Esercizi risolti di fisica

Esercizi risolti di fisica
Massimiliano Virdis
Indice
1 Introduzione
1.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Licenza e Copyright . . . . . . . . . . . . .
1.3 Indicazione per la risoluzione degli esercizi
1.4 Notazioni e precisione nei calcoli . . . . .
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2 Unità di misura e conversione tra grandezze
2.1 Trasformazione di unità di misura,
eliminando i multipli e i sottomultipli. . . . .
2.2 Trasformazione di unità di misura,
usando la notazione scientifica. . . . . . . . .
2.3 Ordinamento di misure. . . . . . . . . . . . .
2.4 Misura di superfici. . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Conversione tra unità di misura di superfici.
2.6 Densità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Grandezze vettoriali
3.1 Somma di due vettori . . . . . .
3.2 Somma di tre vettori . . . . . . .
3.3 Differenza tra vettori . . . . . .
3.4 Componenti di una forza . . . .
3.5 Dinamometro e legge di Hooke
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4 Statica dei corpi puntiformi
4.1 Corpo puntiforme su un piano orizzontale
4.2 Corpo puntiforme su un piano inclinato . .
4.3 Corpo appeso ad un filo . . . . . . . . . . .
4.4 Corpi e dinamometri . . . . . . . . . . . .
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5 Cinematica
5.1 Moto rettilineo uniforme in una dimensione . . . . . . . .
5.2 Diagramma orario di un moto . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Moto rettilineo uniforme in una dimensione e legge oraria.
5.4 Moto uniformemente accelerato . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Posizione, velocità e accelerazione come vettori . . . . . .
5.6 Moto parabolico di un proiettile . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Moto circolare uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Dinamica
6.1 Corpo in caduta libera . . . . . . . . . . . .
6.2 Corpo su un piano, sottoposto ad una forza
6.3 Corpo puntiforme su un piano inclinato . .
6.4 Forza centripeta . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Sistemi con più corpi . . . . . . . . . . . .
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3
Indice
7 Quantità di moto e centro di massa
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7.1 Quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Urti in una dimensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3 Centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8 Lavoro e energia
8.1 Lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Energia cinetica . . . . . . . . . . . .
8.4 Conservazione dell’energia meccanica
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9 Statica dei corpi rigidi
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9.1 Momento di una forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.2 Corpo rigido in equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10 Statica dei fluidi
10.1 Pressione di una forza su una superficie
10.2 Pressione idrostatica . . . . . . . . . . .
10.3 Tubo a U . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Spinta di Archimede . . . . . . . . . . .
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11 Fluidodinamica
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11.1 Portata ed equazione di continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.2 Legge di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
12 Termologia
12.1 Legge fondamentale della calorimetria
12.2 Passaggi di stato . . . . . . . . . . . . .
12.3 Conduzione del calore . . . . . . . . . .
12.4 Dilatazione termica . . . . . . . . . . .
12.5 Gas perfetti e legge dei gas perfetti . . .
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13 Termodinamica
89
13.1 Primo principio della termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
13.2 Trasformazioni termodinamiche e gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
14 Onde ed oscillazioni
97
14.1 Relazione fondamentale per le onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
14.2 Onde stazionarie in una corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
14.3 Acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
15 Ottica
15.1 Specchio piano . . . . .
15.2 Specchio sferico . . . .
15.3 Lente sottile . . . . . .
15.4 Rifrazione di un mezzo
15.5 Due fenditure . . . . .
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101
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16 Elettrostatica
109
16.1 Forza di Coulomb tra due corpi puntiformi carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
16.2 Campo elettrico di due cariche nel vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
16.3 Campo elettrico di altre distribuzioni di carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4
Indice
16.4
16.5
16.6
16.7
Teorema di Gauss . . . . . .
Lavoro ed energia potenziale
Potenziale elettrostatico . . .
Condensatori . . . . . . . . .
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112
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17 Circuiti elettrici in corrente continua
17.1 Intensità di corrente . . . . . . . .
17.2 I e II legge di Ohm . . . . . . . . . .
17.3 Legge di Joule . . . . . . . . . . . .
17.4 Circuiti di resistenze . . . . . . . . .
17.5 Leggi di Kirchhoff . . . . . . . . . .
17.6 Circuiti di resistenze e condensatori
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18 Elettromagnetismo
18.1 Carica in moto in un campo magnetico (Forza di Lorentz)
18.2 Forza su un filo percorso da corrente (II legge di Laplace)
18.3 Campo magnetico di un filo percorso da corrente . . . .
18.4 Campo magnetico di due fili percorsi da corrente:
legge di Ampére. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.5 Flusso del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . .
18.6 Momento magnetico di una spira piana . . . . . . . . . .
18.7 F.e.m. indotta in una spira rettangolare. . . . . . . . . . .
129
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19 Relatività
137
19.1 Trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
20 Errori di misura
139
20.1 Valor medio ed errore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
20.2 Errore assoluto di grandezze derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
21 Il Sistema Internazionale
143
21.1 unità di misura fondamentali del Sistema Internazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
21.2 Costanti fisiche fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
21.3 Multipli e sottomultipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5
1 Introduzione
1.1 Premessa
Caro lettore,
questa raccolta di esercizi è stata scritta in primo luogo per i miei studenti. Il desiderio era quello di
poter offrire una raccolta sistematica di esercizi semplici e di base. Il livello di questi esercizi va dalla
prima superiore fino al primo anno di università. Ho cercato di proporre un esempio di tutte le tipologie
di esercizi che normalmente propongo nelle mie lezioni a scuola. Altri sono stati proposti in corsi di fisica
generale per ingegneri o medici al primo anno di università. L’esposizione è stata mantenuta volutamente
prolissa sia nell’esposizione dei principi fisici sia nei passaggi matematici.
Il modo di esporre e scrivere gli esercizi che noi proponiamo solitamente a lezione può risultare impeccabile per i contenuti, ma ciononostante non adeguato per lo studente. Solitamente noi scriviamo alla
lavagna solo i passaggi matematici e i disegni illustrativi, esponendo solamente a voce le motivazioni fisiche e le semplificazioni matematiche più elementari. La conseguenza è che gli scritti degli studenti tendono
a riportare solo quando visto alla lavagna e non tutti i passaggi logici e riferimenti fisici necessari. Inoltre
c’è sempre qualche studente che incontra degli ostacoli proprio nei passaggi meno importanti e non trova
un supporto sufficientemente esteso nei libri di testo. Infine la maggior parte dei libri di esercizi che ho
visto o riportano innumerevoli esercizi, ma solo brevemente illustrati, o esercizi ”notevoli”, importanti
anch’essi, ma non per chi sta cominciando lo studio.
Spero che quanto riportato in quest’opera sia se non di aiuto almeno non dannoso. Per migliorare quanto
scritto e evidenziare qualsiasi errore non esitate a scrivermi.
email: [email protected]
1.2 Licenza e Copyright
Questo file e documento viene concesso con licenza Creative Commons. CC BY-NC-ND.
• Devi attribuire la paternità dell’opera nei modi indicati dall’autore o da chi ti ha dato l’opera in
licenza e in modo tale da non suggerire che essi avallino te o il modo in cui tu usi l’opera.
• Non puoi usare quest’opera per fini commerciali.
• Non puoi alterare o trasformare quest’opera, né usarla per crearne un’altra.
cbn d
7
1 Introduzione
1.3 Indicazione per la risoluzione degli esercizi
Gli esercizi ed i problemi di fisica si possono risolvere in svariati modi, sia per i principi e le leggi a cui si
può fare riferimento, sia per il modo in cui quei principi e quelle leggi vengono esposti. La fisica consente
la massima libertà. Tuttavia, come anche al di là della scienza, “tutto è lecito, ma non tutto conviene”, e ci
sono dei modi di procedere migliori di altri.
Secondo la nostra esperienza ti conviene sempre affrontare questi passi:
1. Stabilisci a quale domanda devi rispondere:
Prima di dare una risposta bisogna capire bene qual è la domanda.
2. Elenca tutte le grandezze a tua disposizione:
Spesso non riusciamo a procedere correttamente perché non abbiamo sottocchio tutti i dati che ci
vengono (o non ci vengono) forniti.
3. Fai uno schema o disegno della situazione che ti viene presentata:
questo non è essenziale per le domande più semplici, ma può darci la giusta visione fisica del sistema
che abbiamo davanti se le situazioni sono più complesse.
4. Stabilisci quali leggi e principi devono essere usati per trovare la risposta:
a volte sappiamo rispondere a questa domanda prima ancora di aver visto il problema o esercizio
solamente perché si trova in un certo paragrafo del nostro libro, ma non è certo il modo corretto di
procedere.
5. Trova tutti i passaggi che devi effettuare con le grandezze a tua disposizione, senza sostituire i
valori numerici:
sostituire da subito tutti i valori numerici può servire solo ad effettuare calcoli inutili prima di
effettuare le semplificazioni, o, peggio ancora, a perdere di vista la strada per trovare la risposta
finale.
6. Trasforma tutte le grandezze che effettivamente ti servono in unità di misura coerenti oppure
nel S.I. :
i principi a cui si fa riferimento in fisica sono espressi quasi sempre nel S.I.
In ogni caso tutte le grandezze devono essere coerenti, cioè, ad esempio, dobbiamo avere tutte le
lunghezze in centimetri e non qualcuna in centimetri ed qualcun altra in millimetri.
7. Sostituisci i valori numerici ed effettua i calcoli.
8. Fai attenzione alla consistenza dimensionale dei calcoli effettuati:
in particolare non scrivere alla fine di una espressione una certa unità di misura solo perché ci
aspettiamo di avere a che fare con una certa grandezza.
Regola d’oro per qualsiasi esercizio:
Ogni misura è formata da un numero e da un’unità di misura.
La regola proposta può apparire assolutamente banale, ma è estremamente frequente che non venga
rispettata. La conseguenza è di arrivare al termine di un problema con grandezze non corrette e calcoli
sbagliati, senza rendersene conto.
1.4 Notazioni e precisione nei calcoli
In tutta quest’opera si è seguito il S.I., utilizzando per la sua stesura il package siunitx in Xetex.
Per quanto riguarda la precisione dei calcoli riportati si è scelto di indicare i passaggi intermedi con
più precisione di quanto le usuali regole per la propagazione degli errori indicherebbero. I risultati finali
sono invece riportati, preferibilmente in notazione scientifica, con un numero di cifre significative mai più
basso della precisione dei dati di partenza.
8
2 Unità di misura e conversione tra grandezze
2.1 Trasformazione di unità di misura,
eliminando i multipli e i sottomultipli.
Esercizio 1 Trasforma le misure seguenti in metri, eliminando i multipli e i sottomultipli.
Puoi trovare una tabella con il simbolo, nome e significato dei multipli e sottomultipli alla fine di questi
appunti. Per poter trasformare una misura, eliminando multipli e sottomultipli, si può procedere trasformando da prima il multiplo o sottomultiplo e poi semplificando la potenza di dieci o il fattore così ottenuti
per il valore numerico rimasto della misura data:
1. 111 mm = 111 × 10−3 m = 111 · 0,001 m = 0,111 m
2. 0,34 Gm = 0,34 × 109 m
3. 65 × 10−5 nm = 65 × 10−5 · 10−9 m = 65 × 10−14 m
2.2 Trasformazione di unità di misura,
usando la notazione scientifica.
Esercizio 2 Trasforma le misure seguenti in secondi, usando la notazione scientifica.
Per poter trasformare una misura, usando la notazione scientifica, si può procedere scrivendo da prima il valore numerico della misura come un numero compreso tra 1 e 9, poi trasformando il multiplo o
sottomultiplo, e infine semplificando la potenza di dieci così ottenuta per il valore numerico rimasto della
misura data:
1. 548 × 10−3 ms = 5,48 × 102 · 10−3 ms = 5,48 × 102 · 10−3 · 10−3 s = 5,48 × 10−4 s
2. 0,0725 ns = 7,25 × 10−2 ns = 7,25 × 10−2 · 10−9 s = 7,25 × 10−11 s
3. 2678 µs = 2,678 × 103 µs = 2,678 × 103 · 10−6 s = 2,678 × 10−3 s
2.3 Ordinamento di misure.
Esercizio 3 Riordina le seguenti misure di massa ponendole dalla più piccola alla più grande.
L’utilità della notazione scientifica è pienamente evidente quando si tratta di ordinare più misure di una
stessa grandezza: basterà infatti ordinare le misure guardando alle potenze di dieci, ma solo dopo che le
misure sono state espresse in notazione scientifica.
Esprimiamo le misure che abbiamo in notazione scientifica:
1. 37,5 × 108 Mg = (3,75 × 101 · 108 )(103 kg) = 3,75 × 109 · 103 kg = 3,75 × 1012 kg.
2. 55 × 102 cg = (5,5 × 101 · 102 )(10−2 g) = (5,5 × 103 )(10−2 · 10−3 kg) = 5,5 × 103 · 10−5 kg =
5,5 × 10−2 kg
9
2 Unità di misura e conversione tra grandezze
3. 0,00645 × 103 kg = (6,45 × 103 · 103 ) · kg = 6,45 × 106 kg
4. 7654 µg = (7,654 × 103 )(10−6 g) = (7,654 × 103 )(10−6 · 10−3 kg) =
7,654 × 103 · 10−9 kg = 7,654 × 10−6 kg
Quindi le misure, dalla più piccola alla più grande, sono:
7,654 × 10−6 kg ; 5,5 × 10−2 kg ; 6,45 kg ; 3,75 × 1012 kg .
2.4 Misura di superfici.
Esercizio 4 Un rettangolo ha le seguenti dimensioni: base = 10 mm, altezza = 15 cm.
Trova l’area del rettangolo esprimendo il risultato nel S.I. .
L’interesse per un esercizio come questo non è certamente quello di trovare l’area di un rettangolo.
Si presume che tu abbia questa conoscenza fin dalle scuole medie. Tuttavia non è scontato che tu abbia
anche la capacità di svolgere i calcoli correttamente, in particolare per quanto riguarda le unità di misura.
Cerchiamo di fare riferimento agli otto punti indicati nel primo capitolo come utili per la risoluzione di
un problema o esercizio.
1. Dobbiamo trovare l’area di un rettangolo.
2. Abbiamo a disposizione due grandezze:
la base = 10 mm
l’altezza = 15 cm
3. Facciamo il disegno del nostro sistema, cioè del rettangolo.
4. La legge da usare è quella che associa l’area del rettangolo con le sue due misure lineari cioè:
base · altezza
.
Area del rettangolo =
2
5. In questo caso abbiamo direttamente la formula finale.
6. In generale per trovare l’area dobbiamo usare la stessa unità di misura sia per la base che per l’altezza.
In questo caso ci viene chiesto di trovare la risposta nel S.I., quindi trasformiamo subito le due
grandezze nel S.I.
Base = 10 mm = 10 · 10−3 m = 10−2 m ,
Altezza = 15 cm = 15 × 10−2 m .
7. A questo punto sostituiamo le due misure nella formula data.
base · altezza
10−2 m · 15 × 10−2 m
=
=
2
2
( )
(15 · 10−2 · 10−2 ) · (m2 )
15
· 10−4 m2 = 7,5 × 10−4 m2
=
2
2
A=
8. Abbiamo trovato che il risultato è espresso in metri quadri.
Questa è effettivamente l’unità di misura delle aree nel S.I. .
10
(2.1)
(2.2)
2.5 Conversione tra unità di misura di superfici.
2.5 Conversione tra unità di misura di superfici.
Esercizio 5 Converti le seguenti misure di superficie nel S.I., eliminando i multipli e i sottomultipli.
2,3 × 103 cm2 ; 6,2 × 10−4 km2
Un’unità di misura di superficie è sempre una lunghezza al quadrato. Di conseguenza possiamo sia
ricordare i fattori di conversione tra unità di misura di superficie sia trasformare l’unità di misura di
lunghezza per poi farne il quadrato.
In questo esercizio proviamo entrambi i modi. Tuttavia è nostra personale preferenza il secondo modo,
poiché dobbiamo ricordarci solo quello che già sappiamo sulle lunghezze.
Per convertire una misura di superficie operiamo come nel caso di misure di lunghezza, trasformando
da prima l’unità di misura e poi semplificando il risultato ottenuto.
Nel primo caso abbiamo che:
Quindi:
cm = 10−2 m
(2.3)
cm2 = cm · cm = 10−2 m · 10−2 m = 10−4 m2
(2.4)
Oppure direttamente, se lo si ricorda:
Infine sostituendo:
cm2 = 10−4 m2
(2.5)
2,3 × 103 cm2 = 2,3 × 103 · 10−4 m2 = 2,3 × 10−1 m2
(2.6)
Nel secondo caso abbiamo che:
km = 103 m
(2.7)
km2 = km · km = 103 m · 103 m = 106 m2
(2.8)
Quindi:
Oppure direttamente, se lo si ricorda:
Infine sostituendo:
km2 = 106 m2
(2.9)
6,2 × 10−4 km2 = 6,2 × 10−4 · 106 m2 = 6,2 × 102 m2
(2.10)
2.6 Densità
Esercizio 6 Trova la densità di un cubo la cui massa è 2 kg e il cui spigolo misura 58 mm.
La densità di un corpo è definita come il rapporto tra la sua massa e il suo volume. Nel S.I. la massa si
esprime in kg e il volume in m3 . Troviamo il volume del cubo esprimendo il risultato nel S.I. .
l = 58 mm = 58 · 0,001 m = 0,058 m
(2.11)
V = l3 = (0,058 m)3 = 0,000195 m3
(2.12)
La densità è:
d=
m
2 kg
= 10250 kg/ m3
=
V
0,000195 m3
(2.13)
11
2 Unità di misura e conversione tra grandezze
Esercizio 7 Un oggetto a forma di sfera, il cui raggio misura 23 cm, ha una densità d = 1200 kg/m3 .
1. Qual è il volume dell’oggetto?
2. Qual è la sua massa?
1. Troviamo il volume della sfera esprimendo il risultato nel S.I. .
r = 23 cm = 23 · 0,01 m = 0,23 m
4
4
V = πr3 = · 3, 14 · (0,23 m)3 = 0,0510 m3 = 5,10 × 10−2 m3
3
3
2. Usiamo la definizione di densità per ricavare la sua massa.
d=
m
⇒m=d·V
V
(2.14)
(2.15)
(2.16)
Infine la sua massa è:
m = d · V = 1200 kg/m3 · 0,0510 m3 = 61,2 kg
12
(2.17)
3 Grandezze vettoriali
3.1 Somma di due vettori
Esercizio 8 Su un oggetto puntiforme agiscono due forze
rappresentate con i vettori disegnati qui di fianco.
Sapendo che 1 cm ≡ 35 N:
1. Trova la forza totale che agisce sull’oggetto,
cioè fai la somma vettoriale dei vettori dati.
2. Alla fine ricava il modulo delle due forze
e della forza totale.
⃗a
⃗b
La somma di due vettori si può fare in diversi modi. In questo esercizio i vettori sono rappresentati
graficamente e quindi la somma andrà fatta per via grafica. Utilizziamo il metodo del parallelogramma.
Per fare la somma di due vettori per via grafica:
⃗a
⃗b
1) Riportiamo i due vettori in modo che abbiano lo stesso punto di
applicazione, lasciando invariate direzione, verso e modulo
2) Partendo dalla punta del primo vettore (⃗a, ad esempio) tracciamo la
retta parallela al secondo vettore (⃗b), poi dalla punta del secondo vettore
tracciamo la retta parallela al primo. Le due rette si incontreranno in
un punto.
⃗a
⃗b
⃗c
⃗a
3) Tracciamo il segmento che congiunge il punto di applicazione dei
due vettori da sommare con il punto in cui si sono incontrate le due
rette prima tracciate. Quel segmento rappresenta il vettore somma e il
suo verso è verso la congiungente delle due rette tratteggiate.
⃗b
Per trovare il modulo di un vettore per via grafica dobbiamo misurarne la lunghezza con un righello,
usando l’unità di misura che ci viene indicata, in questo caso 1 cm ≡ 35 N, cioè ogni centimetro di freccia
vale 35 N.
13
3 Grandezze vettoriali
Osserviamo l’ultima figura. Prendiamo un righello e misuriamo le frecce che rappresentano i vettori.
Troviamo ad esempio che:
⃗a , lunghezza = 2,0 cm
⃗b , lunghezza = 3,2 cm
(3.1)
⃗c , lunghezza = 4,5 cm
Il valore dei moduli, ottenuto moltiplicando la lunghezza in cm del vettore per il valore equivalente di
ogni centimetro, è quindi:
|⃗a| = 2,0 · 35 N = 70 N
|⃗b| = 3,2 · 35 N = 112 N
(3.2)
|⃗c| = 4,5 · 35 N = 157 N
Esercizio 9 Sapendo che 1 cm ≡ 23 N determina:
1. la somma dei due vettori dati.
2. L’intensità dei due vettori e del vettore somma.
⃗b
⃗a
I vettori dati sono paralleli e hanno lo stesso verso. La loro somma vettoriale è un vettore con la loro
stessa direzione e verso, ma la cui lunghezza è somma delle lunghezze dei due vettori.
⃗c
Troviamo quindi che:
⃗a , lunghezza = 3,5 cm
⃗b , lunghezza = 4,5 cm
(3.3)
⃗c , lunghezza = 3,5 cm + 4,5 cm = 8 cm
Il valore dei moduli, ottenuto moltiplicando la lunghezza in cm del vettore per il valore equivalente di
ogni centimetro, è quindi:
|⃗a| = 3,5 · 23 N = 81 N
|⃗b| = 4,5 · 23 N = 103 N
|⃗c| = 8 · 23 N = |⃗a| + |⃗b| = 184 N
14
(3.4)
3.2 Somma di tre vettori
Esercizio 10 Sapendo che 1 cm ≡ 56 N determina:
⃗b
1. La somma dei due vettori dati.
2. L’intensità dei due vettori e del vettore somma.
⃗a
I vettori dati sono paralleli, ma di verso opposto. La loro somma vettoriale è un vettore con la loro stessa
direzione, con il verso di quello più lungo e la cui lunghezza è la differenza tra la lunghezza di quello più
lungo e quello più corto.
⃗c
Troviamo quindi che:
⃗a , lunghezza = 4,0 cm
⃗b , lunghezza = 2,3 cm
(3.5)
⃗c , lunghezza = 1,7 cm
Il valore dei moduli, ottenuto moltiplicando la lunghezza in cm del vettore per il valore equivalente di
ogni centimetro, è quindi:
|⃗a| = 4,0 · 56 N = 224 N
|⃗b| = 2,3 · 56 N = 129 N
(3.6)
|⃗c| = 1,7 · 56 N = |⃗a| − |⃗b| = 95 N
3.2 Somma di tre vettori
Esercizio 11 Sapendo che 1 cm ≡ 56 N determina:
1. La somma dei tre vettori dati.
2. L’intensità dei tre vettori e del vettore somma.
⃗a
⃗c
⃗b
La somma di più di due vettori si può realizzare sommando i primi due e poi questa somma con il terzo
⃗12 la somma del vettore ⃗a e il vettore ⃗b; V
⃗123 la somma del vettore V
⃗12 e il vettore
e così via. Chiamiamo V
⃗c, cioè la somma dei tre vettori dati.
⃗12
V
⃗a
Questa è la somma di ⃗a e ⃗b
⃗b
15
3 Grandezze vettoriali
V⃗123
⃗12 e ⃗c
Questa è la somma di V
V⃗12
⃗c
Misurando la lunghezza delle freccia troviamo infine che:
⃗a , lunghezza = 2,5 cm
⃗b , lunghezza = 2,7 cm
(3.7)
⃗c , lunghezza = 2,0 cm
⃗123 , lunghezza = 6,0 cm
V
Il valore dei moduli, ottenuto moltiplicando la lunghezza in cm del vettore per il valore equivalente di
ogni centimetro, è quindi:
|⃗a| = 2,5 · 56 N = 140 N
|⃗b| = 2,7 · 56 N = 151 N
(3.8)
|⃗c| = 2,0 · 56 N = 112 N
⃗123 | = 6,0 · 56 N = 336 N
|V
3.3 Differenza tra vettori
Esercizio 12 Sapendo che 1 cm ≡ 73 N determina:
1. La differenza dei due vettori dati.
2. L’intensità dei due vettori e del vettore somma.
⃗a
⃗b
La differenza d⃗ tra un vettore ⃗a e un vettore ⃗b equivale alla somma di ⃗a con ⃗b cambiato di verso. Ovvero:
d⃗ = ⃗a − ⃗b = ⃗a + (−⃗b)
⃗a
⃗b
-⃗b
16
Questo vettore -⃗b è applicato nello stesso punto
di applicazione di ⃗a
(3.9)
3.4 Componenti di una forza
⃗a
d⃗
Questa è la differenza d⃗
-⃗b
Misurando la lunghezza delle frecce troviamo infine che:
⃗a , lunghezza = 2,5 cm
⃗b , lunghezza = 3,6 cm
d⃗ , lunghezza = 3,2 cm
(3.10)
Il valore dei moduli, ottenuto moltiplicando la lunghezza in cm del vettore per il valore equivalente di
ogni centimetro, è quindi:
|⃗a| = 2,5 ·73 N = 182 N
|⃗b| = 3,6 ·73 N = 263 N
(3.11)
⃗ = 3,2 ·73 N = 234 N
|d|
3.4 Componenti di una forza
Esercizio 13 Abbiamo una forza di 470 N che forma un angolo α = 37° rispetto ad una asse.
Trova il modulo dei due componenti della forza parallelo e perpendicolare all’asse dato.
Disegna i due componenti.
Se un vettore (in questo caso la forza) forza un angolo α rispetto ad un asse qualsiasi allora il modulo
dei suoi componenti parallelo e perpendicolare all’asse è dato da:
{
|F⃗∥ | = |F⃗ | cos(α)
(3.12)
|F⃗⊥ | = |F⃗ | sin(α)
Ovvero:
{
|F⃗∥ | = 470 N cos(37°) = 375 N
|F⃗⊥ | = 470 N sin(37°) = 283 N
(3.13)
Se consideriamo come asse di riferimento l’asse x possiamo fare il seguente disegno.
y
F⃗
F⃗y
α
F⃗x
x
17
3 Grandezze vettoriali
Esercizio 14 Abbiamo una forza F1 = 670 N che forma un angolo α = 35° rispetto all’asse delle ascisse,
e una forza F2 = 320 N che forma un angolo β = 27° rispetto all’asse delle ordinate, come rappresentato
in figura.
y
β
F⃗1
F⃗2
α
x
1.
2.
3.
4.
Disegna i componenti delle forze date rispetto agli assi.
Trova il modulo delle componenti delle forze date rispetto agli assi.
Trova la loro somma per componenti.
Trova il modulo del vettore somma.
1. Costruiamo e disegniamo nella figura i componenti dei due vettori dati:
y
F⃗2y
β
F⃗1y
F⃗2
α
F⃗1
F⃗1x
x
F⃗2x
2. Nella figura possiamo osservare che l’angolo α è adiacente al componente x del vettore F⃗1 : per cui
il suo modulo si può ricavare con il coseno dell’angolo.
{
|F⃗1x | = |F⃗1 | cos(α) = 670 N cos(35°) = 549 N
(3.14)
|F⃗1y | = |F⃗1 | sin(α) = 670 N sin(35°) = 384 N
Analogamente osserviamo che l’angolo β è adiacente al componente y del vettore F⃗2 : per cui il suo
modulo si può ricavare con il coseno dell’angolo.
{
|F⃗2x | = |F⃗2 | sin(β) = 320 N sin(27°) = 145 N
(3.15)
|F⃗2y | = |F⃗2 | cos(β) = 320 N cos(27°) = 285 N
Osservando la figura, possiamo dare un segno alle componenti, in relazione al loro verso rispetto al
verso positivo dell’asse in cui si trovano.
18
F⃗1 = (549 N; 384 N)
(3.16)
F⃗2 = (−145 N; 285 N)
(3.17)
3.5 Dinamometro e legge di Hooke
Con altra notazione (scrivendo i vettori rispetto ai versori degli assi) possiamo scrivere:
F⃗1 = (549⃗i + 384⃗j) N
(3.18)
F⃗2 = (−145⃗i + 285⃗j) N
(3.19)
3. Il vettore somma ha per componenti la somma delle rispettive componenti di F⃗1 e F⃗2 .
F⃗s = (549 N + (−145 N); 384 N + 285 N) = (404 N; 669 N)
4. Infine il suo modulo vale (ricordando il teorema di Pitagora):
√
√
|F⃗s | = Fs2x + Fs2y = (404 N)2 + (669 N)2 = 781 N
(3.20)
(3.21)
3.5 Dinamometro e legge di Hooke
Esercizio 15 Un dinamometro è costruito con una molla che a riposo è lunga 2 cm. Quando alla molla
viene applicata una forza di 50 N diventa lunga 5 cm. Quanto vale la costante elastica della molla?
Il comportamento di una molla elastica può essere descritto con buona approssimazione dalla legge di
Hooke che lega la forza F con un cui una molla viene tesa al suo allungamento ∆x:
F = −k∆x
(3.22)
La costante k è detta costante elastica e il segno negativo sta ad indicare la presenza di una forza di
richiamo. In questo caso l’allungamento vale:
∆x = x2 − x1 = 5 cm − 2 cm = 3 cm
(3.23)
Infine la costante elastica (senza segno) vale:
k=
F
50 N
=
= 16,6 N/cm
∆x
3 cm
(3.24)
19
4 Statica dei corpi puntiformi
4.1 Corpo puntiforme su un piano orizzontale
Esercizio 16 Un corpo puntiforme di massa m = 12 kg è fermo su un piano orizzontale.
Il coefficiente d’attrito statico tra corpo e piano è µ = 0, 7.
1. Calcola il modulo della forza peso che agisce sul corpo.
2. Disegna il vettore forza peso con un vettore di lunghezza opportuna sapendo che 1 cm ≡ 16 N.
3. Calcola la forza d’attrito statico che si esercita sul corpo.
1. Ogni corpo sulla Terra è sottoposto ad una forza, la forza di gravità, che la Terra esercita
sul corpo stesso. In prossimità della superficie terrestre la forza di gravità, chiamata anche
forza peso, è una forza diretta verso il centro della Terra, in direzione perpendicolare alla
superficie terrestre e il suo modulo vale:
Fp = mg = 12 kg · 9,8 m/s2 = 118 N
(4.1)
L’accelerazione di gravità g vale circa 9,8 m/s2 solo in prossimità del suolo. più si sale di
altitudine e minore sarà il suo valore.
P⃗
2. Il disegno della forza peso consiste nel fare una freccia orientata verso il basso, di opportuna lunghezza. Noi sappiamo che ogni cm di freccia vale 16 N. Per avere un modulo di
118 N dobbiamo avere una freccia di lunghezza l:
l=
118 N
= 7,4 cm
16 N/cm
(4.2)
3. La forza d’attrito si manifesta solo se il corpo si muove o se c’è una forza che cerca di
spostarlo dal suo equilibrio. In questo caso l’unica forza che agisce sul corpo è la forza
peso e la reazione vincolare del piano d’appoggio. Esse agiscono perpendicolarmente al
piano e non spingono il corpo né verso destra né verso sinistra. Per cui anche se ”c’è
attrito” non c’è nessuna forza d’attrito, per lo meno attrito radente.
⃗
R
P⃗
21
4 Statica dei corpi puntiformi
Esercizio 17 Un corpo puntiforme di massa m = 12 kg è fermo su un piano orizzontale. Il coefficiente
d’attrito statico tra corpo e piano è µ = 0, 85. Sul corpo agisce la forza F⃗ (|F⃗ | = 78 N e α = 21°).
1. Calcola il modulo della forza peso che agisce sul corpo.
2. Calcola la forza totale che agisce sul corpo parallelamente e perpendicolarmente al piano, trascurando la reazione vincolare del piano e l’eventuale forza d’attrito.
3. Calcola la forza d’attrito statico massimo che il corpo può sopportare.
4. Aggiungi alla figura la forza d’attrito statico.
5. Determina, in modulo, direzione e verso, la reazione vincolare del piano.
y
F⃗
α
x
P⃗
1. La forza peso è data da Fp = mg. Quindi:
Fp = mg = 12 kg · 9,81 m/s2 = 118 N
(4.3)
2. Nella figura data avevamo già indicato due assi ortogonali x e y passanti per il centro del corpo. Essi
individuano la direzione parallela e perpendicolare al piano per il corpo dato.
Aggiungiamo alla figura i componenti del vettore F⃗ su quegli assi. I loro moduli sono:
{
|F⃗x | = |F⃗ | cos(α) = 78 N · cos(21°) = 78 N · 0, 933 = 73 N
(4.4)
|F⃗y | = |F⃗ | sin(α) = 78 N · sin(21°) = 78 N · 0, 358 = 28 N
y
F⃗
F⃗y
α
F⃗x
x
P⃗
In orizzontale agisce solo la forza F⃗x . In verticale agiscono F⃗p e F⃗y , con verso opposto. La forza totale
che agisce in verticale è la somma vettoriale di queste due forze. Il verso positivo delle componenti
è dato dal verso positivo dell’asse a cui si riferiscono.
22
F⃗ = (73⃗i + 28⃗j) N
(4.5)
F⃗p = (−118⃗j) N
(4.6)
4.1 Corpo puntiforme su un piano orizzontale
Sommiamo le rispettive componenti (col proprio segno):
Fverticale = Fy + Fp y = 28 N − 118 N = −90 N
(4.7)
3. La forza totale che agisce in verticale schiaccia il corpo verso il basso. Poiché prevale la forza verso
il basso si può avere una forza di attrito: la forza d’attrito dipende da quanto il corpo è schiacciato
sul piano. La forza che schiaccia il corpo è Fverticale .
La forza di attrito statico massimo che il corpo può sopportare è:
Fa.s.M AX = µFschiacciamento = 0, 85 · 90 N = 77 N
(4.8)
Osserviamo che il segno meno della sua componente verticale non va inserito nella formula precedente dal momento che non avrebbe alcun significato: la forza che schiaccia il corpo è perpendicolare
al piano, ma la forza d’attrito è parallela al piano.
Dal momento che la forza che spinge il corpo lungo il piano (F⃗x ) è inferiore alla forza di attrito
massimo che il corpo può sopportare, allora il corpo non scivola sul piano stesso.
|F⃗x | < |F⃗a.s.M AX | ⇒ Il corpo non scivola
(4.9)
La forza d’attrito effettiva F⃗a.s. è quindi uguale e contraria alla forza F⃗x , dal momento che il corpo
rimane in equilibrio e quindi la somma delle forze deve essere nulla.
4. Nella figura seguente disegniamo quanto detto (la forza peso non è in scala).
y
F⃗
F⃗y
F⃗a.s
α
F⃗x
x
P⃗
5. La forza di reazione vincolare del piano è la forza che il piano esercita sul corpo per impedire che
questo lo attraversi. Se il corpo è schiacciato sul piano, il piano reagisce con una forza uguale in
modulo e direzione, ma di verso opposto. La forza di reazione ha quindi lo stesso valore e direzione
di Fverticale .
23
4 Statica dei corpi puntiformi
4.2 Corpo puntiforme su un piano inclinato
Esercizio 18 Un corpo puntiforme di massa m = 70 kg è fermo su un piano inclinato con un angolo
α = 25° rispetto all’orizzontale.
1. Calcola il modulo della forza peso che agisce sul corpo e rappresentala in una figura.
2. Disegna i componenti del vettore forza peso parallelo e perpendicolare al piano.
3. Calcola il modulo di questi due componenti.
1. Il modulo della forza peso che agisce sul corpo è:
|F⃗p | = m|⃗g | = 70 kg · 9,81 m/s2 = 687 N
(4.10)
