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Monty Hall Problem

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Feven Alemu Korsaye
The Monty Hall Problem
INTRODUZIONE AL PROBLEMA
Monty Hall è stato per diversi anni il conduttore della popolare trasmissione televisiva americana Let’s
Make a Deal. Il problema o il paradosso di Monty Hall è proprio l’applicazione della teoria della
probabilità a tale gioco a premi.
Il gioco consta in un conduttore ed un unico giocatore a cui vengono mostrate tre porte. Dietro ciascuna
porta c’è un’automobile o una capra, in tutto due capre ed un’automobile. Il giocatore sceglie una delle
tre porte, ed il contenuto della porta non viene rilevato. Il conduttore sa ciò che si nasconde dietro ogni
porta, apre quindi una delle due porte non selezionate che nasconde una capra; in pratica se il giocatore
ha scelto una porta che nasconde una capra, il conduttore aprirà la porta che nasconde l’altra capra, se
invece il giocatore ha scelto la porta che nasconde l’automobile, il conduttore sceglie a caso una delle due
porte rimanenti. A questo punto, il conduttore offre al giocatore la possibilità di cambiare la sua scelta.
La domanda che ci poniamo è la seguente: la possibilità di vittoria aumenta per il giocatore se cambia la
propria scelta?
TRATTAMENTO E SOLUZIONE DEL PROBLEMA
La risoluzione, in un approccio rapido e conciso, può essere sintetizzato nel seguente modo:
Ci sono in totale tre scenari possibili in seguito alla scelta di cambiare la porta originaria, ciascusa con
probabilità 1/3
1.
2.
Il giocatore sceglie la porta con la capra numero 1, in tal caso il conduttore sceglierà la porta con
la capra numero 2. A questo punto. se il giocatore decide di cambiare, l’unica scelta possibile è
l’ultima porta con dietro l’automobile.
Cambiando il giocatore vince.
Il giocatore sceglie la porta con la capra numero 2, in tal caso il conduttore sceglierà la porta con
la campra numero 1 A questo punto, se il giocatore decide di cambiare, l’unica scelta possibile è
l’ultima porta con dietro l’automobile-
3.
Cambiando il giocatore vince.
Il giocatore sceglie l’auto. Il tal caso conduttore svela il contenuto di una porta, non importa
quale, dato che ditro a quelle rimanenti ci sono soli capre. A questo punto, se il giocatore decide
di cambiare, sceglier inevitamebilmente la porta con dietro una capra.
Cambiando il giocatore perde.
Notiamo allora che nei primi due scenari cambiando il giocatore vince, nel terzo scenario invece
cambiando il giocatore perde; dal momento che la strategia “cambiare” porta alla vittoria in due casi su
tre, la probabilità di successo adottando tale strategia è 2/3.
Dimostriamo ora le soluzioni del problema facendo leva da una parte sul teorema di Bayes, e dall’altra sul
teorema delle probabilità totali.
CENNI E APPLICAZIONE TEOREMA DI BAYES
In generale, in teoria della probabilità, viene definita probabilità condizionata di un evento A rispetto ad
un evento B la probabilità che si verifichi A, sapendo che B è verificato.
Dunque, siano A e B due eventi e B un evento possibile, ovvero la probabilità che si verifiche è non nulla [
P(B)≠0 ]. La probabilità che si verifichi l’evento A condzionata dall’evento B può essere espresso come
segue:
P(A ∩ B)
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐵)
dove P(AꓵB) è la probabilità congiunta dei due eventi, ovvero la probabilità che si verifichino entrambi
A tal proposito P(A|B) viene detta probabilità a posteriori, poichè permette di calcolare P(A) sapendo che
si è verificato o si verificherà con certezza assoluta l’evento B. P(A) invece viene definita probabilità a priori
poichè non condizionata da alcun altro evento o da una conoscenza che possiamo avere sul suo
verificarsi.
Il teorema di Bayes lega la misura della probabilità a posteriori con quella a priori.
