei moltiplicatori Xi della i-esima azione ridondante unitaria.
3. Sotto le azioni esterne e le incognite X1 , X2 , . . ., la travatura principale si deforma termoelasticamente, con spostamenti in generale incompatibili con i vincoli rilassati. Per linearità, gli spostamenti sono sovrapposizione di quelli indotti dal carico e dalle incognite
iperstatiche. Per valutarli, si usa il bilancio dei lavori virtuali per il campionamento di
componenti di spostamento, equazione (3.8).
4. Per riottenere la travatura originale, gli spostamenti in corrispondenza dei vincoli devono coincidere con quelli da essi imposti: si ottengono tante equazioni di compatibilità
algebriche lineari e indipendenti quante incognite iperstatiche e si chiude il problema.
Illustriamo il metodo applicandolo alla travatura dell’esempio 3.3, una volta iperstatica. Assunto
Figura 3.8: Esempio 3.3. Metodo delle forze: struttura principale e reazione ridondante.
il carrello a destra come vincolo ridondante, lo si rilassa, sostituendolo con la reazione da esso
esplicata X1 = Y ; lo schema statico della travatura risulta dunque dalla sovrapposizione della
struttura principale cui sono applicati solo i carichi esterni (sistema “0”) e della medesima in
cui il fattore Y amplifica l’azione esploratrice unitaria (sistema “1”). Di conseguenza, per tutte
le azioni esterne e interne vale la sovrapposizione degli effetti dei due sistemi:
N (z) = N0 (z) + Y N1 (z),
T (z) = T0 (z) + Y T1 (z),
M (z) = M0 (z) + Y M1 (z) .
Per campionare lo spostamento η del punto in cui il vincolo è stato rilassato si applica la (3.8),
Figura 3.9: Esempio 3.3. Metodo delle forze: diagrammi delle azioni interne.
34
CAPITOLO 3. RISOLUZIONE DI TRAVATURE
sondando il punto con un’azione esploratrice: ciò è fatto nel sistema “1”, che coincide con il
sistema bilanciato virtuale indicato con ∗ nel paragrafo 3.3. La (3.8) fornisce
Z l
N0 (z) + Y N1 (z)
T0 (z) + Y T1 (z)
M0 (z) + Y M1 (z)
N1 (z)
1η =
+ T1 (z)
+ M1 (z)
dz .
A(z)
C(z)
B(z)
0
Poiché qui η = 0 (carrello fisso), N1 (z) = 0 e si assume γ = 0 e B uniforme, si ricava
Z l
M0 (z) + Y M1 (z)
3pl
M1 (z)
dz ⇒ Y =
0=
B
8
0
che coincide con la reazione vincolare trovata tramite la linea termoelastica.
Una volta noto il moltiplicatore Y , le azioni effettive N = N0 + Y N1 , . . ., ottenute per sovrapposizione di effetti, forniscono le deformazioni effettive tramite le leggi costitutive (2.16); per
integrazione delle misure di deformazione (2.3)–(2.5) si trovano i campi di spostamento.
In generale, per una travatura n volte iperstatica si devono rilassare altrettanti vincoli ridondanti e studiare sulla struttura principale l’effetto del carico (sistema “0”) e delle n incognite
iperstatiche pensate unitarie (sistema “i”, i = 1, 2, . . . , n) per ottenere
N (z) = N0 (z)+
n
X
j=1
Xj Nj (z), T (z) = T0 (z)+
n
X
j=1
Xj Tj (z), M (z) = M0 (z)+
n
X
Xj Mj (z) (3.9)
j=1
come campi delle azioni effettive in funzione degli n moltiplicatori Xj .
Per ciascun vincolo rilassato si deve valutare la componente di spostamento lasciata libera da
quest’ultimo, applicando la (3.8). Le azioni esploratrici sono proprio le incognite iperstatiche
unitarie 1i e per l’i-esimo vincolo le (3.8), (3.9) forniscono le equazioni di Müller-Breslau
#
"
Pn
Z l(
X
N
(z)
N
(z)
+
j
j
0
j=1
+ t (z)
Ni (z)
1i ηi + |Mi θ + Ti v + Ni w|l0 =
A(z)
0
P
T0 (z) + nj=1 Xj Tj (z)
+
+Ti (z)
(3.10)
C(z)
"
#)
P
n
X
M0 (z) + nj=1 Xj Mj (z)
+Mi (z)
+ χt (z)
dz = ηi0 +
Xj ηij
B(z)
j=1
Nel punto corrispondente all’i-esimo vincolo rilassato, dunque, la componente di spostamento
lasciata libera ηi si ottiene per sovrapposizione lineare delle componenti ηi0 , dovuta al carico
nel sistema “0”, e ηij , dovute alla j-esima incognita iperstatica pensata assegnata e unitaria nei
sistemi “j”. Per ristabilire il vincolo rilassato, le ηi assumono proprio il valore del cedimento
competente al vincolo i-esimo: il sistema di Müller-Breslau è algebrico lineare negli n moltiplicatori incogniti Xj , j = 1, 2, . . . n. Questi sono univocamente determinati per l’indipendenza
di ciascuna condizione di ripristino di vincolo rilassato, per cui dalle (3.9) si ricavano le azioni
interne effettive e dalle (2.16) le misure di deformazione effettive. Chiaramente, per una travatura composta da m tratti regolari, ciascuno di lunghezza lh , h = 1, 2, . . . m, gli integrali che
compaiono nelle (3.10), riferiti al singolo tratto, vanno poi sommati su tutti i tratti.
Volendo campionare alcune componenti di spostamento in punti significativi, si può applicare
ancora la (3.8): infatti, conoscendo le deformazioni effettive occorre solo introdurre un’azione
virtuale esploratrice bilanciata con un sistema di reazioni vincolari e azioni interne virtuali.
Poiché la struttura di partenza è iperstatica, infiniti sistemi bilanciano l’azione virtuale esploratrice: essendo tutti ugualmente ammissibili per scrivere l’equazione dei lavori virtuali nella
forma (3.8), si può scegliere, per semplicità, quello che emerge nella struttura principale.
3.4. TRAVATURE IPERSTATICHE: METODO DELLE FORZE
35
Esempio 3.5. Applicazione delle equazioni di Müller-Breslau. Nella figura 3.10 a
sinistra c’è una trave di più tratti regolari con un incastro ridondante (portale doppiamente
incastrato), tre volte iperstatica; si pone P = 10 kN e che la luce orizzontale sia 6 m.
!
!
Figura 3.10: Esempio 3.5. Travatura iperstatica simmetrica e travatura equivalente.
La travatura ha simmetria pari per geometria e vincoli rispetto a un asse ‘verticale’ passante per
la mezzeria del tratto ‘orizzontale’. Il problema elastico statico lineare avrà dunque anch’esso
soluzioni dotate di simmetria. Poiché le azioni esterne hanno simmetria pari rispetto all’asse,
cosı̀ sarà anche per la soluzione. Questo comporta in primo luogo che si può studiare solo metà
della travatura; in secondo luogo, nel punto della trave passante per l’asse di simmetria sia le
azioni interne sia le componenti di spostamento dovranno essere a simmetria pari.
Delle azioni interne, per il bilancio meccanico tra le due metà di travatura la forza normale
e il momento flettente sono a simmetria pari, mentre la forza tagliante è a simmetria dispari.
Di conseguenza, se la soluzione ha simmetria pari, non può esservi forza tagliante sull’asse di
simmetria. Circa le componenti di spostamento, per la compatibilità cinematica la traslazione
dell’asse parallela allo stesso e la rotazione della sezione sono a simmetria dispari, mentre la
traslazione dell’asse trasversale allo stesso è a simmetria pari. Di conseguenza, se la soluzione ha
simmetria pari, non può esservi spostamento assiale e rotazione di sezione sull’asse di simmetria.
Ha senso dunque studiare una struttura equivalente composta da metà della travatura di partenza, immaginata vincolata virtualmente da un glifo a scorrimento ‘verticale’ in corrispondenza
del punto E sull’asse di simmetria: questo dispositivo infatti non esercita forze trasversali di
contatto e impone l’annullarsi di traslazione assiale e rotazione. L’applicazione della condizione
di simmetria porta dunque allo studio di una travatura due volte iperstatica: le due incognite sono le azione per contatto che la parte a destra esercita su quella a sinistra dell’asse di
simmetria, rappresentate virtualmente dalla presenza di un glifo, figura 3.10 a destra.
Per applicare ora il metodo delle forze e pervenire al sistema di equazioni di Müller-Breslau
si sceglie come struttura principale isostatica la travatura solo incastrata in A. Se la trave è
puramente flessibile, non essendovi gradienti termici, gli integrali che definiscono i contributi
di spostamento ηi0 , ηij nelle (3.10) contengono solo i prodotti dei momenti flettenti M0 , Mj :
ηi0 =
m Z
X
h=1
0
lh
M0 (zh )
dzh ,
Mi (zh )
B(zh )
ηij =
m Z
X
h=1
0
lh
Mj (zh )
Mi (zh )
dzh ,
B(zh )
e si semplificano ulteriormente se, come supporremo, la rigidezza flessionale B è uniforme.
36
CAPITOLO 3. RISOLUZIONE DI TRAVATURE
Figura 3.11: Esempio 3.5. Diagrammi delle azioni flettenti e reazioni vincolari.
Con riferimento alle prime tre figure 3.11, essendo in ogni tratto M = M0 + X1 M1 + X2 M2 ,
MBA = − [P a + X1 (c + δ) + X2 ] ,
MBC = P (a − ξ) ,
MDB = − (X1 ς + X2 ) ,
MDE = X2
da cui si ricavano η10 , η20 , η11 , η12 = η21 , η22 . Ripristinando il glifo fittizio in E,
η1 = η2 = 0 ⇒ X1 = −1041.67 N, X2 = −694.44 Nm
e da questi le reazioni vincolari in A, figura 3.11 a destra, da cui le azioni interne.
L’applicazione del metodo delle forze a una travatura n volte iperstatica richiede la risoluzione
di n + 1 sistemi isostatici, semplice dal punto di vista concettuale, poiché richiede solo l’applicazione del bilancio meccanico, ma oneroso per strutture con molte iperstatiche e non di facile
implementazione nel calcolo automatico. È dunque necessario cercare altri metodi di soluzione.
3.5
Travature iperstatiche: metodo degli spostamenti
Nel metodo delle forze dalla struttura di partenza si estrae un sistema isostatico e si trova la
combinazione di incognite (i moltiplicatori Xi ) per cui gli spostamenti in corrispondenza dei
vincoli rilassati coincidono con i cedimenti realmente imposti. Nel metodo degli spostamenti,
di applicazione naturale per travature con molte iperstatiche, si adotta un’ottica rovesciata.
A partire dalla struttura assegnata, si immagina non di rilassare, ma di rafforzare i vincoli ai
nodi, in modo da avere una serie di tratti regolari doppiamente incastrati, il cui comportamento
si studia una volta per tutte. Si ripristinano i gradi di libertà uno per volta, introducendo
moltiplicatori virtuali di ampiezza di componente di spostamento Ξi . Si introducono cosı̀
campi di spostamento deformativo cinematicamente compatibili e li si sovrappone, ottenendo
una soluzione cinematicamente compatibile parametrizzata dai moltiplicatori incogniti Ξi .
Questa soluzione cinematicamente ammissibile non è però bilanciata, in quanto le reazioni che
nascono agli incastri fittiziamente introdotti, lineari nelle Ξi ma arbitrari, non hanno somma
nulla o opposta all’azione esterna applicata al nodo considerato. L’unica soluzione del problema
sarà dunque data dalla combinazione delle Ξi che verifica tutti i bilanci ai nodi.
Per facilitare la comprensione del metodo conviene introdurre esempi, partendo dalla trave
doppiamente incastrata sotto carichi esterni e cedimenti vincolari. Questa è tre volte iperstatica ma, composta da un solo tratto regolare, è facilmente risolvibile con la linea termoelastica.
3.5. TRAVATURE IPERSTATICHE: METODO DEGLI SPOSTAMENTI
37
SOLUZIONI DI TRAVI ELEMENTARI VARIAMENTE CARICATE
A
A
B
Travi con doppio incastro
B
Travi con incastro e cerniera
l
l
CARICHI ESTERNI
MA
P
A
B
VA
VB
a
MA
MB
b
P
A
B
VA
MB
VB
l/2
Pb 2
Pa 2
(l + 2a) ; VB = 3 (l + 2b)
l3
l
Pab 2
Pa 2 b
MA = ! 2 ; MB = 2
l
l
VA =
VA = VB =
P
2
MA = MB =
Pl
8
VA = VB =
ql
2
MA = MB =
ql2
12
l/2
q
MA
A
B
VA
MB
VB
CARICHI ESTERNI
MA
P
A
B
VA
VB
l/2
l/2
q
MA
A
B
VA
VB
q
MA
A
B
VA
qa  2a 2 a 3  ;
 2 - 2 + 3 
2 
l
l 
qa 3  a 
VB = 2  2 - 
2l  l 
 1 2a a 2  ;
M A = !qa 2  - + 2 
 2 3l 4l 
11 ;
5
P VB = P
16
16
3
M A = Pl
16
VA =
VB
5
3
VA = ql ; VB = ql
8
8
ql 2
MA =
8
ql
2 ;
ql VB =
10
5
ql 2
MA =
15
VA =
VA =
q
MA
A
B
VA
MB
VB
a
b
q
MA
B
A
VA
MA
VB
A
M
B
VA
VB
A
M
B
VA
A
MB
l/2
B
t
3M
2 l
M
MA = MB =
4
VA = ! VB =
VB
l/2
MA
MB
b
a
MA
MB
 a a2 
M B = !qa 2  ! 2 
 3l 4l 
3 ;
7
VA =
ql VB =
ql
20
20
1
1 2
M A = ql 2 ; M B =
ql
30
20
6Mab
VA = !VB = ! 3
l
b;
b
MA = M  2 ! 3 
l
l
a
a
M B = !M  2 ! 3 
l
l
MB
t
M A = !M B =
#"tEJ
h
MA
A
M
B
VA = ! VB =
VA
VB
l/2
MA
A
M
VA
MA
MA =
l/2
A
VB
t
VB
M
8
VA = ! VB =
MA =
B
t
VA
B
9M
8 l
3M
2 l
M
2
3 #"tEJ
2 lh
3 #"tEJ
MA =
2 h
VA = ! VB =
DISTORSIONI VINCOLARI
MA
A
B
VA
MA
VB
A
MA =
B
VA
VA = ! VB =
VB
3$EJ
l
VA = ! VB =
MA =
3$EJ
l2
3"EJ
l3
3"EJ
l2
DISTORSIONI VINCOLARI
MA
A
B
VA
MA
VB
A
VB
VA = ! VB =
MB
6$EJ
l2
4$EJ ;
2$EJ
MB =
l
l
12"EJ
VA = ! VB =
l3
6"EJ
MA = MB = 2
l
MA =
B
VA
MB
MA
A
B
VA
VB
VA = ! VB =
MA =
3"EJ
l3
3"EJ
l2
Figura 3.12: Alcune soluzioni per i tratti regolari variamente vincolati.
38
CAPITOLO 3. RISOLUZIONE DI TRAVATURE
Figura 3.13: Tratto regolare doppiamente incastrato con cedimento assiale.
Tratto doppiamente incastrato con cedimento vincolare assiale Per spostamenti infinitesimi, il comportamento trasversale è disaccoppiato da quello assiale e in questo caso, mostrato nella figura 3.13 a sinistra, si ha comportamento solo assiale. Dalla (3.5)2 , non essendoci
gradienti termici e carichi distribuiti e supponendo uniforme la rigidezza assiale,
[A(w0 − t )]0 + q = 0 ⇒ Aw00 = 0 ⇒ w(z) = c1 z + c2
con c1 , c2 costanti d’integrazione da detrminare con le condizioni al contorno di tipo assiale:
w(z = 0) = 0 ⇒ c2 = 0,
w(z = l) = δ ⇒ c1 =
δ
δ
⇒ w(z) = z
l
l
Come ci si aspetta, l’allungamento è lineare dall’estremità fissa fino alla mobile. Dall’equazione
costitutiva (2.16) si ricavano le azioni interne, figura 3.13 a destra:
N (z) = A(w0 − t ) = A
δ
l
Figura 3.14: Tratto regolare doppiamente incastrato con cedimento trasversale.
Tratto doppiamente incastrato con cedimento vincolare trasversale Per spostamenti
infinitesimi in questo caso, figura 3.14 a sinistra, c’è solo comportamento trasversale; se γ = 0,
dalla (3.5)1 , essendo nulli gradienti termici e azioni esterne distribuite e se B è uniforme,
[B(v 00 + χt )]00 − p − m0 = 0 ⇒ Bv 0000 = 0 ⇒ v(z) = c3
z3
z2
+ c4 + c5 z + c6
6
2
con c3 , . . . c6 costanti d’integrazione determinabili imponendo quattro condizioni al contorno di
tipo trasversale sulla traslazione o sulla rotazione:

 v(z = 0) = 0, θ(z = 0) = −v 0 (z = 0) = 0,
z2
z3
⇒ v(z) = −2δ 3 + 3δ 2
 v(z = l) = δ, θ(z = l) = −v 0 (z = l) = 0
l
l
Per le azioni interne, figura 3.14 a destra, dalle equazioni costitutive (2.16) e di bilancio (2.15)
M (z) = Bχ(z) = −Bv 00 (z) =
12Bδ
6Bδ
z
−
,
l3
l2
T (z) = M 0 (z) =
12Bδ
l3
Si determinano in ugual modo, e sono mostrate nella figura 3.12, deformate, reazioni vincolari
e azioni interne per esempi paradigmatici di travi variamente vincolate (si legga B = EJ).
3.5. TRAVATURE IPERSTATICHE: METODO DEGLI SPOSTAMENTI
39
Si presenta il metodo degli spostamenti con l’esempio della figura 3.15 a sinistra; la trave
è puramente flessibile con rigidezza flessionale uniforme, composta di tre tratti regolari. Un
incastro è necessario e sufficiente: gli altri due dispositivi di vincolo sono ridondanti e la trave è
5 volte iperstatica. Con il metodo delle forze bisognerebbe studiare 6 sistemi isostatici, valutare
i coefficienti delle 5 equazioni di Müller-Breslau (3.10) e risolverle, il che è piuttosto laborioso.
Figura 3.15: Travatura iperstatica e travatura corrispondente a nodi bloccati.
Nel metodo degli spostamenti si parte da un sistema deformativamente determinato, il sistema
“0” a nodi bloccati, figura 3.15 a destra. Se i nodi 2 e 3 sono fissi, il sistema “0” è composto
da tre tratti doppiamente incastrati con vincoli fissi, la cui soluzione si trova, in termini di
deformazione e sollecitazione, nella figura 3.12. L’azione esterna m agisce su un nodo bloccato,
dunque è inefficace ai fini delle azioni interne: nel sistema “0” i tre tratti sono scarichi.
Figura 3.16: Sistemi “1” e “2”.
Si consentono, una per volta, le componenti di spostamento ai nodi bloccate nel sistema “0”,
valutandone l’effetto in termini di sollecitazioni interne e reazioni vincolari, avendo visto nel
sistema “0” l’effetto delle azioni esterne. Nel sistema “1” si rilassa il vincolo di rotazione nel
nodo 3, esaminando cosa accade per una rotazione di ampiezza Ξ1 , compatibile con la cerniera
effettivamente presente al nodo 3 nella travatura assegnata inizialmente, figura 3.16 a sinistra.
Se i tratti sono puramente flessibili, la loro lunghezza non varia e il nodo 2 non può traslare
ma ammette come unica componente di spostamento una rotazione, il cui effetto è studiato
imponendo una rotazione virtuale di ampiezza Ξ2 nel sistema “2”, figura 3.16 a destra.
Nella figura 3.12 si trovano le soluzioni dei sistemi “0”, “1” e “2”, che constano di tratti doppiamente incastrati soggetti al più a una componente di cedimento vincolare. Sovrapponendo
campi deformativi cinematicamente compatibili col problema reale si ottiene una soluzione
cinematicamente compatibile, parametrizzata dai moltiplicatori Ξ1 , Ξ2 . La compatibilità cinematica non garantisce però che le deformate elastiche generino azioni interne bilanciate con
40
CAPITOLO 3. RISOLUZIONE DI TRAVATURE
quelle esterne. Bisogna imporre il bilancio meccanico nei nodi sovravincolati per selezionare,
tra tutte le deformazioni cinematicamente compatibili, quelle che sviluppano azioni interne bilanciate con le esterne assegnate. Le equazioni scalari di bilancio ai nodi sovravincolati sono
tante quanti i moltiplicatori Ξ1 , Ξ2 e sono tutte indipendenti, rappresentando fatti fisici diversi.
Si possono determinare univocamente i moltiplicatori Ξ1 , Ξ2 e chiudere il problema.
Figura 3.17: Effetto di Ξ1 sul tratto 2 e di Ξ2 sui tre tratti.
In questo caso le equazioni di bilancio sono alla rotazione dei nodi 2 e 3; su ogni nodo l’azione
totale è somma, per linearità, delle azioni ai nodi nei sistemi “0”, “1” e “2”.
Figura 3.18: Bilanci alla rotazione per il nodo 3 e il nodo 2.
Bilancio al nodo 3 — Dal sistema “0” non giungono contributi. Il sistema “1” contribuisce
alle azioni sul nodo 3 solo tramite l’elemento 2, figura 3.17 a sinistra. Anche il sistema “2”
contribuisce alle azioni sul nodo 3 solo tramite l’elemento 2, figura 3.17 a destra. Ricordando
che le azioni per contatto sul nodo sono opposte alle reazioni vincolari sui tratti regolari e che
per l’elemento 2 si ha l = 3L, il bilancio alla rotazione al nodo 3 dà, figura 3.18 a sinistra,
4BΞ1 3BΞ2
+
= 0.
3L
3L
Bilancio al nodo 2 — Il sistema “0” non porta alcun contributo al nodo 2 e il sistema “1”
contribuisce tramite l’elemento 2, schema della figura 3.17 a sinistra con l = 3L. Il sistema “2”
contribuisce tramite tutti e tre i tratti, schema della figura 3.17 a destra. Nel bilancio al nodo
2 deve comparire anche il momento esterno sul nodo, figura 3.18 a destra,
4BΞ2 4BΞ2 4BΞ2 2BΞ1
+
+
+
+m=0
L
2L
3L
3L
Il bilancio ai nodi dove si ripristina la mobilità costituisce un sistema algebrico lineare che dà
Ξ1 =
mL
,
14B
Ξ2 = −
mL
,
7B
3.5. TRAVATURE IPERSTATICHE: METODO DEGLI SPOSTAMENTI
41
quantità adimensionali che rappresentano moltiplicatori di rotazione.11
Le azioni interne nei tratti regolari sono sovrapposizione delle sollecitazioni di “0”, “1” e “2”.
Tratto 1 — I sistemi “0” e “1” forniscono contributo nullo, il sistema “2” è un tratto doppiamente incastrato con cedimento pari a Ξ2 , descritto nella figura 3.12.12
Figura 3.19: Sollecitazioni sul tratto 1.
Tratto 3 — Come per il tratto 1, solo il sistema “2” fornisce un contributo, ricavabile dalla
figura 3.12; tenendo presente che il valore di Ξ1 è negativo, si ha quanto nella figura 3.20
M2 =
F2 =
2m
,
7
M4 =
m
,
7
3m
3m
, F4 =
.
14L
14L
Figura 3.20: Sollecitazioni sul tratto 3.
Tratto 2 — Il sistema “0” fornisce contributo nullo, il sistema “1” contribuisce con la rotazione
di ampiezza Ξ1 nel nodo 3, con azioni mostrate nella figura 3.21 in alto, d’intensità
M3,1 =
2m
,
21
M2,1 =
m
,
21
F2,1 = F3,1 =
m
.
21L
Il sistema “2” contribuisce per mezzo della rotazione di ampiezza Ξ2 nel nodo 2, con azioni
mostrate nella figura 3.21 in basso, d’intensità pari a
M3,2 =
2m
,
21
M2,2 =
4m
,
21
F2,2 = F3,2 =
2m
.
21L
Sovrapponendo gli effetti, cioè sommando M2,1 e M2,2 , M3,1 e M3,2 , F2,1 e F2,2 , F3,1 e F3,2 , si ha
M2 =
m
,
7
M3 = 0,
F2 =
m
,
21L
F3,2 =
m
21L
con i versi riportati nella figura 3.22 a sinistra. Come dev’essere, al nodo 3, in cui c’è una
cerniera che non esplica coppie di contatto, la coppia risulta nulla.
11
Per materiali ordinari (acciai da carpenteria), e dimensioni abituali (dell’ordine del metro per le lunghezze
e delle decine di millimetri per il contorno di sezione) questi valori sono inferiori al millesimo di radiante.
12
Poiché Ξ2 nella figura 3.19 di sinistra è negativo, i versi delle azioni sono quelli della figura 3.19 a destra.
42
CAPITOLO 3. RISOLUZIONE DI TRAVATURE
Figura 3.21: Sollecitazioni sul tratto 2 per effetto di Ξ1 (alto) e di Ξ2 (basso).
Si osservi che nel nodo 2 il bilancio tra momenti interni (rispettivamente 4m/7 per il tratto 1,
m/7 per il tratto 2 e 2m/7 per il tratto 3) e momento esterno m ha interpretazione meccanica
assai suggestiva. Per un tratto infinitesimo dz, dalle (2.16) si ricava
M (z) = B(z)χ(z) = B(z)
dθ(z)
M (z)
B(z)
⇒
=
,
dz
dθ(z)
dz
(3.11)
rapporto tra rotazione flessionale relativa e momento flettente, ovvero la rigidezza a flessione.13
Ne segue, per integrazione su un tratto regolare con rigidezza uniforme, che la rigidezza a
flessione di un tratto i-esimo di rigidezza Bi e lunghezza finita li è proporzionale a Bi /li .
Si nota che m si distribuisce nei tratti secondo la loro rigidezze a flessione: maggiore la rigidezza
del tratto, maggiore la quota parte dell’azione concentrata m da essi sopportata. In questo caso
il tratto 1 è il più rigido, essendo, a parità di rigidezza unitaria B, quello più corto, il tratto 2 è
il meno rigido, essendo il più lungo, il tratto 3 ha rigidezza intermedia. Questo comportamento
è generale nelle strutture composte da elementi elastici: quando più elementi afferiscono allo
stesso nodo, essi si comportano come molle in parallelo collegate da elementi rigidi.14
Note le reazioni vincolari per ciascun tratto e le azioni esterne, la determinazione delle leggi
analitiche di taglio e momento flettente e il tracciamento dei diagrammi relativi è come per
i sistemi isostatici. I campi di spostamento si ottengono integrando l’equazione costitutiva
M = Bχ, partendo dal campo M (z) e imponendo le condizioni al contorno sullo spostamento.
In ogni caso, essi sono noti dalla soluzione generale per il tratto doppiamente incastrato con
cedimenti assegnati. L’andamento qualitativo della deformata è nella figura 3.22 a destra.
La forza normale è una reazione vincolare, per l’ipotesi di pura flessibilità, e si determina
quindi solo col bilancio meccanico. La forza assiale nel tratto 3 deve bilanciare i tagli nei
tratti 1 e 3 e vale dunque 5m/7L di trazione. La forza assiale nei tratti 1 e 3 non può però
essere trovata solo col bilancio meccanico: il taglio 3m/14L non si scopmone univocamente in
13
A rigore, B(z) è la rigidezza a flessione del concio unitario, e similmente per le altre rigidezze A, C, D.
Se due molle di rigidezza k1 e k2 sono connesse in parallelo da setti rigidi che congiungono le loro estremità,
hanno in comune lo spostamento relativo tra queste, ovvero la deformazione ∆l causata da una forza esterna F
applicata a uno dei setti (l’altro si può supporre fisso senza restrizione di generalità). Si può dunque scrivere
14
∆l = ∆l1 = ∆l2 = F1 /k1 = F2 /k2 ⇒ F = F1 + F2 = (k1 + k2 )∆l ⇒ keq = k1 + k2
in cui F1 , F2 sono le forze elastiche sulle due molle e keq è la rigidezza equivalente del sistema delle due molle.
3.5. TRAVATURE IPERSTATICHE: METODO DEGLI SPOSTAMENTI
43
Figura 3.22: Sollecitazioni risultanti sul tratto 2 e andamento qualitativo della deformata.
due, a meno di considerazioni di simmetria qui assenti. Si deve allora far ricorso alla rigidezza
assiale dei tratti, trascurata in prima battuta per la pura flessibilità. Ragionando come per la
rigidezza a flessione del concio e del tratto finito, la rigidezza a estensione di un tratto regolare
vale Ai /li e quindi il tratto 1 è tre volte più rigido assialmente del tratto 2, assorbendo il triplo
dell’azione assorbita dal tratto 2; poiché la somma delle due azioni normali deve dare 3m/14L,
si ha che N1 = 9m/56L, N2 = 3m/56L. Questa procedura si basa sul fatto che per travi
sufficientemente snelle (dimensione caratteristica di sezione inferiore di un ordine di grandezza
rispetto alla lunghezza dell’asse) le deformazioni estensionali sono trascurabili rispetto a quelle
flessionali.15 Di conseguenza, in prima approssimazione le travi snelle si considerano puramente
flessibili, poi all’occorrenza si aggiungono gli altri contributi di deformabilità.
Il metodo degli spostamenti è efficace per travature con molte iperstatiche e nodi espliciti,
dette “naturalmente discrete”. Il metodo porta infatti a scrivere sistemi di equazioni algebriche
di bilancio di forze e coppie ai nodi, facilmente implementabili al calcolatore a partire dalla
banca dati 3.12. Il limite di questo metodo si incontra trattando travature senza nodi espliciti:
in tali casi si riduce il livello di automatizzazione, richiedendo di specificare i nodi.
Figura 3.23: Esempio 3.6. Struttura di capannone industriale e struttura ridotta.
Esempio 3.6. Applicazione del metodo degli spostamenti. Nella travatura in figura
3.23 a sinistra, che potrebbe rappresentare il telaio di un capannone industriale, struttura e
carichi sono a simmetria pari rispetto alla mezzeria. Si può allora studiare lo schema ridotto
della figura 3.23 a destra, con 6 nodi numerati, con in mezzeria un glifo fittizio, che verifica le
condizioni di simmetria pari su componenti di azione interna e spostamento.
15
Si vedrà più oltre una giustificazione analitica di questo fatto.
44
CAPITOLO 3. RISOLUZIONE DI TRAVATURE
Nella struttura ridotta un tirante d’acciaio connette i nodi 3 e 6 tramite occhielli metallici,
comportandosi da vincolo semplice di tipo pendolo. In prima approssimazione, per quanto sopra
discusso, se ne può trascurare l’allungamento e ritenere la distanza tra i nodi 3 e 6 invariata.
Gli elementi 4 e 5 schematizzano una gru a bandiera; la struttura ridotta consta dunque di una
parte “portante” (elementi 1-2-6) e una “portata” (elementi 4-5), connesse dall’elemento 3.
Figura 3.24: Esempio 3.6. Spostamenti da ripristinare per la parte portante (alto) e portata (basso).
Si studiano separatamente parti portante e portata, lasciando incognita la forza Fv scambiata
tra esse attraverso l’elemento 3, poi s’impone il ripristino cinematico del pendolo.16 Se i tratti
regolari sono puramente flessibili, sono permessi: i) lo spostamento trasversale v1 del nodo 1;
ii) la rotazione θ2 del nodo 2; iii) la rotazione θ3 del nodo 3; iv) lo spostamento trasversale v3
del nodo 3; v) la rotazione θ6 del nodo 6; vi) lo spostamento trasversale v6 del nodo 6.
Figura 3.25: Esempio 3.6. Bilancio ai nodi 1 e 2.
Inizialmente si bloccano virtualmente i nodi e si studia l’effetto delle azioni esterne, poi quello
di ogni componente di spostamento permessa, iniziando dalla parte portante, figura 3.24 in alto
e continuando analogamente per la parte portata, figura 3.24 in basso. Si bilanciano infine i
nodi relativamente alle componenti di spostamento concesse, in base ai dati della figura 3.12.
16
Questa procedura, misto di metodo delle forze e degli spostamenti, è fatta qui solo per semplicità.
3.6. TRAVATURE IPERSTATICHE: METODO DEGLI ELEMENTI FINITI
45
Al nodo 1 si deve bilanciare solo la forza trasversale, al nodo 2 solo la coppia, e si ottiene
2pL +
3B1 v1 3B1 θ2
+
=0
16L3
8L2
4pL2 3B1 v1 B1 θ2 2B6 θ2 B6 θ3 3B6 v3
+
+
+
−
−
+
=0
3
8L2
L
L
L
2L2
Figura 3.26: Esempio 3.6. Bilanci ai nodi 3 e 6.
Al nodo 3 si devono bilanciare forza trasversale e coppia; se si suppone che B2 = B6 si ottiene
3B6 v3 3B6 θ2
−
+ Fv = 0,
L3
2L2
4B6 θ3 B6 θ2
+
=0
L
L
Anche al nodo 6 si devono bilanciare forza trasversale e coppia, ottenendo
3B5 θ6 3B5 v6
−
− Fv = 0,
2L2
2L3
FL +
3B5 v6 2B5 θ6
−
=0
2L2
L
A queste bisogna aggiungere l’equazione di compatibilità cinematica v3 = v6 per l’ipotesi di
allungamenti trascurabili dell’elemento 3. Si hanno dunque sette equazioni indipendenti (sei
bilanci ai nodi e un ripristino cinematico) in sette incognite e il problema è chiuso. Si lascia al
lettore il compito di ricavare le soluzioni in termini di componenti di spostamento e azioni.
3.6
Travature iperstatiche: metodo degli elementi finiti
Abbiamo visto che il metodo degli spostamenti è efficace per strutture naturalmente discrete,
altrimenti occorre una sua estensione. Il metodo degli elementi finiti rende discreto qualsiasi
sistema, riducendo la struttura ad un numero elevato di elementi di ampiezza piccola ma finita.
Questi sono connessi da nodi con pochi gradi di libertà dai cui spostamenti relativi dipende lo
stato di azione interna dell’elemento. Tralasciando la teoria generale degli elementi finiti bi- e
tridimensionali, daremo qualche accenno agli elementi finiti di trave.
Figura 3.27: Elemento finito traviforme.
46
CAPITOLO 3. RISOLUZIONE DI TRAVATURE
Si consideri un tratto di trave puramente flessibile, concentrandosi sui suoi estremi i e j, figura
3.27. Questi nodi, per il modello monodimensionale di trave, sono suscettibili solo di moto
rigido. In spazio ambiente bidimensionale i loro descrittori cinematici e le azioni esterne che
spendono lavoro su questi sono riassunti nei vettori
u = {θi , vi , wi , θj , vj , wj } ,
a = {Ci , Vi , Hi , Cj , Vj , Hj } .
(3.12)
Le azioni sul nodo i sono esercitate per contatto sulla sezione “di sinistra” dell’elemento finito.
Se un nodo è soggetto a una componente di u, l’asse tra i e j si deformerà e nasceranno azioni
di richiamo elastico interne all’elemento finito. L’equazione della linea termoelastica fornisce la
situazione in figura 3.28, se agiscono componenti di spostamento assiali,
Figura 3.28: Azioni per spostamenti assiali dei nodi.
la situazione in figura 3.29 se agiscono componenti di spostamento trasversali
Figura 3.29: Azioni per spostamenti trasversali dei nodi.
e la situazione in figura 3.30 se agiscono rotazioni di sezione.
Figura 3.30: Azioni per rotazioni dei nodi.
Il comportamento trasversale è disaccoppiato da quello assiale; a seguito di uno spostamento
vi nell’elemento compare sia una sollecitazione trasversale sia un momento, per ovvie ragioni
di bilancio meccanico; analogamente si ha per uno spostamento vj e per le rotazioni.
3.6. TRAVATURE IPERSTATICHE: METODO DEGLI ELEMENTI FINITI
47
Si scrivono allora, per sovrapposizione d’effetti, le espressioni lineari
A
(wi − wj ),
l
12B
6B
Vi = 3 (vi − vj ) − 2 (θi + θj ),
l
l
6B
2B
(2θi + θj ) − 2 (vi − vj ),
Ci =
l
l
Hi =
A
(wj − wi ),
l
12B
6B
Vj = 3 (vj − vi ) + 2 (θi + θj ),
l
l
6B
2B
(2θj + θi ) − 2 (vi − vj )
Cj =
l
l
Hj =
raggruppandole in una scrittura operatoriale tra i vettori a e u:


