Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) Metodologie di calcolo 1. Metodi di verifica e dimensionamento 2. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali 3 3. Il metodo di Ivanov o della massima deflessione 4. Metodo agli elementi finiti 5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 1. Metodi e fattori del dimensionamento Il calcolo delle pavimentazioni stradali ha originato una molteplicità di metodi che possono essere raggruppati in: Metodi empiricoempirico-sperimentali: sperimentali: derivano dalle indagini condotte su piste sperimentali e dalle correlazioni tra le deformazioni o i decadimenti misurati sulla pista con le condizioni di carico imposte (numero e peso degli assi), gli spessori degli strati, le caratteristiche dei materiali e dei sottofondi. I risultati vengono presentanti come abachi, tabelle e equazioni interpolanti i dati sperimentali e utilizzabili in fase progettuale. Il metodo empirico per eccellenza è quello proposto dall’AASHTO che, a partire dagli anni ’60, ha messo a punto un espressione analitica che interpreta una notevole serie di misure sperimentali. L’espressione è stata recentemente (’93) aggiornata introducendo alcune importanti modifiche che la rendono più “razionale” (alcuni coefficienti possono essere ricavati direttamente dalle teoria della meccanica del continuo) e innovativa con l’introduzione del modulo resiliente per caratterizzare il sottofondo e, soprattutto, del concetto di “affidabilità” Metodi semi semi--empirici: derivano da un’analisi teorica semplificata all’interno della quale vengono introdotti parametri e coefficienti correttivi per ottenere la massima rispondenza tra il modello teorico e i dati misurati. Tra questi si ricordano il metodo di del CBR, di Goldbeck e dell’Indice di gruppo. Metodi razionali razionali:: i metodi precedenti hanno il pregio di derivare da indagini sperimentali ma cadono in difetto poiché non consentono di tener conto di molti parametri come la frequenza di carico, la temperatura, le condizioni di vincolo, il reale comportamento elasto-plasto-viscoso dei materiali, la direzione e dinamicità dei carichi, etc. Tra i metodi razionali hanno grande importanza il metodo del multistrato elastico (del quale verrà analizzata un’applicazione proposta da Ivanov) Ivanov e più recentemente il metodo agli elementi finiti FEM. FEM Il primo, ricorre ad una serie di ipotesi semplificative, per dedurre alcune semplici equazioni risolubili in modo iterativo. Nel metodo FE si rinuncia alla precisione assoluta dei risultati al di fuori dell’elemento finito ma in compenso non esistono limitazioni nell’analizzare qualunque configurazione di carico, di materiali, vincoli, etc., anche le più bizzarre. 1 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 1. Metodi e fattori del dimensionamento Tutti i metodi di dimensionamento considerano come dati di ingresso i seguenti parametri: •Spessore degli strati (si) •Caratteristiche dei materiali (ai, di, Ei, i, etc.) •Vita utile (n, Nu, etc.) •Caratteristiche del sottofondo (CBR, K, Md, Mr, etc.) •Caratteristiche degli assi (Ceq, P, d, etc.) •Entità del traffico (TGM, p%, pl, na, pd, N, r, etc.) •Sollecitazioni termiche (T, Tm, etc.) •Condizioni ambientali (pioggia, vento, irragg., etc.) •Decadimenti, sforzi e deformazione limite (n, n, PSI, fatica, freccia limite, etc.) N 365TGM pd p pl d Ceq na f 2 pa 8 E0 3 (1 r)n 1 r ns1 1 1 3.5 arc tan n 2 2a logW 18 Z R S 0 9.36log SN 1 0.20 8 3 ∆PSI log 4.2 1.5 2.32logM 1094 0.40 SN 1 5.19 R 8.07 Molto utili in fase di predimensionamento risultano essere i cataloghi delle pavimentazioni, che propongono una serie di soluzioni preordinate in funzione dell’entità del traffico, dei sottofondi, della tipologia di sovrastruttura e strada. In Italia è stato redatto dal CNR il “Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali”BU 168/95. Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 2. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali 2 2. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali 2. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali 3 2. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali 2. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali 4 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 2. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali 5 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 2.- Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali Ad esempio, per strade extraurbane principali a forte traffico, una sovrastruttura flessibile avrà gli strati superficiali di 5 e 6 cm, la base compresa tra 14 e 23 cm, la fondazione di 15 cm; nel caso sia di tipo semirigido lo strato di usura è di 5 cm, quello di collegamento variabile tra 5 e 11 cm, la base in misto bitumato assente o, se presente, fino a 10 cm, la base in misto cementato compresa tra 20 e 30 cm, la fondazione assente; infine se di tipo rigido sarà realizzata una lastra di 22 - 25 cm armata o no, poggiata su d di u uno o sstrato aod di misto s o ce cementato e aod di 15 5 ccm e u una a fondazione o da o e d di misto sog granulare a ua e d di 15 5 ccm. C Ciascun ascu tipo po di sovrastruttura è caratterizzato da meccanismi di rottura differenti. Per le sovrastrutture flessibili accade spesso che i fenomeni di fatica siano quelli che generalmente portano a collasso l’infrastruttura. Questi si manifestano con fessure che, partendo dall’interfaccia tra strato di base e fondazione, si propagano verso l’alto sino ad interessare gli strati superficiali; con il progredire del fenomeno la miscela si degrada perdendo le caratteristiche meccaniche iniziali e riducendo la portanza dell’intera opera. Per questo tipo di sovrastrutture è importante evitare l’accumulo eccessivo di deformazioni plastiche con l’insorgere di ondulazioni, buche e ormaie. Più rara è la rottura per punzonamento che si manifesta con uno sfondamento repentino della superficie viabile. Nelle pavimentazioni semirigide i fenomeni sono più complessi. Talvolta si assiste a una fessurazione diffusa riconducibile al basso contenuto di legante e all’applicazione a app ca o e de dei ca carichi c qua quando do a ancora co a non o è co completo p e o il p processo ocesso d di maturazione a u a o e de del materiale. a e a e In a altri casi si assiste ad una fessurazione localizzata che si produce nel materiale a causa del ritiro e delle sollecitazioni termiche. Tali fessure sono regolarmente distribuite di ampiezza ed interasse costante, in funzione delle caratteristiche del materiale e delle condizioni climatiche in esercizio. Uno stato critico si verifica quanto tali fessure si propagano allo strato superiore di conglomerato bituminoso. Le pavimentazioni di tipo rigido in lastre di conglomerato cementizio manifestano una più varia gamma di ammaloramenti. La fessurazione delle lastre può essere conseguenza dai fenomeni di ritiro igrotermico, imputabile all’eccessivo distanziamento dei giunti di contrazione. La insufficiente portanza del piano di posa della lastra determina una fessurazione estesa, con la formazione di blocchi separati, o in prossimità del giunto di fenomeni di fatica. Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione Negli anni sono stati messi a punto una serie di metodi razionali per il calcolo delle sovrastrutture che hanno come punto di partenza l’impostazione data da Boussinesq. Una di queste metodologie particolarmente diffusa è dovuta a Ivanov e si basa sul criterio di limitare la massima deflessione che si verifica al termine della vita utile sulla pavimentazione. Il metodo si sviluppa dapprima attraverso la semplificazione delle espressioni proposte da Boussinesq, arrestando al primo p z termine il loro sviluppo in serie. In particolare per le tensioni verticali sia ha: 2 La freccia massima vale: f 0 8 posto risulta 2 3 2 z E dz 8 z 3 2a E 8/3 2 pa pd f E E Consideriamo ora un doppio strato: 1 pa Il valore differisce da quello già calcolato per la determinazione del modulo E valida per un carico trasmesso da piastra rigida. pa 2 f (1 ) 2 E Il cedimento totale sarà la somma di quello dovuto allo strato t t di spessore s1 e di quello ll dell’ammasso d ll’ semii infinito s1 f f1 f 0 1 E 0 con z dz 1 0 E ns1 dz 0 p 2 8 nz 1 3 2a 6 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione È stato introdotto un parametro n di equivalenza tra il modulo E0 dell’ammasso e il modulo E1 dello strato 1 di spessore s1. In altri termini il problema sarebbe ricondotto al caso di ammasso semi-infinito se fosse possibile sostituire allo strato 1 di modulo E1 uno strato di spessore ns1 di modulo E0, con gli stessi cedimenti totali. Si tratta di porre in eguaglianza i due cedimenti nelle due differenti situazioni. In base della teoria dell’elasticità n assume il seguente t valore: l n 3 E1 E0 In genere, a favore delle sicurezza, si pone: n f Svolgendo le integrazioni e sommando si ottiene 2 pa 8 E0 3 n s1 1 1 3 .5 a rc tan n 2a 2 2 .5 E1 E0 8 3 Il metodo procede con il calcolo del cosiddetto modulo equivalente, ossia del modulo di uno strato semi-infinito Ee con lo stesso cedimento di uno strato s1 E1 poggiante su un mezzo semi-infinito E0. In altri termini: f(E f( E ,a) = f( f(E E , E s a,n) 0 strato seminfinito Dalla soluzione di questa equazione si ha: E0 ns 2 1 8 1 3 .5 a rc ta n 1 1 n 2a 3 E e' 0 1, 1, doppio strato Tuttavia, Ivanov suggerisce di utilizzare l’espressione: E e' E0 2 1 ns 1 1 3 . 5 arctan 1 n 2a Da questa espressione deriva la definizione del modulo di elasticità di un ammasso indefinito fittizio equivalente all’insieme del sottofondo e dello strato di spessore s1. Il metodo è suscettibile di iterazione, consentendo così di sostituire ad un insieme di più strati un ammasso ideale indefinito. Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione f pd Ee 7 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione Si procede dal basso verso l’alto trasformando lo strato più profondo (s1, E1) e l’ammasso sottostante (E0) in un ammasso indefinito equivalente (Ee). Questo poi verrà combinato con il penultimo strato (s2, E2), e così via fino all’ultimo strato. Quanto illustrato è valido nell nell’ipotesi ipotesi che il carico per ciascun bistrato sia distribuito su un area circolare di diametro d. Il calcolo può avere una diversa impostazione, considerando che le pressioni si distribuiscano secondo una particolare legge. Nell’ipotesi che la freccia rimanga costante e che le pressioni si distribuiscano uniformemente si ha: E0 d0 Ee' d1 Ee''d2 E p d In questo caso il calcolo inizia dall’alto fissando Ep e di, valutando ogni volta il valore di si/di. Il valore di viene fornito dalla precedente espressione. Si troverà un valore per il modulo del sottofondo che dovrà risultare inferiore a quello che effettivamente si riscontra nella realtà, altrimenti occorrerà ripetere la verifica modificando gli spessori e i moduli degli strati. Quest’ultima impostazione è più cautelativa della precedente in quanto a parità di E0 conduce ad un valore di Ep inferiore. Il calcolo può essere agevolmente condotto con l’impiego dell’abaco di Kogane. In funzione del rapporto s1/d e E0/E1 si individua sull’abaco un punto. Si assume come valore Ee/E1 quello della curva che meglio approssima il punto. Si ripete il calcolo con s2/d ed Ee/E2 e così via per tutti gli strati pervenendo in tal modo al modulo equivalente dell’intera sovrastruttura. Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione 8 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione Per poter condurre il calcolo di verifica occorrerà confrontare il modulo equivalente così determinato con il modulo di progetto globale che la sovrastruttura dovrà possedere in relazione al tipo di strada, di traffico e dei materiali impiegati. Tale modulo potrà essere determinato sulla base delle espressioni già viste che lo legano alla massima deflessione dello strato superficiale. Questa a sua volta dipenderà dal numero di assi equivalenti N che si ipotizza transiteranno sulla strada. p pressione di gonfiaggio del pneumatico (circa 8 daN/cm²) daN/cm ) d diametro di impronta supposta circolare (circa 30 cm) f freccia massima ammissibile Ee pd f La freccia massima ammissibile risulta dipendente da numero N di assi equivalenti all’asse standard (in un giorno e per corsia) che transiteranno sulla strada all’anno n, termine della vita utile. Esistono diverse formule che esprimono questo legame. Una di queste è la seguente: f 0 .1 7 0 .0 2 6 lo g ( N ) Il porre un limite superiore alla massima deflessione corrisponde ad limitare inferiormente il modulo di progetto dell’insieme sovrastruttura-sottofondo. Se, ad esempio, si ipotizzano 1500 assi equivalenti da 10 t, la massima freccia ammissibile sarà: f 017 . 0.026 log(1500) 017 . 0.0826 0.0874 mentre per il modulo di progetto è: Ep 8 30 pd 2746 0.0874 f cm daN cm 2 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione Ivanov propone per Ep i valori in tabella: In sintesi il metodo procede secondo il seguente schema: INPUT: OUTPUT: spessori degli strati si moduli degli strati Ei modulo del sottofondo E0 modulo equivalente Ee della sovrastruttura La verifica sarà positiva quando: Ee > Ep Stato tensionale negli strati della sovrastruttura secondo la teoria del multistrato elastico Oltre ai carichi derivanti dal traffico è stato illustrato come anche le escursioni termiche stagionali inducono stati tensionali notevolmente variabili. Il comportamento del conglomerato bituminoso dipende oltre che dai carichi, dalla temperatura, dal numero di ripetizioni del carico e dalla loro frequenza. Numerosi studi anno mostrato che nel periodo invernale, in cui si verificano degli strati bitumati moduli più elevati, le maggiori sollecitazioni per trazione si verificano sul piano inferiore dello strato di base, mentre sulla superficie del manto si verificano tensioni di compressione. Inoltre durante la fase di frenata la superficie del manto e sottoposta a sollecitazioni di trazione. 