Dunque, siano A e B due eventi, con B un evento possibile [ P(B)≠0 ]. La probabilità a posteriori di A
condizionato da B può essere espresso nel seguente modo:
P(B|A) · 𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴|𝐵) =
P(B)
Dimostrazione
𝑃(𝐴|𝐵) =
P(A∩B)
P(B)
definizione di probabilità congiunta
Analogamente 𝑃(𝐵|𝐴) =
P(B∩A)
P(A)
Poiche l’intersezione insiemistica è un operazione commutativa:
AꓵB=BꓵA segue P(AꓵB)=P(BꓵA)
P(A∩B)
Dunque 𝑃(𝐵|𝐴) =
Sostituendo nell’euqazione di Bayes si ha che 𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐴ꓵ𝐵)𝑃(𝐴)
P(B)P(A)
=
P(A)
P(AꓵB)
P(B)
Torniamo così alla definizione di probabilità condizionata, verificando la validità dell’equazione di Bayes.
Ora, etichettiamo le tre porte con 1, 2 e 3, e supponiamo che la prima scelta del giocatore sia la porta 1,
che il conduttore successivamente apra e riveli il contenuto della porta 3 e che quindi il giocatore possa
cambiare la propria scelta con la porta 2. In tal caso chiamiamo l’evento che l’automobile si trovi dietro la
porta 1, 2 e 3 rispettivamente A1, A2 e A3, e l’evento che il conduttore trovi la capra dietro la porta 3, C3.
Vogliamo quindi calcolare la probabilità che ha il giocatore di vincere l’automobile cambiando la scelta
orginaria (porta 1) con una nuova (porta 2), una volta che il conduttore ha rivelato la presenza della capra
dietro la porta 3: P(A2|C3)
Sapendo che
P(Ω)=1
con Ω=set di tutti i possibili eventi, in questo caso (A1|C3) e (A2|C3) si ha che
P(A1|C3) + P(A2|C3) = 1
P(A2|C3) =1 - P(A1|C3)
Per il teorema di Bayes
P(C3|A1)P(A1)
𝑃(𝐴1|𝐶3) =
P(C3)
• P(A1) = 1/3
Conseguenza del fatto che, prima della rivelazione, l’automobile ha a priori la stessa probabilità di
trovarsi dietro ciascuna porta
• P(C3)= 1/2
Conseguenza del fatto che sono rimaste solo due porte che il conduttore può scegliere, e dal
punto di vista del giocatore la probabilità che il conduttore trovi la capra dietro ciascuna porta è
equivalente.
• P(C3|A1)= 1/2
Conseguenza del fatto che, posto che l’automobile si trovi dietro la porta 1, il conduttore può
scegliefre di aprire la porta 2 o 3; dal punto di vista del giocatore il conduttore ha quindi due
porte tra cui scegliere, cioè probabilità ½ per ognuna.
Esplicitando nella relazione di Bayes si ha
1 1
∙
𝑃(𝐶3|𝐴1)𝑃(𝐴1)
1 2
𝑃(𝐴2|𝐶3) = 1 − 𝑃(𝐴1|𝐶3) = 1 −
= 1− 2 3 =1− =
1
P(C3)
3 3
2
Viene così verificato che alla scelta di cambiare porta consegue un aumento della probabilità di
rinvenire l’automobile.
CENNI ED APPLICAZIONE TEOREMA DELLE PROBABILITA TOTALI
Per il teorema delle probabilità totali vale la relazione
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
Dato cioè un evento composto da due evnti tra loro mutualmente incompatibili ( se si verifica un evento
non può verificarsi l’altro), la probabilità dell’evento totale è uguale alla somma delle probabilità degli
eventi parziali.
