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Università degli Studi di Cagliari
SOVRASTRUTTURE DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI
Prof.ing. Mauro Coni
(http://web.tiscali.it/mauroconi/)
Metodologie di calcolo
1.
Metodi di verifica e dimensionamento
2.
Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali
3
3.
Il metodo di Ivanov o della massima deflessione
4.
Metodo agli elementi finiti
5.
Analisi dello stato di sforzo e deformazione
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1. Metodi e fattori del dimensionamento
Il calcolo delle pavimentazioni stradali ha originato una molteplicità di metodi che possono essere
raggruppati in:
Metodi empiricoempirico-sperimentali:
sperimentali: derivano dalle indagini condotte su piste sperimentali e dalle correlazioni tra
le deformazioni o i decadimenti misurati sulla pista con le condizioni di carico imposte (numero e peso degli assi), gli
spessori degli strati, le caratteristiche dei materiali e dei sottofondi. I risultati vengono presentanti come abachi,
tabelle e equazioni interpolanti i dati sperimentali e utilizzabili in fase progettuale. Il metodo empirico per eccellenza è
quello proposto dall’AASHTO che, a partire dagli anni ’60, ha messo a punto un espressione analitica che interpreta
una notevole serie di misure sperimentali. L’espressione è stata recentemente (’93) aggiornata introducendo alcune
importanti modifiche che la rendono più “razionale” (alcuni coefficienti possono essere ricavati direttamente dalle
teoria della meccanica del continuo) e innovativa con l’introduzione del modulo resiliente per caratterizzare il
sottofondo e, soprattutto, del concetto di “affidabilità”
Metodi semi
semi--empirici: derivano da un’analisi teorica semplificata all’interno della quale vengono
introdotti parametri e coefficienti correttivi per ottenere la massima rispondenza tra il modello teorico
e i dati misurati. Tra questi si ricordano il metodo di del CBR, di Goldbeck e dell’Indice di gruppo.
Metodi razionali
razionali:: i metodi precedenti hanno il pregio di derivare da indagini sperimentali ma cadono
in difetto poiché non consentono di tener conto di molti parametri come la frequenza di carico, la
temperatura, le condizioni di vincolo, il reale comportamento elasto-plasto-viscoso dei materiali, la
direzione e dinamicità dei carichi, etc. Tra i metodi razionali hanno grande importanza il metodo del
multistrato elastico (del quale verrà analizzata un’applicazione proposta da Ivanov)
Ivanov e più recentemente
il metodo agli elementi finiti FEM.
FEM Il primo, ricorre ad una serie di ipotesi semplificative, per dedurre
alcune semplici equazioni risolubili in modo iterativo. Nel metodo FE si rinuncia alla precisione
assoluta dei risultati al di fuori dell’elemento finito ma in compenso non esistono limitazioni
nell’analizzare qualunque configurazione di carico, di materiali, vincoli, etc., anche le più bizzarre.
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1. Metodi e fattori del dimensionamento
Tutti i metodi di dimensionamento considerano come dati di ingresso i seguenti parametri:
•Spessore degli strati (si)
•Caratteristiche dei materiali (ai, di, Ei, i, etc.)
•Vita utile (n, Nu, etc.)
•Caratteristiche del sottofondo (CBR, K, Md, Mr, etc.)
•Caratteristiche degli assi (Ceq, P, d, etc.)
•Entità del traffico (TGM, p%, pl, na, pd, N, r, etc.)
•Sollecitazioni termiche (T, Tm, etc.)
•Condizioni ambientali (pioggia, vento, irragg., etc.)
•Decadimenti, sforzi e deformazione limite (n, n, PSI, fatica, freccia limite, etc.)
N  365TGM pd  p  pl  d  Ceq  na 
f 
2 pa
8
E0
3
(1 r)n 1
r
 
