aias 2016 – 626 influenza del meato sulla caratterizzazione di fluidi

AIAS – ASSOCIAZIONE ITALIANA PER L’ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI
45° CONVEGNO NAZIONALE, 7-10 SETTEMBRE 2016 – UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRIESTE
AIAS 2016 – 626
INFLUENZA DEL MEATO SULLA CARATTERIZZAZIONE DI FLUIDI
MAGNETOREOLOGICI AD ALTE VELOCITA’ DI TAGLIO
N. Golinellia,1
Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia - Dipartimento Scienze e Metodi dell’Ingegneria
Via Amendola, 2,42122 Reggio Emilia, 1e-mail: [email protected]
a
Sommario
I fluidi magnetoreologici (MRF) sono una soluzione oleosa con una percentuale di particelle
ferromagnetiche disperse al loro interno, che li rendono sensibili ai campi magnetici causando una loro
variazione della viscosità apparente. Attualmente sono molteplici le applicazioni che utilizzano fluidi
magnetoreologici ad elevate velocità di scorrimento, ma il comportamento degli stessi in queste condizioni,
è ancora in fase di valutazione. Lo scopo di questo lavoro è l’analisi sperimentale dei fluidi MR ad alte
velocità di scorrimento e la valutazione dell’influenza dello spessore del meato di fluido. Le variabili
considerate sono: lo spessore del meato di fluido, il campo magnetico applicato e la velocità angolare. Dai
risultati ottenuti è emerso che lo sforzo di taglio esercitato dal fluido è moderatamente proporzionale alla
velocità di scorrimento solo a basse velocità, mentre ad alte velocità è insensibile ad essa. Inoltre, a campi
magnetici bassi o assenti, lo sforzo di taglio cresce col diminuire del meato, probabilmente a causa di
fenomeni viscosi più marcati, mentre ad elevati valori di magnetizzazione l’influenza dello spessore del
meato è quasi assente.
Abstract
Magnetorheological fluids (MRFs) are an oil-based solution with a percentage of ferromagnetic particles
floating around in it, that causes a variation of the apparent viscosity when subjected to a magnetic field.
Nowadays, the applications that use magnetorheological fluids (MRFs) under high shear rates are becoming
more popular. However, the behaviour of MRFs in these conditions is still under assessment. The aim of
this work is the experimental analysis of magnetorheological fluids at very high shear rates by means of a
custom rotational magnetorheometer and subsequently the evaluation of the influence of the gap thickness.
The variables involved are the gap thickness, the magnetic field applied and the shear rate. All the tests were
carried out at controlled temperature. On the one hand, the results highlighted that at high shear rates the
flow curves flatten, suggesting that the post-yield viscosity is a less influencing factor. On the other hand,
the influence of the gap thickness is appreciable only at low magnetic field values.
Parole chiave: fluidi magnetoreologici, magnetoreometro, modello di Ostwad de Waele, viscosità
apparente.
1
INTRODUZIONE
Il comportamento e la successiva caratterizzazione dei fluidi magnetoreologici (MRF) ad alte velocità di
taglio, costituisce una tematica ancora parzialmente trattata in letteratura scientifica. La sfida principale in
questo ambito sta nell’effettuare una corretta misurazione degli stessi. Infatti, ad elevate velocità di
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scorrimento del fluido, è problematico separare il comportamento reologico del fluido, dipendente da un
campo magnetico applicato, da altri fenomeni, di stampo puramente viscoso e fluidodinamico, come la
presenza di vortici o turbolenze. Altri fattori che rendono difficile l’interpretazione di questi dati, sono il
problema del cambio di viscosità, dovuto all’attrito fra le particelle ferromagnetiche [1], alla generazione di
calore o la ridistribuzione delle stesse, causata dalla accelerazione centrifuga. Mazlan et. al. [2], [3] ha
studiato le proprietà dei fluidi magnetoreologici, sottolineando la relazione che esiste fra la riorganizzazione
delle particelle durante le fasi di compressione o trazione e la variazione di campo magnetico dovuta al
cambiamento del meato di fluido e conseguentemente da una diversa concentrazione di particelle
ferromagnetiche. Un simile approccio è stato usato da Spaggiari et. al. [4], [5], Becnel et. al. [6], [7] e Hegger
& Maas [8] i quali hanno sperimentato il fenomeno chiamato “squeeze-strengthen”, per il quali si verifica
un innalzamento della tensione di snervamento a fronte di una sollecitazione di compressione combinata ad
una di taglio, che provoca la formazione di catene di particelle più spesse che portano quindi a tensioni di
taglio massime più elevate. Altre considerazioni riguardanti gli effetti fluidodinamici e magnetostatici sul
comportamento di fluidi magnetoreologici sono stati indagati in [9] utilizzando un magnetoreometro di tipo
Searle e rotori con profili non cilindrici. Ulicny [10] invece, ha preso in considerazione la variazione dello
sforzo di taglio quando il fluido MR è sottoposto a lenti transitori. In [11] vengono affrontati i fattori che
influenzano i risultati di una prova eseguita con un reometro rotativo a cilindri concentrici. Tra questi vi è
anche lo spessore del meato di fluido. Questo parametro influenza la non linearità del profilo di velocità
all’interno del meato e quindi il calcolo della velocità di taglio. Riducendo lo spessore del meato è possibile
minimizzare l’effetto di questa non linearità e ottenere risultati più precisi dal punto di vista puramente
reologico. Per spessori sottili o basse velocità angolari, il flusso rimane stabile e laminare (modello di
Couette) mentre ad alte velocità di scorrimento, si possono instaurare, all’interno del meato, fenomeni come
i vortici di Taylor, che portano ad instabilità fluidodinamiche [12].