9 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione Il metodo di seguito riportato consente di ricavare la massima tensione di trazione per flessione alla base di uno strato si spessore s1 e modulo E1, nell’ipotesi che poggi su un piano posa di modulo Ee. Il metodo ha il pregio di essere collegato a quello di Ivanov. Supponiamo di aver determinato attraverso questo metodo il modulo Ee tra gli strati di base e fondazione. Il seguente abaco fornisce il valore di r (valore massimo della trazione in corrispondenza dell’asse del carico). I dati di partenza sono: E1/Ee rapporto tra modulo degli strati superficiali e modulo equivalente dello strato su cui poggiano; s1/d rapporto tra lo spessore strato superficiale e il diametro dell’area impronta, supposta circolare; p massima pressione di gonfiaggio Nell’ abaco si parte con s1/d sino alla curva relativa al valore di E1/Ee. Sull’asse delle ordinate è possibile leggere il valore della adimensionale, da cui ricavare r r p Nello stesso diagramma sono riportate le rette di p che forniscono direttamente il valore di r Tale valore deve essere confrontato con quello ammissibile Rr che, sulla base di indagini sperimentali, può assumersi in base al seguente diagramma in funzione dell’intensità del traffico pesante. La verifica sarà positiva quando: r Rr Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione Progetto di una sovrastruttura semirigida per una strada extraurbana secondaria ordinaria CARATTERISTICHE DELLA CORRENTE VEICOLARE traffico giornaliero medio 16800 vita utile 30 traffico commerciale 0.15 traffico per senso di marcia 0.50 traffico per corsia lenta 0.95 dispersione delle traiettorie 0.80 Coeff. equivalenza veic.commerciale - asse standard 0.625 tasso di accrescimento annuo del traffico 0.02 Modulo di deformazione del sottofondo Md 420 Kg/cm² (CBR 8%) Numero dei cicli di carico equivalenti all’anno iniziale: N 0 365 16800 0 .15 0 . 50 0 . 95 0 .80 0 .625 218453 Numero dei cicli di carico equivalenti q anno finale: N n 218453 (1 0 . 02 ) 30 395696 Numero assi equivalenti per giorno e per corsia all'anno finale: Numero di assi cumulati durante la vita utile: Nc N0 Ng n 395696 / 365 1084 (1 r ) n 1 (1 0 . 02 ) 30 1 218453 8862201 r 0 . 03 Numero di veicoli cumulati durante la vita utile: VC c N c / C eq 8862201 14179522 (valore di ingresso nel Catalogo Italiano delle Pavimentazioni) 0 . 625 10 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione In genere non si ha l’esatta corrispondenza tra i dati in ingresso e quelli che il Catalogo propone. Occorrerà scegliere la soluzione che più si avvicina rimandando ai calcoli specifici l’eventuale riduzione o incremento degli spessori. La soluzione del Catalogo che più si avvicina ai dati del nostro esempio (Strada extraurb. Second. ordinaria VCc=14 .179.522, Md = 420 kg/cm2, CBR = 8%) è quella mostrata in figura: n 2.5 Ee E1 2.5 25000 6.09 Ee 273 1a iterazione E0 273 1758.3 sn 20 6.09 2 1 2 1 ) arctan 1 (1 3.5 ) arctan 1 (1 3.5 n 2 15 6.09 2a n 2 .5 E1 2.5 12000 2.16 Ee 1758 2a iterazione E0 1758 Ee 2669.0 2 1 sn 2 1 9 2.16 1 (1 3.5 ) arctan 1 (1 ) arctan 3 .5 n 2a 2.16 2 15 n 2.5 Ee E1 2.5 12000 1.82 2669 Ee 3a iterazione Il modulo di elasticità E del sottofondo è assunto pari a: E0 0.65 Md 0.65 420 273 Poiché lo strato di usura è soggetto a “consumo” consumo da parte dell’azione veicolare, si preferisce non considerare il suo contributo alla rigidezza complessiva della sovrastruttura 2669 E0 3194.3 1 2 1 sn 5 1.82 1 (1 3.5 ) arctan 1 (1 ) arctan 3.5 2a 1.82 n 2 15 2 N.B. Tutti i valori sono in cm e kg/cm2 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione La freccia ammissibile al termine della vita utile vale: f 0.17 0.026 log(1084 ) 0.0911 cm pd 8 30 kg Ep 2634.8 f 0.0911 cm 2 La verifica è positiva: Ee > Ep ( 3195 > 2635 ) La tensione r alla base dello strato in misto bitumato sarà determinata, a partire dai rapporti: E1/ Ee = 12000/1759 = 6.82 s1 /d =9/30 = 0.3 per i quali l’abaco fornisce r= 14.4 Kg/cm² Sullo strato di binder si ha: E1/ Ee = 12000 / 2667 = 4.5 s1 /d = 5/30 = 0.167 l’abaco fornisce r = 11.6 Kg/cm² I valore di resistenza ammissibile non risulta verificato per lo strato di base dove si verifica una t = 14.4 maggiore del valore ammissibile di 12.0 kg/cm2 11 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione Nonostante la verifica, secondo il metodo di Ivanov ,sia positiva, lo stato tensionale r supera il limite ammissibile Rr. È necessario modificare la soluzione iniziale al fine di ridurre lo stato tensionale sul misto bitumato. Si può procedere in diversi modi: • Modificare i rapporti di input all’abaco; • Migliorare le prestazioni dei conglomerati bituminosi; • Aumentare lo spessore di misto bitumato; • Modificare gli spessori degli strati; • Migliorare il modulo di elasticità del sottofondo; • Introdurre lo strato di fondazione. Alcune considerazioni possono aiutare nella scelta: • Aumentare lo spessore del misto bitumato significa modificare il rapporto s1 /d = 0.3 in ad es. 0.5. In questo caso sarà necessario uno strato di 15 cm di m.b. con un aggravio notevole dei costi. • Aumentare la rigidezza del piano di posa su cui poggia il m.b. da 1759 ad es. a 3000. Ciò può essere fatto modificando lo spessore del m.c. (diventerebbe di circa 35 cm) o in modo più economico introducendo uno strato di fondazione di 20 cm. • Migliorare le caratteristiche del misto bitumato ad esempio introducendo bitumi modificati con un discreto incremento di costo In sintesi la deficienza della pavimentazione analizzata nell’esempio può ricercarsi nella mancanza dello strato di fondazione.. Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali La teoria del multistrato elastico, della quale il metodo di Biroulia-Ivanov precedentemente esposto rappresenta una delle applicazioni più diffuse, è stato nel corso degli anni esteso fino a comprendere condizioni di carico più complesse. Oggi sono disponibili codici di calcolo che consentono di valutare in qualsiasi punto della sovrastruttura tensioni e deformazioni derivanti da qualsiasi configurazioni dei carichi esterni. Questa analisi viene correntemente utilizzata per valutare il contributo di ciascuno strato alla resistenza complessiva ed ottimizzare in tal modo il comportamento strutturale della sovrastruttura. Nonostante il metodo offra efficienti risoluzioni alla determinazione dello stato tensodeformativo, esso presenta ancora numerose vincoli che limitano il suo campo di applicazione: 1. l’impossibilità di analizzare pavimentazioni di dimensioni finite; ciò può essere trascurato nelle sovrastrutture flessibili e semirigide, per carichi lontani dal bordo, in quanto la dimensione longitudinale può essere considerata indefinita. Nelle lastre in calcestruzzo di tipo tradizionale tale approssimazione introduce errori non trascurabili; in esse inoltre non è possibile studiare l’effetto della presenza dei giunti o d possibili lesioni; 2 2. l impossibilità di valutare le conseguenze di una parziale perdita del contatto tra i diversi strati l’impossibilità della sovrastruttura, a causa delle deformazioni plastiche del sottofondo. Questo aspetto limita ulteriormente l’applicazione del metodo sovrastrutture rigide e in misura ancora maggiore se in presenza di fenomeni di pumping o di deformazioni termiche; 3. l’impossibilità di condurre il calcolo in presenza contemporaneamente di carichi esterni e gradienti termici; 4. l’eccessiva approssimazione del modello conseguente all’introduzione del sottofondo come un semispazio elastico. 12 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali Tali limitazioni sono state superate con la messa punto di codici di calcolo strutturale agli elementi finiti. I numerosi modelli sviluppati possono classificarsi in base alla schematizzazione operata: 1. modello a lastra: la sovrastruttura viene considerata una lastra sottile di dimensioni finite poggiante su un sottofondo alla Winkler; questo consente di tenere conto del grado di compartecipazione delle lastre, delle loro deformazioni termiche anche nel caso di parziale contatto tra la lastra e il piano di posa; 2. modelli bidimensionali: la sovrastruttura viene analizzata nella sua sezione trasversale; con tale schematizzazione non è possibile tener in adeguato conto della presenza dei giunti, così come non è possibile introdurre componenti di carico longitudinali che simulano azioni tangenziali di accelerazione o decelerazione; 3 modelli 3. d lli assialsimmetrici: i li t i i in i questi ti la l sovrastruttura t tt viene i schematizzata come un sistema multistrato a simmetria rotazionale caricata assialmente; anche in questo caso non è possibile considerare la presenza di discontinuità o di lastre caricate sul bordo; 4. modelli tridimensionali: in questi essendo possibile inserire l’effettiva configurazione geometrica e di carico forniscono i risultati più accurati e completi. La sua elevata complessità e onere di calcolo fa si che non trovi applicazione nei normali lavori di routine. Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali L’importanza di questi metodi risiede nella varietà delle situazioni che possono essere studiate, consentendo uno studio più approfondito dell’influenza delle discontinuità, di lesioni, di giunti, stati di deformazione termica, presenza di materiali a comportamento non lineare, etc etc. I metodi agli elementi finiti sono una serie di tecniche atte ad approssimare le equazioni differenziali che governano un sistema continuo con un sistema di equazioni algebriche in un numero finito di i incognite. it Il successo di questi ti metodi t di è dovuto, d t soprattutto, tt tt alla ll facilità f ilità con cuii essii possono essere tradotti in programmi di calcolo, nonché alla versatilità nella geometria del mezzo continuo modellato, dei possibili carichi agenti, dei vincoli, dei materiali, etc., ma anche all’attendibilità dei risultati ottenibili. Il primo passo è rappresentato dalla discretizzazione del mezzo continuo in oggetto. Si tratta di suddividere il dominio in sottodomini, detti elementi finiti, e scegliere dei punti chiamati nodi sul confine di elementi contigui o all’interno degli elementi. Gli spostamenti e/o gli sforzi nei nodi sono le incognite, mentre in un punto generico lo stato tenso-deformativo viene dedotto dalle variabili nodali mediante interpolazione. Infine le equazioni algebriche risolventi sono generate mediante l’impiego di un principio variazionale (ad esempio il Principio delle Minima Energia Potenziale Totale). 