4B
6B
6B
2B
− 2
0
0
 l

l
l
l2

 

 6B 12B

6B
12B


C
0
−
−
0
 i   − l2

l3
l2
l3
 


 Vi  

 

A 
A
 


0
0
− 
0
 Hi   0

l
l 
=


 


6B
4B
6B
 Cj   2B

−
0
0
 


  l


l2
l
l2
 Vj  


  6B

12B
6B
12B


−
0
0
 l2

Hj
l3
l2
l3




A
A
0
0
0
0
−
l
l
θi
vi
wi
θj
vj
wj







,






a = Ku
(3.13)
in cui K è detta matrice di rigidezza elastica dell’elemento. La (3.13) dice che l’elemento finito
di trave si comporta come una molla elastica lineare descritta da 6 misure di deformazione
corrispondenti a 6 azioni esterne alle sue estremità. La matrice di rigidezza K è simmetrica
poiché le azioni elastiche ammettono potenziale.17 Ove necessario, la matrice di rigidezza K
relativa all’elemento finito e sarà indicata con K e . Per le applicazioni, inoltre, è utile vedere la
matrice di rigidezza scomposta in sottoblocchi (in questo caso 3 × 3)


K ii K ij

(K) = 
K ji K jj
ciascuno dei quali rappresenta le azioni al nodo i per effetto dello spostamento al nodo j.
Tramite la (3.13) si riporta un tratto regolare ai suoi nodi: noti spostamento e sollecitazioni
su questi, infatti, la linea termoelastica del tratto considerato è univocamente determinata.
Nella (3.13) alcune grandezze sono assegnate, altre incognite; per esempio, se sono note, per la
presenza di dispositivi di vincolo, alcune componenti di u, dalla (3.13) si ricavano le componenti
di a ai nodi e quindi i campi delle azioni interne. Si può avere anche il problema inverso: sono
date le componenti di sollecitazione e si ricavano le componenti di spostamento nodali e i
descrittori della linea elastica. Di norma nelle applicazioni sono note alcune componenti di
spostamento e sollecitazione ai nodi e si vogliono determinare tutte le altre. In ogni caso,
l’equazione (3.13) rappresenta un sistema algebrico lineare non singolare la cui soluzione, in
termini di incognite in parte nel vettore a e in parte nel vettore u, si trova sempre.
17
Il potenziale elastico di un sistema lineare a più gradi di libertà vale (1/2)kij δi δj e, sotto opportune ipotesi
di regolarità, per il teorema di Schwartz sull’uguaglianza delle derivate seconde miste, kij = kji .
48
CAPITOLO 3. RISOLUZIONE DI TRAVATURE
Il metodo degli elementi finiti consta nell’immaginare discreta una struttura qualsivoglia, pensandola ottenuta dalla giustapposizione di un numero comunque grande ma finito di elementi
come quello descritto. Il reticolo (mesh) di elementi finiti segue le distribuzioni delle azioni e le
variazioni di geometria. Come in ogni metodo di discretizzazione, una buona approssimazione
dei risultati si ottiene con una mesh sufficientemente fitta, quanto più il sistema discreto di elementi traviformi si avvicina al continuo. Non è possibile aumentare indefinitamente il numero
di elementi discretizzanti la struttura, poiché il modello trave monodimensionale è valido se
la dimensione dell’asse rimane dominante: infittire la discretizzazione porta a elementi sempre
più corti, per cui il modello monodimensionale potrebbe perdere significato.
Una volta effettuata la discretizzazione, si riconduce un problema differenziale di campo a uno
algebrico con un numero finito, ancorché elevato, di gradi di libertà, di cui sono assegnate alcune
componenti di spostamento e sollecitazione nodale e si vogliono determinare le rimanenti. La
struttura è ridotta a elementi finiti elastici collegati variamente, le cui matrici di rigidezza d’elemento si combinano linearmente per dare un’unica matrice quadrata di rigidezza di struttura
e il cui comportamento è descritto da un sistema algebrico lineare di soluzione semplice.
A questo scopo, è opportuno distinguere tra le azioni applicate ai nodi quelle assegnate da
quelle che nascono come reazioni per effetto dei dispositivi di vincolo presenti, cioè
a e = p e + rv e
(3.14)
in cui p e è il vettore del carico esterno attivo riportato ai nodi e r v e è il vettore delle reazioni
vincolari incognite. Per la risoluzione del problema, le azioni ai nodi che nascono per effetto
della deformata elastica devono essere uguali alle azioni esterne attive e reattive:

 


e
e
e
e
e
u
p
+
r
K
K
vi
ij
 i  =  i

 ii
(3.15)
K e u e = p e + rv e ,
e
e
e
e
e
uj
pj + r jv
K ji K jj
Queste equazioni rappresentano il bilancio meccanico per l’elemento continuo e riportato al
bilancio meccanico dei suoi nodi d’estremità: da un problema di campo si passa a un problema
algebrico. Se si hanno molti elementi, si devono semplicemente raccogliere a sistema tutte le
equazioni di bilancio meccanico per tutti i nodi che discretizzano la struttura.
Il vettore p e si ricava dalle reazioni vincolari che un tratto doppiamente incastrato subisce per
effetto di azioni e coazioni termiche assegnate. Per un carico di componenti p e q (non si considerano coppie distribuite) e un gradiente termico che causi sia allungamenti t sia incurvamenti
χt ,18 dal sistema di equazioni della linea termoelastica (3.3) si ricava
pl
ql
pl2
pl
ql
pl2
e
+ Bχt , , − + At ,
− Bχt , , − + At
(3.16)
p = −
12
2
2
12
2
2
Una volta scritte le (3.15) per tutti gli elementi, si ordinano tutti i gradi di libertà della
struttura in un unico vettore u ottenuto appendendo uno dopo l’altro i sottovettori uh e per
tutti gli h = 1, 2, . . . , n nodi. In effetti, anche se l’h-esimo nodo è comune a due o più elementi
e in principio caratterizzato da gradi di libertà diversi, per la compatibilità cinematica deve
essere uh k = uh l = . . . comunque si prendano gli elementi k, l, . . . . In seguito, si ordinano
18
Trattandosi di elementi finiti di lunghezza ridotta, non è un errore troppo grande considerare tutte queste
azioni come distribuite uniformemente sulla lunghezza. Tuttavia, volendo raffinare i calcoli, non è difficile
ricavare i risultati corrispondenti a distribuzioni lineari, sempre tramite l’equazione della linea termoelastica.
3.6. TRAVATURE IPERSTATICHE: METODO DEGLI ELEMENTI FINITI
49
tutte le azioni sui nodi della struttura in un unico vettore p ottenuto appendendo uno dopo
l’altro i sottovettori ph e . Se in un nodo convergono più elementi, il bilancio meccanico impone
che la forza risultante al nodo sia ph k + ph l + . . . per tutti gli elementi k, l, . . . .
Infine, si assembla la matrice di rigidezza K dell’intera struttura mettendo nel blocco 3 × 3
relativo all’azione al nodo k per effetto delle componenti di spostamento nel nodo l la K ekl . Se
non c’è alcun elemento che collega i nodi k e l, il blocco sarà quello nullo (tutti zero). Poiché
più elementi che convergono in uno stesso nodo si comportano come molle in parallelo, la cui
rigidezza è somma delle rigidezze delle singole molle, se al nodo h convergono gli elementi
k, l, . . . il blocco corrispondente sarà dato da K khh + K lhh + . . . .
Ovviamente, trattandosi di grandezze vettoriali, per poter scrivere un sistema di equazioni
sensate occorre avere tutti vettori rappresentati sulla stessa base. La (3.15) è scritta nella base
locale dell’elemento e ogni elemento ha a priori una base diversa dagli altri; ne segue che occorre
scegliere una base globale cui riferire tutte le grandezze che compaiono nella (3.15). Per fare
questo, basta operare opportuni cambiamenti di base, descritti da operatori lineari ortogonali.
Si giunge a un problema algebrico definito su una sola base con alcuni dati nel vettore p
(azioni e coazioni termiche assegnate) e altri nel vettore u (dispositivi di vincolo assegnati). Le
incognite sono in parte nel vettore r v (reazioni vincolari in corrispondenza dei nodi vincolati)
e in parte nel vettore u (componenti di spostamento ai nodi liberi, non vincolati). Si può
dimostrare che la matrice di rigidezza di struttura non è singolare 19 e la soluzione del problema
è determinata univocamente.20
Figura 3.31: Travatura discretizzata in elementi finiti.
Per esempio, si consideri il problema nella figura 3.31, con evidenziati nodi ed elementi finiti
scelti. Poiché i comportamenti assiale e trasversale sono disaccoppiati e la struttura non è caricata assialmente, si considera solo il comportamento trasversale. Questo equivale a considerare
solo due gradi di libertà e due componenti di azione esterna per ciascun nodo, e a cancellare
dalla matrice di rigidezza le righe e le colonne relative al comportamento assiale.
Per l’elemento 1 si ha, dalle (3.13), (3.15), (3.16),







1
(K ) = 





19
20
2B
4B
6B
6B 
−
2l
(2l)2
2l
(2l)2 

6B
12B
6B
12B 

−
−
−
(2l)2 (2l)3
(2l)2
(2l)3 

,
2B
6B
4B
6B 

−
2l
(2l)2
2l
(2l)2 

6B
12B
6B
12B 
−
(2l)2
(2l)3 (2l)2
(2l)3


0






0 
1

,
(u ) = 

 θ2 


v2






1
(a ) = 





Anche questa proprietà discende dall’esistenza di una energia potenziale iperelastica.
Per esempio con tecniche di inversione della matrice K, magari a blocchi.
pl2
+ C1
3
pl
− + V1
2
pl2
3
pl
−
2
−













50
CAPITOLO 3. RISOLUZIONE DI TRAVATURE
Consideriamo l’elemento 2; poiché i carichi esterni devono comparire una volta sola, si può
pensare per esempio che la forza pl sul nodo 3 compaia nel bilancio dell’elemento 3.21


4B
6B
2B
6B
− 2

 

 l
l
l
l2 


0
θ
 6B 12B
 
 2 
6B
12B 
 −





− 2 − 3 





0
v
2
l2
l3
l
l 

2
 , (a 2 ) =  
(K ) = 
 , (u 2 ) = 

 

 2B
6B
4B
6B 
 0 
 θ3 


−

 

 l

2
2
l
l
l


0
v3
 6B
12B 
12B 6B
− 3
l2
l
l2
l3
Per l’elemento 3 si ha

4B
 l

 6B
 −

l2

3
(K ) = 
 2B

 l

 6B
l2
6B
2B
6B
− 2
l
l
l2
12B
6B
12B
− 2 − 3
3
l
l
l
6B
4B
6B
− 2
l
l
l2
12B 6B
12B
− 3
l
l2
l3







,







θ
 3 


 v3 
3
,
(u ) = 


 θ4 


0


0






−pl
3

(a ) = 


 0 


V4
Assembliamo gli elementi e otteniamo il sistema algebrico che discretizza la struttura:

 

2
C + pl /3
0

  1


 

 0   V1 − pl 

 



 

1
1
2
 θ   −pl /3 
K
K 12
0
0

 2  
 11

 

 1
1
2
2

 K 21 K 22 + K 22
−pl
0   v2  
K 23

=



 

2
2
3
3 





 0
0
θ
K 32
K 33 + K 33 K 34

 3  



 
3
3

−pl
0
0
K 43
K 44  v3  


 


 

 θ4  
0


 
V4
0
che si risolve semplicemente con un calcolatore; la soluzione è lasciata per esercizio.
In questo esempio, tutti gli elementi finiti scelti hanno la stessa base locale; per i casi in cui
si renda necessario introdurre cambiamenti di base, richiamiamo gli operatori di rotazione e di
cambiamento di base. La rotazione R è un’applicazione lineare che agisce sul vettore u; sia u
sia Ru sono espressi nella stessa base. Con riferimento alla figura 3.32, si ha che

 
 


cos(α + β)
cos α cos β − sin α sin β
cos α − sin α
cos β
=
=

 = (R)(u)
(Ru) = 
sin(α + β)
sin α cos β + cos α sin β
sin α cos α
sin β
21
Si può anche pensare il viceversa o di frazionare pl in una parte agente sull’elemento 2 ed una sull’elemento
3; quest’ultimo procedimento, seppur corretto, risulta poco pratico.
3.6. TRAVATURE IPERSTATICHE: METODO DEGLI ELEMENTI FINITI
51
Figura 3.32: Rotazione di un vettore in ambiente bidimensionale.
da cui si ricava l’operatore rotazione in ambiente bidimensionale. In ambiente tridimensionale,
la rotazione attorno a un asse fisso, per esempio e3 , di ampiezza α3 si scrive naturalmente


cos α3 − sin α3 0




(R3 ) =  sin α3 cos α3 0 


0
0
1
e si dimostra che (R) = (R1 )(R2 )(R3 ).
Figura 3.33: Cambiamento di base in ambiente bidimensionale.
Il cambiamento di base B è invece l’applicazione lineare che trasforma le componenti di uno
stesso vettore u dalla base {e1 , e2 } alla base {ı1 , ı2 }. Con riferimento alla figura 3.33, si ha




ū1
u
 = R−1  1 
(u) = ū1 ı1 + ū2 ı2 = u1 e1 + u2 e2 = u1 R−1 ı1 + v2 R−1 ı2 ⇒ 
ū2
u2
in cui R è l’operatore che ruota i vettori della base {e1 , e2 } in quelli della base {ı1 , ı2 }. Le
componenti dunque si trasformano con l’operatore B = R−1 . Poiché R è ortogonale, la sua
inversa coincide con la sua trasposta, per cui


cos
α
sin
α

(B) = R−1 = 
− sin α cos α
52
CAPITOLO 3. RISOLUZIONE DI TRAVATURE
Per un elemento finito il passaggio dalla base locale alla globale è allora il seguente:
ug = Bul ,
pg = Bpl ,
K g = BK l B >
(3.17)
dove i pedici g e l indicano l’espressione sulle basi globale e locale, rispettivamente.
Figura 3.34: Griglia di elementi finiti per la travatura ridotta dell’esempio 3.5.
Se si volesse risolvere con il metodo degli elementi finiti la struttura dell’esempio 3.5, illustrata
nella figura 3.10, si potrebbe usare la mesh nella figura 3.34, identificando 5 nodi e 4 elementi.
Gli elementi 2 e 4 hanno base locale coincidente con la globale, gli elementi 1 e 3 devono essere
portati sulla base globale, operando un cambiamento caratterizzato da un angolo pari a π/4.
Dopo aver fatto questo, i vettori di spostamento e azione nodale e la matrice di rigidezza di
struttura si costruiscono come nell’esempio precedente. Si lascia la risoluzione per esercizio.
3.7
Sistemi reticolari
I tralicci o sistemi reticolari, travature di vasto impiego, sono composti da elementi monodimensionali collegati alle estremità mediante cerniere (nodi ). Possono essere piani, come le
capriate di copertura dei capannoni industriali, o spaziali, come i sostegni degli elettrodotti. Se
si sollecita il traliccio solo con forze ai nodi, questi trasmettono per contatto solo forze ad ogni
elemento. Per l’equilibrio di ogni nodo,22 la somma delle forze su esso concorrenti deve essere il
vettore nullo.23 Per l’equilibrio di ogni elemento, le forze cui esso è soggetto devono costituire
una coppia di braccio nullo. Se gli elementi del traliccio sono rettilinei (aste reticolari) queste
forze sono soltanto assiali e le aste sono tese (tiranti ) o compresse (puntoni ). Questo fatto
è assai importante, poiché consente di realizzare strutture assai complesse in modo modulare
con componenti molto semplici, facilmente assemblabili e ispezionabili, con comportamento
elementare. Nel seguito si considereranno tralicci composti da elementi rettilinei.
Per quanto detto sulle condizioni d’equilibrio, possiamo considerare il traliccio costituito da
corpi-nodo collegati da pendoli che trasmettono forza assiale ai nodi. Ciascun nodo, considerato
22
23
L’equilibrio di un sistema implica quello di ogni sua sottoparte, come il nodo-cerniera.
Le cerniere, supposte lisce, non esplicano coppie di contatto.
3.7. SISTEMI RETICOLARI
53
puntiforme, ha 2 gradi di libertà in spazio ambiente bidimensionale, 3 in ambiente tridimensionale. Detto n il numero di nodi, v il numero di vincoli semplici esterni, a il numero di aste,
il numero totale di gradi di libertà è 2n in ambiente bidimensionale, 3n in ambiente tridimensionale; il numero totale di vincoli semplici è a + v. Se il traliccio è un assemblaggio di maglie
triangolari non degeneri, esso ammette solo atti di moto rigido globali. Infatti, per ogni sistema
di tre elementi incernierati i nodi sono centri di istantanea rotazione relativa: se non sono allineati il moto rigido relativo non è possibile, si veda il capitolo 1. La classificazione dei tralicci
può dunque basarsi sulla presenza di maglie non degeneri che compongano quadrilateri con
pendoli lungo una sola delle due diagonali 24 e sul numero e la disposizione dei vincoli esterni.
Classificato il traliccio, la soluzione del problema elastico si può ottenere con il bilancio meccanico indipendentemente da leggi costitutive e compatibilità cinematica, per tralicci isostatici,
o con un metodo tra forze, spostamenti, elementi finiti per i tralicci iperstatici. Il bilancio
meccanico è di forze e momenti per le reazioni vincolari esterne, solo di forza per i corpi-nodi.25
Figura 3.35: Esempio 3.7. Traliccio isostatico.
Esempio 3.7. Traliccio isostatico. Il sistema nella figura 3.35 a sinistra ha n = 6 ⇒ 12
gradi di libertà, v + a = 3 + 9 = 12 gradi di vincolo semplice e consta di 6 maglie triangolari
non degeneri. Il traliccio si comporta allora come un unico corpo appoggiato ed è isostatico. Si
possono ricavare per prima cosa le reazioni dei vincoli esterni e poi passare alla determinazione
delle azioni interne. Poichè per ogni nodo si possono scrivere due equazioni scalari di bilancio
della forza, dopo aver determinato le reazioni esterne conviene bilanciare di volta in volta i
nodi in cui siano presenti solo due incognite statiche. In questo esempio quindi conviene prima
bilanciare il nodo E, poi passare a F , quindi a C, D, A. Se il procedimento è corretto, l’ultimo
nodo, in questo caso B, rimane automaticamente bilanciato. Chiaramente è necessario valutare
gli angoli α = arctan(CD/AC) e β = arctan(BD/AB).
La soluzione del problema statico è illustrato nella figura 3.35 a destra.
Esempio 3.8. Traliccio isostatico “Pratt”. Il traliccio da ponte “Pratt”nella figura 3.36
ha n = 8 ⇒ 16 gradi di libertà, v + a = 3 + 13 = 16 gradi di vincolo semplice e consta ancora
24
In un quadrilatero ci sono solo due coppie di triangoli indipendenti, definiti dai lati e da una delle due
diagonali: un pendolo lungo l’altra diagonale rappresenta l’aggiunta di un vincolo ridondante interno.
25
Altre tecniche di risoluzione (sezioni di Ritter, diagramma di Cremona) si trovano in letteratura.
54
CAPITOLO 3. RISOLUZIONE DI TRAVATURE
Figura 3.36: Esempio 3.8. Traliccio “Pratt”.
di 6 maglie triangolari non degeneri. Il sistema è isostatico, comportandosi nuovamente come
un corpo appoggiato. Lo svolgimento, analogo all’esempio 3.7, è illustrato nella figura 3.37.
Figura 3.37: Esempio 3.8. Soluzione.
Capitolo 4
Il continuo di Cauchy
4.1
Misure di deformazione per continui tridimensionali
Il continuo monodimensionale è sufficiente per individuare le sezioni soggette alle maggiori azioni
interne. Poiché ogni forma reale è estesa nelle tre dimensioni e le condizioni di cimento materiale
variano in generale da punto a punto, è necessario accompagnare il modello monodimensionale
con un altro che tenga conto dei fenomeni in ambiente tridimensionale. In questo capitolo si
presentano alcuni elementi di meccanica dei continui tridimensionali.
Un continuo tridimensionale (di Cauchy) è un insieme di particelle (punti materiali) sovrapposte ai punti della porzione di spazio ambiente euclideo che il sistema occupa all’istante considerato. Le particelle non vanno confuse con le strutture atomiche o sub atomiche del materiale: si
tratta solo di uno schema fisico matematico atto a rappresentare su scala macroscopica i fenomeni. La deformazione di un continuo tridimensionale, come per la trave, è il difetto di rigidità
dello spostamento passando da una configurazione iniziale, supposta nota, ad una finale.
Nel seguito, senza restrizione di generalità e per quanto osservato circa le (1.4), (1.5), si opererà
sullo spostamento infinitesimo u, ottenuto moltiplicando l’atto di moto per un tempuscolo dt.
Nell’intorno di ogni punto O la distribuzione dello spostamento infinitesimo è data dallo
sviluppo in serie di Taylor del campo di spostamento rispetto alle variabili di posizione:
−→
−→
u(P ) = u(O) + gradu|P =O OP + ◦(kOP k),
−→
∂ui
kP =O (OP )j + ◦(kOP k)
ui (P ) = ui (O) +
∂xj
(4.1)
per cui P ha lo spostamento infinitesimo di O incrementato di quantità lineari nelle derivate
−→
parziali prime delle componenti di spostamento infinitesimo e nel vettore posizione OP .
Nella (4.1) il gradiente di spostamento è un’applicazione lineare che ammette decomposizione
unica in parte simmetrica e antisimmetrica:
gradu = sym gradu + skw gradu = Θ + E
∂ui
1 ∂ui ∂uj
1 ∂ui
∂uj
=
+
+
−
∂xj
2 ∂xj
∂xi
2 ∂xj
∂xi
1 ∂ui
∂uj
1 ∂ui ∂uj
−
,
(E)ij =
+
(Θ)ij =
2 ∂xj
∂xi
2 ∂xj
∂xi
55
(4.2)
56
CAPITOLO 4. IL CONTINUO DI CAUCHY
Dalle (4.1), (4.2), scritte in maniera assoluta e per componenti in un sistema di coordinate
cartesiano monometrico xyz, lo spostamento infinitesimo di P è somma di tre contributi:
• una componente traslatoria pari a u(O), per cui P trasla assieme a O;
• una componente rotatoria, data dall’azione di Θ, componente antisimmetrica di gradu,
che quindi diventa descrittrice della rotazione rigida infinitesima dell’intorno di O cui
appartiene P ;1
• una componente che da sola rappresenta il difetto di rigidità dello spostamento rigido
infinitesimo dell’intorno di O, dato dall’azione della componente simmetrica E di gradu.
Delle 9 componenti di gradu, 3 (componenti di Θ) descrivono la rotazione infinitesima, le altre
6 (componenti di E) la deformazione dell’intorno di O. Vediamone il significato geometrico.
Termini diagonali Le componenti i sulla diagonale principale di E
i =
∂ui
∂xi
−→
si interpretano come segue: consideriamo due punti P e Q, il cui vettore posizione P Q nella
configurazione iniziale giace lungo il semiasse positivo delle x e ha norma dx. Nella configu-
Figura 4.1: Variazione di un segmento materiale.
razione attuale P si sarà spostato in P 0 e Q in Q00 ; sia Q0 il punto raggiunto da Q per il solo
effetto della traslazione nella nuova configurazione. In quest’ultima istituiamo un sistema di
coordinate equiorientato al precedente e con origine in P 0 . Se lo spostamento fosse stato solo
di traslazione, in questo nuovo sistema di coordinate si sarebbe ristabilita la condizione della
configurazione iniziale. Invece, a causa della rotazione e della deformazione, Q00 differisce da Q0
1
Per confronto con la nota 2 del capitolo 1, le componenti del vettore θ di rotazione infinitesima sono
1 ∂w ∂v
1 ∂u ∂w
1 ∂v
∂u
θx =
−
, θy =
−
, θz =
−
.
2 ∂y
∂z
2 ∂z
∂x
2 ∂x ∂y
4.1. MISURE DI DEFORMAZIONE PER CONTINUI TRIDIMENSIONALI
−−−→
e il vettore P 0 Q00 descrive l’incremento dello spostamento infinitesimo nel passaggio da P
figura 4.1. Secondo le (4.1), (4.2), questa quantità è data da


 ∂u
∂u ∂u ∂u


dx
 ∂x ∂y ∂z 
 ∂x

 dx

 
−−0−→00 −−
→ −−0−→00 −→
−→ 
 ∂v ∂v ∂v  
  ∂v
0 0
P Q − P Q = P Q − P Q = graduP P Q = 
 0  = 
dx
 ∂x ∂y ∂z  
 
