Energia, potenziale - Dipartimento di Ingegneria e Architettura

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Energia, potenziale
24 ottobre 2005
Indice
1
Energia
1.1 Energia di moto o cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Energia di posizione o potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Bilancio dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Il potenziale di un campo
2.1 Potenziale elettrico . . . . . . . . . . .
2.2 Potenziale gravitazionale (in grande) . .
2.3 Potenziale gravitazionale (in piccolo) . .
2.4 Energia potenziale in un campo di forze
2.5 Potenziale delle velocità . . . . . . . .
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Energia
L’energia posseduta da un sistema fisico può essere paragonata al patrimonio
posseduto da una famiglia o da una azienda. Come il patrimonio di una famiglia
può essere costituito da diverse categorie di beni, quali case, terreni, azioni, gioielli, oro, denaro liquido, ecc., cosı̀ l’energia di un sistema può essere costituita da
diversi tipi di energia, quali l’energia elastica, elettrica, gravitazionale, chimica,
nucleare, di movimento, ecc.
D. Si chiama energia di un sistema fisico la capacità
che ha il sistema di compiere lavoro e di fornire calore
L’energia è un attributo di un sistema, in particolare di un corpo, di una particella, di un campo (ma non di un punto!). L’energia è una grandezza globale. Il
lavoro ed il calore sono due forme di flusso di energia[4, p.19]: in particolare
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il lavoro è un flusso di energia macroscopico (ordinato);
il calore è un flusso di energia microscopico (disordinato).
Il lavoro che l’ambiente esterno fornisce al sistema si chiama lavoro esterno.
Il lavoro che una parte del sistema fornisce alla parte rimanente si chiama lavoro
interno.
Notazioni. L’energia è una tra le grandezze fondamentali della fisica ed è utilizzata
in innumerevoli occasioni sia nella fisica che nell’ingegneria. Questo uso frequente ha
portato ad indicarla con le più disparate lettere. Più avanti daremo un elenco dei simboli
più usati: per ora indicheremo l’energia con la lettera E seguita da tutte le precisazioni
necessarie. Useremo le forme abbreviate indicate nella tavola che segue:
Tavola 1. Notazioni (non ufficiali) usate in questa appendice per mettere in evidenza i tipi di energia evitando l’inganno delle lettere: ad
esempio la stessa lettera U, che è il simbolo ufficiale per l’energia interna, nella letteratura inglese denota l’energia potenziale mentre in quella
europea denota il potenziale delle forze
{Tavola0}
energia E

int



 interna E pot
energia potenziale E pot 


 esterna E est
pot

micro



 microscopica Ecin
energia cinetica Ecin 


 macroscopica E macro
cin
energia interna E int
energia totale E tot

est



 a contatto Wcont
lavoro esterno 


 a distanza W est
dist
lavoro interno
W int
Convenzione. In fisica si considera positivo il lavoro fornito dall’esterno ad un sistema: noi pertanto, quando parleremo di flusso di energia, intenderemo che sia positivo
quando è entrante.
Terminologia. Il fatto che il calore, come il lavoro, siano flussi di energia, rende manifesto che è errato parlare di flusso di calore in quanto ciò equivale a parlare di flusso
di flusso di energia, ciò che non ha senso. Il termine flusso di calore sembrerebbe giustificato dal corrispondente termine quantità di calore posseduta da un corpo, ma anche
2
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questa espressione non ha senso essendo il calore un flusso di energia. Un flusso entra o
esce da un volume, attraversa una superficie, si riferisce a qualcosa che è in transito, non
può essere contenuto in un volume. Si dirà “quantità di energia posseduta da un sistema”
, in particolare quantità di energia interna di un gas o di un sistema, ma non “quantità di
calore posseduta da un sistema”.
La potenza, definita come lavoro per unità di tempo, è il tasso1 di flusso d’energia. Si parla infatti di potenza assorbita da una macchina, di potenza erogata da un generatore; di potenza trasmessa attraverso una superficie; di potenza
emessa da una superficie, ecc.
L’energia di un sistema fisico si può dividere in due grandi categorie: energia
di moto, detta anche energia cinetica ed energia di posizione detta anche energia
potenziale.