Dimostrazione:
Se A e B dono due insiemi incompatibili, gli elemti w di 𝐴 ∪ 𝐵 o stanno in A o stanno in B
Ed essnedo la probabilità di un certo insieme N, di elementi m, così espresso: 𝑃(𝑁) = ∑𝑚∈𝑁 P(m)
Si ha che P(A ∪ B) = ∑
P(w) = ∑
𝑤∈(𝐴∪𝐵)
𝑤∈𝐴
P(w) + ∑𝑤∈𝐵 P(w) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
Supponiamo ora che la strategia per vincere sia proprio quello di scegliere mentalmente due porte, di
indicare al conduttore la porta non scelta e poi di cambiare la propria scelta. In tal caso se chiamiamo V
l’evento vittoria dopo questa strategia, allora chiamiamo A l’evento per cui dietro le due porte scelte
mentalmente ci sia la macchina, chiameremo invece B l’evento complementare (dietro le due porte scelte
mentalmente non c’è la macchina). Applicando la definizione di probabilità condizionata ed il teorema
sopra riportato si ha
𝑃(𝑉) = 𝑃(𝑉|𝐴)𝑃(𝐴) + 𝑃(𝑉|𝐵)𝑃(𝐵)
•
•
•
•
P(V|A)= 1
Se la macchina sta dietro le porte scelte mentalmente, allora il conduttore rivelerà la porta che
nasconde l’automobile aprend quella che nasconde la capra.
P(A)= 2/3
Secondo questa strategia l’automobile può stare solo dietro le due porte scelte mentalmente
P(V|B)=0
Secondo questa strategia l’automobile è dietro le due porte scelte mentalemnte, ed essendo B
l’evento per cui dietro le due porte non c’è l’automobile, la probabilità di vincita nel caso in cui si
verifichi B è nulla.
P(B)=1/3
Se P(A)=2/3 e P(A)+P(B)=1 allora P(B)=1/3
𝑃(𝑉) = 𝑃(𝑉|𝐴)𝑃(𝐴) + 𝑃(𝑉|𝐵)𝑃(𝐵) = 1 ∙
2
1 2
+0∙ =
3
3 3
Concludiamo che la strategia “cambiare” porta nuovamente ad un aumento della probabilità di vincita.
OSSERVAZIONI
La strategia di cambiare non è quella vincente se consideriamo la variante per cui interviene un secondo
giocatore. Ad ogni giocatore è permesso scegliere una porta, non la stessa, ed il conduttore elimina il
giocatore che abbia scelto una porta con dietro la capra, e se lo hanno fatto entrambi viene eliminato uno
a caso.
Si presenteranno tre scenari diversi ognuna con probabilita 1/3
• Giocatore 1 sceglie la porta con l’auto, il conduttore deve eliminare il giocatore 2 perche
sicuramente ha scelto la porta con una capra. Cambiare scelta per il giocatore 1 corrisponde a
perdere.
• Giocatore 2 sceglie la porta con l’auto, il conduttore deve eliminare il giocatore 1 perche
sicuramente ha scelto la porta con la capra. Cambiare scelta per il giocatore 2 corrisponde a
perdere.
• Nessuno dei due giocatori sceglie la porta che nasconde l’auto, il conduttore elimina a caso uno
dei due giocatori. Cambiare scelta per il giocatore rimasto corriponde a vincere.
Notiamo che, a prescindere dal giocatore rimasto, c’è una probabilità pari a 2/3 di vincere se non si
cambia scelta. Difatti, nell’istante in cui uno dei due giocatori arriva al secondo turo, deve considerre che
la probabilità che abbia inizialmente effettuato la scelta giusta si modifica e sale a 2/3. In pratica il
giocatore riveste lo stesso ruolo che, senza il variante del doppio giocatore, riveste la porta non
selezionata dal giocatore, nè eliminata dal conduttore.
CONCLUSIONI
Una soluzione diversa a quella sopra descritta è guidata dall’idea che il passato possa essere ignorato
quando si valutano delle probabilità. Se difatti la scelta della prima porta e la rivelazione del conduttore
possono essere trascurati, dal momento che si può scegliere tra due porte, la probabilità di scegliere
quella giusta dovrebbe essere ½ . D’altra parte è difficile anche trascurare l’incongruenza per cui la
probabilità di vincita, che all’inizio di ogni rivelazione da parte del conduttore era 1/3, possa
automaticamente aumentare ad ½ solo per un evento che il giocatore trascura. Sebbene ignorare il
passato funzioni in certi giochi come il lancio della moneta, non funziona necessariamente in tutti i giochi;
difatti ciò che aumenta la probabilità di vincita del giocatore nello show di Monty Hall è proprio la
conoscenza del passato e la restrinzione che essa porta sui possibili eventi futuri.
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