2. Per trovare i componenti della forza peso osserviamo come i nostri assi siano uno perpendicolare al
piano (e lo disegniamo nella figura come linea tratteggiata) e uno parallelo e sovrapposto al piano.
β
α′
α
F⃗p
Per quanto riguarda l’angolo α e l’angolo α′ che la forza peso forma con la perpendicolare, guardiamo al triangolo rettangolo evidenziato in grigio. Possiamo scrivere:
β + α + 90° = 180°
(4.11)
β + α′ = 90°
(4.12)
E quindi, eguagliando gli angoli β nelle due equazioni:
180° − α − 90° = 90° − α′
(4.13)
α = α′
(4.14)
F⃗∥
β
α
α
′
F⃗⊥
F⃗p
3. Se i due angoli sono uguali possiamo scrivere che:
{
|F⃗p ⊥ | = |F⃗p | cos(α′ ) = 687 N · cos(25°) = 623 N
|F⃗p ∥ | = |F⃗p | sin(α′ ) = 687 N · sin(25°) = 290 N
24
(4.15)
4.2 Corpo puntiforme su un piano inclinato
Esercizio 19 Un corpo puntiforme di massa m = 40 kg è poggiato su un piano inclinato con un angolo
α = 20° rispetto all’orizzontale. Tra corpo e piano è presente attrito: il coefficiente di attrito statico è
µs = 0, 8.
Inoltre sul corpo agisce una forza F⃗ , dove |F⃗ | = 150 N e β = 35°, come mostrato in figura.
1.
2.
3.
4.
Calcola il modulo della forza peso che agisce sul corpo.
Disegna i componenti del vettore forza peso e della forza F⃗ paralleli e perpendicolari al piano.
Calcola il modulo di questi quattro componenti.
Trova il modulo della forza totale che agisce perpendicolarmente e parallelamente al piano, trascurando la reazione vincolare del piano e l’eventuale forza d’attrito.
5. Trova la forza di attrito massimo a cui il corpo può resistere senza muoversi.
6. Trova se nelle condizioni date il corpo riuscirà a stare fermo e calcola la forza di attrito che effettivamente agisce sul corpo.
7. Trova l’eventuale reazione vincolare del piano.
F⃗
β
α
1. Il modulo della forza peso che agisce sul corpo è:
Fp = mg = 40 kg · 9,81 m/s2 = 392 N
(4.16)
2. Aggiungiamo alla figura la forza peso (non proprio in scala) e i componenti delle forze date paralleli
e perpendicolari al piano inclinato.
F⃗⊥
F⃗
β
F⃗∥
F⃗p∥
F⃗p⊥
α
F⃗p
Nella precedente figura l’angolo α è anche l’angolo tra F⃗p e F⃗p⊥ .
3. Scegliamo (a nostro arbitrio) come verso positivo per le componenti delle forze parallele al piano
quello verso destra e come verso positivo per le componenti perpendicolari al piano quello verso
l’alto. Per questo possiamo scrivere:
{
Fp⊥ = −|F⃗p | cos(α) = −392 N · cos(20°) = −368 N
Fp∥ = −|F⃗p | sin(α) = −392 N · sin(20°) = −134 N
(4.17)
25
4 Statica dei corpi puntiformi
Invece per le componenti della forza F⃗ scriviamo:
{
F⊥ = |F⃗ | sin(β) = 150 N · sin(35°) = 123 N
F∥ = |F⃗ | cos(β) = 150 N · cos(35°) = 86 N
(4.18)
4. Per trovare il modulo della forza totale lungo il piano e perpendicolarmente ad esso, sommiamo le
componenti delle due forze date lungo quelle due direzioni.
Ftot∥ = F∥ + Fp∥ = 86 N + (−134 N) = −48 N
(4.19)
Ftot⊥ = F⊥ + Fp⊥ = 368 N + (−123 N) = −245 N
(4.20)
La componente della forza totale perpendicolare al piano ha segno negativo, quindi è diretta verso
il basso: il corpo rimane attaccato al piano e vi può essere forza d’attrito. La componente della forza
totale parallela al piano è negativa, quindi il corpo è spinto verso sinistra.
5. La forza d’attrito statico dipende dalla forza con cui il corpo è schiacciato sul piano di appoggio. Nel
nostro caso dipende dalla componente perpendicolare al piano della forza totale. La forza di attrito
statico massimo che il corpo può sopportare è:
Fa.s.M AX = µFschiacciamento = µs |F⃗tot⊥ | = 0, 8 · 245 N = 196 N
(4.21)
6. La forza d’attrito si oppone al movimento del corpo. Nel nostro caso il corpo è spinto verso sinistra
dalla forza F⃗tot∥ . Poiché il modulo di questa forza è più piccolo del massimo attrito statico che il
corpo può sopportare allora il corpo rimarrà fermo.
|F⃗tot∥ | < |F⃗a.s.M AX | ⇒ Il corpo non scivola
(4.22)
La forza d’attrito effettiva è uguale e contraria alla forza Ftot∥ .
F⃗a.s. = −F⃗tot∥
(4.23)
7. La forza di reazione vincolare del piano è la forza che il piano esercita sul corpo per impedire che
questo lo attraversi. Se il corpo è schiacciato sul piano, il piano reagisce con una forza uguale in
modulo e direzione, ma di verso opposto. La forza di reazione ha quindi lo stesso valore e direzione
di Ftot⊥ .
F⃗r.v. = −F⃗tot⊥
(4.24)
26
4.3 Corpo appeso ad un filo
4.3 Corpo appeso ad un filo
Esercizio 20 Un corpo di massa m = 7 kg è appeso al soffitto di una stanza con un filo di massa m = 50 g
ed è in quiete.
1. Trova la tensione che il corpo esercita sul filo.
2. Trova la tensione che il soffitto esercita sul filo.
Sul corpo agiscono due forze: la forza peso del corpo stesso e la forza T⃗f c esercita
dal filo sul corpo. Quindi:
F⃗tot = P⃗c + T⃗f c
(4.25)
soffitto
In un corpo esteso la fune esercita la sua forza nel punto di contatto con il corpo.
Il nostro corpo, anche se rappresentato come un oggetto esteso (il quadrato) è idealizzato come se fosse un punto. Di conseguenza è preferibile rappresentare tutte le
forze che agiscono su di esso come se fossero applicate al centro (il centro di massa)
del corpo. Per questo motivo nella figura T⃗f c parte del centro del corpo.
T⃗f c
•
Il corpo è a riposo quindi la forza totale che agisce su esso è nulla: F⃗tot = 0 N.
Da cui ricaviamo che:
P⃗c = −T⃗f c
(4.26)
P⃗c
|T⃗f c | = |P⃗c | = mc g = 7 kg · 9,81 m s−2 = 69 N
•
T⃗cf
(4.27)
Per il terzo principio della dinamica la forza T⃗f c esercita dal filo sul corpo è uguale
e contraria alla forza T⃗cf esercita dal corpo sul filo, che è la grandezza che vogliamo
trovare.
T⃗cf = −T⃗f c
(4.28)
T⃗f c
Quindi:
|T⃗cf | = |T⃗f c | = 69 N
•
T⃗sf
soffitto
(4.29)
Il soffitto, anch’esso in quiete, oppone una forza F⃗sof uguale e contraria a quella
che il corpo e il filo esercitano assieme, forza P⃗tot determinata dal peso del corpo
e del filo.
La tensione del filo nel punto di contatto con il soffitto è la forza T⃗sf che il soffitto
esercita sul filo, uguale e contraria a quella esercita dal filo sul soffitto.
•
P⃗tot
F⃗sof = −P⃗tot = T⃗sf
(4.30)
P⃗tot = P⃗c + P⃗f
(4.31)
|T⃗sf | = |P⃗c | + |P⃗f | = mc g + mf g =
(4.32)
Da cui ricaviamo che:
(7 kg + 50 g) · 9,81 m s−2 = (7 kg + 0,05 Kg) · 9,81 m s−2 = 69,2 N
27
4 Statica dei corpi puntiformi
4.4 Corpi e dinamometri
Esercizio 21 Un dinamometro n°1, di massa m1 = 0,10 kg, è poggiato su un piano orizzontale dove
può muoversi senza attrito,come rappresentato in figura: a sinistra è collegato con un filo ad una parete
immobile, a destra è collegato con un altro filo ad un secondo dinamometro n°2, di massa m2 = 0,40 kg.
Questo filo è fatto passare su una carrucola dove può scivolare senza attrito.
Infine un grave di massa M = 4 kg è appeso con un filo al dinamometro n°2.
Tutti i fili sono di massa trascurabile.
1
Sapendo che tutto il sistema è in equilibrio:
1. Trova la forza misurata dai due dinamometri.
2. Trova la tensione del filo nel punto in cui è attaccato
alla parete e tra i due dinamometri.
3. Trova se posizionando i due dinamometri al contrario
misurerebbero un forza differente.
2
M
Il sistema descritto nell’esercizio può essere rappresentato come se fosse costituito da un unico sistema
posizionato tutto su un’unica retta. Inoltre il sistema è in equilibrio e sono in equilibrio i due dinamometri
e il grave. Per cui, su ognuno di essi, la somma delle forze che agiscono deve essere nulla. Ridisegniamo il
sistema di conseguenza con tutte le forze che agiscono sui tre corpi.
Inseriamo nella figura anche la forza che il filo esercita sulla parete.
⃗
R
T⃗f p
T⃗2d
T⃗2s
T⃗1s
T⃗1d
T⃗M
P⃗2
P⃗1
•
P⃗M
1. Per determinare la forza misurata dai due dinamometri cominciamo analizzando il sistema dal grave
a destra.
Sul grave agisce il suo peso e la tensione T⃗M della fune. Essendo in equilibrio scriviamo:
|T⃗M | = |P⃗M | = M g = 4 kg · 9,81 m s−2 = 39 N
(4.33)
Le tensioni esercitate dalla fune, T⃗M e T⃗2d , devono essere uguali e contrarie perché la fune ha massa
trascurabile e la somma delle forze che agiscono alle sue estremità deve essere nulla.
T⃗M = −T⃗2d
(4.34)
Consideriamo il dinamometro n°2. Essendo in equilibrio scriviamo:
P⃗2 + T⃗2d = −T⃗2s
(4.35)
Il dinamometro non può essere considerato un semplice punto materiale. Infatti abbiamo applicato
le due tensioni delle funi alle sue estremità, non nel centro del corpo (come per la forza peso), ma
nel punto di contatto con i fili.
Il dinamometro misura la forza esterna che equilibra la forza di richiamo elastica della molla. Dalla
figura emerge che questa forza è T⃗2d che abbiamo prima calcolato.
28
4.4 Corpi e dinamometri
Quindi il dinamometro n°2 segna 39 N.
Consideriamo il dinamometro n°1. Essendo in equilibrio scriviamo:
{
T⃗1d = −T⃗1s
⃗
P⃗1 = −R
(4.36)
Inoltre, analogamente a quanto già scritto, le tensioni esercitate dalla fune, T⃗1d e T⃗2s , devono essere
uguali e contrarie perché la fune ha massa trascurabile e la somma delle forze che agiscono alle sue
estremità deve essere nulla.
T⃗1d = −T⃗2s = P⃗2 + T⃗2d
(4.37)
|T⃗1d | = |P⃗2 | + |T⃗2d | = m2 g + 39 N = 0,4 kg · 9,81 m s−2 + 39 N = 43 N
(4.38)
La forza elastica del dinamometro n°1 è equilibrata dalla tensione T⃗1d .
Quindi il dinamometro n°1 segna 43 N.
2. Per quanto riguarda la forza esercita sulla parete dalla fune osserviamo che, per analoghe ragioni a
quanto visto per gli altri spezzoni di filo:
T⃗f p = −T⃗1s
(4.39)
|T⃗f p | = |T⃗1s | = |T⃗1d | = 43 N
(4.40)
Inoltre per quanto già scritto:
3. Disegniamo il sistema con i dinamometri capovolti.
⃗
R
T⃗f p
T⃗2d
T⃗2s
T⃗1s
T⃗1d
P⃗1
P⃗2
T⃗M
•
P⃗M
Per quanto riguarda il dinamometro n°1 non è cambiato niente. Infatti ora il dinamometro misura
la tensione T⃗1s che ha comunque lo stesso modulo di T⃗1d .
Diversamente per il dinamometro n°2. La tensione misurata è ora T⃗2s che è diversa da T⃗2d . In pratica
il dinamometro deve misurare il peso del grave più il suo peso.
29
5 Cinematica
5.1 Moto rettilineo uniforme in una dimensione
Esercizio 22 Un’automobile si muove con velocità costante sulla SS 131, da Oristano a Nuoro, dal 95 km
al 160 km. Parte alle ore 10:30 e arriva alle ore 11:40.
Determina le seguenti grandezze esprimendole nel sistema internazionale:
1. Lo spostamento effettuato.
2. Il tempo impiegato.
3. La velocità media.
1. La definizione dello spostamento effettuato può essere ∆S = Sf − Si , cioè la differenza tra la posizione finale e la posizione iniziale.
∆S = Sf − Si = 160 km − 95 km = 65 km = 65 × 103 m = 65000 m
(5.1)
2. Il tempo impiegato può essere definito allo stesso modo: ∆t = tf − ti , cioè l’intervallo tra il tempo
iniziale e quello finale.
∆t = tf − ti = 11:40 h − 10:30 h = 1:10 h (cioè un ora e 10 minuti.)
(5.2)
Trasformiamo questo risultato in secondi, cioè nel S.I.
1:10 h = 1 h + 10 min = 3600 s + 10 · 60 s = 4200 s
(5.3)
3. La definizione di velocità media è:
v=
∆S
65000 m
=
= 15,5 m/s
∆t
4200 s
(5.4)
5.2 Diagramma orario di un moto
Esercizio 23 Su un foglio a quadretti riporta il diagramma orario della seguente tabella.
x(m)
21
63
97
123
t(s)
7, 5
9
13, 5
18
Nello studio del moto risulta di fondamentale importanza rappresentare l’andamento del moto con un
grafico cartesiano. Questo è quello che vogliamo fare in questo esercizio.
Abbiamo una tabella con due variabili correlate: spazio e tempo. Tra queste il tempo è la variabile
indipendente e lo spazio quella dipendente (dal tempo). In un grafico cartesiano solitamente l’asse delle
ascisse è legato alla variabile indipendente e quello delle ordinate alla variabile dipendente.
31
5 Cinematica
Cominciamo col tracciare gli assi dando ad essi il nome della variabile che vogliamo rappresentare. Il
nome dato all’asse, analogamente a quanto compare nella tabella, deve essere seguito dall’unità di misura
usata scritta tra parentesi.
A questo punto vogliamo trovare l’opportuna scala di rappresentazione dei dati della tabella in modo
da riempire completamente il grafico.
Partiamo dalle ascisse. Misuriamo la lunghezza in cm che va dall’origine degli assi a fondo scala. Se
dividiamo questa misura per il valore più grande del tempo riportato in tabella troviamo a quanti cm deve
corrispondere ogni secondo.
Lunghezza dell’asse delle ascisse = 15 cm. Valore più grande dei tempi = 18. Per cui:
15 cm
= 0,8 cm
18
(5.5)
Allora possiamo scrivere che 0,8 cm ≡ 1 s.
Non esiste una regola universale per stabilire quante tacche inserire su un asse del grafico: ci sono
solo ragioni di opportunità estetica e funzionale. In questo caso potremo segnare 18 tacche scrivendo un
numero per ogni tacca, ma verrebbe una grafica troppo pesante. Oppure possiamo segnare 18 tacche, ma
riportare il numero solo una volta ogni cinque tacche. Nel grafico che segue segniamo una tacca e un
numero ogni due unità.
Facciamo la stessa cosa per l’asse delle ordinate.
Lunghezza dell’asse delle ordinate = 7 cm. Valore più grande dello spazio = 123. Per cui:
7 cm
= 0,08 cm
123
(5.6)
Allora possiamo scrivere che 0,08 cm ≡ 1 m.
In questo caso risulta impossibile segnare 123 tacche, ma possiamo agevolmente segnare una tacca ogni
10 unità.
Infine congiungiamo ogni punto del grafico con il punto successivo attraverso un segmento.
t(s)
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
32
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
x(m)
5.3 Moto rettilineo uniforme in una dimensione e legge oraria.
5.3 Moto rettilineo uniforme in una dimensione e legge oraria.
Esercizio 24 Un ciclista percorre la SS 130 da 10 km a 35 km con una velocità costante di 28 km/h.
Determina:
1. Il tempo impiegato dal ciclista per andare dalla prima località alla seconda.
2. A quale chilometro si troverà dopo 75 minuti dall’inizio della corsa.
3. A che ora sarebbe partito da 0 km se è passato alle ore 10:00 a 13 km.
Supponiamo che il moto del ciclista sia rettilineo: siccome sappiamo che la velocità è costante lo potremo
considerare come un moto rettilineo uniforme. Allora, se v è il modulo della velocità e x0 la posizione
iniziale a tempo t = 0 s, la posizione (finale) occupata al tempo t è:
x = x0 + vt
(5.7)
In questa legge oraria x ci dice anche quale sia la distanza percorsa al tempo t compresa la posizione
iniziale.
1. Sappiamo dai dati che la distanza percorsa è ∆x = |x2 − x1 |, dove x1 è la posizione iniziale e x2 la
posizione finale del ciclista lungo la strada:
∆x = |35 km − 10 km| = 25 km
(5.8)
Conosciamo anche la velocità quindi possiamo ricavare il tempo impiegato dal ciclista per arrivare
alla posizione finale ricavandolo dalla legge oraria del moto.
x − x0 = vt = ∆x
t=
∆x
25 km
25 × 103 m h
=
=
= 0,89 h = 0, 89 · 60 min = 53 min
v
28 km/h
28 × 103 m
(5.9)
(5.10)
2. Per sapere dove si troverà il ciclista dopo 75 minuti applichiamo ancora la legge oraria, per la quale
possiamo scrivere che la posizione al tempo 75 minuti sarà:
x = x0 + vt = 35 km + 28
km
28 × 103 m
· 75 min = 35 × 103 m +
· (75 · 60 s) = 70000 m (5.11)
h
3600 s
3. Per saper a che ora è partito da 0 km ci basta sapere quando tempo avrebbe dovuto impiegare ad
arrivare a 13 km, sottraendo quel tempo alle 10:00 h.
In questo caso ∆x = 13 km, quindi:
t=
∆x
13 km
10 × 103 m h
=
=
= 0,46 h
v
28 km/h
28 × 103 m
ti = t0 − t = 10,00 h − 0,46 h = 9,54 h = 9 h + 0, 54 · 60 min = 9:32 h
(5.12)
(5.13)
Esercizio 25 Due auto partono alle estremità opposte di una strada rettilinea lunga 3 km. La prima si
muove con una velocità di 70 km/h. La seconda si muove con una velocità di 85 km/h.
1. In che punto della strada si incontreranno?
2. Quanto tempo impiegano ad incontrarsi?
33
5 Cinematica
Supponiamo che le auto si muovono con velocità costante e quindi di moto rettilineo uniforme.
La legge del moto rettilineo uniforme ci dice che partendo con velocità costante v dalla posizione x0
dopo un tempo t si arriva alla posizione x:
(5.14)
x = x0 + vt
La velocità della prima auto è:
v1 = 70 km/h =
70000 m
= 19,4 m/s
3600 s
(5.15)
85000 m
= 23,6 m/s
3600 s
(5.16)
La velocità della seconda auto è:
v2 = 85 km/h =
Per descrivere completamente il moto delle due auto dobbiamo utilizzare un riferimento comune e un
sistema di coordinate. Il riferimento comune è la strada. Come sistema di coordinate prendiamo una retta
orientata verso destra.
Prendiamo come positivo il verso di percorrenza della prima auto e fissiamo l’estremità sinistra della
strada a 0 m. Allora la prima auto parte dalla posizione x1 = 0 m e si muove verso destra con velocità
positiva. La seconda auto di conseguenza parte dalla posizione x2 = 3000 m e si muove verso sinistra: la
sua velocità ha segno negativo.
x1
•
x2
⃗v1
⃗v2
•
x(m)
Scriviamo la legge oraria delle due auto:
x(t)1 = x1 + v1 t = 0 m + (19,4 m/s)t = (19,4 m/s)t
(5.17)
x(t)2 = x2 + v2 t = 3000 m − (23,6 m/s)t
(5.18)
Se le auto si incontrano in punto allora deve avvenire che:
x(t)1 = x(t)2
(5.19)
Se eguagliamo le due leggi orarie possiamo ricavare l’instante in cui le auto si incontrano.
(19,4 m/s)t = 3000 m − (23,6 m/s)t
(5.20)
t(19,4 m/s + 23,6 m/s) = 3000 m
(5.21)
t=
3000 m
= 69,8 s
(19,4 m/s + 23,6 m/s)
(5.22)
Se sostituiamo questo tempo in una qualsiasi delle due equazioni del moto troviamo dove le due auto si
incontrano:
x(t)1 = 19,4 m/s · 69,8 s = 1353 m
(5.23)
34
5.4 Moto uniformemente accelerato
5.4 Moto uniformemente accelerato
Esercizio 26 Un sasso è lanciato verso l’alto con velocità iniziale di 65 km/h, da una altezza di 4 m.
1. Se trascuriamo l’attrito dell’aria, fino a che altezza arriva?
2. Quanto tempo impiega ad arrivare nel punto più alto?
Il corpo si muove verso l’alto di moto uniformemente accelerato.
La velocità iniziale è diretta verso l’alto, la possiamo considerare positiva e nel SI vale:
v1 = 65 km/h =
65000 m
= 18,1 m/s
3600 s
(5.24)
L’accelerazione è diretta verso il basso: di conseguenza la consideriamo negativa e vale 9,81 m s−2 .
Quando il corpo, lanciato verso l’alto, raggiunge l’altezza massima la sua velocità è zero. Per un moto
uniformemente accelerato vale questa relazione:
v(t) = v0 + at
(5.25)
Se t è l’istante in cui il corpo raggiunge la la massima altezza, in quell’istante v(t) vale zero. Allora, dalla
relazione precedente, possiamo ricavare il tempo t.
0 m s−1 = 18,1 m s−1 − (9,81 m s−2 )t
t=
18,1 m s−1
= 1,84 s
9,81 m s−2
(5.26)
(5.27)
La legge del moto è:
1
(5.28)
x(t) = x0 + v0 t + at2
2
Dove x(t) è la posizione al tempo t; x0 è la posizione di partenza; v0 è la velocità iniziale e a è l’accelerazione di gravità.
Se sostituiamo il tempo t appena trovato in questa relazione troviamo l’altezza massima alla quale arriva
il corpo.
m
1
m
x(1,84 s) = 4 m + 18,1 · 1,84 s − 9,81 2 · (1,84 s)2 = 20,7 m
(5.29)
s
2
s
Esercizio 27 Uno spazzacamino cade dal tetto di una casa. Per toccare terra impiega 1,5 s.
1. Qual è l’accelerazione con cui cade?
2. Qual è la velocità con cui tocca il suolo se parte da fermo?
3. Qual è l’altezza da cui cade, cioè qual è la distanza che percorre cadendo?
1. Il moto di un grave, cioè di un oggetto che cade spinto dalla sola forza di gravità, è un moto uniformemente accelerato. L’accelerazione è quella di gravità: 9,81 m s−2 . Questo è corretto se non c’è
l’aria che rallenta il moto. Poichè l’attrito dell’aria dipende dalla velocità dell’oggetto ed in questo
caso lo spazzacamino cade per (soli?) due secondi, l’attrito può essere trascurato.
2. La velocità aumenta linearmente con il tempo secondo la legge:
v = v0 + at
(5.30)
dove a è l’accelerazione di gravità e v0 è la velocità iniziale (qui nulla). Quindi:
v = gt = 9,81
m
· 1,5 s = 14,7 m s−1
s2
(5.31)
35
5 Cinematica
3. Per sapere da che altezza cade usiamo la legge oraria del moto:
1
S = S0 + v0 t + at2
(5.32)
2
Dove S è la distanza percorsa al tempo t (cioè l’altezza da cui cade); S0 è la posizione di partenza
(supponiamo che la posizione iniziale sia nulla e che il verso positivo del moto sia verso il basso);
v0 è la velocità iniziale (qui nulla) e a è l’accelerazione di gravità. Quindi:
1
1
m
S = gt2 = 9,81 2 · (1,5 s)2 = 11,04 m
2
2
s
(5.33)
Esercizio 28 Un treno si muove alla velocità di 110 km/h verso un passaggio a livello posto a 6 km di
distanza. Un auto, invece, procede nello stesso istante verso lo stesso passaggio a livello con una velocità
di 90 km/h da una distanza di 5 km.
1. Chi riuscirà ad arrivare prima al passaggio a livello?
2. Quanto deve accelerare l’auto per arrivare con un vantaggio di almeno 30 s prima che si chiudano
le barriere del passaggio a livello?
3. Quale dovrebbe essere la velocità finale dell’automobile se comincia subito ad accelerare in maniera
uniforme? Riuscirà a non superare i limiti di velocità?
1. Sia il treno che l’auto si muovono di moto rettilineo uniforme.
La velocità del treno è:
110000 m
vt = 110 km/h =
= 30,5 m/s
(5.34)
3600 s
La velocità dell’auto è:
90000 m
va = 90 km/h =
= 25 m/s
(5.35)
3600 s
I due corpi si muovono con velocità costante. Supponiamo che si muovano su una retta e descrivimo
il loro moto con la legge del moto rettilineo uniforme. Questa ci dice che partendo con velocità
costante v dalla posizione x0 dopo un tempo t si arriva alla posizione x:
x = x0 + vt
(5.36)
Supponendo che x0 = 0 m per entrambi i corpi (ognuno nella sua traiettoria) possiamo trovare il
tempo tt impiegato dal treno e quello ta impiegato dall’auto a giungere al passaggio al livello:
tt =
xt
6000 m
=
= 197 s
vt
30,5 m/s
(5.37)
ta =
5000 m
xa
=
= 200 s
va
25 m/s
(5.38)
Quindi arriverà prima il treno.
2. Se l’auto accelera, il moto può essere considerato uniformemente accelerato.
La legge del moto sarà:
1
(5.39)
x = x0 + va t + at2
2
In questa legge conosciamo già le grandezze x, x0 e va . Il tempo è quello precedentemente attribuito
al treno meno i 30 s di vantaggio che vogliamo dare all’auto. Quindi:
t = tt − 30 s = 197 s − 30 s = 167 s
36
(5.40)
5.4 Moto uniformemente accelerato
L’unica grandezza ancora incognita della legge è l’accelerazione.
L’espressione diventa un’equazione di primo grado in a che mettiamo in evidenza:
1
x − va t = at2
2
(5.41)
x − va t
5000 m − 25 m/s · 167 s
=2·
= 0,059 m/s2
(5.42)
2
t
167 s2
Questa accelerazione è fortemente irrealistica proprio per la sua piccolezza: un’auto accelererebbe
maggiormente nei primi secondi per poi stabilizzare la sua velocità.
a=2
3. In ogni caso, tenendo quella accelerazione per tutto il tempo indicato la velocità finale sarebbe:
vf = va + at = 25 m/s + 0,059 m/s2 · 167 s = 34,9 m/s = 125 km/h
(5.43)
Esercizio 29 Qui di seguito è riportato il diagramma orario di un moto.
Trova la legge del moto che descrive ogni tratto della traiettoria indicata.
x(m)
10
b
a
8
6
c
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
t(s)
−2
Il moto avviene in una dimensione. Supponiamo per semplicità che avvenga su una retta. Il fatto che
le posizioni siano indicate su un unico asse non significa automaticamente che si riferiscano ad una retta:
potrebbe trattarsi della posizione su una curva.
Tratto a
Il tratto a è un segmento di retta: si tratta quindi del grafico di un moto rettilineo uniforme.
La legge oraria del moto è:
x(t) = x0 + vt
(5.44)
La posizione iniziale x0 si legge direttamente nel grafico al tempo iniziale t = 0 s: x0 = 8 m.
La velocità è data dall’inclinazione della retta. Oppure è uguale alla velocità media ottenuta prendendo
due punti qualsiasi di quel tratto di retta. Prendiamo gli estremi del segmento:
vm =
x2 − x1
11 m − 8 m
3m
=
=
= 1,0 m/s
t2 − t1
3s − 0s
3s
(5.45)
La legge orara del tratto a è:
xa (t) = 8 m + (1 m/s)t
(5.46)
Tratto b
Il tratto b è un segmento di retta orizzontale: il corpo è fermo nella sua posizione iniziale.
xb (t) = 11 m
(5.47)
37
5 Cinematica
Tratto c
Il tratto c è un segmento di retta: si tratta quindi del grafico di un moto rettilineo uniforme.
La posizione iniziale x0 si legge direttamente nel grafico al tempo iniziale t = 5 s: x0 = 11 m.
Analogamente al primo tratto ricaviamo la velocità prendendo gli estremi di quel segmento di retta.
vm =
x2 − x1
−2 m − 11 m
−13 m
=
=
= 6,5 m/s
t2 − t1
7s − 5s
2s
(5.48)
Infine c’è da considerare che nella usuale legge oraria x0 e v0 si riferiscono al tempo iniziale t = 0 s.
Nel nostro caso si riferiscono al tempo ti = 5 s. Per cui, per la correttezza della nostra legge, dobbiamo
sottrarre questo tempo da t, sostituendo alla variabile t la variabile t − ti . É come se traslassimo nel tempo
tutto quanto.
La legge oraria del tratto c è:
xc (t) = x0 + v(t − ti ) = 11 m − (6,5 m/s)(t − 5 s)
(5.49)
Esercizio 30 Qui di seguito è riportato il diagramma orario di un moto.
Il corpo parte dalla posizione x = 3 m
Trova la legge del moto che descrive ogni tratto della traiettoria indicata.
v(m/s)
8
b
7
6
a
5
c
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t(m)
Il grafico rappresenta il diagramma orario relativo ad un moto unidimensionale. Supponiamo, in mancanza di altre informazioni, che il moto avvenga su una retta.
Tratto a
Il primo tratto è un segmento orizzontale: la velocità è costante (v0 = 5 m/s). Si tratta di un moto
rettilineo uniforme. La posizione iniziale non è mai deducibile dal grafico. Ci viene esplicitamente detto
con i dati del problema: x0 = 3 m .
La legge oraria del tratto a è:
xa (t) = 3 m + (5 m/s)t
(5.50)
Tratto b
Il secondo tratto è un segmento di retta non orizzontale: la velocità sta aumentando linearmente. Si
tratta di un moto uniformemente accelerato. La legge del moto sarà:
1
x = x0 + va t + at2
2
(5.51)
La posizione iniziale la ricaviamo calcolando la posizione finale del tratto precedente al nostro tempo
iniziale (t = 4 s).
xa (4 s) = 3 m + (5 m/s)(4 s) = 23 m
(5.52)
38
5.4 Moto uniformemente accelerato
L’accelerazione, essendo costante, può essere determinata come accelerazione media tra due punti del
nostro tratto. Prendiamo i punti estremi.
am =
v2 − v1
8 m/s − 5 m/s
3 m/s
=
=
= 1,5 m/s2
t2 − t1
6s − 4s
2s
(5.53)
Infine, come abbiamo osservato nell’esercizio precedente, la legge oraria viene scritta considerando x0 e
v0 al tempo iniziale t = 0 s. Nel nostro caso si riferiscono al tempo ti = 4 s. Per cui, per la correttezza
della nostra legge, dobbiamo sottrarre questo tempo da t, sostituendo alla variabile t la variabile t − ti . É
come se traslassimo nel tempo tutto quanto. Quindi la legge del moto è:
1
xb (t) = x0 + va (t − ti ) + a(t − ti )2 = 23 m + (5 m/s)(t − 4 s) + (0,75 m/s2 )(t − 4 s)2
2
(5.54)
Tratto c
Nel l’ultimo tratto il moto è del tutto analogo a quanto visto nel tratto precedente. L’unica differenza
sostanziale è che ci aspettiamo di avere un’accelerazione negativa in quanto la velocità va diminuendo.
La legge del moto sarà:
1
x = x0 + va t + at2
(5.55)
2
La posizione iniziale la ricaviamo calcolando la posizione finale del tratto precedente al nostro tempo
iniziale (t = 6 s).
xb (4 s) = 23 m + (5 m/s)(6 s − 4 s) + (0,75 m/s2 )(6 s − 4 s)2 = 23 m + 10 m + 3 m = 46 m
(5.56)
L’accelerazione, essendo costante, può essere determinata come accelerazione media tra due punti del
nostro tratto. Prendiamo i punti estremi.
am =
v2 − v1
0 m/s − 8 m/s
−8 m/s
=
=
= −2,66 m/s2
t2 − t1
9s − 6s
3s
(5.57)
Infine, come abbiamo osservato nell’esercizio precedente, la legge oraria viene scritta considerando x0 e
v0 al tempo iniziale t = 0 s. Nel nostro caso si riferiscono al tempo ti = 6 s. Per cui, per la correttezza della
nostra legge, dobbiamo sottrarre questo tempo da t, sostituendo alla variabile t la variabile t − ti . Quindi
la legge del moto è:
1
xb (t) = x0 + va (t − ti ) + a(t − ti )2 = 46 m + (8 m/s)(t − 6 s) − (1,33 m/s2 )(t − 6 s)2
2
(5.58)
39
5 Cinematica
5.5 Posizione, velocità e accelerazione come vettori
Esercizio 31 Sono riportati qui di seguito alcuni punti successivi presi dalla traiettoria di un corpo. Tra
un punto e il successivo intercorre un intervallo di 1 s. Le coordinante dei punti sono in metri.
1.
2.
3.
4.
Riporta su un piano cartesiano il vettore posizione relativo ad ogni punto.
Disegna del grafico il vettore spostamento tra una posizione e la successiva.
Disegna nel grafico il vettore velocità media tra una posizione e la successiva
Disegna nel grafico il vettore accelerazione media tra una velocità e la successiva.
P1 = (0, 2) ; P2 = (1, 3) ; P3 = (5, 5.25) ; P4 = (7, 1) ; P5 = (9, 2) ; P6 = (11, 4.5)
Un vettore posizione ⃗r è un vettore applicato nell’origine degli assi cartesiani e con la punta nel punto
del piano a cui si riferisce. Per cui il nostro disegno potrebbe essere:
y(m)
5
⃗r3
⃗r6
4
3
2
⃗r2
⃗r1
⃗r5
1
⃗r4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x(m)
Il vettore spostamento è definito come ⃗s12 = ⃗r2 − ⃗r1 cioè il vettore differenza tra due posizioni
successive. In pratica è un vettore che parte dalla punta del primo vettore per arrivare alla punta del
secondo.
y(m)
⃗s23
5
⃗r3
⃗r6
4
3
2
⃗s56
⃗s12
⃗r2
⃗s34
⃗r1
⃗r5
⃗s45
1
0
⃗r4
1
2
3
4
5
La velocità media è definita come:
⃗v12 =
40
6
7
⃗s12
⃗r2 − ⃗r1
=
∆t
t2 − t1
8
9
10
11
x(m)
(5.59)
5.5 Posizione, velocità e accelerazione come vettori
Il vettore velocità ha la stessa direzione e verso del vettore spostamento da cui si ricava. Il modulo in
generale non è lo stesso. Nel nostro caso, essendo l’intervallo ∆t tra due posizioni successive sempre
uguale a un secondo, anche il suo modulo è lo stesso. Ovviamente non la stessa l’unità di misura.
y(m)
5
⃗v23
4
3
⃗v56
⃗v12
⃗v34
2
⃗v45
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x(m)
In che punto devono essere applicati i vettori velocità trovati?
Ognuna di queste velocità medie è la velocità media di ogni punto della traiettoria compreso tra gli
estremi del vettore spostamento. Per esempio, ogni punto della traiettoria compreso tra la posizione ⃗r1 e la
posizione ⃗r2 ha come velocità media ⃗v12 , quindi quel vettore potrebbe essere applicato non solo all’estremo
di ⃗r1 , ma ad ogni punto di ⃗s12 . Osserviamo anche che avevamo sei posizioni, ma da queste abbiamo potuto
ricavare solo cinque spostamenti e quindi cinque velocità medie.
Consideriamo infine l’accelerazione media tra un punto con una certa velocità e il punto successivo.
⃗a12 =
∆⃗v
⃗v2 − ⃗v1
=
∆t
t2 − t1
(5.60)
Applichiamo questa definizione al nostro disegno.
Le prime due velocità sono ⃗v12 e ⃗v23 . Per farne la differenza applichiamo il secondo vettore (⃗v23 ) nel
punto in cui è applicato il primo (⃗v12 ) e lo tracciamo in grigio e tratteggiato. La differenza tra i due vettori
∆⃗v è il vettore che va dalla punta del primo a quella del secondo.
Infine l’accelerazione media è un vettore con la stessa direzione e verso di ∆⃗v , ma il cui modulo è diviso
per ∆t. Nel nostro esercizio ∆t vale un secondo quindi accelerazione media e ∆⃗v hanno lo stesso modulo
e possono essere disegnati con un vettore con la stessa lunghezza.
Riportiamo il vettore accelerazione del disegno in nero e lo chiamiamo ⃗a13 .
Qual’è il punto di applicazione di questo vettore?
Poiché esso rappresenta l’accelerazione media nel tratto compreso tra la posizione ⃗r1 e ⃗r3 potrebbe
andare bene qualsiasi punto della traiettoria compreso in quel tratto.
Applichiamo questi ragionamenti ad ogni coppia successiva di velocità. A partire da cinque velocità
medie otterremo quattro accelerazioni medie.
41
5 Cinematica
⃗v45
y(m)
5
⃗v23
4
3
⃗a13
⃗a35
⃗v56
⃗v12
⃗v56
⃗v23
2
⃗v34
⃗a24
⃗a46
⃗v45
1
⃗v34
0
42
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x(m)
5.6 Moto parabolico di un proiettile
5.6 Moto parabolico di un proiettile
Esercizio 32 Un proiettile viene lanciato dal suolo, verso l’alto, su un piano orizzontale, con una velocità
iniziale di 700 m s−1 e con un angolo di 80° rispetto all’orizzontale.
Trascurando l’attrito dell’aria:
1. Qual è la massima altezza raggiunta dal proiettile?
2. Qual è la gittata del proiettile?
3. Quanto vale il modulo della velocità dopo due secondi e che angolo forma con il piano?
Il moto del proiettile, a causa della natura vettoriale della velocità, può utilmente essere scomposto in
due componenti: una parallela al piano e una perpendicolare. In orizzontale il corpo procede con velocità
costante, non essendo sottoposto al alcuna forza. In verticale il moto è accelerato: l’accelerazione è quella
di gravità. Scomponiamo innanzi tutto la velocità iniziale:
{
vx0 = v0 cos(θ) = 700 m s−1 · 0,174 = 121 m s−1
(5.61)
vy0 = v0 sin(θ) = 700 m s−1 · 0,985 = 689 m s−1
Le leggi del moto orizzontale e verticale sono:

