Teoria delle File di Attesa

Teoria delle File di Attesa
• Una coda, o fila di attesa, si forma quando degli utenti
attendono di essere serviti da uno o più serventi.
Esempi:
• Studenti agli sportelli della segreteria
• Utenti di un centro di calcolo
• Programmi eseguiti in multiprogrammazione
• Dati che devono essere trasmessi da un satellite.
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Sistemi di Servizio
Serventi
1
Sorgenti di
traffico
Capacità =K
2
1
2
S
Coda
N
Stazione di servizio
Strutture di un sistema di servizio
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Sistemi di Servizio
In un sistema di servizio in generale risultano aleatori:
• Gli istanti di tempo in cui si generano le richieste di
servizio.
In questo caso si ricorrere ad una descrizione statistica
dei tempi di interarrivo delle richieste oppure del
numero delle richieste in un certo intervallo di tempo.
• La durata di ogni servizio.
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Teoria delle Code
(Sistemi di Flusso, di Servizio, o “Queuing Systems”; File di Attesa)
Un punto di Poisson può rappresentare l’arrivo di un utente (persona ad uno
sportello, richiesta di collegamento ad un centralino telefonico, pacchetto dati ad
uno switch…) con assegnata intensità (o “frequenza di arrivo”) indicata con
:
valore atteso del numero di arrivi in
Il tempo di interarrivo
ha densità di probabilità che nel caso markoviano è
esponenziale con parametro
:
τ
t
Δt
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Teoria delle Code
(Sistemi di Flusso, di Servizio, o “Queuing Systems”; File di Attesa)
Utenti
Il tempo di servizio
SERVIZIO
Utenti
serviti
può essere supposto con distribuzione esponenziale
(caso Markoviano) di intensità :
Il tempo totale “speso” nel sistema è
e dipende da λ, da µ e dalle leggi
di arrivo e di servizio.
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Teoria delle Code
(Sistemi di Flusso, di Servizio, o “Queuing Systems”; File di Attesa)
Per definizione, il numero medio di arrivi per unità di tempo è λ ed il numero
medio di servizi per unità di tempo è µ .
Utenti
: arrivi
: servizi
10
n(t) = numero di utenti nel sistema
5
n(t)
1
tempo
0
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Sistemi di Servizio
Il numero n di utenti nel sistema ad un certo istante è una
variabile aleatoria che dipende:
• Dalla statistica degli arrivi;
• Dalla statistica del tempo di servizio;
• Dalle condizioni iniziali.
Un sistema di servizio può essere trattato tramite la teoria
dei processi di nascita e di morte.
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Processi di Nascita e Morte
Sono processi di Markov in cui sono permesse solo le transizioni tra
, ,
stati contigui:
j-1
.
j
j+1
Qui interessa il caso tempo-continuo con transizioni permesse solo
da/a stati contigui: da a
1 (nascita) oppure da a
(morte).
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Processi di Nascita e Morte
nascita
i
i-1
i+1
morte
Tasso di nascite per popolazione di dimensione i:
(analoga-mente per
e
).
dipendono dallo stato ma non dal tempo
catena di Markov
omogenea.
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Sistemi di Servizio
Un sistema di servizio è definito da:
• Il numero S delle sorgenti che generano richieste di
servizio.
• La statistica delle richieste di servizio.
• La capacita K della coda (massimo numero di richieste
che possono essere messe in attesa).
• La modalità di gestione della file d’attesa.
• Il numero N dei serventi.
• La statistica della durata dei servizi.
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Sistemi di Servizio
Nella pratica S, K ed N sono finiti, ma dai casi limite per:
S → ∞, K → ∞, N → ∞
risultano modelli semplificati che sono di particolare utilità in
alcune applicazioni.
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Classificazione dei Sistemi di Servizio
• Sistemi a pura perdita:
0
Una richiesta di servizio viene soddisfatta senza attesa se c’è un
servente libero, altrimenti viene rifiutata.
• Sistemi a pura attesa: S ≤ K + N
Tutte le richieste vengono soddisfatte.