 ns1
1 
  1  3.5 arc tan


n
2
 2a

logW 18  Z R  S 0  9.36log SN  1   0.20 
8 

3 
 ∆PSI 
log 

 4.2  1.5   2.32logM
1094
0.40 
SN  1 5.19
R
 8.07
Molto utili in fase di predimensionamento risultano essere i cataloghi delle pavimentazioni,
che propongono una serie di soluzioni preordinate in funzione dell’entità del traffico, dei
sottofondi, della tipologia di sovrastruttura e strada. In Italia è stato redatto dal CNR il
“Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali”BU 168/95.
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2. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali
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2. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali
2. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali
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2. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali
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2. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali
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2.- Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali
Ad esempio, per strade extraurbane principali a forte traffico, una sovrastruttura flessibile avrà gli strati
superficiali di 5 e 6 cm, la base compresa tra 14 e 23 cm, la fondazione di 15 cm; nel caso sia di tipo
semirigido lo strato di usura è di 5 cm, quello di collegamento variabile tra 5 e 11 cm, la base in misto
bitumato assente o, se presente, fino a 10 cm, la base in misto cementato compresa tra 20 e 30 cm, la
fondazione assente; infine se di tipo rigido sarà realizzata una lastra di 22 - 25 cm armata o no, poggiata
su d
di u
uno
o sstrato
aod
di misto
s o ce
cementato
e aod
di 15
5 ccm e u
una
a fondazione
o da o e d
di misto
sog
granulare
a ua e d
di 15
5 ccm. C
Ciascun
ascu tipo
po
di sovrastruttura è caratterizzato da meccanismi di rottura differenti. Per le sovrastrutture flessibili
accade spesso che i fenomeni di fatica siano quelli che generalmente portano a collasso l’infrastruttura.
Questi si manifestano con fessure che, partendo dall’interfaccia tra strato di base e fondazione, si
propagano verso l’alto sino ad interessare gli strati superficiali; con il progredire del fenomeno la miscela
si degrada perdendo le caratteristiche meccaniche iniziali e riducendo la portanza dell’intera opera. Per
questo tipo di sovrastrutture è importante evitare l’accumulo eccessivo di deformazioni plastiche con
l’insorgere di ondulazioni, buche e ormaie. Più rara è la rottura per punzonamento che si manifesta con
uno sfondamento repentino della superficie viabile. Nelle pavimentazioni semirigide i fenomeni sono più
complessi. Talvolta si assiste a una fessurazione diffusa riconducibile al basso contenuto di legante e
all’applicazione
a
app ca o e de
dei ca
carichi
c qua
quando
do a
ancora
co a non
o è co
completo
p e o il p
processo
ocesso d
di maturazione
a u a o e de
del materiale.
a e a e In a
altri
casi si assiste ad una fessurazione localizzata che si produce nel materiale a causa del ritiro e delle
sollecitazioni termiche. Tali fessure sono regolarmente distribuite di ampiezza ed interasse costante, in
funzione delle caratteristiche del materiale e delle condizioni climatiche in esercizio. Uno stato critico si
verifica quanto tali fessure si propagano allo strato superiore di conglomerato bituminoso. Le
pavimentazioni di tipo rigido in lastre di conglomerato cementizio manifestano una più varia gamma di
ammaloramenti. La fessurazione delle lastre può essere conseguenza dai fenomeni di ritiro igrotermico,
imputabile all’eccessivo distanziamento dei giunti di contrazione. La insufficiente portanza del piano di
posa della lastra determina una fessurazione estesa, con la formazione di blocchi separati, o in prossimità
del giunto di fenomeni di fatica.
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3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione
Negli anni sono stati messi a punto una serie di metodi razionali per il calcolo delle sovrastrutture che
hanno come punto di partenza l’impostazione data da Boussinesq. Una di queste metodologie
particolarmente diffusa è dovuta a Ivanov e si basa sul criterio di limitare la massima deflessione che si
verifica al termine della vita utile sulla pavimentazione. Il metodo si sviluppa dapprima attraverso la
semplificazione delle espressioni proposte da Boussinesq, arrestando al primo
p
z 
termine il loro sviluppo in serie. In particolare per le tensioni verticali sia ha:
2

La freccia massima vale:
f 
0
  8
posto   
risulta
2 3
2
z
E
dz 
8 z 


3 2a 
E 8/3
2 pa
pd
f 

E
E
Consideriamo ora un doppio strato:
1
pa
Il valore differisce da quello già calcolato per la
determinazione del modulo E valida per un carico
trasmesso da piastra rigida.
 pa
2
f 
(1   )
2 E
Il cedimento totale sarà la somma di quello dovuto allo
strato
t t di spessore s1 e di quello
ll dell’ammasso
d ll’
semii
infinito
s1

f  f1  f 0 
1
E
0
con
z 
dz 
1
0
E
ns1
dz
0
p
2
8  nz 
1  
3  2a 
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3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione
È stato introdotto un parametro n di equivalenza tra il modulo E0 dell’ammasso e il modulo E1 dello
strato 1 di spessore s1. In altri termini il problema sarebbe ricondotto al caso di ammasso semi-infinito
se fosse possibile sostituire allo strato 1 di modulo E1 uno strato di spessore ns1 di modulo E0, con gli
stessi cedimenti totali. Si tratta di porre in eguaglianza i due cedimenti nelle due differenti situazioni.
In base della teoria dell’elasticità
n assume il seguente
t valore:
l
n
3
E1
E0
In genere, a favore delle sicurezza, si pone: n 
f 
Svolgendo le integrazioni e sommando si ottiene
2 pa
8
E0
3

 n s1
1 

   1  3 .5  a rc tan 
n 
 2a
2 
2 .5
E1
E0
8 

3 
Il metodo procede con il calcolo del cosiddetto modulo equivalente, ossia del modulo di uno strato
semi-infinito Ee con lo stesso cedimento di uno strato s1 E1 poggiante su un mezzo semi-infinito E0.
In altri termini:
f(E
f(
E ,a)
= f(
f(E
E , E s a,n)
0
strato seminfinito
Dalla soluzione di questa equazione si ha:
E0
 ns
2 
1 
8
 1  3 .5  a rc ta n  1
1