1.1
Energia di moto o cinetica
D. Si chiama energia cinetica di un sistema in un dato stato di moto, la somma del lavoro e del calore che si devono
fornire al sistema per portarlo dalla quiete allo stato di moto dato,
depurato del lavoro speso per vincere le resistenze passive, tipicamente l’attrito e la resistenza dell’aria o del mezzo. Essa può
distinguersi in energia cinetica microscopica dovuta all’agitazione molecolare ed energia cinetica macroscopica dovuta al moto
di insieme.
Sembra strano includere il calore in questa definizione: questo dipende dall’aver considerato anche l’energia cinetica microscopica. Un ferro da stiro caldo ha un’energia cinetica microscopica dovuta al calore generato dalle resistenze
elettriche che si trovano nel suo interno.
Esempio.1 - Il gas contenuto in una bombola in quiete sul pavimento possiede una
energia cinetica microscopica dovuta al moto browniano delle sue molecole. Il gas della
medesima bombola situata su un autocarro che la trasporta possiede anche una energia
cinetica macroscopica (attenzione: stiamo parlando del gas non dell’involucro di acciaio
che costituisce la bombola).
Esempio.2 - Un pezzo di formaggio possiede una energia cinetica microscopica
dovuta alle vibrazioni delle sue molecole: infatti mettendo il pezzo di formaggio nel
frigorifero si raffredda e quindi diminuisce l’energia cinetica microscopica.
1
Il termine inglese corrispondente è rate.
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Esempio.3 -L’energia cinetica macroscopica è relativa al sistema di riferimento considerato. Cosı̀ una persona seduta su un sedile dell’automobile in moto ha energia cinetica
nulla rispetto all’auto mentre ha un’energia cinetica notevole rispetto alla Terra.
1.2
Energia di posizione o potenziale
Premettiamo che il termine configurazione di un sistema indica l’insieme delle
posizioni dei punti di un sistema. Cosı̀ un libro (chiuso) posto su uno scaffale ha
una diversa posizione del medesimo libro (chiuso) posto su un tavolo; un libro
chiuso posto sul tavolo o il medesimo libro aperto posto nella stessa posizione sul
tavolo hanno due diverse configurazioni. La distinzione tra il termine “posizione”
ed il termine “configurazione” è in parte arbitraria. Le “figure ” di una ballerina (classica) o quelle di un ginnasta sono, nel linguaggio meccanico, diverse
configurazioni.
D. Si chiama energia potenziale di un sistema in una
data configurazione il lavoro che deve essere fatto dalle forze
esterne per portare il sistema da una configurazione di riferimento
alla configurazione data, depurato dal lavoro fatto per vincere forze dissipative, tipicamente attriti e resistenze dell’aria o del mezzo. Questo presuppone che tale lavoro non dipenda dal percorso
fatto.
int
E pot = 0
est
E pot = 0
int
int
E pot = 0
E pot > 0
est
est
E pot > 0
E pot = 0
int
E pot > 0
est
E pot > 0
a)
b)
c)
d)
Figura 1. Sistema composto da due masse e da una molla a compressione. a)
configurazione di riferimento; b) configurazione generica con energia potenziale interna; c) configurazione di riferimento con energia potenziale esterna; d)
configurazione generica con energia potenziale interna ed esterna
{corso-energiaPotenziale}
4
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Evidentemente l’energia potenziale è quella parte dell’energia totale del sistema che non è cinetica2 . Un sistema A può essere considerato a se stante oppure come parte di un sistema più esteso B. Considerato a se stante il sistema A
possiede un’energia potenziale che prende il nome di energia potenziale interna
mentre considerato come parte di un sistema esteso B possiede anche una energia
potenziale esterna.
Esempio.4 - Ad esempio caricando un orologio a molla si incrementa la sua energia potenziale interna; portando il medesimo orologio dal pavimento su un tavolo si incrementa la sua energia potenziale esterna. La somma di queste due dà l’incremento
complessivo dell’energia potenziale.
Esempio.5 - Quando solleviamo una valigia ne aumentiamo la sua energia potenziale
esterna (energia di tipo gravitazionale) mentre quando la comprimiamo per chiuderla (di
solito è stracolma di indumenti!) ne aumentiamo l’energia potenziale interna.
