Schermo magnetico

Schermo elettromagnetico
April 23, 2007
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Teoria
All'interno dei conduttori i campi magnetici variabili provocano delle correnti parassite di intensità e verso tali da opporsi al
campo magnetico che le ha generate. In questo modo, le lastre conduttrici sono in grado di schermare parzialmente i campi
magnetici. L'ecacia della schermatura dipende dalla conduttività del materiale,
Per capire come questo avviene, conviene scrivere le equazioni di Maxwell all'interno di un conduttore, tenendo conto della
~ , e risolverle:
legge di Ohm J~ = σ E
~B
~
∇
~E
~
∇
= 0
= 0
~ ×B
~
∇
~ + µ
= µσ E
~ ×E
~
∇
= −
~
∂E
∂t
~
∂B
∂t
Prendendo il rotore della terza equazione, e tenendo conto delle altre tre, si trova:
~ = µσ
∇2 B
~
~
∂B
∂2B
+ µ 2
∂t
∂t
~ x, t) = B
~ s (~x) exp(iωt), si trova inne:
Considerando un campo sinusoidale, e quindi della forma B(~
~ s = iωµσ B
~ s − ω 2 µB
~s
∇B
Per continuare, supponiamo di trovarci alla supercie di un conduttore, e utilizziamo un sistema di coordinate in cui l'interno
del conduttore corrisponde a z > 0, mentre l'esterno corrisponde a z < 0. Consideriamo inoltre che la variazione del campo
avvenga soprattutto in direzione z .
L'equazione si semplica:
~s
∂2B
~ s (z)
= (iωµσ − ω 2 µ)B
∂z 2
~ s (z) = B
~ 0 exp(kz) dove k = ± iωµσ − ω 2 µ, e il segno va scelto in modo tale che il campo decresca per z > 0.
e quindi B
Notiamo inoltre che in un conduttore tipico, come ad esempio il rame, in cui σ = 5.96 × 107 Ω−1 m−1 , per tutte le frequenze
di uso pratico il secondo termine sotto radice è molto minore del primo. Allora si ha
p
r
p
1
ωµσ
k = − iωµσ = −
(1 + i) = − (1 + i)
2
δ
q
2
La quantità δ = µωσ
è detta profondità di pelle del conduttore.
I campi magnetici (ed elettrici) al suo interno variano pertanto approssimativamente secondo la relazione
~ = B~0 exp(−z/δ) exp(−iz/δ) exp(iωt)
B
Se consideriamo uno schermo di conduttore di spessore d e supercie innita, allora questo attenuerà i campi magnetici di
un fattore pressappoco uguale a exp(−z/δ) e lo sfaserà di una quantità −z/δ .
Per il rame, ad esempio, inserendo i valori numerici, si ha δ = 9.22 mm alla frequenza di 50 Hz: uno schermo di rame non
ha una grande ecacia alle frequenze di rete, in quanto per ridurre il campo magnetico di 1/3 bisogna inserire circa 1 cm di
materiale. A frequenze più alte però la profondità di pelle decresce, per cui ad esempio a 5 kHz diventa inferiore ad 1 mm, e a
500 kHz inferiore ad 1/10 di mm: questo vuol dire che a quelle frequenze i campi elettrici e magnetici rimangono connati in
uno strato di spessore inferiore ad 1/10 di mm in prossimità della supercie. Questo comporta ad esempio un aumento della
resistenza dei conduttori all'aumentare della frequenza.
Figure 1: Schema di montaggio
22
55
R
R
N
N
68
34
67
66
33
Per l'alluminio, risulta σ = 3.77 × 107 Ω−1 m−1 , per cui la profondità di pelle risulta di circa 11.6 mm.
Il ferro ha una conducibilità di circa 107 Ω−1 m−1 ma d'altro canto ha una alta permeabilità magnetica relativa (valori tipici
intorno a 100) , per cui la tipica profondità di pelle si aggira intorno ai 2, 2mm: inoltre, a causa di eetti di non linearità, il
valore misurato può dierire enormemente da quello previsto.
2
Apparato sperimentale.
L'apparato sperimentale consiste in due bobine aacciate ognuna contenente un nucleo sagomato a forma di E e realizzato con
una serie di lamelle, in modo da ridurre le correnti di Foucalt all'interno del nucleo stesso.