 
n 
 2a 3 
E e' 
0
1, 1,
doppio strato
Tuttavia, Ivanov suggerisce di utilizzare l’espressione:
E e' 
E0
2 
1 
 ns 
1   1  3 . 5  arctan  1 
 
n 
 2a 
Da questa espressione deriva la definizione del modulo di elasticità di un ammasso indefinito fittizio
equivalente all’insieme del sottofondo e dello strato di spessore s1. Il metodo è suscettibile di iterazione,
consentendo così di sostituire ad un insieme di più strati un ammasso ideale indefinito.
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f 
pd
Ee
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3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione
Si procede dal basso verso l’alto trasformando lo
strato più profondo (s1, E1) e l’ammasso sottostante
(E0) in un ammasso indefinito equivalente (Ee).
Questo poi verrà combinato con il penultimo strato
(s2, E2), e così via fino all’ultimo strato.
Quanto illustrato è valido nell
nell’ipotesi
ipotesi che il carico per
ciascun bistrato sia distribuito su un area circolare di
diametro d.
Il calcolo può avere una diversa
impostazione, considerando che le pressioni si
distribuiscano secondo una particolare legge.
Nell’ipotesi che la freccia rimanga costante e che le
pressioni si distribuiscano uniformemente si ha:
E0 d0  Ee' d1  Ee''d2  E p d
In questo caso il calcolo inizia dall’alto fissando Ep e di, valutando ogni volta il valore di si/di. Il valore
di viene fornito dalla precedente espressione. Si troverà un valore per il modulo del sottofondo che
dovrà risultare inferiore a quello che effettivamente si riscontra nella realtà, altrimenti occorrerà
ripetere la verifica modificando gli spessori e i moduli degli strati. Quest’ultima impostazione è più
cautelativa della precedente in quanto a parità di E0 conduce ad un valore di Ep inferiore.
Il calcolo può essere agevolmente condotto con l’impiego dell’abaco di Kogane. In funzione del
rapporto s1/d e E0/E1 si individua sull’abaco un punto. Si assume come valore Ee/E1 quello della curva
che meglio approssima il punto. Si ripete il calcolo con s2/d ed Ee/E2 e così via per tutti gli strati
pervenendo in tal modo al modulo equivalente dell’intera sovrastruttura.
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3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione
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3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione
Per poter condurre il calcolo di verifica occorrerà confrontare il modulo equivalente così determinato
con il modulo di progetto globale che la sovrastruttura dovrà possedere in relazione al tipo di strada, di
traffico e dei materiali impiegati. Tale modulo potrà essere determinato sulla base delle espressioni già
viste che lo legano alla massima deflessione dello strato superficiale. Questa a sua volta dipenderà dal
numero di assi equivalenti N che si ipotizza transiteranno sulla strada.
p
pressione di gonfiaggio del pneumatico (circa 8 daN/cm²)
daN/cm )
d
diametro di impronta supposta circolare (circa 30 cm)
f
freccia massima ammissibile
Ee 
pd
f
La freccia massima ammissibile risulta dipendente da numero N di assi equivalenti all’asse standard
(in un giorno e per corsia) che transiteranno sulla strada all’anno n, termine della vita utile.
Esistono diverse formule che esprimono questo legame. Una di queste è la seguente:
f  0 .1 7  0 .0 2 6 lo g ( N )
Il porre un limite superiore alla massima deflessione corrisponde ad limitare inferiormente il modulo
di progetto dell’insieme sovrastruttura-sottofondo.
Se, ad esempio, si ipotizzano 1500 assi equivalenti da 10 t, la massima freccia ammissibile sarà:
f  017
.  0.026 log(1500)  017
.  0.0826  0.0874
mentre per il modulo di progetto è:
Ep 
8  30
pd

