p 10 pppppppp 10 pm 9 mmmmmmm 9 m AAAA

Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004
Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 23 giugno 2004
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Nella partita di stasera tra Germania e Repubblica Ceca, si definiscano i seguenti eventi :
E1 = “la Germania vince”, Ex = “le due squadre pareggiano”, E2 = “la Repubblica Ceca vince”.
Si supponga che un book-maker abbia stabilito le seguenti scommesse : E1 1.8 :1 (ossia versando una somma α
in caso di vittoria della Germania si riceve 1.8α e si guadagna 0.8α), EX 3.6 :1, E2 6 :1. Stabilire se si tratta di
scommesse coerenti (cerchiare la risposta giusta) .
COERENTI ? SÌ
NO
1
2. Un numero aleatorio avente distribuzione normale è tale che P (X > 5) = , e IP(X 2 ) = 34. Calcolare P (X > 2).
2
P (X > 2) = Φ(1)
3. Su un tavolo si trovano le seguenti carte (3 scoperte e 2 coperte) di un mazzo di carte francesi di 32 carte (dal 7
all’Asso) .
¨
¨
¨
¨
10
¨
¨
10
¨
¨
¨
¨
« 9 «
« « «
«
«
« 9 «
A
A
A
«
A
Scoprendo le due carte, calcolare la probabilità α di ottenere un tris, e la probabilità β di ottenere due coppie.
α=
9
406
β=
27
406
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Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 23 giugno 2004
matricola
cognome
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nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Un numero aleatorio X ha codominio CX = {2, 3, 5, 6} e distribuzione pX =
5 1 1 1
. Ricavare la funzione
, , ,
12 6 4 6
di ripartizione del numero aleatorio X, e calcolare P (3 ≤ X < 6).