 ∂x



 ∂w ∂w ∂w 
0
∂w
dx
∂x ∂y ∂z
∂x
57
a Q,








(4.3)
e la prima componente di questo vettore è la variazione di spostamento infinitesimo lungo x,
−→
che, normalizzata rispetto alla lunghezza dx di P Q fornisce
−−−→ −→
∂u
dx
P 0 Q00 − P Q · ı
∂u
∂x
=
= x .
(4.4)
=
−→
dx
∂x
kP Qk
Il termine x ha allora il significato di allungamento specifico del segmento materiale inizialmente
∂v
∂w
lungo dx; analogamente, y =
e z =
rappresentano l’allungamento relativo di segmenti
∂y
∂z
materiali inizialmente disposti lungo y e z rispettivamente. Se quindi l’intorno del generico
punto P è rappresentato con un cubetto di spigoli pari a dx, dy, dz, i termini sulla diagonale
principale di E descrivono le variazioni unitarie di lunghezza degli spigoli.
Termini fuori diagonale Le componenti γij al di fuori della diagonale principale di E
1 ∂ui ∂uj
+
γij =
2 ∂xj
∂xi
−→
si interpretano come segue: consideriamo tre punti P, Q e M , i cui vettore posizione P Q e
−−→
P M nella configurazione iniziale sono ortogonali e giacciono rispettivamente lungo i semiasse
positivi delle x e delle y, con norma rispettivamente dx e dy. Nella configurazione attuale
Q si porta in Q000 ed M in M 000 , in generale non più appartenenti al piano xy. Come prima,
istituiamo un sistema di coordinate equiorientato al precedente con origine in P 0 . Siano Q0 e
M 0 i posti raggiunti da Q e M considerando solo la componente traslatoria dello spostamento,
Q00 e M 00 le proiezioni di Q000 e M 000 sul piano x0 y 0 .
L’angolo tra le due direzioni P 0 Q000 e P 0 M 000 non rimane retto come nella configurazione di riferimento, anche considerando le proiezioni P 0 Q00 e P 0 M 00 sul piano x0 y 0 . La variazione dell’angolo
rispetto a quello retto di partenza è data dalla somma dei due angoli ϕ1 e ϕ2 nella figura 4.2:
∂u ∂v
+
= γxy
(4.5)
ϕ1 + ϕ2 ≈ tan ϕ1 + tan ϕ2 =
∂y ∂x
avendo confuso la misura degli angoli in radianti con quella delle loro tangenti. Altrettanto si
può dire operando con segmenti paralleli a x e z e a y e z: dunque i termini al di fuori della
diagonale principale di E forniscono lo scorrimento angolare tra due segmenti materiali unitari
inizialmente ortogonali. Se l’intorno del generico punto P è rappresentato con un cubetto di
spigoli pari a dx, dy, dz, gli scorrimenti angolari misurano la distorsione angolare delle facce,
che per piccole deformazioni si trasformano in rombi.
L’operatore di deformazione E, essendo reale e simmetrico, è sempre diagonalizzabile:2 esi2
Si veda il teorema di rappresentazione spettrale degli operatori lineari.
58
CAPITOLO 4. IL CONTINUO DI CAUCHY
Figura 4.2: Variazione di un angolo tra due segmenti materiali inizialmente ortogonali.
ste sempre una base di vettori ortonormali (le cui direzioni sono dette principali ) in cui E
ammette componenti solo lungo la diagonale principale. In questa base le deformazioni sono
solo allungamenti/accorciamenti specifici: come in figura 4.3, nel sistema di coordinate x0 y 0 le
deformazioni che si vedono sono solo gli allungamenti/accorciamenti delle fibre parallele alle
due diagonali del rombo e nessuno scorrimento angolare.
Figura 4.3: Rappresentazione diagonale di deformazioni infinitesime.
Per la determinazione della base principale basta imporre la condizione che in essa l’operatore
di deformazione trasformi i vettori cambiandone solo la lunghezza:
Ee = λe ⇒ (E − λI) e = 0
(4.6)
La (4.6) rappresenta un problema lineare omogeneo e ammette comunque la soluzione banale
e = 0. Per avere soluzioni non banali e 6= 0 della (4.6) si deve imporre che l’operatore E − λI
sia singolare, ovvero bisogna cercare i valori λ che fanno sı̀ che det (E − λI) = 0. Questa
condizione porta a un’equazione algebrica di terzo grado in λ, che si può dimostrare ammettere
4.2. TENSIONI IN UN CONTINUO TRIDIMENSIONALE
59
sempre soluzioni reali (autovalori di E). Una volta trovati gli autovalori λh , h = 1, 2, 3,
sostituendo ciascuno di essi nella (4.6) si trovano i vettori eh , h = 1, 2, 3 (autovettori di E)
della base principale richiesta. Questi autovettori possono essere facilmente normalizzati; la
procedura è estendibile a tutti i tensori doppi simmetrici reali, come si vedrà anche oltre. Per
alcuni casi particolari, come l’ambiente bidimensionale, esistono anche costruzioni geometriche
assai suggestive (rappresentazioni piane di Mohr ), di cui si parlerà in seguito.
4.2
Tensioni in un continuo tridimensionale
In analogia a quanto fatto per le travi, introduciamo per i continui tridimensionali la potenza
spesa sugli atti di moto compatibili. Da questa espressione si deriveranno le misure delle azioni
interne (tensioni ) e successivamente si introdurranno i legami costitutivi materiali. L’insieme
di tutte le equazioni derivanti da questo studio permetterà la risoluzione del problema elastico
per i continui di Cauchy.
La potenza esterna è stata definita nel § 1.2 come integrale di una densità lineare nell’atto di
moto rispetto a misure di azioni a distanza e per contatto. Si è anche detto che moltiplicando
la potenza per un tempuscolo dt, ovvero considerando il campo dello spostamento infinitesimo
anziché l’atto di moto, si considera il lavoro (virtuale). La configurazione C assunta all’istante
considerato è una regione dello spazio ambiente tridimensionale euclideo con frontiera ∂C. La
configurazione è supposta sufficientemente regolare; il lavoro virtuale delle forze esterne è
Z
Z
(t(P ) · u(P )) dA
(4.7)
L = (b(P ) · u(P )) dV +
C
∂C
in cui: P è qualsiasi posto di C o di ∂C; b è il campo della densità di forza a distanza per unità
di volume di C; t è il campo della densità di forza per contatto per unità di area.
L’enunciato del lavoro virtuale su atti di moto rigido porta alle equazioni globali di bilancio
meccanico per forza e momento rispetto all’origine delle coordinate, che ricalcano le (1.7):3
Z
Z
t(P )dA = 0
b(P )dV +
C
∂C
(4.8)
Z Z −→
−→
OP × b(P ) dV +
OP × t(P ) dA = 0
C
∂C
Quando il continuo cambia stato per effetto di una spesa di lavoro (potenza) da parte dell’universo, ammettiamo anche che ogni sottoparte del continuo, per adattarsi al nuovo stato, scambi
con le contigue flussi di lavoro (potenza). Come nel caso monodimensionale, si postula che il
lavoro tra le sottoparti del continuo (lavoro interno) Li sia lineare nello spostamento infinitesimo dell’intorno del punto considerato. Il lavoro interno si rileva cioè testando lo spostamento
infinitesimo di ogni punto e la sua approssimazione prima:4
Z
Li = [s0 (P ) · u(P ) + S 1 (P ) · gradu(P )] dV
(4.9)
C
dove i campi s0 , S 1 sono l’autotensione e la tensione. Come nel monodimensionale, per modellare un continuo le cui porzioni risentono delle azioni di porzioni ‘lontane’, ovvero oltre l’intorno
3
4
La prova dell’enunciato si lascia per esercizio.
Dal lavoro si passa alla potenza dividendo lo spostamento infinitesimo per dt e considerando l’atto di moto.
60
CAPITOLO 4. IL CONTINUO DI CAUCHY
del primo ordine del punto considerato, si dovrebbero inserire nella (4.9) termini che spendano
lavoro sui gradienti secondi, terzi, . . . del campo di spostamento infinitesimo.
La richiesta che il lavoro interno tenga conto del cambiamento di stato del sistema impone
che Li = 0 comunque si scelga un campo di spostamento rigido infinitesimo ricavato dalle (1.3)
moltiplicate per un tempuscolo dt. Scelto ad arbitrio un posto O, dalle (1.3), (4.9) si ottiene
Z n
h
o
−→i
s0 (P ) · u(O) + ΘOP + S1 (P ) · Θ dV ⇒ s0 (P ) ≡ 0, S 1 (P ) = S 1 (P )> (4.10)
0=
C
Infatti, per l’arbitrarietà dello spostamento rigido infinitesimo, se ne può scegliere prima uno
di sola traslazione, caratterizzato da Θ = 0. La generalità del campo d’integrazione implica
l’annullarsi dell’integrando; quella del vettore u(O) implica la prima tesi nella (4.10). Usando
questo risultato, se si considera una rotazione infinitesima, la generalità del campo d’integrazione e del tensore antisimmetrico Θ comporta la seconda tesi nella (4.10), cioè che il descrittore
dell’azione interna è un tensore simmetrico.5 La formula ridotta del lavoro interno è dunque
Z
Z
(4.11)
Li = [S 1 (P ) · gradu(P )] dV = [T (P ) · E(P )] dV
C
C
per la simmetria di S 1 , denotato T per semplicità di notazione. La (4.11) esprime che il lavoro
interno, come nel caso monodimensionale e come intuibile empiricamente, risente solo della
componente non neutra dello spostamento infinitesimo, ovvero della misura di deformazione.
Come per il continuo monodimensionale, non possiamo ammettere che in un qualsivoglia
processo meccanico, ancorché infinitesimo e di prova, semplicemente ammissibile (virtuale),
il lavoro si disperda. Deve allora valere il principio dei lavori virtuali: per ogni coppia
di campi di spostamento e deformazione infinitesimi compatibili, il lavoro speso virtualmente
dall’universo sul sistema deve uguagliare quello speso da tutte le sottoparti del sistema 6
Z
Z
Z
(b(P ) · u(P )) dV +
(t(P ) · u(P )) dA = [T (P ) · E(P )] dV
(4.12)
C
∂C
C
L’equazione (4.12) deve valere per un continuo di qualsivoglia forma e misura, per cui essa si
può localizzare, in modo analogo a quanto fatto per la trave con la localizzazione a una sezione.
In particolare, la si può localizzare per un cilindro (pastiglia di Cauchy) come nella figura 4.4.
Se il cilindro ha superficie laterale, quindi volume, che tende a zero gli integrali di volume nella
(4.12) svaniscono e l’integrale di superficie si riduce alla somma dei due contributi sulle basi,
da cui si ricava, per la continuità del campo di spostamento,
Z
Z
0=
(t+ (P ) · u(P )) dA +
(t− (P ) · u(P )) dA ⇒ t− (P ) = −t+ (P ) .
(4.13)
A+
A−
La generalità della base A permette, infatti, di passare dall’annullamento dell’integrale a quello
dell’integrando. La (4.13) è la legge di azione e reazione: in P la densità di azione per contatto
esercitata dalla parte della giacitura negativa di A sulla parte della giacitura positiva è opposta
a quella esercitata dalla parte della giacitura positiva di A sulla parte della giacitura negativa.
5
Si ricorda che lo spazio degli operatori lineari di uno spazio vettoriale in sè si decompone in somma diretta
nei sottospazi dei tensori simmetrici e antisimmetrici, mutuamente ortogonali.
6
Un enunciato analogo vale per la potenza.
4.2. TENSIONI IN UN CONTINUO TRIDIMENSIONALE
61
Figura 4.4: Pastiglia di Cauchy.
Ricordiamo che per ogni campo di applicazioni lineari L di uno spazio vettoriale in sè e per
ogni campo vettoriale v sufficientemente regolari vale l’identità 7
div(L> v) = (divL) · v + L · (gradv)
e l’equazione del lavoro virtuale (4.12) diventa, omettendo la dipendenza dei campi dal posto
P per semplicità di notazione e denotando n il campo della normale unitaria esterna a ∂C,
Z
Z
Z
(t · u) dA −
div T > u − (divT ) · u dV
0 = (b · u) dV +
C
∂C
C
Z
Z
(4.14)
[(t − T n) · u] dA
= [(b + divT ) · u] dV +
C
⇒ b + divT = 0 in C,
∂C
t = T n in ∂C
Infatti, senza restrizione di generalità sul campo virtuale u, si può sceglierne uno non nullo solo
sul bordo o solo all’interno della configurazione attuale. Segue che gli integrali su C e su ∂C nella
(4.14) devono annullarsi separatamente. Per la generalità del dominio, l’annullarsi dell’integrale
comporta quello dell’integrando. Infine, la generalità di u comporta le due tesi della (4.14),
che esprimono, rispettivamente, le equazioni locali di bilancio interno 8 e al contorno.9
Per il bilancio interno, la forza per contatto netta che attraversa l’intorno di ogni punto P
è equilibrata dalla densità di forza a distanza.10 Il bilancio al contorno afferma che il flusso
dell’azione interna coincide con la densità di forza per contatto, cioè che l’azione scambiata tra
due parti di una configurazione è a tutti gli effetti una forza di contatto densa sulla superficie
di separazione immaginaria tra le due parti (taglio di Cauchy). Risultati simili sul significato
dell’azione interna e sul bilancio delle forze per contatto erano stati ottenuti per la trave.
Il campo n non ha dimensioni fisiche, quindi l’azione interna T (tensione o sforzo) ha le
dimensioni fisiche del campo t, ovvero densità superficiale di forza. Quindi la tensione in un
7
La prova discende dalla definizione di divergenza per un campo vettoriale.
A volte dette di bilancio indefinito, nel senso di valide indistintamente per ogni punto della forma C.
9
O, più semplicemente, equazioni al contorno.
10
La divergenza di un vettore, infatti, è la differenza tra la quantità che ‘esce’ da un intorno e quella che vi
‘entra’. La densità di forza a distanza quindi rappresenta un termine di sorgente o pozzo.
8
62
CAPITOLO 4. IL CONTINUO DI CAUCHY
Figura 4.5: Tensione in un punto e sua decomposizione.
punto P secondo una giacitura di normale n è la densità superficiale di forza per contatto che
la parte di mondo a destra della giacitura esercita sulla parte a sinistra attraverso P , figura 4.5.
Dal momento che T è un’applicazione lineare, la matrice rappresentativa dello stato di tensione
nell’intorno di P in una base {a1 , a2 , a3 } si può ricavare scegliendo per n uno dei tre elementi
ai in sequenza e poi elencando per colonna le componenti dei vettori ti = T ai :


t
t
t
 11 21 31 


ti = T ai , i = 1, 2, 3 ⇒ (T ) = ((t1 ) (t2 ) (t3 )) =  t12 t22 t32 
(4.15)


t13 t23 t33
in cui tij rappresenta la componente parallela all’asse j della tensione in P secondo la giacitura
di normale l’asse xi . Abitualmente nei testi d’ingegneria per le componenti di T si adotta il
simbolo σ per i termini sulla diagonale principale e il simbolo τ per gli altri, figura 4.5 a destra:
σi = tii ,
τij = tij ,
i, j = 1, 2, 3 (o x, y, z)
Le componenti σ (quelle di T con indici uguali) sono dirette come la normale alla giacitura
considerata per P e rappresentano trazioni, se concordi con la normale, o pressioni se discordi
con la normale, con lo stesso significato delle pressioni in meccanica dei fluidi. Le componenti
τ (quelle di T con indici distinti) giacciono nella giacitura considerata per P e rappresentano
strisciamenti, con lo stesso significato delle azioni attritive di scorrimento tra superfici.
La simmetria di T fa sı̀ che le componenti striscianti, dette anche sforzi taglianti o, più spesso,
tensioni tangenziali, siano reciproche, ovvero uguali in modulo a due a due
τij = τji , i, j = 1, 2, 3 (o x, y, z), i 6= j.
4.2.1
Tensioni principali, rappresentazioni piane di Mohr
Poiché il tensore di tensione T è reale simmetrico, il teorema di rappresentazione spettrale
garantisce che la matrice ad esso associata è sempre diagonalizzabile, ovvero esiste una base in
cui la matrice (T ) assume forma diagonale. Dal punto di vista fisico, vista l’interpretazione in
termini di forze per contatto delle colonne di (T ), individuare questa base per il generico punto
Q vuole dire individuare l’intorno cubico di Q le cui facce sono soggette a sole tensioni normali.
4.2. TENSIONI IN UN CONTINUO TRIDIMENSIONALE
63
Matematicamente si tratta di un problema di determinazione di autovalori e autovettori, come
illustrato già per l’operatore di deformazione E. Gli autovettori di T rappresentano le direzioni
principali delle tensioni, gli autovalori le relative tensioni normali in questa base, dette tensioni
principali. L’impostazione del problema è la medesima che nel caso delle deformazioni:
T e = λe ⇒ (T − λI) e = 0
(4.16)
Per avere soluzioni non banali della (4.16) si impone det (E − λI) = 0, che fornisce un’equazione algebrica di terzo grado in λ che permette di ricavare i tre autovalori λh , h = 1, 2, 3 che
esprimono le tre tensioni principali. Sostituendo uno alla volta i λh nella (4.16) si trovano gli
autovettori corrispondenti eh , h = 1, 2, 3.
Figura 4.6: Tensione in un punto di un piano ortogonale a un asse principale.
Stato di tensione piano Supponiamo che il piano di normale l’asse z sia soggetto solo a
tensione normale, cioè che il versore k sia un elemento della base principale. Lo stato di tensione
in una sezione piana ortogonale a k dell’intorno cubico del generico punto Q è illustrato nella
figura 4.6 e la sua matrice rappresentativa è allora:

σx τyx


(T ) =  τxy

0
σy
0
0



0 

σz
Vogliamo valutare come cambia la rappresentazione dello stato di tensione mutando il sistema
di coordinate, cioè cambiando base di riferimento, tenendo fisso l’asse z e ruotando gli assi da
x, y a ξ, η. Dall’algebra multilineare sappiamo che il nuovo tensore si ottiene da T ∗ = BT B > ,
dove B è l’operatore di cambiamento di base, rappresentato dalla matrice (cfr. capitolo 3)

cos α sin α 0


 − sin α cos α 0

0
0
1





64
CAPITOLO 4. IL CONTINUO DI CAUCHY
dove α è l’angolo di rotazione tra gli assi x, y e ξ, η. Poiché si vede immediatamente che la terza
riga e la terza colonna della matrice associata a T non sono alterate dal cambiamento di base,
possiamo esaminare come cambia il solo blocco 2 × 2 relativo alla sezione piana nella figura 4.6


σξ
τξη
τηξ


=
cos α
sin α

σx τyx

cos α − sin α


sin α cos α
τxy σy
− sin α cos α



σ = σx cos2 α + σy sin2 α + 2τxy sin α cos α

 ξ
⇒
ση = σx sin2 α + σy cos2 α − 2τxy sin α cos α



 τ = (σ − σ ) sin α cos α + τ cos2 α − sin2 α
ξη
y
x
xy
ση

⇒
(4.17)
Alle (4.17) si giunge anche, con ragionamento meccanico anziché algebrico, imponendo l’equilibrio delle forze di un intorno a forma di prisma triangolare retto, la cui sezione ha due cateti
disposti come gli assi coordinati iniziali e l’ipotenusa con normale ξ che forma un angolo α
antiorario con l’asse x, figura 4.7.11
!
!
Figura 4.7: Prisma di Cauchy.
Per trovare gli assi principali in questo caso non è necessario risolvere il problema agli autovalori
per T ma è sufficiente imporre nelle (4.17) che T sia diagonale, cioè che τξη sia nulla:
τξη = 0 ⇒
τxy
2τxy
sin α0 cos α0
=
⇒ tan 2α0 =
2
2
σx − σy
σx − σy
cos α0 − sin α0
(4.18)
xy
Dunque ruotando di un angolo α0 = 21 arctan σ2τ
il sistema di coordinate x, y si ottengono
x −σy
gli assi principali di tensione ai quali corrispondono, come si verifica derivando le σξ , ση nelle
(4.17) rispetto ad α e imponendone la stazionarietà, le tensioni normali massima e minima:
s
σI,II
11
La prova si lascia per esercizio.
σx + σy
=
±
2
(σx − σy )2
+ τxy
4
(4.19)
4.2. TENSIONI IN UN CONTINUO TRIDIMENSIONALE
65
Le (4.17) si possono riportare a relazioni parametriche riscrivendo le σξ , τξη ,12 omettendo i
pedici per semplicità di notazione, in termini dell’angolo 2α:
σ=
σx + σy σx − σy
+
cos 2α + τxy sin 2α
2
2
σx − σy
sin 2α + τxy cos 2α
τ =−
2
(4.20)
Le (4.20) si scrivono anche come liste vettoriali, per comodità in funzione dell’opposto delle τ :
 σ +σ  
 σ − σ 
x
y
x
y
cos 2α − sin 2α
→ −→
−→

=
+

⇒−
2
2
OP = OC + RCP
−τ
sin 2α cos 2α
0
−τxy

σ

−→
−→
e descrivono un luogo ben definito dai vettori OC, fisso, e CP , rotante di un angolo 2α secondo
l’operatore R: è una circonferenza
nel piano σ − τ , detta circonferenza di Mohr, di centro
q
(σx −σy )2
σx +σy
, 0 e raggio r =
+ τxy . Infatti, quadrando e sommando le due (4.20) è
C≡
2
4
σx + σy
σ−
2
2
+ τ 2 = r2
Ciascun posto sulla circonferenza ha per coordinate la combinazione (σ, −τ ) che agisce sulla
Figura 4.8: Rappresentazione piana di Mohr.
faccia di asse ξ (parallela a η) a partire dallo stato di tensione sulla faccia di asse x (parallela
a y). L’angolo fisico α tra gli assi x, y e quelli ruotati ξ, η è la metà dell’angolo 2α con cui è
parametrizzata la rappresentazione di Mohr.
12
Cioè le tensioni normale e tangenziale sul piano inclinato dell’angolo α antiorario rispetto alla faccia
‘verticale’, di asse x e parallela a y.
66
CAPITOLO 4. IL CONTINUO DI CAUCHY
La circonferenza di Mohr si traccia partendo dai posti V ≡ (σx , −τxy ) (tensione sulla faccia
d’asse x) e H ≡ (σy , τyx ) (stato di tensione sulla faccia d’asse y).13 I posti V e H, riferendosi
a facce a 90◦ nello spazio fisico, sono diametralmente opposti sulla circonferenza e identificano
graficamente centro e raggio. Dal posto V , tracciando la parallela all’asse τ , s’incontra la
circonferenza in G, detto polo delle giaciture.
Ruotando il raggio CV (il diametro V H) di 2α, s’incontra la circonferenza in P (in P , P̄ )
che fornisce le tensioni normale σ e tangenziale τ sulla faccia ruotata di α rispetto alla ‘verticale’ (sulle facce ruotate di α rispetto a quelle ‘verticale’ e ‘orizzontale’). I medesimi posti si
ottengono aprendo un angolo α dal polo delle giaciture rispetto ai segmenti GV (che identifica
lo stato di tensione sulla giacitura ‘verticale’) e GH (che identifica lo stato di tensione sulla
giacitura ‘orizzontale’). Si verifica infatti, a partire dalle (4.20), che
tan ψ =
σx (cos2 α − 1) + σy sin2 α + 2τ sin α cos α
sin α
σ − σx
=
=
= tan α
2
2
τxy + τ
cos α
τxy (1 + cos α − sin α) + (σy − σx ) sin α cos α
Le intersezioni della circonferenza con l’asse σ forniscono le due tensioni principali σI,II ricavate
con la (4.19) e l’angolo corrispondente sotteso da G è quello di cui bisogna ruotare gli assi x, y
per sovrapporsi a quelli principali.
Figura 4.9: Stato di trazione pura e rappresentazione di Mohr.
In uno stato di trazione pura la rappresentazione di Mohr è indicata nella figura 4.9. La base
di partenza coincide con la principale; in tutti gli altri riferimenti, compare una componente
tangenziale di tensione. Questa attinge massimo ruotando il diametro V H di 2α = π/2,
cioè la base fisica di α = π/4 rispetto alla direzione di pura trazione-compressione. Questo è
confermato dalle osservazioni sperimentali su provini di materiali in trazione (bande di Lüders).
Si ha dunque τmax = r = σI /2 e, più in generale, se anche σII 6= 0,
σI − σII
τmax = r =
2
13
Si ricordi che nella circonferenza di Mohr si usano le opposte delle tensioni tangenziali: al fine di rappresentare gli stati di tensione univocamente, le τxy , ‘antiorarie’ nella rappresentazione cartesiana, e le τyx , ‘orarie’
nella rappresentazione cartesiana, hanno segni rispettivamente negativo e positivo sulla circonferenza.
4.2. TENSIONI IN UN CONTINUO TRIDIMENSIONALE
67
Figura 4.10: Stato di taglio puro e rappresentazione di Mohr.
In uno stato di taglio puro la rappresentazione di Mohr è indicata nella figura 4.10. Il massimo
della tensione tangenziale è attinto nella base di partenza; la base principale, in cui si attingono
i valori estremi della tensione normale, si trova ruotando il diametro V H di 2α = π/2, cioè la
base fisica di α = π/4 rispetto alla direzione di puro taglio. Questo è confermato dalle prove
di rottura a taglio dei materiali fragili. Si ha dunque σI = −σII = τmax .
Nel caso particolare di σx = σy e τxy = 0 la circonferenza di Mohr degenera in un punto
(il raggio si annulla). Tutte le direzioni sono allora principali: il punto del continuo è detto
soggetto a uno stato di tensione idrostatico, con tensore delle tensioni diagonale e con tutti i
termini diagonali uguali. Questo stato è tipico dei fluidi ideali o in assenza di fenomeni viscosi.
La rappresentazione di Mohr non sostituisce la ricerca algebrica delle direzioni e tensioni principali, ma fornisce una visualizzazione efficace della loro variazione con le coordinate adottate.
Nel caso più generale di stato di tensione completo, l’efficacia sintetica della rappresentazione
del caso piano si perde in parte. Nella base principale, le tensioni principali si ordinano di solito
in modo decrescente, σI ≥ σII ≥ σIII , ma la loro determinazione grafica non è cosı̀ semplice ed
è più conveniente risolvere il problema agli autovalori per T . Una volta determinalte le tensioni
principali, se si riportano queste ultime in ascissa nel piano σ − τ , si possono tracciare tre
circonferenze che hanno tali posti come estremi dei diametri, figura 4.11. In particolare, si avrà
una circonferenza maggiore con diametro definito dalle tensioni principali massima e minima
σI , σIII e due circonferenze più piccole interne a questa. Le componenti di tensione agenti su
un generico piano si troveranno sempre sul contorno o all’interno dell’area tratteggiata in figura
4.11, detta arbelo di Mohr. Esistono costruzioni grafiche sull’arbelo Mohr per porre in relazione
la tensione nel generico sistema di coordinate con il corrispettivo punto nel piano σ − τ , che
sono tuttavia di scarsa praticità. Le tensioni tangenziali massime sono date dalle
σI − σII
,
2
σI − σIII
=
,
2
τI−II =
τI−III
4.2.2
σII − σIII
,
2
σI − σIII
τmax = τI−III =
2
τII−III =
(4.21)
Interpretazione meccanica delle equazioni locali di bilancio
Interpretazioni suggestive in termini di forze delle (4.11), (4.13), (4.14) sono come segue. Innanzitutto, per localizzare (al limite al punto) proprietà espresse da integrali definiti si parte
dall’assunto empirico che condizione sufficiente affinché un continuo sia in equilibrio è che lo
sia qualsiasi sua parte (anche infinitesima). In altre parole, per qualsiasi porzione di continuo
68
CAPITOLO 4. IL CONTINUO DI CAUCHY
Figura 4.11: Rappresentazione di Mohr in generale.
devono valere le equazioni cardinali della statica per le azioni a distanza e per contatto. Queste
ultime sono trasmesse dalle parti adiacenti, viste come ‘esterne’ dalla porzione in questione.
L’equilibrio locale di tutte le sottoparti di un continuo è condizione sufficiente per l’equilibrio
globale ma non necessaria.14 Dal bilancio meccanico della pasticca di Cauchy, figura 4.4,
t+ dA+ + t− dA− + tL dL + bdV = 0
e, se l’altezza della superficie laterale va a zero, dV → 0, dL → 0 e si riottiene la (4.13).
Figura 4.12: Tetraedro di Cauchy.
Dal bilancio meccanico di un intorno a forma di tetraedro, figura 4.12, si ricava
tn dAn − tx dAx − ty dAy − tz dAz + bdV = 0
e, se l’intorno è infinitesimo, il termine delle forze di volume rappresenta un infinitesimo di
ordine superiore rispetto ai termini di forza di superficie e può essere trascurato. Inoltre, le
componenti della normale valgono
n = {α, β, γ},
14
α=
dAx
dAy
dAx
,β=
,γ=
dAn
dAn
dAn
Si possono fornire esempi di sistemi globalmente in equilibrio ma non localmente.
4.2. TENSIONI IN UN CONTINUO TRIDIMENSIONALE
69
e quindi l’equilibrio del tatraedro porta a


α
 
 
tn = tx α + ty β + tz γ = ((tx ) (ty ) (tz ))  β  = T n
 
γ
cioè all’esistenza dell’operatore lineare delle azioni interne; questa relazione è detta teorema (del
tetraedro) di Cauchy sulla rappresentazione lineare delle tensioni nei manuali. Se il tetraedro
si trova sul contorno di C, si ritrova l’equazione di bilancio al contorno della (4.14).
Figura 4.13: Bilancio meccanico per un cubetto.
Per il bilancio meccanico di un intorno a forma di cubo ci si riferisca alla figura 4.13, con le
notazioni precedenti, illustrate nella figura 4.5. L’equilibrio alla rotazione attorno all’asse z dà
dx
∂τyx
dy
dx
dy
∂τxy
− τxy +
dx dydz
− τyx +
dy dxdz − τxy dydz
+ τyx dxdz
=0
∂x
2
∂y
2
2
2
ed analoghe per la rotazione attorno agli altri assi. Trascurando gli infinitesimi di ordine
superiore rispetto alla misura dxdydz dell’elemento di volume, si ricava
τxy = τyx ,
τxz = τzx ,
τyz = τzy
cioè che valgono le relazioni di reciprocità tra le tensioni tangenziali: l’operatore di tensione è
simmetrico. L’equilibrio alla traslazione in direzione x si scrive
∂σx
∂τyx
∂τzx
σx +
dx dydz + τyx +
dy dxdz + τzx +
dz dxdy
∂x
∂y
∂z
−σx dydz − τyx dxdz − τzx dxdy + bx dxdydz = 0
70
CAPITOLO 4. IL CONTINUO DI CAUCHY
ed analoghe per la traslazione lungo gli altri assi. Semplificando e dividendo rispetto alla misura
non nulla dxdydz dell’elemento di volume, si ricava
∂σx ∂τyx ∂τzx
+
+
+ bx = 0
∂x
∂y
∂z
∂τxy ∂σy ∂τzy
+
+
+ by = 0
∂x
∂y
∂z
∂τxz ∂τyz ∂σz
+
+
+ bz = 0
∂x
∂y
∂z
che è la scrittura per componenti dell’equazione di bilancio nella (4.14).
L’espressione ridotta del lavoro interno (4.11) si interpreta allora come segue: consideriamo
Figura 4.14: Lavoro delle tensioni normali.
un intorno infinitesimo a forma di cubetto e consideriamo la tensione σx . Se l’elemento subisce
un allungamento specifico infinitesimo x , lo spostamento relativo tra le due facce di normale x
è pari a x dx, figura 4.14. La forza per contatto sulle stesse facce vale allora σx dydz e il lavoro
virtualmente compiuto da essa sullo spostamento relativo delle facce è σx dydzx dx. Con un
ragionamento analogo, il lavoro speso dalle tensioni normali su allungamenti o accorciamenti è
(σx x + σy y + σz z ) dxdydz
e quindi rappresenta il lavoro virtualmente speso/accumulato in una variazione di volume.
Consideriamo ora sull’intorno a forma di cubetto le tensioni tangenziali τxy agenti sulle facce
di normale x e y rispettivamente. Se l’elemento subisce uno scorrimento angolare infinitesimo
∂v
dx e la faccia di normale y scorre
γxy , la faccia di normale x scorre verso l’alto della quantità ∂x
∂u
verso sinistra della quantità ∂y dy, figura 4.15. La forza per contatto sulla faccia di normale x
è τxy dydz e sulla faccia di normale y è τyx dxdz e il lavoro virtualmente compiuto da esse sugli
scorrimenti delle facce stesse è
τxy dydz
∂v
∂u
dx + τyx dxdz dy = τxy γxy dxdydz
∂x
∂y
per la reciprocità delle tensioni tangenziali e, più in generale, tenendo conto di tutte le tensioni
tangenziali, il lavoro virtualmente compiuto da esse su tutti gli scorrimenti angolari è
(τxy γxy + τxz γxz + τyz γyz ) dxdydz
4.3. RELAZIONI COSTITUTIVE
71
Figura 4.15: Lavoro delle tensioni tangenziali.
e quindi rappresenta il lavoro virtualmente speso/accumulato in una distorsione di forma, senza
alterazioni di volume. La scrittura estesa per componenti dell’espressione ridotta del lavoro
interno (4.11) ha quindi una interpretazione meccanica ben identificabile: è la densità di lavoro
virtuale compiuta dalle azioni interne nelle deformazioni di ogni intorno, vista come somma di
prodotti noti di forza per spostamento.
4.3
Relazioni costitutive
Il cambiamento di stato geometrico del continuo di Cauchy è descritto dalle 3 componenti
scalari dello spostamento u. La deformazione è descritta dalle 6 componenti scalari di E,
equazione (4.1). Lo stato di tensione è descritto dalle 6 componenti scalari di T , equazione
(4.15). La ricerca di un nuovo stato di equilibrio a partire da uno assegnato richiede dunque
la determinazione di 15 campi incogniti, a fronte di 9 equazioni scalari differenziali ordinarie:
6 di compatibilità cinematica e 3 di bilancio locale.15 Per chiudere il sistema occorrono altre 6
equazioni scalari, dette costitutive, che mettano in relazione la deformazione del continuo e il
suo stato di tensione.
In effetti, in tutte le considerazioni svolte per i continui, sia monodimensionali sia tridimensionali, si è considerato il lavoro virtualmente speso su campi cinematici di prova. Per determinare
i percorsi reali d’equilibrio, bisogna specificare l’effettiva spesa di lavoro da parte del mondo
esterno nel far assumere al continuo una nuova configurazione a partire da una assegnata. In
base a considerazioni termodinamiche assai semplici, questa spesa di lavoro non può mai essere
negativa. Segue che, nel campo delle trasformazioni infinitesime, la forma più ovvia per un
funzionale di lavoro, anche nell’ottica di uno sviluppo in serie di Taylor arrestato all’ordine
minimo indispensabile, è quadratica nelle misure di deformazione.16 L’indagine sperimentale
servirà a determinare le costanti caratteristiche della forma quadratica.
Se nella trasformazione si possono trascurare le dissipazioni e il lavoro speso dipende solo dagli
stati iniziale e finale si può assumere che il lavoro sia equivalente a una forma d’energia, detta
elastica.17 Essa s’immagina immagazzinata dalle azioni di contatto interne nella trasformazione
ed è rilasciata al cessare delle azioni esterne. L’energia elastica è allora un potenziale per le
15
Le equazioni di bilancio al contorno e le condizioni di reciprocità delle tensioni discendono sempre
dall’equazione del lavoro virtuale e non sono indipendenti dalle equazioni di bilancio locali o indefinite.
16
Ciò è già noto: per l’elemento deformabile elementare, la molla unidimensionale, il lavoro speso vale 1/2 k δ 2 ,
con k caratteristica costitutiva della molla e δ misura del suo allungamento dalla configurazione di partenza.
17
Più precisamente, un materiale è iperelastico se la sua legge costitutiva si ricava da un’energia elastica.
72
CAPITOLO 4. IL CONTINUO DI CAUCHY
azioni interne e queste si possono ricavare come variazioni prime dell’energia.18 Se l’energia
ha forma quadratica nelle misure di deformazione, l’azione di contatto interna è lineare in
esse.19 Questa assunzione (legge costitutiva elastica lineare) è verificata sperimentalmente per
la maggior parte dei materiali soggetti a piccole deformazioni. Se le deformazioni diventano
elevate si esce dal campo elastico e va adottato un legame costitutivo differente.
In generale un operatore lineare tra spazi vettoriali reali di dimensione 3 ha due indici (tensore
doppio) ed è ben definito da 32 = 9 coefficienti; un operatore lineare tra tensori doppi ha
quattro indici (tensore quadruplo) ed è ben definito da 34 = 81 coefficienti. Per definire un
legame elastico lineare tra il tensore di deformazione E e il tensore delle tensioni T non serve
però un tensore elastico quadruplo C completo. Infatti, per simmetria E e T hanno 6 sole
componenti indipendenti e i coefficienti elastici distinti del tensore costitutivo C si riducono a
36.20 Caratteristiche costitutive ulteriori di un materiale in una configurazione C sono
• Omogeneità: il tensore C è uniforme in C, cioè le proprietà elastiche non variano in C;
• Isotropia: il tensore C si rappresenta allo stesso modo indipendentemente dalla base
scelta, cioè il materiale in C presenta le stesse caratteristiche in tutte le direzioni.
In tal caso il legame costitutivo si scrive, con notazione indiciale,
(T )ij = (C)ijhk (E)hk
I tensori isotropi del quarto ordine si ottengono come combinazione lineare di prodotti di tensori
isotropi del secondo ordine. In particolare C è una combinazione lineare di tre tensori doppi
isotropi linearmente indipendenti. L’unico tensore doppio isotropo (a meno dei suoi multipli),
con le stesse componenti in qualsiasi base, è il cosı̀ detto tensore di Kronecker δ
(δ)ij = 1 i = j,
(δ)ij = 0 i 6= j
per cui la legge costitutiva elastica lineare omogenea e isotropa si scrive, poste C1 , C2 , C3 delle
costanti scalari e utilizzando le proprietà dell’operatore di Kronecker e la simmetria di E,
h
i
(T )ij = (C)ijhk (E)hk = C1 (δ)ij (δ)hk + C2 (δ)ik (δ)jh + C3 (δ)ih (δ)jk (E)hk
= C1 (δ)ij (E)hh + C2 (δ)ik (E)jk + C3 (δ)ih (E)hj =
(4.22)
= C1 (δ)ij (E)hh + C2 (E)ji + C3 (E)ij
= C1 (δ)ij (E)hh + (C2 + C3 ) (E)ij
Rinominando le costanti e tornando alla notazione assoluta, la legge costitutiva per un punto
di un materiale elastico lineare omogeneo e isotropo nella configurazione C considerata è
T = 2µE + λ (trE) I
(4.23)
in cui λ e µ sono dette costanti elastiche di Lamé e tr è la traccia dell’operatore indicato, suo
primo invariante, e coincide con la somma degli elementi lungo la diagonale principale. Si osservi
18
Anche questa relazione è ben nota nel caso delle molle unidimensionali.
Una relazione analoga è stata postulata, anziché ricavata, per il continuo monodimensionale.
20
Per il principio di determinismo, uno dei cardini empirici della teoria costitutiva, il legame tra i due tensori
dipende soltanto dallo stato attuale.
19
4.3. RELAZIONI COSTITUTIVE
73
che, a meno del termine sferico (quello che moltiplica l’identità) dovuto alle pressione statica, la
legge costitutiva (4.23) ha la stessa struttura di quella dei fluidi newtoniani in fluidodinamica.
Hooke introdusse nel 1678 una legge costitutiva nel caso di elasticità unidimensionale utilizzando la famosa locuzione “ut tensio sic vis”.21 Il legame funzionale (4.23) tra ciascuna componente
di deformazione e tutte le tensioni associate al punto in un generico stato del continuo in esame
viene allora chiamato ‘legge di Hooke generalizzata’. Per componenti essa si scrive
x =
1
[σx − ν (σy + σz )] ,
E
γxy
1
1
[σy − ν (σz + σx )] , z = [σz − ν (σx + σy )] ,
E
E
τxz
τyz
τxy
=
,
γxz =
,
γyz =
G
G
G
y =
(4.24)
e può essere sinteticamente espressa nella cosı̀ detta rappresentazione matriciale di Voigt:














x
y
z
γxy
γxz
γyz


 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
1
E
− Eν
− Eν − Eν
1
E
− Eν − Eν
0
0
0
− Eν
0
0
0
1
E
0
0
0
0
0
0
0
0
1
G
0
0
0
0
1
G
0
0
0
0
0
0
1
G