Esempio.6 - Caricando un accumulatore elettrico ne aumentiamo l’energia potenziale
interna: questa viene immagazzinata nei legami chimici nelle reazioni che si producono
(energia di tipo elettrico).
Esempio.7 - Consideriamo il sistema composto da due cariche elettriche di ugual
segno: poiché esse si respingono per avvicinarle occorre fare del lavoro su di esse. Una
volte avvicinate esse possiedono una energia potenziale interna che, per definizione, è
uguale al lavoro compiuto per avvicinarle. Se poi le due cariche si trovano in presenza di
un campo elettrico dovuto ad altre cariche allora il sistema delle due cariche possiede una
energia potenziale esterna.
Esempio.8 - Consideriamo il sistema composto da due masse soggette alla loro attrazione gravitazionale: quando sono distanti posseggono maggiore energia potenziale
di quando sono vicine. Infatti, essendo soggette alla attrazione gravitazionale, per allontanarle occorre fare dall’esterno del lavoro su di esse e questo le carica di energia
potenziale.
Esempio.9 - Un gas perfetto è un modello del gas costituito da “molecole equiparabili a sferette elastiche in continuo movimento che hanno un volume trascurabile rispetto al
volume occupato dal gas. ... Inoltre non esercitano le une sulle altre alcuna azione sensibile (coesione fra moleole uguali, adesione tra molecole di natura diversa) tranne durante
gli urti reciproci, paragonabili, questi, ad urti elastici.” 3 . Esse “subiscono collisioni elastiche istantanee. L’effetto di queste collisioni è di cambiare la direzione del movimento
delle particelle che è rettilineo e uniforme tra due collisioni successive. A causa di queste
collisioni multiple e aleatorie, tutte le molecole sono distribuite in modo omogeneo in tutto il volume occupato dal gas e le loro velocità sono distribuite in modo isotropo in tutte
le direzioni.” 4 Queste implica che le molecole siano dotate solamente di energia cinetica
microscopica e che non vi sia energia potenziale interna. Quindi l’energia interna sia solo
l’energia cinetica microscopica.
2
Non si deve credere che tutti gli autori abbiano le idee chiare su una nozione cosı̀ importante
come quella di energia potenziale. Vi è chi dice “... V is called potential or potential energy [9, p.3]
[15, p.43].
3
Perucca [13, v. I, p. 689]
4
Morel [12, p. 136]
5
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totale E
potenziale V
cinetica T
cinetica
macroscopica
cinetica
microscopica
potenziale
interna
potenziale
esterna
interna U
Figura 2. I diversi tipi di energia.
{corso-diverseEnergie}
L’energia potenziale può distinguersi in energia meccanica, chimica, nucleare, elastica, elettrica, gravitazionale, ecc. Nelle applicazioni intervengono alcuni
raggruppamenti caratteristici che prendono speciali nomi. Essi sono:
Energia totale: è la somma dell’energia cinetica (macro e micro) e dell’energia potenziale (interna ed esterna):
Etot = Ecin + E pot .
(1)
{G6}
Energia interna: è la somma dell’energia cinetica microscopica e dell’energia potenziale interna:
micro
E int = Ecin
+ E int
(2) {M6}
pot .
1.3
Bilancio dell’energia
Alcuni autori, anche se autorevoli compiono l’errore di identificare l’energia potenziale con il potenziale. Tra questi [15, p.48] Sommerfeld e [9, p.3] Goldstein.
Una grandezza fisica si dice estensiva quando è additiva sulle parti di un sistema. Ciò significa che ad ogni parte di un sistema fisico si può assegnare una
quota di quella grandezza e che la quota associata all’intero sistema è somma delle
quote associate ad ognuna delle sue parti.
Grandezze fisiche estensive sono: la massa, la quantità di moto, il momento angolare; l’energia, la carica elettrica, l’entropia, il numero di moli di una
sostanza ed il numero di particelle.
Di ogni grandezza estensiva si possono individuare tre forme: la produzione,
il flusso e il contenuto. L’incremento del contenuto costituisce l’accumulo5 .
5
In inglese i termini corrispondenti sono: production, flow, content, storage.
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Esempi: produzione entropica, flusso d’entropia, contenuto d’entropia e accumulo d’entropia.