 2746
0.0874
f
cm
daN
cm 2
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3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione
Ivanov propone per Ep i valori in tabella:
In sintesi il metodo procede secondo il
seguente schema:
INPUT:
OUTPUT:
spessori degli strati si
moduli degli strati Ei
modulo del sottofondo E0
modulo equivalente Ee
della sovrastruttura
La verifica sarà positiva quando:
Ee > Ep
Stato tensionale negli strati della sovrastruttura secondo la teoria del multistrato elastico
Oltre ai carichi derivanti dal traffico è stato illustrato come anche le escursioni termiche stagionali
inducono stati tensionali notevolmente variabili. Il comportamento del conglomerato bituminoso
dipende oltre che dai carichi, dalla temperatura, dal numero di ripetizioni del carico e dalla loro
frequenza.
Numerosi studi anno mostrato che nel periodo invernale, in cui si verificano degli strati bitumati
moduli più elevati, le maggiori sollecitazioni per trazione si verificano sul piano inferiore dello strato di
base, mentre sulla superficie del manto si verificano tensioni di compressione. Inoltre durante la fase di
frenata la superficie del manto e sottoposta a sollecitazioni di trazione.
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3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione
Il metodo di seguito riportato consente di ricavare la massima
tensione di trazione per flessione alla base di uno strato si spessore
s1 e modulo E1, nell’ipotesi che poggi su un piano posa di modulo
Ee. Il metodo ha il pregio di essere collegato a quello di Ivanov.
Supponiamo di aver determinato attraverso questo metodo il
modulo Ee tra gli strati di base e fondazione. Il seguente abaco
fornisce il valore di r (valore massimo della trazione in
corrispondenza dell’asse del carico). I dati di partenza sono:
E1/Ee
rapporto tra modulo degli strati superficiali e modulo
equivalente dello strato su cui poggiano;
s1/d
rapporto tra lo spessore strato superficiale e il diametro
dell’area impronta, supposta circolare;
p
massima pressione di gonfiaggio
Nell’ abaco si parte con s1/d sino alla curva relativa al valore
di E1/Ee. Sull’asse delle ordinate è possibile leggere il valore
della adimensionale, da cui ricavare
r  r p
Nello stesso diagramma sono riportate le rette di p che
forniscono direttamente il valore di  r Tale valore deve
essere confrontato con quello ammissibile Rr che, sulla base
di indagini sperimentali, può assumersi in base al seguente
diagramma in funzione dell’intensità del traffico pesante.
La verifica sarà positiva quando:
r  Rr
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3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione
Progetto di una sovrastruttura semirigida per una strada extraurbana secondaria ordinaria
CARATTERISTICHE DELLA CORRENTE VEICOLARE
traffico giornaliero medio
16800
vita utile
30
traffico commerciale
0.15
traffico per senso di marcia
0.50
traffico per corsia lenta
0.95
dispersione delle traiettorie
0.80
Coeff. equivalenza veic.commerciale - asse standard
0.625
tasso di accrescimento annuo del traffico
0.02
Modulo di deformazione del sottofondo Md
420 Kg/cm² (CBR  8%)
Numero dei cicli di carico
equivalenti all’anno iniziale:
N 0  365  16800  0 .15  0 . 50  0 . 95  0 .80  0 .625  218453
Numero dei cicli di carico equivalenti
q
anno finale:
N n  218453  (1  0 . 02 ) 30  395696
Numero assi equivalenti per giorno e per corsia all'anno finale:
Numero di assi cumulati
durante la vita utile:
Nc  N0
Ng n  395696 / 365  1084
(1  r ) n  1
(1  0 . 02 ) 30  1
 218453
 8862201
r
0 . 03
Numero di veicoli cumulati durante la vita utile: VC c  N c / C eq  8862201  14179522
(valore di ingresso nel Catalogo Italiano delle Pavimentazioni)
0 . 625
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3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione
In genere non si ha l’esatta corrispondenza tra i dati in ingresso e quelli che
il Catalogo propone. Occorrerà scegliere la soluzione che più si avvicina
rimandando ai calcoli specifici l’eventuale riduzione o incremento degli
spessori. La soluzione del Catalogo che più si avvicina ai dati del nostro
esempio (Strada extraurb. Second. ordinaria VCc=14 .179.522, Md = 420
kg/cm2, CBR = 8%) è quella mostrata in figura:
n  2.5
Ee 
E1 2.5 25000

 6.09
Ee
273
1a iterazione
E0
273
 1758.3

sn
20  6.09
2
1
2
1
) arctan
1  (1  3.5 ) arctan
1  (1 
3.5

n

2  15
6.09
2a
n  2 .5
E1 2.5 12000

 2.16
Ee
1758
2a iterazione
E0
1758
Ee 
 2669.0

2
1
sn
2
1
9  2.16
1  (1  3.5 ) arctan
1  (1 
) arctan
3 .5

n
2a

2.16
2 15
n  2.5
Ee 
E1 2.5 12000

 1.82
2669
Ee
3a iterazione
Il modulo di elasticità E del
sottofondo è assunto pari a:
E0  0.65 Md  0.65 420  273
Poiché lo strato di usura è
soggetto a “consumo”
consumo da parte
dell’azione
veicolare,
si
preferisce non considerare il suo
contributo
alla
rigidezza
complessiva della sovrastruttura
2669
E0

 3194.3
1
2
1
sn
5 1.82
1  (1  3.5 ) arctan
1  (1 
) arctan
3.5
2a
1.82

n

2 15
2
N.B. Tutti i valori sono
in cm e kg/cm2
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3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione
La freccia ammissibile al termine della vita utile vale:
f  0.17  0.026 log(1084 )  0.0911
cm
pd
8  30
kg
Ep 