 x = v x0 t
 y = vy0 t − 1 gt2
2
(5.62)
Nelle due equazioni abbiamo considerato nulla la posizione iniziale in orizzontale x0 e in verticale yo .
Supponiamo inoltre, ed è una nostra scelta arbitraria, che il suolo si trovi a 0 m e il verso positivo delle
ordinate sia verso l’alto. Di conseguenza l’accelerazione di gravità (diretta verso il basso) determina il
segno meno.
Per quanto riguarda la velocità in funzione del tempo possiamo scrivere:
{
vx = cost.
(5.63)
vy = vy0 − gt
1. Per determinare la massima altezza raggiunta dal proiettile consideriamo che quando questo raggiunge il punto più alto la componente verticale della velocità si annulla:
vy = 0 m s−1 = vy0 − gt
(5.64)
Da questa equazione possiamo mettere t e ricavare il tempo:
t=
v y0
689 m s−1
=
= 70,2 s
g
9,81 m s−2
(5.65)
Adesso sappiamo l’istante al quale il proiettile arriva alla massima altezza. Sostituiamo questo valore
nell’equazione del moto verticale e troveremo l’altezza cercata.
1
m
1
m
y = vy0 t − gt2 = 689 · 70,2 s − 9,81 2 · (70,2 s)2 = 24196 m
2
s
2
s
(5.66)
2. Nell’equazione del moto verticale se poniamo la posizione finale uguale a zero otteniamo un equazione di secondo grado nel tempo che ha due soluzioni: sono l’istante in cui il proiettile parte e
l’istante in cui ritorna al suolo. Quindi abbiamo:
(
)
1 2
1
−1
0 m s = vy0 t − gt = t vy0 − gt
(5.67)
2
2
43
5 Cinematica
Le cui soluzioni sono:
t = 0s
t=
2vy0
2 · 689 m s−1
=
= 140 s
g
9,81 m s−2
(5.68)
(5.69)
Se sostituiamo questo tempo nell’equazione del moto orizzontale troviamo la gittata:
x = vx0 t = 121
m
· 140 s = 16940 m
s
3. Per trovare le componenti della velocità ad un certo istante usiamo la (5.63)
{
vx = 121 m s−1
vy = 689 m s−1 − 9,81 m s−2 · 2 s = 669 m s−1
Il modulo della velocità sarà:
√
√
2
2
|⃗v | = vx + vy = (121 m s−1 )2 + (669 m s−1 )2 = 680 m s−1
(5.70)
(5.71)
(5.72)
Per trovare l’angolo che il vettore velocità forma con l’orizzontale possiamo usare la seguente
relazione:
(
)
( )
vy
669 m s−1
= arctan
= 79,7°
(5.73)
θ = arctan
vx
121 m s−1
L’angolazione rispetto al piano è diminuita (per quanto di poco), come ci si aspetta.
5.7 Moto circolare uniforme
Esercizio 33 Una ruota larga 45 cm compie 300 giri al minuto.
1.
2.
3.
4.
Quanto vale la velocità angolare della ruota?
Quanto vale la velocità tangenziale di un punto sull’estremità della ruota?
Quanto vale e in quale direzione è rivolta l’accelerazione del punto precedente?
Con quale frequenza gira la ruota?
Supponiamo che la ruota giri con velocità costante. Se è larga 45 cm quello è il suo diametro e il raggio
è la metà:
45 cm
r=
= 225 cm = 0,225 m
(5.74)
2
La velocità angolare è data dal rapporto:
2π
ω=
(5.75)
T
dove 2π è la misura dell’angolo giro espressa in radianti e T è il periodo ovvero il tempo che l’oggetto
impiega a compiere un giro completo.
L’angolo, nel sistema internazionale, è misurato in radianti che sono una grandezza adimensionale,
cioè un numero puro. Secondo convenienza possiamo indicare esplicitamente quale sia l’unità di misura
(radianti o gradi) o non indicare alcunché.
L’indicazione dei giri al minuto è un’indicazione di frequenza perché ci dice quante volte il fenomeno
si ripete in un certo intervallo di tempo.
f=
44
300
300
=
= 5 Hz
min
60 s
(5.76)
5.7 Moto circolare uniforme
Il periodo è l’inverso della frequenza:
1
= 0,2 s
5 Hz
(5.77)
2π rad
= 10π rad/s
0,2 s
(5.78)
2πr
= ωr = 10π rad/s · 0,225 m = 7,07 m/s
T
(5.79)
T =
Quindi la velocità angolare è:
ω=
La velocità tangenziale é:
v=
Infine l’accelerazione è quella centripeta ed è diretta verso il centro della ruota:
a=
v2
= ω 2 r = (10π rad/s)2 · 0,225 m = 222 m/s2
T
(5.80)
45
6 Dinamica
6.1 Corpo in caduta libera
Esercizio 34 Un corpo puntiforme, di massa 637 kg, è lanciato verso l’alto.
1. Calcola intensità, direzione e verso di tutte le forze che agiscono sul corpo quando è ancora sospeso
in aria, trascurando l’attrito dell’aria stessa.
2. Scrivi se possiamo applicare il primo principio della dinamica.
Se un corpo è sospeso in aria l’unica forza che agisce sempre su di esso, trascurando l’attrito dell’aria,
è la forza peso, la cui intensità vale:
|P⃗ | = m|⃗g |
(6.1)
m è la massa del corpo e ⃗g è l’accelerazione di gravità che vale in modulo 9,81 m s−2 .
La direzione è quella perpendicolare alla superficie terrestre e il verso è verso il basso (a prescindere
che il corpo si stia muovendo verso l’alto o verso il basso).
Se rappresentiamo il moto generico di un corpo lanciato in aria avremo una traiettoria parabolica e per
qualsiasi punto della traiettoria il vettore forza peso ha sempre la stessa orientazione e modulo (anche
considerando l’eventuale attrito dell’aria).
y
P⃗
P⃗
P⃗
x
Quindi:
|P⃗ | = 637 kg · 9,81 m s−2 = 6250 kg · m s−2 = 6,25 × 103 N
(6.2)
Il primo principio della dinamica si applica a corpi su cui non agiscono forze o per i quali la forza esterna
totale agente è nulla. Quindi in questo caso non si può applicare perché c’è sempre la forza di gravità.
47
6 Dinamica
6.2 Corpo su un piano, sottoposto ad una forza
Esercizio 35 Un pattinatore su ghiaccio scivola senza attrito su una pista piana come schematizzato
in figura. É spinto verso destra da una forza F⃗1 con |F⃗1 | = 340 N e verso l’alto da una forza F⃗2 con
|F⃗2 | = 250 N. La massa del pattinatore è m = 75 kg.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Quanto vale la forza peso che agisce sul pattinatore?
Quanto vale la forza totale che agisce sul pattinatore in verticale?
Quale principio uso per trovare l’accelerazione con cui viene spinto il pattinatore e quanto vale?
Che tipo di moto compie il pattinatore spinto dalla forza F⃗2 ?
Che velocità raggiunge dopo 3 s se parte da fermo?
Quale distanza percorre dopo 3 s se parte da fermo da un traguardo posto a 30 m?
y
F⃗2
F⃗1
x
P⃗
1. La forza peso in modulo vale:
|P⃗ | = m|⃗g | = 75 kg · 9,81 m s−2 = 736 N
(6.3)
2. In verticale agisce verso il basso la forza peso e verso l’alto la forza F⃗2 . La forza totale è la somma
vettoriale delle due forze:
F⃗v = P⃗ + F⃗2
(6.4)
Poiché hanno la stessa direzione e verso opposto il modulo della somma è dato da:
|F⃗v | = |P⃗ | − |F⃗2 | = 736 N − 250 N = 486 N
(6.5)
In verticale prevale la forza peso quindi il pattinatore rimane vincolato al piano e l’accelerazione
verticale è nulla.
Detto diversamente, scelto come positivo il verso positivo dell’asse y, la componente della forza peso
è negativa perché verso il basso, la componente della forza F⃗2 è positiva perché verso l’alto:
Fv = P + F2 = −736 N + 250 N = −486 N
(6.6)
La forza verticale, con le orientazioni date, ha segno negativo, quindi è diretta verso il basso: il corpo
rimane poggiato sul piano.
3. In orizzontale agisce solo la forza F⃗1 e per trovare l’accelerazione applichiamo il secondo principio
della dinamica.
F⃗1
⃗a =
(6.7)
m
|⃗a| =
48
340 N
|F⃗1 |
=
= 4,53 m s−2
m
75 kg
(6.8)
6.2 Corpo su un piano, sottoposto ad una forza
4. Il moto è uniformemente accelerato quindi la velocità aumenta linearmente con il tempo secondo
la relazione:
⃗v = ⃗v0 + ⃗at
(6.9)
5. Il pattinatore parte da fermo quindi la velocità iniziale ⃗v0 è nulla. La velocità finale varrà:
v = at = 4,53 m s−2 · 3 s = 13,6 m s−1
(6.10)
6. Sapere quanto spazio ha percorso equivale (nel moto uniformemente accelarato) a sapere dove
arriva.
Per sapere dove arriva applichiamo la legge oraria del moto:
1
x(t) = x0 + v0 t + at2
2
(6.11)
In questo caso poniamo la posizione iniziale x0 a 30 m, quindi:
x(3 s) = 30 m +
1
m
· 4,53 2 · (3 s)2 = 30 m + 20,4 m = 50,4 m
2
s
(6.12)
Esercizio 36 Un corpo puntiforme, di massa m = 43 kg, è posto su un piano orizzontale.
Il corpo è sottoposto ad una forza F = 130 N che forma un angolo α = 40° con il piano orizzontale,
orientata come indicato nella figura seguente. Tra corpo e piano non c’è attrito.
1. Calcola intensità, direzione e verso di tutte le forze che agiscono sul corpo lungo gli assi x e y.
2. Calcola l’accelerazione che il corpo subisce lungo il piano.
3. Scrivi se vale il terzo principio della dinamica e come lo possiamo applicare a questo caso.
y
F⃗
α
x
Sul corpo agisce, oltre alla forza indicata in figura, anche la forza peso P⃗ = m⃗g , orientata verso il basso,
ed eventualmente la reazione vincolare del piano F⃗v , diretta verso l’alto.
Scomponiamo la forza F⃗ e disegniamo la forza P⃗ (non in scala).
y
F⃗y
F⃗
α
F⃗x
x
P⃗
49
6 Dinamica
Non sappiamo ancora se è presente una forza di reazione vincolare del piano. Se la componente verticale
della forza data è superiore alla forza peso il corpo sarà indotto a sollevarsi dal piano e quindi la F⃗v in
quel caso sarà nulla. Altrimenti, se la forza totale che agisce sul corpo tende a schiacciarlo sul piano, la
reazione vincolare ha un’intensità pari a quella dell’eventuale componente totale lungo l’asse y delle forze
che agiscono sul corpo.
1. Scegliamo come verso positivo per le componenti quello positivo degli assi cartesiani.
Le componenti della forza F⃗ lungo gli assi cartesiani sono:
Fx = |F⃗x | = |F⃗ | cos α = 130 N · 0, 766 = 100 N
Fy = |F⃗y | = |F⃗ | sin α = 130 N · 0, 643 = 84 N
(6.13)
(6.14)
La forza peso invece ha come come componente:
P = −43 kg · 9,81 m s−2 = −422 N
(6.15)
La componente della forza peso sull’asse y è negativa perché orientata in verso opposto al verso
positivo dell’asse y.
La componente della forza totale verticale vale:
Ftoty = Fy + P = 84 N − 422 N = −338 N
(6.16)
di segno negativo e quindi orientata verso il basso.
Il corpo rimane vincolato al piano. Il piano reagisce a questa forza di schiacciamento con un forza
forza uguale e contraria (il corpo è in equilibrio verticale). Questa è la forza di reazione vincolare
del piano.
2. Per determinare l’eventuale accelerazione che il corpo subisce applichiamo il secondo principio
della dinamica F⃗ = m⃗a . L’unica forza non equilibrata che agisce sul corpo dato è la componente
orizzontale della forza F⃗ . Quindi l’accelerazione (diretta lungo il piano) vale:
|⃗a| =
|F⃗x |
100 N
=
= 2,32 m s−2
m
43 kg
(6.17)
nel verso positivo dell’asse x.
3. Nella meccanica newtoniana il terzo principio della dinamica vale sempre.
In questo caso lo possiamo applicare alla forza che intercorre tra corpo e piano, affermando che così
come il corpo esercita una forza sul piano (F⃗toty ) così il piano esercita una forza di reazione vincolare
in direzione verticale, verso l’alto, sul corpo. La forza peso non è nel nostro caso un coppia di azione
reazione con la reazione vincolare, ma solo con la forza con cui la Terra è attirata a sua volta dal
corpo.
50
6.3 Corpo puntiforme su un piano inclinato
6.3 Corpo puntiforme su un piano inclinato
Esercizio 37 Un corpo puntiforme di massa m = 22 kg è poggiato su un piano inclinato con un angolo
α = 25° rispetto all’orizzontale. Tra corpo e piano è presente attrito: il coefficiente di attrito statico è
µs = 0, 7, quello dinamico µd = 0, 3 .
Inoltre sul corpo agisce una forza F⃗ , dove |F⃗ | = 280 N e β = 22°, come mostrato in figura.
1.
2.
3.
4.
Calcola il modulo della forza peso che agisce sul corpo.
Disegna i componenti del vettore forza peso e della forza F⃗ paralleli e perpendicolari al piano.
Calcola il modulo di questi quattro componenti.
Trova il modulo della forza totale che agisce perpendicolarmente e parallelamente al piano, trascurando l’eventuale forza d’attrito.
5. Trova se nelle condizioni date il corpo riuscirà a muoversi.
6. Qualora il corpo si muova la forza totale che agisce sul corpo perpendicolarmente e parallelamente
al piano, compresa l’eventuale forza d’attrito.
7. Trova l’accelerazione con cui il corpo scivola sul piano.
F⃗
β
α
1. Il modulo della forza peso che agisce sul corpo è:
|F⃗p | = mg = 22 kg · 9,81 m/s2 = 216 N
(6.18)
2. Aggiungiamo alla figura il vettore forza peso e i componenti perpendicolare e parallelo al piano
inclinato sia della forza peso che della forza F⃗ .
F⃗⊥
F⃗
β
F⃗∥
α
F⃗p∥
α′ F⃗p⊥
F⃗p
Nella figura l’angolo α è uguale all’angolo α′ , come illustrato estesamente in analoghi esercizi di
statica.
3. Scegliamo (a nostro arbitrio) come verso positivo per le componenti delle forze parallele al piano
quello verso destra e come verso positivo per le componenti perpendicolari al piano quello verso
l’alto. Per questo possiamo scrivere:
{
Fp⊥ = −|F⃗p | cos(α) = −216 N · cos(25°) = −196 N
(6.19)
Fp∥ = −|F⃗p | sin(α) = −216 N · sin(25°) = −91 N
51
6 Dinamica
Invece per le componenti della forza F⃗ scriviamo:
{
F⊥ = |F⃗ | sin(β) = 280 N · sin(22°) = 105 N
F∥ = −|F⃗ | cos(β) = 280 N · cos(22°) = −260 N
(6.20)
4. Per trovare il modulo della forza totale lungo il piano e perpendicolarmente ad esso, sommiamo le
componenti delle forze (Fp e F ) lungo quelle due direzioni.
Ftot senza attrito ∥ = F∥ + Fp ∥ = −274 N + (−91 N) = −365 N
(6.21)
Ftot⊥ = Fp⊥ + F⊥ = (−196 N) + 105 N = −91 N
(6.22)
La componente della forza totale perpendicolare al piano ha segno negativo, quindi è diretta verso
il basso: il corpo rimane attaccato al piano e vi può essere forza d’attrito. La componente della forza
totale (senza attrito) parallela al piano è negativa, quindi il corpo è spinto verso sinistra.
5. La forza d’attrito statico dipende dalla forza con cui il corpo è schiacciato sul piano di appoggio. Nel
nostro caso dipende dalla componente perpendicolare al piano della forza totale. La forza di attrito
statico massimo che il corpo può sopportare è:
⃗
Fa.s. M AX = µFschiacciamento = µs Ftot⊥ = 0, 7 · 91 N = 64 N
(6.23)
La forza d’attrito si oppone al movimento del corpo. Nel nostro caso il corpo è spinto verso sinistra
dalla forza F⃗tot senza attrito ∥ . Poiché il modulo di questa forza è più grande del massimo attrito statico
che il corpo può sopportare allora il corpo scivolerà (scendendo) lungo il piano.
Ftot senza attrito ∥ > Fa.s. M AX ⇒ il corpo si muove
(6.24)
Nel momento in cui il corpo comincia a muoversi l’attrito diventa dinamico. Analogamente a quanto
ottenuto con l’attrito statico possiamo scrivere:
Fa.d = µFschiacciamento = µd F⃗tot⊥ = 0, 3 · 91 N = 27 N
(6.25)
L’attrito dinamico è diretto in verso opposto alla forza totale parallela al piano e quindi verso destra.
6. La forza totale che agisce lungo il piano (compresa la forza d’attrito) è quindi:
Ftot∥ = Ftot senza attrito ∥ + Fa.d = −365 N + 27 N = −338 N
(6.26)
7. La forza di reazione vincolare del piano è la forza che il piano esercita sul corpo per impedire che
questo lo attraversi. Se il corpo è schiacciato sul piano, il piano reagisce con una forza uguale in
modulo e direzione, ma di verso opposto. La forza di reazione ha quindi lo stesso valore e direzione
di F⃗tot⊥ .
6.4 Forza centripeta
Esercizio 38 Una provetta di massa 35 g è fissata all’albero di rotazione di una centrifuga da una sbarretta metallica lunga 20 cm.
Determina nel S.I. la forza centripeta cui la provetta è sottoposta quando la frequenza di rotazione è
1037 giri al minuto.
52
6.4 Forza centripeta
Un corpo puntiforme, in moto circolare uniforme lungo una circonferenza, è sottoposto ad una forza,
detta centripeta, diretta istante per istante nella direzione e verso che vanno dal corpo stesso al centro
della circonferenza, e di modulo:
F = mac = mω 2 r
(6.27)
dove m è la massa del corpo, ω è la velocità angolare ed r è il raggio della traiettoria.
In questo caso la massa è:
m = 35 g = 3,5 × 10−2 kg
(6.28)
la velocità angolare è:
2π
= 2πν
T
(6.29)
1037giri
1037giri
=
= 17,28 Hz
min
60 s
(6.30)
ω = 2 · 3, 1415 · 17,28 Hz = 108,6 s− 1
(6.31)
ω=
dove ν è la frequenza di rotazione.
ν=
In fine, nel sistema internazionale, il modulo della forza è:.
1
F = mω 2 r = 0,035 kg · (108, 6 )2 · 0,20 m = 82,6 N
s
(6.32)
Esercizio 39 Una sferetta di massa m = 12 g viene fatta ruotare su un piano orizzontale in modo da
descrivere per 29 volte al minuto una circonferenza di raggio r = 16 cm.
Quali sono direzione verso e modulo (nel S.I.) della forza totale cui è soggetta la sferetta?
Un corpo che ruota su un piano orizzontale, privo di attrito, è sottoposto ad almeno due forze: la forza
centripeta che ne determina il moto circolare uniforme e la forza peso dovuta alla gravità. Disegniamo
nella figura che segue un diagramma di corpo libero con le due forze (non in scala) e la loro somma.
asse di rotazione
F⃗c
F⃗tot
θ
F⃗g
La forza centripeta è diretta istante per istante nella direzione e verso che vanno dal corpo stesso al
centro della circonferenza, e il suo modulo è:
Fc = mac = mω 2 r
dove m è la massa del corpo, ω è la velocità angolare ed r è il raggio della traiettoria.
In questo caso la massa vale:
m = 12 g = 1,2 × 10−2 kg
(6.33)
(6.34)
La velocità angolare è:
ω=
2π
= 2πv
T
(6.35)
53
6 Dinamica
La frequenza di rotazione è v:
v=
29giri
29giri
=
= 4,83 × 10−1 Hz
min
60 s
ω = 2 · 3, 1415 · 4,82 × 10−1 Hz = 3, 03
1
s
r = 16 cm = 1,6 × 10−1 m
(6.36)
(6.37)
(6.38)
In fine, nel sistema internazionale, il modulo della forza è:
Fc = mω 2 r = (1,2 × 10−2 kg) · (3, 03s−1 )2 · (1,6 × 10−1 m) = 1,77 × 10−2 N
(6.39)
La forza peso è diretta verso il basso nella direzione perpendicolare al piano di rotazione della sferetta e
il suo modulo è:
Fg = mg
(6.40)
dove m è la massa del corpo e g = 9,81 m s−2 è l’accelerazione di gravità al suolo.
Fg = 1,2 × 10−2 kg · 9,81 m s−2 = 1,18 × 10−2 N
(6.41)
La forza totale è data dalla somma vettoriale della forza centripeta e della forza peso:
F⃗tot = F⃗c + F⃗g
Il suo modulo è:
|F⃗tot | =
√
|F⃗tot | =
√
|F⃗c |2 + |F⃗g |2
3,19 × 10−4 N + 1,39 × 10−4 N = 2,12 × 10−2 N
(6.42)
(6.43)
(6.44)
l’angolo θ individuato dal vettore con l’asse delle ordinate, come si vede dalla figura, è dato da:
(
)
|F⃗c |
θ = arctan
= arctan(1, 50) = 56,3°
(6.45)
|F⃗g |
54
6.5 Sistemi con più corpi
6.5 Sistemi con più corpi
Esercizio 40 Un sistema è costituito da tre masse puntiformi, poggiate su un piano senza attrito, collegate
con delle funi di massa trascurabile e inestensibili. La massa di destra è soggetta alla tensione T di un’altra
fune che la tira con una forza T = 1350 N verso destra.
m1 = 120 kg ; m2 = 230 kg ; m3 = 35 kg
1. Trova l’accelerazione a cui è sottoposto il sistema
sapendo che le masse rimangono solidali tra loro.
2. Trova la tensione della fune tra le masse.
m1
m2
m3
T⃗
1. Se le masse rimangono solidali tra loro possiamo applicare il secondo principio della dinamica all’intero sistema, sapendo che la forza totale che agisce su di esso è data dalla tensione della fune e che
la massa del sistema è la somma delle masse dei tre corpi. L’accelerazione del sistema è equivalente
a quella di ogni singolo corpo.
La forza peso, essendo i corpi poggiati su un piano, è equilibrata dalla reazione vincolare del piano
e non contribuisce all’accelerazione del sistema. La mancanza di attrito assicura che non ci siano
forze di attrito.
Mtot = m1 + m2 + m3 = 120 kg + 230 kg + 35 kg = 385 kg
(6.46)
Ftot = Mtot a
(6.47)
a=
Ftot
T
1350 N
=
=
= 3,51 m/s2
Mtot
Mtot
385 kg
(6.48)
L’accelerazione è rivolta verso destra come la tensione della fune.
m1
T⃗1
T⃗2s
m2
T⃗3s
T⃗2d
m3
T⃗
2. Per trovare la tensione che agisce sul corpo 1 applichiamo ad esso il secondo principio della dinamica, sapendo che la forza totale che agisce su di esso è la somma delle singole forze (in questo caso
la sola tensione T1 ).
(6.49)
F⃗tot1 = m1⃗a = T⃗1
T1 = m1 a = 120 kg · 3,51 m/s2 = 421 N
(6.50)
Procedendo analogamente per il corpo 2 possiamo scrivere:
F⃗tot2 = m2⃗a = T⃗2s + T⃗2d
(6.51)
Il fatto che la massa delle funi sia trascurabile comporta che la forza totale che agisce su di esse sia
nulla, altrimenti si avrebbe un’accelerazione infinita. Questo fa sì che:
T⃗2s = −T⃗1
(6.52)
T⃗2d = −T⃗3s
(6.53)
55
6 Dinamica
Quindi, semplificando, possiamo scrivere:
m2 a = −T1 + T2d
(6.54)
T2d = m2 a + T1 = 230 kg · 3,51 m/s2 + 421 N = 807 N + 421 N = 1228 N
(6.55)
T3s = T2d = 1228 N
(6.56)
Infine, come verifica di quanto abbiamo calcolato, possiamo cercare di riottenere il valore di T
applicando lo stesso metodo al corpo 3.
F⃗tot3 = m3⃗a = T⃗3s + T⃗
(6.57)
m3 a = −T3s + T
(6.58)
T = m3 a + T3s = 35 kg · 3,51 m/s2 + 1228 N = 123 N + 1228 N = 1351 N
(6.59)
La differenza di 1 N rispetto al valore di partenza è dovuta agli errori di arrotondamento fatti nei
diversi passaggi.
2
1
Esercizio 41 Ad una ruota, capace di muoversi senza attrito, è appoggiata una fune inestensibile e di massa trascurabile. Alle estremità della fune, da una parte e dell’altra della carrucola, sono appesi
due corpi di massa m1 = 5 kg e m2 = 2 kg. La corda si muove con
la ruota senza scivolare. La ruota stessa ha massa trascurabile.
Trova l’accelerazione a cui si muovono le due masse.
I due corpi, a causa del filo inestensibile, si muovono con eguale accelerazione, uno verso il basso e uno
verso l’alto. Il limite, con un corpo di massa trascurabile e uno di massa finita, sarebbe un’accelerazione
uguale a quella di gravità.
Scegliamo (arbitrariamente) come positiva l’accelerazione verso l’alto e attribuiamola al corpo 1. Aggiungiamo alla figura tutte le forze che agiscono sui due corpi.
Come nell’esercizio precedente, se la massa della fune è trascurabile, la
forza totale che agisce su essa deve essere nulla e quindi la tensione alle
sue estremità deve essere la stessa.
T⃗1 = T⃗2
Applichiamo il secondo principio della dinamica ad entrambe i corpi.
T⃗2
T⃗1
(6.60)
•
•
P⃗2
F⃗tot1 = T⃗ + P⃗1
(6.61)
F⃗tot2 = T⃗ + P⃗1
(6.62)
Diamo un segno alle componenti e scriviamo:
P⃗1
56
m1 a = T − m1 g
(6.63)
m2 (−a) = T − m2 g
(6.64)
6.5 Sistemi con più corpi
Abbiamo un sistema di due equazioni in due incognite. Sottraiamo la seconda dalla prima e sommiamo
membro a membro.
(m1 + m2 )a = (−m1 + m2 )g
(6.65)
Infine:
a=
(m2 − m1 )g
(2 kg − 5 kg) · 9,81 m/s2
=
= −4,20 m/s2
(m1 + m2 )
(5 kg + 2 kg)
(6.66)
Il segno meno nell’ultimo risultato significa che il verso effettivo dell’accelerazione del corpo 1 è verso
il basso.
1
Esercizio 42 Abbiamo un sistema formato da due corpi di massa
m1 = 8 kg e m2 = 3 kg. I due corpi sono legati da una fune inestensibile e massa trascurabile. Il corpo 1 è poggiato sul piano inclinato
indicato in figura (α = 35°), sul quale può scivolare senza attrito.
2
1. Trova in modulo direzione e verso l’accelerazione a cui è
sottoposto il corpo 2.
2. Trova la tensione della fune.
α
1. Cominciamo con riportare in figura tutte le forze che agiscono su i due corpi, costruendo un diagramma di corpo libero (le forze non sono in scala).
⃗
Sul corpo uno agisce la forza peso P⃗1 , la reazione vincolare R
⃗
R
⃗
⃗
del piano su cui è appoggiato e la tensione della fune T1 .
T1
Sul corpo due agisce la forza peso P⃗2 e la tensione della fune
T⃗2 .
T⃗2
Le tensioni T⃗1 e T⃗2 devono essere identiche (in modulo), altri•
menti la fune sarebbe un corpo su cui agisce una forza complessiva diversa da zero, ma con massa nulla. Le due cose sono tra loro incompatibili a meno di avere un accelerazione
P⃗1
P⃗2
infinita (chiaramente impossibile).
A questo punto, per studiare il sistema formato dai due corpi, è utile e possibile rappresentare il
sistema come se la fune e le due masse giacessero su un stessa retta. In effetti la fune ha proprio
l’effetto di mettere in interazione due corpi le cui forze stanno su direzioni diverse. Possiamo quindi
disegnare il seguente diagramma di corpo libero, dove abbiamo scomposto la forza peso del corpo
uno nei suoi componenti perpendicolari e paralleli alla fune.
⃗
R
P⃗1x
T⃗1
T⃗2
P⃗1
•
P⃗2
P⃗1y
Il nostro sistema è accelerato (le due masse o scivolano verso destra o verso sinistra). In verticale
⃗
invece c’è equilibrio: il corpo uno scivola sul piano rimanendovi attaccato. La reazione vincolare R
⃗
è uguale e contraria alla forza peso P1y .
⃗ + P⃗y1 = 0
R
(6.67)
57
6 Dinamica
Invece in orizzontale possiamo scrivere:
P⃗x1 + T⃗ + (−T⃗ ) + P⃗2 = F⃗totx
(6.68)
Prendiamo le componenti considerando come positivo il verso verso destra:
Px1 + T − T + P2 = mtot a
(6.69)
−m1 g sin(α) + m2 g = (m1 + m2 )a
(6.70)
Ricaviamo l’accelerazione (positiva se il sistema è accelerato verso destra, ovvero se cade il corpo
due).
a=
−8 kg · 9,81 m/s2 sin(35°) + 3 kg · 9,81 m/s2
−m1 g sin(α) + m2 g
=
= −1,41 m/s2 (6.71)
m1 + m2
8 kg + 3 kg
Quindi il corpo due è accelerato verso l’alto.
2. Per trovare il valore della tensione della fune consideriamo il corpo due. Applicando ad esso il
secondo principio della dinamica possiamo scrivere:
−T⃗ + P⃗2 = F⃗2
(6.72)
−T + m2 g = m2 a
(6.73)
Nella precedente equazione sulle componenti delle forze che agiscono sul corpo due abbiamo lasciato il vettore F2 con il segno positivo anche se sappiamo che essendo l’accelerazione del corpo diretta
verso l’alto (o verso sinistra nell’ultimo disegno mostrato) il componente del vettore è negativo.
−T = m2 a − m2 g
(6.74)
Possiamo infatti sostituire l’accelerazione a con segno che prima abbiamo travato.
T = m2 g − m2 a = 3 kg · 9,81 m/s2 − (3 kg · −1,41 m/s2 ) = 33,7 N
58
(6.75)
7 Quantità di moto e centro di massa
7.1 Quantità di moto
Esercizio 43 Un corpo di massa m = 5,6 kg si muove con velocità v = 12 km/h. Determina la quantità
di moto del corpo.
La quantità di moto di un corpo è data da p⃗ = m⃗v , cioè il prodotto della massa del corpo per la sua
velocità. La velocità va espressa in metri al secondo.
12 km/h =
12 km
12000 m
=
= 3,33 m s−1
h
3600 s
(7.1)
La quantità di moto in modulo è:
p = mv = 5,6 kg · 3,33 m s−1 = 18,7 kg m s−1
(7.2)
Esercizio 44 Un corpo di massa m1 = 5,6 kg si muove con velocità v1 = 12 km/h in una data direzione.
Un altro corpo, di massa m2 = 2,6 kg si muove con velocità v2 = 42 km/h in una direzione a 33° rispetto
al primo.
Determina la quantità di moto totale del sistema formato dai due corpi.
La quantità di moto di un insieme di corpi è data dalla somma vettoriale delle quantità di moto di ognuno
di essi.
p⃗tot = p⃗1 + p⃗2
(7.3)
Per calcolare il modulo della quantità di moto totale dapprima determiniamo le componenti della quantità di moto dei due corpi lungo la direzione della velocità del primo. Calcoliamo la somma dei due vettori
per componenti. Infine ricaviamo il modulo di questa somma ovvero la quantità di moto totale.
Esprimiamo tutte le grandezze di partenza in unità del SI.
{
v1 = 12 km/h = 3,33 m/s
(7.4)
v2 = 42 km/h = 11,66 m/s
Le due quantità di moto sono:
{
p1 = m1 v1 = 5,6 kg · 3,33 m/s = 18,7 kg m/s
p2 = m2 v2 = 2,6 kg · 11,6 m/s = 30,2 kg m/s
(7.5)
Ora dobbiamo scegliere due assi ortogonali rispetto a cui scomporre le due quantità di moto. Scegliamo
come asse delle ascisse la direzione e il verso individuato dalla velocità del primo corpo.
Il primo vettore ha componente solo sull’asse x:
p1x = 18,7 kg m/s
(7.6)
59
7 Quantità di moto e centro di massa
Invece per l’altro vettore:
{
p2x = p2 cos(α) = 30,2 kg m/s · cos(33°) = 25,3 kg m/s
p2y = p2 sin(α) = 30,2 kg m/s · sin(33°) = 16,4 kg m/s
(7.7)
p⃗tot = p⃗1 +⃗
p2 = (18,7 kg m/s; 0 kg m/s)+(25,3 kg m/s; 16,4 kg m/s) = (44 kg m/s; 16,4 kg m/s) (7.8)
Infine il modulo della quantità di moto totale è:
√
√
|⃗
ptot | = (ptotx )2 + (ptoty )2 = (44 kg m/s)2 + (16,4 kg m/s)2 = 47,0 kg m/s
(7.9)
7.2 Urti in una dimensione
Esercizio 45 Due corpi puntiformi di massa m1 = 5,6 kg e m2 = 2,7 kg si muovono liberamente nello
spazio sulla stessa retta. Il sistema formato dai due corpi non è sottoposto ad alcuna forza esterna. Entrambi
i corpi si muovono nello stesso verso: il primo con una velocità v1 = 620 km/h e il secondo con una velocità
v2 = 120 km/h. Ad un certo punto i due corpi si urtano rimanendo attaccati.
Trova la velocità finale del sistema in modulo, direzione e verso.
Se il sistema non è sottoposto a forze esterne la sua quantità di moto totale rimane invariata prima e
dopo l’urto.
La quantità di moto totale prima dell’urto è data dalla somma dei moduli delle quantità di moto iniziali,
perché i due corpi si muovono sulla stessa retta.
La quantità di moto totale dopo l’urto è quella di un unico corpo puntiforme, che si muove ancora sulla
stessa retta. Dal momento che la quantità di moto iniziale ha componenti solo su una retta, continuerà ad
avere componenti solo su quella retta anche dopo l’urto.
Per cui possiamo scrivere:
p1 + p2 = pf
(7.10)
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )vf
(7.11)
L’unica incognita di questa equazione è la velocità finale e possiamo metterla in evidenza:
vf =
m1 v1 + m2 v2
(m1 + m2 )
Trasformiamo nel S.I. le velocità date e sostituiamo tutti i dati nella precedente espressione.
{
v1 = 620 km/h = 172,2 m/s
v2 = 120 km/h = 33,3 m/s
(7.12)
(7.13)
Le due velocità hanno lo stesso verso per cui le utilizziamo attribuendo ad esse lo stesso segno (positivo
per nostra arbitraria scelta).
vf =
5,6 kg · 172,2 m/s + 2,7 kg · 33,3 m/s
= 127 m/s
(5,6 kg + 2,7 kg)
(7.14)
Il segno positivo di questo calcolo ci dice che la velocità ha lo stesso verso di quelle iniziali; la direzione
abbiamo già detto essere quella dei due corpi incidenti.
60
7.2 Urti in una dimensione
Esercizio 46 Due corpi puntiformi di massa m1 = 12 kg e m2 = 42 kg si muovono liberamente nello
spazio sulla stessa retta. Il sistema formato dai due corpi non è sottoposto ad alcuna forza esterna. Il primo
corpo si muove con una velocità v1 = 1230 km/h e il secondo con una velocità v2 = 320 km/h, ma in
verso opposto. Ad un certo punto i due corpi si urtano in maniera perfettamente elastica.
Trova la velocità finale dei due corpi in modulo, direzione e verso.
Se il sistema non è sottoposto a forze esterne la sua quantità di moto totale rimane invariata prima e
dopo l’urto. Il moto avviene su una retta quindi avremo componenti solo su quella retta.
Il fatto che l’urto sia perfettamente elastico implica che l’energia cinetica totale del sistema si conservi
nell’urto. Possiamo scrivere quindi il seguente sistema di equazioni:

m1 v1i + m2 v2i = m1 v1f + m2 v2f

(7.15)
1
 m1 v12 + 1 m2 v22 = 1 m1 v12 + 1 m2 v22
i
i
f
f
2
2
2
2
Il precedente sistema è in due equazioni e in due incognite (le velocità finali), ma un’equazione è quadratica, per cui avremo due soluzioni. Una è quella banale in cui le velocità finale ed iniziale sono uguali.
L’altra soluzione che si trova (per la dimostrazione rimandiamo ad un comune libro di testo) è:

(m1 − m2 )v1i + 2m2 v2i


 v1f =
m1 + m2
(7.16)

(m2 − m1 )v2i + 2m1 v1i

 v2f =
m1 + m2
Trasformiamo nel S.I. le velocità date e sostituiamo tutti i dati nella precedente espressione.
{
v1 = 1230 km/h = 341,7 m/s
v2 = −320 km/h = −88,9 m/s
Abbiamo scelto arbitrariamente di attribuire il segno positivo alla velocità del primo corpo.

(12 kg − 42 kg) · 341,7 m/s + 2 · 42 kg · (−88,9 m/s)

 v1f =
= −328 m/s

12 kg + 42 kg

(42 kg − 12 kg) · (−88,9 m/s) + 2 · 12 kg · 341,7 m/s

 v2f =
= 103 m/s
12 kg + 42 kg
(7.17)
(7.18)
I due corpi, dopo l’urto, si muovono ancora sulla stessa retta. La direzione della velocità è ancora quella di
partenza. Dai segni prima ottenuti possiamo dire che entrambe i corpi hanno ora velocità di verso opposto
a quella di partenza.
61
7 Quantità di moto e centro di massa
7.3 Centro di massa
Esercizio 47 Due corpi puntiformi di massa m1 = 5,6 kg e m2 = 2,7 kg sono posti alle estremità di
un’asta rigida di massa trascurabile lunga 0,45 m.
Trova la posizione del centro di massa del sistema dato.
Il sistema presentato ha una sola dimensione. Il centro di massa si trova necessariamente sull’asse
individuato dall’asta. La definizione del centro di massa per due masse puntiformi è:
xcm =
x1 m1 + x2 m2
m1 + m2
(7.19)
Gli unici valori che non conosciamo sono x1 e x2 , cioè le posizioni assolute delle due masse. Tuttavia,
in questo caso, ciò che importa è solo la posizione relativa. Scegliamo ad esempio di porre la prima massa
nella posizione x1 = 0 m e la seconda nella posizione x2 = 0,45 m, all’altra estremità dell’asta. Sostituendo
tutti i dati abbiamo che:
0 m · 5,6 kg + 0,45 m · 2,7 kg
xcm =
= 0,15 m
(7.20)
5,6 kg + 2,7 kg
Il centro di massa si trova a 0,15 m dalla posizione della prima massa, lungo l’asta.
62
8 Lavoro e energia
8.1 Lavoro
Esercizio 48 Quanto lavoro fa una forza, il cui modulo vale
15 N, che muove il suo punto di applicazione di 25 m come
indicato in figura (α = 60°)?
F⃗
α
⃗
S
⃗ è dato
Il lavoro fatto da una forza F⃗ costante per spostare il suo punto di applicazione di una quantità S
⃗
⃗
dal prodotto scalare di F per S:
⃗ = |F⃗ ||S|
⃗ cos α = 15 N · 25 m · 0,5 = 187,5 J
L = F⃗ · S
(8.1)
Esercizio 49 Un corpo puntiforme di massa 6 kg viene spostato dal punto A al punto D seguendo il
percorso indicato nella figura seguente. AB = 3 dm, BC = 26 mm, CD = 88 cm, α = 22°.
1. Trova il lavoro totale compiuto dalla forza peso che agisce sul corpo nel compiere quello spostamento.
2. Trova il lavoro totale compiuto dalla forza peso che agisce sul corpo nel compiere lo spostamento
alternativo A - E - D.
3. Come ci aspettiamo che siano i due lavori ottenuti e perché?
A
B
C
E
α
D
La forza peso che agisce sull’oggetto ha lo stesso valore in ogni punto del percorso (stiamo rimanendo
in prossimità della superficie terrestre).
Fp = mg = 6 kg · 9,81 m/s2 = 58,9 N
(8.2)
La formula usata nel precedente esercizio per trovare il lavoro compiuto da una forza si può applicare
solo se lo spostamento è rettilineo e la forza rimane costante. Altrimenti possiamo sommare il lavoro
elementare compiuto nei singoli tratti rettilinei.
⃗AB
S
A
P⃗
B
C
E
α
D
63
8 Lavoro e energia
Consideriamo allora il primo tratto AB. La forza è diretta verso il basso e lo spostamento forma un
angolo di 90° con la forza.
⃗AB | cos(90°) = 58,9 N · 3 dm · 0 = 0 J
LAB = |P⃗ ||S
(8.3)
B
A
⃗BC
S
P⃗
C
E
α
D
Consideriamo il secondo tratto BC. La forza è diretta verso il basso e lo spostamento forma un angolo
di 0° con la forza.
⃗BC | cos(0°) = 58,9 N · 26 mm · 1 = 58,9 N · 0,026 m = 1,53 J
LBC = |P⃗ ||S
A
(8.4)
B
E
C
P⃗
β
⃗CD
S
α
D
Consideriamo il terzo tratto CD. La forza è diretta verso il basso. Per trovare l’angolo β che lo spostamento forma con la forza osserviamo nella precedente figura che esso è il terzo angolo di un triangolo
rettangolo in cui l’altro angolo acuto è α. Per cui possiamo scrivere:
β = 180° − α − 90° = 180° − 22° − 90° = 68°
(8.5)
⃗CD | cos(68°) = 58,9 N · 88 cm · 0,375 = 58,9 N · 0,88 m · 0,375 = 19,42 J
LCD = |P⃗ ||S
(8.6)
Infine il lavoro totale è:
Ltot = LAB + LBC + LCD = 0 J + 1,53 J + 19,42 J = 20,95 J
A
P⃗
(8.7)
B
C
⃗AE
S
α
E
D
H
Consideriamo adesso il percorso alternativo A - E - D. Partiamo dal tratto AE: esso è formato da un
tratto lungo quanto BC e da un tratto lungo quanto CH. Quest’ultimo, in particolare può essere visto
come la proiezione sulla verticale del tratto CD. Per cui possiamo scrivere:
⃗AE | = |S
⃗BC | + |S
⃗CD | sin(α) = 0,026 m + 0,88 m · sin(22°) = 0,356 m
|S
(8.8)
La forza peso è parallela allo spostamento quindi:
⃗AE | cos(0°) = 58,9 N · 0,356 m · 1 = 20,97 J
LAE = |P⃗ ||S
64
(8.9)
8.1 Lavoro
A
B
C
E
P⃗
D
α
⃗ED
S
H
Nel tratto ED lo spostamento è lungo quanto il tratto AB più il tratto HD. Quest’ultimo può essere
visto come la proiezione in orizzontale del tratto CD. Per cui possiamo scrivere:
⃗ED | = |S
⃗AB | + |S
⃗CD | cos(α) = 3 m + 0,88 m · cos(22°) = 3,82 m
|S
(8.10)
La forza peso è perpendicolare allo spostamento quindi:
⃗ED | cos(0°) = 58,9 N · 3,82 m · 0 = 0 J
LED = |P⃗ ||S
(8.11)
Ltot = LAE + LED = 20,97 J + 0 J = 20,97 J
(8.12)
Infine il lavoro totale è:
Il lavoro compiuto dalla forza peso per spostare il suo punto di applicazione dal punto A al punto E è
risultato (nel limite degli arrotondamenti introdotti nel calcolo) lo stesso. Questa è una conseguenza della
conservatività di questa forza: qualsiasi percorso avessimo scelto per andare da A ad E il lavoro della forza
peso sarebbe stato lo stesso.
Esercizio 50 Due forze, il cui modulo vale rispettivamente
75 N e 35 N, spostano un corpo per 25 m come indicato in
figura. (α = 40° ; β = 100° )
1. Trova il lavoro totale compiuto dalle due forze .
2. Trova la potenza sviluppata in 3 minuti.
F⃗1
α
F⃗2
⃗
S
β
Il lavoro totale compiuto da più forze che compiono lo stesso spostamento è uguale alla somma dei
lavori delle singole forze. Per cui il lavoro compiuto dalle due forze è:
L1 = F⃗1 · ⃗s = |F⃗1 ||⃗s| cos(α) = 75 N · 25 m · 0, 766 = 1436 J
(8.13)
L2 = F⃗2 · ⃗s = |F⃗2 ||⃗s| cos(β) = 35 N · 25 m · −0, 174 = −152 J
(8.14)
Ltot = L1 + L2 = 1436 J − 152 J = 1284 J
(8.15)
Infine:
P =
1284 J
1284 J
=
= 7,13 W
3 min
180 s
(8.16)
65
8 Lavoro e energia
8.2 Potenza
Esercizio 51 In 127 s un blocco viene trascinato per 68 cm su un piano orizzontale da una forza di 79 N,
la cui direzione forma un angolo di 69° rispetto al piano stesso.
Calcola la potenza con la quale viene eseguito il lavoro.
La potenza è definita come lavoro per unità di tempo:
P =
L
t
(8.17)
In questo caso il lavoro fatto dalla forza è:
L = F⃗ · ⃗s = |F⃗ ||⃗s| cos(θ) = 79 N · 0,68 m · 0, 358 = 19,3 J
(8.18)
La potenza sviluppata è quindi:
P =
19,3 J
= 0,152 W
127 s
(8.19)
8.3 Energia cinetica
Esercizio 52 Una merendina ha una energia chimica di 180 kcal. Trasformando questa energia tutta in
energia cinetica di un corpo di massa 14 kg a che velocità potrebbe arrivare, supponendo che parta da
fermo e si muova su un piano senza attrito?
Supponiamo, secondo quanto indicato dal testo, che tutta l’energia chimica della merendina si renda
disponibile per il corpo dato sotto forma di energia cinetica. Ricordando la definizione di energia cinetica
Ec di un corpo di massa m e velocità ⃗v , possiamo scrivere:
1
Einiziale = Ec = mv 2
(8.20)
2
In quest’ultima espressione conosciamo tutte le grandezze tranne la velocità. Se la mettiamo in evidenza
nelle espressioni date abbiamo risolto il problema.
L’energia è data in kcal; la dobbiamo trasformare in Joule, nel Sistema Internazionale, ricordando che
una caloria è equivalente a circa 4,186 J.
480 kcal = 480000 cal = 480000 · 4,186 J = 2009280 J
v2 =
√
v=
66
√
2Ec
=
m
2Ec
m
2 · 2009280 J
=
14 kg
(8.21)
(8.22)
√
281143
J
= 536 m/ s
kg
(8.23)
8.4 Conservazione dell’energia meccanica
8.4 Conservazione dell’energia meccanica
Esercizio 53 Un oggetto di massa 3,5 kg scende lungo un pendio privo di attrito partendo da fermo dal
punto A ad un’altezza h1 = 13 m.
1.
2.
3.
4.
Qual è l’energia meccanica iniziale del corpo?
Che velocità avrà nel punto B a valle all’altezza h0 = 0 m ?
Che velocità nel punto C ad un’altezza h2 = 5 m?
Il corpo potrebbe superare la collina oltre il punto C?
y
A
C
h1
h2
ho
B
x
Il modo di affrontare questo tipo di problemi è quello di usare il principio di conservazione dell’energia
meccanica. Si calcola l’energia meccanica in un punto in cui tutte le grandezze in essa contenute sono note.
Conosciuta questa energia si può ricavare una delle grandezze in essa contenuta per un altra posizione
del corpo, se si conosce il valore di tutte le altre grandezze nella nuova posizione.
Vediamo in primo luogo se possiamo applicare al nostro corpo questo principio.
Se un corpo scivola su un pendio senza attrito esso sarà soggetto, in mancanza di altre indicazioni, alla
sola forza di gravità e la forza vincolare del piano. La forza vincolare del pendio è sempre perpendicolare
ad esso e il corpo scivola parallelamente alla superficie. Questa forza non compie lavoro perché forza e
spostamento formano un angolo retto. D’altra parte la forza di gravità è una forza conservativa e quindi possiamo applicare al nostro corpo il principio di conservazione dell’energia meccanica: su un corpo
soggetto solo a forze conservative l’energia meccanica si conserva.
L’energia meccanica è la somma dell’energia cinetica e potenziale del corpo. In questo caso possiamo
scrivere:
1
Em = Ec + Ep = mv 2 + mgh
(8.24)
2
Per trovare risposta ai quesiti dell’esercizio possiamo calcolare l’energia meccanica in un punto in cui tutte
le grandezze in essa contenute sono note. Negli altri punti avremo invece una sola grandezza incognita
che potremo ricavare da tutte le altre. In particolare:
• La massa è sempre la stessa lungo tutto il percorso;
• L’accelerazione di gravità g pure.
1. Nel punto A la velocità va vale 0 m/s; l’altezza h1 è nota. Possiamo determinare l’energia meccanica
2. Nel punto B conosciamo tutte le grandezze tranne la velocità vb : l’espressione che ci dà l’energia meccanica diventa un’equazione algebrica di secondo grado la cui incognita è la velocità che
67
8 Lavoro e energia
cerchiamo.
1
1
mvb 2 + mgho = mvb 2
2
2
Em
= 1
2m
√
Em
=
1
2m
Em =
(8.25)
vb 2
(8.26)
vb
(8.27)
3. Nel punto C valgono gli stessi ragionamenti del punto B, ma in questo caso l’altezza è h2 . Possiamo
ricavare la velocità vc dalle altre grandezze.
Em =
1
mvc 2 + mgh2
2
(8.28)
1
mvc 2 = Em − mgh2
2
Em − mgh2
vc 2 =
1
m
√ 2
Em − mgh2
vc =
1
2m
(8.29)
Em = 0 J + 3,5 kg · 9,81 m/s2 · 13 m = 446,4 J
(8.32)
(8.30)
(8.31)
1. L’energia meccanica vale:
2. La velocità nel punto B vale:
√
vb =
446,4 J
=
1
2 · 3,5 kg
√
255 m2 /s2 = 16,0 m/s
3. La velocità nel punto C vale:
√
√
√
446,4 J − 3,5 kg · 9,81 m/s2 · 5 m
274,7 J
vc =
=
= 157 m2 /s2 = 12,5 m/s
1
1,75
kg
2 · 3,5 kg
(8.33)
(8.34)
4. Il punto C si trova ad una altezza inferiore al punto A. Il corpo, proprio per la conservazione dell’energia meccanica, può scivolare sul pendio finché non giunge ad una altezza uguale a quella di
partenza, dove l’energia potenziale avrà lo stesso valore iniziale e l’energia cinetica si annulla e il
corpo si ferma.
Esercizio 54 Un oggetto, lanciato verticalmente verso l’alto, raggiunge un’altezza di 644 cm.
Se ne determini la velocità iniziale nel sistema S.I. .
In questo problema conosciamo l’altezza iniziale (hi = 0 m) e finale (hf = 6,44 m) raggiunta dall’oggetto, conosciamo la sua velocità finale (Vf = 0 m/ s) ma non conosciamo la velocità iniziale. Inoltre nel suo
moto l’oggetto è soggetto alla sola forza di gravità, se trascuriamo l’attrito dell’aria: cosa lecita se diamo
una descrizione approssimativa del moto.
La soluzione al problema ci può venire quindi dall’applicazione del teorema dell’energia cinetica o in
particolare dal teorema di conservazione dell’energia meccanica che ci dice che in presenza di sole forze
conservative (come la forza di gravità) l’energia meccanica si conserva e quindi l’eventuale variazione
dell’energia cinetica è uguale e contraria alla variazione dell’energia potenziale del corpo:
68
8.4 Conservazione dell’energia meccanica
∆T = −∆U ; T2 − T1 = UA − UB
(8.35)
1
T = mV 2 e U = mgh
2
(8.36)
1
m(Vf2 − Vi2 ) = mg(hi − hf )
2
1
m(−Vi2 ) = mg(−hf )
2
√
√
Vi = 2ghf = 2 · 9,81 m/s2 · 6,44 m = 11,2 m/ s
(8.37)
con
Sostituendo abbiamo:
(8.38)
(8.39)
diretta lungo l’asse y verso l’alto.
Esercizio 55 Un proiettile è sparato verticalmente dalla superficie terrestre con velocità iniziale v =
1,2 km/ s. Trascurando la resistenza dell’aria:
1. A che distanza dalla superficie terrestre potrà arrivare?
2. Qual è la velocità con cui la particella ricade sulla superficie terrestre?
Questo esercizio è del tutto simile al precedente. Possiamo risolverlo applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica per le forze conservative, in questo caso la forza di gravità.
Tuttavia il moto dell’oggetto dell’esercizio precedente era tutto prossimo alla superficie terrestre. Quando questo non avviene non è corretto utilizzare U = mgh come espressione che definisce l’energia potenziale gravitazionale. Un proiettile lanciato verso l’alto con una velocità di 1 km/ s arriva sicuramente
a diversi km di altezza. In tali casi è opportuno utilizzare l’espressione generale U (r) = − GMr m che definisce l’energia potenziale gravitazionale di un corpo puntiforme di massa m posto a distanza r da un
corpo di massa M e dove G = 6,67 × 10−11 N m2 / kg2 è la costante di gravitazione universale. Si sta
supponendo che l’energia potenziale si annulli quando la distanza tra i due corpi diventa infinita.
La Terra è un corpo sferico e il suo campo gravitazionale, al di là della superficie, si comporta come
quello di un corpo puntiforme posto nel suo centro.
All’istante iniziale la distanza tra proiettile e Terra è il raggio della terra Rt = 6,37 × 106 m. Alla
massima altezza dal suolo (h) la distanza tra proiettile e Terra è divenuta Rt + h e la velocità del proiettile
è nulla.
Quindi la conservazione dell’energia meccanica ci consente di scrivere che:
Ti + Ui = Tf + Uf
1
GmM
GmM
= −
mV 2 −
2
Rt
Rt + h
(
)
1 2 GM
GM
= −
V −
2
Rt
(Rt + h)
GM
)
Rt + h = − (
1 2 GM
V −
2
Rt
GM
h = −Rt −
1 2 GM
V −
2
Rt
(8.40)
(8.41)
(8.42)
(8.43)
(8.44)
69
8 Lavoro e energia
h = −6,37 × 106 m −
6,67 × 10−11 N m2 / kg2 · 5,98 × 1024 kg
= 74,1 km (8.45)
)2 6,67 × 10−11 N m2 / kg2 · 5,98 × 1024 kg
1(
1, 2 · 103 m
−
s
2
6,37 × 106 m
Per la conservazione dell’energia meccanica la velocità di caduta al suolo (in modulo, ma non in direzione e verso) è la stessa che si ha al momento del lancio.
70
9 Statica dei corpi rigidi
9.1 Momento di una forza
Esercizio 56 Una forza F⃗ il cui modulo vale 23 N forma un angolo di 30° con il vettore posizione ⃗r.
I due vettori giacciono nel piano del foglio e il vettore posizione è lungo 30 cm.
1. Trova in modulo il vettore momento della forza data.
2. Trova direzione e verso del momento della forza.
⃗r
α
F⃗
Il momento di una forza rispetto ad un punto è dato in modulo da:
M = |r||F | sin(α)
(9.1)
dove |r| è il modulo del vettore posizione della forza rispetto al punto rispetto al quale è calcolato il
momento e α è l’angolo tra il prolungamento del vettore posizione e la forza. In questo caso abbiamo:
M = 0,3 m · 23 N · sin(30°) = 3,45 Nm
(9.2)
Per trovare direzione e verso del vettore momento possiamo usare la regola della mano destra. Prendiamo
in ordine alfabeto le prime tre dita della mano destra: indice, medio e pollice. Possiamo associarle rispettivamente al vettore posizione, alla forza e al momento. Nel nostro caso il vettore momento della forza è
perpendicolare al piano del foglio e entrante in esso.
y
⃗
M
⃗r
z
α
x
F⃗
71
9 Statica dei corpi rigidi
9.2 Corpo rigido in equilibrio
Esercizio 57 Un ripiano di massa trascurabile è poggiato su un vincolo e ha due corpi puntiformi posti
alle sue estremità, come illustrato nella figura seguente.
Sapendo che m1 = 5 kg, l1 = 34 cm e l2 = 24 cm:
1. Trova se il ripiano senza la massa 2 è in equilibrio.
2. Trova il valore della massa 2 tale per cui il ripiano può restare in equilibrio.
1
l1
2
l2
Condizione necessaria per l’equilibrio di un corpo rigido è che la somma delle forze esterne agenti sul
corpo sia zero e che sia zero anche la somma dei momenti delle forze esterne calcolate rispetto ad un
qualsiasi punto.
∑
∑
F⃗est = 0
(9.3)
⃗ est = 0
M
(9.4)
Queste due equazioni vettoriali equivalgono a sei equazioni scalari, due per ogni asse. Dovremo in
generale scomporre le forze e i momenti per ricavare queste eventuali sei equazioni.
Se il corpo non è in equilibrio basta che non sia soddisfatta una delle due condizioni precedenti: verifichiamole entrambe in ogni caso.
Aggiungiamo alla figura tutte le forze presenti: in particolare la forza peso di entrambe i corpi e la
reazione vincolare del fulcro che è diretta perpendicolarmente al ripiano.
⃗
R
P⃗1
l1
l2
P⃗2
Prima condizione
Sul nostro sistema iniziale, costituito dalla massa 1 e dall’asta rigida, agiscono due forze: la forza peso
della massa 1 e la reazione vincolare del fulcro sull’asta. Determiniamo innanzi tutto la forza peso:
P1 = mg = 5 kg · 9,81 m/s2 = 49,1 N
(9.5)
Per quanto riguarda la prima condizione, che è necessaria perché il sistema sia in equilibrio traslazionale,
possiamo osservare che le due forze agiscono lungo la stessa direzione: per determinare se la loro somma
vettoriale è nulla possiamo considerare direttamente le loro componenti lungo quella direzione. Quindi
prendiamo il loro modulo con un segno se va in un certo verso (ad esempio verso l’alto) e con segno
opposto se va verso il basso. Possiamo scrivere che:
∑
⃗
F⃗est = P⃗1 + R
Fest = P1 + R = −49,1 N + R
72
(9.6)
(9.7)
9.2 Corpo rigido in equilibrio
Tuttavia non sappiamo quanto valga la risultante R. Questa condizione di equilibrio è per il momento
indeterminata.
Seconda condizione
Per quanto riguarda la seconda condizione dapprima calcoliamo il modulo dei momenti delle forze
presenti. Se il corpo è in equilibrio il polo rispetto a cui calcolare i momenti può essere scelto ad arbitrio.
Con altre parole, se la somma delle forze è nulla siamo autorizzati a cercare la seconda condizione per
l’equilibrio determinando i momenti delle forze rispetto ad un qualsiasi punto: se la somma dei momenti
è nulla per quel punto lo sarà per qualsiasi altro punto.
Noi in realtà non sappiamo se la somma delle forze sia nulla. Supponiamo comunque che sia tale come
ipotesi per procedere con l’analisi del sistema.
Se poniamo il polo nel fulcro dell’asta allora il vettore posizione del punto di applicazione della forza
⃗
R rispetto al polo scelto è nullo e questo ci consente di annullarne il momento. Dalla figura possiamo
osservare che il vettore posizione associato alla forza peso 1 è lungo l1 e che l’angolo tra il prolungamento
del vettore posizione e la forza vale 90°.
MR = R · 0 m · sin(γ) = 0 Nm
(9.8)
Mp = P1 l1 sin(α) = 49,1 N · 0,34 m · sin(90°) = 16,7 Nm
(9.9)
Per sommare i momenti osserviamo che l’asse su cui agiscono è per tutti perpendicolare al piano del
disegno. Per fare la somma vettoriale basta prendere le loro componenti con il segno opportuno. Per
attribuire un segno ai momenti controlliamo se tendono a far ruotare il sistema in senso antiorario o
orario. Possiamo dare arbitrariamente il segno positivo al verso che vogliamo. Scegliamo come positivo il
verso orario. La componente di Mp1 ha quindi segno negativo; la componente di MR è nulla e comunque
sarebbe indeterminata, dato che agisce sul polo.
In conclusione:
∑
⃗ tot = M
⃗R +M
⃗p
M
(9.10)
1
Mtot = MR + Mp1 = 0 Nm − 16,7 Nm = −16,7 Nm
(9.11)
Il sistema non è in equilibrio e tende a ruotare in senso antiorario. La reazione vincolare R rimane indeterminata.
Adesso consideriamo anche la presenza della massa 2. Il suo momento agisce su un retta perpendicolare
al piano del disegno. Il segno da attribuire alla componente, per quanto fissato prima, è quello positivo.
Se il sistema è in equilibrio deve essere nulla la somma delle forze. Quindi scriviamo:
∑
⃗ =0
F⃗est = P⃗1 + P⃗2 + R
(9.12)
Fest = P1 + P2 + R = −49,1 N − P2 + R = 0
Abbiamo un equazione in due incognite e quindi nessuna soluzione.
Analogamente, per quanto riguarda la condizione di equilibrio sui momenti:
∑
⃗p = 0
⃗ tot = M
⃗R +M
⃗p +M
M
2
1
(9.13)
(9.14)
Mtot = MR + Mp1 + Mp2 = 0 Nm − 16,7 Nm + Mp2 = 0
(9.15)
Mp2 = P2 l2 sin(β) = 16,7 Nm
(9.16)
Da cui ricaviamo che:
dove l2 è la lunghezza del vettore posizione della forza peso 2 rispetto al polo e l’angolo beta vale 90°:
dall’equazione precedente possiamo ricavare il peso.
P2 =
16,7 Nm
16,7 Nm
=
= 69,6 N
l2 sin(β)
0,24 m · sin(90°)
(9.17)
73
9 Statica dei corpi rigidi
Infine, ricordandoci che P = mg, possiamo ricavare la massa:
m=
P2
69,6 N
=
= 7,01 kg
g
9,81 m/s2
(9.18)
E la reazione vincolare
74
Fest = P1 + P2 + R = −49,1 N − 16,7 Nm + R = 0
(9.19)
R = 49,1 N + 16,7 Nm = 65,8 N
(9.20)
9.2 Corpo rigido in equilibrio
Esercizio 58 Un’asta omogenea, incernierata al muro, libera di ruotare in un piano verticale intorno alla
cerniera e posta in orizzontale, come sommariamente rappresentato nella figura seguente, sostiene una
massa m1 = 540 kg posta a 1,8 m dalla cerniera. La massa dell’asta è 200 kg e la sua lunghezza 2,5 m.
All’altra estremità dell’asta un corda tesa, di massa trascurabile e attaccata ad un altro muro, sostiene
l’asta e forma un angolo θ = 70° con l’orizzontale.
Determina la tensione della corda.
1
θ
Condizione necessaria per l’equilibrio di un corpo rigido è che la somma delle forze esterne agenti sul
corpo sia zero e che sia zero anche la somma dei momenti delle forze esterne calcolate rispetto ad un
qualsiasi punto.
∑
F⃗est = 0
(9.21)
∑
⃗ est = 0
M
(9.22)
Sul nostro sistema, costituito dalla massa 1 e dall’asta rigida, agiscono quattro forze: la forza peso della
massa, la forza peso dell’asta, la reazione vincolare del fulcro sull’asta e la tensione della corda.
T⃗
T⃗y
⃗x
R
⃗y
R
θ
T⃗x
P⃗a
P⃗1
Nella precedente figura (non in scala) sono segnati i componenti della tensione perpendicolari e paralleli
al piano. Per quanto riguarda la reazione vincolare sono segnati solo i componenti. Infatti sappiamo che il
componente orizzontale deve essere uguale e contrario al componente orizzontale della tensione, ma della
componente verticale conosciamo solo il verso. Deve essere verso l’alto per evitare che l’asta non abbia
sostegno sulla sinistra.
Determiniamo innanzi tutto l’intensità delle forze peso:
P1 = m1 g = 540 kg · 9,81 m/s2 = 5297 N
(9.23)
Pa = ma g = 200 kg · 9,81 m/s2 = 1962 N
(9.24)
Il nostro sistema, per come è congegnato, non ha libertà di muoversi se non nel piano del disegno. La forza
che agisce sull’asse z, cioè perpendicolarmente al piano, è nulla. Così pure i momenti delle forze, dal momento che l’asta può ruotare solo intorno al suo perno, agiscono solo nella direzione della perpendicolare
al piano. Di conseguenza abbiamo tre condizioni da soddisfare: due per la forza e una per i momenti.
Condizioni sulle forze.
Osserviamo che le forze non agiscono lungo la stessa direzione: per determinare se la loro somma
vettoriale è nulla possiamo considerare le loro componenti lunghi degli assi privilegiati, possibilmente
ortogonali, ad esempio lungo l’asta e perpendicolarmente ad essa. Per quanto riguarda le componenti della
tensione della corda lungo la direzione dell’asta (asse x) e perpendicolarmente all’asta (asse y), queste due
75
9 Statica dei corpi rigidi
componenti sono tra loro collegate e quindi conoscendo il valore di una possiamo determinare il valore
dell’altra:
Tx = T cos(θ)
(9.25)
Ty = T sin(θ)
La forza peso agisce integralmente lungo l’asse y.
Possiamo quindi scrivere che:
∑
⃗ + T⃗
F⃗est = P⃗1 + P⃗a + R
(9.26)
In particolare lungo la direzione dell’asta (asse x):
Festx = Rx + Tx = Rx + T cos(θ) = 0
(9.27)
Invece perpendicolarmente all’asta (asse y):
Festy = Ry + Ty + Pa + P1 = Ry + T sin(θ) + Pa + P1 = 0
(9.28)
Abbiamo un sistema di due equazioni in tre incognite e quindi con infinite soluzioni.
Condizione sui momenti
La scelta di un polo rispetto cui calcolare i momenti è arbitraria se il sistema è in equilibrio, come stiamo
supponendo che sia. Allora prendiamo come polo il punto in cui è incernierata l’asta. In questo modo il
momento relativo alla reazione vincolare ha il vettore posizione (del punto di applicazione della forza
rispetto al polo) nullo e quindi è esso stesso nullo.
∑
⃗ tot = M
⃗R +M
⃗p +M
⃗ pa + M
⃗T = 0
M
(9.29)
1
Consideriamo il modulo dei momenti.
Mp1 = P1 l1 sin(90°) = 5297 N · 1,8 m = 9534 Nm
(9.30)
Se l’asta è omogenea e uniforme il suo centro di massa si trova a metà della sua lunghezza e lì possiamo
considerare applicata la sua forza peso:
Mp a = P 1
2,5 m
l2
sin(90°) = 1962 N ·
= 2452 Nm
2
2
MT = T l1 sin(θ)
(9.31)
(9.32)
Infine per attribuire un segno corretto alle componenti dei momenti stabiliamo come positivo il verso
di rotazione orario.
Mtot = MR + Mp1 + Mpa + MT = 0 Nm − 9534 Nm − 2452 Nm + MT = 0
(9.33)
Da cui ricaviamo che:
MT = 11986 Nm
(9.34)
MT = T · 2,5 m · sin(70°)
(9.35)
Ma sappiamo anche che:
Uniamo le ultime due relazioni per ricavare la tensione:
T =
76
11986 Nm
= 5102 N
2,5 m · sin(70°)
(9.36)
10 Statica dei fluidi
10.1 Pressione di una forza su una superficie
Esercizio 59 Una forza F⃗ il cui modulo vale 123 N forma un angolo di 30° con la superficie sulla quale
agisce. L’area della superficie vale 0,04 m2 . Calcola la pressione esercita dalla forza sulla superficie.
S
F⃗
α
La definizione di pressione è
P =
|F⃗ ⊥|
A
(10.1)
dove F⃗ ⊥ è la componente della forza perpendicolare alla superficie e A è l’area della superficie.
Guardando alla figura possiamo scrivere:
|F⃗ ⊥| = |F⃗ | cos(α) = 123 N · 0,86 = 106,5 N
(10.2)
Quindi la pressione vale:
P =
|F⃗ ⊥|
106,5 N
=
= 2663 Pa
A
0,04 m2
(10.3)
Esercizio 60 Calcola la pressione esercitata dalla forza peso di un corpo fatto di alluminio, a forma di
cubo, il cui spigolo vale 12 cm, poggiato con una faccia del cubo su un piano orizzontale.
|F⃗ ⊥|
Dobbiamo trovare una pressione: P =
. Per ora non conosciamo né la forza né l’area sulla quale
A
la forza agisce.
Nel nostro caso la forza è la forza peso: Fp = mg. Il piano su cui agisce il corpo è orizzontale quindi la
forza peso del corpo agisce perpendicolarmente alla superficie: F⃗ ⊥ ≡ F⃗p .
Per conoscere la forza peso abbiamo bisogno della massa.
Se sappiamo di cosa è fatto il corpo possiamo trovare la sua densità nelle tabelle. Possiamo trovare il
volume del corpo perché conosciamo la forma e le dimensioni. Il volume di un cubo è V = l3 . Dal volume
e la densità ricaviamo la massa ricordando la definizione di densità.
d=
m
⇒ m = dV
V
(10.4)
Il corpo ha una forma cubica. L’area di appoggio è un quadrato di cui conosciamo il lato: A = l2 .
77
10 Statica dei fluidi
Abbiamo trovato un modo per conoscere tutte le grandezze che ci servono.
l = 12 cm = 12 · 0,01 m = 0,12 m
2
2
3
3
A = l = (0,12 m) = 0,0144 m
V
= l = (0,12 m) = 0,001728 m
d = 2700 kg/m
(10.5)
2
(10.6)
3
(10.7)
3
(10.8)
m = dV = 2700 kg/m · 0,001728 m = 4,66 kg
3
3
(10.9)
Fp = mg = 4,66 kg · 9,81 m/s = 45,7 N
(10.10)
|F⃗p |
45,7 N
=
= 3178 Pa
A
0,0144 m2
(10.11)
2
Infine:
P =
10.2 Pressione idrostatica
Esercizio 61 Calcola la pressione in fondo a una vasca piena d’acqua fino all’orlo e la cui altezza interna
è di 5 m.
La pressione sul fondo di una vasca piena d’acqua è data dalla somma della pressione che agisce sulla
superficie superiore dell’acqua (la pressione atmosferica po ) e la pressione idrostatica del liquido che sta
sopra il punto in cui vogliamo calcolare la pressione, cioè sul fondo della vasca, alla profondità h. L’altezza
interna della vasca coincide in questo caso con la profondità del liquido in essa contenuto, dal momento
che la vasca è riempita fino all’orlo.
La pressione atmosferica al livello del mare vale po = 1,013 × 105 Pa.
La pressione idrostatica p di un liquido alla profondità h è data dalla legge di Stevino:
p = Po + ρgh
(10.12)
dove ρ è la densità del liquido (ρH2 O = 1000 kg m−3 ) e g è l’accelerazione di gravità (9,81 m s−2 ).
Per cui
p = 1,013 × 105 Pa + 1000 kg m−3 · 9,81 m s−2 · 5 m =
= 1,013 × 105 Pa + 49050 kg m−3 · m2 s−2 = 101300 Pa + 49050 Pa = 152050 Pa
(10.13)
Esercizio 62 Calcola la pressione dell’acqua all’altezza di un rubinetto posto a 75 cm da terra, sapendo
che il serbatoio dell’acqua (pieno) che lo alimenta è posto a 11,8 m di altezza rispetto al suolo. La profondità
dell’acqua, alla base del serbatoio è 1,2 m.
In condizioni statiche (cioè quando il rubinetto è ancora chiuso e non scorre acqua nei tubi) possiamo
calcolare la pressione dell’acqua al rubinetto applicando la legge di Stevino. L’unica grandezza da considerare con attenzione è la profondità che compare nell’equazione. Questa non è certamente l’altezza
del rubinetto e neanche l’altezza assoluta della vasca, ma l’altezza relativa del pelo libero dell’acqua sulla
vasca rispetto all’imboccatura del rubinetto: quello che importa è l’altezza della colonna d’acqua sopra il
rubinetto.
h = hvasca + hprof. − hrub. = 11,8 m + 1,2 m − 75 cm = 13 m − 0,75 m = 12,25 m
Infine:
p = po + ρgh = 101300 Pa + 1000 kg m−3 · 9,81 m s−2 · 12,25 m =
101300 Pa + 120725 Pa = 221472 Pa
78
(10.14)
(10.15)
10.3 Tubo a U
10.3 Tubo a U
Esercizio 63 Supponiamo di avere a disposizione un tubo a U riempito di acqua, con l’estremità di sinistra
aperta, quello destra ermeticamente chiusa, il tutto all’equilibrio, come nell’illustrazione riportata. Il pelo
libero dell’acqua vale 67 cm a sinistra e 34 cm a destra:
1. La pressione dell’acqua sarà maggiore a destra o a sinistra e perché?
2. Quanto vale la pressione nel ramo di destra e di sinistra?
hs
hd
Il tubo rappresentato in figura sembra piuttosto differente da un classico tubo a U. In effetti la caratteristica principale di un tubo a U è quella di avere due imboccature alle estremità (non necessariamente in
verticale) e un liquido all’interno del tubo, possibilmente con il livello in entrambe le estremità superiore
al livello nel liquido tra le anse intermedie. Questa è la situazione illustrata nella nostra figura. Se il liquido
è all’equilibrio allora avere solo un ansa o numerose non cambia niente.
Per trovare la pressione del liquido nel tubo ad U usiamo la legge di Stevino e la legge dei vasi comunicanti. Il liquido deve essere incomprimibile.
In base alla legge dei vasi comunicanti, nel liquido posto nel tubo la pressione è la stessa allo stesso
livello. D’altra parte la pressione cambia con la profondità così come indicato dalla legge di Stevino.
Nel nostro caso la pressione dell’acqua è maggiore a destra perché il livello è più basso che nel ramo di
sinistra.
La pressione sul pelo libero dell’acqua a sinistra è la stessa dell’aria con la quale è in contatto e quindi
è la pressione atmosferica:
Ps = Po = 101300 Pa
(10.16)
Po
Ps
h
Pd
Per quanto riguarda il ramo di destra iniziamo considerando che la pressione nel liquido, allo stesso livello,
è uguale a destra e a sinistra. Quindi applicando la legge di Stevino ai punti del ramo di destra che si trovano
al livello di quello di sinistra possiamo scrivere:
Pd = Po + dgh
(10.17)
79
10 Statica dei fluidi
dove h è il dislivello tra i rami.
Infine:
h = 67 cm − 34 cm = 33 cm = 0,33 m
(10.18)
Pd = 101300 Pa + 1000 kg m−3 · 9,81 m s−2 · 0,33 m = 104537 Pa
(10.19)
10.4 Spinta di Archimede
Esercizio 64 Trova se un corpo di forma cubica, il cui spigolo vale 45 mm e la cui densità è 3000 kg m−3 ,
posto in acqua distillata galleggia oppure no.
Trova inoltre quanto vale la spinta di Archimede che il liquido esercita sul cubo.
Se un corpo è solido ed è immerso in un fluido allora galleggia se la sua densità è inferiore a quella del fluido; altrimenti affonda. In questo caso la densità del corpo (3000 kg m−3 ) è maggiore di quella
dell’acqua(1000 kg m−3 ) e quindi affonda.
La spinta di Archimede si trova con la formula:
SA = ρf Vf g
(10.20)
dove SA è la spinta di Archimede, ρf la densità del fluido e Vf il volume di liquido spostato.
Dobbiamo prima trovare il volume del corpo. Il corpo ha forma cubica quindi il suo volume è:
V = l3 = (45 mm)3 = (0,045 m)3 = 9,1125 × 10−5 m3
(10.21)
Il corpo affonda, quindi può rimanere totalmente immerso nel liquido. Infine, sostituendo i dati troviamo
che:
SA = 1000 kg m−3 · 9,1125 × 10−5 m3 · 9,81 m s−2 = 0,894 N
(10.22)
80
11 Fluidodinamica
11.1 Portata ed equazione di continuità
Esercizio 65 Un tubo rotondo, dal diametro interno di 15 mm, è attraversato e riempito completamente
da una corrente d’acqua con una velocità di 3 m/s. Trova:
1. la portata del tubo;
2. la velocità dell’acqua in una sezione del tubo dove il diametro si restringe a 12 mm.
1. La portata q può essere definita come il prodotto della sezione trasversale del tubo per la velocità
del fluido:
q = Sv
(11.1)
Il tubo è rotondo quindi la sezione ha forma circolare.
(
2
S = πr = π
15 mm
2
)2
= π(0,0075 m)2 = 0,0000177 m2
q = 0,0000177 m2 · 3 m/s = 0,00053 m3 /s
(11.2)
(11.3)
2. Per trovare la velocità dell’acqua della sezione ristretta applichiamo all’acqua l’equazione di continuità in quella sezione e in quella iniziale (possiamo applicare l’equazione di continuità in quanto
l’acqua è essenzialmente incomprimibile, il tubo è privo di perdite o sorgenti e stiamo supponendo
che la velocità del liquido sia la stessa in tutti i punti della sezione ).
(
S2 = π
12 mm
2
v2 =
S1 v1 = S2 v2
(11.4)
= π(0,006 m)2 = 0,0000113 m2
(11.5)
)2
S1 v1
0,00053 m3 /s
=
= 4,69 m/s
S2
0,0000113 m2
(11.6)
81
11 Fluidodinamica
11.2 Legge di Bernoulli
Esercizio 66 Una vasca piena d’acqua, come rappresentato (non in scala) nella figura seguente, è dotata
alla sua base di un grosso tubo di sezione circolare. Il livello dell’acqua h1 rispetto alla linea che passa per
il centro del tubo è di 12 m. Il diametro della sezione S3 finale ed S1 iniziale del tubo è 12 cm; il diametro
della sezione centrale S2 è invece 15 cm. Calcola:
1. la pressione in condizioni statiche all’imboccatura del tubo;
2. la velocità dell’acqua, quando il tubo è aperto, all’imboccatura;
3. la velocità dell’acqua, quando il tubo è aperto, nel punto 2 della sezione centrale.
P2
P3
h1
S1
S2
S3
1. La pressione in condizioni statiche è quella idrostatica, quindi la pressione al centro dell’imboccatura