2
M ATERIALI E METODI
In questa sezione verranno presentati i materiali utilizzati per le prove, in modo particolare la tipologia di
fluido magnetoreologico e il magnetoreometro usato per lo svolgimento delle prove. Verranno anche
presentati le metodologie di prova e il processo di raccolta dai dati sperimentali.
2.1
Fluidi Magnetoreologici
I fluidi magnetoreologici sono una sospensione di particelle ferromagnetiche in un fluido trasportatore non
magnetico [13]. In assenza di campi magnetici, le particelle ferromagnetiche sono disperse in modo casuale
e il fluido si comporta in modo Newtoniano. Quando è investito da un campo magnetico invece, le particelle
tendono ad allinearsi alle linee di flusso e a formare catene resistenti allo sforzo di taglio, capaci di
trasformare il fluido in un semi-solido con una certa tensione di snervamento, τy. La tensione di
snervamento, τy, dipende dall’intensità del campo magnetico. Quando lo sforzo di taglio è superiore alla
tensione di snervamento, il materiale torna a fluire con una legge pseudoplastica. Il modello che meglio
descrive il comportamento di questi fluidi è quello di Hershel-Bulkley [14], ed è riportato in seguito:
𝜏 = 𝜏𝑦 + 𝐾𝛾̇ 𝑛
(1)
Dove τy è la tensione di snervamento, K rappresenta la consistenza, 𝛾̇ la velocità di scorrimento e n l’indice
di flusso. Il fluido utilizzato in questo lavoro è il MRF 132-DG prodotto dalla Lord Corporation [15]. Questa
particolare formulazione è a base di olio sintetico con una percentuale in peso di particelle ferromagnetiche
pari a circa l’80 %. La tensione di snervamento massima di questi fluidi è di circa 50 kPa per campi oltre i
300 kA/m, come riportato nei datasheet del produttore.
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2.2
Magnetoreometro Searle
Il magnetoreometro di tipo Searle è una tipologia di reometro in cui un rotore viene messo in rotazione,
immerso in un fluido, a sua volta contenuto in uno statore fisso. Il rotore trasmette allo statore un momento
torcente attraverso il meato di fluido che li separa. In questo modo, è possibile costruire le classiche curve
di flusso necessarie per la caratterizzazione del fluido. Costruttivamente quindi, nel magnetoreometro
utilizzato si ha una coppa esterna, un coperchio, il rotore e il sistema magnetico (Figura 1a). La coppa è
rigidamente connessa ad un sensore di coppia, a sua volta connesso con il telaio dell’apparato sperimentale.
All’interno della coppa è ricavato il serbatoio per il fluido magnetoreologico e l’alloggiamento per il sistema
Rotore
Coperchio
Cuscinetti
Meati attivi
Circuito FM
RR
LP
h
L
RS
Avvolgimento
Coppa
(a)
(b)
Figura 1. Sezione parziale del magnetoreometro Searle usato (a) e principali parametri geometrici
salienti (b).
magnetico. Il sistema magnetico è composto da una bobina, formata da 530 avvolgimenti (AWG 24, [16]),
racchiusa tra due gusci ferromagnetici. Uno dei due gusci ha tre fori, per permettere ai capi
dell’avvolgimento e al sensore di temperatura di uscire dal magnetoreometro. Sul coperchio vengono
installati per interferenza due cuscinetti, all’interno dei quali viene inserito il rotore, anch’esso con una lieve
interferenza. Il coperchio, con il rotore annesso, viene poi chiuso sulla coppa esterna attraverso delle viti
mordenti.