0
x<2



5

2≤x<3

 12
5
7
3≤x<5
F (x) =
P (3 ≤ X < 6) =
12

12

5

5≤x<6

6


1
x≥6
2. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme su C = [1, 3] × [1, 2]. Calcolare la probabilità p dell’evento
condizionato E|H, con E = (X < 2Y ), H = (Y > 3/2), stabilire se X e Y sono indipendenti (cerchiare la risposta
giusta) e determinare la retta rY X di regressione di Y su X.
p=1
X e Y indipendenti ? SÌ
NO rY X : y =
3
2
3. Cinque dadi vengono lanciati uno alla volta. I primi tre mostrano le seguenti facce :
l
l
l
l
Dado 1
l
l
l
l
Dado 2
l
Dado 3
Calcolare la probabilità α che, lanciando gli altri due, almeno due mostrino la stessa faccia, e la probabilità β di
ottenere cinque numeri consecutivi.
α=
5
6
β=
1
9
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Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 23 giugno 2004
matricola
cognome
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nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito C
1. Siano dati due eventi A e B tali che A ∪ B = Ω e A ∩ B 6= ∅. Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) =
2
3
, P (B) = è coerente (cerchiare la risposta giusta) .
7
5
COERENTE ? SÌ
NO
2. Un’urna contiene venti palline di cui alcune bianche e le altre nere. Da essa si estraggono con restituzione palline
27
fino ad ottenere per la prima volta pallina nera. Sapendo che la probabilità di fare almeno 4 estrazioni è pari a
,
64
determinare il numero b di palline bianche presenti nell’urna.
b = 15
3. Un’urna contiene 4 palline bianche e 6 nere. Si facciano 10 estrazioni con restituzione. Calcolare la probabilità α di
ottenere 4 palline bianche e la probabilità β di ottenere la seguente sequenza
l m l l m l m l m l
4 6
2
3
5
5
10
α=
4
4 6
2
3
β=
5
5
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Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito D
1. Si abbiano tre urne come mostrato in figura :
m
m l m
U1
l m l
m
m
U2
l m l
m l m
U3
Le tre urne sono poste dietro una tenda ; un uomo nascosto alla nostra vista sceglie a caso un’urna da cui estrae in
blocco due palline ottenendole entrambe bianche. Quale è la probabilità p che abbia estratto dalla prima urna ?
p=
1
2
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson ed è tale che IP(3X 2 ) = 90. Calcolare P (X ≥ 1).
P (X ≥ 1) = 1 − e−5
3. Un’urna contiene 20 palline bianche e 30 nere. Da essa vengono estratte senza restituzione le palline fino a svuotac |E ∪ E c ).
mento completo. Sia Ei =“pallina bianca alla i-esima estrazione”, calcolare P (E27 ∩ E32
32
39
c |E ∪ E c ) =
P (E27 ∩ E32
32
39
29
148
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Compito E
1. Dati gli eventi A,B,C, tali che Ac ⊂ B c ⊂ C c , e tali che P (A) è doppia della probabilità di B, che a sua volta è tripla
di quella di C, determinare l’insieme E dei valori coerenti p di P (C) e calcolare (in funzione di p) la previsione del
numero aleatorio X = |A ∩ B| + |B ∩ C| + |C ∩ A|.
E = {p : 0 ≤ p ≤ 1/6}
IP(X) = 5p
2. Un numero aleatorio continuo X(> 0) è tale che ∀t, s > 0 si ha P (X > t + s) = P (X > t)P (X > s). Sapendo
che P (X > 3) = e−3 , calcolare IP(X 2 )
IP(X 2 ) = 2
3. Un’urna contiene quattro palline numerate bianche e nere come mostrato in figura :
¬ ­
¸ ¹
Da essa vengono estratte una alla volta e senza restituzione tre palline. Definiti gli eventi Bi =“si ottiene pallina bianca alla i-esima estrazione”, Di =“si ottiene pallina dispari alla i-esima estrazione”, i = 1, 2, 3, calcolare
α = P (B1c ∩ D2 ∩ D3 |D1 ∪ B2c ∪ B3c ) e stabilire se gli eventi Bi e Di sono stocasticamente indipendenti per
i = 1, 2, 3 (cerchiare la risposta giusta) .
α=
1
11
Bi e Di indipendenti ? SÌ
NO
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Compito F
1. Un’urna contiene 25 palline bianche, 15 nere e 10 rosse. Da essa vengono estratte con restituzione le palline fino a
quando si ottiene un colore diverso dal bianco. Calcolare la probabilità p che le estrazioni terminino con l’estrazione
di una pallina rossa.
p=
2
5
2. Mario ha giocato sulla ruota del lotto di Venezia i seguenti numeri : 10,37,55,71. Egli assiste in diretta alla estrazione
dei cinque numeri, e i primi tre numeri usciti sono i seguenti
· ¿ ¼
Calcolare la probabilità α che egli realizzi un terno e β che realizzi un ambo.
α=
1
1247
β=
84
1247
3. Ad un pub un gruppo di cinque persone si siede (a caso) attorno ad un tavolo rotondo. Sapendo che il gruppo è
composto da due coppie di fidanzati e un single, calcolare la probabilità q che nessun fidanzato si trovi vicino al
proprio partner.
q=
1
3
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Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 16 luglio 2004
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Compito A
1. In una scuola il 70% degli alunni ha il computer a casa. La probabilità che uno di essi si appassioni a usare il computer
in classe è pari a 9/10 se ha il computer a casa, altrimenti è pari a 1/4. Sapendo che uno studente ha usato il computer,
determinare la probabilità p che egli abbia il computer a casa.
p=
42
47
2. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente distribuzione
√
√
xy (x, y) ∈ [1, 3] × [1, 3]
f (x, y) =
0
altrove
1
Calcolare IP
, stabilire se X e Y sono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) e determinare la retta rY X
XY
di regressione di Y su X.
√
1
√
1
IP
= 2(2 − 3)
X e Y indipendenti ? SÌ
NO rY X : y = 3 −
XY
3
3. Un’urna contiene 4 palline bianche e 6 nere. Da essa vengono estratte le palline nel seguente modo, se è bianca viene
reinserita nell’urna, altrimenti no. Calcolare la probabilità α di ottenere di ottenere la seguente sequenza
l m l l m
α=
8
189
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Compito B
1. Un numero aleatorio X ha codominio CX = {−6, −3, x3 , 6} e distribuzione pX =
1
1
. Sapendo che
p1 , , p 3 ,
3
6
IP(X) = 0, var(X) = 18, determinare i valori x3 , p1 , p3 .
x3 = 3
p1 =
1
6
p3 =
1
3
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale standard. Calcolare IP(X 3 ).
IP(X 3 ) = 0
3. Su un tavolo si trovano le seguenti carte (3 scoperte e 2 coperte) di un mazzo di carte francesi di 32 carte (dal 7
all’Asso) .
¨
¨
¨
¨
10
¨
¨
10
¨
¨
¨
¨
« 8 «
«
«
«
«
« 8 «
¨ 8 ¨
¨
¨
¨
¨
¨ 8 ¨
Scoprendo le due carte, calcolare la probabilità α di ottenere un full (un tris più una coppia), e la probabilità β di
ottenere un poker.
α=
9
406
β=
1
406
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Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 16 luglio 2004
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Compito C
1. Siano A, B, C tre eventi tali che B ⊆ A ∩ C c . L’assegnazione P (B) = 0.6, P (C) = 0.5 è coerente (cerchiare la
risposta giusta) ?
COERENTE ? SÌ
NO
2. Due persone hanno un mazzo di carte per ciascuno da cui estraggono contemporaneamente, indipendentemente e con
restituzione una carta alla volta fino a quando ottengono due carte con lo stesso seme. Determinare il numero medio
N di estrazioni che ognuna di esse fa.
N =4
3. Un’urna contiene sei palline numerate bianche e nere come mostrato in figura :
¬ ­ ®
¹ º »
Da essa vengono estratte in blocco tre palline. Definiti gli eventi
E=
F =
G=
“la pallina più piccola è maggiore di 1”,
“la pallina più grande è minore di 6”,
“sono state estratte più palline bianche che nere”,
stabilire se gli eventi E, F, G sono stocasticamente indipendenti e logicamente indipendenti (cerchiare la risposta
giusta) .
E, F, G stocasticamente indipendenti ? SÌ
E, F, G logicamente indipendenti ? SÌ
NO
NO
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Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 16 luglio 2004
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Compito D
1. Un vettore aleatorio ha distribuzione uniforme sul quadrato di vertici (1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0, −1). Determinare
fX (x), calcolare cov(X, Y ) e stabilire se X e Y sono indipendenti.