σx



σy 


σz 


τxy 


τxz 

τyz
(4.25)
in cui E = µ(2µ + 3λ)/(µ + λ) si chiama modulo di elasticità longitudinale e G = µ si chiama
modulo di elasticità tangenziale. Entrambi hanno le stesse dimensioni fisiche della tensione,
in quanto la deformazione non ha dimensioni fisiche. Le loro unità di misura sono quelle di
una forza rapportata a una superficie, quindi N/m2 o, più comunemente nella pratica, GPa.
Infine, ν = λ/2(µ + λ) si chiama coefficiente di Poisson ed è adimensionale; quantifica l’evidenza sperimentale che un allungamento o un accorciamento lungo una direzione prefissata
può essere causato non solo dalla tensione normale in tale direzione ma anche dalle tensioni
perpendicolari ad essa. Per esempio, effettuando un allungamento (accorciamento) unitario
di un parallelepipedo in direzione x si osserva una contrazione (allungamento) di modulo pari
a ν volte il precedente nelle direzioni y e z. Questo spiega anche perché nelle (4.24), (4.25)
il contributo moltiplicato dal coefficiente di Poisson compaia col segno meno. Poiché si vede
facilmente che E = 2(1 + ν)G, si hanno dunque solo due costanti elastiche che caratterizzano
il comportamento dei materiali elastici lineari omogenei e isotropi. I due blocchi nulli disposti
sulla diagonale secondaria della (4.25) indicano che in questi materiali le componenti normali
della tensione σi non dipendono dagli scorrimenti angolari γij e le tensioni tangenziali τij non
dipendono dagli allungamenti specifici i .
Valori indicativi per le costanti elastiche per alcuni materiali elastici lineari omogenei e isotropi:
21
Tale l’(es)tensione tale la forza, cioè l’allungamento è proporzionale alla sollecitazione.
74
CAPITOLO 4. IL CONTINUO DI CAUCHY
materiale
G (GPa) E (GPa)
ν
acciaio da costruzioni
70-75
200
0.30-0.32
alluminio
20-21
70
0.34
vetro
15-39
38-100
0.18-0.30
calcestruzzo (compressione)
—
20
0.25
plexiglas
1.7
3.3
0.32
Esistono materiali che manifestano comportamento diverso: per esempio, il Gore-Tex ha modulo di Poisson negativo, per cui all’estensione in una direzione segue un’estensione ortogonalmente a essa. Inoltre i moduli di elasticità E e G di un materiale possono assumere valori
anche molto diversi al variare delle condizioni esterne (in particolare della temperatura) e presentano valori generalmente molto più elevati per carichi dinamici in funzione della frequenza
di sollecitazione. L’assunzione di E, G, ν costanti è quasi sempre accettabile nelle applicazioni
usuali ma bisogna porre attenzione nella loro selezione in letteratura avendo cura di controllare
le condizioni (di carico, di temperatura etc) a cui i rispettivi valori sono riferiti.
Definite le relazioni costitutive, si dispone dunque di 15 equazioni scalari indipendenti per il
problema elastico lineare:
• 6 equazioni algebriche che esprimono le relazioni costitutive elastiche lineari omogenee e
isotrope tra tensioni e deformazioni fornite dalle leggi di Hooke generalizzate (4.24);
• 6 equazioni differenziali lineari che esprimono le misure di deformazione nelle (4.1), (4.2);
• 3 equazioni di equilibrio meccanico locale (4.14);
Le funzioni incognite sono altresı̀ 15, cioè le 3 componenti dello spostamento infinitesimo, le
6 componenti di E e le 6 componenti di T . Per la soluzione del problema, devono essere
noti i carichi esterni di volume e di superficie, i cedimenti vincolari, la geometria del corpo e
le caratteristiche del materiale che lo costituisce. Si dimostra che la soluzione del problema
esiste ed è unica, tuttavia non ha in generale forma analitica chiusa, salvo casi particolarmente
semplici. Il problema elastico può essere specializzato quando si studiano azioni esterne ed
elementi ben precisi: travi, piastre, sistemi reticolari, gusci.
Capitolo 5
Il problema di Saint Venant
5.1
Il cilindro di Saint Venant
La teoria dei continui in spazio tridimensionale ha origini nel primo ‘800 per opera essenzialmente di Cauchy, Navier e Poisson e risulta spesso complessa per la risoluzione di problemi
applicativi. L’ingegnere francese Adhémar Barré de Saint Venant verso la metà dell’‘800 riuscı̀
a conciliarla, sotto opportune ipotesi, con la teoria della linea elastica di Euler (circa 1740).
Egli studiò prismi rettilinei a sezione uniforme caricati sulle basi (cilindri di Saint Venant)
basandosi sulla congettura seguente: a distanza opportuna dalle basi lo stato di tensione e
deformazione del cilindro dipende dalle caratteristiche globali della sollecitazione e non dalla
sua distribuzione.1 Accettando questa congettura si ha l’enorme vantaggio di valutare solo
risultante e momento risultante delle forze alle basi e non la loro distribuzione effettiva.2
Nel problema elastico diretto sono assegnati geometria, vincoli e distribuzione dei carichi esterni e si cercano spostamento, deformazione e tensione che verificano le equazioni di campo. Nel
problema elastico inverso si cercano le azioni esterne che generano, secondo le equazioni di
campo, spostamento, deformazione e tensione assegnati. Il metodo di Saint Venant è semiinverso: assegnate una parte delle azioni esterne e una parte della soluzione, si cercano i campi
rimanenti che verifichino le equazioni di campo.
Nel problema di Saint Venant le azioni di volume sono nulle;3 quelle di superficie sono nulle
sul mantello laterale M del cilindro e non nulle ma distribuite con legge incognita sulle basi
S0 , Sl del cilindro stesso. Questo definisce il primo passo del metodo semi-inverso.
Saint Venant caratterizza una parte della soluzione basandosi su osservazioni sperimentali:
negli elementi ‘lunghi’ l’azione interna è trasmessa pressoché parallelamente alla lunghezza. Se
il cilindro è riferito a un sistema di coordinate cartesiane con origine sulla base di sinistra e
asse z parallelo alle direttrici, si postula che in ogni punto lo stato di tensione sia

σx = σy = τxy = 0,
0
0 τzx


(T ) =  0
0 τzy

τxz τyz σz
1





(5.1)
La congettura fu dimostrata nel secolo scorso dai matematici italiani Zanaboni e Fichera. La distanza di
estinzione degli effetti locali della distribuzione dei carichi sulle basi è dell’ordine del diametro della sezione.
2
Gli effetti locali in prossimità delle basi richiedono analisi più raffinate.
3
In elasticità ciò è abituale: il peso di un elemento è evanescente rispetto alle forze portate per contatto.
75
76
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
Figura 5.1: Tensioni nel cilindro di Saint Venant.
cioè che le fibre longitudinali interagiscano solo tramite azioni interne dirette lungo z, scorrendo
una sull’altra e scambiandosi cosı̀ tensioni tangenziali τ = {τxz , τyz } come nella figura 5.1.
Questo definisce il secondo passo del metodo semi-inverso.
L’obiettivo del problema di Saint Venant è dunque cercare le distribuzioni di sollecitazioni
sulle basi, bilanciate con azioni nulle di volume e sul mantello e che diano luogo alle tensioni
(5.1), nonché lo stato di spostamento-deformazione indotto nel cilindro da queste sollecitazioni.
Posto γ = {γxz , γyz }, le deformazioni sono legate elasticamente alle tensioni dalle (4.23), (4.24)
z =
σz
,
E
γ=
τ
,
G
E p = −νz I p
(5.2)
in cui il pedice p indica la restrizione della quantità indicata al piano della sezione.
Se lo stato di tensione è dato dalla (5.1), le equazioni locali di bilancio meccanico e al contorno
(4.14) diventano, indicando con divp l’operatore divergenza nel piano della sezione,
∂τ
= 0,
∂z
divp τ +
∂σz
= 0 in C = S × [0, l],
∂z
τ · n = 0 in M = ∂S × [0, l]
(5.3)
dove n è il campo della normale unitaria uscente sul mantello laterale M; le azioni di contatto
rimangono impregiudicate sulle basi, l è la lunghezza del cilindro.
Dalle (5.3) si deduce che le tensioni tangenziali sono uniformi lungo l’asse z e devono soddisfare,
con la tensione normale, un’equazione di tipo armonico. Inoltre, dalle (5.3)1,2 , (5.2)1 si ricava
∂τ
∂ 2 σz
∂ 2 σz
∂ 2 z
divp
+
=
0
⇒
=
0
⇒
=0
(5.4)
∂z
∂z 2
∂z 2
∂z 2
cioè che deformazione e tensione normali lungo l’asse devono essere lineari nella coordinata z.
Se si indica poi con up = {u, v} la parte di spostamento parallela al piano della sezione, e con
gradp l’operatore gradiente nello stesso piano, per le (4.2), (5.2)3 , (5.4) dev’essere
2 2 ∂ up
∂ z
sym gradp up = −νz I p ⇒ sym gradp
= −ν
Ip = 0
(5.5)
2
∂z
∂z 2
5.1. IL CILINDRO DI SAINT VENANT
cioè gradp
∂ 2 up
∂z 2
77
è un operatore antisimmetrico. Inoltre, dalle (5.2)2 , (5.3)1
∂ 2 up
∂ 2 up
∂w
=
0
⇒
+
grad
= −gradp z ⇒
p
∂z 2
∂z
∂z 2
(5.6)
2 ∂ up
⇒ gradp
= −gradp gradp z = 0
∂z 2
2 ∂ up
è antisimmetrico, mentre gradp gradp z è simmetrico;4
in quanto per la (5.5) gradp
∂z 2
poiché operatori simmetrici e antisimmetrici appartengono a sottospazi vettoriali ortogonali,
un tensore simmetrico può essere uguale a uno antisimmetrico solo se sono entrambi nulli.
Per le (5.4), (5.6) il campo dell’allungamento specifico in direzione normale (come gli altri due
per la (5.2)2 ) è lineare sia nell’ascissa z che nel vettore posizione sulla sezione del cilindro:
∂γ
G
=G
∂z
z = 0 + (κ0 × r) · k + z [1 + (κ1 × r) · k]
(5.7)
in cui κ = κ0 + zκ1 è detto vettore flessione ed è uniforme nel piano della sezione.
Per la legge elastica (5.2)1 , l’espressione lineare (5.7) vale anche per la tensione normale σz .
Un’applicazione integrale sulla sezione generica S delle (5.3)2,3 porta a
Z
Z
Z
∂σz
divp τ dA = −
τ · nds =
0=
dA =
S ∂z
S
∂S
Z
= −Ez [1 + (κ1 × r) · k] dA ⇒ 1 = − (κ1 × r G ) · k
S
in cui r G è il vettore posizione del centro d’area G di S.5 Di conseguenza, l’espressione di z è
z = 0 + (κ0 × r) · k + z [κ1 × (r − r G ) · k]
(5.8)
Per determinare i campi di spostamento occorre integrare i loro gradienti, espressi dalle misure
di deformazione, dopo aver fornito condizioni necessarie d’integrabilità. Poiché, come si è visto,
le derivate di up e di w lungo l’asse sono funzioni polinomiali in z, l’integrabilità in direzione
assiale è assicurata e occorre solo fornire le condizioni d’integrabilità nel piano della sezione.
La (5.2)3 fornisce la parte simmetrica del gradiente del campo up , per cui si può porre


−νz
ϕ
 (5.9)
gradp up = sym gradup +skw gradup = −νz I p +εij3 ϕ,
gradp up = 
−ϕ −νz
in cui εij3 è il permutatore di Ricci nel piano x, y.6 Per il significato di parte antisimmetrica del
gradiente di spostamento, il campo ϕ rappresenta la rotazione dell’intorno di ciascun posto di
S: trattandosi di continui deformabili, a priori questa (micro-)rotazione varia da posto a posto.
4
Se i campi hanno la regolarità sufficiente, le derivate seconde miste sono uguali per il teorema di Schwartz
e il doppio gradiente, che coincide con l’operatore hessiano, risulta necessariamente simmetrico.
5
Il centro d’area G di un dominio piano D di area AD è definito dalla relazione
Z
sD =
rdA = r G AD
D
per cui G è il posto del piano in cui si può immaginare concentrata tutta l’area del dominio considerato.
6
Il permutatore di Ricci nello spazio tridimensionale vale 0 se uno dei suoi tre indici è ripetuto, ±1 se i tre
indici costituiscono una permutazione rispettivamente pari o dispari della terna 1, 2, 3.
78
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
La condizione necessaria d’integrabilità per up è che il suo gradiente sia irrotazionale:7
rotp gradp up = 0 ⇒ gradp ϕ = −k × (gradp z ) = νκ
(5.10)
in cui rotp è il rotore dell’operatore piano indicato.8 Per la (5.10) la rotazione locale è lineare
nel vettore flessione; per la (5.6) essa è lineare anche lungo l’asse del cilindro, per cui il campo
della rotazione locale è, poste ϕ0 , ϕ1 delle quantità scalari uniformi,
ϕ = ϕ0 + νκ0 · r + z (ϕ1 + νκ1 · r)
(5.11)
Anche per la componente di spostamento w condizione necessaria d’integrabilità è che il suo
gradiente sia irrotazionale. Il campo gradp w si esprime a partire dalla (4.2), per cui 9
∂up
rotp gradp w = rotp γ −
= 0 ⇒ rotp γ = 2 (ϕ1 + νκ1 · r) k
(5.12)
∂z
Tuttavia, per sfruttare appieno questa condizione occorre conoscere l’espressione esplicita dello
scorrimento γ nel piano della sezione, che a priori non è nota come le altre finora ricavate. Essa
dipende infatti dalla determinazione del campo della tensione tangenziale τ , che è soluzione di
un problema armonico, dato dalle (5.3)2,3 e dalle condizioni di integrabilità per γ = τ /G
divp τ +
∂σz
=0
∂z
in S
τ ·n=0
in ∂S
(5.13)
rotp τ = 2G (ϕ1 + νκ1 · r) k
in S
I
(τ · l) ds = 2GAΛ (ϕ1 + νκ1 · r GΛ ) ∀Λ ∈ S
∂Λ
con la (5.13)4 condizione sufficiente di integrabilità: la circolazione del campo γ (o di τ = Gγ)
lungo qualsiasi cammino chiuso ∂Λ che circonda una regione Λ (eventualmente una lacuna
7
La condizione non è sufficiente, in quanto occorre che la circolazione del gradiente lungo un qualunque
cammino chiuso sia nulla. La condizione che il campo sia irrotazionale è anche sufficiente solo per i cammini
infinitesimi o per dominı̂ a connessione semplice. In dominı̂ pluriconnessi - cioè con lacune interne - la circolazione
del gradiente attorno alle lacune può non essere nulla e il campo può non essere integrabile.
8
Il rotore di un campo vettoriale a è il campo vettoriale che verifica il cosı̀ detto teorema di Stokes
Z
Z
(rota) · ndA =
a · lds
S
∂S
per ogni superficie orientata S sufficientemente regolare di normale n e tangente unitaria l al suo contorno ∂S.
Per estensione, il rotore di un campo di applicazioni lineari L è il campo di applicazioni lineari che verifica
Z
Z
(rotL) ndA =
Llds
S
∂S
Sulla base di queste definizioni si può dimostrare che, in una base ortonormale ei , i = 1, 2, 3,
(rota)i = εijh
∂ah
,
∂xj
(rotL)ki = εijh
∂Lkh
∂xj
Se L opera su un piano, nella formula di Stokes ∂S è una curva chiusa del piano e n è la normale al piano. Se
n ≡ e3 , il rotore piano dell’applicazione si riduce alle prime due componenti della terza colonna di rotL.
9
Basandosi sulla nota precedente, il rotore piano di un campo vettoriale piano coincide con la terza
componente del vettore rotore di quest’ultimo.
5.2. ESTENSIONE
79
se la sezione è non semplicemente connessa) deve assumere il valore indicato. Il problema
differenziale (5.13) è definito sulla sezione generica S in quanto il campo τ è uniforme lungo z.
Fornite le (5.10), (5.12), si ricavano esplicitamente up e implicitamente w:
z2
z3
up = up0 − k × zp + κ0 + κ1 + (ϕ0 + zϕ1 )k × r + νsym [r ⊗ (k × r)] κ+
2
6
−ν [0 + z (κ1 × r G ) · k] r
z2
1
1
2
w = w0 + z0 + $ + p + zκ0 + κ1 × r · k + ν krk κ1 ×
r − rG
·k
2
6
2
(5.14)
in cui up0 , p, w0 sono costanti d’integrazione, $ è la primitiva di gradp w e ⊗ indica il prodotto
tensore tra vettori.10 Se si risolve il problema (5.13), si può ricavare esplicitamente w.
La derivata seconda di up lungo l’asse, cioè la curvatura delle fibre longitudinali del cilindro
∂ 2 up
= −k × (κ0 + zκ1 )
∂z 2
(5.15)
giustifica il nome di κ: il vettore flessione, composto di una parte uniforme lungo l’asse e una
lineare in z, compare quando le fibre longitudinali s’incurvano e il cilindro s’inflette.
La soluzione del problema di Saint Venant dipende da quattro parametri inessenziali,
w0 ,
up0 ,
ϕ0 ,
p
che definiscono lo spostamento rigido infinitesimo del punto del cilindro sovrapposto all’origine
delle coordinate, sempre eliminabile, e da quattro parametri essenziali,
0 ,
κ0 ,
κ1 ,
ϕ1
legati ai modi di deformazione del cilindro indotti da distribuzioni particolari delle sollecitazioni
alle basi. Il comportamento generale del cilindro, per la linearità del problema, risulta dalla
sovrapposizione degli effetti di ciascun parametro caratteristico.
La soluzione è legata a una ben determinata distribuzione di sollecitazioni alle basi, ma è valida
a distanza sufficiente dalle basi per distribuzioni staticamente equivalenti a quella teorica per la
congettura di Saint Venant. Si descrivono cosı̀ un numero enorme di applicazioni per gli elementi
traviformi e per questo nel seguito esamineremo gli effetti di ogni parametro caratteristico.
5.2
Estensione
Se consideriamo solo 0 , le (5.13) sono un problema omogeneo con soluzione banale e la tensione
tangenziale è identicamente nulla. Per le (5.7), (5.2)2 le misure di deformazione sono
z = 0 ,
x = y = −ν0 ,
γ=0
(5.16)
cioè l’allungamento specifico e la conseguente contrazione laterale, uniformi in tutto il cilindro.
Tutte le fibre longitudinali da cui può immaginarsi costituito il solido si dilatano uniformemente
in direzione assiale, per cui tutte le sezioni trasversali si conservano piane e ortogonali all’asse
80
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
Figura 5.2: Estensione di un cilindro di Saint Venant.
del cilindro e le basi subiscono una traslazione relativa lungo l’asse. Si giustifica cosı̀ l’ipotesi
di Euler-Bernoulli introdotta nella teoria monodimensionale dei corpi traviformi.
Dalle leggi elastiche (5.2), le sollecitazioni che mantengono queste deformazioni sono
σz = E0 ,
τ = 0,
(5.17)
uniformi sulle basi e in ogni punto del cilindro e staticamente equivalenti a
Z
Z
N
N
, σz = ,
m=
r × σz kdA = EA0 r G × k . (5.18)
N=
σz dA = EA0 ⇒ 0 =
EA
A
S
S
Si pone l’origine delle coordinate nel centro d’area G della base di sinistra, per cui m svanisce,
in accordo con una distribuzione uniforme di forze attorno al centro della regione d’applicazione;
la soluzione è detta perciò anche di forza normale centrata, figura 5.3. Per la congettura di
Saint Venant, tutti i problemi in cui la sollecitazione alle basi è staticamente equivalente a
questa presentano la stessa distribuzione di tensioni a distanza sufficiente dalle basi.
Figura 5.3: Forza risultante nell’estensione di un cilindro di Saint Venant.
Se si blocca lo spostamento rigido infinitesimo dell’origine, per le (5.14) è
w=
N
Nl
z ⇒ ∆l = w(l) − w(0) =
,
EA
EA
up = −ν0 r
(5.19)
Le sezioni traslano assialmente di una quantità lineare in z e il cilindro si contrae lateralmente.
La quantità EA è la rigidezza assiale di un elemento di cilindro e coincide con la costante
10
Data una base ei , i = 1, 2, 3 di uno spazio vettoriale reale V, il prodotto tensore ej ⊗ ei è un elemento
della base canonica dello spazio delle applicazioni lineari di V in sè. La sua matrice rappresentativa ha tutte
componenti nulle tranne 1 nella riga i e colonna j. Allora a ⊗ b è un’applicazione lineare rappresentata dalla
matrice con componenti aj bi alla riga i e colonna j.
5.2. ESTENSIONE
81
A nelle (2.16). La quantità EA/l è la rigidezza assiale di tutto il cilindro, visto come molla
elastica di trazione-compressione.
Questo comportamento si nota nelle prove di trazione su provini cilindrici. Per i materiali
duttili si ha il diagramma σ − nella figura 5.4, in cui si riconosce il campo elastico lineare con
coefficiente angolare proprio il modulo di Young E; aumentando il carico c’è un breve tratto
d’elasticità non lineare e un tratto dove il materiale prima si snerva e poi il provino arriva a
rottura. Per i materiali fragili il diagramma coincide pressoché con la fase elastica.
Figura 5.4: Diagrammi di prove di trazione.
Nella pratica progettuale, il valore teorico di sforzo massimo trovato con l’analisi delle tensioni
(in questo caso pari al valore uniforme N/A) deve essere confrontato con i valori ammissibili
forniti dalle prove sperimentali sui materiali, magari usando coefficienti di sicurezza c:
cσmax ≤ σamm
il cui valore dipende dall’applicazione. In ambito militare, per esempio, si tende a ottimizzare
la prestazione del componente e quindi i coefficienti di sicurezza saranno molto bassi: si cerca
di lavorare al limite delle prestazioni del materiale. In ambito civile, in cui subentra la sicurezza
delle persone, tale coefficiente può assumere valori elevati, spesso prescritti dalle norme.
Se si assemblano due cilindri con differenti sezioni, il corpo traviforme presenta una brusca
variazione di sezione. A distanza sufficiente dalle basi e dalla discontinuità geometrica la congettura di Saint Venant continua a valere, mentre nei pressi del salto di sezione si avrà una
concentrazione di sforzi, di cui si tiene conto con un fattore di intaglio k.
Spesso in meccanica i componenti sono sollecitati ciclicamente, ossia a fatica. In tal caso, ci si
riferisce non alle curve sperimentali della prova di trazione statica ma a quelle di Wöhler, figura
5.5. In questi diagrammi, detto N1 il numero di cicli massimo relativo al livello di tensione
σN1 , per ogni σ si legge il valore massimo di cicli che il materiale può sopportare. Detta m una
costante tabellata ed N il numero massimo di cicli sopportabili, vale la relazione
σ m N = cost
e oltre il numero di cicli NLF = 106 (limite di fatica) si ha per i materiali ferrosi un asintoto,
ovvero una tensione massima sopportata dal materiale costante anche all’aumentare di N . Per
trattare l’accumulo del danno a fatica vi sono varie teorie, quali quelle di Palmgren-Miner o
quella bilineare di Manson, la cui trattazione attiene ad altri insegnamenti.
82
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
Figura 5.5: Diagrammi di Wöhler per materiali ferrosi.
Esempio 5.1 Determinare, per effetto dei carichi riportati, l’allungamento dell’asta d’acciaio
in figura 5.6, caratterizzata dalle seguenti proprietà materiali e geometriche:
E = 200 GPa,
L1 = L2 = 300 mm,
L3 = 400 mm,
A1 = A2 = 562.5 mm2 ,
A3 = 187.5 mm2
Il sistema è riducibile a una trave incastrata, quindi staticamente determinato, e si può studiare
Figura 5.6: Esempio 5.1.
dapprima con le sole equazioni di bilancio meccanico per poi passare a quelle di legame elastico
e di compatibilità cinematica. È opportuno considerare i tre sottosistemi nella figura 5.6, che
dovranno essere tutti bilanciati affinché il sistema lo sia; dall’equilibrio dei corpi liberi si ottiene
P1 = 270 kN,
P2 = −67 kN,
P3 = 135 kN
e sostituendo questi valori nella (5.19), che lega l’allungamento alle forze normali, si ricava
3
X
Ni li
1 P1 L1 P2 L2 P3 L3
∆l =
= 1.98 mm
=
+
+
E
A
E
A
A
A
i
i
1
2
3
i=1
5.3. FLESSIONE UNIFORME
5.3
83
Flessione uniforme
Consideriamo l’effetto solo di κ0 : le (5.13) sono ancora un problema omogeneo, la cui soluzione
generale è ancora la banale, e i campi di tensione tangenziale e di scorrimento sono ancora
identicamente nulli. Per questo e per le (5.7), (5.2)3 le misure di deformazione sono
z = (κ0 × r) · k,
x = y = −νz ,
γ=0
(5.20)
cioè ancora l’allungamento specifico e la conseguente contrazione laterale.
Le fibre longitudinali del cilindro si dilatano in direzione assiale, uniformemente lungo l’asse
e linearmente nella sezione: per questa linearità la sezione si trasforma ancora in un piano.
Lo scorrimento ovunque nullo implica che gli angoli inizalmente retti tra fibre longitudinali
e sezione non cambiano e il piano trasformato della sezione si mantiene ortogonale all’asse
inflesso. Si giustifica ancora una volta l’ipotesi di Euler-Bernoulli di conservazione delle sezioni
piane, assunta come ipotesi nella teoria monodimensionale dei corpi traviformi.
Se si blocca lo spostamento rigido infinitesimo dell’origine, per le (5.14) si ha
z2
k × κ0 + νsym [r ⊗ (k × r)] κ0
(5.21)
2
L’asse ha curvatura uniforme, diventa cioè un arco di circonferenza in un piano (piano di
flessione); le sezioni ruotano di una quantità lineare in z, pari a ∂up /∂z = −zk × κ0 ; il cilindro
si contrae lateralmente secondo il tensore r ⊗ (k × r), detto di curvatura anticlastica.
w = z(κ0 × r) · k,
up = −
Figura 5.7: Rotazione delle sezioni in una flessione di un cilindro di Saint Venant.
Dalle leggi di Hooke generalizzate (5.2) si ha la distribuzione di sollecitazioni
σz = E(κ0 × r) · k,
τ =0
(5.22)
che sulle basi mantiene questo stato di deformazione, lineare in r e staticamente equivalente a
Z
N=
σz dA = EA(κ0 × r G ) · k,
S
Z
(5.23)
Z
m=
r × σz kdA = E
(k × r) ⊗ (k × r) dA κ0 = EIκ0
S
S
in cui l’applicazione lineare simmetrica I è un’espressione del tensore d’inerzia della sezione:




Z
y 2 −xy
Ix −Ixy

 dA = 

(I) =
(5.24)
2
S
−xy x
−Ixy Iy
84
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
Le sue componenti lungo la diagonale sono dette momenti d’inerzia rispetto agli assi e quella
fuori diagonale momento misto rispetto agli assi della sezione S, per cui dalla (5.23)
κ0 =
I −1 m
,
E
σz =
−x (Ixy Mx + Ix My ) + y (Iy Mx + Ixy My )
I −1 m × r · k =
2
Ix Iy − Ixy
(5.25)
Nel § 5.1 si è posta l’origine delle coordinate nel centro d’area di S: per la (5.23) la forza N
svanisce, in accordo con l’idea di distribuzione lineare a media nulla sulla sezione. La (5.24)
suggerisce inoltre di scegliere gli assi x e y in modo da rendere I diagonale. La tecnica di
diagonalizzazione è stata illustrata nel § 4.1; ricordando il cambio di coordinate nel piano
ξ = x cos α + y sin α,
η = −x sin α + y cos α
dalla (5.24) si ricava che rispetto agli assi ξ, η le componenti del tensore d’inerzia si scrivono
Iξ = Ix cos2 α + Iy sin2 α − 2Ixy sin α cos α
Iη = Ix sin2 α + Iy cos2 α + 2Ixy sin α cos α
Iξη = (Iy − Ix ) sin α cos α − Ixy cos2 α − sin2 α
(5.26)
Queste espressioni sono simili alle (4.17) a meno del segno del termine fuori diagonale — tensione
tangenziale per lo stato di tensione, momento d’inerzia misto in questo caso.11 Analogamente
a quanto mostrato per lo stato di tensione nel piano, si può realizzare una rappresentazione
piana di Mohr per i momenti d’inerzia: i passi da fare sono gli stessi mostrati nel § 4.2.
L’angolo per sovrapporsi agli assi principali d’inerzia è dove Iξη = 0, per cui dalla (5.26)
Iξη = (Iy − Ix )
2Ixy
sin 2α
− Ixy cos 2α = 0 ⇒ tan 2α =
2
Iy − Ix
(5.27)
e si può dimostrare facilmente che la (5.27) coincide con la condizione per cui i momenti d’inerzia
Iξ e Iη attingono valori estremi tra tutti quelli possibili (il che si vede anche graficamente dalla
rappresentazione piana di Mohr per i momenti d’inerzia).
Il sistema di coordinate con origine in G in cui il tensore d’inerzia è diagonale si chiama centrale
e principale d’inerzia e in esso le (5.23) si scrivono