Si può parlare di quantità di moto posseduta da un sistema e di impulso (della
forza) fornito al sistema: poiché l’impulso ha le stesse dimensioni della quantità
di moto e poiché l’impulso fornito ad un sistema ne fa variare la quantità di moto
ne viene che l’impulso è un flusso di quantità di moto.
Per ogni grandezza fisica estensiva si può scrivere una equazione di bilancio
che ha la seguente forma generale:
(
) (
) (
)
quantità
quantità
f lusso
=
+
.
(3) {T5}
accumulata
prodotta
entrante
Quando la grandezza fisica estensiva non può essere prodotta, si ha la conservazione della grandezza. Tipiche grandezze che si conservano sono: la massa, l’energia6 , la quantità di moto, il momento angolare, la carica elettrica. La
conservazione di una grandezza può essere quindi espressa dall’equazione:
)
(
) (
f lusso
quantità
=
.
(4) {T7}
entrante
accumulata
Questa relazione è immediata conseguenza della definizione di energia cinetica che abbiamo dato: passando da uno stato di quiete ad uno stato di moto
assegnato, l’energia cinetica è uguale al lavoro + calore che gli è stato fornito per
il passaggio. Ne viene che, se lo stato di moto cambia, la variazione di energia
cinetica uguaglia la somma lavoro + calore fornita per il cambiamento. La grandezza estensiva entropia, al contrario delle precedenti, ha una produzione. In una
reazione chimica si ha la produzione della massa di ogni componente (produzione
positiva o negativa) ma si ha la conservazione della massa totale7
Fatte queste premesse sulle diverse forme di energia vediamo come scrivere la
legge di conservazione dell’energia per un sistema chiuso cioé senza scambio di
materia con l’esterno8 . Indicando con W[−→ sistema] il lavoro fornito al sistema,
con Q[−→ sistema] il calore fornito al sistema, il bilancio dell’energia si scrive :
[7, v. I,p.48]
6
Sappiamo oggi che la massa si può convertire in energia e quindi, a rigore tanto la massa che
l’energia non si conservano separatamente. Poiché la conversione della massa in energia avviene
solo nelle reazioni nucleari, nei processi normali (ad esempio in chimica) si considera la massa e
l’energia come grandezze conservate.
7
Questo principio è dovuto al chimico francese Lavoisier, padre della chimica moderna, che
per essere stato funzionario del ministero delle finanze, nel 1794, fu gigliottinato dalla rivoluzione
francese insieme a tutti gli altri funzionari.
8
Se un sistema scambia materia scambia anche energia. Si pensi alla pentola sul fuoco senza
coperchio: il vapore uscente porta con sé energia cinetica microscopica e macroscopica.
7
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i
∆Ecin = W[−→ sistema] + Q[−→ sistema].
(5)
{R5}
Il lavoro W può essere fornito dall’interno o dall’esterno: quest’ultimo, a sua
volta, può essere fornito per azione a distanza (in presenza di un campo) o per
azione a contatto (attraverso la superficie mobile). La superficie può essere mobile
o perché il sistema è deformabile, ad esempio il pistone di un cilindro, un pallone,
una camera d’aria, o perché il sistema stesso è mobile, come nel sollevamento di
un corpo rigido, nella palla da tennis colpita dalla racchetta.
Con queste precisazioni l’equazione precedente diviene [1, p.248, 251 ?] (legenda: cont = contatto, dist = a distanza)
h
i
est
est
∆Ecin = W int + Wdist
+ Wcont
+Q
(6)
{J9}
a) meccanica
In meccanica di solito si ignora il calore, dunque Q = 0.
Il lavoro fornito dall’interno è provocato da una diminuzione di energia potenziale interna e quindi: W int = −∆E int
pot . Per quanto concerne il lavoro fornito
dall’esterno dovuto all’azione di campi se le forze sono conservative esso uguaglia
est = −∆E est .
la variazione dell’energia potenziale esterna: Wdist
pot
Pertanto nell’ipotesi che i vincoli siano non dissipativi (Q = 0), e che le forze
esterne siano conservative si ha
h
i
est
est
∆Ecin = − ∆E int
(7) {J1}
pot + ∆E pot + Wcont
o anche
est
∆(Ecin + E pot ) = Wcont
.