I principali parametri geometrici sono quelli che caratterizzano il rotore e lo spessore del meato di fluido
magnetoreologico (Figura 1b). Dato che si vuole valutare l’influenza del meato sulla risposta del fluido MR,
tre differenti rotori, con altrettanti valori di raggio RR sono stati utilizzati, in particolare RR = 8, 8.5 e 8.9
mm. Il raggio esterno, quello statorico, è fisso ed ha un valore di RS = 9 mm. I valori dello spessore del
meato sono quindi h = RS – RR = 1, 0.5, 0.1 mm. La lunghezza assiale di attivazione del meato di fluido e
cioè quella interessata dal passaggio del campo magnetico, è pari a due volte LP = 6 mm. La lunghezza
assiale totale del rotore immerso nel fluido è L = 24 mm. Il valore di sforzo di taglio τ, esercitato sulla parete
dello statore, può essere direttamente correlata alla coppia misurata dal trasduttore, come segue [6], [7],
[11]:
𝜏=
𝑇
2𝜋𝐿𝑃 (𝑅𝑅 + ℎ)2
(2)
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dove T, è la coppia misurata e come già anticipato, LP è la lunghezza assiale di attivazione del meato, RR è
il raggio del rotore e h lo spessore del meato. Allo stesso modo è possibile ricavare il valore di velocità di
taglio, 𝛾̇ , sulla superficie del rotore e sarà pari a:
𝛾̇ =
𝑅
𝜔
ℎ
(3)
nella quale, il prodotto Rω, rappresenta il valore di velocità lineare sulla superficie del rotore. L’Equazione
(3) in realtà è una approssimazione, in quanto considera il fluido all’interno del meato, uniformemente
sottoposto alla stessa velocità di scorrimento. Tale approssimazione risulta essere comunque accettabile,
considerando meati così sottili [6].
2.3
Simulazioni Magnetiche
Differenti spessori di meato comportano differenti valori di campo magnetico, per gli stessi valori di
corrente. Per una corretta interpretazione dei dati, è necessario confrontare i valori di sforzo di taglio, agli
stessi livelli di campo magnetico. Per ottenere ciò, sono state effettuate delle simulazioni magnetiche agli
elementi finiti, per ricavare i valori di corrente che fornissero gli stessi valori di campo magnetico, per i
diversi spessori di meato. Le simulazioni sono state realizzate con il software FEMM 4.2 [17]. In Figura 2
è rappresentato il risultato di una delle analisi, dove si possono notare le linee di flusso del campo magnetico
che percorrono i due gusci magnetici, attraversano i due meati di fluido e si richiudono passando per il
rotore, anch’esso in materiale ferromagnetico. Per poter confinare il campo in tali zone, la coppa esterna ed
il coperchio sono stati realizzati in alluminio. Dal grafico in Figura 3 si evince come, per raggiungere uno
stesso livello di campo magnetico, sono necessari valori di corrente più bassi, quando il meato diminuisce
di spessore a causa di una minore riluttanza del circuito. I valori di corrente ricavati dalle simulazioni, per
ogni livello di intensità di campo magnetico H (222, 207, 188, 178, 166, 153, 139, 114, 77, 37, 0 kA/m)
sono riportati in Tabella 1.
Figura 2. Andamento delle linee di flusso del campo magnetico. (h = 1 mm, I = 2.2 A).
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250
Campo magnetico, kA/m
200
150
100
1 mm
0.5 mm
0.1 mm
50
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
Corrente, A
Figura 3. Corrente vs campo magnetico per ogni spessore di meato.