Mx
I 0
κ
=E x
  0x 
N = 0,
(m) = 
(5.28)
My
0 Iy
κ0y
in cui, per semplicità, si è continuato a indicare con x, y le coordinate principali. Ricavato dalla
(5.28) il vettore flessione e sostituitolo nella (5.22)2 si ha l’espressione ridotta della distribuzione
di sollecitazioni sulle basi che mantiene questa deformazione, detta flessione uniforme
Mx
My
Mx My
,
,
σz =
y−
x
(5.29)
(κ0x , κ0y ) =
EIx EIy
Ix
Iy
Per la congettura di Saint Venant, nei cilindri in cui la sollecitazione alle basi è staticamente
equivalente a questa si ha lo stesso stato di tensione a distanza sufficiente dalle basi. La rigidezza
flessionale di un elemento di cilindro attorno all’asse x è EIx e analogamente attorno all’asse
y; queste quantità coincidono con le costanti Bx , By nelle (2.16).
11
Non potrebbe essere diversamente, trattandosi della rappresentazione su basi diverse di tensori simmetrici.
5.3. FLESSIONE UNIFORME
85
Figura 5.8: Flessione retta di un cilindro di Saint Venant.
5.3.1
Flessione retta
Se κ0 è parallelo a un asse principale si ha flessione retta, figura 5.8: il vettore momento (in
realtà vettore coppia, in quanto il risultante delle tensioni normali è nullo) forma un angolo retto
col piano in cui s’inflettono l’asse e tutte le fibre del cilindro. Le fibre dalla parte della convessità
dell’asse inflesso si allungano, quelle dalla parte opposta si accorciano. Il luogo geometrico delle
fibre non soggette ad allungamento e tensionale normale, z = σz = 0, è l’asse neutro; nelle
flessioni rette esso coincide con l’asse principale parallelo a m. I punti più sollecitati sono i più
lontani dall’asse neutro e in letteratura si esprime la massima tensione tramite il modulo W di
resistenza a flessione della sezione rispetto all’asse neutro, figura 5.9
σz,max =
Mx
Mx
ymax =
,
Ix
Wx
σz,max =
My
My
xmax =
Iy
Wy
(5.30)
Figura 5.9: Flessioni rette di un cilindro di Saint Venant.
Nelle flessioni rette il materiale è poco sfruttato vicino all’asse neutro: per ottimizzare le
capacità resistenti, allora, si distribuisce la sezione il più possibile lontano dall’asse neutro;
nascono cosı̀ i profilati metallici di uso comune, con sezioni a T, a doppio T, a C e simili.
Esempio 5.2 Trovare la tensione massima e il raggio di curvatura del cilindro di sezione
mostrata nella figura 5.10 (misure in millimetri), doppiamente simmetrica,12 con i dati seguenti:
Mx = 24 kNm,
12
E = 200 GPa,
A = 5860 mm2 ,
Ix = 45.5 106 mm4
Questa proprietà fornisce automaticamente il centro d’area e gli assi principali d’inerzia, coincidenti con
quelli di simmetria.
86
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
!
Figura 5.10: Esempio 5.2.
La distribuzione di tensione e il suo valore massimo risultano dalla (5.29):
σz =
Mx
ymax = 0.527 y MPa,
Ix
σz,max = 53.54 MPa
attinto nei punti più lontani dall’asse neutro, A≡ (−101, 5, 101, 5) e B, simmetrico di A rispetto
a x. Il raggio di curvatura della curva inflessa dell’asse del cilindro è
κ0x =
Mx
24 106 N mm
1
=
=
⇒ ρx = 37.5 m
ρx
EIx
45.5 106 mm4 2 105 N mm−2
Esempio 5.3 Trovare la tensione nei punti C, D, E della sezione del cilindro nella figura ??,
con quote sono espresse in millimetri, se la sollecitazione è un momento My = 15 kNm.
Figura 5.11: Esempio 5.3.
Occorre innanzitutto trovare il centro d’area; poiché l’asse x0 è di simmetria per la figura
della sezione, sicuramente G vi appartiene. Per valutare in quale punto di x0 esso si trovi, si
applica la definizione della nota 5, e si calcola il momento d’area del primo ordine sS (momento
statico) della sezione rispetto a un asse y 0 ausiliario ortogonale all’asse di simmetria. Poiché
5.3. FLESSIONE UNIFORME
87
il momento statico è un integrale definito su un dominio, si potrà partirlo nei contributi delle
regioni elementari A1 , A2 , A3 la cui unione costituisce il dominio. Di ciascuna di queste, infatti,
si conosce la posizione del centro d’area, figura 5.12, per cui
P3
0
2(100 24)35 + (30 102)0
s
y
i=1 Ai xGi
= P
=
= 21.37 mm
x0G =
3
A
2(100 24) + (30 102)
i=1 Ai
e il punto G ≡ (21.37, 0) è il centro d’area cercato. Gli assi x, coincidente con x0 , e y, parallelo
Figura 5.12: Esempio 5.3: centri d’area delle sottoregioni e distanze tra gli assi centrali paralleli a y.
a y 0 , sono dunque assi centrali. Poiché x0 è un asse di simmetria, esso sarà anche principale
d’inerzia.13 Ogni asse ortogonale a uno principale è principale,14 per cui anche y 0 è un asse
principale. L’asse x ≡ x0 rimane asse di simmetria e principale, per cui anche y è principale:
essendo x, y centrali, essi costituiscono il sistema di coordinate centrale e principale d’inerzia
rispetto a cui si può scrivere la (5.29).
Il vettore momento è parallelo all’asse y, per cui si ha una flessione retta attorno allo stesso
asse e nella (5.29) occorre determinare ilsolo momento d’inerzia Iy . Poiché anche il momento
d’inerzia è un integrale definito su un dominio, lo si può partire nei contributi delle regioni
elementari A1 , A2 , A3 . Queste sono infatti rettangoli e si può calcolare molto facilmente che il
momento d’inerzia di un rettangolo rispetto a un asse centrale a parallelo a un lato è
Iarettangolo =
(lunghezza del lato parallelo ad a)(lunghezza del lato ortogonale ad a)3
12
Conoscendo i momenti d’inerzia delle regioni elementari rispetto agli assi centrali e principali
d’inerzia di queste ultime, si possono ricavare quelli della sezione complessiva richiamando
il teorema degli assi paralleli o di Huygens-Steiner. Questo consente di calcolare i momenti
Per simmetria, per ogni elemento d’area dA all’ascissa x0 pesato con un raggio vettore +y¯0 ce n’è uno pesato
con raggio vettore −y¯0 e quindi Ix0 y0 = 0.
14
Si può dimostrare, infatti, che gli operatori simmetrici reali hanno base principale ortonormale.
13
88
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
d’inerzia di una figura di area A rispetto ad assi r0 , s0 paralleli rispettivamente ad assi r, s che
passano per il centro d’area della figura
Ir0 = Ir + A|rr0 |2 ,
Is0 = Is + A|ss0 |2 ,
Ir0 s0 = Ir + A|rr0 ||ss0 |
con |rr0 |, |ss0 | le distanze con segno tra r e r0 e s e s0 , rispettivamente. Qui si ha, allora,
24 1003
102 303
2
2
Iy =
+ (102 30)21, 37 + 2
+ (24 100)13, 63
mm4 = 6.52 106 mm4
12
12
e possiamo trovare i valori di tensione nei punti dati tramite la (5.29):
5.3.2
σz,C =
My
15 106 Nmm
xC =
(−36.37 mm) = −83.65 MPa,
Iy
6.52 106 mm4
σz,D =
15 106 Nmm
My
xD =
63.63 mm = 146.51 MPa,
Iy
6.52 106 mm4
σz,E =
15 106 Nmm
My
(−6.37 mm) = −14.65 MPa .
xE =
Iy
6.52 106 mm4
Flessione deviata
Se κ0 non è parallelo ad alcun asse principale d’inerzia si ha flessione deviata, figura 5.13. Il
momento m è ortogonale a un piano detto di sollecitazione e la traccia di tale piano sulla
sezione è detto asse di sollecitazione s, passante per il centro d’area G. La flessione deviata è
Figura 5.13: Flessione deviata.
la sovrapposizione di due flessioni rette dovute ai momenti
Mx = kmk cos γ,
My = kmk sin γ
(5.31)
per cui dalla (5.29) si ricava l’espressione della tensione normale e l’equazione dell’asse neutro
cos γ
sin γ
My Ix
%2
σz = kmk
y−
x ,
σz = 0 ⇒ y =
x = tan γ x2 x
(5.32)
Ix
Iy
Mx Iy
%y
in cui sono stati introdotti i raggi giratori d’inerzia rispetto agli assi principali d’inerzia
Ix = A%2x ,
Iy = A%2y
5.3. FLESSIONE UNIFORME
89
per mezzo dei quali si scrive l’equazione dell’ellisse centrale d’inerzia
x2 y 2
+
=1
%2y %2x
che descrive, come il tensore d’inerzia, il variare dei momenti d’inerzia della sezione con il sistema
di coordinate:15 per approfondimenti maggiori, si rimanda a testi di Meccanica razionale.
L’asse neutro n passa per il centro d’area e lo si può determinare graficamente tramite l’ellisse
centrale d’inerzia. Se è noto m, infatti, lo è anche l’asse di sollecitazione s, d’equazione
s≡y=−
1
x
tan γ
che interseca l’ellisse centrale d’inerzia in due punti. Se uno di questi è P ≡ (x̄, ȳ), la retta
tangente l’ellisse in P ha equazione
xx̄ y ȳ
%2x
%2x x̄ %2x
%2x
−
+
tan
γ
+
=
1
⇒
y
=
x
=
x
%2y
%2x
ȳ
ȳ %2y
ȳ
%2y
ed è quindi parallela a n, cfr. (5.32), per cui vale la costruzione illustrata nella figura 5.14.
Figura 5.14: Determinazione grafica dell’asse neutro in una flessione deviata.
In una flessione retta l’angolo tra s e n è retto, come mostrato nel punto precedente; in una
flessione deviata tale angolo devia, per l’appunto, da uno retto come illustrato nella figura 5.14.
Esempio 5.4 Trovare l’equazione dell’asse neutro per il problema illustrato nella figura 5.15.
La sezione presenta due assi di simmetria, per cui sono univocamente identificati il centro
dell’area e gli assi centrali e principali d’inerzia. L’asse di sollecitazione ha equazione
s≡y=
h
x = (tan ψ)x
b
e il vettore coppia ha dunque componenti
Mx = −M cos γ,
15
My = M sin γ,
γ=
π
b
− ψ = arctan
2
h
Si ha, infatti, corrispondenza biunivoca tra operatori lineari simmetrici e: curve del secondo ordine (coniche)
in spazio ambiente bidimensionale; superfici del secondo ordine (quadriche) in spazio ambiente tridimensionale.
90
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
Figura 5.15: Esempio 5.4.
Applicando la (5.29) e imponendo che le tensioni siano nulle si trova l’asse neutro:
2
h
12M cos γ
12M sin γ
h
(tan γ)x = − x
σz = −
y−
x=0⇒y=−
3
3
bh
bh
b
b
Esempio 5.5 Trovare la tensione in A, B, C per il problema della figura 5.16, con dati
!
!
Figura 5.16: Esempio 5.5.
M = 9 kNm,
AB = 120 mm,
BD = 60 mm,
A0 B 0 = 100 mm,
B 0 D0 = 40 mm
La sezione ha due assi di simmetria, per cui sono univocamente identificati il centro dell’area e
gli assi centrali e principali d’inerzia. Si determinano prima le componenti della coppia flettente
Mx = −M sin α ≈ −2329 Nm,
My = M cos α ≈ 8693 Nm,
poi si può vedere la sezione come differenza tra un rettangolo esterno (‘pieno’) ABDE e uno
interno A0 B 0 D0 E 0 (‘vuoto’), per sfruttare l’additività dei momenti d’inerzia:
Ix =
120 603 − 100 403
≈ 1.62 106 mm4 ,
12
Iy =
1203 60 − 1003 40
≈ 5.31 106 mm4
12
5.3. FLESSIONE UNIFORME
91
Applicando la (5.29) si ricava dunque
σz = −
2329 103 Nmm
8693 103 Nmm
y
−
x = −1.44 Nmm−3 y − 1.64 Nmm−3 x
1.62 106 mm4
5.31 106 mm4
σz,A = σz (−60, 30) = 55.2 MPa, σz,B = σz (60, 30) = −141.6 MPa, σz,A = σz (0, 20) = −28.8 MPa
5.3.3
Estensione e flessione uniforme (trazione eccentrica)
Se 0 6= 0, κ0 6= 0, si ha estensione con flessione uniforme e sulle basi di C la sollecitazione è
staticamente equivalente a una forza normale N applicata al centro d’area G e a una coppia
flettente m. Queste a loro volta sono equivalenti a N applicata in un posto C ≡ (xC , yC ) del
piano di sezione (centro di sollecitazione), eccentrico di e rispetto a G e tale che
q
−→
(5.33)
m = GC × N k,
(m) = (yC N, −xC N ) ,
kmk = eN,
e = x2C + yC2
In letteratura si parla anche di trazione eccentrica; per la congettura di Saint Venant, nei
Figura 5.17: Estensione e flessione uniforme.
cilindri caricati in maniera staticamente equivalente a questa sulle basi, a distanza sufficiente
da queste si ha lo stesso stato di tensione normale σz . Esso è uniforme lungo l’asse e si esprime
sovrapponendo le (5.17), (5.29), scritte in un sistema di coordinate centrale e principale d’inerzia
Figura 5.18: Stato di tensione nella trazione eccentrica.
92
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
σz =
N
Mx
My
+
y−
x
A
Ix
Iy
(5.34)
La (5.34) è chiamata in letteratura formula trinomia di Navier ; i contributi dei suoi tre
addendi, una forza normale centrata e due flessioni rette, sono mostrati nella figura 5.18.
La (5.34) è lineare nelle coordinate x, y, σz , quindi le punte dei vettori tensione giacciono su
un piano. La sua intersezione col piano di sezione è l’asse neutro, luogo dei punti ove σz = 0:
σz =
yC N
xC N
y c y xc x
N
x
y
+
y+
x = 0 ⇒ 1 + 2 + 2 = 0 ⇒ %2 + %2 = 1
A
Ix
Iy
%x
%y
− yCx
− xCy
(5.35)
usando ancora i giratori d’inerzia; la (5.35)3 è in forma segmentaria e −%2y /xC , −%2y /xC sono le
intercette dell’asse neutro con gli assi x, y rispettivamente, figura 5.19.
Figura 5.19: Asse neutro nella trazione eccentrica - forma segmentaria.
La forma della (5.35) suggerisce un legame del centro di sollecitazione C con l’ellisse centrale d’inerzia, detto relazione di antipolarità, che permette una costruzione grafica per la
determinazione dell’asse neutro per cui si rimanda ai testi specializzati.
Nocciolo centrale d’inerzia Si chiama nocciolo centrale d’inerzia il luogo dei centri di
sollecitazione C tali che l’asse neutro corrispondente non intersechi la sezione. Prendendo per
esempio la sezione della figura 5.20 a sinistra e supponendo che su di essa agisca una forza
normale P , l’asse neutro relativo a questa trazione eccentrica è descritto dall’equazione
1+
y c y xc x
+ 2 = 0,
%2x
%y
%2x =
Ix
bh3
=
,
A
12bh
%2y =
Iy
b3 h
12yc y 12xc x
=
⇒1+
+
=0
A
12bh
h2
b2
Poiché si richiede che l’asse neutro si trovi all’esterno della sezione, dev’essere
b
2b2
b
x ≥ , y = 0 ⇒ xC ≤
= ,
2
12b
6
y≥
b
2b2
b
x ≤ − , y = 0 ⇒ xC ≥ −
=−
2
12b
6
h
6h2
h
h
6h2
h
, x = 0 ⇒ yC ≤
= , y ≤ − , x = 0 ⇒ yC ≥ −
=−
6
12h
6
6
12h
6
5.3. FLESSIONE UNIFORME
93
Figura 5.20: Nocciolo centrale d’inerzia.
e queste relazioni identificano il nocciolo centrale d’inerzia nella figura
p 5.20 a sinistra.
Nel caso di una sezione circolare, figura 5.20 al centro, %x = %y = πR4 /4πR2 = R/2 e per
simmetria polare il nocciolo è costituito dal cerchio di raggio R/4.
Nel caso della figura 5.20 a destra, il nocciolo centrale d’inerzia ha tanti vertici quante sono le
tangenti esterne alla figura: in questo caso si avrà un esagono.
Esempio 5.6 Trovare il carico massimo P applicabile al centro di figura delle basi dell’elemento nella figura 5.21, con dati
a = 30 mm,
d = 20 mm,
σamm = 56 MPa .
Figura 5.21: Esempio 5.6.
Lo stato di sollecitazione nelle sezioni intermedie, le più sollecitate, è
G0 G
a−d
=
,
2
P
Mx = (a − d),
2
6 (a − d)
P
12P (a − d)
P
σz =
+
y=
1+
y ,
ad
2ad3
ad
d2
l’asse neutro ha equazione
y=−
d2
= −6.7
6 (a − d)
94
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
e i valori massimi di tensione si attingono nei punti più lontani dall’asse neutro,
σmax ≥ σz (0, 10) ⇒ P ≤ 13440 N,
σmax ≥ |σz (0, −10)| ⇒ P ≤ 67200 N
da cui il valore più restrittivo sul carico, P = 13440 N.
Esempio 5.7 Trovare il carico massimo P applicabile in C nella figura 5.22, con dati
a = 20 mm,
b = 60 mm,
σamm = 75 MPa .
Figura 5.22: Esempio 5.7.
!
L’asse η ≡ y è di simmetria, quindi centrale e principale d’inerzia, e tutti gli assi ad esso
ortogonali saranno principali d’inerzia. Per trovare la posizione del centro d’area G su y, si
fissa un asse ausiliario ξ e rispetto ad esso si calcola il momento statico della sezione, sfruttando
l’additività di quest’ultimo
a
a
sξ = AηG = A1 ηG1 + A2 ηG2 = ba + b(b + 2a) a +
⇒ ηG = 22.5 mm
2
2
Il centro di sollecitazione C ha quindi coordinate (20; −2, 5) e le caratteristiche di sollecitazione
e d’inerzia per la sezione sono, sfruttando il teorema degli assi paralleli,
Mx = yC P = −2.5P Nmm,
My = −xC P = −20 Nmm,
Ix = IxG1 + A1 (ηG − ηG1 )2 + IxG2 + A2 (ηG2 − ηG )2 =
(b + 2a)a3
ba3
2
+ ba(30 − 22.5) +
+ (b + 2a)a(22.5 − 10)2 = 4.067 105 mm4 ,
=
12
12
ab3 a(b + 2a)3
+
= 2.027 106 mm4 ,
12
12
Ix
Iy
%2x =
= 127.083 mm2 ,
%2y =
= 633.333 mm2
A
A
Iy = IyG1 + IyG2 =
5.4. TORSIONE
95
Si può cosı̀ scrivere la formula trinomia di Navier (5.34), (5.35)
P
yc y xc x
P x
y σz =
1+ 2 + 2 =
1+
−
A
%x
%y
3200
31.667 50.833
da cui si ricava l’espressione dell’asse neutro in forma segmentaria, tracciato nella figura 5.22.
Il punto più sollecitato è il più lontano dall’asse neutro, per cui
P
50
2.5
σamm ≥ σz (50, −2.5) =
1+
+
⇒ P ≤ 91.320 kN
3200
31.667 50.833
5.4
Torsione
Se consideriamo l’effetto solo di ϕ1 , per le (5.8), (5.14) si ha, fissando l’origine,
z = 0,
x = y = −νz = 0,
up = zϕ1 k × r,
w=$
(5.36)
cioè: a) l’allungamento specifico e la conseguente contrazione laterale sono identicamente nulli;
b) la parte piana di spostamento è una (micro-)rotazione d’intensità zϕ1 k uniforme in tutta S:
ogni sezione ruota quindi rigidamente rispetto alla base di zϕ1 attorno a un asse parallelo a z.16
Questo stato di deformazione è detto torsione (uniforme) 17 e ϕ1 è l’incurvamento torsionale
del cilindro, chiamato χz nella teoria monodimensionale dei corpi traviformi; c) la parte assiale
di spostamento non è rigida, essendo l’integrale di un gradiente generico, è detta ingobbamento
e descrive come la sezione ‘esce’ dal piano. La situazione è mostrata nella figura 5.23.
Figura 5.23: Torsione.
Il problema (5.13) per lo scorrimento angolare e la tensione tangenziale
∂σz
=0
in S
divp τ +
∂z
τ ·n=0
in ∂S
rotp τ = 2Gϕ1 k
in S
I
(τ · l) ds = 2GAΛ ϕ1 ∀Λ ∈ S
∂Λ
16
17
C’è un centro di rotazione privilegiato, detto centro di taglio-torsione, di cui si discuterà oltre.
Esistono casi di torsione non uniforme, non descritti dalla soluzione del problema di Saint Venant.
(5.37)
96
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
descrive un campo solenoidale a vorticità assegnata 18 e si trasforma in un problema armonico
o per una funzione di corrente o per uno pseudo-potenziale con condizioni al contorno date o
sulla derivata normale della funzione di corrente (approccio alla Dini-Neumann) o sulla derivata
tangenziale dello pseudo-potenziale (approccio alla Dirichlet).
L’approccio alla Dirichlet si basa sull’osservazione che dalle (5.37)1,2 si ricava
Z
I
I
I
0=
divp tdA =
(t · n) ds =
[(k × t) · (k × n)] dl =
[(k × t) · l] ds
R
∂R
∂R
∂R
I
I
I
0=
(t · n) ds =
[(k × t) · (k × n)] dl =
[(k × t) · l] ds
∂Λ
∂Λ
∂Λ
per ogni regione R circondata da un percorso chiuso ∂R e per ogni lacuna Λ presente eventualmente in R. La circolazione di k × t attorno alle lacune non porta quindi contributo alla
circolazione dello stesso campo attorno a un qualsivoglia altro cammino chiuso, il che significa
che k × t è il gradiente di un campo scalare, detto in letteratura funzione di Prandtl
∂ψ ∂ψ
,−
(5.38)
k × t = Gϕ1 gradψ ⇒ t = −Gϕ1 k × gradψ,
(t) = Gϕ1
∂y
∂x
In termini della funzione di Prandtl il problema di campo (5.37)2−4 diventa dunque:19
∆ψ = −2
in S
(5.39)
gradp ψ · l = 0
in ∂S
I
gradp ψ · n ds = −2AΛ ∀Λ ∈ S
∂Λ
con ∆ l’operatore differenziale di Laplace. Lo pseudo-potenziale ψ è soluzione dell’equazione di Poisson con dato uniforme sui tratti regolari del bordo di S e condizione integrale di
compatibilità sui bordi di eventuali lacune; per approfondimenti, si rimanda a testi specializzati.
La distribuzione di sollecitazioni alle basi che mantengono la deformazione di torsione è
σz = 0,
τ = −Gϕ1 k × gradψ,
(5.40)
staticamente equivalente a
Z
Z
Mz k =
[r × (−Gϕ1 k × gradψ)] dA ⇒ Mz = 2Gϕ1 ψdA
S
(5.41)
S
cioè alla sola componente di momento parallela all’asse del cilindro, detta perciò torcente,
proporzionale al volume sotteso dal grafico della funzione di Prandtl sulla sezione; il termine
che moltiplica l’incurvamento torsionale ϕ1 è la rigidezza a torsione D di un elemento di cilindro,
introdotta nelle (2.16).20 La rigidezza a torsione di tutto il cilindro è
∆ϕ = lϕ1 =
18
Mz l
Mz l
Mz
D
R
=
⇒
=
D
∆ϕ
l
2G S ψdA
L’analogia con le equazioni di campo di un flusso a vortice uniforme in un contenitore a pareti isolate è
immediata, ma le (5.37) caratterizzano anche altri fenomeni fisici.
19
La prova si lascia per esercizio.
20
La prova della (5.41) si lascia per esercizio: occorre integrare per parti, tenendo presente che div(αa =
gradα · a + αdiva per ogni campo scalare α e vettoriale a. Si prova in questo modo che l’integrale va esteso alle
sezione includendo le lacune eventuali.
5.4. TORSIONE
97
Per la congettura di Saint Venant, in tutti i cilindri sollecitati in maniera staticamente equivalente, a distanza sufficiente dalle basi si ritrova la stesso stato di tensione-deformazione.
Le (5.37), (5.39), a meno di una costante additiva inessenziale, ammettono sempre soluzione,
ma questa ha forma chiusa solo in pochissimi casi. Di questi il più significativo per le applicazioni
riguarda la sezione circolare, per la quale si verifica facilmente che
τ = Gϕk × r,
γ = ϕk × r =
∂up
⇒ gradp w = 0 ⇒ $ = 0
∂z
(5.42)
cioè nei cilindri a sezione circolare sottoposti a torsione la tensione tangenziale è lineare nella
posizione rispetto al centro, figura 5.24 a sinistra, l’ingobbamento è identicamente nullo e le
sezioni rimangono piane. Le sollecitazioni locali e globali sono
σz = 0,
τ = Gϕ1 κ × r,
Mz = GIz ϕ1
(5.43)
in cui Iz = Ix + Iy = πR4 /2 è il momento d’inerzia polare della sezione, con R raggio della
Figura 5.24: Torsione di sezioni circolari.
sezione. Le (5.40) valgono anche per sezioni a corona circolare, poiché per linearità le proprietà
meccaniche si ottengono sottraendo dal cilindro ‘pieno’ le quantità relative al cilindro ‘vuoto’.
A questi stessi risultati si giunge con una rappresentazione semplice del fenomeno meccanico,
figura 5.24 a destra. Se tutte le direttrici scorrono di γ rispetto alla configurazione iniziale,
i loro estremi sono in comune con un raggio qualunque della sezione che avrà ruotato di dθ
rispetto alla configurazione iniziale. Si può scrivere allora
γdz = dθr ⇒
dθ
r = ϕ1 r ⇒ τ = Gϕ1 r
dz
e per l’assialsimmetria della sezione tutti i raggi si comportano nello stesso modo e la sezione
rimane piana; si è ritrovata la soluzione (5.43).
Esempio 5.8 Si trovi la rigidezza torsionale globale di un cilindro composto di due tratti di
lunghezze l1 , l2 rispettivamente, il primo con sezione circolare piena di raggio R1 , il secondo con
sezione a corona circolare di raggi R2e , R2i rispettivamente.
98
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
Se sottoposto a una coppia torcente uniforme Mz , per la (5.43)3 i due tratti del cilindro
subiranno le rotazioni relative tra le loro estremità
∆θ1 =
2Mz l1
,
GπR14
∆θ2 =
2Mz l2
4
4
− R2i
)
Gπ (R2e
e, poiché la rotazione relativa tra le basi del cilindro è la somma dei contributi dei due tratti,
4
4
)
− R2i
Mz
2Mz l1
l2
Gπ
R14 (R2e
⇒
D
=
∆θ = ∆θ1 + ∆θ2 =
+
=
tot
4
4
4
4
4
Gπ R1 (R2e − R2i )
∆θ
2 (R2e − R2i ) l1 + R14 l2
Esempio 5.9 Un motore elettrico esercita una coppia torcente di 2.4 kNm sull’albero a sezione
circolare AB, soggetto ai momenti torcenti resistenti, espressi in KNm, riportati nella figura
5.25. Si calcoli la tensione tangenziale massima nell’albero se questo è composto di quattro
tratti di diametro
dAB = 54 mm,
dBC = dCD = 46 mm,
dDE = 40 mm
Il sistema è staticamente determinato per il momento torcente; dal bilancio dei singoli tratti
Figura 5.25: Esempio 5.9.
Mz,AB = MA = 2.4 kNm,
Mz,BC = −MB + MA = 1.2 kNm,
Mz,CD = −MC + MB = 0.4 kNm,
Mz,DE = −MD + MC = 0 kNm
Possiamo valutare allora le tensioni in ciascun tratto utilizzando la (5.43):
τmax,AB = 77.2 MPa,
τmax,BC = 68.8 MPa,
τmax,CD = 20.9 MPa,
τmax,DE = 0 MPa
Il tratto più sollecitato è AB; se, per ridurre la massa, si vuole ridurre il diametro di BC,
determiniamo qual è il suo valore minimo affinché la massima tensione dell’albero non aumenti
rispetto a quella appena calcolata. Imponiamo dunque:
τmax,BC = τmax,AB = 77, 2 MPa ⇒ dBC,min = 2
2Mz,BC
πτmax,BC
13
≈ 43 mm
avendo usato nuovamente la (5.43). Infine, note le lunghezze dei vari tratti, si possono calcolare
le rotazioni di ciascuna sezione:
X
X
θE =
∆θi =
Mz,i li GIz,i
5.4. TORSIONE
99
Esempio 5.10 Nel sistema della figura 5.26 viene applicata una coppia torcente pari a 50
Nm in A. I due alberi, a sezione circolare, sono fissi in B e D e collegati tra loro tramite ruote
dentate di raggi R1 , R2 rispettivamente. Sia G = 77 MPa per entrambi gli alberi e d1 = 15 mm
e d2 = 12 mm i diametri rispettivamente di AB e CD. Si calcolino le sollecitazioni tangenziali
negli alberi e gli angoli di rotazione in E ed H. Il sistema è staticamente indeterminato rispetto
Figura 5.26: Esempio 5.10.
alle azioni torcenti: vi sono tre coppie incognite, le reazioni in B e D e la coppia scambiata tra
le ruote dentate, e due sole equazioni di bilancio meccanico indipendenti.21
Se M1 , M2 sono le reazioni esplicate dagli incastri in B e D rispettivamente, il bilancio di un
albero e quello relativo alle ruote dentate si scrivono
M1 + M3 = 50,
M3 = F R1 ,
M2 = F R1
Per trovare la forza F che le ruote si scambiano, bisogna aggiungere al bilancio meccanico le
equazioni di legame elastico e la compatibilità cinematica. Si impone dunque che gli alberi
si deformino con rotazioni torsionali elastiche e che le due ruote rotolino senza strisciare l’una sull’altra. Lo spostamento infinitesimo del punto di contatto deve allora essere uguale se
appartenente all’una o all’altra ruota, e dalle (5.43)
θ1 R1 = θ2 R2 ,
θ1 = ∆θEB =
Mz,EB lEB
,
GIz,EB
θ2 = ∆θHD =
Mz,HD lHD
GIz,HD
conducendo a un sistema algebrico di 3 equazioni nelle 3 incognite M1 , M2 , F , che ha soluzione 22
M2 = 15.99 Nm,
M1 = 26.02 Nm,
M3 = 23.98 Nm
Si osservi che la redistribuzione dei momenti dipende da due fattori: a) l’albero con il diametro
maggiore ha rigidezza a torsione maggiore e tende a farsi carico di una quota parte maggiore
del momento esterno applicato; b) il momento si redistribuisce anche in base al rapporto di
trasmissione tra la coppia di ruote dentate: l’albero con la ruota dentata di raggio maggiore
sopporta un momento maggiore rispetto all’altro (la forza di contatto è la stessa).
Se dunque le due ruote dentate avessero avuto lo stesso diametro, M3 = M2 = 14.53 Nm e
M1 = 35.46 Nm. Se invece i due alberi fossero stati dello stesso diametro la proporzione tra i
momenti d’incastro sarebbe dipesa solo dal rapporto di trasmissione delle ruote.
21
Come per tutte le strutture composte, infatti, il bilancio di tutti gli elementi implica il bilancio globale. In
questo caso, ci sono un’equazione per ogni albero o, indifferentemente, il bilancio di un albero e quello relativo.
22
Gli stessi risultati si possono ottenere, ovviamente, usando il metodo delle forze introdotto per le travature
monodimensionali.
100
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
Dalle (5.43) troviamo le tensioni massime e gli angoli di rotazione (in radianti) nei due alberi
M d21
τmax,AB =
4 = 75.45 MPa,
π d21
M1 l
θE = ∆ΘEB =
= 0.0068,
GIz1
5.4.1
M2 d22
τmax,CD =
4 = 23.56 MPa
π d22
M2 l
θH = ∆ΘHB =
= 0.0102
GIz2
Sezioni di spessore sottile
Una soluzione chiusa e compatta come la (5.43) si trova per sezioni ellittiche, con poco interesse
pratico. Esistono soluzioni esatte espresse come serie di Fourier di infiniti termini per le sezioni
quadrate, rettangolari e a triangolo equilatero, trovate separando le variabili del laplaciano e
proiettando nella base di autofunzioni di Fourier del problema bidimensionale (5.37). Queste
soluzioni non saranno affrontate qui perché laboriose e, a causa della loro complicazione formale,
poco utili all’identificazione della grandezze di effettiva influenza nella fenomenologia della
torsione. La loro scrittura si trova in numerosi manuali.
Dal punto di vista delle applicazioni, occorrono espressioni qualitative dei campi di interesse,
anche approssimate. Nel seguito si vedranno quelle per le cosiddette sezioni sottili, ottenute
come prodotto cartesiano di un tratto L di curva piana (linea media) e di segmenti a essa in
ogni punto ortogonali (spessori ); la lunghezza degli spessori, ancorchè variabile con regolarità
sufficiente con l’ascissa ξ lungo L, è piccola rispetto la lunghezza l della linea media.
Poiché le linee di flusso della tensione tangenziale non possono uscire dal contorno della sezione,
devono correre pressoché parallelamente alla linea media nella maggior parte della sezione.
Questo implica che esiste una componente dominante τzξ del vettore τ , parallela alla linea
media. L’altra, infatti, non potendo esistere sul bordo della sezione perché nulla può uscire da
questa, avrà sviluppo affatto trascurabile lungo lo spessore per la sottigliezza di quest’ultimo.
La trattazione approssimata e qualitativa delle sezioni sottili si basa su queste ipotesi; tuttavia,
si hanno soluzioni qualitativamente assai diverse a seconda delle qualità topologiche di L.
Sezioni sottili aperte Se la linea media ha inizio e fine la sezione sottile si dice aperta e il
suo prototipo è il rettangolo sottile a spessore uniforme, figura 5.27.
Figura 5.27: Torsione di sezioni rettangolari sottili.
Per la sottigliezza di s e per la proprietà delle linee di flusso di tensione di chiudersi all’interno
di S, si può affermare che la distribuzione della componente dominante di tensione tangenziale
è lineare attorno alla linea media, cioè che lo pseudo-potenziale ψ ha un andamento parabolico
per ogni corda parallela allo spessore, ψ = a1 (a2 + a3 x + x2 ). Trascurando gli effetti ai lati
5.4. TORSIONE
101
“corti”, dalle (5.39) si ha, ponendo senza restrizione di generalità ψ = 0 sul contorno,23
s 2 2
ψ|∂S = 0 ⇒ ψ = a1 x −
,
∆ψ = 2a1 = −2 ⇒ a1 = −1,
2
(5.44)
Z
ls3
∂ψ
Mz
Mz = 2Gϕ1 ψdA =
Gϕ1 = GIt ϕ1 , τzy = −Gϕ1
= 2Gϕ1 x = 2
x
3
∂x
It
S
ove It , che del momento d’inerzia ha le dimensioni fisiche ma non le proprietà, è detta convenzionalmente inerzia di torsione. Per le (5.44), in una sezione sottile aperta sottoposta a torsione
la componente dominante di τ attinge valore nullo sulla linea media e massimo al bordo
Mz s
τzy,max =
It
e la rigidezza torsionale è dominata dalla presenza del termine cubico nello spessore, che, poiché
s l, fa sı̀ che le sezioni sottili aperte non siano adatte a sopportare momenti torcenti.
Nel caso lo spessore vari lungo la sezione, nel calcolo della τzy,max è lecito utilizzare un unico
valore scelto tra lo spessore minimo e quello massimo. Infatti l’errore che si introduce in questo
modo è dell’ordine di (smax − smin )3 , che è molto minore dell’approssimazione generale.
Se la sezione è composta di i = 1, 2, . . . N rettangoli sottili, per ciascuno di essi, trascurando
gli effetti dei bordi, si possono scrivere le (5.44). Poiché la sezione ruota rigidamente nel suo
insieme, si ha che ϕi1 = ϕ1 e, nell’ipotesi che il materiale sia lo stesso per tutti i tratti,
Mz =
N
X
i=1
Mzi =
N
X
i=1
Gi ϕ1i Iti = Gϕ1
N
X
li s3
i
i=1
3
= Gϕ1 It,tot ⇒ τzξ,max =
Mz si,max
It
(5.45)
Per la (5.45) la rigidezza torsionale totale è somma delle rigidezze dei tratti. Nelle verifiche va
quindi controllato il tratto di spessore massimo poiché ivi si attingeranno le tensioni massime.
Figura 5.28: Addensamenti di tensione nelle sezioni sottili.
Si può provare che questi risultati valgono anche per sezioni sottili a profilo curvo assumendo
l la lunghezza della linea media. Inoltre, cosı̀ come ai bordi, anche negli spigoli la soluzione
approssimata di Kelvin-Popov non è corretta e ivi si assiste a una notevole concentrazione delle
tensioni. Nella figura 5.28 si ha un esempio: in A le linee di flusso si addensano e la tensione
massima cresce per effetto dello spigolo. Nella pratica è usuale allora smussare o raccordare lo
spigolo vivo. Viceversa, nel punto B si ha una zona di ristagno e tale zona è poco sollecitata.
Sezioni sottili chiuse Se la linea media non ha inizio e fine la sezione sottile si dice chiusa
e il suo prototipo è il tubolare sottile a spessore uniforme, figura 5.29.
23
Le formule per la torsione delle sezioni aperte sottili sono attribuite a Kelvin e Popov.
102
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
Figura 5.29: Torsione di sezioni tubolari sottili.
Per la sottigliezza di s e per la proprietà delle linee di flusso di tensione di chiudersi all’interno
di S, si può affermare che la distribuzione della componente dominante di tensione tangenziale
è uniforme sullo spessore, cioè che lo pseudo-potenziale ψ ha un andamento lineare per ogni
corda parallela allo spessore. Fissata una ascissa curvilinea ξ lungo la linea media della sezione,
per un tratto finito S ∗ di tubolare le (5.37)1,2 comportano
Z
Z
0=
divp τ dA =
τ · ndl = −τ̄zξ (ξ1 )s(ξ1 ) + τ̄zξ (ξ2 )s(ξ2 ) ⇒ τ̄zξ s = q = uniforme (5.46)
S∗
∂S ∗
e la costante di flusso q si determina tramite l’equivalenza statica col momento torcente esterno:
I
I
Z
(5.47)
r × τ̄zξ (ξ)lL s(ξ)dξ = q r × lL dξ = 2Ωqk
r × τ dA =
Mz k =
S
L
L
in cui lL è il versore tangente alla linea media in ogni punto di essa e Ω è l’area racchiusa dalla
linea media; si è usata la (5.46).24 In realtà, poiché lo spessore è sottile, non si commette un
grosso errore se a Ω si sostituisce l’area della lacuna o l’area racchiusa dal contorno esterno del
tubolare. La (5.47) è nota come prima formula di Bredt.
Essendo presente una lacuna, si usa l’equazione di compatibilità in forma integrale (5.37)4 :
I
I
I
I
1
τ̄zξ dξ = q
2GAΛ ϕ1 =
(τ · l) ds ≈
(τ · l) dξ =
dξ
L
L
L s(ξ)
∂Λ
I
(5.48)
Mz
1
4Ω 2
H
⇒
dξ = 2GAΛ ϕ1 ≈ 2GΩϕ1 ⇒ Mz =
Gϕ1
1
2Ω L s(ξ)
dξ
L s(ξ)
in cui si è sfruttata la piccolezza dell’area racchiusa tra linea media e lacuna e le (5.46), (5.47).
La (5.48) fornisce la rigidezza del tubolare sottile ed è detta seconda formula di Bredt.25
24
Il modulo del prodotto vettore di due vettori è l’area del parallelogramma costruito su questi, per cui
localmente il modulo di r × lL equivale a due volte l’area racchiusa dal triangolo di cateti proprio r e lL .
25
La (5.48) si può provare anche con l’equazione dei lavori virtuali e le (5.46), (5.47). Facendo agire
virtualmente su un tronco di lunghezza dz il momento virtuale Mz∗ si ha
Z z Z
I
I
q∗
q
M ∗ Mz
1
Mz∗ ϕ1 dz =
dz
τ ∗ · γdA = dz
s(ξ)dξ = dz z
dξ
2Ω 2GΩ L s(ξ)
0
S
L s(ξ) Gs(ξ)
da cui si ricava, per l’arbitrarietà del momento virtuale, nuovamente la seconda formula di Bredt. Questo
non deve stupire: si è infatti già fatto osservare a proposito della formula di campionamento di componenti
di spostamento (3.7) che l’equazione dei lavori virtuali più quelle di bilancio meccanico (delle azioni virtuali)
implicano quelle di compatibilità cinematica, e tale è il significato della (5.48).
5.4. TORSIONE
103
Notiamo che le (5.47), (5.48) generalizzano le (5.43) per sezioni circolari cave di raggi esterno
e interno Re , Ri rispettivamente e spessore uniforme s. Se scriviamo le (5.43) nella forma
R̄ =
Re + Ri
,
2
τ̄ =
Mz
R̄,
Iz
s = Re − Ri
si riottengono facilmente le formule di Bredt
π
π 4
(Re − Ri4 ) = (Re2 + Ri2 ± 2Re Ri )(Re2 − Ri2 ) =
2
2
h
π
s s i
=
(Re + Ri )2 − 2 R̄ +
2R̄s =
R̄ −
2
2
2
s2
Mz
Mz
2
2
= π 4R̄ − 2R̄ −
R̄s ≈ 2Ω R̄s ⇒ τ̄ =
R̄ =
2
Iz
2Ωs
Iz =
4Ωπ R̄s
4Ω 2
H
Mz = GIz ϕ1 ≈ 2(Gϕ1 )Ωs = Gϕ1
≈ Gϕ1
dl
2π R̄
∂Λ s
avendo trascurato termini di ordine s2 per la piccolezza dello spessore rispetto al raggio medio.
Esempio 5.11 Consideriamo due sezioni sottili con linea media lungo una circonferenza di
pari raggio R, una chiusa e una aperta, di pari spessore s e sottoposte allo stesso momento
torcente Mz . Dalle (5.44), (5.47) si ricavano le espressioni delle tensioni massime sopportate
Figura 5.30: Esempio 5.11.
aperta
τmax
=
Mz s
3Mz
=
,
1
3
2πRs2
2πRs
3
chiusa
τmax
=
Mz
Mz
=
,
2Ωs
2πR2 s
chiusa
τmax
Mz 2πRs2
s
=
=
1
aperta
2
2πR s 3Mz
3R
τmax
e dalle (5.44), (5.48) si ricavano le rigidezze a torsione
Itchiusa
3
= 2GπR s,
Itaperta
2GπRs3
=
,
3
Itchiusa
=3
Itaperta
2
R
1
s
Dunque la tensione tangenziale massima in una sezione chiusa, a parità di tutte le altre condizioni, è molto più piccola di quella in una sezione aperta. Questo accade perché, a parità di
104
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
sollecitazione esterna, nella sezione chiusa la tensione tangenziale dispone di un braccio maggiore, quindi per esercitare lo stesso momento il suo modulo è più piccolo. Per tale motivo i
profilati aperti soffrono enormemente la sollecitazione di torsione e il loro utilizzo va evitato
quando questa sia presente. Un esempio comune è quello dei telai automobilistici. Automobili
coupé hanno un telaio che globalmente costituisce un profilo chiuso e dunque resiste efficacemente a torsione. Invece automobili cabriolet presentano necessariamente un telaio a sezione
aperta e dunque soffrono fortemente la sollecitazione di torsione che si presenta in percorrenza
di curva, per esempio per la coppia generata dalla forza centrifuga pensata applicata al baricentro e l’attrito tra gli pneumatici ed il manto stradale. Per tale motivo non deve sorprendere
che uno stesso modello di vettura media (circa 1.1-1.4 tonnellate) pesi anche 50-120 kg in più
nella versione cabrio proprio in ragione della necessità di dover irrigidire il telaio a torsione.
Sezioni sottili composte Sono le sezioni unione di più tratti regolari di linea media, alcuni
a formare uno o più circuiti chiusi, come nella figura 5.31, che comprende otto tratti regolari.
Poiché nella torsione le linee di flusso della tensione tangenziale sono sempre chiuse attorno a
Figura 5.31: Torsione di sezioni sottili composte.
L, nella sezione in oggetto si osservano quattro tratti in cui le linee di flusso cambiano verso
attorno alla linea media e altri quattro, che concorrono a formare un circuito chiuso, in cui le
linee di flusso hanno le stesso verso attorno alla linea media. I primi quattro si comportano
cioè come sezioni sottili aperte, il circuito formato dagli altri quattro come un tubolare sottile.
Un momento torcente Mz sarà sopportato sia dai tratti aperti sia dal tubolare chiuso:
Mz = Mza + Mzc = 4Mza,i + Mzc = 4Da χaz + Dc χcz
(5.49)
ove gli apici a, c indicano i tratti aperti (equivalenti in questo caso) e il tubolare rispettivamente;
si è sostituito χz a ϕ1 poiché i due simboli hanno lo stesso significato d’incurvamento torsionale.
Se la sezione ruota rigidamente, χaz = χcz e dalle (5.44), (5.48), (5.49) si ricava
!
3
4
4a
as
a
(2s)
+ 4a
= Gχz
32s2 + 3a2
(5.50)
Mz = (4Da + Dc ) χz = Dtot χz = Gχz 4
3
3
s
Poiché a s (sezione sottile), il contributo di rigidezza torsionale della parte chiusa è molto
più elevato di quello delle quattro parti aperte, benché queste ultime abbiano spessore maggiore
della prima. Dalla (5.50) si ricavano i momenti torcenti parziali:
Dtot = G
as
32s2 + 3a2 ,
3
Gχz =
Mz
,
Dtot
Mza =
Da
Mz ,
Dtot
Mzc =
Dc
Mz
Dtot
(5.51)
5.4. TORSIONE
105
Siccome la parte chiusa è molto più rigida dell’unione delle parti aperte, essa sopporta il contributo maggiore di Mz . Se, per esempio, a/s = 10, ciascun tratto aperto porta il 2.41% e il
tratto chiuso il 90.36% del momento. Dai momenti parziali si ricavano le tensioni massime,
a,i
τmax
Mza,i s
8Mz s2 3s
24Mz
=
=
,
=
a
2
2
3
It
32s + 3a as
a (32s2 + 3a2 )
c
τmax
Mzc
3Mz a2
1
3Mz
=
=
=
2
2
2
2Ωs
32s + 3a 2a s
2s (32s2 + 3a2 )
(5.52)
che sono paragonabili: le parti aperte, benché di spessore doppio e soggette a una percentuale
assai piccola della sollecitazione esterna rispetto alla parte chiusa, sono comunque sottoposte a
cimento meccanico elevato; per sopportare la torsione sono opportuni tubolari. Il metodo qui
esposto per un problema particolare è evidentemente generale e facilmente estendibile.
Sezioni sottili multiconnesse (pluricellulari ) Sono dette cosı̀ le sezioni composte di tratti
regolari di linea media che concorrono a formare più circuiti chiusi, come nella figura 5.32.
Questa è una sezione con due lacune, quindi con connessione tripla, di spessore uniformemente
Figura 5.32: Torsione di sezioni sottili pluricellulari.
pari a s. Per ogni tratto regolare dei circuiti, il flusso si conserva; nei rami in comune a più
circuiti, il flusso si sovrappone e si concatena. Si hanno due maglie indipendenti e due nodi,
dipendenti l’uno dall’altro; non si possono applicare le formule di Bredt (5.47), (5.48) poichè
esse prevedono che vi sia un solo flusso che percorre un solo circuito, mentre nelle multicelle ci
sono più circuiti e più flussi che in alcuni tratti si sovrappongono. Si devono dunque applicare
insieme le equazioni di bilancio, di legame elastico e di compatibilità cinematica.
In questo caso (come al solito, facilmente generalizzabile), le grandezze incognite sono quattro: i tre flussi sui tratti regolari e l’incurvamento torsionale. Le equazioni di bilancio sono sia
locali sia globali; quelle locali impongono la conservazione del flusso non solo per ogni tratto
ma anche in ogni punto di convergenza di più tratti (nodo); quella globale impone che, rispetto
a un polo arbitrario, la risultante dei momenti delle tensioni tangenziali interne sia pari al momento esterno. Le equazioni di compatibilità e quelle elastiche sono ricomprese nelle condizioni
integrali di circuitazione (5.37)4 intorno alle lacune (maglie).
Chiamati q1 , q2 , q3 i flussi di tensione nei tratti regolari, orientati come nella figura 5.32, detta
ξ l’ascissa curvilinea, sia qi = τ̄ (ξi )s(ξi ). Nel caso considerato, si ha una sola equazione di
106
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
bilancio ai nodi in quanto i due nodi presenti forniscono la stessa informazione sui flussi (cioè
la stessa relazione algebrica), un bilancio energetico-meccanico al nodo:
N
X
qi = 0
q1 − q2 − q3 = 0
(5.53)
i=1
dove in generale ci sono i = 1, 2, . . . N tratti afferenti al nodo considerato. Nella figura ci sono
due maglie indipendenti (tante quante le lacune) e le (5.37)4 forniscono
q2
q1
4a + 2a = 4Ga2 χz ,
s
s
q3
q2
6a − 2a = 8Ga2 χz
s
s
(5.54)
in cui s’è già imposto che l’incurvamento torsionale sia comune alle due maglie. Scelto infine il
polo O, le forze di strisciamento sui tratti regolari generano momento torcente rispetto ad esso
Z
2
2
aτ̄ sdξ = 4q3 a ,
Mz,AB = Mz,BC = 2a
Z
Mz,CD = 2a
0
a
τ̄ sdξ = 2q1 a2 ,
0
2
Z
aτ̄ sdξ = 2q1 a2 ,
Mz,DE = a
Mz,EO = Mz,CO = Mz,AO = 0
(5.55)
0
X
Mz,i = Mz
La (5.53), (5.54), (5.55) costituiscono un sistema algebrico lineare di tante incognite quante
equazioni, linearmente indipendenti in quanto derivate da considerazioni fisiche indipendenti.
La soluzione allora esiste unica e si ricava agevolmente, nota la geometria del problema e
la sollecitazione esterna. Questo metodo generale permette di risolvere sezioni multiconnesse
sottili qualsiasi portando sempre a un sistema algebrico quadrato di rango massimo.
Sezioni maggiormente complesse si riconducono a sovrapposizioni degli schemi presentati qui.
5.5
Flessione non uniforme (flessione con taglio)
Considerando l’effetto solo di κ1 , per le (5.8), (5.14) è, fissando l’origine, posta in G,
z = (zκ1 × r) · k,
x = y = −νz ,
ϕ = νzκ1 · r
h
z 3 κ1
z2
ri
up = νsym[r ⊗ (k × r)]zκ1 −k ×
, w = $+ (κ1 × r) · k+ν krk2 κ1 +
·k
6
2
6
(5.56)
Gli allungamenti specifici sono lineari in S, come nella flessione uniforme, equazioni (5.20), ma
variano anche linearmente lungo l’asse per la presenza del vettore zκ1 . La rotazione assiale
locale ϕ è lineare in S, per cui la sezione non ha rotazione assiale rigida.26 Lo spostamento in S
è cubico in z; l’asse ha incurvamento flessionale lineare in z e il cilindro si contrae lateralmente
secondo il tensore di curvatura anticlastica, come nella flessione uniforme, equazioni (5.21). Lo
spostamento fuori dal piano di S ha una parte dovuta alla rotazione flessionale, come nella
flessione uniforme, equazioni (5.21), e una non rigida d’ingobbamento.
26
C’è un valore medio di rotazione locale, che però non coincide con quello degli altri punti della sezione.
5.5. FLESSIONE NON UNIFORME (FLESSIONE CON TAGLIO)
107
Questo stato di deformazione, il più complesso tra quelli del cilindro di Saint-Venant, è detto
flessione non uniforme; per le (5.2) esso è mantenuto alle basi da
Z
Z
σz = E (zκ1 × r) · k,
N = σz dA = 0,
m = (r × σz k) dA = EIzκ1
(5.57)
S
S
cioè da tensione normale lineare in z e S, equivalente a una coppia flettente lineare lungo l’asse,
e dalla distribuzione di tensioni tangenziali soluzione delle (5.13) particolarizzate a questo caso
divp τ +
∂σz
=0
∂z
in S
τ ·n=0
in ∂S
(5.58)
rot τ = 2G (νκ1 · r) k
in S
I p
(τ · l) ds = 2GAΛ (νκ1 · r GΛ ) ∀Λ ∈ S
∂Λ
Figura 5.33: Flessione non uniforme.
Le (5.58) hanno soluzione in forma chiusa solo per la sezione circolare e per pochissime altre,
di scarso interesse applicativo per la loro complessità.27 Si può, tuttavia, valutare esattamente
la forza tagliante f p , risultante delle tensioni tangenziali sulle sezioni, dalle (5.57), (5.3)
Z Z
Z
∂σz
m=
r×
k dA = k × (divp τ ) rdA = k × [divp (τ ⊗ r) − τ ] dA =
∂z
S
S
S
Z
Z
Z
=k×
[(τ ⊗ r) · n] dl − τ dA = k ×
[(τ · n) r] dl − f p =
0
∂S
S
(5.59)
∂S
= −k × f p = EIκ1 ⇒ f p = k × (EIκ1 ) ,
e f p equivale alla derivata lungo l’asse del momento flettente, come nella teoria monodimensionale dei corpi traviformi in assenza di coppie esterne di volume, equazioni (2.14), (2.15):
m0 + k × f p = 0,
27
m = −k × zf p ,
(Mx , My ) = (zTy , −zTx )
Richiedono, infatti, l’ausilio di potenziali nel campo dei numeri complessi.
(5.60)
108
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
La forza tagliante si esprime in funzione della curvatura non uniforme κ1 e del tensore d’inerzia
I, indipendentemente dalla soluzione puntuale delle (5.58). La (5.59), tuttavia, precisa la forza
tagliante senza specificarne il punto d’applicazione: questo argomento si chiarirà nel seguito.
La presenza di f p , che accompagna momento flettente e curvatura flessionale, giustifica il nome
alternativo di flessione con taglio dato in letteratura a questo modo di deformazione.
Come nella torsione, si cercano espressioni approssimate per τ ; esse si trovano tramite un’applicazione integrale delle (5.58)1,2 a una porzione S ∗ di sezione, come nella figura 5.34, che
mostra una sezione rettangolare senza ledere la generalità di quanto segue. Trattando di flessione, ancorché non uniforme, il sistema di coordinate è supposto centrale e principale d’inerzia.
Figura 5.34: Porzione di sezione.
L’applicazione integrale dell’equazione di bilancio locale (5.58)1 a S ∗ porta, ricordando le (5.59)
e la definizione di centro d’area di una regione, nota 5, a
Z
Z
Z
∂σz
(5.61)
divp τ dA = −
dA = −
(Eκ1 × r) · kdA = (k × sS ∗ ) · −I −1 k × f p
S∗
S ∗ ∂z
S∗
D’altra parte, il teorema della divergenza su S ∗ e la condizione al contorno (5.58)2 portano a
Z
Z
Z
divp τ dA =
(τ · n) dl =
(τ · n) dl = q (∂S4∗ )
(5.62)
S∗
∂S ∗
∂S4∗
in cui q (∂S4∗ ) è il flusso di tensione tangenziale che attraversa la corda ∂S4∗ che taglia in due la
sezione. Riunendo le (5.61), (5.62) si ricava la cosı̀ detta formula di Jouravsky 28
−1
Ty s∗x Tx s∗y
∗
q (∂S4 ) = (k × sS ∗ ) · −I
k × fp = −
+
(5.63)
Ix
Iy
che fornisce q (∂S4∗ ) in funzione della forza tagliante, dei momenti d’inerzia dell’intera sezione e
dei momenti d’area del primo ordine della porzione di sezione S ∗ . I momenti d’inerzia tengono
conto della flessione che accompagna la forza tagliante. I momenti statici tengono conto del
‘peso’ della porzione rispetto all’intera sezione. In accordo con la convenzione della normale
uscente dalla frontiera di un dominio, il flusso di tensione tangenziale avrà segno positivo se
uscente dalla porzione S ∗ , negativo se entrante.
La formula di Jouravsky (5.63) è generale e può essere interpretata come il bilancio meccanico
della forza lungo z per una porzione del cilindro, figura 5.35, in cui si considera per semplicità una sezione rettangolare. Si pensi, infatti, di dividere un tratto di cilindro di lunghezza
28
Traslitterazione libera, ma non univoca, dal russo.
5.5. FLESSIONE NON UNIFORME (FLESSIONE CON TAGLIO)
109
Figura 5.35: Interpretazione meccanica della formula di Jouravsky.
infinitesima dz in due, per mezzo di un piano π parallelo all’asse z.
Alle estremità del tratto, sulle porzioni di sezione S ∗ agiscono distribuzioni di tensione normale
e tangenziale. Per la simmetria del tensore della tensione, su π compaiono le reciproche delle
tensioni tangenziali presenti su S ∗ . D’altra parte, S ∗ è una porzione di sezione e su essa agisce
solo una parte della distribuzione lineare delle σz corrispondente a un momento flettente.
La flessione non è uniforme e la distribuzione delle σz è diversa sulle basi: in assenza di forze
di volume e di contatto sul mantello, si può bilanciare questo squilibrio solo con la forza di
scorrimento τ dA delle tensioni tangenziali reciproche su π. Il bilancio lungo z si scrive
Z
Z
∂σz
∂σz
σz dA+ (τ · k) dA+
σz +
(τ · k) dl
dz dA = 0 ⇒ dz
dA = −dz
−
∂z
π
S∗
S ∗ ∂z
∂S ∗ ∩π
S∗
Z
Z
Z
I membri di quest’equazione, divisi per l’arbitrario dz, si ritrovano esattamente nelle (5.61),
(5.62), per cui si riottiene, come detto, la formula di Jouravsky (5.63).
Tuttavia, poiché la formula di Jouravsky prescinde dalla soluzione delle equazioni di compatibilità in forma locale e globale (5.58)3,4 , il flusso di tensione tangenziale fornito dalla formula
di Jouravsky è un campo bilanciato meccanicamente con la forza tagliante f p , ma non produce
deformazioni compatibili cinematicamente con gli spostamenti del cilindro.
Dal punto di vista delle applicazioni, però, risulta fondamentale conoscere anche in maniera
approssimata lo stato di cimento meccanico degli elementi strutturali, quindi la formula di
Jouravsky risulta soddisfacente. Essa lo è a maggior ragione nelle sezioni di spessore sottile,
in cui, per le stesse ragioni presentate a proposito della torsione, la tensione tangenziale ha
una componente dominante parallela alla linea media. Inoltre, sempre per l’ipotesi di spessore sottile, il valor medio della componente dominante della tensione tangenziale è un ottima
approssimazione del valore esatto della tensione tangenziale puntuale.
Per questi motivi, nelle sezioni di spessore sottile, fissata un’ascissa ξ lungo la linea media L
e scelta la corda ∂S4∗ ortogonale a L (come nella figura 5.34), la formula di Jouravsky si scrive
q(ξ) = τ̄zξ (ξ)b(ξ) = −
Ty s∗x (ξ) Tx s∗y (ξ)
+
Ix
Iy
(5.64)
110
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
in cui b(ξ) è la lunghezza della corda, ovvero lo spessore della sezione all’ascissa ξ, e la porzione
S ∗ è quella spazzata dall’ascissa lungo la linea media dalla sua origine fino al valore corrente ξ.
Figura 5.36: Componente dominante della tensione tangenziale di taglio in un rettangolo sottile.
Se la sezione è un rettangolo sottile sollecitato da una forza tagliante diretta come la linea
media, figura 5.36, per la (5.64) il flusso, quindi la componente dominante della τ , è
Ty 12
h ξ
Ty ∗
6Ty
2
(ξs)
−
+
q(ξ) = τ̄zξ (ξ)s = − s (ξ) ⇒ τ̄zξ = −
=
hξ
−
ξ
Ix
s sh3
2 2
sh3
Esso ha andamento ad arco di parabola lungo la linea media, è nullo agli estremi, coerentemente
con la condizione di mantello scarico per il cilindro di Saint Venant, e attinge massimo per
dτ̄zξ
6Ty
h
= 3 (h − 2ξ) = 0 ⇒ ξ =
dξ
sh
2
ovvero in corrispondenza della corda-spessore passante per il centro d’area.29 La legge parabolica del flusso ha sempre segno positivo nell’intervallo 0 ≤ ξ ≤ h, per cui esso è uscente da ogni
dominio di tipo S ∗ , proprio come ci si aspetta accada dal punto di vista fisico.
Si può dimostrare, e il perché sarà chiaro in uno degli esempi che seguono, che nei segmenti di
linea media ortogonali a una forza tagliante parallela a un asse principale d’inerzia il flusso di
tensione tangenziale ha andamento lineare.30 Negli altri tratti il flusso contiene il prodotto di
due variabili, l’altezza ξ della porzione considerata e il modulo del raggio vettore delle areole
delle porzioni, lineare in ξ, come nel rettangolo sottile della figura 5.36. Il flusso corrispondente
ha andamento parabolico con massimo sull’asse neutro della flessione dovuta alla forza tagliante.
29
Se la forza tagliante è diretta, come in questo caso, lungo un asse principale d’inerzia, il momento flettente
che si genera è attorno all’altro asse principale e quest’ultimo è anche asse neutro per tale flessione.
30
In essi il modulo del raggio vettore delle areole nella direzione della forza tagliante è uniforme.
5.5. FLESSIONE NON UNIFORME (FLESSIONE CON TAGLIO)
111
I punti sollecitati maggiormente sono dunque i pressi del centro dell’area nella flessione non
uniforme, quelli più lontani dal centro d’area nella flessione uniforme. Per questo si realizzano
forme opportune dei profilati sottili, come le sezioni a doppio T (sezioni IPE) o i tubolari.
La formula (5.64) è stata applicata per sezioni sottili aperte, per cui, in corrispondenza degli
estremi della linea media, il flusso di tensione è nullo per una delle ipotesi del problema di Saint
Venant. Ponendo quindi l’origine dell’ascissa locale in corrispondenza del mantello laterale, si
ottiene univocamente il flusso che attraversa il bordo della porzione S ∗ interno alla sezione.
Se la sezione sottile è chiusa, ogni linea che la divide in due taglia la linea media in corrispondenza di due corde-spessori e la formula di Jouravsky fornisce la somma dei flussi di tensione
che li attraversano, per cui questi non sono determinati univocamente.31 Se le sezioni chiuse hanno asse di simmetria nella direzione d’azione della forza tagliante, il flusso si suddivide
equamente nei due tratti e si può trattare uno di questi come una sezione aperta.
Esempio 5.12 Nella figura 5.37 si riporta la linea media di una sezione di spessore sottile,
composta da tre tratti regolari di spessore s e soggetta a una forza tagliante Ty parallela all’asse
y, il quale, per simmetria, risulta essere anche centrale e principale d’inerzia. Il centro d’area G
Figura 5.37: Esempio 5.12.
di sezione giace su y, a distanza a/2 dal punto d’incontro dei tre tratti.32 Posta in G l’origine,
l’asse x, ortogonale a y per G, completa un sistema centrale principale d’inerzia.
I flussi di tensione tangenziale corrispondenti alla forza Ty sono dati dalla formula di Jouravsky
(5.64). Per simmetria, i tratti descritti dalle ascisse ξ ed η hanno lo stesso comportamento e si
calcola dunque il flusso solo per il tratto parallelo a y e per uno dei tratti ad esso ortogonali.
Per il tratto parallelo a y, fissata un’ascissa locale ψ che parte dall’estremo in corrispondenza
del mantello libero, di coordinata globale y = −3a/2,
Ty ∗
3a ψ
Ty
q(ψ) = − sx (ψ) = sψ
−
Ix
Ix
2
2
31
La procedura di risoluzione di questo problema si trova in testi più approfonditi.
Ciò risulta dalla media delle aree dei tre tratti, pesate col raggio vettore dei rispettivi centri d’area rispetto
a un’origine arbitraria.
32
112
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
e il flusso è dunque a distribuzione parabolica, come nell’esempio del rettangolo sottile, e sempre
uscente dalla porzione delimitata dall’ascissa locale ψ. Nell’intervallo considerato 0 ≤ ψ < 2a,
infatti, il termine tra parentesi nell’espressione di q(ψ) è sempre positivo, il flusso non cambia
mai di segno da positivo, in accordo con l’intuizione fisica, e assume i valori particolari
9Ty a2 s
Ty a2 s
3a
=
,
q(ψ = 2a− ) =
q(ψ = 0) = 0,
q ψ=
2
Ix
Ix
Come dev’essere, il flusso di tensione tangenziale è nullo agli estremi (mantello scarico) e attinge
massimo in corrispondenza della corda-spessore per il centro dell’area della sezione.
Per il tratto descritto dall’ascissa ξ, si ha il flusso con distribuzione lineare
Ty a
Ty
q(ξ) = − s∗x (ξ) = − sξ ,
Ix
Ix 2
q (ξ = 0) = 0,
q ξ=a
−
Ty a2 s
=−
2Ix
Questo risultato, come detto, è generale: nei tratti regolari ortogonali a una forza tagliante
parallela a un asse principale d’inerzia l’unico termine non costante nella formula (5.64) è la
lunghezza del tratto, misurata dall’ascissa locale. Il segno di q(ξ) è negativo nell’intervallo
0 ≤ ξ < a e il flusso è entrante in ogni porzione di ascissa ξ. Come dev’essere, il flusso è nullo
in corrispondenza dell’origine dell’ascissa locale, cioè del mantello laterale del cilindro.
Inoltre, nel punto singolare (nodo) comune ai tre tratti, si osserva immediatamente che il flusso
uscente dal tratto parallelo a y si suddivide equamente, per simmetria, nei due tratti di ascissa
ξ ed η, nei quali il flusso è entrante. Anche questa è conseguenza dell’equazione di bilancio
locale (5.58)1 : in un singolo punto non ci sono sorgenti di tensione tangenziale e quindi vale la
conservazione del flusso al nodo: la somma dei flussi entranti e di quelli uscenti svanisce.
Si verifichi per esercizio che le forze di scorrimento sulla sezione abbiano risultante proprio Ty .
Esempio 5.13 Nella figura 5.38 si riporta la linea media di una sezione di spessore sottile,
composta da tre tratti regolari di spessore uniforme a tratti come indicato e soggetta a una
forza tagliante parallela all’anima (i tratti ‘corti’ sono detti ali ).
Figura 5.38: Esempio 5.13.
La sezione è simmetrica rispetto all’asse x della figura 5.38, che quindi è centrale e principale
d’inerzia. Per determinare il flusso di tensione tangenziale associato a Ty si applica la formula
5.5. FLESSIONE NON UNIFORME (FLESSIONE CON TAGLIO)
113
di Jouravsky (5.64): in essa compare il momento d’area del primo ordine rispetto a x, che
coinvolge i raggi vettori dei centri d’area delle areole considerate rispetto all’asse x stesso. Per
questo, non è necessario trovare l’esatta posizione del centro d’area della sezione; inoltre, la
distribuzione del flusso godrà della stessa simmetria di sezione rispetto a x. Poiché, ancora, i
fattori Ty e Ix sono valori indipendenti da qualsiasi ascissa locale, il flusso avrà l’andamento
dell’opposto del momento statico della porzione considerata.
Per l’ala d’ascissa locale ξ il flusso vale, posto k = Ty /Ix nella formula di Jouravsky (5.64),
bhs
h
∗
,
q(ξ = 0) = 0, q(ξ = b− ) = k
q(ξ) = −ksx (ξ) = −k −sξ
2
2
e ha andamento lineare, uscente dalle porzioni considerate, nullo in corrispondenza del mantello.
Nello spigolo, per la conservazione del flusso ciò che esce dall’ala si riversa nell’anima e
h η
bhs
−
∗
− 2sη − +
q(η) = q(ξ = b ) − ksx (η) = k
2
2 2
Si osservi dalla figura 5.38, che riporta l’ingrandimento della sezione nella zona del nodo, che nel
calcolo del momento statico delle porzioni il rettangolo campito viene considerato due volte. Per
l’ipotesi di spessore sottile, questo è un errore dell’ordine di s2 e può dunque essere trascurato
rispetto ai contributi di ordine s presenti negli altri addendi.
Il flusso nell’anima ha distribuzione parabolica e segno sempre positivo, cioè uscente dalla
porzione, in accordo con l’intuizione fisica; attinge massimo in corrispondenza della cordaspessore passante per l’asse x, cioè per il centro d’area.33 Gli andamenti qualitativi del flusso
e della componente dominante corrispondente di tensione tangenziale, sono nella figura 5.38.
Si verifichi per esercizio che le forze di scorrimento sulla sezione abbiano risultante proprio Ty .
5.5.1
Il centro di taglio
Come osservato, la formula di Jouravsky fornisce il flusso di tensione tangenziale attraverso una
corda interna alla sezione in funzione della forza tagliante e della geometria di sezione e porzione
considerate. Non c’è dipendenza, invece, dalla retta d’applicazione della forza tagliante: una
forza applicata a una qualsiasi retta della stessa direzione genera lo stesso flusso di τ .
Questo fatto non ha giustificazione fisica, in quanto è evidente che gli effetti meccanici di una
forza su un corpo dipendono fortemente dal suo punto d’applicazione. D’altra parte, la formula
di Jouravsky è un integrale sommario del bilancio della forza, per cui garantisce solamente che
il risultante delle forze di scorrimento sia pari alla forza tagliante esterna.34
Mentre, quindi, è garantita l’equivalenza statica tra il risultante delle forze di scorrimento e
la forza tagliante, in principio non è garantita, scelto un polo O ad arbitrio nel piano della
sezione, l’equivalenza statica tra i momenti rispetto a O delle forze di scorrimento e della forza
tagliante. Appare allora evidente che, mentre le forze di scorrimento non possono cambiare il
proprio punto d’applicazione, poiché giacciono sulla sezione, per verificare l’equivalenza statica
del momento occorre applicare la forza tagliante in un posto particolare della sezione.
Per esempio, si consideri la sezione dell’esempio 5.13, nella figura 5.38. Se la forza Ty fosse
applicata all’asse y, passasse cioè per il centro d’area G di sezione, il momento della Ty rispetto
a G sarebbe nullo, mentre le forze di scorrimento darebbero luogo a un momento non nullo
33
34
La prova si lascia per esercizio.
La prova, che si trova in alcuni manuali, è lasciata per esercizio.
114
CAPITOLO 5. IL PROBLEMA DI SAINT VENANT
rispetto a G. Poiché il momento delle forze di scorrimento è orario rispetto a G, per garantire
l’equivalenza dei momenti la forza tagliante dev’essere applicata a sinistra di G.
Il punto CT del piano di sezione dove applicare la forza tagliante per garantire l’equivalenza
statica del momento risultante rispetto a un polo arbitrario si chiama centro di taglio (secondo
Timoshenko).35 Il centro di taglio è dunque il punto cui applicare f p affinché che il momento
della forza tagliante esterna equivalga quello delle forze di scorrimento interne τ dA
Z
−−→
−→
OCT × f p =
OP × τ (P )dA
(5.65)
S
o, equivalentemente, che il lavoro su una rotazione rigida virtuale di sezione nel proprio piano
sia nullo, cioè che il lavoro della forza esterna sia uguale al lavoro delle forze interne.36
Si ha dunque flessione non uniforme solo se f p passa per il centro di taglio, altrimenti la
distribuzione delle azioni esterne è staticamente equivalente alla forza tagliante più il momento
torcente dato dal trasporto parallelo di f p dal punto d’applicazione al centro di taglio.
Poiché le forze di scorrimento su una porzione S ∗ sono funzioni della geometria di S ∗ secondo
la formula di Jouravsky (5.63), il centro di taglio è determinato dalla geometria della sezione e
delle sue porzioni. In generale CT non coincide col centro d’area G, ma in presenza di simmetrie
la (5.65) fornisce evidentemente che CT giace sull’asse di simmetria. Per sezioni doppiamente
simmetriche, i centri di taglio e d’area coincidono.
Nel caso di sezioni di spessore sottile, la (5.65) diventa
Z
−→
−−→
OP (ξ) × q(ξ)l(ξ)dξ
(5.66)
OCT × f p =
L
in cui l(ξ) è la tangente unitaria alla linea media nel punto d’ascissa locale ξ. Banalmente, se
la sezione è costituita da rettangoli sottili le cui linee medie convergono a un unico punto, come
la sezione a T nella figura 5.37, il centro di taglio coincide con tale punto.
Per esempio, la sezione a C nella figura 5.38 ha l’asse x di simmetria e CT sta su esso. Per
individuarne la posizione esatta si deve imporre l’equivalenza statica (5.66). Il polo O è arbitrario e, per semplicità di calcoli, conviene sceglierlo coincidente con il punto della linea media
in corrispondenza della mezzeria dell’anima. In tal caso, infatti, le forze di scorrimento lungo
l’anima non contribuiranno al momento delle azioni interne.
Inoltre, la componente di forza tagliante parallela all’asse di simmetria non fornisce informazioni sulla posizione del centro di taglio, poiché banalmente la distribuzione di forze di scorrimento
dovuta ad essa è simmetrica rispetto all’asse, non aggiungendo alcuna informazione rispetto
a quella data. Per scrivere la (5.66) occorre dunque pensare di sollecitare la sezione con una
forza tagliante virtuale ortogonale all’asse di simmetria, in questo caso Ty , e, aiutandosi con i
risultati dell’esempio 5.13, porre
Z b Ty shξ
h
i
dξ
OCT Ty k = 2
(b − ξ) i − j × −
2
Ix 2
0
nell’unica incognita OCT , la posizione del centro di taglio sull’asse di simmetria rispetto a O.
Nel caso generale di sezioni senza simmetrie la (5.66) equivale a due equazioni scalari di
equivalenza statica di momenti nelle coordinate del centro di taglio. Per ogni sezione, per quanto
complessa, il centro di taglio secondo Timoshenko è dunque sempre univocamente determinato.
35
Si può dimostrare che tale punto è unico, anche se esistono altre definizioni di centro di taglio; la più nota,
dovuta al tedesco Trefftz, si basa sull’equivalenza dei lavori di deformazione anziché su quella statica.
36
Questa definizione non coincide, in generale, con quella di Trefftz della nota precedente. Timoshenko parla
di lavoro su una rotazione rigida, Trefftz di lavoro di deformazione. I dettagli si trovano su testi specializzati.
Capitolo 6
Criterı̂ di resistenza
Studiato come gli elementi strutturali sono sollecitati in ogni punto per effetto di carichi e
coazioni esterne, occorre stabilire se essi sono in grado o meno di sopportare il cimento cui
sono sottoposti. In ambito tecnico, si suol dire che l’elemento dev’essere verificato nei confronti
degli stati limite, variabili a seconda del materiale, dell’impiego dell’elemento, dell’aleatorietà
del carico e di altri parametri.
Ci occuperemo degli stati limite elastico e di stabilità elastica. Il primo considera se il materiale
dell’elemento supera una soglia oltre cui il comportamento elastico lineare non sussiste. Il
secondo considera se l’elemento, a parità di carico, può ammettere più di una soluzione elastica
lineare. In questo capitolo si esamina lo stato limite elastico.
Tutti i materiali, se sollecitati, si deformano e, cessata la sollecitazione, ritornano allo stato
indeformato, almeno entro certi limiti di carico: si parla di fase elastica, inizialmente lineare.
Nei materiali duttili, dopo la fase elastica lineare ne segue una, breve, non lineare e poi il
materiale snerva per scorrimento di alcuni piani cristallini. La deformazione cresce a parità
di carico e rimane anche togliendo la sollecitazione (plasticizzazione). Questo accade con un
notevole abbattimento della rigidezza, per cui la soglia di rischio per le capacità portanti di
un materiale duttile è fissata per convenzione nello snervamento, sebbene la rottura avvenga
sotto grandi deformazioni plastiche. I materiali fragili, invece, passano quasi subito dalla fase
elastica lineare alla rottura: la soglia di rischio per le capacità portanti di un materiale fragile
è fissata per convenzione nel limite elastico lineare.
La verifica allo stato limite elastico lineare ha dunque lo scopo di stabilire se lo stato di
tensione nel punto più sollecitato dell’elemento strutturale considerato ne provoca il cedimento,
inteso come rottura per materiali duttili o snervamento per materiali fragili. Tuttavia, le prove
sui materiali sono in generale monoassiali (coinvolgono cioè tensioni in una sola direzione),
mentre gli stati di sollecitazione in un elemento strutturale sono multiassiali: basti pensare alla
sovrapposizione di flessione uniforme, non uniforme e torsione in un cilindro di Saint Venant.
Il problema della verifica di resistenza è, dunque, confrontare i valori limite del materiale, le
tensioni di snervamento σS o di rottura σR dele prove monoassiali di trazione o compressione,
con uno stato di tensione in genere triassiale. Quest’ultimo è definito, per esempio, dai valori
principali σI , σII , σIII del tensore delle tensioni.1 Un confronto tra la tensione interna e un
valore limite non è possibile, a meno di introdurre una funzione scalare detta tensione ideale
equivalente σid . Sulla base di considerazioni di natura fisica, dette criterı̂ di resistenza, tabella
6.1, la funzione tensione ideale fornisce una tensione monoassiale con gli stessi effetti della
triassiale e che può essere confrontata con i valori limite sperimentali.
1
Queste si riducono a due trattando cilindri di Saint Venant.
115
116
CAPITOLO 6. CRITERÎ DI RESISTENZA
Criterio
Parametro da cui dipende la crisi
Materiale
Navier - Rankine
Massima tensione principale
Fragile
Tresca - Guest
Massima tensione tangenziale
Duttile
Mohr - Coulomb
Curva intrinseca di danneggiamento
Fragile
Saint Venant
Allungamento massimo
Duttile
Beltrami
Massima energia di deformazione
Duttile
Hencky - Huber - von Mises
Massima energia di distorsione
Duttile
Tabella 6.1. Criteri di resistenza e parametro da cui dipende la crisi.
In realtà il valore limite di progetto o di verifica, almeno a livello deterministico, è più basso del
limite di snervamento o rottura, per ragioni di sicurezza: si parla allora di tensione ammissibile
σamm , una frazione opportuna della tensione che provoca il danneggiamento. La prassi di buona
costruzione consiglia poi di ridurre ulteriormente la tensione ammissibile a una di progetto
tramite uno o più coefficienti di sicurezza X > 1, a volte fissati da precise norme di legge:
σid = f (σI , σII , σIII ) ≤
σamm
X
(6.1)
I materiali fragili hanno in generale resistenza a compressione superiore a quella di trazione e i
valori critici delle prove sono le tensioni di rottura a trazione σRT e a compressione σRC .
Figura 6.1: Criterio di Navier nel piano σI , σII e sua rappresentazione nel piano di Mohr.
6.1
Criterio di Rankine-Navier
Secondo questo criterio, il cedimento si verifica quando la massima tensione principale agente
eguaglia la tensione di snervamento o la tensione di rottura del materiale. In pratica si suppone
che solo la massima tensione principale produca il cedimento e che le altre possano essere
trascurate. Se per le tensioni a rottura si pone, in valore assoluto, |σRC | > |σRT |, il dominio
elastico è un cubo non centrato nell’origine; la superficie di tale cubo è la superficie limite,
ovvero l’ipersuperficie che raccoglie tutti i possibili stati limite elastici, figura 6.1.
6.2. CRITERIO DI TRESCA
117
Questo criterio ha qualche riscontro per i materiali fragili, in cui la rottura avviene per decoesione frontale dei piani cristallini, con comportamento non simmetrico a trazione e compressione.
È, tuttavia, in contrasto con i dati sperimentali, non prevedendo rottura quando σI , σII sono discordi e la tensione di compressione è la maggiore in valore assoluto, e trascurando l’effetto delle
tensioni principali intermedia e minima. Fallisce, inoltre, nel caso di compressione idrostatica
pari a −σS , prevedendo il cedimento.
6.2
Criterio di Tresca
Secondo questo criterio il cedimento si verifica per snervamento, quando la massima tensione
tangenziale nel punto considerato uguaglia quella che si ha al momento dello snervamento in
un provino sottoposto a trazione. In un provino di materiale duttile a trazione, infatti, allo
snervamento si formano delle linee di scorrimento a 45◦ rispetto all’asse (bande di Lüders),
che indicano un principio di snervamento. Poiché la τmax agisce proprio su piani inclinati
di 45◦ rispetto all’asse di trazione, se ne deduce che questa è un’artefice del meccanismo di
plasticizzazione. Cerchiamo sul piano σI , σII la superficie limite che racchiude gli stati tensionali
Figura 6.2: Criterio di Tresca nel piano σI , σII e sua rappresentazione nel piano di Mohr.
accettabili per questo criterio di resistenza. Se la sollecitazione è monoassiale,
τmax =
σI
,
2
σid = 2τmax = σI
(6.2)
per cui, nel caso di torsione pura con momento parallelo a z, σid = 2τξz .2 Per tensione biassiale,
τmax =
2
σI − σII
,
2
σid = 2τmax = σI − σII ≤ σamm
(6.3)
Con la coordinata ξ si è indicata l’ascissa lungo la linea media di una sezione sottile o una delle due
coordinate x, y in una sezione generica di un cilindro di Saint Venant.
118
CAPITOLO 6. CRITERÎ DI RESISTENZA
e, per esempio, nel caso di trazione e torsione per un cilindro di Saint Venant, caratterizzate
da σz e τξz , ricordando le (4.19),
s
2
q
σz + 0
2
2
σid = 2τmax = σI − σII = 2
≤ σamm
(6.4)
+ τξz
= σz2 + 4τξz
2
Figura 6.3: Superficie limite del criterio di Tresca.
Questo criterio vale per materiali duttili con comportamento simmetrico e non è utilizzabile
per prevedere la rottura perché in campo plastico il materiale ha comportamento diverso a
seconda della storia del carico applicato. La superficie critica descritta dal criterio di Tresca è
un prisma a base esagonale di lunghezza indefinita lungo la trisettrice del primo diedro dello
spazio delle tensioni principali,3 figura ??. La lunghezza del prisma è indefinita perché secondo
il criterio di Tresca gli stati di tensione idrostatici non sono pericolosi e i punti della trisettrice
li rappresentano. Gli stati idrostatici sono cosı̀ chiamati perché immergendo una porzione di
materiale in un liquido stazionario, questo vi esercita la pressione idrostatica σI = σII = σIII .
Mentre questo è generalmente vero a compressione, a trazione il materiale reagisce meno bene.
6.3
Criterio di Mohr-Coulomb
Il criterio di Mohr colleziona le combinazioni critiche di tensioni tangenziali e normali che provocano la rottura e le identifica sul piano di Mohr tracciandone le rappresentazioni corrispondenti.
Il dominio elastico, la cui frontiera è la superficie limite di Mohr, specifica per il materiale studiato, è l’inviluppo di queste circonferenze. Il criterio di Coulomb-Mohr è una semplificazione
di questo, si basa sulla teoria degli attriti interni e assume che l’inviluppo sia rettilineo. Per
costruire le curve si possono allora effettuare due sole prove, di trazione e di compressione, per
ottenere le tensioni limite σlt , σlc .
La curva limite si può approssimare solo con le tangenti alle circonferenze di Mohr limite a
trazione e compressione; esse hanno equazione sul piano di Mohr, figura 6.4
π
1
− Φ = tan
(6.5)
|τ | + µσ = τi ,
µ = tan
2
Φ
3
Come fa la bisettrice in un piano, la trisettrice forma con gli assi coordinati tre angoli uguali α = β = γ.
6.3. CRITERIO DI MOHR-COULOMB
119
Figura 6.4: Superficie limite dei criterı̂ di Mohr e Mohr-Coulomb nel piano di Mohr.
nella quale τi è l’intersezione con l’asse τ del cerchio limite e µ = tan α è il coefficiente angolare
della retta approssimante (angolo d’attrito statico). Il criterio è espresso dalle equazioni
|σI − σII | + m (σI + σII ) = 2τl ,
m=
σlc + σlt
,
σlc − σlt
τl =
σlc σlt
σlc − σlt
(6.6)
e le analoghe per permutazione ciclica degli indici I, II, III.4
Nel primo e terzo quadrante del piano delle tensioni principali σI , σII , dove le tensioni principali
hanno lo stesso segno, i criterı̂ di Mohr e quella di Navier coincidono:
max|σI , σII | = σlt ,
min|σI , σII | = σlc
Nel secondo e quarto quadrante, dove le tensioni hanno segno opposto, i due criterı̂ differiscono.
Questo criterio può essere visto come estensione del criterio di Tresca; i due criteri coincidono
Figura 6.5: Superficie limite dei criterı̂ di Mohr e Mohr-Coulomb nel piano delle tensioni principali.
nel caso di m = 0, ossia per σlc = σlt , figura 6.5.
4
Le quazioni totali sono sei per la presenza del valore assoluto.
120
6.4
CAPITOLO 6. CRITERÎ DI RESISTENZA
Criterio di Saint Venant
Questo criterio, non molto usato, postula che il materiale subisce danno quando la massima
deformazione principale raggiunge un valore critico. Dalle leggi generalizzate di Hooke (4.24)
εI =
1
[σI − ν (σII + σIII )] ,
E
εIII =
1
[σIII − ν (σI + σII )]
E
(6.7)
con la semplice riduzione al caso monoassiale εI = σI /E. Si ottiene cosı̀ la tensione equivalente
σid = |σI − ν (σII + σIII ) | ≤ σamm
6.5
(6.8)
Criterio di Beltrami
Si suppone che si abbia snervamento se l’energia elastica accumulata nella deformazione U
attinge un valore critico US
1 2
1
2
2
σI + σII
U = T ·E =
+ σIII
− 2ν (σI σII + σI σIII + σII σIII ) = US
2
2E
(6.9)
che nel caso monoassiale si riduce a U = σI2 /2E, per cui la tensione equivalente con la stessa
pericolosità dello stato di tensione triassiale è
q
2
2
+ σIII
− 2ν (σI σII + σI σIII + σII σIII )
(6.10)
σid = σI2 + σII
e la superficie di frontiera degli stati limiti elastici è un ellissoide, figura 6.6.
Figura 6.6: Superficie limite del criterio di Beltrami nel piano delle tensioni principali.
6.6
Criterio di von Mises
Il criterio di von Mises estende quello di Beltrami e trae origine dal fatto che i materiali duttili
compressi idrostaticamente variano di volume ma non di forma. D’altra parte, per i materiali
duttili la causa di snervamento è lo scorrimento dei piani cristallini, che produce cambiamento
di forma, non di volume. Di conseguenza, è naturale ammettere che non tutta l’energia di
deformazione elastica concorre allo snervamento, ma solo la sua quota parte che corrisponde
al cambiamento di forma, detta energia di distorsione. Si postula, dunque, che lo snervamento
6.6. CRITERIO DI VON MISES
121
si verifica quando l’energia elastica di distorsione attinge un valore critico, determinabile dalle
prove di trazione e pari a quella relativa alla tensione monoassiale di snervamento.
Se le tensioni principali sono somma di un valor medio σm , che genera solo variazioni di volume,
e della deviazione σdi rispetto alla media, l’energia elastica di variazione di volume Uv è
σI + σII + σIII
,
σdi = σi − σm , i = I, II, III
3
3(1 − 2ν) 2
1
1
2
2
)=
− 6νσm
Uv = T v · E v =
(3σm
σm
2
2E
2E
σm =
(6.11)
e l’energia di distorsione ha l’espressione seguente, nulla se le tensioni principali si eguagliano
1
1+ν 2
2
2
Ud = U−Uv = (T · E −T v · E v ) =
σI + σII
+ σIII
− (σI σII + σI σIII + σII σIII ) (6.12)
2
E
Nel caso di trazione semplice si ha Ud = (1 + ν)σI2 /3E, e la tensione equivalente di Von Mises è
q
2
2
σid = σI2 + σII
+ σIII
− (σI σII + σI σIII + σII σIII )
che, per tensioni non principali caratteristiche di un cilindro di Saint Venant, diventa
q
2
σid = σz2 + 3τξz
(6.13)
(6.14)
La superficie critica di von Mises è un cilindro con asse la trisettrice del primo diedro dello
Figura 6.7: Superfici limite dei criterı̂ di Tresca e von Mises nel piano delle tensioni principali.
spazio delle tensioni principali. Il cilindro è circoscritto alla superficie critica del criterio di
Tresca, il quale è quindi più conservativo, sottendendo un volume inferiore, figura 6.7.
Esempio 6.1 L’apertura d’una valvola di un motore a combustione interna è ottenuta applicando una forza Pv = 1280 N. Si studia il sistema d’apertura della valvola, mosso dall’asta di
comando in E, che manda in torsione l’albero ABCD, in flessione l’albero DF e apre la valvola
in F. La molla di richiamo equilibra l’azione di E e richiude la valvola, figura 6.8.
122
CAPITOLO 6. CRITERÎ DI RESISTENZA
Figura 6.8: Esempio 6.1.
Consideriamo l’albero ABCD tramite un modello monodimensionale e i cuscinetti come appoggi; infatti, il gioco presente tra albero e cuscinetti permette piccoli spostamenti assiali lungo
x e rotazioni attorno a z e attorno a y. Oltre alle quotature indicate in figura 6.9, siano
d1 = 24 mm,
d2 = 20 mm,
AD = 274.5 mm
d3 = 16 mm,
Figura 6.9: Esempio 6.1 - sollecitazioni sull’albero ABCD.
L’albero è una trave semplicemente appoggiata, e per semplicità si studierà su due piani
ortogonali. Una volta tracciati i diagrammi delle sollecitazioni, per la sovrapposizione degli
effetti si troveranno i punti più sollecitati e si troverà la tensione equivalente secondo von
Mises. Nel piano yz l’equilibrio alla rotazione fornisce la forza d’attivazione Pa
EBPa = DF Pv ⇒ Pa = 2276.0 N,
Mt = EBPa = DF Pv = 102.4 Nm
e nel piano xy l’equilibrio a traslazione e rotazione fornisce le reazioni vincolari