(8)
{J2}
est = 0 e
Se poi mancano vincoli esterni o, qualora esistano, siano fissi, allora Wcont
quindi
Etot = costante
(9)
{J4}
che esprime l’integrale dell’energia. Essa vale dunque per:
1) sistemi chiusi (niente apporto o perdita di materia)
2) vincoli non dissipativi (niente produzione di calore)
3) vincoli fissi (niente lavoro assorbito o ceduto a contatto)
4) forze conservative;
5) sistema adiabatico (niente calore scambiato)
Poiché un sistema che non scambia ne materia ne energia con l’esterno si dice
isolato ne viene che l’integrale dell’energia vale per un sistema isolato che non
produce calore e che sia soggetto a forze conservative.
8
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i
i
i
i
i
i
In meccanica si usa indicare con T l’energia cinetica e con V l’energia potenziale: con queste notazioni l’equazione precedente si scrive
T + V = costante.
(10)
{E3}
b) termodinamica
In termodinamica solitamente non si considera l’energia potenziale esterna,
quindi ∆E est
pot = 0. Pertanto il bilancio diventa
est
∆Ecin = −∆E int
pot + Wcont + Q
(11)
{J6}
Dividendo l’energia cinetica in macroscopica e microscopica, se, come d’uso
macro = 0
il sistema è in quiete si ha ∆Ecin
h
i
micro
est
∆ Ecin
+ E int
pot = Wcont + Q
(12)
{J11}
Indicando con U l’energia interna (somma dell’energia cinetica microscopica
e dell’energia potenziale della forze interne), il bilancio energetico si puó scrivere
nella forma
est
∆U = Wcont
+ Q.
(13) {Z4}
Si ottiene in tal modo il primo principio della termodinamica. Solitamente il
est = p∆V avendo indicato con p la
lavoro esterno a contatto si esprime con Wcont
pressione e con ∆V la variazione volume.
Osservazione. Qui il lavoro è considerato positivo se entrante [7, v.I,p.48][10,
p.40][3, p.314] mentre in termodinamica alcuni autori lo continuano a considerare
positivo quando è uscente, cioé quando è fornito dal sistema. Questa diversa convenzione è conseguenza di vicende storiche. Oggi sappiamo che calore e lavoro
sono due manifestazioni del flusso d’energia ed è naturale uniformare sia la unità
di misura (joule per entrambi invece di calorie e joule) sia le convenzioni sul loro
segno.
Si faccia attenzione al fatto che su molti libri di fisica il principio di conservazione delll’energia è scritto nella forma
∆U = Q − W
(14)
{KG45}
In questo caso con W si intende il lavoro ceduto dal sistema. Noi, come altri
autori, preferiamo considerare il lavoro che i sistema riceve e questo ha segno
opposto.
Notazioni. Purtroppo capita in fisica che una stessa lettera denoti grandezze diverse: tale è il caso della lettera T che denota la temperatura assoluta, il
periodo di un’oscillazione, il tempo di riverberazione, l’energia cinetica, il momento torcente, ecc. Più infelice è il caso della lettera U che è impiegata con
9
i
i
i
i
i
i
i
i
almeno quattro significati diversi: in termodinamica denota l’energia interna, in
fisica denota l’energia potenziale, nell’elettromagnetismo denota la differenza di
potenziale mentre nella meccanica teorica denota il potenziale delle forze. Questo
diverso significato attribuito ad una lettera è causa di notevoli equivoci quando si
confrontano libri o pubblicazioni di autori diversi. Secondo le notazioni stabilite
dalla Unione Internazionale di Fisica Pura ed Applicata (si veda IUPAP) l’energia interna deve essere denotata con la lettera U, l’energia potenziale può essere
denotata con una delle quattro lettere U, V, Φ, E p ; la differenza di potenziale con
la lettera U (si veda la (3)).
2
Il potenziale di un campo
Una forza agente su un corpo quale un aereo, una nave, un’auto, un pallone, può
essere funzione dal tempo, della posizione, della velocità, e di altre grandezze9 .
Per calcolare il lavoro si devono sommare i prodotti scalari della forza per
gli spostamenti infinitesimi del suo punto di applicazione. Di conseguenza tale
lavoro, lungo un percorso prefissato, potrà dipendere dal tempo, dalla velocità o
da altre grandezze.