 2634.8
f
0.0911
cm 2
La verifica è positiva: Ee > Ep
( 3195 > 2635 )
La tensione r alla base dello strato in misto bitumato
sarà determinata, a partire dai rapporti: E1/ Ee =
12000/1759 = 6.82 s1 /d =9/30 = 0.3 per i quali l’abaco
fornisce r= 14.4 Kg/cm²
Sullo strato di binder si
ha: E1/ Ee = 12000 / 2667
= 4.5 s1 /d = 5/30 = 0.167
l’abaco fornisce r = 11.6
Kg/cm²
I valore di resistenza ammissibile
non risulta verificato per lo
strato di base dove si verifica una
t = 14.4 maggiore del valore
ammissibile di 12.0 kg/cm2
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3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione
Nonostante la verifica, secondo il metodo di Ivanov ,sia positiva, lo stato tensionale r supera il limite
ammissibile Rr. È necessario modificare la soluzione iniziale al fine di ridurre lo stato tensionale sul
misto bitumato. Si può procedere in diversi modi:
• Modificare i rapporti di input all’abaco;
• Migliorare le prestazioni dei conglomerati bituminosi;
• Aumentare lo spessore di misto bitumato;
• Modificare gli spessori degli strati;
• Migliorare il modulo di elasticità del sottofondo;
• Introdurre lo strato di fondazione.
Alcune considerazioni possono aiutare nella scelta:
• Aumentare lo spessore del misto bitumato significa modificare il rapporto s1 /d = 0.3 in ad es. 0.5. In
questo caso sarà necessario uno strato di 15 cm di m.b. con un aggravio notevole dei costi.
• Aumentare la rigidezza del piano di posa su cui poggia il m.b. da 1759 ad es. a 3000. Ciò può essere
fatto modificando lo spessore del m.c. (diventerebbe di circa 35 cm) o in modo più economico
introducendo uno strato di fondazione di 20 cm.
• Migliorare le caratteristiche del misto bitumato ad esempio introducendo bitumi modificati con un
discreto incremento di costo
In sintesi la deficienza della pavimentazione analizzata nell’esempio può ricercarsi nella mancanza
dello strato di fondazione..
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4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali
La teoria del multistrato elastico, della quale il metodo di Biroulia-Ivanov precedentemente esposto
rappresenta una delle applicazioni più diffuse, è stato nel corso degli anni esteso fino a comprendere
condizioni di carico più complesse. Oggi sono disponibili codici di calcolo che consentono di valutare in
qualsiasi punto della sovrastruttura tensioni e deformazioni derivanti da qualsiasi configurazioni dei
carichi esterni. Questa analisi viene correntemente utilizzata per valutare il contributo di ciascuno
strato alla resistenza complessiva ed ottimizzare in tal modo il comportamento strutturale della
sovrastruttura. Nonostante il metodo offra efficienti risoluzioni alla determinazione dello stato tensodeformativo, esso presenta ancora numerose vincoli che limitano il suo campo di applicazione:
1.
l’impossibilità di analizzare pavimentazioni di dimensioni finite; ciò può essere trascurato nelle
sovrastrutture flessibili e semirigide, per carichi lontani dal bordo, in quanto la dimensione
longitudinale può essere considerata indefinita. Nelle lastre in calcestruzzo di tipo tradizionale
tale approssimazione introduce errori non trascurabili; in esse inoltre non è possibile studiare
l’effetto della presenza dei giunti o d possibili lesioni;
2
2.
l impossibilità di valutare le conseguenze di una parziale perdita del contatto tra i diversi strati
l’impossibilità
della sovrastruttura, a causa delle deformazioni plastiche del sottofondo. Questo aspetto limita
ulteriormente l’applicazione del metodo sovrastrutture rigide e in misura ancora maggiore se in
presenza di fenomeni di pumping o di deformazioni termiche;
3.
l’impossibilità di condurre il calcolo in presenza contemporaneamente di carichi esterni e
gradienti termici;
4.
l’eccessiva approssimazione del modello conseguente all’introduzione del sottofondo come un
semispazio elastico.
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4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali
Tali limitazioni sono state superate con la messa punto di codici di calcolo
strutturale agli elementi finiti. I numerosi modelli sviluppati possono
classificarsi in base alla schematizzazione operata:
1. modello a lastra: la sovrastruttura viene considerata una lastra sottile
di dimensioni finite poggiante su un sottofondo alla Winkler; questo
consente di tenere conto del grado di compartecipazione delle lastre,
delle loro deformazioni termiche anche nel caso di parziale contatto
tra la lastra e il piano di posa;
2. modelli bidimensionali: la sovrastruttura viene analizzata nella sua
sezione trasversale; con tale schematizzazione non è possibile tener in
adeguato conto della presenza dei giunti, così come non è possibile
introdurre componenti di carico longitudinali che simulano azioni
tangenziali di accelerazione o decelerazione;
3 modelli
3.
d lli assialsimmetrici:
i li
t i i in
i
questi
ti la
l
sovrastruttura
t tt
viene
i
schematizzata come un sistema multistrato a simmetria rotazionale
caricata assialmente; anche in questo caso non è possibile considerare
la presenza di discontinuità o di lastre caricate sul bordo;
4. modelli tridimensionali: in questi essendo possibile inserire l’effettiva
configurazione geometrica e di carico forniscono i risultati più
accurati e completi. La sua elevata complessità e onere di calcolo fa si
che non trovi applicazione nei normali lavori di routine.
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4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali
L’importanza di questi metodi risiede nella varietà delle situazioni che possono essere studiate,
consentendo uno studio più approfondito dell’influenza delle discontinuità, di lesioni, di giunti, stati di
deformazione termica, presenza di materiali a comportamento non lineare, etc
etc.
I metodi agli elementi finiti sono una serie di tecniche atte ad approssimare le equazioni differenziali
che governano un sistema continuo con un sistema di equazioni algebriche in un numero finito di
i
incognite.
it Il successo di questi
ti metodi
t di è dovuto,
d