del tubo (chiuso) è data dalla legge di Stevino:
p = po + ρgh
(11.7)
dove po è la pressione atmosferica sulla vasca (al livello del mare vale 1,013 × 105 Pa), ρ è la densità
del liquido (ρH2 O = 1000 kg m−3 ), g è l’accelerazione di gravità (9,81 m s−2 ) e h è la profondità alla
quale stiamo considerando la pressione (in questo caso h1 , altezza relativa del pelo libero dell’acqua
nella vasca rispetto al centro dell’imboccatura). Quindi:
p = 1,013 × 105 Pa + 1000 kg m−3 · 9,81 m s−2 · 12 m = 219020 Pa
(11.8)
Questa è la pressione all’interno dell’imboccatura del tubo quando è chiuso (unico modo per garantire le condizioni statiche); all’esterno la pressione è quella atmosferica.
2. Tutto cambia quando il tubo è aperto. In condizione di equilibrio la pressione del liquido all’imboccatura è la stessa dell’aria oltre il tubo. Per trovare la velocità del liquido in un punto possiamo
applicare la legge di Bernoulli ad una linea di flusso del liquido passante per quel punto.
1
p + ρgh + ρv 2 = cost
2
(11.9)
Per applicare quella legge devono valere alcune condizioni:
a) Il liquido deve essere incomprimibile (perché la densità deve essere uniforme).
b) Dobbiamo considerare una linea di flusso, quindi il calcolo dev’essere riferito non all’imboccatura nel suo insieme, ma ad un particolare punto sulla stessa (prendiamo il punto P3 indicato
nella figura).
c) La legge va applicata a due punti della stessa linea di flusso. Oltre al punto P3 prendiamo un
punto sul pelo libero dell’acqua nella vasca (tutta l’acqua fluisce dalla sommità della vasca
all’imboccatura del liquido). Non importa sapere quale punto esatto passi per la nostra linea di
flusso perché tutti i punti sul pelo libero dell’acqua nella vasca hanno la stessa altezza, pressione
e velocità.
82
11.2 Legge di Bernoulli
d) Il liquido deve scorrere senza attrito, cioè senza dissipazione di energia.
e) Il percorso esatto della linea di flusso non ha in generale importanza. A noi interessa solo che
passi nei due punti considerati.
Un punto sul pelo libero dell’acqua nella vasca (nelle condizioni iniziali) ha pressione po (la pressione
atmosferica), altezza ho (possiamo considerarla nulla ponendo quel punto come livello di riferimento
e verso verso l’alto) e velocità vo (possiamo considerarla trascurabile dal momento che l’ampiezza
della vasca è verosimilmente molto maggiore delle dimensioni del tubo e il livello scende molto
lentamente). Inoltre sappiamo che po = p3 . Applichiamo la legge di Bernoulli:
1
1
po + ρgho + ρvo2 = p3 + ρgh1 + ρv32
2
2
(11.10)
1 2
ρv = −ρgh1
2 3
1 2
v = −gh1
2 3
(11.11)
√
√
v3 = −2gh1 = −2 · 9,81 m s−2 · −12 m = 15,3 m/s
(11.12)
(11.13)
Il segno negativo comparso nell’ultima equazione è dovuto all’orientazione data alle posizioni e
normalmente non compare nella maggior parte dei testi. In fine si annulla considerando che l’imboccatura del tubo è nella posizione −12 m rispetto a quella dell’acqua nella vasca.
3. Per calcolare la velocità del punto P2 nella sezione centrale possiamo applicare l’equazione di continuità in quanto tutto il fluido che entra nel tubo deve uscire dall’altra estremità. Operiamo come
nell’esercizio precedente.
v2 S2 = v3 S3
(11.14)
Se noi conosciamo la velocità del fluido nella sezione di uscita possiamo trovare la velocità nella
sezione centrale. Mettiamo in evidenza v2 nella precedente equazione.
Il tubo è rotondo quindi la sezione ha forma circolare.
(
2
S3 = πr = π
(
S2 = π
v2 =
12 cm
2
15 cm
2
)2
= π(0,06 m)2 = 0,0113 m2
(11.15)
)2
= π(0,075 m)2 = 0,0178 m2
v3 S3
15,3 m s−1 · 0,0113 m2
=
= 9,71 m/s
S2
0,0178 m2
(11.16)
(11.17)
In questa rappresentazione c’è tuttavia almeno una forzatura. La velocità del fluido nella sezione
non è uniforme. Come abbiamo visto nella precedente domanda la velocità dipende dall’altezza e
il tubo reale ha una certa altezza. In generale l’equazione di continuità va applicata ad un tubo
di flusso. Un sottile tubo di flusso al centro della condotta procederà in orizzontale fino all’uscita
della stessa, dove abbiamo considerato precedentemente la velocità. In pratica la valutazione fatta è
comunque sufficientemente rappresentativa di quel che può accadere in un tubo sottile attraversato
da un liquido a bassa velocità.
83
12 Termologia
12.1 Legge fondamentale della calorimetria
Esercizio 67 Calcola la quantità di calore necessaria ad innalzare la temperatura di 14 mg di ferro da
23 ◦C a 120 ◦C.
[Il calore specifico dell’acqua è 4186 J/(K kg)]
La legge fondamentale della calorimetria ci dice qual è la quantità di calore Q che dobbiamo fornire ad
un corpo di massa m e calore specifico c per variarne la temperatura da una temperatura iniziale Ti ad
una temperatura finale Tf .
Q = mc∆T = mc(Tf − Ti )
(12.1)
Tutte le unità di misura vanno espresse nel S.I.
Quindi in questo caso abbiamo che:
m = 14 mg = 14 × 10−3 g = 14 × 10−3 10−3 kg = 14 × 10−6 kg
Ti = 23 ◦C = 23 K + 273,15 K = 296,15 K
Tf
◦
= 120 C = 120 K + 273,15 K = 393,15 K
(12.2)
(12.3)
(12.4)
Quando abbiamo una variazione di temperatura ∆T possiamo usare indifferentemente gradi Celsius
o Kelvin in quanto gli intervalli di temperatura espressi in Celsius o Kelvin sono numericamente uguali.
Quindi in questo caso non era del tutto necessario convertire le temperature in Kelvin. Sostituiamo questi
dati nella legge.
Q = 14 × 10−6 kg · 4186
J
· (393, 15 − 296, 15)K = 0,61 J
K kg
(12.5)
12.2 Passaggi di stato
Esercizio 68 Calcolare la quantità di calore totale necessaria per far fondere 500 g di ghiaccio inizialmente a 0 ◦C e portarli alla temperatura di 17 ◦C.
[Il calore specifico dell’acqua è 4186 J/(kg K) e il calore latente di fusione è 333 kJ/K]
La legge fondamentale della calorimetria si può applicare solo a materiali che non subiscono un passaggio di stato nel salto di temperatura a cui vengono sottoposti. Durante il passaggio di stato la temperatura
(per una sostanza pura) rimane costante e il calore che è necessario fornire per completare la transizione
da una fase all’altra è detto calore latente (di fusione o di vaporizzazione).
Qui dobbiamo prima fare fondere completamente il ghiaccio e poi possiamo fare salire la temperatura
dell’acqua liquida fino alla temperatura finale.
Il primo passo è quello di calcolare quanto calore ci vuole per far fondere completamente l’acqua.
85
12 Termologia
(12.6)
Q = mλf
dove m è la massa della sostanza e λf è il calore latente, in questo caso di fusione, ovvero il calore che
è necessario fornire ad un chilogrammo di sostanza per farle compiere il passaggio di stato.
Il secondo passo è quello di applicare la legge fondamentale della calorimetria per portare l’acqua liquida
alla sua temperatura finale. Possiamo fare anche un grafico qualitativo della temperatura in funzione del
tempo (supponendo un riscaldamento costante) per meglio renderci conto di quello che stiamo facendo.
T (◦C)
17
0
t(s)
Tutte le unità di misura vanno espresse nel S.I. per coerenza con i parametri a nostra disposizione.
m = 500 g = 0,5 kg
(12.7)
(Tf − Ti ) = (17 ◦C − 0 ◦C) = 17 ◦C ≡ 17 K
(12.8)
Calore per fare fondere il ghiaccio:
Q = 0,5 kg · 333
kJ
kg
= 0, 5 · 333 × 103 J ·
= 166500 J
kg
kg
(12.9)
Calore per aumentare la temperatura dell’acqua liquida:
Q = 0,5 kg · 4186
J
· 17 K = 35581 J
kg K
(12.10)
Il calore che in totale dobbiamo fornire è quindi:
Q = 166500 J + 35581 J = 202081 J ≈ 202000 J
(12.11)
Esercizio 69 Calcolare la quantità di calore totale che dobbiamo assorbire da 23 kg di etanolo, inizialmente a 102 ◦C, per portarli alla temperatura di −5 ◦C. Tutto il processo avviene alla presenza di solo
etanolo tenuto alla pressione atmosferica.
Questo esercizio può essere risolto esattamente con lo stesso metodo utilizzato nell’esercizio precedente.
Qui dobbiamo fare attenzione alle particolari caratteristiche fisiche dell’etanolo. Guardando nelle opportune tabelle scopriamo che l’etanolo fonde a −114 ◦C e bolle a 78 ◦C. Quindi l’etanolo iniziale, se tenuto
alla pressione di 1 atm, si trova allo stato gassoso; a −5 ◦C invece è liquido. Il nostro raffreddamento dovrà
passare attraverso un passaggio di stato, da gassoso a liquido.
L’intero processo passa attraverso tre fasi.
86
12.2 Passaggi di stato
1. Da 102 ◦C a 78 ◦C (temperatura di condensazione): raffreddamento del vapore.
2. Condensazione completa a 78 ◦C: passaggio di stato con temperatura costante.
3. Da 78 ◦C a −5 ◦C: raffreddamento del liquido.
Possiamo rappresentare con un grafico qualitativo quanto deve succedere.
T (◦C)
102
78
−5
t(s)
Prima fase. Applichiamo la legge fondamentale della calorimetria.
Q = mc∆T = mc(Tf − Ti )
(12.12)
Il calore specifico dell’etanolo in fase gassosa a circa 100 ◦C vale 1800 J/(kg K) .
(Tf − Ti ) = (78 ◦C − 102 ◦C) = −24 ◦C ≡ −24 K
(12.13)
Il segno meno deriva dal fatto che stiamo raffreddando la sostanza.
Q1 = 23 kg · 1800
J
· (−24 K) = −993600 J
kg K
(12.14)
Seconda fase. Calore latente di evaporazione o condensazione (855000 J/kg).
(12.15)
Q = mλv
Q2 = 23 kg · 855000 J/kg = 23 · 855000 J ·
kg
= 19665000 J
kg
(12.16)
Terza fase. Applichiamo nuovamente la legge fondamentale della calorimetria. L’etanolo è ora in fase
liquida (c = 2430 J/(kg K)).
(Tf − Ti ) = (−5 ◦C − 78 ◦C) = −83 ◦C ≡ −83 K
(12.17)
J
· (−83 K) = −4638870 J
kg K
(12.18)
Q3 = 23 kg · 2430
Le tre quantità che abbiamo ottenuto devono avere lo stesso segno perché il processo è sempre di
raffreddamento. Il calore che in totale dobbiamo assorbire è quindi:
Qtot = Q1 + Q2 + Q3 = 993600 J + 19665000 J + 4638870 J = 25297470 J ≈ 25300000 J
(12.19)
87
12 Termologia
12.3 Conduzione del calore
Esercizio 70 Una finestra fatta di vetro è larga 166 cm e alta 89 cm; lo spessore del vetro è 12 mm; una
faccia si trova ad una temperatura di 21 ◦C e l’altra a 4 ◦C. (k = 0,7 W/(m K))
Calcola quanto calore fluisce attraverso la finestra ogni secondo.
Per dare risposta a questa domanda utilizziamo la legge di Fourier. La legge ci dice quanto calore Q fluisce attraverso una parete di area A e spessore L in un tempo ∆t, dove una parete si trova alla temperatura
T1 e l’altra alla temperatura T2 e con T2 > T1 :
Q=k
In questo caso:
(T2 − T1 )A∆t
L
(T2 − T1 ) = 21 ◦C − 4 ◦C = 17 ◦C ≡ 17 K
(12.20)
(12.21)
Le dimensioni della parete sono:
b = 166 cm = 1,66 m
(12.22)
h = 89 cm = 0,89 m
(12.23)
L = 12 mm = 0,012 m
(12.24)
A = bh = 1,66 m · 0,89 m = 1,4774 m2
(12.25)
L’area è quindi:
Il tempo ∆t vale 1 s.
Sostituendo tutte le grandezze nella legge abbiamo che:
Q = 0,7
W 17 K · 1,4774 m2 · 1 s
= 0,211 J
mK
0,012 m
(12.26)
Esercizio 71 Una stanza chiusa si trova ad una temperatura di 24 ◦C. Tutte le pareti sono perfettamente
isolanti tranne una finestra di 4 m2 costituita da uno strato di vetro (k = 1 W/(m K)) di spessore 7 mm,
uno strato d’aria (k = 0,026 W/(m K)) di spessore 3 mm ed uno strato di plexiglas (k = 0,19 W/(m K))
di spessore 4 mm. La temperatura esterna è di 4 ◦C.
Qual è la potenza termica dissipata attraverso la finestra?
In questo caso abbiamo un oggetto costituito da diversi strati di diverso materiale. Per trovare la risposta
useremo la legge di Fourier specifica.
(T2 − T1 )A∆t
Q=
(12.27)
L1
Ln
+ ... +
k1
kn
La differenza di temperatura tra le due pareti è:
(T2 − T1 ) = 24 ◦C − 4 ◦C = 20 ◦C ≡ 20 K
(12.28)
Sostituendo tutte le grandezze nella legge abbiamo che:
Q
=
∆t
88
17 K · 4 m2 · 1 s
= 474 W
0,007 m
0,003 m
0,004 m
+
+
1 W/(m K) 0,026 W/(m K) 0,19 W/(m K)
(12.29)
12.4 Dilatazione termica
Esercizio 72 Il cofano di auto è esposto al sole: è di forma rettangolare, largo 160 cm e alto 95 cm.
Si trova alla temperatura di 70 ◦C. Sapendo che il coefficiente di emissione vale 0, 9 trova l’energia
irradiata dal cofano mantenendo quella temperatura per 3 ore.
Possiamo applicare in questo caso la legge di Stefan-Boltzmann, che lega la potenza P irradiata da un
corpo con la sua temperatura assoluta T , cioè espressa in Kelvin; S è la superficie radiante, ϵ il coefficiente
di emissione e σ la costante di Stefan-Boltzmann.
P = ϵσST 4
(12.30)
S = bh = 160 cm · 95 cm = 1,60 m · 0,95 m = 1,52 m2
(12.31)
T = 70 ◦C = 343,15 K
(12.32)
P = 0, 9 · 5,67 × 10−8 W/ m2 K4 · 1,52 m2 · (343,15 K)4 = 1196 W
(12.33)
In questo caso:
Infine l’energia irradiata in 3 ore vale:
E = P t = 1196 W · 3 h = 1196 W · 3 · 3600 s = 12,9 × 106 J
(12.34)
12.4 Dilatazione termica
Esercizio 73 Una parete di vetro spessa 13 mm, alta 80 cm e larga 320 cm è esposta a variazioni di
temperatura di 45 ◦C tra inverno ed estate. Le dimensioni indicate si riferiscono a quelle che si hanno alla
temperatura più bassa. Se la cornice della vetrina non può allargarsi di più di 2 mm, riuscirà la vetrina a
non rompersi a causa della dilatazione termica?
La vetrina per dilatazione termica si allarga in tutte e tre le sue dimensioni, ma in questo caso siamo
interessati solo al suo allargamento e quindi ad una dilazione lineare.
La legge della dilazione lineare lega la lunghezza L di un oggetto che si trova alla temperatura t con la
sua lunghezza L0 ad una temperatura di riferimento t0 .
L = L0 (1 + α(t − t0 ))
(12.35)
dove α è il coefficiente di dilazione lineare per il materiale considerato. Nel nostro caso t−t0 è la variazione
di temperatura tra inverno ed estate, L0 è la larghezza della vetrina alla temperatura più bassa e L la
larghezza alla temperatura più alta. Il valore di α lo ricaviamo dalle tabelle. Quindi:
L = 320 cm(1 + 0,8 × 10−5
1
◦C
· 45 ◦C) = 3,20 m(1 + 3,60 × 10−4 ) = 3,2012 m
(12.36)
Per cui l’allungamento è:
∆(L) = L − L0 = 3,2012 m − 3,2000 m = 0,0012 m = 1,2 mm
(12.37)
La vetrina non si romperà.
89
12 Termologia
12.5 Gas perfetti e legge dei gas perfetti
Esercizio 74 Un recipiente indeformabile contiene 10 mol di gas perfetto alla temperatura di 200 ◦C.
Sapendo che P V = 23 Pa m3 calcola quanti litri di gas contiene il recipiente.
La legge dei gas perfetti è
P V = nRT
(12.38)
dove P è la pressione, V il volume, n il numero di moli, R = 8,134 J/ mol K la costante dei gas perfetti e
T la temperatura (assoluta) del gas. Nel nostro caso l’unica grandezza incognita è il volume.
Per cui mettiamo in evidenza il volume nella nostra relazione.
V =
nRT
10 mol · 8,314 J/ mol K
=
= 3,61 m3
P
23 Pa
(12.39)
Esercizio 75 Una bombola di gas contiene 50 litri di O2 alla pressione di 50 atm e alla temperatura di
40 ◦C. Determina la massa del gas nel S.I.
La legge dei gas perfetti è P V = nRT , dove, in particolare, n è il numero di moli.
Il numero di moli è dato dal rapporto tra la massa m del gas e la sua massa molare M M . Quest’ultima
è numericamente uguale alla massa molecolare, ma espressa in grammi invece che in unità atomiche. A
sua volta la massa molecolare è la somma dei masse atomiche degli elementi della molecola. Se abbiamo
ossigeno (massa atomica 16 u) biatomico, la sua massa molecolare è pari a 32 u circa.
Quindi, conoscendo numero di moli e massa molecolare, possiamo determinare la massa del gas. Trasformiamo innanzitutto le grandezze date in unità del S.I.
V = 50 l = 0,05 m3
(12.40)
P = 50 atm = 5066250 Pa
(12.41)
T = 40 ◦C = 313 K
(12.42)
Ricaviamo il numero di moli dalla legge dei gas perfetti:
n=
PV
5066250 Pa · 0,05 m3
=
= 97,3 mol
RT
8,314 J/ mol K · 313 K
m
MM
m = nM M = 97,3 mol · 32 g = 3114 g = 3,114 kg
n=
90
(12.43)
(12.44)
(12.45)
13 Termodinamica
13.1 Primo principio della termodinamica
Esercizio 76 Un sistema cede 345 J all’ambiente circostante compiendo un lavoro di 200 J.
Quanto vale la variazione di energia interna?
Applichiamo al sistema il primo principio della termodinamica:
∆U = Q − L
(13.1)
dove Q è il calore scambiato dal sistema con l’ambiente (lo consideriamo negativo se il sistema lo cede
all’ambiente) e L è il lavoro che il sistema compie (positivo se è compiuto sull’ambiente).
Secondo le convenzioni date possiamo scrivere:
∆U = (−345 J) − (200 J) = −545 J
(13.2)
Esercizio 77 Un sistema termodinamico può passare da uno stato iniziale a uno finale compiendo due
diverse trasformazioni termodinamiche. Nella prima assorbe 510 cal ed esegue un lavoro di 1396 J, mentre
nella seconda il calore assorbito è pari a 1510 cal.
Determina nel S.I. il lavoro eseguito nella seconda trasformazione.
Il sistema termodinamico dato compie trasformazioni diverse tra due medesimi stati. Ogni variabile di
stato deve assumere lo stesso valore a parità di stato. L’energia interna del sistema, che è una variabile
di stato, subirà quindi la stessa variazione nelle due trasformazioni. Allora applichiamo il primo principio
della termodinamica al sistema:
∆U = Q − L
(13.3)
Eguagliamo la variazione di energia interna per le due trasformazioni e mettiamo in evidenza il lavoro
eseguito nella seconda trasformazione.
Q1 − L1 = ∆U = Q2 − L2
L2 = Q2 − Q1 + L1 = 1510 cal − 510 cal + 1396 J = 6312 J − 2132 J + 1396 J = 5526 J
(13.4)
(13.5)
(Una caloria equivale a circa 4,186 J).
Esercizio 78 Un sistema termodinamico esegue in 12 min una trasformazione ciclica durante la quale
scambia 30 cal e −17 cal rispettivamente con due sorgenti a diversa temperatura.
Calcola nel S.I. la potenza sviluppata nel ciclo.
Se la trasformazione è ciclica si ritorna nello stesso stato iniziale e tutte le variabili di stato riassumono
lo stesso valore: la loro variazione, per ogni ciclo, è nulla.
91
13 Termodinamica
Per quanto riguarda l’energia interna possiamo scrivere:
(13.6)
∆U = 0 J
Applichiamo il primo principio della termodinamica al ciclo:
∆U = Qtot − Ltot
(13.7)
Ltot = Q1 + Q2 = 30 cal + (−17 cal) = 13 cal = 54,3 J
(13.8)
La potenza del ciclo è infine:
P =
L
54,3 J
=
= 0,075 W
t
12 · 60 s
(13.9)
13.2 Trasformazioni termodinamiche e gas perfetti
Esercizio 79 In una trasformazione termodinamica a pressione costante 3 mol di gas perfetto monoatomico aumentano il loro volume da 34 l a 78 l. La pressione vale 2 atm.
1. Quanto vale la temperatura iniziale e finale del gas?
2. Quanto vale il calore scambiato, il lavoro compiuto?
3. Quanto vale la variazione di energia interna?
Abbiamo un gas perfetto per cui possiamo applicare la legge dei gas perfetti per ricavare la temperatura
dalle grandezze già a noi note. La legge dei gas perfetti è:
(13.10)
P V = nRT
dove P è la pressione, V il volume, n il numero di moli, R = 8,314 J/ mol K la costante dei gas e T la
temperatura (assoluta). Nel nostro caso l’unica grandezza incognita è la temperatura.
2 atm = 2 · 101300 Pa = 202600 Pa
(13.11)
34 l = 34 · 0,001 m3 = 0,034 m3
(13.12)
78 l = 78 · 0,001 m = 0,078 m
(13.13)
3
3
1. Ricaviamo la temperatura:
Ti =
P Vi
202600 Pa · 0,034 m3
=
= 276 K
nR
3 mol · 8,314 J/(mol K)
(13.14)
Tf =
P Vf
202600 Pa · 0,078 m3
=
= 634 K
nR
3 mol · 8,314 J/(mol K)
(13.15)
2. La trasformazione considerata mantiene costante la pressione ovvero è isobara.
Per questa trasformazione con i gas perfetti vale la seguente relazione:
Q = nCp (Tf − Ti )
(13.16)
dove Cp è il calore specifico molare per una trasformazione isobara.
Tuttavia abbiamo una relazione per determinare direttamente il solo calore specifico per una trasformazione isocora Cv (a volume costante):
Cv =
92
1 + 2k
R
2
(13.17)
13.2 Trasformazioni termodinamiche e gas perfetti
dove k = 1 per un gas monoatomico, k = 2 per un gas biatomico e così via.
Ma la relazione di Mayer stabilisce un legame con il nostro Cp :
Cp = Cv + R
(13.18)
Quindi nel nostro caso, poiché abbiamo un gas monoatomico, possiamo scrivere:
3
5
Cp = R + R = R
2
2
(13.19)
5
Q = 3 mol · ( · 8,314 J/(mol K)) · (634 K − 276 K) = 22323 J
2
(13.20)
Infine il calore scambiato è:
Per quanto riguarda il lavoro vale la seguente relazione:
L = p(Vf − Vi ) = 202600 Pa · (0,078 m3 − 0,034 m3 ) = 8914 J
(13.21)
3. Per trovare la variazione di energia interna del sistema possiamo applicare il primo principio della
termodinamica o una apposita relazione valida per i gas perfetti: procediamo in entrambi i modi
verificando che il risultato è lo stesso.
Applichiamo il primo principio della termodinamica, attribuendo al lavoro e al calore scambiati il
segno precedentemente ottenuto:
∆U = (22323 J) − (8914 J) = 13409 J
(13.22)
Oppure usiamo l’opportuna relazione per una trasformazione isobara di un gas perfetto (l’uso del
calore specifico molare a volume costante non è un errore):
3
∆U = nCv (Tf − Ti ) = 3 mol · ( · 8,314 J/(mol K)) · (634 K − 276 K) = 13394 J
2
(13.23)
I due valori ottenuti, se pur estremamente simili, non sono numericamente identici a causa degli
arrotondamenti introdotti fin dal calcolo delle due temperature.
93
13 Termodinamica
Esercizio 80 Nella trasformazione termodinamica rappresenta in figura 32 moli di gas perfetto triatomico subiscono tre trasformazioni successive per compiere il ciclo ABC. La trasformazione CA è una
isoterma.
1. Calcola la temperatura negli stati di equilibrio A, B e C.
2. Calcola il lavoro compiuto nelle tre trasformazioni e il lavoro totale compiuto nel ciclo.
3. Calcola il calore scambiato dal gas nelle tre trasformazioni e il calore totale scambiato con l’ambiente nel ciclo.
4. Calcola la variazione di energia interna del gas nelle tre trasformazioni e complessivamente nel
ciclo, verificando che il primo principio della termodinamica sia verificato.
5. La trasformazione termodinamica rappresentata è quella di un motore o di una pompa di calore?
Spiega in due parole.
P (atm)
10
A
B
2
0
C
100
500
V (l)
1. Abbiamo un gas perfetto di cui conosciamo, nei tre stati illustrati, quasi tutte le variabili di stato,
tranne la temperatura che possiamo quindi ricavare con la legge dei gas perfetti.
P V = nRT
(13.24)
Esprimiamo innanzi tutto le grandezze date nel sistema internazionale.
pA = pB = 10 atm = 10 · 101300 Pa = 1013000 Pa
pC = 2 atm = 2 · 101300 Pa = 202600 Pa
VA = 100 l = 100 · 0,001 m3 = 0,100 m3
(13.25)
VB = VC = 500 l = 500 · 0,001 m3 = 0,500 m3
TA = (TC ) =
TB =
pA VA
1013000 Pa · 0,100 m3
=
= 381 K
nR
32 mol · 8,314 J/ mol K
1013000 Pa · 0,500 m3
pB VB
=
= 1904 K
nR
32 mol · 8,314 J/ mol K
(13.26)
(13.27)
2. Le trasformazioni rappresentate nella figura sono tre: a A a B abbiamo una isobara; da B a C una
isocora e da C ad A una isoterma.
Lavoro
Il lavoro compiuto nella trasformazione AB è:
LAB = p(Vf − Vi ) = pA (VB − VA ) = 1013000 Pa · (0,500 m3 − 0,100 m3 ) = 405200 J (13.28)
94
13.2 Trasformazioni termodinamiche e gas perfetti
Nelle trasformazioni a volume costante con un gas perfetto il lavoro compiuto è nullo:
LBC = 0 J
Per la trasformazione CA possiamo scrivere:
( )
Vf
LCA = nRT ln
=
Vi
(
( )
)
VA
0,100 m3
J
· 382 K · ln
nRTA ln
= 32 mol · 8,314
= −163140 J
VC
mol K
0,500 m3
(13.29)
(13.30)
Il lavoro compiuto nel ciclo è:
Ltot = LAB + LBC + LCA = 405200 J + 0 J + (−163140 J) = 242060 J
(13.31)
3. Calore
Il calore scambiato nella trasformazione AB è:
QAB = nCp (Tf − Ti ) = nCp (TB − TA )
(13.32)
dove, per un gas biatomico k = 2 e:
Cp = Cv + R =
1 + 2k
5
7
R+R= R+R= R
2
2
2
7
J
· 8,314
· (1904 K − 382 K) = 1418168 J
2
mol K
Analogamente nella trasformazione BC:
QAB = 32 mol ·
QBC = nCv (Tf − Ti ) = nCv (TC − TB )
QBC = 32 mol ·
5
J
· 8,314
· (381 K − 1904 K) = −1012978 J
2
mol K
(13.33)
(13.34)
(13.35)
(13.36)
Infine nella trasformazione CA:
QCA = LCA = −163140 J
(13.37)
Il calore totale scambiato dal sistema nel ciclo è:
Qtot = QAB + QBC + QCA = 1418168 J + (−1012978 J) + (−163140 J) = 242050 J (13.38)
4. Energia interna
La variazione dell’energia interna in un ciclo è zero perché l’energia interna è una variabile di stato.
Se applichiamo il primo principio della termodinamica:
∆U = Q − L = 242050 J − 242060 J = −10 J
(13.39)
Il valore trovato è prossimo allo zero (è circa un decimillesimo rispetto al calore scambiato o al lavoro
compiuto): lo scostamento dallo zero è dovuto alle approssimazioni introdotte nei calcoli.
Possiamo considerare il primo principio verificato.
Calcoliamo la variazione di energia interna nelle singole trasformazioni.
∆UAB = nCv (Tf − Ti ) =
J
5
· (1904 K − 381 K) = 1012978 J
nCv (TB − TA ) = 32 mol · · 8,314
2
mol K
(13.40)
95
13 Termodinamica
La trasformazione è isobara, ma nelle relazione si usa Cv .
∆UBC = nCv (Tf − Ti ) =
5
J
· (381 K − 1904 K) = −1012978 J
nCv (TC − TB ) = 32 mol · · 8,314
2
mol K
(13.41)
Infine (dal momento che l’energia interna in un gas perfetto varia solo con la temperatura) abbiamo:
(13.42)
∆UCA = 0 J
La variazione totale è:
∆Utot = ∆UAB + ∆UBC + ∆UCA = 1012313 J + (−1012313 J) + (0 J) = 0 J
(13.43)
5. Motore o pompa di calore
Il ciclo considerato complessivamente assorbe calore dall’ambiente (il calore totale è positivo) e
compie lavoro sull’ambiente (il lavoro totale è positivo): quindi è il ciclo di un motore o macchina
termica. Ciò poteva anche essere evidenziato dal fatto che le trasformazioni considerate compiono
un percorso in senso orario nel piano P V .
Esercizio 81 Nella trasformazione termodinamica rappresenta in figura 12 moli di gas perfetto monoatomico subiscono tre trasformazioni successive per compiere il ciclo ABC.
La trasformazione CA è una isoterma. La temperatura nel punto A è 1200 K e in B 300 K.
1. Calcola la pressione negli stati di equilibrio A, B e C.
2. Calcola il lavoro compiuto nelle tre trasformazioni e il lavoro totale compiuto nel ciclo.
3. Calcola il calore scambiato dal gas nelle tre trasformazioni e il calore totale scambiato con l’ambiente nel ciclo.
4. Calcola la variazione di energia interna del gas nelle tre trasformazioni e complessivamente nel
ciclo, verificando che il primo principio della termodinamica sia verificato.
5. La trasformazione termodinamica rappresentata è quella di un motore o di una pompa di calore?
Spiega in due parole.
P (Pa)
A
B
0
C
100
400 V (l)
1. Abbiamo un gas perfetto di cui conosciamo, nei tre stati illustrati, quasi tutte le variabili di stato,
tranne la pressione che possiamo quindi ricavare con la legge dei gas perfetti.
P V = nRT
Esprimiamo innanzi tutto le grandezze date nel sistema internazionale.
96
(13.44)
13.2 Trasformazioni termodinamiche e gas perfetti
VA = VB = 100 l = 100 · 0,001 m3 = 0,100 m3
VC = 400 l = 400 · 0,001 m3 = 0,400 m3
pA =
nRTA
12 mol · 8,314 J/ mol K · 1200 K
= 1197216 Pa
=
VA
0,100 m3
(13.45)
(13.46)
nRTB
12 mol · 8,314 J/ mol K · 300 K
=
) = 299304 Pa
(13.47)
VB
0,100 m3
Le trasformazioni rappresentate nella figura sono tre: a A a B abbiamo una isocora; da B a C una
isobara e da C ad A una isoterma.
pB = (pC ) =
2. Lavoro
Nelle trasformazioni a volume costante con un gas perfetto il lavoro compiuto è nullo:
LAB = 0 J
(13.48)
Il lavoro compiuto nella trasformazione BC è:
LBC = p(Vf − Vi ) = pB (VC − VB ) = 299304 Pa · (0,400 m3 − 0,100 m3 = 89791 J
Per la trasformazione CA possiamo scrivere:
( )
Vf
LCA = nRT ln
=
Vi
(
)
( )
0,100 m3
J
VA
· 1200 K · ln
= 12 mol · 8,314
= −165969 J
nRTC ln
VC
mol K
0,400 m3
(13.49)
(13.50)
Il lavoro compiuto nel ciclo è:
Ltot = LAB + LBC + LCA = 0 J + 89791 J + (−165969 J) = −76178 J
(13.51)
3. Calore
Il calore scambiato nella trasformazione AB è:
QAB = nCv (Tf − Ti ) = nCv (TB − TA )
(13.52)
dove, per un gas monoatomico k = 1:
1 + 2k
3
R= R
2
2
3
5
Cp = Cv + R = R + R = R
2
2
3
J
QAB = 12 mol · · 8,314
· (300 K − 1200 K) = −134687 J
2
mol K
Analogamente nella trasformazione BC:
Cv =
QBC = nCp (Tf − Ti ) = nCp (TC − TB )
QBC = 12 mol ·
5
J
· 8,314
· (1200 K − 300 K) = 224478 J
2
mol K
(13.53)
(13.54)
(13.55)
(13.56)
(13.57)
Infine nella trasformazione CA:
QCA = LCA = −165969 J
(13.58)
Il calore totale scambiato dal sistema nel ciclo è:
Qtot = QAB + QBC + QCA = (−134687 J) + 224478 J + (−165969 J) = −76178 J
(13.59)
97
13 Termodinamica
4. Energia interna
La variazione dell’energia interna in un ciclo è zero perché l’energia interna è una variabile di stato.
Se applichiamo il primo principio della termodinamica:
∆U = Q − L = −76178 J − (−76178 J) = 0 J
(13.60)
Il primo principio è verificato.
Calcoliamo la variazione di energia interna nelle singole trasformazioni.
∆UAB = nCv (Tf − Ti ) =
3
J
nCv (TB − TA ) = 12 mol · · 8,314
· (300 K − 1200 K) = −134687 J
2
mol K
(13.61)
∆UBC = nCv (Tf − Ti ) =
(13.62)
3
J
nCv (TC − TB ) = 12 mol · · 8,314
· (1200 K − 300 K) = 134687 J
2
mol K
Infine (dal momento che l’energia interna in un gas perfetto varia solo con la temperatura) abbiamo:
∆UCA = 0 J
(13.63)
La variazione totale è:
∆Utot = ∆UAB + ∆UBC + ∆UCA = (−134687 J) + 134687 J + (0 J) = 0 J
(13.64)
5. Motore o pompa di calore
Il ciclo considerato complessivamente cede calore all’ambiente (il calore totale è negativo) e l’ambiente compie lavoro sul sistema (il lavoro totale è negativo): quindi è il ciclo di una pompa di
calore.
Ciò poteva anche essere evidenziato dal fatto che le trasformazioni considerate compiono un percorso in senso antiorario nel piano P V .
98
14 Onde ed oscillazioni
14.1 Relazione fondamentale per le onde
Esercizio 82 Onde meccaniche si propagano in un mezzo con frequenza 16 Hz e lunghezza d’onda λ =
2400 cm . Calcola la velocità di propagazione.
La relazione fondamentale che riguarda tutte le onde è quella che lega la frequenza ν alla lunghezza
d’onda λ e alla velocità di propagazione dell’onda v per quella frequenza: λν = v.
Esprimiamo tutte le grandezze nel S.I. e sostituendo nella formula otteniamo che:
λν = 2400 cm · 16 Hz = 24 m · 16 Hz = 24 m/s × 16 m/s = 384 m/s
(14.1)
14.2 Onde stazionarie in una corda
Esercizio 83 Una corda fissata ad entrambe le estremità è lunga 7,5 m ed ha una massa di 0,185 kg. Essa
è sottoposta ad una tensione di 150 N e viene fatta oscillare.
1. Qual è la velocità delle onde nella corda?
2. Qual è la massima lunghezza d’onda per un un’onda stazionaria?
3. Determinare la frequenza di quest’onda.
√
F
La velocità di propagazione di un’onda in una corda può essere espressa come v =
µ dove F è la
m
tensione a cui è sottoposta la corda e µ = l è la massa lineare della corda, definita come il rapporto tra
la massa della corda e la sua lunghezza. Quindi:
√
√
F
150 N · 7,5 m
v=
=
= 78 m−1 s−1
(14.2)
µ
0,185 kg
La lunghezza di un’onda stazionaria è tale per cui la corda è lunga un numero intero di mezze lunghezze
d’onda: l = n λ2 ovvero λ = 2l
n.
La massima lunghezza d’onda si ha quindi per n = 1.
λ=2·
7,40 m
= 15 m
1
(14.3)
In generale per un’onda abbiamo che velocità, lunghezza d’onda e frequenza sono legate dalla relazione
v = λν. Quindi:
15 m
λ
ν= =
= 0,18 Hz
(14.4)
v
78 ms
99
14 Onde ed oscillazioni
14.3 Acustica
Esercizio 84 Vogliamo misurare la profondità di un pozzo lasciando cadere un sasso sul suo fondo, ascoltando dopo quanto tempo sentiamo il tonfo del sasso. Sentiamo il tonfo dopo 2,1 s.
Trascurando l’attrito dell’aria determina qual è la profondità del pozzo, dapprima trascurando la velocità di propagazione del suono e poi considerando anche questa.
Se trascuriamo la propagazione del suono commettiamo un errore significativo?
Primo modello
Il moto di un sasso che cade in un pozzo può essere visto come un moto uniformemente accelerato, con
velocità e posizione iniziale nulle. Consideriamo un sistema di riferimento orientato verso il basso, con
l’origine nella posizione iniziale. Allora possiamo scrivere che la distanza x percorsa è:
1
x = gt2
2
(14.5)
Dove g è l’accelerazione di gravità e t il tempo impiegato. Sostituendo i dati otteniamo:
x=
1
· 9,81 m s−2 · (2,1 s)2 = 21,6 m
2
(14.6)
Secondo modello
Se consideriamo anche il tempo di propagazione del suono ts , da quando il sasso colpisce il fondo del
pozzo a quando il suono arriva alle nostre orecchie, allora abbiamo che:
(14.7)
ttot = tc + ts
dove abbiamo indicato con ttot il tempo misurato e con tc il tempo impiegato dal sasso a cadere.
Dobbiamo trovare una nuova relazione che leghi il tempo misurato con lo spazio percorso. Una prima
relazione è la legge del moto uniformemente accelerato che abbiamo già scritto. Ora però il tempo è solo
tc . Mettiamo in evidenza tc e scriviamo che:
√
1 2
2x
x = gtc ;
tc =
(14.8)
2
g
Il suono si propaga di moto rettilineo uniforme con velocità v = 343 m/s in condizioni standard.
v=
x
;
ts
Infine abbiamo:
ts =
√
ttot = tc + ts =
x
v
2x x
+
g
v
Questa è un’equazione irrazionale in x. Isoliamo la radice:
√
2x
x
= ttot −
g
v
(14.9)
(14.10)
(14.11)
Facciamo il quadrato di entrambi i membri:
2ttot
x2
2x
= t2tot −
x+ 2
g
v
v
Portiamo tutto a primo membro e otteniamo un’equazione di secondo grado in x:
(
)
x2
ttot 1
−2
x + t2tot = 0
+
v2
v
g
100
(14.12)
(14.13)
14.3 Acustica
Dove:
(
1
= 8,50 × 10−6 s2 m−2 ;
v2
2
ttot 1
+
v
g
)
= 0,216 s2 m ;
t2tot = 4,41 s2
(14.14)
Se risolviamo l’equazione otteniamo due radici: x1 = 20,4 m e x2 = 25405 m. Solo la prima ha significato
fisico per il nostro problema.
A questo punto possiamo osservare che, poiché il tempo misurato ha solamente due cifre significative,
allora anche le distanze trovate avrebbero dovuto essere indicate con due cifre significative.
I risultati ottenuti dai due modelli dovrebbero essere così indicati:
xa = 22 ± 1 m;
xb = 20 ± 1 m
(14.15)
I due risultati, nel limite dell’incertezza, si sovrappongono (21 m è una misura compatibile con entrambe
le misure). Il modello non ha fornito miglioramenti significativi nei risultati finali.
Osserviamo infine che una persona con un cronometro in mano, che volesse misurare il tempo intercorso tra le caduta del sasso e il suono del tonfo, avrebbe non poca difficoltà ad ottenere un tempo preciso
al decimo di secondo, come indicato nei dati iniziali del problema.
Esercizio 85 Abbiamo un’onda armonica descritta dall’equazione d’onda y = 5 cos(3x − 8t).
Di quest’onda trova:
l’ampiezza massima, la lunghezza d’onda, la frequenza e la velocità di propagazione.
L’ampiezza massima è data dal termine che moltiplica la funzione trigonometrica: 5 m.
La lunghezza d’onda λ si può ricavare dal numero d’onda k che è il coefficiente della x.
k=
2π
3
=
;
λ
m
2π
m
3
λ=
(14.16)
La frequenza ν si può ricavare dalla frequenza angolare ω che è il coefficiente della t.
ω=
2π
8
= 2πν = ;
T
s
ν=
8
1
=
Hz
2πs
4π
(14.17)
La velocità v è legata alla frequenza e alla lunghezza d’onda:
v = λν =
2π 1
2π 1 m
1
m Hz =
= m/s
3 4π
3 4π s
6
(14.18)
Esercizio 86 Un treno in avvicinamento a velocità costante ad un passaggio a livello emette un fischio a
500 Hz, che viene udito dal casellante a 600 Hz.
1. Qual è la velocità del treno?
2. Quale sarà la frequenza del fischio quando il treno si allontanerà dal passaggio a livello?