 −R − R + P + P = 0
 R = 2674.0 N
A
C
a
v
C
⇒
 ABP + ADP − ACR = 0
 R = 882.0 N
a
v
C
A
6.6. CRITERIO DI VON MISES
123
Figura 6.10: Esempio 6.1 - bilancio delle leve EB, DF, e dell’albero ABCD.
Si tracciano ora i diagrammi delle sollecitazioni interne all’albero ABCD per determinare la
sezione più sollecitata, che quindi dev’essere sottoposta a verifica, figura 6.11.
In una trave con sezione uniforme, a parità di valore numerico delle caratteristiche di sollecitazione N, Ti , Mi , il maggior cimento è provocato dai momenti. Questi, infatti, sono dati
dall’integrale sulla sezione del braccio di leva moltiplicato le tensioni, mentre le forze sono l’integrale sulla sezione delle tensioni. Poiché il braccio di leva ha dimensioni inferiori a quella
caratteristica della sezione, le tensioni equivalenti ai momenti flettente e torcente sono numericamente più rilevanti di quelle equivalenti alle forze. In una trave con sezione variabile, a parità
di valore numerico delle caratteristiche di sollecitazione N, Ti , Mi , il maggior cimento si trova
nella sezione più piccola, che offre materiale resistente minore.
Figura 6.11: Esempio 6.1 - diagrammi delle azioni di contatto per l’albero ABCD.
Per i vari tratti di diverso diametro, figura 6.9, le sezioni più sollecitate, osservando i diagrammi
della figura 6.11, sono la sezione C e una sezione D0 nell’intorno di D in cui il momento flettente
va a zero ma il momento torcente e il taglio assumono valori elevati.
Trascurando la discontinuità nei pressi della sezione C, si fa riferimento alla sola parte con
diametro inferiore, figura 6.12, e si ricavano le tensioni massime di flessione, attinte nei punti 1
e 3, di torsione, attinte indifferentemente nei punti 1-4, e di taglio, attinte nei punti 2 e 4:
σz,max =
Mz r
= 141 MPa,
Iz
τmax,tors =
Mt r
= 65 MPa,
Ix
τmax,taglio =
Ty Sx∗
4Ty
=
= 6 MPa
Iz 2r
3A
124
CAPITOLO 6. CRITERÎ DI RESISTENZA
Per il criterio di von Mises la tensione equivalente risulta essere:
q
p
2
2
punti 1, 3 : σid = σz,max
+ 3τmax,tors
= 1412 + 3(65)2 = 180 MPa,
q
p
punti 2, 4 : σid = σz2 + 3 (τmax,tors + τmax,taglio )2 = 02 + 3(71)2 = 123 MPa
Figura 6.12: Esempio 6.1 - sezioni da verificare.
Procedendo analogamente per la sezione in D, si ricava
σz,max =
Mz r
= 24 MPa,
Iz
τmax,tors =
Mt r
= 127 MPa,
Ix
τmax,taglio =
Ty Sx∗
4Ty
=
= 9 MPa
Iz 2r
3A
e si nota che con una variazione di appena il 20% della sezione resistente si ha un aumento delle
tensioni maggiore del 20%. Per il criterio di von Mises la tensione equivalente risulta essere:
q
p
2
2
punti 1, 3 : σid = σz,max
+ 3τmax,tors
= 242 + 3(127)2 = 221 MPa,
q
p
punti 2, 4 : σid = σz2 + 3 (τmax,tors + τmax,taglio )2 = 02 + 3(135)2 = 235 MPa
e quindi è la sezione in D a dover essere verificata a limite elastico. Se il materiale è un acciaio
da carpenteria (Fe310 o similari), σamm ≈ 200 MPa e l’albero non può sopportare il cimento
meccanico senza plasticizzare. Se si sceglie un coefficiente di sicurezza X = 2, si deve pensare
di realizzare l’albero con un acciaio al carbonio del tipi C40 o C60, σamm ≈ 700 MPa ≥ Xσid e
il sistema è verificato.
Capitolo 7
Biforcazione elastica statica
La stabilità delle soluzioni d’un problema fisico è un argomento assai ampio, trattato dalla
teoria di Liapounov, che però esula dai fini di questi appunti. Per l’importanza dell’instabilità
dell’equilibrio elastico statico, tuttavia, si illustra il fenomeno e se ne presenta una descrizione
matematica che permette il calcolo dei valori critici del carico.
Per strutture in ambito elastico lineare sollecitate a partire dalla configurazione di riposo, esiste
un teorema, dovuto a G. R. Kirchhoff,1 d’unicità della soluzione. Tuttavia, se si sollecita un
sistema nell’intorno di una configurazione non di riposo, l’unicità della soluzione può mancare:
possono esserci, cioè, più configurazioni elastiche compatibili coi vincoli sotto lo stesso carico
esterno. Questo fenomeno è inaccettabile dal punto di vista tecnico, perché è necessario che
il comportamento degli elementi meccanici e strutturali sia sempre univocamente determinato
(entro i limiti della precisione della tecnica).
In effetti, se si considerano elementi strutturali snelli, il loro comportamento a trazione è univoco: c’è un tratto elastico lineare, uno non lineare, lo snervamento, la rottura. A compressione,
invece, il comportamento, anche per materiali duttili, può non essere simmetrico: aumentando
il carico, si giunge a una soglia per cui un piccolo incremento di compressione è accompagnato non da un ulteriore accorciamento, ma da un improvviso sbandamento laterale: l’elemento
s’inflette con una repentina perdita di rigidezza.
Esperienze di questo fenomeno si hanno mettendo a compressione elementi molto snelli e
flessibili come aste d’ombrelli o righelli sottili. È evidente che lo sbandamento, che avviene
ancora in campo elastico per carichi inferiori a quello di snervamento, è molto pericoloso poiché
può portare a deformazioni incontrollate e quindi a un collasso precoce dell’elemento o della
struttura di cui fa parte. Il carico sufficiente a provocare lo sbandamento è tanto minore quanto
più l’elemento ha sezione resistente piccola rispetto alla lunghezza. Gli esiti di questi fenomeni
su strutture civili o industriali possono essere catastrofici, giustificandone lo studio.
7.1
Sistemi discreti
Per illustrare il fenomeno di biforcazione della soluzione elastica statica, ovvero della sua perdita
d’unicità, si considerano innanzitutto sistemi discreti olonomi con vincoli bilaterali. Le loro
configurazioni sono univocamente determinate da tante coordinate lagrangiane quanti sono i
gradi di libertà del sistema. Le parti deformabili sono molle che reagiscono al cambiamento
di forma con legge elastica lineare. In questo modo, nella generica deformazione del sistema
1
È lo stesso studioso noto per le leggi dei circuiti elettrici in regime stazionario.
125
126
CAPITOLO 7. BIFORCAZIONE ELASTICA STATICA
meccanico le azioni della molla producono un lavoro interno che dipende solo dalle configurazioni
iniziale e finale. Se il sistema è soggetto ad azioni esterne conservative, come d’ora in poi
sottinteso, anche il loro lavoro dipende esclusivamente dalle configurazioni iniziale e finale.
Poiché le azioni interne ed esterne sono conservative, si può definire la funzione di stato energia
potenziale totale U del sistema, somma di quelle elastica lineare interna E e delle azioni esterne;
l’energia potenziale delle azioni esterne è l’opposto del lavoro L speso dalle azioni esterne
U(qj ) = E(qj ) − L(qj ), j = 1, 2, . . . , N
(7.1)
con N i gradi di libertà del sistema e qj i parametri lagrangiani per descriverli. Il dominio dell’energia potenziale totale è dunque l’insieme di tutte le N -uple di valori di parametri lagrangiani
che descrivono configurazioni del sistema compatibili con i vincoli assegnati.
L’energia potenziale totale è definita a meno di una costante inessenziale, in quanto per la
determinazione delle soluzioni del problema elastico occorre valutare le variazioni di E tra
due configurazioni. Tra tutte le configurazioni che il sistema può assumere, infatti, interessa
individuare se esistano e quante eventualmente siano quelle di equilibrio, in particolare stabili.
Una configurazione è d’equilibrio se l’energia potenziale totale è stazionaria in essa, ovvero se
in un suo intorno la variazione prima di U è nulla. In aggiunta, una configurazione è d’equilibrio
stabile se in essa l’energia potenziale totale è minima.2 Se U ha la regolarità sufficiente per ammettere sviluppo in serie di Taylor nell’intorno della configurazione considerata, caratterizzata
dai valori qj0 dei parametri lagrangiani, si ha, arrestandosi al secondo ordine,
∂U
δU(qj0 ) = U(qj0 + δqj ) − U(qj0 ) =
∂qj
qj0
1 ∂ 2U
δqj +
2 ∂qj ∂qh
δqj δqh
(7.2)
qj0
Nell’intorno della configurazione considerata, il termine lineare domina sull’altro e quindi la
condizione d’equilibrio, cioè di stazionarietà per U, è
∂U
∂qj
δqj = 0 ∀qj ⇒
qj0
∂U
∂qj
= 0 j = 1, 2, . . . , N
(7.3)
qj0
che però non fornisce la qualità dell’equilibrio, al cui fine si deve valutare
1 ∂ 2U
2 ∂qj ∂qh
δqj δqh > 0
(7.4)
qj0
Con riferimento alla figura 7.1 si ha che:
1. variazione positiva: equilibrio stabile (minimo, punto A)
2. variazione negativa: equilibrio instabile (massimo, punto B)
3. variazione nulla: equilibrio indifferente (flesso, punto C)
Generalizzando a più gradi di libertà quanto noto per i sistemi a un grado di libertà, la rigidezza
del sistema meccanico considerato è
K0 =
2
∂ 2U
∂qj ∂qh
(7.5)
qj0
Il teorema di minima energia potenziale totale si prova nell’insegnamento di Meccanica razionale.
7.2. INSTABILITÀ EULERIANA DI SISTEMI DISCRETI RIGIDI
127
Figura 7.1: Un grafico d’energia potenziale totale.
che è un operatore reale simmetrico: la 7.4 equivale quindi alla definizione in segno di una
forma quadratica. Dall’algebra lineare si sa che la definizione di segno di una forma quadratica
si riconduce allo studio della matrice simmetrica che vi compare. Detti, infatti, λi gli autovalori
di K 0 , sempre reali per il teorema spettrale, si ha che se tutti i λi > 0, la forma quadratica è
definita positiva e la configurazione d’equilibrio è stabile; se tutti i λi < 0, la forma quadratica è
definita negativa e la configurazione d’equilibrio è instabile; se ci sono alcuni autovalori positivi,
altri negativi, altri nulli, la forma quadratica non è definita e l’equilibrio è indifferente.
Inoltre, autovalori nulli di K 0 significano che gli autovettori corrispondenti, ovvero le configurazioni caratterizzate da tali autovettori, hanno rigidezza nulla, il che meccanicamente ha un
significato di pericolo.
7.2
Instabilità euleriana di sistemi discreti rigidi
I problemi d’instabilità euleriana sono una sottoclasse dei problemi di stabilità per sistemi
discreti con le caratteristiche seguenti:
1. Il sistema presenta una configurazione banale d’equilibrio qj0 assunta come riferimento
2. In qj0 il sistema risponde linearmente ai carichi applicati
3. I carichi applicati dipendono tutti linearmente da un moltiplicatore di carico p
4. La variazione seconda di U a partire da qj0 è lineare in p, ovvero
1 ∂ 2U
2 ∂qj ∂qh
δqj δqh = φ(δqj ) − pψ(δqj ) =
qj0
1
(K 0A − pK 0B )jh δqj δqh
2
(7.6)
in cui K 0A è detta rigidezza elastica e K 0A rigidezza geometrica. Al variare di p, si possono
avere percorsi a rigidezza nulla (come osservato nel paragrafo precedente) e quindi, assieme alla
configurazione d’equilibrio banale, ne può apparire una biforcata a rigidezza nulla.
Per esempio, si consideri un’asta di lunghezza l incernierata al ‘suolo’ a un’estremità. L’atto di
moto consentito è rotatorio attorno alla cerniera, supposto contrastato da un elemento elastico
lineare di rigidezza k. Il parametro lagrangiano sia θ a partire dalla configurazione di riferimento
‘verticale’. In essa, l’asta risulti compressa all’estremità libera da una forza costante in direzione,
intensità p e verso (morta), quindi conservativa. L’energia potenziale totale del sistema vale
1
U(θ) = kθ2 − pl(1 − cosθ)
2
128
CAPITOLO 7. BIFORCAZIONE ELASTICA STATICA
Per trovare le configurazioni d’equilibrio, ne imponiamo la stazionarietà