• Sistemi ad attesa con perdite: S > N + K
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Descrizione Sintetica di un Sistema di Servizio
Notazione di Kendall, costituita da 5 simboli:
A1 / A2 / N / K / S
in cui
• A1 definisce la distribuzione dei tempi di interarrivo;
• A2 definisce la distribuzione dei tempi di servizio;
• N numero di serventi;
• K capacità della coda;
• S numero di sorgenti.
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Descrizione Sintetica di un Sistema di Servizio
Per A1 ed A2 i simboli più usati sono i seguenti:
• M ~ Esponenziale (da Markoviana: senza memoria, si
vedano le proprietà del processo di Poisson)
• Em ~ Erlangiana di ordine m
• H m ~ Iperesponenziale di ordine m
•D
~ Deterministica (costante)
•G
~ Generale (descritta dal solo valore medio)
Se K ed S non figurano, si intende che essi sono di valore
infinito.
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Modalità di Gestione della File di Attesa
I casi più frequenti sono i seguenti:
• FIFO (First In First Out) ovvero FCFS (First Come First
Served)
• LIFO (Last In First Out) ovvero LCFS (Last Come First
Served)
• SJF (Shortest Job First)
• LJF (Largest Job First)
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Processi di Nascita e Morte
• Nel nostro caso la grandezza di interesse è il numero di
utenti presenti (o perché in coda o perché vengono
serviti) nel sistema di servizio, che costituiscono il valore
del processo, denominato stato del processo.
• Indichiamo con X ( t ) il valore (stato) del processo
all’istante t.
• X ( t ) è un intero non negativo.
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Proprietà dei Processi di Nascita e Morte
• X ( t ) è un processo di Markov del primo ordine, cioè
gode della proprietà di assenza di memoria.
• La probabilità che si verificano nascite o morti a gruppi:
{
}
P X (t + h ) = j X (t ) = i = o (h )
j −i ≥ 2
con h intervallo di durata “molto piccola”, è un
infinitesimo, o ( h ) , di ordine superiore ad h.
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Proprietà dei Processi di Nascita e Morte
• La probabilità che si verifichi una nascita:
{
}
P X ( t + h ) = i + 1 X ( t ) = i = λi ⋅ h + o ( h )
con h intervallo di durata “molto piccola”, dipende dallo
stato attuale del processo (cioè da i) ed è proporzionale
( λi ) alla durata dell’intervallo h.
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Proprietà dei Processi di Nascita e Morte
• La probabilità che si verifichi una morte
{
}
P X ( t + h ) = i − 1 X ( t ) = i = μi ⋅ h + o ( h )
con h intervallo di durata “molto piccola”, dipende dallo stato
attuale del processo ed è proporzionale (con coefficiente di
proporzionalità μi generalmente diverso da quello delle
nascite λ i ) alla durata dell’intervallo.
• I parametri λ i e μi sono dette rispettivamente frequenze di
nascita e di morte.