Una delle due bobine è alimentata tramite un amplicatore, mentre sull'altra viene indotta una dierenza di potenziale
proporzionale alla derivata del campo magnetico.
In linea di principio basta inviare al primario un segnale sinusoidale di frequenza nota, ed esaminare l'ampiezza del segnale
indotto sul primario: l'ampiezza di questo segnale, divisa per ω , è proporzionale al campo magnetico indotto sulla seconda
bobina.
Inserendo più schermi di spessore noto, è possibile determinare l'attenuazione del campo magnetico e quindi la profondità di
pelle.
Il circuito da montare è mostrato in g. 1.
Vediamo più in dettaglio la procedura da eettuare:
1) si invia un segnale sinusoidale all'amplicatore.
2) si misura l'ampiezza VR del segnale ai capi della resistenza R, proporzionale alla corrente I che scorre nel primario e quindi
al campo magnetico generato.
3) si misura la tensione indotta nel secondario Vs .
Vs
. Vista la dicoltà nel trovare una calibrazione
4) si calcola l'ampiezza del campo magnetico tramite la formula B = ωV
R
assoluta, il campo magnetico è espresso in unità arbitrarie. La divisione per la tensione VR (proporzionale alla corrente che
scorre nel primario) serve ad avere una stima di B normalizzata in modo tale da essere indipendente dalla corrente che scorre
nel primario.
5) si ripete la misura inserendo di volta in volta n lastre di conduttore, ottenendo una serie di misure Bn , con n che parte da
zero (nessun conduttore inserito).
6) Si calcola l'attenuazione tramite la formula An = Bn /B0 . Ci si aspetta, in linea di principio, che An segua la legge
An = exp(−ns0 /δ) dove s0 è lo spessore di una singola lastra.
7) si eettua un t del tipo esponenziale per determinare la profondità di pelle.
2.1 Dicoltà pratiche:
In primo luogo, il materiale adoperato per il nucleo ha un comportamento fortemente non lineare: questo vuol dire che anche
inviando una sinusoide perfetta all'amplicatore, in uscita si otterrà un segnale distorto, comprendente più armoniche di più
frequenze. Per evitare questo inconveniente, conviene limitarsi ad osservare la componente di Fourier del campo magnetico
avente frequenza pari a quella della sinusoide inviata in ingresso.
Ovvero, se il segnale inviato all'amplicatore è del tipo s(t) = sin(2πf t), e se il segnale letto sulla resistenza è VR (t) (entrambi
di durata T), noi saremo interessati alle componenti di fourier di frequenza f , ovvero
VRs (f )
1
·
2T
=
e
VRc (f ) =
1
2T
Z
VR (t) sin(2πf t)dt
Z
VR (t) cos(2πf t)dt
. L'ampiezza totale alla frequenza f è data dalla somma in quadrature delle due ampiezze:
VR (f ) =
p
VRs (f )2 + VRc (f )2
, mentre la tangente della fase è data da
tan φVR = VRs (f )/VRc (f )
. Analogamente si procederà per la tensione Vs (t) .La formula per calcolare il campo magnetico alla frequenza f diventerà allora:
B(f ) = Vs (f )/(2πf VR (f ))
In pratica, visto che trattiamo segnali campionati, una sinusoide di frequenza f , campionata alla frequenza fs , di durata T ,
risulterà un vettore del tipo sk = sin(2πf · k/fs ) con k compreso tra 1 e K = fs · T . Analogamente, i segnali misurati sulla
resistenza e sul secondario saranno delle sequenze VRk e Vsk , con k sempre compreso tra 1 e K .
Le ampiezze alla frequenza f si potranno allora calcolare semplicemente trasformando gli integrali in sommatorie secondo la
formula:
VRs (f ) =
K
1 X
VRk sk (f ),
2K
k=1
dove ck = cos(2πf · k/fs )ed inne
VR (f ) =
VRc (f ) =
K
1 X
VRk ck (f )
2K
k=1
q
2 (f ) + V 2 (f )
VRs
Rc
φR (f ) = arctan(VRs (f )/VRc (f ))
In secondo luogo, gli schermi che adoperiamo non sono inniti: come conseguenza innanzitutto l'introduzione del primo
schermo provoca una modica della forma delle linee di campo dovuta agli eetti di bordo, che fa sì che l'attenuazione del primo
strato di metallo sia diversa da quella prevista dall'eetto pelle. Questo vuol dire che l'attenuazione del primo strato non sarà
exp(−d/δ) ma sarà moltiplicata per un fattore K > 1. Quindi l'attenuazione in funzione della distanza sarà moltiplicata per lo
stesso fattore: questo vuol dire che l'attenuazione avrà un andamento del tipo An = K exp(−nd/δ) per n > 1.
