SECONDA LEZIONE (4 ore):
CONDUTTORI e DIELETTRICI
• Conduttori in campo elettrico
• Polarizzazione della materia
• Vettore polarizzazione
• Vettore spostamento elettrico
• Suscettività elettrica
• Capacità
• Condensatori
• Energia del campo elettrico
Conduttore posto in un campo elettrico
In un conduttore immerso in un
campo elettrico
esterno le cariche elettriche
libere di muoversi
vengono spinte dalla forza del
campo elettrico
fino ad addensarsi sulle
superfici finché il
campo che esse producono
all’interno del
conduttore non annulla
completamente il campo
esterno applicato, producendo
così un equilibrio.
In conclusione:
1) in un conduttore posto in un campo elettrostatico e che sia in
equilibrio elettrico, il campo elettrico nei punti interni è nullo;
2) il campo elettrico alla superficie di un conduttore in equilibrio è
normale alla superficie (altrimenti le cariche sarebbero libere di
muoversi fino a raggiungere un equilibrio, campo nullo);
3) l’intera carica elettrica di un conduttore in equilibrio si trova sulla
sua superficie
Polarizzazione della materia
Nella materia non conduttrice costituita da atomi, e quindi da un insieme di
cariche positive (nuclei) e negative (elettroni), ci troviamo in presenza di una
situazione di neutralità elettrica a livello macroscopico.
A livello microscopico possiamo avere due situazioni:
(i) i baricentri della carica negativa e di quella positiva non coincidono;
(ii) il baricentro della carica positiva e di quella negativa coincidono.
Nel primo caso la materia presenta dipoli microscopici.
Nel secondo caso non abbiamo dipoli microscopici.
I dipoli elettrici della materia posti
in un campo elettrico
E
E=0
E
Nei materiali comuni costituiti da dipoli elettrici
microscopici in assenza di campo elettrico esterno
i dipoli sono orientati in modo casuale, come
conseguenza dell’agitazione termica, e non si
manifesta nessun effetto elettrico macroscopico.
Se il materiale in questione è immerso in un campo
elettrico esterno, i dipoli cominciano ad orientarsi
nella direzione del campo elettrico dando origine
ad un effetto elettrico macroscopico.
Materiali privi di dipoli elettrici microscopici
Materiali privi di dipoli elettrici microscopici (baricentro della carica positiva
coincide con il baricentro della carica negativa),
se posti in un campo elettrico esterno, manifestano uno spostamento in senso
opposto dei baricentri delle due cariche.
Questo provoca la creazione di dipoli elettrici microscopici orientati in direzione
del campo elettrico esterno, che creano un effetto elettrico macroscopico.
Pezzetti di carta attirati
dalla bacchetta carica
Il vettore polarizzazione
Se inseriamo un parallelepipedo di materiale
non conduttore (dielettrico) in un campo
elettrico, la sua polarizzazione crea la
comparsa di una carica positiva da un lato e
una carica negativa dall’altro.
Definiamo la POLARIZZAZIONE P di un materiale come il vettore che indica il
momento di dipolo per unità di volume. Se p è il momento di dipolo indotto negli
atomi (o quello molecolare), e n è il numero di dipoli elementari per unità di
volume P=np in genere (per materiali isotropi) la polarizzazione è parallela al
campo elettrico.
Se la lastra di materiale ha spessore l e superficie S, posta perpendicolarmente
al campo E, la polarizzazione parallela a E è perpendicolare a S.
Il momento di dipolo totale è P per volume:
P(Sl)= (PS)l
l è la distanza tra le due cariche sulle superfici del parallelepipedo.
Dalla definizione di momento di dipolo (carica per distanza) P(Sl) = Ql
abbiamo PS=Q cioè la carica sulle superfici S.
Possiamo generalizzare il risultato:
la carica per unità di superficie di un pezzo di
materiale polarizzato è uguale alla componente
della polarizzazione P nella direzione della normale
alla superficie del corpo.