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Processi di Nascita e Morte
Si possono considerare i seguenti eventi:
• A = { Avviene una Nascita in un intervallo infinitesimo}
X ( t ) = i − 1 e X ( t + dt ) = i
(è possibile solo se i ≥ 1 )
• B = { Avviene una Morte in un intervallo infinitesimo}
X ( t ) = i + 1 e X ( t + dt ) = i
• C = {Non Avvengono né Nascite né Morti}
X ( t + dt ) = X ( t ) = i
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Processi di Nascita e Morte
Per le proprietà dei processi di nascita e morte si ha:
(trascurando gli infinitesimi di ordine superiore)
P { A} = λ i −1dt
P {B} = μi +1dt
P {C } = (1 − λ i dt )( 1 − μi dt ) ≅ 1 − ( λ i + μ i ) dt
Per il teorema della probabilità totale, la probabilità che il
processo abbia valore i all’istante t + dt è allora:
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Processi di Nascita e Morte
P { X ( t + dt ) = i} =
= P { X ( t ) = i − 1} P { A} + P { X ( t ) = i + 1} P {B} + P { X ( t ) = i} P {C } =
= P { X ( t ) = i − 1}λi −1dt + P { X ( t ) = i + 1} μi +1dt + P { X ( t ) = i} ⎡⎣1 − ( λi + μi ) dt ⎤⎦
Questa espressione si può opportunamente riscrivere sotto
forma di equazione differenziale:
dP { X ( t ) = i}
dt
=
P { X ( t + dt ) = i} − P { X ( t ) = i}
dt
=
= P { X ( t ) = i − 1}λ i −1 + P { X ( t ) = i + 1}μ i +1 − P { X ( t ) = i}( λ i + μ i )
(1)
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Processi di Nascita e Morte
Nel caso particolare in cui i = 0 si ha: λ −1 = 0 e μ0 = 0
dP { X ( t ) = 0}
dt
= P { X ( t ) = 1} ⋅μ1 − P { X ( t ) = 0} ⋅ λ 0
(2)
La soluzione delle (1) e (2) non è in generale agevole,
inoltre occorre conoscere la distribuzione di probabilità degli
stati del processo a regime, cioè in condizioni di
stazionarietà. Questa distribuzione si ottiene ponendo:
dP { X ( t ) = i}
dt
=0
dP { X ( t ) = 0}
dt
=0
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Processi di Nascita e Morte
Da
dP { X ( t ) = 0}
dt
= 0 si ottiene:
λ0
P { X ( t ) = 1} =
P { X ( t ) = 0}
μ1
(3)
Dalla (1) per i = 1 si ha:
P { X ( t ) = 0}λ 0 + P { X ( t ) = 2}μ 2 = P { X ( t ) = 1}( λ 1 + μ1 )
sostituendo la (3) in quest’ultima equazione, si ottiene:
λ0 ⋅ λ1
λ1
P { X ( t ) = 2} = P { X ( t ) = 0}
= P { X ( t ) = 1}
μ1 ⋅μ 2
μ2
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Processi di Nascita e Morte
Ripetendo la procedura per i = 2 si ottiene:
λ0 ⋅ λ1 ⋅ λ 2
λ2
P { X ( t ) = 3} =
P { X ( t ) = 0} = P { X ( t ) = 2} =
μ1 ⋅μ 2 ⋅μ3
μ3
In generale risulta:
n −1
∏
P { X ( t ) = n } = P { X ( t ) = 0}
i =0
λi
μ i +1
(4)
oppure
P { X ( t ) = n} ⋅μ n = P { X ( t ) = n − 1} ⋅ λ n −1
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25
Processi di Nascita e Morte
La
n −1
∏
P { X ( t ) = n } = P { X ( t ) = 0}
i =0
λi
μ i +1
non permette ancora di ricavare le probabilità degli stati del
processo in quanto dipende da P { X ( t ) = 0} che è ancora
incognita.
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Processi di Nascita e Morte
Utilizzando la condizione che la somma delle probabilità di
tutti gli stati deve esse unitaria e ricordando che il numero
massimo di utenti nel sistema è la somma del numero di
serventi N e del numero K di posti in attesa:
N +K
∑ P { X ( t ) = i} = 1
i =0
P { X ( t ) = 0} +
N +K
∑ P { X ( t ) = i} = 1
i =1
ed utilizzando la (4), si ottiene:
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Processi di Nascita e Morte
P { X ( t ) = 0} +
N +K
i −1
λj
∑ P { X ( t ) = 0} ⋅ ∏ μ
i =1
j =0
N +K
⎡
P { X ( t ) = 0} ⋅ ⎢ 1 +
⎢
i =1
⎣
i −1
∑∏
P { X ( t ) = 0} =
j =0
=1
j +1
λj ⎤
⎥=1
μ j +1 ⎥
⎦
1
N + K i −1
1+
λj
∑∏ μ
i =1
j =0
j +1
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Processi di Nascita e Morte
Affinché esista una distribuzione di probabilità degli stati a
(
)
regime P { X ( t ) = 0} ≠ 0 deve essere verificata:
N + K i −1
λj
∑∏ μ
i =1
j =0
j +1
< ∞ (condizione di stabilità)
(7)
altrimenti sia lo stato 0 che tutti gli altri stati avrebbero
probabilità nulla.