Tabella 1. Valori di corrente per ogni spessore di meato e intensità di campo magnetico
h
H
1
0.5
0.1
(kA/m) (mm) (mm)
(mm)
2.15
1.12
0.33
222
1.9
0.92
0.28
207
1.46
0.7
0.22
188
1.32
0.62
0.19
178
1.1
0.55
0.153
166
0.91
0.47
0.125
153
0.71
0.36
0.1
139
0.5
0.26
0.081
114
0.33
0.17
0.055
77
0.16
0.086
0.028
37
2.4
Apparato Sperimentale
In Figura 4 è rappresentato l’apparato sperimentale utilizzato per le prove. Esso è composto da un basamento
sul quale viene installato il trasduttore di coppia [18]. La base del magnetoreometro viene prima connessa
rigidamente al trasduttore. Successivamente, il motore elettrico [19] viene fatto calare fino a poter connettere
il suo albero al rotore del magnetoreometro, tramite un giunto elastico. Inoltre, il reometro è equipaggiato
con un sistema di raffreddamento composto da una bobina di tubo di rame, connessa ad una pompa che fa
circolare al suo interno un fluido refrigerante a temperatura controllata. Tutte le prove sperimentali quindi
sono state effettuate a 21°C, termostatando il sistema. La velocità massima impostata viene raggiunta in otto
gradini di uguale durata, per una durata totale della singola prova di 20 secondi. In questo modo, per ogni
valore di velocità massima, è possibile ricavare otto valori intermedi di velocità e sforzo di taglio e
aumentare quindi la precisione delle curve di flusso. I livelli di velocità massima scelti sono 0.5, 0.8, 1.1,
1.6, 2.1, 2.3, 2.5 m/s. Il programma LabVIEW è anche responsabile dell’elaborazione del segnale di coppia,
in quanto preleva dal trasduttore il segnale di tensione, facendolo passare per un condizionatore di segnale
(TM-02) e comunicandolo al PC tramite un acquisitore di segnali (BNC-2110), anch’esso della National
Instruments. La corrente agli avvolgimenti è stata imposta utilizzando un generatore di corrente stabilizzata.
45° CONVEGNO NAZIONALE – TRIESTE, 7-10 SETTEMBRE 2016
Motore
Giunto
elastico
Magnetoreometro
Sistema
refrigeramento
Trasduttore di
coppia
Figura 4. Apparato sperimentale.
3
RISULTATI
Utilizzando i dati ricavati dalle prove sperimentali è stato possibile costruire le curve di flusso, che sono
usate in reologia per studiare il comportamento dei fluidi. Questo porta ad avere tre livelli di velocità di
taglio massima per ogni spessore di meato: in particolare 2500 s-1 con h = 1 mm, 5000 s-1 con h = 0.5 mm
e 25000 s-1 con h = 0.1 mm. In Figura 5 a,c,e sono riportate le curve di flusso per ogni gap utilizzato. Un
dato ulteriore che è possibile valutare, è la viscosità apparente del fluido, η, che è legata, come lo sforzo di
taglio, al gradiente di velocità alla quale essa è misurata. In particolare, il valore di viscosità apparente è
stato calcolato, puntualmente, semplicemente dividendo lo sforzo di taglio τ, al rispettivo valore di velocità
di taglio 𝛾̇ . I fluidi MR, che appartengono ad una sottocategoria dei fluidi pseudoplastici, mostrano una
diminuzione della viscosità apparente all’aumentare del gradiente di velocità 𝛾̇ , come si può notare dai
grafici in Figura 5 b,d,f. Da una prima analisi qualitativa dei dati, è possibile notare un appiattimento delle
curve di flusso, specialmente nella fase di post-snervamento nel fluido, che rende lo sforzo di taglio τ, solo
lievemente dipendente dalla velocità di scorrimento. Goncalves [21] ottenne lo stesso effetto ed in tal caso
era dovuto al tempo di esposizione del fluido al campo magnetico. Dal punto di vista della viscosità
apparente invece, si osserva un abbassamento della stessa all’aumentare della velocità di scorrimento come
prevedibile, mentre per certi intervalli di 𝛾̇ , valori più elevati di η sono stati misurati utilizzando meati di
spessore decrescente.
45° CONVEGNO NAZIONALE – TRIESTE, 7-10 SETTEMBRE 2016
40
100
35
90
30
70
η, Pa s
25
τ, kPa
h = 1 mm
80
20
15
60
50
40
30
10
20
5
10
0
0
0
500
1000
1500
2000
2500
0
𝛾 ̇, s-1
500
(a)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
35
30
1500
𝛾 ̇, s-1
h = 0.5 mm
η, Pa s
25
τ, kPa
1000
20
15
10
5
0
0
1000
2000
𝛾 ̇,
(c)
3000
4000
0
5000
1000
2000
3000
35
30
h = 0.1 mm
η, Pa s
25
20
15
10
5
0
10000
222 kA/m
207 kA/m
188 kA/m
178 kA/m
166 kA/m
153 kA/m
139 kA/m
114 kA/m
77 kA/m
37 kA/m
0 kA/m
4000
5000
(d)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
5000
2500
𝛾 ̇, s-1
s-1
40
0
2000
(b)
40
τ, kPa
222 kA/m
207 kA/m
188 kA/m
178 kA/m
166 kA/m
153 kA/m
139 kA/m
114 kA/m
77 kA/m
37 kA/m
0 kA/m
15000
𝛾 ̇, s-1
20000
25000
0
5000
10000
15000
222 kA/m
207 kA/m
188 kA/m
178 kA/m
166 kA/m
153 kA/m
139 kA/m
114 kA/m
77 kA/m
37 kA/m
0 kA/m
20000
25000
𝛾 ̇, s-1
(e)
(f)
Figura 5. Grafici dello sforzo di taglio τ e della viscosità apparente η, in funzione della velocità di taglio
𝛾̇ , con h = 1 mm (a), 0.5 mm (b) e 0.1 mm (c).