t soprattutto,
tt tt alla
ll facilità
f ilità con cuii essii possono essere
tradotti in programmi di calcolo, nonché alla versatilità nella geometria del mezzo continuo modellato,
dei possibili carichi agenti, dei vincoli, dei materiali, etc., ma anche all’attendibilità dei risultati
ottenibili. Il primo passo è rappresentato dalla discretizzazione del mezzo continuo in oggetto. Si tratta
di suddividere il dominio in sottodomini, detti elementi finiti, e scegliere dei punti chiamati nodi sul
confine di elementi contigui o all’interno degli elementi. Gli spostamenti e/o gli sforzi nei nodi sono le
incognite, mentre in un punto generico lo stato tenso-deformativo viene dedotto dalle variabili nodali
mediante interpolazione. Infine le equazioni algebriche risolventi sono generate mediante l’impiego di
un principio variazionale (ad esempio il Principio delle Minima Energia Potenziale Totale).
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4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali
Principi generali del metodo degli spostamenti.
spostamenti.
Nel metodo degli spostamenti si assumono come incognite parametri di spostamento in certi punti.
Noti questi, mediante le relazioni di congruenza si valutano le deformazioni e da queste gli sforzi in
base alle leggi costitutive dei materiale.
Il Principio
c p o de
dellee Minima Energia
e g Potenziale
oe
e Totale
o e assicura
ss cu cchee l’energia
e e g po
potenziale
e
e totale
o e de
della
struttura discretizzata è maggiore di quella corrispondente alla deformazione effettiva. Al crescere del
numero degli elementi l’energia potenziale totale converge al suo valore esatto.
Nel metodo degli spostamenti la matrice di rigidezza dalla struttura viene costruita sovrapponendo per
ogni nodo il contributo della matrici di rigidezza dei singoli elementi.
1.
2.
3.
4..
5.
6.
7.
Fasi del metodo:
discretizzazione del corpo, cioè scelta di elementi tra loro connessi in certi punti nodali;
determinazione delle matrici di rigidezza degli elementi e dei vettori di forza nodali;
assemblaggio
sse b gg o de
dellee matrici
c d
di rigidezza
g de
deg
degli eelementi
e e e dei
de vettori
ve o delle
de e forze
o e nodali
od per
pe l’intero
e o
sistema di elementi e nodi (equazioni del sistema);
introduzione delle condizioni al contorno;
soluzione delle equazioni risultanti;
calcolo delle deformazioni e degli sforzi in base agli spostamenti nodali.
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4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali
Semplice esempio numerico
numerico..
Il metodo agli elementi finiti viene illustrato con riferimento ad un caso
estremamente semplice di cui si conosce la soluzione esatta, ossia quello di un’asta
a sezione uniforme A incernierata ad un estremo, soggetta al peso proprio e a una
forza assiale, F, nell’altro estremo. La trattazione viene condotta in campo
elastico, nell’ipotesi, quindi, di perfetta linearità tra sforzi e deformazioni. Si è
stabilito un sistema di riferimento globale diretto come l’asta e con origine nella
cerniera. Si farà ricorso, inoltre, ad un sistema di riferimento locale, valido cioè
per ciascun elemento, con origine nel primo estremo dell’elemento finito. Con  ed
E si sono indicati il peso specifico e il modulo di elasticità del materiale.
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4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali
La (5) e la (6) rappresentano la
formulazione esatta del problema.
Applichiamo ora un principio variazionale;
uno dei più utilizzati è il Principio della
Minima Energia Potenziale p “L’energia
potenziale
di
una
qualunque
configurazione deformata, equilibrata e
congruente,
rappresenta
un
limite
superiore alla p della soluzione esatta”.
L’espressione dell’energia potenziale nel nostro esempio è fornita da tre contributi. Il primo esprime
l’energia accumulata sottoforma di deformazione elastica del generico elementino; il secondo
rappresenta la perdita di energia potenziale per l’abbassamento di tale elementino; infine, il terzo
contributo è l’energia potenziale persa per l’abbassamento del punto di applicazione della forza F.
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4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali
Soluzione approssimata
approssimata..
Operiamo ora un discretizzazione agli elementi finiti.
Suddividiamo l’asta L in tre elementi di lunghezza l. Esprimeremo
lo spostamento di un nodo interno in funzione degli spostamenti
nodali, ipotizzando per esso un andamento lineare tra i due
estremi i e j.
j Talvolta si utilizzano funzioni di tipo quadratico o di
ordine maggiore, che consento di ottenere risultati più precisi ma
che aumentano i gradi di libertà del sistema.
Nell’ipotesi di deformazione lineare a tratti, si può scrivere la relazione che lega
il generico spostamento di un punto agli spostamenti dei punti estremi
dell’elemento a cui appartiene:
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4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali
Occorre ora ricercare l’insieme di valori di u2, u3, u4 che renda minimo il valore
dell’energia potenziale p del sistema. Questo può essere fatto imponendo che:
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4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali
Confronto tra la soluzione esatta e quella approssimata.
approssimata.
Il diagramma a lato mostra il confronto tra la soluzione esatta e
quella approssimata. In ascisse è riportata la posizione corrente x in
un dato punto mentre in ordinate il valore assunto dallo
spostamento u.
u
Se per esempio l’asta fosse una barra d’acciaio di FeB44 K Ø18,
sollecitato da una forza di 1000 kg, della lunghezza di 6 m, si avrebbe:
A = 2.54 cm²
F = 1000 kg
L = 600 cm
l = 200 cm
E = 2060000 kg/cm²  = 0.00785 kg/cm34
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4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali
0
Se è presente una differenza di temperatura t, il legame - diviene:  x   x 
0
Ripercorrendo gli sviluppi già illustrati nel precedente caso si ha:  x   x 
che integrata
g
fornisce:
u
1
E