La condizione di stabilità è certamente soddisfatta se il
numero di stati del sistema (e quindi N + K) è finito.
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Rappresentazione di un Processo di Nascita e Morte
Grafo di transizione degli stati
2
0
N+ K-1
1
0
1
1
2
N+ K
2
3
N+ K
Le equazioni:
P { X ( t ) = n} ⋅μ n = P { X ( t ) = n − 1} ⋅ λ n −1
vengono dette equazioni di bilanciamento.
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Fattore di Utilizzazione
Si definisce fattore di utilizzazione ρ la probabilità di utilizzo
e quindi (supponendo il processo stazionario ed ergodico) il
valore atteso della frazione di tempo in cui il sistema è
utilizzato.
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Fattore di Utilizzazione
Dall'espressione:
P0 = P { X ( t ) = 0} =
1
N + K i −1
1+
∑∏ μ
i =1
si ricava:
∞
ρ=
n −1
∑∏
j =0
j +1
λi
μ i +1
n =1 i = 0
∞ n −1
1+
λj
∑∏
n =1 i =0
λi
μ i +1
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32
Code M/M/1
Si consideri il caso stazionario di:
• arrivi e partenze Markoviane, parametri fissi;
• un solo servente;
• la coda può essere comunque lunga.
0
1
2
n
Grafo di transizione degli stati per la coda M/M/1
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Code M/M/1
Si ha quindi: λ n = λ , μ n = μ per n = 1,2,3,...
Inserendo questi valori nella (7), si ottiene:
∞
n −1
∑∏
n =1 i = 0
λi
=
μ i +1
∞
n
⎛λ⎞
λμ
⎜ μ ⎟ = 1− λ μ
n =1 ⎝ ⎠
∑
λ
<1
μ
per λ > μ la serie diverge.
Per il fattore di utilizzazione si ha:
λ
ρ=
μ
λ
P0 = 1 −
μ
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Code M/M/1
Ricordando l’espressione
n −1
∏
Pn = P { X ( t ) = n} = P { X ( t ) = 0}
i =0
λi
= P0
μ i +1
n −1
∏
i =0
λi
μ i +1
λ
noto P0 = 1 − = 1 − ρ nel caso M/M/1 si ottiene una
μ
distribuzione Geometrica di parametro ρ :
n
⎛λ⎞
n
Pn = P0 ⎜ ⎟ = ( 1 − ρ ) ρ
⎝μ⎠
Grandi valori di n (cioè elevate occupazioni) sono più
probabili per ρ vicino all’unità piuttosto che per ρ bassi.
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Code M/M/1
Distribuzione stazionaria del numero di utenti in un sistema
M/M/1
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Code M/M/1
La probabilità che l’unico servente sia occupato è:
P { X ( t ) > 0} = 1 − P { X ( t ) = 0} = 1 − P0 = 1 − ( 1 − ρ ) = ρ
Il numero medio di utenti nel sistema è:
∞
∞
ρ
E [n] =
n ⋅ Pn = ( 1 − ρ )
n ⋅ρ =
1−ρ
n =0
n =0
∑
∑
n
cioè tende a infinito per ρ → 1.
Se si vuole un elevato fattore di utilizzazione occorre
accettare una coda alquanto lunga!
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Code M/M/∞
Si consideri un sistema con un numero illimitato di serventi
(N infinito), per cui ogni utente che entra nel sistema trova
un servente libero (lunghezza nulla della coda). Siano
λ n = λ , μ n = n ⋅μ per n = 1,2,3,...