45° CONVEGNO NAZIONALE – TRIESTE, 7-10 SETTEMBRE 2016
4
DISCUSSIONE
Il tempo per raggiungere l’equilibrio tra velocità di taglio e sforzo di taglio è tanto più basso quanto è bassa
la viscosità. Questo porta ad avere tempi di equilibrio bassi, ad alte velocità di scorrimento, ed alti valori
nelle fasi iniziali, quindi con 𝛾̇ basse. Tale fenomeno provoca valori di sforzo di taglio maggiorati nelle fasi
iniziali dei test, poiché non è ancora stato raggiunto tale equilibrio, come si può notare nei grafici in Figura
5 a,c,e per valori di 𝛾̇ inferiori a 1000 s-1. Inoltre, a causa di una parziale magnetizzazione residua del rotore
o dello statore, è possibile ipotizzare una residua attivazione del fluido che, purché esigua, influenza la
coppia resistente, anche in questo caso, specialmente ai valori di velocità di scorrimento più bassi [22]. Il
fenomeno dell’appiattimento delle curve di flusso è stato riscontrato anche in [12], dove è stato ipotizzato
che, alte velocità di deformazione interferiscono con il processo di formazione delle colonne di particelle,
causando un decremento del valore dello sforzo di taglio dipendente dal campo magnetico. Dal modello,
sotto un valore critico di velocità di deformazione, viene ricavato uno sforzo di taglio considerando il
massimo valore di campo magnetico applicato, mentre al di sopra di tale soglia, è prevista una riduzione del
numero di colonne di particelle attive e quindi una complessiva diminuzione dello sforzo di taglio indotto
dal campo magnetico. Guth et. al. [23] ipotizzò anche che le stesse alte velocità siano da sole responsabili
di un indebolimento del campo magnetico nel gap di attivazione, anche se ciò non è dimostrato
sperimentalmente. Per poter ovviare al problema della particolare conformazione delle curve di flusso e per
ottenere una più facile interpretazione dei dati ottenuti, si è scelto di analizzare più nel dettaglio le curve
della viscosità apparente η (Figura 6 a). Tali dati infatti, sono più facilmente modellabili con una legge di
tipo esponenziale, anziché una legge più complicata, come quella di Herschel-Bulkley. In questo modo, è
possibile ricavare dei parametri caratteristici, che possono quantificare l’influenza delle alte velocità di
scorrimento e dello spessore del meato, sulla risposta del fluido MR in termini di coppia resistente. In
riferimento alla Figura 6 a, e ancora più visibile in Figura 7a, si può notare come per valori di campo
magnetico H inferiori o uguali a 37 kA/m, i dati ottenuti hanno un andamento differente per ogni spessore
di meato utilizzato. Per valori invece, superiori o uguali a 77 kA/m (Figura 6 b), gli andamenti delle viscosità
apparenti sono quasi perfettamente sovrapponibili (Figura 7 b) e quindi in questo caso, non vi è una
influenza apprezzabile del gap.
222 kA/m
207 kA/m
188 kA/m
178 kA/m
166 kA/m
153 kA/m
139 kA/m
114 kA/m
77 kA/m
37 kA/m
0 kA/m
5
1
50
Log η, Pa s
Log η, Pa s
50
222 kA/m
207 kA/m
188 kA/m
178 kA/m
166 kA/m
153 kA/m
139 kA/m
114 kA/m
77 kA/m
5
1
0
5000
10000
15000
𝛾 ̇, s-1
20000
25000
0
5000
10000
15000
20000
25000
𝛾 ̇, s-1
(a)
(b)
Figura 6. Log viscosità apparente η vs velocità di taglio 𝛾̇ , per ogni livello di campo magnetico (a) e per
campi magnetici superiori a 77 kA/m (b), considerando i tre gap.