σ
r r
= P ⋅u n
r
un
versore normale
alla superficie
Vettore spostamento elettrico
Se inseriamo tra due piani
carichi con uguale densità
di carica σLIB una lastra di
dielettrico, sulle sue superfici
affacciate ai piani carichi
viene indotta una carica di
polarizzazione per unità
di area pari a
σPOL=P
Il campo elettrico dentro alla lastra sarà il risultato
della carica totale nei piani e sulle facce della lastra:
σ = σLIB + σPOL = σLIB - P
Quindi il campo E vale:
1
σ
E =
=
(σ
ε 0
ε 0
LIB
− P )
σ
LIB
= ε
0
E + P
Si può definire un vettore Spostamento Elettrico D, tale che la
componente di D lungo la normale alla superficie di un conduttore
immerso in un dielettrico è uguale alla densità di carica libera
superficiale sul conduttore
σ
LIB
r
r
= D ⋅u n
σ LIB = ε 0 E + P
r
D = ε
Da cui, generalizzando il risultato
in forma vettoriale
0
r
r
E + P
L’unità di misura dello spostamento elettrico nel S.I. è
[D] = C m -2
(la stessa della polarizzazione P)
Essendo
σ
LIB
r
r
= D ⋅u n
il flusso del vettore spostamento elettrico
attraverso una superficie chiusa è uguale alla
carica “libera” totale entro la superficie
qLIB
r r
= ∫ D ⋅ dS
S
Suscettività e permettività elettrica
In molti materiali (ma non è sempre vero) il vettore polarizzazione è parallelo al
vettore campo elettrico risultante nel materiale:
r
P = ε
0
χ
e
r
E
Dove χe è una costante adimensionata detta suscettività elettrica, che dipende dal
materiale.
Quindi se riprendiamo la definizione di vettore spostamento elettrico otteniamo:
r
r r
r
r
D = ε0E + P = ε0E + ε0χeE =
r
= (1 + χ e )ε 0 E
r
r
D =ε E
ε=(1+χE)ε0 è detta permettività o costante dielettrica del mezzo.
εr=(1+χE) è detta permettività relativa o costante dielettrica relativa.
Riprendendo la legge di Gauss per il vettore D
qLIB
r r
r r
= ∫ D ⋅ dS = ∫ εE ⋅ dS
S
S
r r qLIB
∫ E ⋅ dS =
S
ε
N.B. nel caso in cui non si consideri la costante dielettrica relativa, la
legge di Gauss deve tenere conto sia delle cariche libere che di quelle di
polarizzazione
r r q LIB + q POL
∫ E ⋅ dS =
S
ε0
r r q LIB
∫ E ⋅ dS =
ε
S
Per una carica puntiforme q il campo nel vuoto risulta
E0 =
q
4πε 0 r 2
La stessa carica in un dielettrico ha campo
E=
q
4πε 0ε r r 2
Cioè smorzato di un
fattore εr rispetto al
vuoto.
Lo smorzamento del campo elettrico di una carica in un mezzo, rispetto alla stessa
carica nel vuoto, è una conseguenza degli effetti di schermatura dei dipoli elettrici
indotti o orientati dal campo elettrico sorgente.
Per una piastra con densità di carica superfic. libera σLIB e di
polarizzazione σPOL
r r q LIB
∫ E ⋅ dS =
S
ε
E=
σ LIB σ LIB
=
ε
ε 0ε r
Senza dielettrico tra le piastre risulterebbe E0 =
σ LIB
ε0
E risulta “smorzato” di un fattore εr rispetto al vuoto.
La suscettività elettrica descrive la risposta di un mezzo al campo
elettrico applicato.
r
P = ε
0
χ
e
r
E
C’è da aspettarsi una differenza se il campo è stazionario o variabile,
e c’è da aspettarsi una variazione con la temperatura
χe = A +
B
T
Legge di Curie
A dipende dallo spostamento dei baricentri delle cariche + e -;
B dall’orientazione dei dipoli microscopici, che peggiora con
l’agitazione termica.