0
1
2
2
n
3
n
(n+ 1)
Grafo di transizione degli stati per la coda M/M/∞
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Code M/M/∞
n −1
Inserendo tali espressioni in Pn = P0
∏
i =0
⎛λ⎞
Pn = P0 ⎜ ⎟
⎝μ⎠
n
1
n −1
∏ ( i + 1)
λi
, si ha:
μ i +1
n
⎛λ⎞ 1
= P0 ⎜ ⎟
⎝ μ ⎠ n!
(a)
i =0
Dall’espressione generale di
1
P0 =
∞
1+
∑
i =1
1 ⎛λ⎞
i! ⎜⎝ μ ⎟⎠
i
=e
−
λ
μ
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39
Code M/M/∞
per cui, dalle (a) e (b) si ottiene:
n
−
λ
μ
−A
⎛λ⎞ e
e
= An
Pn = ⎜ ⎟
(c)
n!
⎝ μ ⎠ n!
cioè la distribuzione del numero di utenti nel sistema è
λ
Poissoniana di parametro A = .
μ
• A = E [ n ] coincide col numero di serventi attivi. Nelle
ipotesi per cui l’espressione (c) è valida E [ n ] dipende
solo dal loro rapporto tra λ e μ.
• A è detto intensità di traffico o brevemente “traffico”.
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Code M/M/N/∞
Si consideri il caso stazionario con le stesse ipotesi
(processi Markoviani) dell’applicazione precedente ma con
N serventi. Si ha:
per 0 < n < N
⎧n ⋅μ
λ n = λ per n = 0,1,2,... μ n = ⎨
N ≤n
⎩ N ⋅μ per
0
1
2
2
n
3
N
N
Grafo di transizione del modello M/M/N/∞
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Code M/M/N/∞
• Finché ci sono serventi liberi l’utente viene servito
immediatamente, viceversa quando le N stazioni di
servizio sono occupate l’utente è in coda.
• E' questo il caso di un servizio "con prenotazione".
1
P0 = N −1
K
N
λ μ)
(
⎛λ⎞ 1
⎜ μ ⎟ K ! + N ! ( 1 − λ μN )
K =0 ⎝ ⎠
∑
n
⎛λ⎞ 1
Pn = P0 ⎜ ⎟
⎝ μ ⎠ n!
per
n≤N
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Code M/M/N/∞
Si può ora calcolare la probabilità P* che gli N serventi
siano tutti occupati:
N −1
P* = 1 −
∑P
n
n =0
Utilizzando le precedenti espressioni si ricava la “formula C
di Erlang”:
(λ μ)
N
N ! (1 − λ N μ )
N
A
⋅
*
P = C ( M ,λ μ ) = P0
N
N ! ( N − A ) N −1 ( λ μ ) K
λ μ)
(
+
∑
K!
N ! (1 − λ N μ )
K =0
N
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Code M/M/N/0
Il sistema M/M/N/0 differisce dal precedente perché quando
tutti gli N serventi sono occupati l’utente viene rifiutato (caso
del servizio telefonico con N linee disponibili in centrale). Il
sistema è del tipo "a perdita".
⎧λ se n < N
λn = ⎨
μ n = n ⋅μ
Si ha quindi:
⎩0 se n ≥ N
0
1
2
2
N
3
N
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⎧
⎪ P0
Pn = ⎨
⎪
⎩0
⎛
P0 = ⎜ 1 +
⎜
⎝
di conseguenza:
∞
n −1
∏
i =0
n
⎛λ⎞ 1
λi
= P0 ⎜ ⎟
μ i +1
⎝ μ ⎠ n!
n≤N
n>N
n −1
∑∏
n =1 i =0
λi ⎞
⎟
μi +1 ⎟⎠
−1
⎛
= ⎜1 +
⎜
⎝
⎛λ⎞ 1 ⎞
⎜ μ ⎟ n! ⎟⎟
n =1 ⎝ ⎠
⎠
N
∑
n
−1
n
⎛λ⎞ 1
⎜ μ ⎟ n!
Pn = N⎝ ⎠ n
⎛λ⎞ 1
⎜ μ ⎟ n!
n =0 ⎝ ⎠
∑
n≤N
Università di Roma Tor Vergata AA 2012/13 Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori 45
Code M/M/N/0
Ponendo n = N si ricava la probabilità che l’utente venga
rifiutato perché gli N serventi sono occupati.