 θ = 0 ∀p
1
δU = (2kθ) δθ − pl sin θδθ = (kθ − pl sin θ) δθ = 0 ∀ δθ ⇒
 p = kθ ∀ θ
2
l sin θ
Esistono dunque due classi di soluzioni (percorsi d’equilibrio): una, banale, per cui l’asta rimane nella configurazione di riferimento, indipendentemente dal carico di compressione applicato;
l’altra afferma che esiste una relazione tra carico e rotazione per cui esistono configurazioni
non banali, elastiche e compatibili, equilibrate con un carico opportuno p. La prima di queste
configurazioni non banali si verifica nell’intorno di quella di riferimento:
k
kθ
=
θ→0 l sin θ
l
pc = lim p = lim
θ→0
Accade cioè che, al crescere di p dallo zero, la configurazione di riferimento rimane l’unica
possibile fino a che il carico arriva nei pressi del valore pc = k/l, detto carico critico euleriano,
per cui sono possibili due soluzioni del problema elastico: si può, cioè, in corrispondenza del
carico critico, verificare una biforcazione dell’equilibrio elastico.
Per studiare la stabilità dei percorsi e individuare il comportamento qualitativo del sistema,
si valuta la variazione seconda dell’energia potenziale totale
δ 2 U = (k − pl cos θ) δ 2 θ
In essa si riconoscono, ridotti a un semplice scalare per questo sistema a un grado di libertà, i
termini K A , K B della(7.6): k è la rigidezza elastica, l cos θ è la rigidezza geometrica. La variazione seconda dell’energia potenziale totale è una forma quadratica della variazione δθ, ma non
è sempre positiva: essa passa da valori negativi a valori positivi, descrive cioè soluzioni instabili
e stabili, attraversando lo zero quando la rigidezza geometrica eguaglia quella geometrica e la
rigidezza totale, quindi, svanisce
k = pl cos θ ⇒ p =
k
,
l cos θ
lim p = pc =
θ→0
k
l
Si ha, cioè, che il carico critico non è solo il moltiplicatore di soglia della biforcazione delle
soluzioni del problema, ma anche il valore per cui la qualità della stabilità del sistema varia.
In effetti, si vede che
k
δ 2 U θ=0 = (k − pl) δ 2 θ > 0 ⇒ p < = pc
l
e quindi la configurazione banale, θ = 0, è stabile per p < pc , instabile per p > pc ; inoltre
kθ
θ
2
2
δ U p= kθ = k −
l cos θ δ θ = k 1 −
δ2θ > 0
l sin θ
l sin θ
tan θ
kθ
e la configurazione biforcata, p =
, è stabile ∀ p. Di conseguenza, il fenomeno studiato è
l sin θ
come segue: caricando l’asta a compressione, per carichi inferiori a quello euleriano, la configurazione banale è l’unica soluzione stabile. Giunti a pc , sono possibili due soluzioni, una stabile
(quella biforcata, ‘lontana’ da quella di riferimento) e una instabile, quella di riferimento. Ne
segue che naturalmente il sistema segue il percorso deviato poiché evidentemente a questo è
7.3. INSTABILITÀ EULERIANA DI TRAVI COMPRESSE
129
associato un livello energetico inferiore. Si ha, inoltre, che inizialmente il percorso biforcato è a
rigidezza nulla, per cui la biforcazione, inizialmente in ambito elastico lineare, in realtà procede
rapidamente a grandi deformazioni e va verso la plasticizzazione e il collasso del sistema.
Da questo esempio, rimane evidente come lo studio della biforcazione dell’equilibrio elastico
statico sia un possibile stato limite che è d’interesse studiare ai fini applicativi. Si propone,
per esercizio, di studiare le biforcazioni possibili di un sistema come quello appena presentato, in cui l’elemento elastico lineare contrasta lo spostamento dell’estremità libera, dovuto a
compressione. Dettagli maggiori si trovano nei testi specializzati.
7.3
Instabilità euleriana di travi compresse
Quanto studiato per i sistemi discreti in atto di moto rigido si estende facilmente ai continui
deformabili: in generale l’elasticità è diffusa e le configurazioni sono date da campi, non da
valori discreti di parametri lagrangiani. Si consideri l’esempio basilare della trave flessibile che
in una configurazione di riferimento banale rettilinea risulti compressa da una forza ‘morta’ di
intensità λ (colonna di Euler ).
Per l’elemento flessibile di lunghezza dz in una configurazione variata generica la densità
d’energia potenziale elastica dE è
1
1
2
dE = B(z)χ(z)2 = B(z) [v 00 (z)]
2
2
(7.7)
sotto l’ipotesi che valga il vincolo interno d’indeformabilità a scorrimento angolare (3.4). Con
riferimento alla figura 7.2, la densità del lavoro delle azioni esterne per l’elemento dz è
θ2 (z)
θ2 (z)
(v 0 (z))2
dL = λdz(1 − cos θ(z)) ≈ λdz 1 − 1 − 0 −
= λdz
= λdz
(7.8)
2
2
2
avendo sviluppato in serie di Taylor il campo θ(z) e supponendo ancora valido il vincolo interno
Figura 7.2: Colonna di Euler e densità di lavoro di compressione.
d’indeformabilità a scorrimento angolare (3.4). Di conseguenza, l’energia potenziale totale U
per un trave puramente flessibile compressa si scrive
Z
o
1 ln
2
2
00
0
U=
B(z) [v (z)] − λ [v (z)] dz
(7.9)
2 0
130
CAPITOLO 7. BIFORCAZIONE ELASTICA STATICA
e risulta un funzionale dei due campi v 0 (z), v 00 (z). I percorsi d’equilibrio v(z) si ricavano
imponendo la stazionarietà della variazione prima dell’energia potenziale totale nella (7.9)
Z l
[B(z)v 00 (z)δv 00 (z) − λv 0 (z)δv 0 (z)] dz =
δU =
0
l
= |B(z)v 00 (z)δv 0 (z) − [B(z)v 000 (z) + λv 0 (z)] δv(z)|0 +
Z
+
(7.10)
l
[B(z)v 0000 (z) + λv 00 (z)] δv(z)dz = 0
0
avendo operato alcune integrazioni per parti sui campi arbitrari e quindi sufficientemente
regolari δv 00 (z), δv 0 (z). Per l’arbitrarietà dei campi δv 00 (z), δv 0 (z), δv(z) si devono annullare
separatamente i due addendi della (7.10), quello al contorno e quello integrale.
Sempre per la generalità dei campi cinematici, i due addendi del termine al contorno della
(7.10) si devono annullare separatamente: questa condizione esprime le condizioni al contorno
naturali del problema. Infatti, nell’ipotesi di vincoli lisci, o al contorno si ha un vincolo sulla
rotazione, per cui due configurazioni compatibili con tale vincolo non possono avere incrementi
di rotazione in corrispondenza di esso (δv 0 (z) = 0), o la rotazione è libera e non si ha coppia
reattiva di contatto (B(z)v 00 (z) = 0, la sollecitazione di contatto attiva è una forza), per cui
si annulla naturalmente il primo addendo del termine al contorno della (7.10). Ancora, o al
contorno si ha un vincolo sullo spostamento trasversale, per cui due configurazioni compatibili
con tale vincolo non possono avere incrementi di spostamento trasversale in corrispondenza di
esso (δv(z) = 0), o lo spostamento trasversale è libero, non c’è forza di contatto reattiva e la
forza di contatto (−Bv 000 (z), sotto l’ipotesi di Euler-Bernoulli) nella configurazione deformata
è pari alla componente parallela al piano di sezione della forza di compressione λv 0 (z), per cui
si annulla naturalmente il secondo addendo del termine al contorno della (7.10), figura 7.3.
Figura 7.3: Condizione al contorno naturale sulla forza tagliante.
Per la generalità del dominio d’integrazione, in quanto l è una lunghezza affatto generica,
l’addendo integrale della (7.10) si annulla solo se si annulla l’integrando
[B(z)v 0000 (z) + λv 00 (z)] δv(z) = 0 ⇒ B(z)v 0000 (z) + λv 00 (z) = 0
(7.11)
per la generalità del campo δv(z). La (7.11) è la particolarizzazione dell’equazione della linea
elastica (3.5)2 al problema della biforcazione elastica statica delle travi flessibili compresse:
tutte le possibili configurazioni compatibili, elastiche lineari e bilanciate internamente e con un
carico esterno morto inizialmente di compressione devono obbedire a essa.3
3
Per il significato di lagrangiana di un sistema meccanico, si ritroverebbero le stesse equazioni e condizioni
se si scrivessero le equazioni di Euler-Lagrange per il sistema.
7.3. INSTABILITÀ EULERIANA DI TRAVI COMPRESSE
131
Poiché λ > 0, B > 0, si pone µ2 = λ/B; se la rigidezza B(z) è uniforme, la (7.11) è un’equazione
differenziale ordinaria lineare e omogenea del quarto ordine, la cui soluzione generale si sa essere
v(z) = c1 cos(µz) + c2 sin(µz) + c3 z + c4
(7.12)
Tutte le soluzioni, banali o biforcate, della trave flessibile compressa sono espresse dalla (7.12).
Per trovarle, si devono imporre quattro condizioni al contorno naturali e filtrare, tra le ∞4
configurazioni espresse dalla (7.12), quelle per il problema particolare considerato.
Si noti che, mentre in compressione in corrispondenza al carico critico la rigidezza del sistema
si annulla, ciò non si verifica in trazione. In trazione, cioè, non si hanno biforcazioni: l’azione del
carico esterno è sempre a favore del richiamo elastico interno della struttura. Se in compressione
vale la (7.11), in trazione davanti al termine λv 00 (z) comparirebbe il segno ‘meno’; la soluzione
di una tale equazione differenziale è sempre la somma di un termine lineare e di esponenziali,
non funzioni armoniche, con esponenti reali. Queste non potranno mai portare biforcazione,
come sarà chiaro anche dagli esempi che seguono.
Figura 7.4: Colonna di Euler appoggiata.
Trave appoggiata Si ha il sistema di condizioni al contorno naturali
v(0) = 0, M (0) = −Bv 00 (0) = 0, v(l) = 0, M (l) = −Bv 00 (l) = 0
  