13 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali Principi generali del metodo degli spostamenti. spostamenti. Nel metodo degli spostamenti si assumono come incognite parametri di spostamento in certi punti. Noti questi, mediante le relazioni di congruenza si valutano le deformazioni e da queste gli sforzi in base alle leggi costitutive dei materiale. Il Principio c p o de dellee Minima Energia e g Potenziale oe e Totale o e assicura ss cu cchee l’energia e e g po potenziale e e totale o e de della struttura discretizzata è maggiore di quella corrispondente alla deformazione effettiva. Al crescere del numero degli elementi l’energia potenziale totale converge al suo valore esatto. Nel metodo degli spostamenti la matrice di rigidezza dalla struttura viene costruita sovrapponendo per ogni nodo il contributo della matrici di rigidezza dei singoli elementi. 1. 2. 3. 4.. 5. 6. 7. Fasi del metodo: discretizzazione del corpo, cioè scelta di elementi tra loro connessi in certi punti nodali; determinazione delle matrici di rigidezza degli elementi e dei vettori di forza nodali; assemblaggio sse b gg o de dellee matrici c d di rigidezza g de deg degli eelementi e e e dei de vettori ve o delle de e forze o e nodali od per pe l’intero e o sistema di elementi e nodi (equazioni del sistema); introduzione delle condizioni al contorno; soluzione delle equazioni risultanti; calcolo delle deformazioni e degli sforzi in base agli spostamenti nodali. Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali Semplice esempio numerico numerico.. Il metodo agli elementi finiti viene illustrato con riferimento ad un caso estremamente semplice di cui si conosce la soluzione esatta, ossia quello di un’asta a sezione uniforme A incernierata ad un estremo, soggetta al peso proprio e a una forza assiale, F, nell’altro estremo. La trattazione viene condotta in campo elastico, nell’ipotesi, quindi, di perfetta linearità tra sforzi e deformazioni. Si è stabilito un sistema di riferimento globale diretto come l’asta e con origine nella cerniera. Si farà ricorso, inoltre, ad un sistema di riferimento locale, valido cioè per ciascun elemento, con origine nel primo estremo dell’elemento finito. Con ed E si sono indicati il peso specifico e il modulo di elasticità del materiale. 14 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali La (5) e la (6) rappresentano la formulazione esatta del problema. Applichiamo ora un principio variazionale; uno dei più utilizzati è il Principio della Minima Energia Potenziale p “L’energia potenziale di una qualunque configurazione deformata, equilibrata e congruente, rappresenta un limite superiore alla p della soluzione esatta”. L’espressione dell’energia potenziale nel nostro esempio è fornita da tre contributi. Il primo esprime l’energia accumulata sottoforma di deformazione elastica del generico elementino; il secondo rappresenta la perdita di energia potenziale per l’abbassamento di tale elementino; infine, il terzo contributo è l’energia potenziale persa per l’abbassamento del punto di applicazione della forza F. Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali Soluzione approssimata approssimata.. Operiamo ora un discretizzazione agli elementi finiti. Suddividiamo l’asta L in tre elementi di lunghezza l. Esprimeremo lo spostamento di un nodo interno in funzione degli spostamenti nodali, ipotizzando per esso un andamento lineare tra i due estremi i e j. j Talvolta si utilizzano funzioni di tipo quadratico o di ordine maggiore, che consento di ottenere risultati più precisi ma che aumentano i gradi di libertà del sistema. Nell’ipotesi di deformazione lineare a tratti, si può scrivere la relazione che lega il generico spostamento di un punto agli spostamenti dei punti estremi dell’elemento a cui appartiene: 15 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali Occorre ora ricercare l’insieme di valori di u2, u3, u4 che renda minimo il valore dell’energia potenziale p del sistema. Questo può essere fatto imponendo che: Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali Confronto tra la soluzione esatta e quella approssimata. approssimata. Il diagramma a lato mostra il confronto tra la soluzione esatta e quella approssimata. In ascisse è riportata la posizione corrente x in un dato punto mentre in ordinate il valore assunto dallo spostamento u. u Se per esempio l’asta fosse una barra d’acciaio di FeB44 K Ø18, sollecitato da una forza di 1000 kg, della lunghezza di 6 m, si avrebbe: A = 2.54 cm² F = 1000 kg L = 600 cm l = 200 cm E = 2060000 kg/cm² = 0.00785 kg/cm34 16 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali 0 Se è presente una differenza di temperatura t, il legame - diviene: x x 0 