Consideriamo due esempi per chiarire questa nozione apparentemente semplice.
a) Consideriamo il lavoro fatto dalla resistenza aerodinamica che si esercita su
un aereo o su un’auto mentre fa un percorso di lunghezza L a velocità costante v0 .
La resistenza R dipende solamente dalla velocità v0 . Essendo costante la velocità
ne viene che il lavoro è
Z B
W=
R(v0 ) · dr = R(v0 )L.
(15) {Z5}
A
Esso quindi dipende dalla lunghezza del percorso e dalla velocità con cui il
corpo si muove. Se poi il corpo percorre il medesimo tratto con velocità variabile
v(t) il lavoro da compiere sul corpo sarà
Z B
Z tB
W=
R[v(t)] · dr =
R[v(t)] · v(t)dt.
(16) {RS5}
A
tA
Per calcolarlo occorre assegnare la funzione v(t): tale lavoro quindi non dipende solo dalla traiettoria, ma dalla modalità con cui essa è percorsa.
b) Quando spostiamo un baule tirandolo sul pavimento compiamo un lavoro
vincendo l’attrito: in questo caso se µ è il coefficiente di attrito, P il peso del
9
Ad esempio del campo magnetico, come accade per una carica elettrica in moto in un campo
magnetico (forza di Lorentz) o della accelerazione, come accade per una carica elettrica frenata che
emette radiazione.
10
i
i
i
i
i
i
i
i
baule, ... ? ... il versore tangente alla traiettoria, la forza di attrito da vincere è ....
Non siamo di fronte ad un campo di forze ed il lavoro fatto dipende dal cammino
seguito. La forza da applicare per muovere il baule è ... e quindi il lavoro da noi
compiuto è ... ed è proporzionale alla lunghezza del percorso.
c) Un caso di notevole rilevanza in fisica è quello in cui la forza dipenda solamente dalla posizione. In tal caso il lavoro si può valutare senza precisare la
modalità di movimento del punto di applicazione in quanto ne risulta indipendente:
W=
B
Z
f(r) · dr.
(17)
{Y6}
A
Nasce in questo modo l’idea di circolazione di una forza funzione del punto,
più in generale di un campo vettoriale, da un punto ad un altro lungo un determinato percorso: esso può essere calcolato in modo puramente geometrico, senza
considerare lo spostamento effettivo del punto di applicazione della forza.
Qualora la circolazione lungo un percorso congiungente due punti del campo
dipenda solo dai due punti estremi e non dal percorso, allora il campo si dirà
conservativo. In questo caso si potrà scegliere un punto di partenza ed assegnare
ad ogni altro punto del campo il valore della circolazione del vettore valutato dal
punto di partenza al punto generico. In questo modo ad ogni punto sarà assegnato
uno scalare che prende il nome di potenziale del campo.
Si noti che un sistema fisico (non un campo di forze) si dice conservativo
quando si conserva l’energia totale e quindi quando
a) le forze esterne agenti su di esso sono conservative;
b) i vincoli sono fissi e non dissipativi.
Una cosa è quindi un campo conservativo, un altra cosa è un sistema conservativo. Si noti inoltre che l’energia potenziale é una grandezza riferita ad un
sistema, in particolare di una particella, mentre il potenziale di un campo è una
grandezza riferita ad un punto.
2.1
Potenziale elettrico
Il potenziale elettrico in un punto del campo è il rapporto tra l’energia potenziale
di una carica posta nel punto e la carica stessa:
φ(r) =
energia potenziale di una carica E pot
=
carica
q
(18)
{D5}
Poiché l’energia potenziale di una carica è il lavoro fatto dalla forza del campo
per portarla dal punto considerato ad una posizione di riferimento, e poiché la
forza per unità di carica è il vettore E, ne viene che il potenziale elettrico in un
11
i
i
i
i
i
i
i
i
punto r può definirsi come la circolazione del vettore campo elettrico E(r) lungo
una linea qualsiasi che va dal punto all’infinito:
Z ∞
φ(r) =
E(r) · dr
(19) {S6}
P
L’infinito è stato scelto al fine di avere un posizione in cui il campo elettrico è
nullo.