45° CONVEGNO NAZIONALE – TRIESTE, 7-10 SETTEMBRE 2016
50
222 kA/m
207 kA/m
188 kA/m
178 kA/m
166 kA/m
153 kA/m
139 kA/m
114 kA/m
77 kA/m
37 kA/m
0 kA/m
5
Log η, Pa s
Log η, Pa s
50
1
222 kA/m
207 kA/m
188 kA/m
178 kA/m
166 kA/m
153 kA/m
139 kA/m
114 kA/m
77 kA/m
5
1
100
1000
10000
100000
Log 𝛾 ̇, s-1
100
1000
10000
100000
Log 𝛾 ̇,
(a)
(b)
Figura 7. Log viscosità apparente η vs log velocità di taglio 𝛾̇ , per ogni livello di campo magnetico (a) e
per campi magnetici superiori a 77 kA/m (b), considerando i tre gap.
s-1
Per una prima valutazione dell’influenza dello spessore di parete è stato scelto il modello semplificato di
Oswald e Waele [24], [25], che descrive fluidi non newtoniani con una legge del tipo:
(4)
𝜂 = 𝐾𝛾̇ (𝑛−1)
nella quale K è la consistenza e n l’indice di flusso. Con una legge di questo tipo, la tensione di snervamento
τy, presente nel modello di Herschel-Bulkley, è inclusa nella tensione di taglio complessiva. Utilizzando una
funzione Matlab, [26], che interpola i punti sperimentali, in modo non lineare e attraverso il metodo dei
minimi quadrati, sono stati ricavati i coefficienti K ed n che meglio rappresentano i dati sperimentali e che
sono riportati in Tabella 2.
Tabella 2. Parametri del modello di Ostwald de Waele.
h = 1mm
H,
(kA/m)
222
207
188
178
166
153
139
114
77
37
0
K, (Pa sn)
28659,44
27484,07
24948,89
24432,38
22844,86
21564,19
20219,8
17478,5
12604,69
4176,671
663,5475
n
0,02256
0,02648
0,03018
0,02727
0,02801
0,02578
0,01864
0,01116
0,00327
0,01733
0.01554
h = 0.5 mm
h = 0.1 mm
K, (Pa sn)
n
K, (Pa sn)
n
31610,48
29266,51
25623,56
22744,66
20470,62
19878,36
18494,73
14377,38
10556,79
6590,102
2949,679
0,01965
0,01810
0,02097
0,02853
0,03652
0,02945
0,02291
0,03521
0,03836
0,02931
0,03456
30867,49
28468,53
22182,33
21644,3
20873,42
19652
17758,69
14495,21
12268,82
9033,781
7923,72
0,00996
0,01557
0,03709
0,02950
0,01916
0,01623
0,01141
0,02338
0,02047
0,02686
0,00045
45° CONVEGNO NAZIONALE – TRIESTE, 7-10 SETTEMBRE 2016
Una volta determinati i valori di K e n, è stato possibile effettuare una correlazione fra tali dati e le variabili
di ingresso. In Figura 8 a,b sono rappresentati K ed n, al variare del campo magnetico applicato, per ognuno
dei tre gap utilizzati. Il parametro della consistenza cresce quasi linearmente con l’intensità del campo
magnetico, mentre l’indice di flusso non risente particolarmente della variazione di H. Anche lo spessore
del meato sembra non influenzare l’indice di flusso, come si può evincere dal grafico in Figura 9 b. La
consistenza K invece, per valori nulli o molto bassi (37 kA/m), cresce col diminuire dello spessore del gap.
Questa variazione risulta essere più evidente a campo nullo, dove passa da circa 663 Pa sn, con h = 1 mm, a
circa 7900 Pa sn, con h = 0.1 mm. Meno marcata invece, è la variazione di K a 37 kA/m, dove vede
raddoppiare comunque il suo valore. Questi risultati suggeriscono una influenza dallo spessore h, su
fenomeni di tipo fluidodinamico all’interno del meato e che all’aumentare di H, le forze di tipo magnetico
risultano essere preponderanti, mascherando questa dipendenza.
35
0,05
30
1 mm
0.5 mm
0.1 mm
0,04
0,03
20
n
K, kPa sn
25
15
0,02
10
0,01
1 mm
0.5 mm
0.1 mm
5
0
0
50
100
150
200
0
0
250
H, kA/m
(a)
50
100
150
200
250
H, kA/m
(b)
Figura 8. Consistenza, K (a) e indice di flusso, n (b) in funzione del campo magnetico H.
35
0,05
H <= 37 kA/m
H >= 77 KA/m
30
H <= 37 KA/m
H >= 77 KA/m
0,04
0,03
20
n
K, kPa sn
25
15
0,02
10
0,01
5
0
0,00
0
0,5
h, mm
(a)
1
0
0,5
h, (mm)
(b)
Figura 9. Consistenza, K (a) ed indice di flusso, n (b) in funzione dello spessore di meato h.