Ripercorrendo gli sviluppi già illustrati nel precedente caso si ha: x x che integrata g fornisce: u 1 E x2 x ( Lx 2 ) x tx x E con x0 x t 1 ( L x ) x t E I calcoli procedono poi come già mostrato. L’esempio illustrato è estremamente semplice sia per la geometria e le caratteristiche dei materiali, sia per il numero di nodi ed elementi utilizzati. Nella realtà una sovrastruttura stradale è un sistema tridimensionale con una geometria abbastanza semplice ma costituito da materiali elesto-plasto-viscosi. Nel passare dal caso monosimensionale a quello 3) Relazioni di congruenza: trimensionale le relazioni (1), (2), (3), (4) divengono: u u v x xy x y x 1) Equazioni di equilibrio: 2) Legame costitutivo del materiale: v w v y yz 2 2 2(1 ) x y y z 0 0 0 xy zx bx 0 1 2 x 1 2 1 2 x x y y u w w 2(1 ) 2 zx 0 0 0 x z z xy y x z x 1 2 1 2 zy by 0 x x 2 4) Condizioni al contorno: y x y 0 0 0 xy 1 2 zx z xy p bz 0 zy 1 0 0 yz x x l xy m zx n yz y y x zx simm. 1 0 zx 1 p y xy l y m yz n pz zx l yz m z n Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali L’espressione dell’energia potenziale diviene in tal caso molto più complessa così come il numero dei gradi di libertà del sistema cresce enormemente (non è raro il caso di sistemi con oltre 50.000 componenti di spostamento nodali). È per tale motivo che i metodi agli elementi finiti hanno potuto essere efficientemente sviluppati solo con l’avvento dei moderni elaboratori elettronici. Nel caso di stato di sforzo p piano g gli elementi utilizzati sono rettangolari g o triangolari g di vario ordine,, così come nelle strutture tridimensionali vengono spesso utilizzati elementi tipo brick, prismatici o tetraedrici. Le immagini mostrano alcuni elementi finiti usati. 17 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali Per meglio comprendere come si distribuiscono gli sforzi e le deformazioni, vengono riportati i risultati della simulazione FEM di una sovrastruttura semirigida sollecitata da un asse standard di 12 t. Le analisi si basano sull’ipotesi di comportamento elastoplastico dei vari strati, rappresentabile tramite il modello DRUCKER-PRAGER. C AG Il materiale non modifica le sue capacità durante il procedere della sollecitazione, non è soggetto cioè ad incrudimento. Per i segni degli sforzi e delle deformazioni, si fa riferimento alle usuali convenzioni della scienza delle costruzioni dove gli sforzi di trazione e le deformazioni di allungamento vengono considerati positivi. Si deve sottolineare che le sollecitazioni, soprattutto nei primi elementi degli strati superficiali, sono estremamente sensibili alle modalità di applicazione del carico e in particolare alla rigidezza del sistema utilizzato per trasmetterlo. Le caratteristiche della sovrastruttura semirigida analizzata sono mostrate in figura. Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione Sulla superficie grava un carico di 120.000 N (12 t), ripartito sulle 4 aree di impronta dei battistrada delle ruote gemellate che costituiscono l’asse standard. L’elemento finito scelto per rappresentare il materiale e la geometria della pavimentazione è un elemento tipo PLANE. PLANE La geometria del modello è mostrata in figura. La struttura è stata supposta incastrata sul piano inferiore del sottofondo e semplicemente confinata sui contorni laterali. Il metodo agli elementi finiti tende alla ricerca di soluzioni esatte in corrispondenza dei nodi degli elementi. Gli errori o meglio le approssimazioni che si realizzano con tale metodo divengono via meno significative all’aumentare del numero dei nodi e al diminuire della loro distanza. Tuttavia maggiore è il numero di nodi maggiore sarà il numero di gradi di libertà del sistema e la complessità computazionale. Ciò può portare rapidamente a lunghi tempi di calcolo senza significativi aumenti di precisione. È dunque da ricercare una mediazione tra le due opposte esigenze: precisione e rapidità. Esistono regole operative per minimizzare l’errore senza appesantire il modello: in genere si cerca di realizzare un modello più dettagliato dove sono maggiori i gradienti di tensione e deformazione. 18 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione Le tensioni orizzontali x sono di compressione sulla superficie dello strato di usura con valori massimi di circa 3.3 Kg/cm²; questi si riducono negli strati inferiori annullandosi in corrispondenza dell’interfaccia tra misto bitumato e misto cementato. I valori massimi di trazione si verificano tra base e fondazione dove assumono un valore di 0.91.0 Kg/cm². Gli strati granulari sono in grado di resistere a sforzi di trazione di limitata intensità (inferiori a 12 kg/cm2). E’ quindi opportuno porre a questi particolare attenzione. Occorre osservare che sforzi di trazione sono possibili anche sullo strato di usura sul bordo della piattaforma; non è inusuale osservare sulla superficie stradale lesioni longitudinali in superficie conseguente a tali sollecitazioni. Gli sforzi sono considerati negativi se di compressione e positivi se di trazione. Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione Gli sforzi y in direzione verticale, come prevedibile, risultano sempre di compressione in corrispondenza dello strato di usura. Questi si estinguono rapidamente diventando trascurabili sul piano di posa del sottofondo. Le azioni di taglio sono di entità limitata con valori massimi di circa 0.5 Kg/cm². Lo studio può essere ulteriormente approfondito studiando l’andamento delle componenti principali di sforzo. 19 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione L’andamento degli sforzi equivalenti, così come definito dal criterio di Von Mises, è quello illustrato in figura Le deformazioni lineari in direzione x, sono di allungamento negli strati inferiori base e fondazione e divengono di compressione in superficie sotto l’asse di sollecitazione della coppia di ruote gemellate. Anche in superficie a una distanza di 4-5 diametri (80 – 120 cm) si determinano deformazioni di allungamento che possono assumere valori elevati se la sovrastruttura non è sufficientemente rigida. Lo schiacciamento verticale degli strati è massimo negli strati inferiori e nel sottofondo Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione Le deformazioni angolari presentano un andamento alternato orario e antiorario con un valore massimo di 0.000389 radianti esternamente all’asse di sollecitazione. La tabella riassume i risultati sotto l’asse di sollecitazione. 20 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione pavimentazioni ad alto modulo The behaviour of the pavement improves significantly using “modified bituminous”. For modified bituminous the higher the modulus of elasticity the higher the flexural rigidity and the dynamic resistance are. Also, the higher the modulus of elasticity the less the thermal susceptibility and plastic deformation are. Two different models of pavement were analysed using the finite element method. The two models were designed with same geometry and bearing capacity of the agger, whereas either pavements were made with modified bituminous. bituminous The behaviour of the materials was simulated assuming an elasto-plastic model. The load was applied in both static and dynamic conditions. The magnitude of both stress and strain was measured in correspondence of the interface between the base and the subbase of the pavements. The magnitude was resulted lower for the pavement made with modified bituminous. That becomes more evident long the wheeler-paths for superstructures made with low stiffness and bearing heavy loads. 21 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione pavimentazioni ad alto modulo Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione pavimentazioni ad alto modulo 22 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione pavimentazioni ad alto modulo Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione pavimentazioni ad alto modulo 23 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione pavimentazioni ad alto modulo Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Analisi dinamica dello stato di sforzo e deformazione pavimentazioni 24 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Altri impieghi del metodo agli elementi finiti – moti di filtrazione Nella memoria vengono riportati i primi risultati di uno studio che analizza le possibili modifiche causate dalla costruzione un rilevato stradale al profilo piezometrico di una eventuale falda acquifera sottostante. Infatti, la presenza dell’opera altera la permeabilità del terreno sottostante, la quale dipende soprattutto dall’indice dei vuoti, dal peso specifico e dalla granulometria del terreno stesso. Nota la curva di compressibilità di un determinato tipo di terreno è stato possibile associare alle sovrapressioni (ottenute con una simulazione FEM), generate dalla presenza del rilevato, la variazione dell’indice dei vuoti a da qui la riduzione di permeabilità. Il risultato è quello di una risalita del profilo piezometrico della falda. Si sono pertanto tracciati i profili piezometrici per differenti altezze di rilevato, diversa profondità della falda, mantenendo inalterato la profondità dello strato impermeabile sul quale scorre la falda stessa. Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Altri impieghi del metodo agli elementi finiti – moti di filtrazione 25 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Altri impieghi del metodo agli elementi finiti – simulazione prova su piastra Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Metodo agli elementi finiti 26 Università degli Studi di Cagliari SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI Prof.ing. Mauro Coni (http://web.tiscali.it/mauroconi/) 5. Metodo agli elementi finiti 27