In particolare il vettore campo elettrico generato da una distribuzione di cariche Q a simmetria sferica è dato da:
Q 1 r
4πε0 r2 r
ed il corrispondente potenziale elettrico è:
Z ∞
Q 1
Q 1 r
.
φ(r) =
· dr =
2
4πε0 r r
4πε0 r
P
E(r) =
(20)
{F9}
(21)
{F1}
Il potenziale elettrico quindi decresce con la distanza dalla carica Q. 10 Ne
viene che
Q 1 r
grad φ = −
= −E
(22) {Lu1}
4πε0 r2 r
ed essendo E perpendicolare alle superfici equipotenziali che sono sfere concentriche si ha
E = −∇ φ
o anche
E = −grad φ
(23)
{F2}
Il segno “-” si giustifica per il fatto che il potenziale è calcolato da un punto
generico ad un punto fisso, e non da un punto fisso ad un punto generico.
2.2
Potenziale gravitazionale (in grande)
Il potenziale gravitazionale in un punto è il rapporto tra l’energia potenziale di
una massa posta nel punto e la massa stessa [14, p.303]
energia potenziale di una massa E pot
=
.
(24) {F3}
massa
m
Poiché l’energia potenziale di una massa è il lavoro fatto dalla forza esterna
per portarla da una posizione di riferimento al punto considerato ne viene che,
essendo la forza esterna opposta al vettore del campo, il potenziale gravitazionale
in un punto P può definirsi come la circolazione del vettore campo gravitazionale
g(r) lungo una linea qualsiasi che va dal punto all’infinito:
Ug (r) =
10
La carica si intende col suo segno.
12
i
i
i
i
i
i
i
i
Ug (r) =
Z
∞
g(r) · dr.
(25)
{F4}
P
L’infinito è stato scelto per il fatto che a tale distanza il campo è nullo In
particolare il campo gravitazionale generato da una massa sferica M è dato da:
g(r) = −GM
1 r
.
r2 r
(26)
Il segno meno è conseguenza del fatto che le masse si attraggono quindi il verso
di g è opposto a quello di r. Il potenziale gravitazionale è:
Z ∞
1 r
1
Ug (r) =
−GM 2 · dr = −GM .
(27)
r
r r
P
{F5}
{F6}
Si vede di qui che il potenziale gravitazionale è negativo e che allontanandoci
dalla massa cresce, al contrario del potenziale elettrico tra due cariche dello stesso
segno che si respingono. Questo corrisponde al fatto che per caricare di energia
due masse occorre separarle. Si pensi al lavoro fatto per mettere una valigia sulla
reticella dello scompartimento in treno: la valigia si allontana dalla terra, l’energia
potenziale cresce e, per la relazione ... ? ... anche il potenziale gravitazionale
cresce.
2.3
Potenziale gravitazionale (in piccolo)
A piccola distanza dalla superficie terrestre si può ritenere che l’accelerazione di
gravità g sia uniforme. Assunto come riferimento a potenziale nullo la superficie
terrestre, o qualunque superficie ad essa parallela, come quella di un tavolo, il
potenziale gravitazionale in un punto P situato a quota z risulta:
Ug (z) =
P0
Z
g(r) · dr =
P
Z
0
−g dz = g z
(28)
{F7}
z
Si osservi che il potenziale in grande si riduce a quello in piccolo, come deve
accadere. Infatti posto r = R + z essendo R il raggio terrestre si ha
GM
GM 1
GM z
Ug R + z) = − 2
=−
≈
−
1
−
=
(29)
R 1+ z
R
R
R +z
R
GM GM
+ 2 z = φ(R) + gz
R
R
che differisce dal potenziale in piccolo per una costante additiva.
=−
(30)
{F7b}
{F7a}
13
i
i
i
i
i
i
i
i
2.4
Energia potenziale in un campo di forze
In un campo di forze l’energia potenziale di una forza dipendente solo dal posto
è, per definizione, il lavoro fatto dalla forza del campo per portare la particella che
subisce la forza da un punto di riferimento P0 al punto assegnato P:
V(P) =
P0
Z
f(r) · dr.
(31)
{F8}
P
Si noti che esso è valutato da un punto generico ad un punto fisso concordemente agli altri potenziali di campo. In particolare per il campo delle forze
elastiche:
Z P0
1
Velast (r) =
(32) {F10}
−kr · dr = − k r2 .