1
45° CONVEGNO NAZIONALE – TRIESTE, 7-10 SETTEMBRE 2016
Una ulteriore valutazione sulla influenza dello spessore del meato di fluido sulla sua caratterizzazione, è
stato possibile utilizzando i parametri di Oswald de Waele ricavati tramite Matlab. Come è stato discusso
precedentemente, per valori di campo magnetico sufficientemente elevati, la viscosità apparente non risente
della variazione di h, quindi gli stessi parametri K e n, possono essere utilizzati per differenti spessori del
meato. Per poter ottenere un modello semplificato del fluido, risulta utile poter parametrizzare l’equazione
di Oswald de Waele in funzione del campo magnetico applicato. Dal momento che l’unico parametro ad
essere influenzato da H è la consistenza, utilizzando un valore medio di indice di flusso 𝑛̅, si può arrivare
ad una equazione che lega direttamente la consistenza al campo magnetico, da poter poi inserire nel modello.
Per cui, dopo aver calcolato il valore medio dell’indice di flusso, corrispondente a 𝑛̅ = 0.02272, sono stati
ricalcolati i valori corrispondenti di K e successivamente mediati sui tre spessori di meato, ottenendo
l’andamento lineare rappresentato in Figura 10.
35
30
K = 118,07H + 2688,9
K, kPa sn
25
20
15
10
5
0
0
50
100
150
200
250
H, kA/m
Figura 10. Relazione fra i valori di consistenza K, con n = 0.02272 e il campo magnetico applicato.
Dopo aver ottenuto la relazione fra consistenza e campo magnetico, è stato possibile rielaborare l’equazione
di Oswald de Waele nel seguente modo, valido solo per il fluido MR 132-DG:
𝜂𝑂𝑑𝑊 = 𝐾(𝐻)𝛾̇ (𝑛̅−1) = (118𝐻 + 2700)𝛾̇ (0.2272−1)
(5)
Successivamente, i valori ottenuti calcolando la viscosità apparente tramite l’Equazione (5), sono stati
confrontati con i dati sperimentali, per il rispettivo valore di campo magnetico (Figura 11 a-m). Per poter
valutare la correttezza del modello con i dati sperimentali, si è scelto di calcolare il coefficiente di
determinazione R2, che in statistica rappresenta la proporzione tra la variabilità dei dati e la correttezza di
un modello statistico [27]. Esso misura la frazione della varianza della variabile dipendente espressa dalla
regressione. R2 varia tra 0 ed 1: quando è 0, il modello utilizzato non descrive minimamente i dati, al
contrario, se uguale a 1, esiste una perfetta corrispondenza fra dati sperimentali e modello. Il coefficiente di
determinazione viene definito come segue:
𝑅2 = 1 −
𝑆𝑆𝐸
𝑆𝑆𝑇
(6)
Nella quale SSE (Equazione (7)) è la somma dei quadrati residui cioè la somma degli scarti quadratici fra i
punti sperimentali ed il modello mentre SST (Equazione (8)) è la somma dei quadrati totale, ovvero la
somma degli scarti quadratici dei punti sperimentali rispetto alla loro stessa media.
45° CONVEGNO NAZIONALE – TRIESTE, 7-10 SETTEMBRE 2016
222 kA/m
modello OdW, K(H)
50
Log η, Pa s
Log η, Pa s
50
5
1
1000
Log 𝛾 ̇,
(a)
50
10000
100000
100
1000
Log 𝛾 ̇,
(b)
s-1
188 kA/m
modello OdW, K(H)
50
Log η, Pa s
Log η, Pa s
5
1
100
5
1
10000
100000
s-1
178 kA/m
modello OdW, K(H)
5
1
100
1000
Log 𝛾 ̇,
(c)
50
10000
100000
100
1000
Log 𝛾 ̇,
(d)
s-1
50
166 kA/m
modello OdW, K(H)
Log η, Pa s
Log η, Pa s
207 kA/m
modello OdW, K(H)
5
1
10000
100000
s-1
153 kA/m
modello OdW, K(H)
5
1
100
1000
10000
Log 𝛾 ̇, s-1
(e)
100000
100
1000
10000
Log 𝛾 ̇, s-1
(f)
100000
45° CONVEGNO NAZIONALE – TRIESTE, 7-10 SETTEMBRE 2016
50
139 kA/m
modello OdW, K(H)
Log η, Pa s
Log η, Pa s
50
5
1
114 kA/m
modello OdW, K(H)
5
1
100
1000
10000
100000
100
1000
Log 𝛾 ̇, s-1
(g)
77 kA/m
modello OdW, K(H)
50
Log η, Pa s
Log η, Pa s
50
10000
100000
Log 𝛾 ̇, s-1
(h)
5
1
37 kA/m
modello OdW, K(H)
5
1
100
1000
10000
100000
100
1000
Log 𝛾 ̇, s-1
(i)
50
Log η, Pa s
10000
100000
Log 𝛾 ̇, s-1
(l)
0 kA/m
modello OdW, K(H)
5
1
100
1000
10000
100000
Log 𝛾 ̇, s-1
(m)
Figura 11. Confronto fra i dati sperimentali e il modello di Oswald de Waele, con parametri mediati, per
ogni livello di campo magnetico H.