Il fenomeno che caratterizza gli eventi descritti è l’effetto Doppler , in particolare il caso di una sorgente sonora in movimento e l’ascoltatore fermo. Se f è la frequenza del suono emesso dall’oggetto in
movimento, f ′ la frequenza udita dall’ascoltatore, u la velocità dell’oggetto in movimento e v la velocità
di propagazione del suono nell’aria, allora vale la seguente relazione:
(
)
1
′
f =
f
(14.19)
1 ± uv
101
14 Onde ed oscillazioni
dove il segno da usare è il più se l’oggetto si avvicina all’ascoltatore, il meno altrimenti.
Mettiamo quindi in evidenza, in questa relazione, la velocità u.
f′ = (
1
)f
v−u
v
v−u
f
v u
f
f′
u
= ′;
− = ′;
1−
=
v
f
v
v
f
f
v
(
(
)
)
′
f
600 Hz
u=v 1−
= 343 m/s 1 −
= −68,6 m/s
f
500 Hz
(14.20)
(14.21)
(14.22)
La frequenza del suono udito deve essere maggiore di quella emessa perché il treno si sta avvicinando.
La velocità trovata è negativa perché il treno, in questa rappresentazione, si sta muovendo verso sinistra,
mentre il verso positivo dell’asse x è verso destra.
Invece quando il treno si allontana, muovendosi verso destra, possiamo scrivere che la frequenza udita
è:
1
1
(
) 500 Hz = 417 Hz
)
f′ = (
(14.23)
u f =
68,6 m/s
1+ v
1+
343 m/s
102
15 Ottica
15.1 Specchio piano
Esercizio 87 Un oggetto alto 35 cm è posto davanti ad uno specchio piano verticale alla distanza di 20 cm.
1. A che distanza apparirà l’immagine dell’oggetto?
2. Qual è l’altezza dell’immagine?
3. Qual è l’ingrandimento lineare risultante?
L’immagine di uno specchio piano è sempre virtuale e la sua distanza q dalla specchio è uguale alla distanza p dell’oggetto reale dalla specchio stesso. Queste distanze non sono legate alla distanza di
osservazione dallo specchio, come mostrato nella figura seguente.
q = p = 20 cm = 0,20 m
(15.1)
Anche l’altezza dell’immagine hi è uguale a quella quell’oggetto ho .
hi = ho = 35 cm = 0,35 m
(15.2)
Di conseguenza l’immagine non appare ingrandita e l’ingrandimento lineare è unitario.
M=
hi
0,35 m
=
=1
h0
0,35 m
(15.3)
103
15 Ottica
Esercizio 88 Una signora deve comprare uno specchio tale da potersi osservare per intero, dalla testa ai
piedi. La signora è alta 165 cm e gli occhi stanno 7 cm più in basso della cima del capo.
1. A che altezza massima Bs deve essere posto lo specchio?
2. Fino a che altezza hs deve arrivare lo specchio?
E
D
C
B
A
Lo specchio è uno specchio piano. Rappresentiamo graficamente la situazione illustrata. Vediamo che
\ e CDE.
\ Per le
i raggi provenienti dagli occhi si riflettono sullo specchio BD formando i triangoli CBA
proprietà di uno specchi piano i raggi incidenti e quelli riflessi formano, con la normale al piano nel punto
di incidenza, lo stesso angolo. Di conseguenza i due triangoli sono isosceli.
L’altezza della signora è:
(15.4)
h = AE = 165 cm
La distanza degli occhi dalla cima del capo è:
CE = 8 cm
(15.5)
CA = AE − CE = 165 cm − 8 cm = 157 cm
(15.6)
Da cui:
Il punto B (base dello specchio) si trova a metà del segmento CA:
Bs =
CA
157 cm
=
= 78,5 cm
2
2
(15.7)
Analogamente il punto d (altezza dello specchio) si trova a metà del segmento CE quindi:
hs = CA +
CE
8 cm
= 157 cm +
= 161 cm
2
2
(15.8)
In tutta questa trattazione bisogna notare che la distanza tra la persona e lo specchio non interviene mai.
Se lo specchio è troppo piccolo non miglioreremo alcunché allontanandoci o avvicinandoci allo stesso.
104
15.2 Specchio sferico
15.2 Specchio sferico
Esercizio 89 Una candela alta 10 cm è posta a 40 cm di distanza da uno specchio sferico concavo il cui
raggio di curvatura è 60 cm.
1. Trova la distanza focale dello specchio, la posizione e l’altezza dell’immagine e il suo ingrandimento
lineare.
2. Rappresenta con un disegno quanto trovato.
Per uno specchio sferico la distanza focale è la metà del raggio di curvatura.
f=
R
60 cm
=
= 30 cm
2
2
(15.9)
Per trovare la posizione p′ dell’immagine possiamo usare la legge dei punti coniugati, dove p è la distanza
dell’oggetto dal vertice dello specchio:
1
1
1
+ =
(15.10)
p p′
f
Ora possiamo mettere in evidenza p′ :
1
1 1
= −
′
p
f
p
p′ =
fp
30 cm · 40 cm
=
= 120 cm
p−f
40 cm − 30 cm
(15.11)
(15.12)
L’ingrandimento lineare G è dato dal rapporto tra l’altezza h′ dell’immagine e l’altezza h dell’oggetto,
o, per uno specchio sferico concavo, dal rapporto tra p′ e p.
h′
p′
120 cm
=
=
=4
h
p
30 cm
(15.13)
h′ = Gh = 3 · 10 cm = 30 cm
(15.14)
G=
Da questa relazione possiamo ricavare h′ :
105
15 Ottica
15.3 Lente sottile
Esercizio 90 Se si guarda attraverso una lente di ingrandimento di 15 diottrie un oggetto distante 4 cm
dalla lente, a quale distanza dalla lente appare l’immagine?
Per una lente sottile le diottrie sono l’inverso della distanza focale:
1
D=
f
(15.15)
Per cui la distanza focale della lente è (in metri):
1
1
=
= 6,6 cm
(15.16)
D
15 m−1
Per una lente sottile vale la legge dei punti coniugati ; conosciamo la distanza p dell’oggetto dal centro
della lente, la distanza focale f e quindi possiamo ricavare la distanza p′ dell’immagine.
f=
1
1
1
+ ′ =
p p
f
6 cm · 4 cm
fp
=
= −12 cm
p−f
4 cm − 6 cm
L’immagine è virtuale (lo capiamo dal segno negativo).
p′ =
(15.17)
(15.18)
Esercizio 91 Guardando attraverso una lente convergente sottile un oggetto posto a distanza 60 cm dalla
lente se ne osserva un’immagine ingrandita del 134% .
A quanti metri dalla lente si è formata l’immagine?
L’ingrandimento per una lente sottile è definito come:
q f q − f G= =
=
p
p−f f (15.19)
dove p è la distanza dell’oggetto dalla lente, q la distanza dell’immagine e f la distanza focale della lente.
Ricaviamo q conoscendo G e p:
q = Gp = 134% · 60 cm = 1, 34 · 0,60 m = 0,80 m
(15.20)
Esercizio 92 Un oggetto viene osservato attraverso una lente di ingrandimento da 5 diottrie posta a 15 cm
dall’oggetto stesso. Qual è l’ingrandimento dell’immagine?
Come nell’esercizio precedente l’ingrandimento della lente è:
q f q − f G= =
=
p
p−f f (15.21)
Conosciamo la distanza p dell’oggetto dalla lente. Dobbiamo conoscere o la distanza q o la distanza focale
f.
La diottria di una lente è il reciproco della distanza focale. Ricaviamo quindi la distanza focale:
1
1
f= =
= 0,20 m
d
5 m−1
f 0,20 m
= 4 = 400%
G=
=
p − f 0,15 m − 0,20 m 106
(15.22)
(15.23)
15.4 Rifrazione di un mezzo
15.4 Rifrazione di un mezzo
Esercizio 93 Un raggio di luce viene parzialmente riflesso dalla superficie di separazione aria/vetro sotto
un angolo di 49° parzialmente rifratto sotto un angolo di 31°.
Determina l’indice di rifrazione del vetro.
Abbiamo due mezzi, rispettivamente di indice di rifrazione n1 e n2 , attraversati da un raggio di luce.
Il raggio preveniente dal primo mezzo incide sulla superficie di separazione col secondo mezzo e poi
attraversa quest’ultimo. La legge di Snell stabilisce un legame tra l’angolo di incidenza α del raggio che
attraversa il primo mezzo e l’angolo di rifrazione β che attraversa il secondo:
(15.24)
n1 sin(α) = n2 sin(β)
L’indice di rifrazione dell’aria vale circa uno. Quindi possiamo determinare l’indice di rifrazione del vetro:
n2 = n1
sin(α)
sin(49°)
0.754
=1·
=
= 1,46
sin(β)
sin(31°)
0.515
(15.25)
Esercizio 94 Un fascio di luce ha una lunghezza d’onda di 5350 Å quando si propaga in un mezzo di
indice di rifrazione assoluta 1, 5. Determinare la frequenza.
Esercizio 95 Un prisma di vetro, a facce piane, che formano un angolo di 60°, è investito da un raggio
di luce monocromatico. Il raggio forma un angolo di 30° rispetto alla normale alla faccia incidente, come
evidenziato in figura.
Trova se il raggio riesce ad attraversare il prisma e che angolo forma con la normale all’altra faccia.
A
b
α
β
u
B
b
b
b
Il raggio incidente la prima faccia del prisma passa da un mezzo con indice di rifrazione na = 1 (l’aria) ad
un mezzo con indice di rifrazione maggiore nv = 1, 45 (il vetro). Per conoscere l’angolo del raggio rifratto
applichiamo la legge di Snell. Ci dovremmo aspettare che il raggio rifratto formi rispetto alla normale un
angolo inferiore a quello del raggio incidente.
na sin(β) = nv sin(γ)
Da cui:
sin(γ) =
na
sin(β)
nv
(15.26)
(15.27)
107
15 Ottica
(
γ = arcsin
)
(
)
na
1
sin(β) = arcsin
· sin(30°) ≃ 20,2°
nv
1, 45
(15.28)
Tracciamo di conseguenza il raggio v fino ad incontrare il seconda faccia del prisma nel punto che
chiamiamo C (vedi figura seguente). In quel punto tracciamo la perpendicolare alla faccia. Questa retta
incontra la precedente perpendicolare nel punto che chiamiamo D.
Il quadrilatero ABCD, in quanto tale, ha la somma degli angoli interni che vale 360°. In particolare,
\ = DCA
\ = 90° e che α = 60°.
per costruzione, sappiamo che ABD
Per cui:
\ = 360° − ABD
\ − DCA
\ − α = 120°
BDC
(15.29)
Se guardiamo al triangolo BDC possiamo trovare la misura dell’angolo δ:
\ = 180° − 20,17° − 120° = 39,8°
δ = 180° − γ − BDC
(15.30)
A questo punto il raggio v potrebbe sia rifrangersi sulla seconda faccia del prisma o riflettersi totalmente,
qualora l’angolo formato con la normale superasse l’angolo limite per il vetro rispetto all’aria. Infatti il
nostro raggio v si sta portando da un mezzo più rifrangente (il vetro) ad un mezzo meno rifrangente (l’aria).
Troviamo questo angolo limite.
θl = arcsin(
1
1
) = 43,6°
) = arcsin(
nv
1, 45
(15.31)
Poiché d < 43,6° siamo ora sicuri che il raggio verrà rifratto e uscirà dalla secondo faccia del prisma.
Applichiamo la legge di Snell anche a questa situazione per determinare l’angolo di uscita del raggio
rifratto. Questa volta ci aspettiamo che il raggio rifratto si allontani dalla normale, dal momento che il
raggio sta passando da un mezzo con un indice di rifrazione maggiore ad uno con indice di rifrazione
minore.
Da cui:
nv sin(δ) = na sin(ϵ)
(15.32)
nv
sin(δ)
na
(
)
(
)
nv
1, 45
ϵ = arcsin
sin(δ) = arcsin
· sin(39,8°) ≃ 68,1°
na
1
(15.33)
sin(ϵ) =
A
b
α
β
u
B
C
v
b
γ
ε
b
δ
w
b
D
b
b
108
(15.34)
15.5 Due fenditure
15.5 Due fenditure
Esercizio 96 Due fenditure piane e parallele, distanti 0,05 mm, sono investite dalla luce di una lampada
ai vapori di sodio. Questa lampada emette soprattutto luce di due lunghezze d’onda ravvicinate (λ1 =
589,0 nm e λ1 = 589,6 nm). La luce diffratta viene osservata su uno schermo piano posto a l = 2 m dalle
fenditure.
1. Determina la distanza tra la prima frangia chiara e la prima frangia scura sullo schermo di osservazione sia per la prima riga spettrale del sodio che per la seconda.
2. Le due figure di interferenza si disturberanno a vicenda o risulteranno quasi sovrapposte?
Se della luce monocromatiche investe due sottili fenditure molto vicine tra loro è facilmente possibile
osservare l’interferenza tra i raggi che escono dalle due fenditure. Se θ è l’angolo formato dalla direzione
di osservazione sullo schermo piano rispetto al piano delle fenditure allora la condizione per la formazione
di frange chiare, ovvero dei massimi di interferenza è:
d sin θc = nλ
(15.35)
Dove d è la distanza tra le fenditure e n è un numero intero che stabilisce l’ordine della frangia. Mentre la
condizione per le frange scure è:
1
(15.36)
d sin θs = (n + )λ
2
Scegliamo n = 0. Di conseguenza la prima frangia chiara si troverà per sin θc = 0 quindi per θc = 0°.
Invece per la prima frangia scura possiamo scrivere:
1
d sin θs = λ
2
sin θs =
θs = arcsin(
λ1
2d
λ1
589,0 × 10−9 m
) = arcsin(
) = 0,337°
2d
2 · 0,05 × 10−3 m
(15.37)
(15.38)
(15.39)
La distanza lineare sullo schermo di osservazione tra la frangia centrale per θc = 0° e la prima scura
θs = 0,337° è data da:
L = l tan(θs ) = 2 m · tan(0,337°) = 0,0117 m = 11,7 mm
(15.40)
Ripetiamo i calcoli con la seconda riga spettrale. Otteniamo:
θs = 0,338°;
L = 0,0118 m = 11,8 mm
(15.41)
Di conseguenza le due righe spettrali daranno le prime frange del tutto sovrapposte, esaltando ancor
più il fenomeno dell’interferenza.
109
16 Elettrostatica
16.1 Forza di Coulomb tra due corpi puntiformi carichi
Esercizio 97 Due corpi puntiformi dotati rispettivamente di carica q1 = −47 µ C e q2 = 62 µ C sono
posti nel vuoto alla distanza d = 33 cm. Calcola l’intensità della forza elettrostatica tra i due corpi e
indica nella figura seguente direzione e verso della forza che agisce su ognuno.
d
q1
q2
La legge di Coulomb stabilisce quale debba essere la forza che intercorre tra due oggetti carichi puntiformi, di carica q1 e q2 , posti nel vuoto a distanza d l’uno dall’altro, dove ϵo è la costante dielettrica del
vuoto. Nella nostra figura i portatori di carica sono stati disegnati come dei cerchi, per renderli meglio
visibili.
Per cui l’intensità della forza elettrostatica tra i due corpi è:
F =
−6 C)(62 × 10−6 C)
2
1 q1 q2
9 N m (47 × 10
=
9
×
10
4πϵ0 d2
(0,33 m)2
C2
=
(16.1)
N m2 C2
9 · 47 · 62
· 10(9−6−6) 2 2 = 241 N
0, 1089
C m
Le cariche sono state prese entrambe senza segno perché non serve per determinare l’intensità della
forza. Il segno relativo delle cariche ci dice però se la forza è attrattiva (cariche di segno opposto, come in
questo caso), o repulsiva (cariche dello stesso segno).
La forza F⃗12 che agisce sulla corpo di carica q1 posta in presenza del corpo di carica q2 è uguale e
contraria alla forza F⃗21 che agisce sul corpo di carica q2 posta in presenza del corpo di carica q1 . La
direzione delle due forze è nell’asse che congiunge i due corpi.
Possiamo completare la figura in questo modo:
F⃗12
q1
d
F⃗21
q2
Nel linguaggio normalmente usato anche in quest’opera di seguito, per semplicità si usa parlare non di
corpi dotati di carica, ma semplicemente di cariche. Deve essere sempre chiaro che la carica da sola non
può esistere senza un corpo che ne sei dotato.
111
16 Elettrostatica
16.2 Campo elettrico di due cariche nel vuoto
Esercizio 98 Due cariche q1 = −2,3 µ C e q2 = −7,5 µ C sono poste nel vuoto come indicato nella figura
seguente. Le distanze indicate sono d1 = 39 cm e d2 = 59 cm. Determina:
1. qual è l’intensità del campo elettrico generato da ciascuna carica nel punto P ;
2. direzione e verso del campo elettrico di ciascuna carica;
3. direzione e verso del campo elettrico totale nel punto P aggiungendolo alla figura.
q1
d2
P
d1
q2
Il campo elettrico è una grandezza vettoriale per la quale vale il principio di sovrapposizione, cioè il
campo di due sorgenti in un punto dello spazio è dato dalla somma vettoriale del campo generato dalle
due sorgenti prese singolarmente. Il campo totale delle due cariche nel punto P è:
⃗ =E
⃗1 + E
⃗2
E
(16.2)
Il campo di un carica puntiforme, in punto P a distanza d dalla carica stessa, nel vuoto vale:
1 q
4πϵ0 d2
Per l’intensità del campo delle due cariche possiamo scrivere:
⃗ )| =
|E(P
(16.3)
−6 C
2
2
9 · 2,3
1 q1
(9−6) N m C
9 N m 2,3 × 10
=
·
10
= 1,36 × 105 N/C (16.4)
=
9
×
10
4πϵ0 d21
0,1521
C2 (0,39 m)2
C2 m2
2
1 q2
N m2 7,5 × 10−6 C
9 · 7,5
(9−6) N m C
=
·
= 1,94 × 105 N/C (16.5)
10
E2 (P ) =
= 9 × 109
2
2
2
4πϵ0 d2
(0,59 m)2
0,3481
C
C m2
E1 (P ) =
La carica q1 è negativa per cui il suo campo nel punto P è un vettore applicato in quel punto, la cui
direzione è data dalla congiungente tra la carica e il punto, ed è orientato verso la carica stessa.
Anche la carica q2 è negativa per cui il suo campo nel punto P è un vettore applicato in quel punto, la
cui direzione è data dalla congiungente tra la carica e il punto, ed è orientato verso la carica stessa.
Il campo totale è la somma vettoriale dei due campi: possiamo trovarlo per via grafica con la regola del
parallelogramma. Tutto ciò è rappresentato nella figura seguente in via qualitativa.
d2
⃗1
E
q1
⃗ tot
E
P
⃗2
E
112
d1
q2
16.3 Campo elettrico di altre distribuzioni di carica
16.3 Campo elettrico di altre distribuzioni di carica
Esercizio 99 Una carica q = −2,3 µ C è distribuita uniformemente su un filo rettilineo lungo 26 dm.
Trova, in modulo direzione e verso, il campo da essa prodotto in punto P posto a distanza r = 2,3 cm da
esso, lontano dai suoi bordi.
Il campo elettrico di un filo uniformemente carico e di lunghezza finita è assimilabile ad una distribuzione lineare ed infinita se ci troviamo relativamente vicini al filo e lontani dai suoi estremi, come indicato
in questo esercizio. Per cui il modulo del campo, con sufficiente approssimazione, vale:
E=
λ
2πϵ0 r
(16.6)
dove λ è la densità di carica lineare del filo e r è la distanza dal filo.
q
2,3 µ C
2,3 × 10−6 C
=
=
= 8,85 × 10−7 C/m
l
26 dm
2,6 m
(16.7)
8,85 × 10−7 C/m
= 6,91 × 106 N/C
2 · 3, 1415 · 8,854 × 10−12 F m−1 · 0,023 m
(16.8)
λ=
E=
Il campo ha direzione perpendicolare alla direzione del filo ed è diretto verso di esso, perché la carica in
esso distribuita è negativa.
Esercizio 100 Una carica q = 8,3 mC è distribuita uniformemente su due superfici rettangolari parallele, larghe 66 dm e alte 45 dm, poste a distanza ravvicinata tra loro. La superficie di destra è caricata
negativamente e l’altra positivamente.
Trova, in modulo direzione e verso, il campo da esse prodotto in punto P posto a distanza r = 2,3 cm
dalla superficie di destra, lontano dai bordi e in un punto posto tra le due superfici, sempre lontano dai
loro bordi.
Il campo elettrico di una superficie piana uniformemente carica e di estensione finita è assimilabile ad
una distribuzione piana e infinita se ci troviamo relativamente vicini alla superficie e lontani dai suoi bordi,
come indicato in questo esercizio.
Per cui il modulo del campo prodotto da una sola superficie, con sufficiente approssimazione, vale:
σ
2ϵ0
(16.9)
q
q
8,3 × 10−3 C
8,3 × 10−3 C
= 2,79 × 10−4 C/m2
=
=
=
S
bh
6,6 m · 4,5 m
29,7 m2
(16.10)
E=
dove σ è la densità di carica superficiale.
σ=
Se abbiamo due superfici piane di uguale carica, ma segno opposto, il campo all’esterno delle superfici
è nullo. Il campo nel punto P è quindi nullo.
Nello spazio tra le superfici, in punto qualsiasi, purché sufficientemente distanti dai bordi, il campo
raddoppia rispetto al caso di una sola superficie.
E=2
σ
2,79 × 10−4 C/m
=
= 3,2 × 107 N/C
2ϵ0
8,854 × 10−12 F m−1
(16.11)
Il campo ha direzione perpendicolare ai due piani ed è diretto dalla superficie caricata positivamente a
quella caricata negativamente.
113
16 Elettrostatica
16.4 Teorema di Gauss
Esercizio 101 Una carica puntiforme q = 10 mC è posta all’interno di una sfera di raggio 12 cm. Determina il flusso del campo elettrico attraverso la sfera.
Il teorema di Gauss per l’elettrostatica in forma globale lega il flusso del campo elettrico attraverso
una superficie chiusa con la somma algebrica delle cariche elettriche presenti all’interno della superficie
secondo questa relazione:
⃗ = Σqi
Φs (E)
(16.12)
ε0
Per cui:
⃗ =
Φs (E)
10 × 10−3 C
= 1,13 × 109 Nm2 /C
8,854 × 10−12 F m−1
(16.13)
Esercizio 102 Una scatola cubica, il cui spigolo misura 47 cm, è investita da un campo elettrico perpendicolare alla faccia di destra e sinistra, come indicato nella figura. Il campo sulla faccia destra misura
13 N/C e sulla faccia sinistra 38 N/C.
⃗2
E
⃗1
E
Quanto vale la carica netta presente all’interno del cubo?
Per trovare la carica totale eventualmente posta dentro la superficie delimitata dal cubo possiamo utilizzare il teorema di Gauss per l’elettrostatica in forma globale per legare il flusso del campo elettrico attraverso quella superficie chiusa con la somma algebrica delle cariche elettriche presenti all’interno della
superficie stessa.
⃗ = Σqi
Φtot (E)
(16.14)
εo
Determiniamo il flusso del campo elettrico attraverso il cubo.
Il flusso di un vettore ⃗v attraverso una superficie infinitesima dS di direzione ⃗n (dove ⃗n è un vettore
unitario perpendicolare alla superficie che ne dà la direzione) vale:
dΦs (⃗v ) = ⃗v · ⃗n dS = |⃗v |dS cos(θ)
(16.15)
dove abbiamo preso il prodotto scalare tra i vettori ⃗v e ⃗n, e θ è l’angolo tra i due vettori.
Se la superficie è estesa, ma piana, come sulle facce del cubo, e il campo vettoriale è uniforme sulla
superficie, si può ancora usare la formula precedente, estendendola a tutta la superficie. Il flusso totale su
tutta il cubo sarà la somma algebrica dei flussi attraverso tutte le facce.
Dobbiamo quindi dare una orientazione alla superficie data. La scegliamo, secondo l’usuale convenzione,
in modo che la direzione ⃗n di ogni elemento piano di superficie sia perpendicolare all’elemento stesso e
uscente dalla superficie, come indicato nella seguente figura:
114
16.4 Teorema di Gauss
⃗n
L’area di una faccia del cubo è:
S = l2 = (47 cm)2 = (0,47 m)2 = 0,221 m2
⃗2
E
⃗n
(16.16)
⃗1
E
Consideriamo la faccia destra. Vediamo dalla figura che il campo è verso sinistra e il versore della
superficie verso destra: l’angolo tra i due vettori è 180°. Per cui:
⃗ = |E
⃗ 1 |S cos(180°) = 13 N/C · 0,221 m2 · (−1) = −2,872 Nm2 /C
Φdestra (E)
(16.17)
Consideriamo la faccia sinistra. Vediamo dalla figura che il campo e il versore della superficie sono verso
sinistra: l’angolo tra i due vettori è 0°. Per cui:
⃗ = |E
⃗ 2 |S cos(0°) = 38 N/C · 0,221 m2 · (1) = 8,394 Nm2 /C
Φsinistra (E)
(16.18)
Il flusso sulle altre facce è nullo perché da esse non esce o entra alcun campo, per cui il flusso totale del
campo elettrico attraverso il cubo vale:
⃗ = Φdestra (E)
⃗ + Φsinistra (E)
⃗ = −2,872 Nm2 /C + 8,394 Nm2 /C = 5,522 Nm2 /C
Φtot (E)
(16.19)
Infine la carica netta presente dentro il cubo vale:
⃗ εo = 5,525 Nm2 /C · 8,854 × 10−12 F m−1 = 4,89 × 10−11 C
Σqi = Φtot (E)
(16.20)
115
16 Elettrostatica
16.5 Lavoro ed energia potenziale
Esercizio 103 Si consideri una carica puntiforme Q = 10 C ferma all’origine degli assi. Determina il
lavoro fatto per spostare un’altra carica Q = 5,0 C dall’infinito al punto di coordinate (0,0 m; 1,0 m;
0,0 m), assumendo che durante lo spostamento la velocità della particella sia trascurabile.
Abbiamo almeno due possibilità per determinare questo lavoro: o determinando il lavoro direttamente
dalla definizione di lavoro di una forza o considerando la variazione di energia potenziale del sistema.
I metodo
Il lavoro compiuto da una forza F per spostare il suo punto di applicazione da un punto a ad un punto
b è:
∫ b
⃗
L=
F⃗ · dr
(16.21)
a
⃗ è il prodotto scalare della forza in punto per lo spostamento infinitesimo dr.
dove F⃗ · dr
Siamo in questo caso costretti ad usare la più complicata formula integrale per il lavoro dal momento
che la forza non rimane costante durante lo spostamento della particella carica.
Il lavoro è quello fatto dalla forza di Coulomb che agisce sulla seconda carica a causa della presenza
della prima. La forza di Coulomb è:
1 q1 q2
⃗r
(16.22)
F⃗ =
4πϵo |⃗r|3
⃗ é:
Il prodotto scalare F⃗ · dr
⃗ cos(α) = −|F⃗ ||dr|
⃗ = − q1 q2 dr
|F⃗ ||dr|
(16.23)
4πϵ r2
La seconda carica viene da una posizione non meglio precisata posta all’infinito: possiamo immaginare
che durante tutto lo spostamento la forza e lo spostamento elementare abbiamo la stessa direzione.
Inoltre, dal momento che entrambe le cariche sono positive, la forza è repulsiva e quindi il suo verso è
opposto a quello dello spostamento elementare. Di conseguenza l’angolo α è 180° e il coseno vale −1.
Per cui l’integrale diventa:
[ ]b
∫ b
∫ b
∫
q1 q2 dr
q1 q2 b dr
q1 q2
1
⃗
⃗
L=
F · dr =
−
=−
=−
(16.24)
−
2
2
4πϵo r
4πϵo a r
4πϵo
r a
a
a
La distanza iniziale è infinita (a = ∞). La distanza finale invece può essere trovare con la usuale distanza
euclidea tra due punti (la posizione finale della prima e seconda carica).
√
b = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 m =
(16.25)
√
= (0 − 0)2 + (0 − 1)2 + (0 − 0)2 m = 1 m
Quindi il lavoro è:
[
]
1
N m2
−1
q1 q2
1
−
= −9 × 109
(10 C)(5 C)
L=−
+
= 4,5 × 1011 J
2
4πϵo
1m ∞
1m
C
(16.26)
II metodo
La forza di Coulomb è una forza conservativa. Ad essa è associata una energia potenziale. Il lavoro della
forza è la differenza tra l’energia potenziale nella configurazione iniziale e quella finale.
L = Ui − Uf
(16.27)
L’energia potenziale di due cariche è:
U=
116
1 q1 q2
4πϵo r12
(16.28)
16.5 Lavoro ed energia potenziale
dove r12 è la distanza tra le due cariche. Quindi:
(
)
1 q1 q2
q1 q2
1
1
1 q1 q2
−
=
−
L=
=
4πϵo a
4πϵo b
4πϵo ∞ 1 m
N m2
1
= 9 × 109
(10 C)(5 C)
= 4,5 × 1011 J
2
1m
C
(16.29)
L’indicazione dataci sul fatto che la seconda particella non abbia acquistato velocità stava ad indicare
che tutto il lavoro svolto doveva contribuire all’aumento di energia potenziale e non di energia cinetica.
Osserviamo infine che il primo metodo è evidentemente più complicato rispetto al secondo, tanto più
che abbiamo potuto semplificare non di poco l’integrale da calcolare: non conviene quasi mai usare quella
strategia per risolvere questo tipo di problemi.
Esercizio 104 Ai vertici di tre lati consecutivi di un quadrato di lato 39 cm sono poste rispettivamente le
tre cariche puntiformi q1 = 10 mC, q2 = 46 mC e q3 = 72 mC, come indicato in figura.
1. Trova l’energia potenziale del sistema.
2. Trova l’energia potenziale del sistema se aggiungiamo una carica q4 = 22 mC nel vertice rimasto
libero.
q4
q3
q1
q2
L’energia potenziale di un insieme di cariche puntiformi è uguale (a meno di una costante) alla somma
dell’energia potenziale di ogni singola coppia di cariche presente nel sistema, come calcolato nell’esercizio precedente. Si suole considerare come nulla l’energia potenziale delle cariche se queste sono poste a
distanza infinita l’una dall’altra.
Il nostro sistema è costituito inizialmente da tre cariche. Le coppie possibili sono tre. Possiamo quindi
scrivere che l’energia potenziale totale del sistema è:
U12 =
U123 = U12 + U23 + U31
(16.30)
1 q1 q2
N m2 (10 × 10−3 C)(46 × 10−3 C)
= 9 × 109
= 1,06 × 107 J
4πϵo r12
0,39 m
C2
(16.31)
N m2 (46 × 10−3 C)(72 × 10−3 C)
1 q2 q3
= 9 × 109
= 7,64 × 107 J
4πϵo r23
0,39 m
C2
La distanza tra la carica 3 ed 1 è la diagonale del quadrato:
√
√
r31 = 2l = 2 · 0,39 m = 0,55 m
U23 =
1 q3 q1
N m2 (72 × 10−3 C)(10 × 10−3 C)
= 9 × 109
= 1,18 × 107 J
2
4πϵo r31
0,55
m
C
Quindi l’energia potenziale del sistema è:
U31 =
U123 = 1,06 × 107 J + 7,64 × 107 J + 1,18 × 107 J = 9,9 × 107 J
(16.32)
(16.33)
(16.34)
(16.35)
Se adesso aggiungiamo al sistema una quarta carica l’energia potenziale del nuovo sistema è uguale
alla somma delle sei coppie di cariche ora presenti, oppure all’energia potenziale del vecchio sistema più
l’energia potenziale delle coppie tra la carica nuova ed ognuna delle precedenti.
117
16 Elettrostatica
U1234 = U123 + U41 + U42 + U43
(16.36)
U41 =
1 q4 q1
N m2 (22 × 10−3 C)(10 × 10−3 C)
= 9 × 109
= 5,1 × 106 J
4πϵo r41
0,39 m
C2
(16.37)
U42 =
1 q4 q2
N m2 (22 × 10−3 C)(46 × 10−3 C)
= 9 × 109
= 1,66 × 107 J
4πϵo r42
0,55 m
C2
(16.38)
U43 =
N m2 (22 × 10−3 C)(72 × 10−3 C)
1 q4 q3
= 9 × 109
= 3,65 × 107 J
4πϵo r43
0,39 m
C2
(16.39)
Quindi l’energia potenziale del sistema è:
U1234 = 9,88 × 107 J + 5,1 × 106 J + 1,66 × 107 J + 3,65 × 107 J = 1,57 × 108 J
(16.40)
Esercizio 105 Trova a che distanza riescono ad arrivare due particelle puntiformi di carica q = 14 mC e
massa m = 2,45 nKg poste nel vuoto, con una energia potenziale di 1,0 × 106 J, se una delle due procede
verso l’altra con una velocità v = 23000 km/s.
Si supponga che la prima particella rimanga ferma.
Tra due oggetti puntiformi di ugual carica agisce una forza repulsiva che tende a respingerli. La forza
coulombiana tra i corpi è una forza conservativa, l’unica forza che agisce nel sistema. Possiamo quindi
applicare il principio di conservazione dell’energia meccanica (intesa come somma dell’energia potenziale
e cinetica del sistema) e ricavare questa energia nelle condizioni iniziali.
Quando invece le particelle, procedendo una verso l’altra, raggiungono la minima distanza di avvicinamento, l’energia cinetica si annulla, dal momento che le particelle si fermano entrambe (la loro velocità
reciproca si annulla). Allora l’energia meccanica sarà la stessa iniziale, ma sarà costituita solo da energia
potenziale. L’unica grandezza incognita sarà la distanza tra le particelle che è la grandezza che stiamo
cercando.
Calcoliamo l’energia cinetica e meccanica iniziale.
1
1
Ki = mv 2 = 2,45 nKg (23000 km/s)2 =
2
2
1
= 2,45 × 10−9 Kg (23000 × 103 m/s)2 = 648000 J
2
(16.41)
Em = Ui + Ki = 1000000 J + 648000 J = 1648000 J
(16.42)
Uf = Emf = Emi
(16.43)
L’energia potenziale di un sistema di due cariche puntiformi è data dalla seguente relazione:
U=
1 q1 q2
4πϵo r12
(16.44)
Mettiamo in evidenza la distanza r12 fra le due cariche:
r12 =
118
1 q1 q2
N m2 (14 × 10−3 C)(14 × 10−3 C)
= 9 × 109
= 1,1 m
4πϵo Uf
1648000 J
C2
(16.45)
16.6 Potenziale elettrostatico
16.6 Potenziale elettrostatico
Esercizio 106 Si consideri una carica puntiforme q = 5,0 mC ferma nel punto (0,0 m; −5,0 m; 4,0 m).
Determina il potenziale elettrostatico generato dalla carica nel punto (3,0 m; 1,0 m; 2,0 m).
Il potenziale elettrostatico di un carica puntiforme q in un punto dello spazio a distanza r dalla carica
stessa vale:
1 q
V =
(16.46)
4πϵ r
Nell’usare questa espressione si suppone implicitamente che sia noto il potenziale in un punto a distanza
infinita e che lì sia nullo. In questo caso la distanza r vale:
√
r = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 m =
√
(16.47)
= (3 − 0)2 + (1 + 5)2 + (2 − 4)2 m =
√
= 9 + 36 + 4 m = 7 m
Infine:
V = 9 × 109
N m2 4 mC
= 5,1 × 106 V
C2 7 m
(16.48)
Esercizio 107 Si considerino tre cariche puntiformi: q1 = 5,0 mC ferma nel punto (0,0 m; −5,0 m);
q2 = 12 mC nel punto (−5,0 m; 4,0 m); q3 = −4,0 mC nel punto (2,0 m; 8,0 m).
Determina il potenziale elettrostatico generato dalle cariche nel punto P (1,0 m; 2,0 m).
Come abbiamo visto nel precedente esercizio il potenziale elettrostatico di un carica puntiforme q in un
punto dello spazio a distanza r dalla carica stessa vale:
V =
1 q
4πϵ r
(16.49)
Per il potenziale elettrostatico vale il principio di sovrapposizione, quindi il potenziale di un distribuzione
di cariche in un punto è semplicemente la somma algebrica del potenziale in quel punto delle singole
cariche.
Calcoliamo le tre distanze e i tre potenziali.
√
√
√
√
r1 = (xp − x1 )2 + (yp − y1 )2 m = (1 − 0)2 + (2 + 5)2 m = 1 + 49 m = 50 m
(16.50)
√
√
√
√
r2 = (xp − x2 )2 + (yp − y2 )2 m = (1 + 5)2 + (2 − 4)2 m = 36 + 4 m = 40 m
√
√
√
√
r3 = (xp − x3 )2 + (yp − y3 )2 m = (1 − 2)2 + (2 − 8)2 m = 1 + 36 m = 37 m
(16.51)
(16.52)
Infine:
(
)
q1 q2 q3
1
+
+
=
V = V1 + V2 + V3 =
4πϵ r1 r2 r3
)
(
2
0,005 C 0,012 C −0,004 C
9 Nm
(16.53)
√
= 9 × 10
+ √
+ √
=
C2
50 m
40 m
37 m
N m2
C
C
C
= 9 × 109
(0,707 × 10−4 + 18,97 × 10−4 − 0,657 × 10−4 ) = 1,75 × 1010 V
2
m
m
m
C
119
16 Elettrostatica
Esercizio 108 Calcola il lavoro necessario per spostare una carica q = −2,45 mC in un campo elettrico
uniforme da un punto A a un punto B, e dal punto A al punto C (come rappresentato in figura), sapendo
che l’intensità del campo è 1500 N/C e che la distanza tra i due punti è 25 mm.
C
⃗
E
A
B
Un modo per determinare il lavoro compiuto dalle forze elettriche nello spostamento di una carica attraverso il campo elettrico è quello di misurare la differenza di potenziale tra i due punti. Infatti:
VA − VB =
LAB
q
(16.54)
Inoltre esiste un legame tra campo elettrico e variazione di potenziale lungo una certa direzione.
⃗ = −∇V
E
(16.55)
Più semplicemente, se siamo in una dimensione e il campo elettrico è costante:
⃗
⃗ · ∆l
VA − VB = E
(16.56)
⃗ è il vettore spostamento tra il punto A e il puntoB.
dove ∆l
Nel nostro caso nella direzione AB il campo e lo spostamento hanno la stessa direzione e verso quindi
il lavoro che le forze del campo devono fare per spostare la carica q dal punto A al punto B vale:
LAB = (VA − VB )q = E(∆l)q cos(0°) = 1500 N/C · 0,025 m · (−2,45 × 10−3 C) = −0,092 J (16.57)
Invece nella direzione AC il campo e lo spostamento sono perpendicolari quindi il lavoro è nullo.
LAC = (VA − VC )q = E(∆l)q cos(90°) = 0 J
(16.58)
Esercizio 109 Si consideri un guscio sferico metallico di raggio R = 3,0 cm tenuto ad un potenziale
costante V = 50 V. Determina:
1. la carica totale depositata sulla sfera;
2. il campo elettrostatico in un punto che dista R/3 dal centro della sfera.
In un guscio sferico la carica si distribuisce uniformemente. All’esterno del guscio, a partire dalla sua
superficie, il potenziale ed il campo elettrico in un punto dello spazio è lo stesso che si avrebbe se la carica
fosse posta in un solo punto al centro della sfera.
Come negli esercizi precedenti possiamo ancora scrivere:
V =
1 q
4πϵ r
(16.59)
Noi conosciamo il potenziale sulla superficie e il raggio della sfera: possiamo ricavare la carica q.
q = V 4πϵr
= (50 V)
120
(
1
9
9 × 10 N2 m/ C2
)
(0,03 m) = 1,7 × 10−10 C
(16.60)
16.6 Potenziale elettrostatico
Per determinare il valore del campo elettrico all’interno della sfera possiamo svolgere almeno due
ragionamenti.
I metodo
Il potenziale di un guscio sferico carico è uniforme all’interno della sfera ed ha lo stesso valore della
superficie. D’altra parte il valore del campo in un punto dello spazio è il gradiente del potenziale in quel
punto.
⃗ = −∇V
⃗
E
(16.61)
In una dimensione:
E=−
dV
dl
(16.62)
Dal momento che il potenziale è costante, il campo elettrico deve essere nullo.
II metodo
Applichiamo il teorema di Gauss ad un guscio sferico di raggio R/3 centrato sulla sfera data.
⃗ =
Φ(E)
Σqi
ϵo
(16.63)
In questo caso non vi sono cariche all’interno del guscio, quindi il flusso del campo elettrico è nullo ed è
quindi nullo il campo elettrico stesso.
Esercizio 110 Due sfere di materiale conduttore, rispettivamente di raggio r1 = 73 mm e r2 = 58 mm,
sono caricate con una carica q1 = 4,5 µC e q2 = 7,2 µC.
Le due sfere vengono poste in contatto e allontanate. Determina:
1. il potenziale a cui si trovavano le sfere prima del contatto e dopo;
2. la carica presente su ogni sfera dopo il contatto.
Il potenziale elettrico di una sfera carica immediatamente oltre la sua superficie vale:
V =
q
4πϵo r
(16.64)
dove q è la carica distribuita sulla sfera e r il suo raggio.
Per cui possiamo determinare il potenziale di ogni sfera:
V1 =
q1
4,5 × 10−6 C
=
= 5,6 × 106 V
4πϵo r1
4 · 3.1415 · 8,854 × 10−12 F m−1 · 7,3 × 10−3 m
(16.65)
V2 =
7,2 × 10−6 C
q2
=
= 11,2 × 106 V
4πϵo r2
4 · 3.1415 · 8,854 × 10−12 F m−1 · 5,8 × 10−3 m
(16.66)
Una volta che le due sfere sono poste in contatto si ha una ridistribuzione di carica in modo da stabilire
lo stesso potenziale su entrambe le sfere. Inoltre, per la conservazione della carica, la somma algebrica delle
cariche sulle due sfere, prima e dopo il contatto, deve essere la stessa.
V1f = V2f
(16.67)
q1f
q2f
=
4πϵo r1
4πϵo r2