0
c
1
0
0 1
 1   








−µ2
0
0 0   c2   0 

 =   ⇒ Cc = 0


  



 cos(µl)
c   0 
sin(µl)
l 1
 3   

0
c4
−µ2 cos(µl) −µ2 sin(µl) 0 0
(7.13)
Il sistema (7.13) ammette sempre la soluzione banale c = 0 se la matrice dei coefficienti C non
è singolare: allora, la configurazione soluzione del problema elastico rimane quella rettilinea di
riferimento. Tuttavia, se C è singolare, esistono soluzioni non banali per le ci , i = 1, 2, 3, 4
nπz n2 π 2 B
det C = 0 ⇒ sin(µl) = 0 ⇒ µl = nπ, n = 1, 2, . . . , λc =
,
v(z)
=
c
sin
(7.14)
l2
l
Caricando la trave a compressione, quindi, la configurazione rettilinea banale rimane soluzione
del problema finché, nell’intorno dei carichi critici euleriani λc , è possibile una biforcazione
della soluzione elastica statica. Accanto alla soluzione banale, infatti, compare una soluzione di
forma sinusoidale data dalla (7.14), ‘lontana’ da quella rettilinea e di ampiezza c indeterminata.
Si può dimostrare, con tecniche di calcolo delle variazioni, che il percorso biforcato è a rigidezza
minore di quello di riferimento e quindi il sistema tenderà naturalmente a percorrere il cammino
biforcato anziché rimanere nella configurazione rettilinea.
132
CAPITOLO 7. BIFORCAZIONE ELASTICA STATICA
Esiste un’infinità numerabile di carichi critici ma d’interesse tecnico è il primo, n = 1, dipendente dal materiale e dalla forma di sezione (B = EI) e inversamente proporzionale al quadrato
della lunghezza. Questo risultato, che si prova essere generale, implica che i carichi critici sono
tanto più bassi quanto più la trave è lunga (l ↑) e con sezione piccola (I ↓), cioè ‘snella’.
Lo studio presentato riguarda sistemi perfetti ; nei sistemi reali, invece, sono presenti piccoli
ma inevitabili difetti di materiale, di montaggio, di centratura e direzione del carico. Si può
dimostrare che nei sistemi imperfetti non si ha la biforcazione brusca tra due soluzioni ed esiste
un unico percorso d’equilibrio. Tuttavia, per essi si prova anche che, per carichi ancora più
bassi di quelli critici del sistema perfetto, si ha un vero e proprio collasso della struttura: la
deformazione v(z) cresce indefinitamente anche se il carico si mantiene all’incirca costante o
addirittura cala. Di conseguenza, nelle travi snelle compresse la verifica allo stato limite di
biforcazione elastica statica può essere più importante di quella allo stato limite elastico.
Figura 7.5: Colonna di Euler incastrata.
Trave incastrata Si ha il sistema di condizioni al contorno naturali
v(0) = 0, θ(0) = −v 0 (0) = 0, M (l) = −Bv 00 (l) = 0, T (l) = −Bv 000 (l) = λv 0 (l)
  


0
c
1
0
0 1

 1   
  



0
µ
1 0   c2   0 
 =   ⇒ Cc = 0


  


 −µ2 cos(µl) −µ2 sin(µl) 0 0   c3   0 
  


0
c4
0
0
λ 0
(7.15)
Nuovamente, in generale esiste la soluzione banale, a meno che
π
(2n − 1)2 π 2 B
det C = 0 ⇒ λµ3 cos(µl) = 0 ⇒ µl = (2n − 1) , n = 1, 2, . . . , λc =
,
2
(2l)2
(2n − 1)πz
v(z) = c cos
−1
2l
(7.16)
e d’interesse tecnico è il primo carico critico euleriano, n = 1. In corrispondenza di esso, la
configurazione di riferimento può biforcare e seguire la forma cosinusoidale data dalla (7.16).
Si osservi che l’espressione del primo carico critico si differenzia da quella per la trave appoggiata solo per il fatto che a denominatore si trova il quadrato del doppio della lunghezza della
trave. D’altra parte, la forma biforcata assunta dalla mensola è pari alla metà della semionda
7.3. INSTABILITÀ EULERIANA DI TRAVI COMPRESSE
133
Figura 7.6: Bilancio meccanico della configurazione biforcata.
di seno che una trave appoggiata di lunghezza doppia assumerebbe se biforcasse. Si suol dire,
allora, che la mensola presenta una lunghezza libera d’inflessione pari a 2l.
Si giungerebbe agli stessi risultati se, anziché la (7.11), se ne usasse una equivalente. Questa,
formalmente, si ottiene integrando due volte la (7.11) rispetto a z nell’ipotesi di rigidezza
flessionale B(z) uniforme
Bv 00 (z) + λv(z) = hz + k
(7.17)
Al di là dell’aspetto matematico formale, la (7.11), come fatto notare, è l’equazione della
linea elastica nella configurazione deformata, quindi esprime il bilancio della forza trasversale
per ogni elemento infinitesimo dz di trave. La (7.17), invece, esprime il bilancio della coppia
flettente per lo stesso elemento. Con riferimento alla figura 7.6, data una trave compressa in
una configurazione biforcata, per una sua porzione infinitesima le forze λ sono bilanciate ma,
a causa della curvatura della trave, si genera una coppia λ(−v(z)) che dev’essere equilibrata
dalla coppia di richiamo elastico interna M (z) = −Bv 00 (z).
Da questo bilancio meccanico, quindi, deriva il primo membro della (7.17). Il secondo membro,
invece, deriva dalla presenza, possibile in generale, di altri contributi al momento flettente. Per
l’assenza supposta di azioni esterne distribuite, questi contributi possono solo essere dovuti a
forze taglianti uniformi e momenti flettenti lineari in z, come nel secondo membro della (7.17).
Cosı̀, la (7.11) esprime solo il bilancio interno della forza e deve essere corredato da condizioni
naturali al contorno sia di tipo cinematico, su spostamenti trasversali (v) e rotazioni (v 0 ), sia
di tipo meccanico, su tagli (Bv 000 ) e momenti flettenti (Bv 00 ). Invece, nella (7.17) il bilancio
meccanico di forza e coppia esterne dev’essere fatto a monte e le condizioni al contorno naturali
sono solo cinematiche.
Per esempio, nella trave appoggiata, anche nella possibile configurazione deformata non sono
presenti, per il bilancio meccanico, forze taglianti e altri momenti rispetto a quelli dovuti alla
coppia dovuta a λ e a quella di richiamo elastico, per cui la (7.17) si scrive
Bv 00 (z) + λv(z) = 0 ⇒ v(z) = c1 cos(µz) + c2 sin(µz)
e dall’imposizione delle condizioni al contorno cinematiche

 c1 = c2 = 0 ∀ λ
nπz , v(z) = c sin
v(0) = v(l) = 0 ⇒
2 2
 λ =nπ B
l
c
l2
cioè si riottiene la biforcazione euleriana già vista. Per la mensola, il bilancio meccanico nella
possibile configurazione deformata fa sı̀ che, oltre alla reazione vincolare λ, all’incastro sia
134
CAPITOLO 7. BIFORCAZIONE ELASTICA STATICA
presente una coppia reattiva oraria pari a λv(l). Di conseguenza, mantenendo le convenzioni
di segno assunte per la trave, la (7.17) si scrive
Bv 00 (z) + λv(z) = λv(l) ⇒ v(z) = c1 cos(µz) + c2 sin(µz) + v(l)
e, imponendo le condizioni cinematiche al contorno,


 c1 = c2 = 0 ∀ λ
(2n − 1)πz
0
v(0) = −v (0) = 0, v(l) = v(l) ⇒
(2n − 1)2 π 2 B , v(z) = v(l) 1 − cos

l
 λc =
(2l)2
riottenendo i risultati già visti. Si consideri ora un caso non staticamente determinato come i
precedenti: una trave iperstatica incastrata a un’estremo, appoggiata all’altro, figura (7.7).
Figura 7.7: Trave incastrata-appogiata compressa.
Il bilancio meccanico non cambia tra configurazione di riferimento e possibile deformata:4
V
(l − z)
λ
In questo caso la soluzione dipende da tre parametri da determinare: c1 , c2 , V ; oltre alle costanti d’integrazione, infatti, in numero pari all’ordine della derivata massima dell’equazione
differenziale, compare anche il parametro d’indeterminazione statica V . Come in ogni applicazione dell’equazione della linea elastica, tuttavia, i parametri incogniti sono in numero pari alle
condizioni al contorno cinematiche da imporre

 c = c = V = 0∀λ
V
1
1
2
0
v(0) = −v (0) = v(l) = 0 ⇒
, v(z) =
l − z + sin(µz) − l cos(µz)
 µl = tan(µl)
λ
µ
H = λ, M = V l ⇒ Bv 00 (z) + λv(z) = V (l − z) ⇒ v(z) = c1 cos(µz) + c2 sin(µz) +
e, ancora una volta, si ha possibilità di biforcazione in corrispondenza dei carichi critici euleriani definiti implicitamente da µl = tan(µl); il primo si ricava per via numerica e vale
λc ≈ π 2 B/(0.7l)2 .
4
Questo deriva dalla presenza di vincoli fissi agli estremi, che non consentono bracci di leva alle forze di
compressione, come invece accade nel caso della mensola con estremo libero, visto appena prima.
7.3. INSTABILITÀ EULERIANA DI TRAVI COMPRESSE
135
Cambiando il tipo di vincolo, si dimostra che tutti i primi carichi critici hanno la forma
λc =
π2B
(βl)2
(7.18)
con β fattore che dipende dal tipo di vincoli, tabellato nei manuali tecnici. In generale, i fenomeni avvengono in spazio ambiente tridimensionale e nella formula del carico critico euleriano
(7.18) si pone B = EImin . Infatti, è sicuramente attorno all’asse d’inerzia minore (cioè di
rigidezza flessionale minore) che la trave compressa tenderà a sbandare per biforcazione dell’equilibrio elastico statico. Il fattore βl esprime la distanza tra due punti di flesso di una
semionda della forma deformata della trave (si ricordi che le deformate sono armoniche) e per
questo, come già accennato, si chiama lunghezza libera d’inflessione.
In ottica di verifica di stato limite, dal moltiplicatore di carico critico si ricava la tensione
normale corrispondente
σc =
π 2 E Imin
π2E
%2min
λc
2
=
=
π
=
E
A
(βl)2 A
(βl)2
ξ2
(7.19)
in cui %2min = Imin /A è il quadrato del raggio giratore d’inerzia minimo della sezione della trave
e si usa definire ‘snellezza della trave’ il parametro geometrico ξ = βl/%min . Si ha allora
σc =
π 2 E σamm
= ωσamm
ξ 2 σamm
(7.20)
in cui il coefficiente ω dipende dal materiale della trave (infatti include sia E che σamm ), dalla
sua geometria (include ξ e l) e dai vincoli cui è soggetta (include β). La (7.20) riporta quindi la
verifica nei confronti della biforcazione statica a una specie di verifica a tensione ammissibile,
mediata dal coefficiente ω, che tiene conto di tutti i fenomeni coinvolti e che si trova tabellato
nei manuali tecnici in funzione di materiale e snellezza della trave.
Capitolo 8
Esercizi di riepilogo
Esercizio 1 Con riferimento alla figura 8.1, si trovino gli spostamenti trasversali in corrispondenza dei punti B ed in D, se l = 2200 mm, E = 2 105 MPa, Ix = 1270 105 mm4 .
Figura 8.1: Esercizio 1.
Se il vincolo interno in C è un appoggio, il sistema è composto dalle travi ABC, appoggiata, e
DCE, incastrata, cioè staticamente determinate, una portante, DCE, e l’altra portata, ABC. Il
sistema è cinematicamente e staticamente determinato (isostatico) e si può trovare il suo stato
di sollecitazione sotto i carichi esterni tramite le sole equazioni di bilancio meccanico. Com’è
intuitivo, conviene studiare dapprima la struttura portata, poi la portante.
Figura 8.2: Reazioni vincolari su ABC e sollecitazioni agenti su CDE.
136
137
Le reazioni vincolari su ABC, mostrate nella figura 8.2 a sinistra, si ricavano facilmente, anche
per simmetria. Di conseguenza, il tratto DE risulta caricato come nella figura 8.2 a destra ed
è semplice tracciare i diagrammi di taglio e momento corrispondenti.
Per calcolare lo spostamento trasversale in D, si applica la formula di campionamento delle
componenti di spostamento, sollecitando virtualmente la struttura con una forza unitaria nel
punto in cui interessa il campionamento, come mostrato nella figura 8.3 a sinistra.
Figura 8.3: Sollecitazioni virtuali agenti su CDE.
Di conseguenza, si ottiene, nell’ipotesi di travi puramente flessibili,
Z
Z l
Z l
M ∗ (z)M (z)
z0
(z + l)wlz
5wl4
1 v(D) =
dz =
dz +
dz =
= 23.06 mm
B(z)
EIx
6EIx
T
0 EIx
0
Il segno positivo indica che v(D) è concorde alla forza campionatrice, verso il ‘basso’.
Per trovare lo spostamento trasversale in B è necessario considerare che anche C subisce
uno spostamento trasversale, che può essere visto come un cedimento vincolare dell’appoggio
interno. Calcoliamo quindi prima lo spostamento del punto C pensato appartenente a DCE,
ancora con la formula di campionamento delle componenti di spostamento, figura 8.3 a destra
Z l
Z
(z)wlz
wl4
M ∗ (z)M (z)
dz =
dz =
= 9.22 mm
1 v(C) =
B(z)
EIx
3EIx
0
T
Ancora, il segno positivo indica che v(C) è concorde alla forza campionatrice, verso il ‘basso’.
Per calcolare lo spostamento trasversale del punto B integriamo l’equazione della linea elastica,
imponendo le condizioni al contorno opportune grazie al risultato appena trovato
Bv 0000 (z) = −w,
v(0) = M (0) = M (2l) = 0, v(2l) = −v(C) ⇒ v(z) =
v(B) = v(l) = −
−12l3 wz + 4lwz 3 − wz 4
,
24EIx
3wl4
= −10.38 mm
8EIx
in cui il segno ‘meno’ indica verso discorde a quello positivo per v, quindi in ‘basso’, in accordo
con la fisica del problema. Si propone per esercizio la verifica che lo stesso risultato può
essere ricavato applicando ancora una volta la formula di campionamento delle componenti di
spostamento e che v(D), v(C) si possono ricavare con l’equazione della linea elastica.
138
CAPITOLO 8. ESERCIZI DI RIEPILOGO
Esercizio 2 Per la trave nella figura 8.4, si trovi la reazione esplicata da uno scorrimento
opportuno del martinetto in B tale che lo spostamento trasversale totale del punto C sia nullo.
Figura 8.4: Esercizio 2.
La trave è staticamente indeterminata: l’incastro è necessario e sufficiente per la determinazione cinematica e statica del sistema, quindi il dispositivo di vincolo in B è ridondante.
Trattandosi di un’apparecchiatura che controlla solo gli spostamenti trasversali, equivale a un
vincolo semplice cedevole, quindi il sistema ha una sola indeterminazione statica; si sceglie di
risolverla adottando il metodo delle forze sul sistema principale indicato nella figura 8.5.
Figura 8.5: Trave principale e metodo delle forze: sistemi “0” (sinistra) e “1” (destra).
Tuttavia, non abbiamo a disposizione lo spostamento effettivo del vincolo in B, in quanto esso è
cedevole e la sua reazione vincolare dipende con una legge non nota dal cedimento. Per risolvere
il problema occorre quindi usare l’altro dato cinematico, cioè che lo spostamento trasversale
in C sia nullo. Per trovare v(C) usiamo la formula di campionamento delle componenti di
spostamento; occorre introdurre un sistema virtuale che spenda lavoro su v(C), ma non è
necessario produrlo ex novo in quanto detto sistema virtuale coincide semplicemente col sistema
“0” riscalato di P . L’equazione che risolve il problema è dunque, per trave puramente flessibile,
Z
Z l1 +l2
Z l1
M0 (z) + XM1 (z)
Pz
l2 + ζ
∗
0 = 1 v(c) =
M (z)
dz =
z
+X
(−ζ)
dζ ⇒
B(z)
B
B
T
0
0
⇒X=
2P (l1 + l2 )3
= 50.5 kN
l13 (3l1 + l2 )
Esercizio 3 Nel sistema della figura 8.6, le travi sono puramente flessibili e hanno uguale
rigidezza flessionale, uniforme per le due; si determinino le reazioni in B ed in E.
139
Figura 8.6: Esercizio 3.
La trave ACB, portante, e la DCE, portata, sono appoggiate al ‘suolo’, quindi cinematicamente e staticamente determinate rispetto ai vincoli esterni. Esiste anche un vincolo interno di
appoggio puntiforme in C, in principio ridondante, che rende il sistema una volta iperstatico:
una parte del carico P sarà assorbita dalla trave DCE e un’altra sarà scaricata sulla trave ACB.
Figura 8.7: Travatura principale e metodo delle forze.


z
Pz




 − , 0<z<b
 2, 0 < z < b
2
M0 (DCE) =
,
M1 (DCE) =


P
(z
−
b)



 (b − z) , b < z < 2b
, b < z < 2b
2
2
ζ
(ζ − b)
M0 (ACB) = 0
M1 (ACB) = − , 0 < ζ < b,
M1 (ACB) =
, b < ζ < 2b
2
2
La soluzione del problema è affidata alla condizione di ripristino cinematico sullo spostamento
trasversale relativo del punto C, che dev’essere nullo per la presenza dell’appoggio interno
Z
Z
M0 (z) + V M1 (z)
M0 (ζ) + V M1 (ζ)
1 ∆v(C) =
M1 (z)
dz +
M1 (ζ)
ζ
B
d
DCE
ACB
P b3
⇒V = 3
= 17.86 kN
a + b3
140
CAPITOLO 8. ESERCIZI DI RIEPILOGO
Le reazioni in B e in E sono allora rispettivamente
P −V
V
RE =
= 4.57 kN,
RB =
= 8.93 kN
2
2
Esercizio 4 Per la trave nella figura 8.8, con rigidezza flessionale uniforme a tratti, in AC
doppia rispetto a CD, si determini lo spostamento trasversale massimo e dove esso è attinto.
Figura 8.8: Esercizio 4 e diagramma delle sollecitazioni interne relative.
Si tratta di una trave appoggiata, semplicemente isostatica, e il bilancio meccanico fornisce le
reazioni vincolari e le leggi delle sollecitazioni interne
PL
yA = yD = P,
M (AB) = −P z, M (BC) = −
, M (CD) = P (z − L)
3
Se la trave è puramente flessibile, l’equazione della linea elastica per il comportamento flessionale (3.6) dev’essere scritta per i tre tratti regolari per rigidezza e momento flettente
AB
BC
2Bv 00 (z) = P z
PL
2Bv 00 (z) =
3
CD
Bv 00 (z) = P (L − z)
P z3
P Lz 2 P z 3
P Lz 2
Bv(z) =
+ c1 z + c2
−
+ c5 z + c6
2Bv(z) =
+ c3 z + c4
6
2
6
6
Per selezionare l’effettiva soluzione tra le ∞6 primitive dell’equazione della linea elastica, si
devono imporre sei condizioni al contorno di compatibilità cinematica interna ed esterna
−
+
−
+
L
L
L
L
0
0
v(0) = 0,
v
=v
,
v
=v
,
3
3
3
3
−
+
−
+
2L
2L
2L
2L
0
0
v
=v
,
v
=v
,
v(l) = 0
3
3
3
3
2Bv(z) =
da cui si ricava il valore delle sei costanti e i campi spostamento trasversale

2
3

 P z − 5P L z
AB,



12B
81B



P Lz 2 29P L2
P L3
v(z) =
−
+
BC,

12B
324B
324B




2
3
2
3


 P Lz − P z − 137P L z + 29P L CD
2B
6B
324B
324B
141
Imponendo che si annulli la derivata prima dei campi v(z) ed eliminando le soluzioni inaccettabili, al di fuori dei dominı̂ di definizione dei campi, si ha la risposta al problema posto
zmax =
29L
,
54
v(zmax ) = −
733P L3
34992B
Esercizio 5 Nella trave della figura 8.9, trovare lo spostamento in C nella direzione del carico
P , essendo d = 15.6 mm, P = 140 N, E = 2 105 MPa, G = 78 103 MPa.
Figura 8.9: Esercizio 5.
Il carico provoca flessione e torsione del tratto AB e flessione del tratto BC, che si possono
trovare facilmente con le equazioni di bilancio meccanico, in quanto la trave è isostatica
Mt (AB) = P L,
Mf (AB) = P (L − z),
Mf (BC) = P (L − ζ)
Si usa la formula di campionamento di spostamento: occorre un campo di sollecitazioni virtuali,
che non è necessario introdurre ex novo in quanto si può usare lo stesso dovuto al carico, riscalato
di P . La formula fornisce, posto Ip = π(d/2)4 /2, I = π(d/2)4 /4,
Z L
Z L
Z L
P (L − z)
P (L − ζ)
PL
(L − z)
(L − ζ)
1 v(C) =
L
dz +
dz +
dζ = 4.43 mm
GIp
EI
EI
0
0
0
Esercizio 6 Per il sistema nella figura 8.10, si trovino le reazioni in A e in D, essendo δ =
1, 2 mm, I = 520.8 103 mm4 , E = 2.1 105 MPa e nell’ipotesi di travi puramente flessibili.
Finché AB non tocca CD, a seguito della deformazione elastica causata dal carico applicato,
esse rimangono due travi incastrate isostatiche. Quando AB tocca CD si determina un vincolo
aggiuntivo interno di appoggio e il sistema diventa staticamente indeterminato, con una reazione
vincolare ridondante in C. Si risolve il problema con il metodo delle forze, scegliendo come
sistema principale quello composto dalle due travi incastrate. Si ricava facilmente che
M0 (AB) =
w(l1 − z)2
,
2
M1 (AB) = z − l1 ,
M0 (CD) = 0,
M1 (CD) = ζ
Nell’equazione di ripristino cinematico, o di Müller-Breslau, la condizione da imporre è che lo
spostamento relativo tra i punti B e C sia pari al gioco δ iniziale, in quanto, superato questo, i
142
CAPITOLO 8. ESERCIZI DI RIEPILOGO
Figura 8.10: Esercizio 6.
due punti coincidono
l1
Z
1 [v(B) − v(C)] = δ =
0
M0 (z) + XM1 (z)
M1 (z)
dz +
B
Z
l2
M1 (ζ)
0
M0 (ζ) + XM1 (ζ)
dζ
B
⇒ X = 8.56 kN
da cui si risale ai valori delle reazioni ricercate:
VA = 3.44 kN,
MA = −1.02 kN m,
VD = 8.56 kN,
MD = 2.14 kNm
Capitolo 9
Riferimenti bibliografici
1. R.C. Hibbeler, Introduzione alla meccanica dei solidi e delle strutture (a cura di M. De
Angelis, G. Ruta), Pearson Italia, Milano 2010
2. M. Celli, I. Del Vescovo (supervisione di G. Ruta), Appunti delle lezioni di Meccanica dei
solidi, editoriale Università “La Sapienza”, Roma 2010
3. V.I. Feodosev, Resistenza dei materiali, Editori Riuniti/Edizioni Mir, Roma 1977
4. G. Ceradini, Scienza delle costruzioni, Masson editoriale ESA, Milano 1992
5. C. Gavarini, Lezioni di scienza delle costruzioni, Masson editoriale ESA, Milano 1996
6. A. Luongo, A. Paolone, Scienza delle costruzioni, Zanichelli – CEA, Milano 2004, 2005
7. C. Comi, L. Corradi dell’Acqua, Introduzione alla meccanica strutturale, McGraw-Hill,
Milano 2003
8. A. Carpinteri, Scienza delle costruzioni, Pitagora editrice, Bologna 1992
9. E. Viola, Scienza delle costruzioni, Pitagora editrice, Bologna 1992
10. M. Capurso, Scienza delle costruzioni, Pitagora editrice, Bologna 1971
143

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