 1 + x −1 ≤ x ≤ 0
1−x 0<x≤1
cov(X, Y ) = 0
fX (x) =
X e Y indipendenti ? SÌ
NO

0
altrove
2. Siano dati i tre numeri 4, 10, 25 ; di essi calcolare la media aritmetica x̄, la media armonica α e la media geometrica
γ.
x̄ = 13
α=
100
13
γ = 10
3. Cinque dadi vengono lanciati uno alla volta. I primi tre mostrano le seguenti facce :
l
l
l
Dado 1
l
l
l
l
l
Dado 3
l
l
Dado 2
Calcolare la probabilità α che, lanciando gli altri due, quattro mostrino la stessa faccia, e la probabilità β di ottenere
una coppia più un tris.
α=
1
36
β=
1
12
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Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 16 luglio 2004
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Compito E
1. Siano dati gli eventi A,B,C, tali che C c ⊂ Ac ∩ B c , e il numero aleatorio X = 3|A| − 2|B| + |C|. Esprimere X in
una opportuna forma canonica, e calcolarne la previsione supponendo tutti i costituenti equiprobabili.
X = 2|C1 | + 4|C2 | − |C3 | + |C4 |
IP(X) =
6
5
avendo posto
C1 = A ∩ B ∩ C, C2 = A ∩ B c ∩ C, C3 = Ac ∩ B ∩ C, C4 = Ac ∩ B c ∩ C.
2. Ad un esame sono presenti 50 studenti. Ognuno di essi può prendere un voto (aleatorio) con valor medio 20 e scarto
quadratico 5. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità (approssimativa) α che la media aritmetica di
tutti gli studenti sia superiore a 21.
√
α = 1 − Φ( 2)
3. Si abbiano tre urne come mostrato in figura :
m
m l m
U1
l m l
m
m
U2
l m l
m l m
U3
Dalla prima viene estratta una pallina che viene inserita nella seconda ; dalla seconda viene estratta una pallina che
viene inserita nella terza ; dalla terza viene estratta una pallina che viene inserita nella prima. Quale è la probabilità p
che al termine delle operazioni le tre urne mantengano la stessa composizione iniziale ?
p=
5
14
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Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 16 luglio 2004
matricola
cognome
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nome
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Compito F
1. Un numero aleatorio X ha la seguente densità di probabilità
kx2 x ∈ [−1, 1]
f (x) =
0
altrove
Determinare k e la densità g(y) di Y = 2 − X.
3
k=
2
( 3
(2 − y)2 y ∈ [1, 3]
g(y) =
2
0
altrove
2. Siano dati i seguenti valori numerici 12, 32, 43, 2, 22, 32, 4 ; determinare la moda x∗ , la mediana m e la media aritmetica x̄.
x∗ = 32
m = 22
x̄ = 21
3. Un pulmann per gite scolastiche ha 15 posti a sedere. In esso sono presenti 10 studenti di cui 3 ragazze. Dopo una sosta
ad un autogrill, tutti gli studenti risalgono sul pulmann occupando a caso i posti a sedere. Determinare la probabilità
p che almeno una ragazza occupi un posto su cui sedeva (prima della sosta) un ragazzo.
p=
57
65
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Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 24 settembre 2004
matricola
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Compito A
1. Un vettore aleatorio discreto (X, Y ) è distribuito uniformemente sui punti (0, 0), (1, 2), (−2, 3), (−2, −1), (3, −1).
Determinare la funzione di ripartizione F (z) del numero aleatorio Z = cos(πXY ).