x2 
 x   ( Lx  2 )   x tx


x
E
con
 x0   x t
1
   ( L  x )   x t
E
I calcoli procedono poi come già mostrato. L’esempio illustrato è estremamente semplice sia per la
geometria e le caratteristiche dei materiali, sia per il numero di nodi ed elementi utilizzati. Nella realtà
una sovrastruttura stradale è un sistema tridimensionale con una geometria abbastanza semplice ma
costituito da materiali elesto-plasto-viscosi. Nel passare dal caso monosimensionale a quello
3) Relazioni di congruenza:
trimensionale le relazioni (1), (2), (3), (4) divengono:
u
u v
x 
 xy 


x
y x
1) Equazioni di equilibrio:
2) Legame costitutivo del materiale:
v
w v

y 
 yz 
2
2


 2(1   )
 x

y
y z
0 0 0
 xy  zx  bx  0    1  2
x 



1
2
1
2


x
x
y
y
u w
w
  
  
2(1   )
2

 zx 
0 0 0   x   z   z
 xy
 y

 x 
z x
1  2
1  2

 zy  by  0   
  
x
x
2
4) Condizioni al contorno:
y
x
y
 
0 0 0   
  xy 
1  2

 zx
 z
 xy  
p
 bz  0   
 zy 

1 0 0  yz 
x   x l   xy m   zx n
yz
y
y
x
  
  
 zx 


simm.
1 0  zx
 
1
p y   xy l   y m   yz n
pz   zx l   yz m   z n
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4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali
L’espressione dell’energia potenziale diviene in tal caso molto più complessa così
come il numero dei gradi di libertà del sistema cresce enormemente (non è raro il
caso di sistemi con oltre 50.000 componenti di spostamento nodali). È per tale
motivo che i metodi agli elementi finiti hanno potuto essere efficientemente
sviluppati solo con l’avvento dei moderni elaboratori elettronici. Nel caso di stato di
sforzo p
piano g
gli elementi utilizzati sono rettangolari
g
o triangolari
g
di vario ordine,, così
come nelle strutture tridimensionali vengono spesso utilizzati elementi tipo brick,
prismatici o tetraedrici. Le immagini mostrano alcuni elementi finiti usati.
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4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali
Per meglio comprendere come si distribuiscono gli sforzi e le
deformazioni, vengono riportati i risultati della simulazione FEM
di una sovrastruttura semirigida sollecitata da un asse standard di
12 t. Le analisi si basano sull’ipotesi di comportamento elastoplastico dei vari strati, rappresentabile tramite il modello
DRUCKER-PRAGER.
C
AG
Il materiale non modifica le sue capacità durante il
procedere della sollecitazione, non è soggetto cioè
ad incrudimento. Per i segni degli sforzi e delle
deformazioni, si fa riferimento alle usuali
convenzioni della scienza delle costruzioni dove gli
sforzi di trazione e le deformazioni di
allungamento vengono considerati positivi. Si deve
sottolineare che le sollecitazioni, soprattutto nei
primi elementi degli strati superficiali, sono
estremamente
sensibili
alle
modalità
di
applicazione del carico e in particolare alla
rigidezza del sistema utilizzato per trasmetterlo. Le
caratteristiche della sovrastruttura semirigida
analizzata sono mostrate in figura.
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5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione
Sulla superficie grava un carico di 120.000 N (12 t), ripartito sulle
4 aree di impronta dei battistrada delle ruote gemellate che
costituiscono l’asse standard. L’elemento finito scelto per
rappresentare il materiale e la geometria della pavimentazione è
un elemento tipo PLANE.
PLANE La geometria del modello è mostrata
in figura.
La struttura è stata
supposta incastrata sul
piano
inferiore
del
sottofondo e semplicemente
confinata
sui
contorni
laterali.
Il metodo agli elementi finiti tende alla ricerca di soluzioni esatte in corrispondenza dei nodi degli
elementi. Gli errori o meglio le approssimazioni che si realizzano con tale metodo divengono via meno
significative all’aumentare del numero dei nodi e al diminuire della loro distanza. Tuttavia maggiore è
il numero di nodi maggiore sarà il numero di gradi di libertà del sistema e la complessità
computazionale. Ciò può portare rapidamente a lunghi tempi di calcolo senza significativi aumenti di
precisione. È dunque da ricercare una mediazione tra le due opposte esigenze: precisione e rapidità.
Esistono regole operative per minimizzare l’errore senza appesantire il modello: in genere si cerca di
realizzare un modello più dettagliato dove sono maggiori i gradienti di tensione e deformazione.
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5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione
Le tensioni orizzontali x sono di compressione sulla superficie dello strato di usura con valori massimi
di circa 3.3 Kg/cm²; questi si riducono negli strati inferiori annullandosi in corrispondenza
dell’interfaccia tra misto bitumato e misto cementato. I valori massimi di trazione si verificano tra base
e fondazione dove assumono un valore di 0.91.0 Kg/cm².
Gli strati granulari sono in grado di resistere a sforzi di trazione di limitata intensità (inferiori a 12