q1i + q2i = q1f + q2f = qtot
(16.68)


121
16 Elettrostatica
Le due condizioni precedenti ci danno un sistema di due equazioni in due incognite (le nuove cariche sulle
sfere). Eliminiamo il fattore comune nella prima equazione e mettiamo in evidenza q2f nella seconda.
q
q
 1f = 2f
r1
r2

q2f = qtot − q1f
qtot − q1f
q1f
=
r1
r2
q1f r2 = (qtot − q1f )r1
(16.69)
(16.70)
q1f r2 + q1f r1 = qtot r1
q1f =
qtot r1
(4,5 × 10−6 C + 7,2 × 10−6 C) · 7,3 × 10−3 m
=
= 6,5 × 10−6 C
r1 + r2
7,3 × 10−3 m + 5,8 × 10−3 m
q2f = qtot − q1f = (4,5 × 10−6 C + 7,2 × 10−6 C) − 6,5 × 10−6 C = 5,2 × 10−6 C
(16.71)
(16.72)
Possiamo infine calcolare il potenziale su una sfera. Come controllo verifichiamo di ottenere lo stesso
potenziale su entrambe le sfere.
V1 =
q1
6,5 × 10−6 C
= 8,00 × 106 V
=
4πϵo r1
4 · 3.1415 · 8,854 × 10−12 F m−1 · 7,3 × 10−3 m
(16.73)
V2 =
q2
5,2 × 10−6 C
=
= 8,06 × 106 V
4πϵo r2
4 · 3.1415 · 8,854 × 10−12 F m−1 · 5,8 × 10−3 m
(16.74)
La piccola differenza riscontrata è dovuta agli errori di arrotondamento introdotti nei calcoli.
16.7 Condensatori
Esercizio 111 Tra le armature di un condensatore piano, poste a 1,5 mm tra loro, è stabilita una d.d.p. di
70 V. Quanto vale il campo elettrico tra le armature?
Tra le armature di un condensatore piano il campo è idealmente uniforme, diretto dall’armatura con
carica positiva a quella negativa, e di intensità:
E=−
dV
dl
(16.75)
Dove dV è la d.d.p. tra le armature e dl la distanza tra le stesse.
|E| =
122
70 V
70 V
=
= 4,6 × 104 V/m
1,5 mm
0,0015 m
(16.76)
17 Circuiti elettrici in corrente continua
17.1 Intensità di corrente
Esercizio 112 La sezione di un conduttore è attraversata da una carica q1 = 0,67 C ogni 17 minuti.
Qual è l’intensità di corrente?
L’intensità di corrente che attraversa una data sezione di un conduttore è il rapporto tra la carica Q che
l’attraversa e l’intervallo di tempo ∆t che ha impiegato ad attraversarlo.
Q
(17.1)
∆t
Nel S.I. l’intensità di corrente si misura in Ampere (A), la carica in Coulomb (C) e il tempo in secondi.
In questo caso dobbiamo trasformare l’intervallo di tempo in secondi.
I=
∆t = 17 min = 17 · 60 s = 1020 s
(17.2)
Quindi:
I=
0,67 C
= 6,56 × 10−4 A
1020 s
(17.3)
Esercizio 113 Un conduttore è attraversato da una corrente d’intensità I = 12 A. Sapendo che la carica
di un elettrone vale qe = 1,6 × 10−19 C quanti elettroni attraversano ogni secondo il conduttore dato?
Una intensità di corrente di 12 A significa che ogni secondo una sezione del conduttore è attraversata
da una carica di 12 C. Quindi in questo caso la carica Q che passa ogni secondo è data dalla carica di un
elettrone qe per il numero di elettroni Ne che sono passati: Q = qe Ne . Quindi:
Ne =
Q
12 C
=
= 7,5 × 10−19 C
qe
1,6 × 10−19 C
(17.4)
17.2 I e II legge di Ohm
Esercizio 114 Le estremità di un conduttore, attraversato da una corrente la cui intensità vale I = 12 A,
sono sottoposte ad una differenza di potenziale V = 125 V.
Quanto vale la resistenza del conduttore?
La I legge di Ohm stabilisce che in un conduttore elettrico, entro opportune conduzioni, il rapporto tra
l’intensità della corrente che lo attraversa e la differenza di potenziale o tensione applicata ai suoi estremi
è costante: chiamiamo la costante resistenza elettrica del conduttore. Se la corrente è misurata in Ampere
e la tensione in Volt allora la resistenza è misurata in Ohm.
∆V
I
(17.5)
125 V
= 10,6 Ω
12 A
(17.6)
R=
In questo caso:
R=
123
17 Circuiti elettrici in corrente continua
Esercizio 115 Un conduttore di forma cilindrica ha il diametro di 3 mm, un lunghezza di 12 m ed è fatto
di rame.
1. Quanto vale la sua resistenza?
2. Qual è l’intensità di corrente da cui è attraversato se applichiamo alle sue estremità una differenza
di potenziale V = 15 V ?
La seconda legge di Ohm ci dice quanto vale la resistenza di un conduttore di forma cilindrica di cui
conosciamo sezione S, lunghezza l e resistività ρ ovvero un parametro caratteristico della sostanza di cui
è fatto il conduttore. Allora la sua resistenza R è uguale a:
R=ρ
l
S
(17.7)
La sezione del conduttore è circolare. Il raggio del conduttore vale:
r=
La sezione è:
d
3 mm
0,003 m
=
=
= 0,0015 m
2
2
2
(17.8)
S = πr2 = 3, 14 · (0,0015 m)2 = 7,07 × 10−6 m2
(17.9)
Dalle tabelle possiamo leggere che la resistività del rame vale 0,0178 × 10−6 Ω m e quindi:
R=ρ
l
12 m
0, 0178 · 12 Ωm2
= 0,0178 × 10−6 Ω m ·
=
= 3,02 × 10−2 Ω
S
7, 07
7,07 × 10−6 m2
m2
(17.10)
Per trovare la corrente che attraversa il conduttore applichiamo la prima legge di Ohm R =
mettendo in evidenza la nostra grandezza incognita, la corrente.
I=
∆V
15 V
=
= 496 A
R
3,02 × 10−2 Ω
∆V
I
,
(17.11)
17.3 Legge di Joule
Esercizio 116 Una stufa elettrica da 1500 W è sottoposta ad una tensione V = 225 V. Qual è la resistenza
della stufa?
Le stufe elettriche sfruttano l’effetto Joule per produrre calore. La potenza della stufa P è legata alla
resistenza R della stessa e alla corrente I che l’attraversa o alla tensione V alla quale è sottoposta.
La legge che definisce questo legame è la legge di Joule:
P = RI 2 =
V2
R
(17.12)
Possiamo ricavare dall’ultima espressione un legame tra la resistenza incognita e la potenza con la
tensione.
V2
(225 V)2
R=
=
= 33,75 Ω
(17.13)
P
1500 W
124
17.4 Circuiti di resistenze
17.4 Circuiti di resistenze
Esercizio 117 Un circuito è costituito da un resistenza R = 150 Ω e un generatore di tensione (ideale) da
V = 12 V. Trova la corrente erogata dal generatore.
R
Il nostro circuito è estremamente elementare. L’unica resistenza e il generatore hanno i capi in comune.
Quindi la differenza di potenziale applicata ai capi della resistenza è proprio quella fornita dal nostro
generatore. Possiamo applicare alla resistenza la prima legge di Ohm (R = ∆V
I ) e ricavare la corrente che
la attraversa.
∆V
12 V
I=
=
= 0,8 A
(17.14)
R
15 Ω
Esercizio 118 Un circuito è costituito da una resistenza R = 15 Ω e da un generatore di tensione (reale)
da V = 12 V la cui resistenza interna vale ri = 5 Ω .
1. Semplifica le resistenze date ad una sola, spiegando come sono interconnesse.
2. Trova la corrente erogata dal generatore.
3. Trova la differenza di potenziale ai capi della resistenza R.
ri
R
1. Rispetto all’esercizio precedente qui il generatore è reale e quindi ha una sua propria resistenza interna. Il generatore di questo tipo viene rappresentato con una resistenza in serie con un generatore
ideale.
Le due resistenze del circuito sono in serie perché si trovano una di seguito all’altra sullo stesso ramo
o filo. Geometricamente appaiono in parallelo, ma la geometria del circuito non ha quasi nessuna
importanza: quello che importa è la sua topologia, cioè come gli elementi sono tra loro interconnessi.
Le due resistenze sono equivalenti ad un’unica resistenza il cui valore è:
Re = R + ri = 15 Ω + 5 Ω = 20 Ω
(17.15)
2. Il circuito adesso è ridotto ad un’unica resistenza ed un generatore ideale. Possiamo ricavare la
corrente che attraversa il circuito con la prima legge di Ohm.
I=
∆V
12 V
=
= 0,6 A
Re
20 Ω
(17.16)
Rispetto all’esercizio precedente, pur a parità di carico (cioè di resistenza) applicata al generatore, la
corrente erogata è diminuita sensibilmente.
3. In questo caso la d.d.p ai capi della resistenza R non è il valore nominale della d.d.p. ai capi del
generatore (V = 12 V), perché quel valore vale solo quando non applichiamo nessun carico. Invece
doppiamo tenere conto che la d.d.p. ai capi del generatore ideale è uguale alla somma della caduta
di potenziale ∆Vri ai capi della resistenza interna, più la caduta di potenziale ∆VR ai capi della
resistenza R.
125
17 Circuiti elettrici in corrente continua
Quest’ultima d.d.p. può essere ottenuta applicando la prima legge di Ohm alla resistenza R:
R=
∆VR
I
(17.17)
∆VR = RI = 15 Ω · 0,6 A = 9 V
(17.18)
La tensione effettivamente disponibile ai capi della nostra resistenza è sensibilmente inferiore a quella nominale del generatore. Questo fenomeno sarebbe stato tanto più sensibile quando più piccolo
fosse stato il valore della resistenza collegata.
Esercizio 119 Un circuito è costituito dalle resistenze R1 = 25 Ω, R2 = 35 Ω ed R3 = 80 Ω e da un
generatore di tensione (ideale) da V = 7 V.
1. Semplifica le resistenze date ad una sola, spiegando come sono interconnesse.
2. Trova la corrente erogata dal generatore.
R1
R2
R3
Quando abbiamo più elementi circuitali tra loro interconnessi spesso non dobbiamo guardare a come
sono disposti, ma a come sono collegati, a prescindere da quella che è l’orientazione che viene data loro.
Quello che è fondamentale è la topologia del circuito e non semplicemente la geometria.
1. Nel nostro circuito le resistenze R2 e R3 sono poste “in parallelo” perché hanno i capi in comune.
É vero inoltre che siano disposte parallelamente tra di loro. Tuttavia questo era vero anche nell’esercizio precedente dove ciò nonostante le resistenze erano in serie. La disposizione geometrica da
sola non è in grado di fornire indicazioni attendibili.
Le due resistenze sono quindi equivalenti ad un’unica resistenza che chiamiamo R23 e che possiamo
trovare sommando gli inversi delle resistenze date:
1
1
23
1
1
1
=
+
=
+
=
Ω
R23
R2 R3
35 Ω 80 Ω
560
R23 =
560
Ω
23
(17.19)
(17.20)
Il nostro circuito ora è diventato così:
R1
R23
Le resistenze R1 e R23 sono poste in serie perché si trovano una di seguito all’altra sullo stesso ramo
o filo. Esse sono equivalenti ad un’unica resistenza il cui valore è:
R123 = R23 + R1 =
Il circuito si è ulteriormente ridotto:
126
560
1135
Ω + 25 Ω =
Ω ≃ 49,3 Ω
23
23
(17.21)
17.5 Leggi di Kirchhoff
R123
2. Infine l’unica resistenza rimasta e il generatore hanno i capi in comune. Quindi la differenza di
potenziale applicata ai capi della resistenza è proprio quella fornita dal nostro generatore. Possiamo
applicare alla resistenza la prima legge di Ohm (R = ∆V
I ) e ricavare la corrente che la attraversa.
I=
∆V
7V
=
= 0,14 A
R
49,3 Ω
(17.22)
17.5 Leggi di Kirchhoff
V1
Esercizio 120 Un circuito è costituito dalle resistenze R1 = 35 Ω,
R2 = 55 Ω ed R3 = 70 Ω e da due generatori di tensione (ideali)
da V1 = 15 V e V2 = 45 V.
Trova la corrente che circola in ogni ramo del circuito, in modulo
e verso.
R1
R2
R3
V2
Quando nel circuito abbiamo più generatori possiamo risolvere il circuito, ovvero trovare la corrente
che circola in ogni ramo, risolvendo il circuito come se ci fosse un generatore alla volta. Infine la corrente
in ogni ramo sarà la somma algebrica della corrente trovata in quel ramo con ogni singolo generatore.
Un metodo più semplice ed efficace è però quello detto di Kirchhoff o delle maglie , che consiste nell’applicare le leggi di Kirchhoff ad un numero opportuno di nodi e maglie, in modo da avere un sistema
lineare le cui incognite sono le correnti dei singoli rami del circuito.
Se in un circuito ci sono N nodi ed R rami allora i nodi indipendenti (cioè tali che in essi converga una
corrente che non converge in tutti gli altri) sono N − 1, e le maglie indipendenti sono R − (N − 1).
Nel nostro circuito ci sono due nodi, che chiamiamo A e B: solo uno di questi due è indipendente. Ci
sono inoltre tre possibili maglie, ovvero tre possibili circuiti chiusi, ma solo due su tre sono indipendenti.
Due delle maglie sono date dai due circuiti che nella figura appaiono come due rettangoli sovrapposti; la
terza maglia è quella che si ottiene percorrendo tutto il rettangolo più esterno del circuito di partenza.
Il metodo comincia assegnando un verso arbitrario e un nome a tutte le correnti che circolano nel
circuito; si assegna poi un verso arbitrario di percorrenza alle maglie scelte. Ricaviamo quindi la seguente
figura.
127
17 Circuiti elettrici in corrente continua
V1
i1
A
R1
1
i2
R2
B
i3
2
R3
V2
Adesso applichiamo la prima legge di Kirchhoff al nodo A e la seconda legge alle due maglie. Osserviamo
che nel nodo A abbiamo tre correnti entranti (quindi con lo stesso segno) e nessuna corrente uscente.
Inoltre il generatore di tensione è preso con il segno più (a secondo membro) se il verso di percorrenza della
maglia lo attraversa dal polo negativo al positivo. Infine le cadute di tensione nelle resistenze sono prese
positive se il verso di percorrenza della maglia è concorde con la corrente del ramo; negative altrimenti.