La capacità elettrica e i condensatori
Se prendiamo un conduttore isolato su cui si trova la carica Q si può
dimostrare che qualunque sia la geometria la carica Q è proporzionale
al potenziale V
Q
= CV
La costante C è detta capacità elettrica del conduttore.
ESEMPIO: prendiamo una sfera metallica di raggio R con carica Q:
V=
Q
4πεR
E quindi: C
= 4 πε R
La capacità si misura in FARAD [F]=CV-1 nel S.I.
CONDENSATORE
Quando prendiamo due conduttori isolati su cui abbiamo posto due cariche Q
uguali in modulo ma di segno opposto abbiamo un CONDENSATORE e si può
dimostrare che qualunque sia la geometria del sistema
Q
= C ∆ V
∆V è la diff. di pot. tra i
metalli e C dipende solo
dalla geometria e dal
dielettrico in cui il
condensatore è immerso.
CONDENSATORI
CONDENSATORI:
“bundling” e bottiglia di Lenden
il “bundling” era praticato nelle corti del 18mo
secolo: persone di sesso opposto nello stesso
letto, con una barriera per mantenerle distanti.
Nella bottiglia di Leyden, cariche opposte sono separate
dal vetro; le linee di forza sono concentrate dentro il
vetro, l’energia è accumulata dentro il vetro della
bottiglia. Per scaricare la bottiglia basta connettere con
un filo conduttore il lato + ed il lato – del vetro.
Il condensatore a facce piane e parallele
DATI:
area facce S; carica Q; densità di
carica σLIB=Q/S
E
Q
=
εS
C
=
=
σ
LIB
V
1
− V
2
= E ⋅ d
=
σ
Senza dielettrico tra le
piastre risulterebbe
C
C0 =
=
εS
d
d
=
ε
ε
Q
∆ V
LIB
=
ε
0
ε
r
Q ⋅ d
S ⋅ε
S
d
ε0S
d
La Capacità C di un condensatore risulta incrementata di un fattore εr
rispetto all’assenza di dielettrico (vuoto tra le piastre)
Energia del campo elettrostatico
Se cerchiamo di caricare un condensatore a facce piane parallele di
capacità C, il lavoro fatto per portare la carica dq sulle facce vale:
dL
= Vdq
Ma V è la diff. di pot. tra le armature
q
V=
C
Per il caricamento totale si fa un lavoro
V0
Q
V0
V0
q
1 Q2
L = ∫ Vdq = ∫ dq =
2 C
C
0
0
1
2
L = ∫ Vdq = ∫ Vd (CV ) = CV0
2
0
0
Immagazzinamento di
60 MJ
Progetto Nova: fusione nucleare.
10000 condensatori al Lawrence Livermore National laboratory immagazzinano
60 MJ di energia e la rilasciano in 1 ms a lampade che pilotano un laser.
Dove va a finire il lavoro L del generatore per caricare il condensatore ?
Nella costruzione del campo elettrico dentro il condensatore.
Quindi diventa energia del campo elettrostatico.
Calcoliamo questa energia in funzione di E
per un condensatore a facce piane e parallele:
1
2
L = CV0 = W en. campo elettr.
2
εS
ma ricordando : C = ; V0 = Ed
d
1 εS
1 2
2
W = ( )( Ed ) = εE ( Sd )
2 d
2
Introducendo il concetto di densità di energia del campo elettrostatico:
W
1 2
w=
= εE
( Sd ) 2
Si può dimostrare che il risultato è generalizzabile a qualsiasi campo elettrostatico
Serie e paralleli di condensatori
1
=
capacità in serie
Ceq
∑
capacità in parallelo C
eq
1
Ci
=
∑
C
i