45° CONVEGNO NAZIONALE – TRIESTE, 7-10 SETTEMBRE 2016
𝑛
(7)
𝑆𝑆𝐸 = ∑(𝜂𝑠 − 𝜂𝑂𝑑𝑊 )2
𝑖=1
𝑛
(8)
𝑆𝑆𝑇 = ∑(𝜂𝑠 − 𝜂̅𝑠 )2
𝑖=1
In Tabella 3 sono riportati i valori finali dei coefficienti di determinazione e degli scarti quadratici, per ogni
livello di campo magnetico. Come si può osservare anche in Figura 12, il modello di Oswald de Waele
descritto tramite l’Equazione (5), approssima con un R2 maggiore dello 0.99 per campi maggiori o uguali a
77 kA/m. Per valori di H nulli o molto bassi invece, tale modello non è più utilizzabile. Questo conferma
che per campi sufficientemente elevati, il fluido può essere modellato utilizzando un unico set di parametri
anche utilizzando gap di spessori differenti, mentre a campi nulli, differenti spessori, comportano differenti
coppie di parametri per descrivere il fluido MR.
Tabella 3. Valori dei coefficienti di determinazione, SSE e SST per
ogni valore di campo magnetico.
H, (kA/m)
222
207
188
178
166
153
139
114
77
37
0
K, Pa sn
28896
27126
24884
23704
22288
20754
19102
16152
11786
7066
2700
SSE
1422.96
1432.582
1201.313
1656.813
1432.988
1328.377
684.2229
395.6209
206.5247
8093.616
2051.91
R2
0.9978
0.9976
0.9976
0.9965
0.9966
0.9963
0.9977
0.9980
0.9979
0.5090
0.1135
SST
673770.6
616593.4
512645.6
473755
421591.7
365985.4
301118.3
208091.4
101610.7
16484.37
2314.74
R2
1
0,5
0
222 207 188 178 166 153 139 114 77
37
0
H, kA/m
Figura 12. Coefficiente di determinazione R2 che misura il livello di accuratezza del modello, al variare
del campo magnetico H.
45° CONVEGNO NAZIONALE – TRIESTE, 7-10 SETTEMBRE 2016
5
CONCLUSIONE
Nel presente lavoro è stata valutata l’influenza dello spessore del meato di un magnetoreometro Searle, sulla
risposta in termini di sforzo di taglio e viscosità apparente di un fluido magnetoreologico commerciale. Sono
stati considerati tre spessori e differenti valori di campo magnetico e velocità. Dalle curve di flusso è emersa
una bassa variabilità della viscosità post-snervamento del fluido, per valori di velocità di scorrimento molto
elevate. È stata effettuata una analisi quantitativa dell’influenza del meato sulla viscosità apparente,
utilizzando il modello di Ostwald de Waele, per fluidi non-newtoniani. Dai parametri del modello, di
consistenza e indice di flusso, ricavati partendo dai dati sperimentali e utilizzando un algoritmo di
interpolazione, si è notata una debole variazione della consistenza al variare dello spessore di meato,
solamente a campi magnetici bassi o nulli. Invece, la consistenza varia quasi linearmente con il campo
magnetico. Dopo aver ricavato l’equazione che lega la consistenza al campo magnetico, è stata inserita
all’interno del modello di Ostwald de Waele. In questo modo quindi, abbiamo proposto un modello nel
quale, utilizzando un indice di flusso mediato, la viscosità apparente è funzione solamente del campo
magnetico e della velocità di taglio. Tale modello approssima con una ottima precisione il comportamento
del fluido per valori di campo magnetico superiori a 77 kA/m, suggerendo una influenza quasi nulla del
meato. Per valori nulli o molto bassi invece, l’inspessimento del meato di fluido, causa una diminuzione
della consistenza, probabilmente dovuto ad un minore attrito fra le particelle ferromagnetiche e quindi il
modello proposto perde di attendibilità. Attualmente, sono in corso ulteriori analisi dal punto di vista
simulativo e CFD, per approfondire ulteriormente questi aspetti e chiarificare la caratterizzazione dei fluidi
MR.
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