Inne, c'è una parte del campo che non viene schermata dal conduttore: qui le cose diventano complicate perchè diventa
importante anche lo sfasamento: il campo magnetico sarà la somma di una componente schermata Bs = B0 exp(−(1 + i)nd/δ)e
di una non schermata Bns
Il segnale indotto sarà proporzionale a |Bs + Bns | : ci sarà una zona in cui il campo diminusice esponenzialmente ed una in
cui rimane costante. Nella zona di transizione, si potrà avere anche una dierenza di segno tra i due campi, che potrà produrre
un minimo.
Riassumendo.....
Questa è una procedura Matlab che consente di eettuare le operazioni
%T durata del segnale
T=2;
%fs frequenza di campionamento
fs=10000;
% N numero campioni
N=fs*T;
%t vettore dei tempi
t=[0:N-1]/fs;
%f frequenza da adoperare
f=200;
%s vettore contenente la sinusoide
s=sin(2*pi*f*t);
%c vettore contenente il segnale in quadratura
c=cos(2*pi*f*t);
% A ampiezza del segnale
A=.01;
% invio in uscita una sinusoide di ampiezza A e leggo in uscita i due
% vettori vr e vs
data=write1read2(A*c,fs);
vr=data(:,1);
vs=data(:,2);
[vr vs ]......
% Calcolo i coefficienti di Fourier in fase ed in quadratura
vrf=.5*sum(vr.*s);
vrq=.5*sum(vr.*c);
vsf=.5*sum(vs.*s);
vsq=.5*sum(vs.*c);
% Calcolo le ampiezze e le fasi dei coefficienti:
Avr=sqrt(vrf^2+vrq^2);
Avs=sqrt(vsf^2+vsq^2);
Pvr=atan2(vrf,vrq);
Pvs=atan2(vsf,vsq);
% Calcolo l'ampiezza del campo magnetico in unità arbitrarie:
B=Avs/(2*pi*f*Avr);
Questa procedura va ripetuta più volte ogni volta che si inserisce una lastra, in modo da ottenere un insieme di misure B(n)
in corrispondenza di uno spessore della lastra s(n), con n=1 che corrisponde ad s=0 (nessuno schermo).
Come si vede i punti si dispongono, a partire dal secondo in poi, lungo un esponenziale decrescente
Un graco tipico di B(n) è quello in g.2, ottenuto inserendo progressivamente 5 lastre di alluminio di spessore pari a 1.m
mm: come si vede, a partire dal secondo punto l'attenuazione segue bene una legge esponenziale.
Un t ai punti dal secondo al sesto dà come risultato una lunghezza di attenuazione di circa 11mm, che corrisponde al valore
atteso.
2.2 Valutazione delle incertezze
Valutare le incertezze sull'ampiezza del campo magnetico può risultare molto dicoltoso.
Per eettuare una stima basata sui dati stessi, conviene eettuare misure ripetute e valutare la loro dispersione.
Esistono essenzialmente due metodi equivalenti:
1) Eettuare tre-quattro misure per ogni punto sperimentale, valutare la dispersione delle misure per ogni singolo punto, ed
eettuare quindi un t del minimo χ2 adoperando la media dei risultati ottenuti e l'incertezza sulla media;
2) Eettuare tre - quattro serie di misure, eettuare un t col metodo dei minimi quadrati su ciascuna di esse, e riportare
media ed incertezza sulla media dei risultati ottenuti.
Misure da eettuare.
Le misure da eettuare sono almeno una a frequenza ssa per tre materiali diversi (alluminio, rame e ferro), più almeno
un'altra misura a frequenza diversa per rame o alluminio, allo scopo di vericare l'andamento proporzionale all'inverso della
radice quadrata.
La frequenza consigliata è quella di 200 Hz: a frequenze superiori, il campo scende troppo rapidamente, mentre a frequenza
inferiori il segnale indotto può risultare troppo debole.
Figure 2: Campo magnetico in funzione dello spessore della lastra conduttrice