2
P
♣ [RIVEDERE: CAMBIATO] L’energia potenziale del sistema costituito della sorgente del campo (carica o massa) e dalla particella esploratrice è invece è il
lavoro fatto dalla forza esterna per portare la particella dal punto di riferimento
al punto assegnato. Poiché nel calcolo della circolazione si suppone che la forza
esterna sia in ogni punto opposta alla forza del campo, il lavoro fatto dalla forza
esterna risulta opposto a quello fatto dalla forza del campo. Ne viene che l’energia
potenziale del sistema costituito dalla sorgente e dalla particella esploratrice posta
in P è l’opposto del potenziale della forza in P. Dunque ...
Osservazione. Nei libri di meccanica razionale si definisce l’energia potenziale, spesso senza dire di chi, come il potenziale delle forze cambiato di segno11 . Pur essendo la
relazione corretta, il fatto di considerarla come definizione dell’energia potenziale è inopportuno perché non mette in evidenza il ruolo fondamentale dell’energia potenziale di un
sistema.
2.5
Potenziale delle velocità
Nel caso di un campo vettoriale che dipende sia dal posto che dal tempo la nozione di potenziale si generalizza intendendo che l’integrale lungo la linea sia fatto
congelando il tempo. Questo equivale a considerare uno spostamento virtuale δr
in luogo dello spostamento effettivo dr.
Cosı̀ nella dinamica dei fluidi12 si può considerare la velocità v(r, t) in ogni
punto della regione in cui il fluido si muove. Si definisce potenziale cinetico o
11
12
Solitamente si usa U per il potenziale e V per l’energia potenziale e si scrive V = −U.
Col nome di fluido si intende un liquido o un gas.
14
i
i
i
i
i
i
i
i
potenziale delle velocità la grandezza
φ(r, t) =
Z
P
v(r, t) · δr =
Z
P0
Ph
v x (x, v, z, t)δx + vy (x, v, z, t)δy + vz (x, v, z, t)δz
P0
i
(33)
{lv1}
δφ(r, t) = v(r, t) · δr
(34)
{lv2}
v(r, t) = ∇φ(r, t).
(35)
{lv3}
Ne viene
ovvero
Tavola 2. Tavola comparativa fra i potenziali.
F
elettrico
E=
q
F
gravitazionale g =
m
di velocità
di forze
v
F
φ=
φ=
∞
Z
E(r) · dr
P
Z ∞
g(r) · dr
P
φ=
U=
E pot
q
E pot
φ=
m
φ=
{125}
E = −∇φ
P
Z
v = ∇φ
v(r) · dr
P0
Z P
g = −∇φ
F(r) · dr U = −E pot
F = ∇U
P0
Tavola 3. Notazioni
{Tavola2}
grandezza
simbolo usato
Norma IUPAP
energia
energia potenziale
energia cinetica
energia interna
lavoro
potenza
potenziale elettrico
potenziale gravitazionale
potenziale forze
E
E pot , V
Ecin , T
Eint , U
W
P
φ
Ug
U
E, W
E p , V, Φ, U
Ek , T, K
U
W
P
V, φ
(non deciso)
(non deciso)
15
i
i
i
i
i
i
i
i
Riferimenti bibliografici
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Ambrosiana, 1970
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[6] Drazil, J.V., Dictionary of quantities and units, Leonard Hill, London 1971
[7] Fer F., de Broglie M.L., Thermodynamique macroscopique, Tome I:
Systèmes fermés, Gordon & Breach, (1970)
[8] Fleury P.F. e Mathieu J.P, Trattato di fisica generale e sperimentale,
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[10] Guggenheim B.A., Termodinamica, Einaudi, 1952
[11] Halliday D., Resnick R., Fisica, vol. II, Ambrosiana, 1982
[12] Morel P., Physique quantique et thermique, Hermann, 1969
[13] Perucca E., Fisica generale e sperimentale, vol.I-II, Utet, 1940.
[14] Sears, Mechanics, Heat and Sound, MacGraw Hill, 1965
[15] Sommerfeld
[16] IUPAP, International Union of Pure and Applied Physics, Symbols, units and
fontamental constants of physics.
energia e potenziale.tex
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