i1 + i2 + i3 = 0 A
(17.23)
R2 i2 − R1 i1 = V1


R3 i3 − R2 i2 = −V2
ovvero:


i1 + i2 + i3 = 0 A
(17.24)
55 Ωi2 − 35 Ωi1 = 15 V


70 Ωi3 − 55 Ωi2 = −45 V
Possiamo risolvere il sistema lineare con in metodo di sostituzione o di Kramer ad esempio. Usiamo il
metodo di sostituzione. Mettiamo in evidenza la corrente i3 nella prima equazione e sostituiamola nelle
altre due.


i3 = −i1 − i2
(17.25)
55 Ωi2 − 35 Ωi1 = 15 V


−70 Ωi1 − 70 Ωi2 − 55 Ωi2 = −45 V
{
55 Ωi2 − 35 Ωi1 = 15 V
(17.26)
−70 Ωi1 − 125 Ωi2 = −45 V
Mettiamo in evidenza i1 nella prima e seconda equazione:
15 V − 55 Ωi2
−45 V + 125 Ωi2
=
i1 =
−70 Ω
−35 Ω
Ora abbiamo un equazione di primo grado in i2 :
9
25
3
11
A − i2 = − A + i2
14
14
7
7
(
)
(
)
9
25 11
3
A=
i2
+
+
14 7
14
7
i2 = 0,32 A
(17.27)
(17.28)
(17.29)
(17.30)
Sostituendo questo valore in una delle equazioni (17.27) otteniamo il valore di i1 . Dalla prima equazione
del sistema (17.25) otteniamo anche il valore di i3 .
i1 = 0,073 A;
128
i3 = −0,39 A
(17.31)
17.6 Circuiti di resistenze e condensatori
17.6 Circuiti di resistenze e condensatori
+
Esercizio 121 Un circuito è costituito dalla resistenza R = 15 Ω e da due
condensatori di capacità C1 = 13 nF e C2 = 24 nF.
Il circuito (mostrato in figura) è inizialmente aperto; nei condensatori è
contenuta una carica iniziale rispettivamente Q1 = 45 nC e Q2 = 83 nC.
Trova la corrente che circola nell’istante in cui il circuito viene chiuso.
C2
R
+
C1
Il nostro circuito è formato da un’unica maglia con resistenze e condensatori. Per trovare la corrente
erogata nell’istante in cui il circuito è chiuso possiamo applicare alla maglia la seconda legge di Kirchhoff. Nel circuito la resistenza è un elemento passivo; invece i due condensatori (carichi) sono del tutto
assimilabili a generatori di tensione. Il segno da attribuire ai vari elementi è determinato dopo aver scelto
(arbitrariamente) un verso di percorrenza alla maglia: scegliamo il verso orario.
La somma delle cadute di tensione lungo gli elementi della maglia è uguale alla somma algebrica delle
forze elettromotrici applicate. Per convenzione il generatore genera una tensione positiva se è attraversato
dal polo positivo a quello negativo. Guardando la figura il condensatore uno è da prendersi col segno
positivo; il condensatore due con il segno negativo. Di conseguenza:
Ri =
Q1 Q2
−
C1
C2
(17.32)
dove Ri è la caduta di tensione ai capi della resistenza e Q/C è la differenza di potenziale ai capi di ogni
condensatore. Questa condizione vale esattamente solo quando il circuito è stato appena chiuso e le cariche
dei condensatori sono ancora quelle indicate.
Ricaviamo quindi la corrente dalla precedente espressione.
(
(
)
)
1 Q1 Q2
45 nC 83 nC
1
i=
= 2,1 × 10−4 A
(17.33)
−
−
=
R C1
C2
15 Ω 13 nF
24 nF
129
18 Elettromagnetismo
18.1 Carica in moto in un campo magnetico (Forza di Lorentz)
Esercizio 122 Una corpo puntiforme di carica q = 3,6 × 10−6 C si muove con una velocità iniziale
v = 12 × 102 m/s nel piano xy con un angolo α = 25° rispetto all’asse x.
Il corpo attraversa una regione di spazio nel quale è presente un campo magnetico costante e omogeneo
di intensità B = 0,055 T orientato come l’asse z.
Trova la forza a cui è sottoposto il corpo a causa del campo magnetico e il tipo di moto che il corpo
assume.
Su un corpo carico in moto in un campo magnetico agisce in generale una forza, detta forza di Lorentz:
⃗
F⃗ = q⃗v ∧ B
(18.1)
La forza è sempre diretta perpendicolarmente al piano individuato dalla velocità del corpo e dal campo
magnetico.
Se la velocità e il campo magnetico sono costanti sono possibili tre scenari:
1. Se la velocità e il campo magnetico hanno la stessa direzione iniziale (i vettori formano tra loro
un angolo di α = 0° o α = 180°) allora la forza di Lorentz è nulla. Il corpo prosegue il suo moto
indisturbato.
Non è questa la configurazione del nostro esercizio.
2. Se la velocità iniziale forma un angolo di α = 90° con il campo magnetico allora il corpo si troverà
sottoposto ad un forza che porterà il corpo a muoversi di moto circolare uniforme.
La forza di Lorentz si comporta come la forza centripeta del moto circolare uniforme.
Questo è il caso di questo esercizio. L’intensità della forza di Lorentz vale:
⃗ sin(α) = 3,6 × 10−6 C · 12 × 102 m/s · 0,055 T · sin(90°) = 2,4 × 10−4 N
F = q|⃗v ||B|
(18.2)
Per trovare il verso della forza applichiamo la regola della mano destra. Se indichiamo con l’indice
il verso della velocità e con il medio il verso del campo magnetico, la forza avrà il verso del pollice,
perpendicolare al piano degli altri due vettori.
La direzione della velocità e di conseguenza della forza variano col tempo.
3. Se il vettore velocità ha un componente perpendicolare al campo magnetico, questo componente
determinerà un moto circolare uniforme (come nel secondo caso). Il componente parallelo al campo
magnetico (come nel primo caso) non determina nessuna forza, ma solo un moto rettilineo uniforme.
Complessivamente avremo un moto elicoidale.
131
18 Elettromagnetismo
18.2 Forza su un filo percorso da corrente (II legge di Laplace)
Esercizio 123 Un filo rettilineo è attraversato da un corrente continua ed
è immerso in un campo magnetico uniforme e costante.
Il filo è lungo l = 4,5 dm, la corrente ha una intensità i = 0,70 A, il campo
magnetico ha un’intensità B = 34 mT e forma un angolo α = 30° con il
verso positivo del filo (individuato dal verso della corrente).
Trova, in modulo direzione e verso, la forza che agisce sul filo.
i
α
⃗
B
Sul filo descritto nel testo agisce una forza, quantificata dalla II legge di Laplace:
⃗
F⃗ = i⃗l ∧ B
(18.3)
⃗ sin(α) = 0,70 A · 0,45 m · 0,034 T sin(30°) = 5,4 × 10−3 N
F = i|⃗l||B|
(18.4)
Il modulo della forza vale quindi:
Per trovare il verso della forza applichiamo la regola della mano destra. Se indichiamo con l’indice
il verso della corrente e con il medio il verso del campo magnetico, la forza avrà il verso del pollice,
perpendicolare al piano degli altri due vettori. In questo caso la forza è entrante rispetto al piano del
foglio.
Oppure facciamo ruotare le dita della mano destra nel verso che sovrappone il primo vettore (⃗l) al
⃗ allora il pollice ci dà il verso della forza.
secondo (B):
18.3 Campo magnetico di un filo percorso da corrente
Esercizio 124 Un filo rettilineo di lunghezza infinita è
attraversato da una corrente di 2 A.
Trova, in modulo direzione e verso, il campo magnetico
a 28 cm nel punto P indicato in figura.
i
⃗
B
x
P
y
z
⃗ nel punto P è un
Intorno al filo dato si forma un campo magnetico. Il vettore campo magnetico B
vettore che giace su un piano perpendicolare al filo percorso da corrente.
Tracciamo una circonferenza centrata sul filo, passante per il punto P e appartenente al piano. Il vettore
campo magnetico parte da ogni punto della circonferenza ed è ad essa perpendicolare. Il verso è dato dalla
regola della mano destra: se il pollice è orientato come la corrente, le dita avvolgono il filo nel verso del
campo magnetico.
Il valore del campo in un punto dipende solo dalla sua distanza r dal filo e dall’intensità i della corrente
che lo attraversa, secondo la legge di Biot-Savard :
B(r) =
µo i
2π r
(18.5)
dove µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto. Quindi:
B=
132
4π10−7 N A−2 2 A
= 14,29 × 10−7 N A−2 m−1 = 1,43 × 10−6 T
2π
0,28 m
(18.6)
18.4 Campo magnetico di due fili percorsi da corrente:
legge di Ampére.
18.4 Campo magnetico di due fili percorsi da corrente:
legge di Ampére.
Esercizio 125 Due fili rettilinei di lunghezza infinita sono rispettivamente attraversati da una corrente i1 = 0,50 A e i2 =
0,85 A.
I fili sono tra loro paralleli, la distanza tra essi è d1 = 35 mm.
i1
i2
d1
1. Trova, in modulo direzione e verso, il campo magnetico nel
punto P indicato in figura, posto a distanza d2 = 124 mm
dal secondo filo.
2. Trova il modulo della forza che agisce tra i due fili.
P
d2
Intorno a ciascun filo dato si forma un campo magnetico, come indicato nell’esercizio precedente, la cui
intensità è data dalla legge di Biot-Savard.
Guardando al verso della corrente indicato, per la regola della
mano destra, nel punto P si forma un campo magnetico B⃗1 entrante nel piano del foglio, e un campo magnetico B⃗2 uscente.
Il campo magnetico totale ha un’intensità pari alla differenza
tra i moduli di questi due vettori.
i1
i2
d1
⃗1
B
P
d2
⃗2
B
La distanza del punto P dal filo 2 è:
r2 = d2 = 124 mm = 0,124 m
(18.7)
La distanza del punto P dal filo 1 è:
r1 = d1 + d2 = 35 mm + 124 mm = 159 mm = 0,159 mm
(18.8)
Applichiamo la legge di Biot-Savard per trovare il campo dei due fili:
µo i
2π r
dove µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto. Quindi:
B(r) =
B1 =
µo i1
4π10−7 N A−2 0,5 A
=
= 6,29 × 10−7 N A−2 m−1 = 6,29 × 10−7 T
2π r1
2π
0,159 m
(18.9)
(18.10)
µo i2
4π10−7 N A−2 0,85 A
=
= 13,7 × 10−7 N A−2 m−1 = 13,7 × 10−7 T
(18.11)
2π r2
2π
0,124 m
Diamo, a nostro arbitrio, il segno positivo al verso del campo B1 in P e negativo a quello del campo B2 .
Quindi, facendo la somma algebrica delle componenti:
B2 =
Btot = B1 + B2 = 6,29 × 10−7 T − 13,7 × 10−7 T = −7,42 × 10−7 T
(18.12)
Il campo totale ha il verso del campo B2 , quindi esce dal piano del foglio, verso chi guarda.
Tra i due fili si manifesta una forza repulsiva per il fatto di avere due correnti parallele che si muovono
in verso opposto tra loro. La legge di Ampère quantifica la forza per unità di lunghezza l che si manifesta
sui fili:
F
µ0 i1 · i2
4π10−7 N A−2 0,50 A · 0,85 A
=
=
= 7,63 × 10−6 N/m
(18.13)
l
2 d
2
0,035 m
133
18 Elettromagnetismo
18.5 Flusso del campo magnetico
Esercizio 126 Trova il flusso di un campo magnetico B = 0,055 T, costante e uniforme, attraverso una
spira piana, rettangolare, larga l = 6,8 cm e alta h = 2,7 cm, sapendo che l’angolo formato dal campo
magnetico e dalla spira vale α = 25°.
⃗ attraverso una superficie piana S
⃗ è:
Il flusso del vettore B
⃗ =B
⃗ ·S
⃗ = |B||
⃗ S|
⃗ cos α
Φ(B)
(18.14)
⃗ forma con la superficie orientata S
⃗ ovvero con la normale alla superficie
dove α è l’angolo che il vettore B
stessa.
Dobbiamo quindi dare una orientazione alla superficie data. Una superficie piana può avere due orientazioni individuate dalle due possibili normali al piano della superficie e uscenti da essa.
Si può scegliere una delle due normali avendo scelto un verso di percorrenza del contorno della superficie. Il verso della normale è scelto in modo tale che un osservatore che veda la normale attraversarlo dai
piedi alla testa veda il verso di percorrenza del contorno della superficie in senso antiorario.
Nel nostro problema non viene detto né quale sia il verso di percorrenza del contorno della superficie,
né quale sia la direzione della normale. Non possiamo quindi dare un segno al flusso. Troviamo solo il
modulo.
L’area della spira è:
S = lh = (6,8 cm) · 2,7 cm = 18,36 cm2 = 1,836 × 10−3 m2
(18.15)
Quindi il flusso vale:
⃗ = BS cos α = 0,055 T · 1,836 × 10−3 m2 · cos 25° = 9,2 × 10−5 Wb
Φ(B)
134
(18.16)
18.6 Momento magnetico di una spira piana
18.6 Momento magnetico di una spira piana
Esercizio 127 Una spira piana quadrata, il cui momento magnetico di dipolo è 0,3 Am2 , è posta sul piano
xy centrata sull’asse z, come indicato in figura (non in scala).
Un solenoide lungo 4 dm formato da 250 spire, percorso da una corrente di 1,4 A e largo 7 cm è centrato
nello stesso punto in posizione reclinata, in modo tale che il campo magnetico al suo interno, orientato
verso l’alto, formi un angolo α = 34° con il piano xy. Calcola:
1. il campo magnetico all’interno del solenoide;
2. il modulo del momento torcente la spira.
⃗
B
z
α
y
x
Il campo magnetico all’interno di un solenoide attraversato da corrente continua può essere considerato
uniforme se la sua lunghezza è più grande della sua larghezza, come in questo caso.
Questo campo ha un’intensità:
Ni
B = µ0
(18.17)
l
dove µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto, N il numero di spire, i la corrente e l la lunghezza del
solenoide. In questo caso:
B = 4π10−7 N A−2 ·
250 · 1,4 A
= 6,3 × 10−3 T
0,07 m
(18.18)
La spira è sottoposta ad un momento torcente:
⃗ =µ
⃗
M
⃗m ∧ B
(18.19)
dove µ
⃗ m è il momento magnetico della spira. In modulo:
M = µm B = 0,3 Am2 · 6,3 × 10−3 T = 1,9 × 10−3 Nm
(18.20)
135
18 Elettromagnetismo
18.7 F.e.m. indotta in una spira rettangolare.
Esercizio 128 Una spira rettangolare è posta nel piano xy come indicato in figura. Una lato, di larghezza
l = 18 cm, si muove con velocità v = 8 m/s verso destra. La spira è immersa in un campo magnetico,
uniforme e constante, di 2,5 T orientato nella direzione dell’asse z e perpendicolare alla spira, con il verso
indicato in figura. Tenendo conto del verso positivo di percorrenza della spira indicato in figura, calcola:
1. la forza elettromotrice indotta nella spira;
2. il verso della corrente indotta;
3. la forza, in modulo direzione e verso, che agisce sul lato mobile della spira quando è in movimento.
z
⃗
B
y
⃗v
x
La forza elettromotrice indotta nella spira è data dalle legge di Faraday-Neuman .
f.e.m. = −
⃗
d(Φ(B))
d(t)
(18.21)
⃗ è la variazione del flusso del campo magnetico concatenato con la spira.
dove d(Φ(B))
Il flusso del campo magnetico è il prodotto scalare del campo magnetico per la superficie orientata del
piano della spira.
La superficie è rettangolare, la sua area é A = bh, dove possiamo prendere come altezza il lato mobile e
come base la lunghezza dell’altro lato ad un certo istante t. L’estremità destra della base si muove di moto
rettilineo uniforme con velocità v, partendo da una lunghezza iniziale b0 all’istante t = 0:
b(t) = b0 + vt
(18.22)
A = bh = (b0 + vt)h
(18.23)
Quindi l’area della spira all’istante t vale:
Per trovare il flusso del campo dobbiamo conoscere l’orientazione del campo magnetico rispetto alla
direzione della spira. Se il verso di percorrenza scelto (a piacimento) è quello della figura, la direzione
positiva della spira è verso il basso, perpendicolarmente al piano della spira, secondo la legge della mano
destra (prendendo il pollice come direzione della spira e le altre dita della mano come il verso scelto del
contorno della spira). In questo caso la spira forma un angolo di θ = 0° con il campo magnetico.
⃗ =B
⃗ ·S
⃗ = |B||
⃗ S|
⃗ cos(θ) = Bh(b0 + vt)
Φ(B)
(18.24)
Se facciamo la derivata rispetto al tempo del flusso otteniamo:
⃗
d(Φ(B))
= Bhv = 2,5 T · 0,18 m · 8 m/s = 3,6 V
d(t)
(18.25)
Il verso della corrente indotta è tale da generare un campo che si oppone alla variazione del flusso del
campo concatenato alla spira che l’ha generata. In questo caso il campo esterno è costante, la superficie
136
18.7 F.e.m. indotta in una spira rettangolare.
della spira sta aumentando e quindi sta aumentando il flusso del campo magnetico ad essa concatenato.
Il flusso è negativo ovvero diretto verso il basso e sta aumentando in modulo. Si deve quindi creare un
campo magnetico orientato verso l’alto che crei un controflusso diretto verso l’alto. Se questo campo è
diretto verso l’alto, deve essere generato da una corrente indotta che, per la regola della mano destra
indicata precedentemente, è orientata in verso opposto a quello dato per la spira.
In questa situazione su tutti i lati della spira circola corrente. Per la seconda legge di Laplace su ogni
lato della spira agisce una forza che è data dalla relazione:
⃗
F⃗ = i⃗l ∧ B
(18.26)
⃗ il campo magnetico ed F⃗ la forza che agisce
dove ⃗l è un vettore orientato come il tratto l di conduttore, B
sul tratto di conduttore. Seguendo la regola della mano destra e orientando l’indice nella direzione e verso
di ⃗l, il medio (a 90°) nella direzione e verso del campo magnetico, troviamo che la forza è orientata nella
direzione e verso del pollice.
In questo caso la forza che agisce sul tratto mobile della spira la spinge verso sinistra, cioè in verso
opposto alla sua velocità, come stabilisce anche la legge di Lenz.
137
19 Relatività
19.1 Trasformazioni di Lorentz
Esercizio 129 Abbiamo due sistemi di riferimento inerziale O e O′ . Gli assi coordinati e le origini dei due
sistemi erano sovrapposti all’istante t = 0 s. Il secondo sistema si muove rispetto al primo con velocità
v = 7,3 × 107 m/s nel verso positivo dell’asse x.
Trova in che punto dello spazio tempo è individuato nel sistema O′ un evento che nel sistema O accade
all’istante t = 3 min nel punto P⃗ ≡ (45 km; 3 km; 2 km).
Per la particolare orientazione reciproca dei due sistemi di riferimento possiamo utilizzare la forma più
semplice delle trasformazioni di Lorentz:
x − vt
x′ = √
v2
1− 2
c
′
y =y
(19.1)
z′ = z
vx
t− 2
t′ = √ c
v2
1− 2
c
Sostituiamo i dati:
x′ =
45 × 103 m − 7,3 × 107 m/s · 180 s
√
= −1,35 × 1010 m
(
)2
7
7,3 × 10 m/s
1−
299792458 m/s
y ′ = 3 × 103 m
z ′ = 2 × 103 m
(19.2)
7,3 ×
· 45 ×
(299792458 m/s)2
)2
(
7,3 × 107 m/s
1−
299792458 m/s
180 s −
′
√
t =
107 m/s
103 m
= 185 s
Quindi, nel sistema di riferimento O′ , l’evento accade all’istante t′ = 185 s
nel punto P⃗ ′ ≡ (−1,35 × 1010 m; 3 × 103 m; 2 × 103 m).
139
20 Errori di misura
20.1 Valor medio ed errore assoluto
Esercizio 130 Viene compiuta la misurazione dell’altezza di una palazzina con un distanziometro con
una precisione di 2 mm. Facendo la misurazione per cinque volte si ottengono i seguenti risultati:
15,453 m; 15,456 m; 15,454 m; 15,455 m; 15,455 m.
1. Trova il valor medio della misura.
2. Trova l’errore massimo assoluto e l’errore assoluto associato al valor medio.
Il valor medio delle misure date è definito come:
< x >=
N
∑
xi
i=1
n
(20.1)
Quindi in questo caso
< x >=
15,453 m + 15,456 m + 15,454 m + 15,455 m + 15,455 m
= 15,455 m
5
(20.2)
L’errore massimo assoluto può essere definito come la metà della sensibilità dello strumento di misura. In
questo caso viene indicata la precisione. Possiamo identificare questa con l’errore massimo assoluto perché
la precisione ci dice di quanto la misura data può scostarsi dal ”valore vero” della grandezza. Quindi:
ϵmaxa = 2 mm.
(20.3)
L’errore assoluto è invece definito come:
ϵmax =
Vmax − Vmin
2
(20.4)
Prendiamo il valore più grande e più piccolo ottenuti nelle nostre misure dell’altezza e otteniamo:
ϵmax =
Vmax − Vmin
15,456 m − 15,453 m
=
= 0,0015 m
2
2
(20.5)
Abbiamo indicato questo errore con due cifre significative perché la prima era un uno.
141
20 Errori di misura
20.2 Errore assoluto di grandezze derivate
Esercizio 131 Viene compiuta la misurazione delle dimensioni di un campo rettangolare con telemetro
laser per il quale è indicata una precisione di 2,0 cm. Facendo la misurazione per cinque volte si ottengono
i seguenti risultati:
altezza: 60,86 m; 60,85 m; 60,87 m; 60,87 m; 60,86 m.
base: 289,67 m; 289,67 m; 289,67 m; 289,67 m; 289,67 m.
1. Trova il valor medio dell’altezza e della base.
2. Trova l’errore assoluto associato alle due grandezze.
3. Trova l’area e l’errore assoluto ad essa associato.
Il valor medio dell’altezza è
< h >=
60,86 m + 60,85 m + 60,87 m + 60,87 m + 60,86 m
= 60,86 m
5
(20.6)
Il valor medio della base è:
< b >=
289,67 m + 289,67 m + 289,67 m + 289,67 m + 289,67 m
= 289,67 m
5
(20.7)
L’errore assoluto associato all’altezza vale:
Vmax − Vmin
60,87 m − 60,85 m
=
= 0,01 m
2
2
(20.8)
289,67 m − 289,67 m
Vmax − Vmin
=
= 0,00 m
2
2
(20.9)
ϵmax =
Quello associato alla base vale:
ϵmax =
Il fatto che questo errore abbia valore nullo non deve fare nessuna meraviglia. Infatti l’errore assoluto è una
indicazione statistico-matematica, ma la precisione riportata per lo strumento da invece un’indicazione
vincolante per quanto riguarda il valore minimo che l’incertezza può assumere. Nel seguito prenderemo
la precisione dello strumento come valore dell’incertezza associata alle due misure.
L’area è data da:
A = b · h = 289,67 m · 60,86 m = 17689,3162 m2
(20.10)
Abbiamo riportato la misura dell’area con tutte le cifre date dalla calcolatrice usata per fare questi calcoli.
Si pone il problema di decidere quante di queste cifre abbiano un significato oppure no. Una risposta ci
viene trovando l’errore assoluto associato all’area.
Poiché l’area è data dal prodotto di due grandezze, l’errore relativo ad essa associato è la somma degli
errori relativi delle due grandezze da cui si ottiene.
ϵr (A) = ϵr (b) + ϵr (h) =
∆A
∆b ∆h
=
+
A
b
h
(20.11)
Da cui possiamo ricavare ∆A:
∆b ∆h
+
)A =
∆A = (
b
h
(
0,02 m
0,02 m
+
289,67 m 60,86 m
)
· 17689,3162 m2 = 7 m2
(20.12)
Poiché ora conosciamo l’incertezza sulla misura dell’area possiamo appropriatamente arrotondarne il
valore.
A = 17689 ± 7 m2
(20.13)
142
20.2 Errore assoluto di grandezze derivate
Esercizio 132 Il calore necessario per scaldare una certa quantità di sostanza è dato dalla legge fondamentale della calorimetria: Q = mc∆t.
Sappiamo che: m = 30,0 ± 0,1 kg; c = 4186 ± 2 J/(mol K); Ti = 23,0 ± 0,5 °C; Tf =63 ± 1 °C.
Trova il calore Q e l’errore ad esso associato.
Troviamo immediatamente quanto vale Q:
Q = mc∆t = 30,0 kg · 4186 J mol−1 K−1 · (63 °C − 23,0 °C) = 5023200 J
(20.14)
La grandezza Q è data dal prodotto di tre fattori. Quindi, sapendo che l’errore relativo ad essa associato
è la somma degli errori relativi delle due grandezze da cui si ottiene, possiamo scrivere:
ϵr (Q) = ϵr (m) + ϵr (c) + ϵr (∆t) =
∆Q
∆m ∆c ∆(∆t)
=
+
+
Q
m
c
∆t
(20.15)
I dati che ci vengono forniti ci danno immediatamente gli errori assoluti associati a Q, m e c. Dobbiamo
invece ricavare l’errore assoluto associato a ∆t.
Ricordando che ∆t = Tf − Ti . possiamo scrivere che:
∆(∆t) = ∆(Tf ) + ∆(Ti ) = 1 °C + 0,5 °C = 1,5 °C
ovvero che l’errore assoluto associato a ∆t è la somma degli errori assoluti associati a Tf e Ti .
Infine possiamo scrivere:
(
)
∆m ∆c ∆(∆t)
∆Q
=
+
+
Q
m
c
∆t
(
)
∆m ∆c ∆(∆t)
∆Q = Q ·
+
+
=
m
c
∆t
)
(
2 J mol−1 K−1
0,1 kg
1,5 °C
+
= 358210 J
5023200 J ·
+
30,0 kg 4186 J mol−1 K−1 40,0 °C
(20.16)
(20.17)
(20.18)
Per cui ora possiamo correttamente scrivere:
Q = 502 ± 4 × 104 J
(20.19)
143
21 Il Sistema Internazionale
21.1 unità di misura fondamentali del Sistema Internazionale
Nome della grandezza
lunghezza
massa
tempo
corrente elettrica
temperatura termodinamica
quantità della sostanza B
intensità luminosa
Simbolo
l
m
t
I
T
nb
In
Nome dell’unità di misura
metro
chilogrammo
secondo
ampere
kelvin
mole di B
candela
Simbolo
m
kg
s
A
K
mol(B)
cd
21.2 Costanti fisiche fondamentali1
grandezza
velocità della luce nel vuoto
Costante magnetica
Costante elettrica (1/4πc2 )
Costante di gravitazione universale
Costante di Planck
Carica elementare
massa dell’elettrone
massa del protone
Costante di Avogadro
Costante dei gas perfetti
Costante di Boltzmann (R/Na )
simbolo
c, c0
µ0
ϵ0
G
h
e
me
mp
Na
R
k
valore e unità di misura
299792458 m s−1
12,566370614 × 10−7 N A−2
8,854187817 × 10−12 F m−1
6,6742 × 10−11 N m2 kg−2
6,6260693 × 10−34 J s
1,60217653 × 10−19 C
9,1093826 × 10−31 kg
1,67262171 × 10−27 kg
6,0221415 × 1023 mol−1
8,314472 J mol−1 K−1
1,3806505 × 10−23 J K−1
incertezza
esatto
esatto
esatto
±0, 0010 · 10−11
±0, 0000011 · 10−34
±0, 00000014 · 10−19
±0, 0000016 · 10−31
±0, 00000029 · 10−27
±0, 0000010 · 1023
±0, 000015
±0, 000002410−23
I simboli per le unità di misura devono essere stampati in carattere diritto (romano). Essi devono
rimanere inalterati al plurale e non devono essere seguiti da un punto eccetto che alla fine di una frase.
I simboli per le unità di misura devono essere scritti con lettere minuscole, a meno che essi derivino dal
nome di una persona, nel qual caso essi devono cominciare con una lettera maiuscola.
1
Peter J. Mohr and Barry N. Taylor, CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2002, published in
Rev. Mod. Phys. vol. 77(1) 1-107 (2005).
145
21 Il Sistema Internazionale
21.3 Multipli e sottomultipli
fattore di moltiplicazione
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
10−1
10−2
10−2
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24
146
prefisso
yotta
zetta
exa
peta
tera
giga
mega
chilo
etto
deca
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
simbolo
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y
valore
1 000 000 000 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000
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Indice analitico
acustica, 98
campo elettrico, 110
campo magnetico, 130
centro di massa, 57, 60
cinematica, 29
circuiti elettrici, 121
componenti di una forza, 15
condensatore, 120
condensatore piano, 120
conduzione del calore, 86
conservazione della carica, 119
conversione tra grandezze, 7
corrente continua, 121
corrente indotta, 134
costanti fisiche fondamentali, 143
densità, 9
diagramma orario, 29
differenza tra vettori, 14
dilatazione termica, 87
dinamometro, 17, 26
diottria, 104
due fenditure, 107
effetto Doppler, 99
elettrostatica, 109
energia potenziale elettrostatica, 114
equazione di continuità (in un fluido), 79
errore assoluto, 139
errore relativo, 140
errori di misura, 139
f.e.m. indotta, 134
fluidodinamica, 79
flusso del campo elettrico, 112
flusso del campo magnetico, 132
forza centripeta, 50
forza di Coulomb, 109
forza di Lorentz, 129
gas perfetti, 88
grandezze vettoriali, 11
indice di rifrazione, 105
ingrandimento, 104
intensità di corrente, 121
lavoro, 114
legge dei punti coniugati, 104
legge di Ampére, 131
legge di Bernoulli, 80
legge di Biot-Savard, 130
legge di Coulomb, 109
legge di Faraday-Neuman, 134
legge di Hooke, 17
legge di Laplace, II, 130
legge di Snell, 105
legge di Stevino, 76
legge fondamentale della calorimetria, 83
leggi di Kirchhoff, 125
lente sottile, 104
metodo di Kirchhoff, 125
momento di una forza, 69
momento magnetico, 133
moto circolare uniforme, 42
moto parabolico, 41
moto rettilineo uniforme, 29, 31
moto uniformemente accelerato, 33
multipli e sottomultipli, 144
onda, 97
onda armonica, 99
onde stazionarie, 97
ottica, 101
passaggi di stato, 83
portata, 79
potenziale elettrostatico, 117
pressione, 75
primo principio della termodinamica, 89
prisma, 105
quantità di moto, 57
sistema internazionale, 143
147
Indice analitico
sistemi con più corpi, 53
somma di due vettori, 11
somma di tre vettori, 13
specchio piano, 101
specchio sferico, 103
spinta di Archimede, 78
statica dei corpi puntiformi, 19
statica dei corpi rigidi, 69
statica dei fluidi, 75
teorema di Gauss, 112
termodinamica, 89
termologia, 83
trasformazioni di Lorentz, 137
trasformazioni termodinamiche, 90
tubo a U, 77
unità di misura, 7
unità di misura fondamentali del S.I., 143
urti in una dimensione, 58
valor medio, 139
velocità media, 29
148