Nell’esempio, la probabilità di trovare “occupato”, è nota
come formula B di Erlang:
N
⎛λ⎞ 1
⎜μ⎟ N!
B ( N ,λ μ ) = N⎝ ⎠ n
⎛λ⎞ 1
⎜ μ ⎟ n!
n =0 ⎝ ⎠
∑
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MISURA DEL TRAFFICO
• Il rapporto
coincide con il “traffico”, misurato in Erlang. Nel caso
della telefonia, un utente che è sempre attivo “offre” il traffico di un
Erlang in quanto occupa una linea telefonica il 100 % del tempo.
• Più realisticamente, un utente attivo al 10 % del tempo offre il
traffico di: 0.1 E; dieci di tali utenti offrono il traffico di 1 E.
• Se ad uno sportello arrivano in media 2 persone al minuto e il
tempo medio per svolgere il servizio di sportello è di dodici
secondi, si ha (in
):
e
che corrisponde a 0.4
Erlang.
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ESEMPIO
Una centralina telefonica serve un traffico offerto di 5 Erlang (ad esempio, 50
utenti, ciascuno dei quali offre 0.1 E, cioè occupa il sistema al 10 %).
a) Dimensionare il numero di collegamenti tra centralina e utenti in modo che
la probabilità di perdita (di trovare occupato)
Si calcola la formula B per
sia al più l’uno per cento.
5 e valori crescenti del numero N di serventi,
cioè di linee.
Per N = 10,
B = 1.83·10-2
1%
Per N = 11,
B = 8.29·10-3
1%
Quindi si sceglie N = 11.
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ESEMPIO (segue)
b) Calcolare il fattore di utilizzazione di una linea.
.
Traffico smaltito:
.
Fattore di utilizzazione:
Commento:
Per consentire una buona
0.01 qualità del servizio occorre
utilizzare le linee a meno del 50 %.
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Teoria delle Code – Esercizi
a) Dato un sistema di flusso del tipo M/M/1/1 (esempio: una sala di
lettura con una sola sedia e un posto in attesa)
determinare le
probabilità degli stati al variare del tempo medio tra due arrivi e
del tempo medio di permanenza in lettura.
Soluzione
1
0
1
0
2
0
0
1
0
1
1
0
1
2
2
1
Si ha:
ATTESA LETTURA TOT
,
Università di Roma Tor Vergata Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori 50
Risolvendo le equazioni:
1
si ottiene
1
1
1
Università di Roma Tor Vergata Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori 51
1
0.33
0.33
0.33
0.5
0.58
0.28
0.14
0.1
0.9
0.09
0.009
10
0.009
0.09
0.9
Commento: al crescere del rapporto tra durata media della
lettura e tempo medio tra due arrivi il rendimento 1
si
abbassa.
Università di Roma Tor Vergata Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori 52
b) Come l’esercizio 1, con due serventi (due posti a sedere) e
nessun posto in coda (sistema “a perdita”).
Soluzione
1
0
ATTESA LETTURA TOT
0
0
0
0
1
2
1
0
0
1
2
1
Si ha:
2
2
,
2
Università di Roma Tor Vergata Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori 53
cioè
1
2
;
1
⁄2
1
2
2
Università di Roma Tor Vergata Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori 54
1
0.4
0.4
0.2
0.1
0.905
0.09
0.0045
10
0.016
0.154
0.82
Commento: si hanno valori di
più alti del caso precedente, in
quanto l’assenza di coda riduce l’efficienza di utilizzazione del
sistema a parità di traffico.
Università di Roma Tor Vergata Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori 55
Esercizi da svolgere
c) Come il precedente esercizio (b) con un posto in attesa (coda
di capacità 1)
d) Come il precedente esercizio (a)con una coda di capacità
infinita.
Università di Roma Tor Vergata Corso di Teoria dei Fenomeni Aleatori 56