kg/cm2). E’ quindi opportuno porre a questi particolare attenzione. Occorre osservare che sforzi di
trazione sono possibili anche sullo strato di usura sul bordo della piattaforma; non è inusuale osservare
sulla superficie stradale lesioni longitudinali in superficie conseguente a tali sollecitazioni.
Gli sforzi sono considerati negativi se di compressione e positivi se di trazione.
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5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione
Gli sforzi y in direzione verticale,
come prevedibile, risultano sempre di
compressione in corrispondenza dello
strato di usura. Questi si estinguono
rapidamente diventando trascurabili
sul piano di posa del sottofondo.
Le azioni di taglio sono di entità
limitata con valori massimi di circa
0.5 Kg/cm².
Lo studio può essere ulteriormente
approfondito studiando l’andamento
delle componenti principali di sforzo.
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5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione
L’andamento degli sforzi equivalenti,
così come definito dal criterio di Von
Mises, è quello illustrato in figura
Le deformazioni lineari in direzione x,
sono di allungamento negli strati
inferiori base e fondazione e divengono
di compressione in superficie sotto
l’asse di sollecitazione della coppia di
ruote gemellate. Anche in superficie a
una distanza di 4-5 diametri (80 – 120
cm) si determinano deformazioni di
allungamento che possono assumere
valori elevati se la sovrastruttura non è
sufficientemente rigida.
Lo schiacciamento verticale degli strati
è massimo negli strati inferiori e nel
sottofondo
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5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione
Le deformazioni angolari presentano un andamento alternato orario e antiorario
con un valore massimo di 0.000389 radianti esternamente all’asse di sollecitazione.
La tabella riassume i risultati
sotto l’asse di sollecitazione.
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5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione
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5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione pavimentazioni ad alto modulo
The behaviour of the pavement improves significantly using “modified bituminous”. For modified
bituminous the higher the modulus of elasticity the higher the flexural rigidity and the dynamic resistance
are. Also, the higher the modulus of elasticity the less the thermal susceptibility and plastic deformation
are. Two different models of pavement were analysed using the finite element method. The two models
were designed with same geometry and bearing capacity of the agger, whereas either pavements were
made with modified bituminous.
bituminous The behaviour of the materials was simulated assuming an
elasto-plastic model. The load was applied in both static and dynamic conditions. The magnitude of both
stress and strain was measured in correspondence of the interface between the base and the subbase of
the pavements. The magnitude was resulted lower for the pavement made with modified bituminous. That
becomes more evident long the wheeler-paths for superstructures made with low stiffness and bearing
heavy loads.
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5. Analisi dinamica dello stato di sforzo e deformazione pavimentazioni
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5. Altri impieghi del metodo agli elementi finiti – moti di filtrazione
Nella memoria vengono riportati i primi risultati di uno studio che analizza le possibili modifiche causate
dalla costruzione un rilevato stradale al profilo piezometrico di una eventuale falda acquifera sottostante.
Infatti, la presenza dell’opera altera la permeabilità del terreno sottostante, la quale dipende soprattutto
dall’indice dei vuoti, dal peso specifico e dalla granulometria del terreno stesso. Nota la curva di
compressibilità di un determinato tipo di terreno è stato possibile associare alle sovrapressioni (ottenute
con una simulazione FEM), generate dalla presenza del rilevato, la variazione dell’indice dei vuoti a da qui
la riduzione di permeabilità.
Il risultato è quello di una risalita del
profilo piezometrico della falda. Si
sono pertanto tracciati i profili
piezometrici per differenti altezze di
rilevato, diversa profondità della
falda, mantenendo inalterato la
profondità dello strato impermeabile
sul quale scorre la falda stessa.
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5. Altri impieghi del metodo agli elementi finiti – moti di filtrazione
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5. Altri impieghi del metodo agli elementi finiti – simulazione prova su piastra
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5. Metodo agli elementi finiti
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5. Metodo agli elementi finiti
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