 0
1
F (z) =

 5
1
z < −1
−1 ≤ z < 1
z≥1
2. Si abbiano n numeri aleatori X1 , X2 , ..., Xn , con lo stesso scarto standard σ =
√
10 e tali che ρ(Xi , Xj ) = −
qualunque coppia di indici i, j. Qual è il valore massimo (S) che può assumere var(X1 + X2 + ... + Xn ) ?
1
per
10
S = 30
3. Siano dati due eventi A e B logicamente indipendenti, e il numero aleatorio X = 3|Ac | − 2|B|. Esprimere X 3 in
funzione di |A| e di |B|.
X 3 = 27 − 27|A| − 26|B| + 18|A| · |B|
Il seguente testo è stato dato per errore Si considerino n numeri aleatori X1 , X2 , ..., Xn , con lo stesso scarto standard σ
1
e tali che ρ(Xi , Xj ) = ρ ≤ − per qualunque coppia di indici i, j. Qual è il valore massimo che può assumere n ?
10
nmax = 11
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Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 24 settembre 2004
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Compito B
1. Riempire la seguente tabella con i giusti valori, sapendo che X e Y sono stocasticamente indipendenti, e che var(Y ) =
3.
-1
X
0
1
pY
↓
Y
0
p11 =
1
4
p21 =
1
4
p31 =
1
4
y2 =4
p12 =
1
12
p22 =
1
12
p32 =
1
12
p03 =
1
3
1
3
pX →
1
3
p001 =
3
4
1
4
1
2. La probabilità che un cacciatore colpisca un uccello in volo è pari a
. Calcolare la probabilità p che su 200 tentativi
100
colpisca almeno due uccelli, prima in modo esatto (α), e poi con una opportuna approssimazione (β).
α = 1 − 2.99
99
100
199
β = 1 − 3e−2
α ' β ' 0.59
3. In un’ urna ci sono tre dadi : uno normale, uno con tutte e sei le facce che mostrano ‘2’, e uno con tutte e sei le facce
che mostrano ‘5’. Da essa ne vengono estratti due a caso e vengono lanciati senza guardarli. Sapendo che la somma
delle facce mostrate è 7, calcolare la probabilità p che il dado normale sia rimasto nell’urna.
p=
3
4
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Compito C
1. Un numero aleatorio X è equidistribuito
sul codominio CX = {−4, −2, 2, 4}. Determinare previsione e varianza del
1
.
numero aleatorio Y = log2
|X|
IP(Y ) = −
3
2
var(Y ) =
1
4
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con scarto quadratico (σ) doppio del valor medio (m).
Calcolare α = P (−σ ≤ X < m| − m < X < σ).
α=
Φ(1) − 21
Φ(1) − 1 + Φ
1
2
3. Una persona ha davanti a sé due mazzi di carte italiane, ad uno dei quali tutte le figure sono state sostituite con assi.
Egli ne sceglie uno a caso e compie estrazioni con restituzione fino ad ottenere per la prima volta un asso. Avendo
compiuto 4 estrazioni, quale è la probabilità p che abbia scelto il mazzo non modificato ?
p=
27
59
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Compito D
1. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente distribuzione
2x−3y
ke
(x, y) ∈ (−∞, 0] × [0, +∞)
f (x, y) =
0
altrove
Determinare k, stabilire se X e Y sono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) e determinare la retta rY X di
regressione di X su Y .
k=6
X e Y indipendenti ? SÌ
NO
rXY : x = −
1
2
2. La conoscenza del peso θ (espresso in grammi) di un bullone è rappresentata dalla densità β(θ) = N10,2 (θ). Per
migliorare la conoscenza il bullone viene pesato 8 volte con una bilancia che commette un errore attorno al valore effettivo (θ) avente distribuzione normale con scarto quadratico pari a 1. Sapendo che le misure sono state
(8, 10, 11, 10, 12, 10, 9, 10), determinare la distribuzione finale.
β(θ|x) = N10, √2 (θ)
33
3. Un signore decide di puntare sempre sul numero ‘43’ sulla ruota del lotto di Roma. Quante estrazioni (N ) deve
attendere mediamente prima che esso venga estratto ?
N = 18
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Compito E
1. Due dadi vengono lanciati contemporaneamente. Determinare codominio e distribuzione di Z =‘massimo numero
uscito’.
CZ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
pZ =
1 3 5 7 9 11
, , , , ,
36 36 36 36 36 36
2. Siano X, Y due numeri aleatori, con Y = arctan(2 + kX). Esistono valori di k tali che il coefficiente di correlazione
ρ(X, Y ) valga 1 (cerchiare la risposta giusta) ?
SÌ
NO
3. In un’urna le palline bianche sono il doppio di quelle nere. Da essa si estraggono senza restituzione le palline fino a
8
dimezzarne il contenuto, e sia X =‘numero di palline bianche estratte’. Sapendo che var(X) =
quante palline
11
(n) sono state estratte ?
n=6
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004
Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 24 settembre 2004
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito F
1. Un numero aleatorio X ha la seguente densità di probabilità
kx2 x ∈ [−1, 1]
f (x) =
0
altrove
Determinare k e la densità g(y) di Y = 1 − X 2 .
3
k=
2
( 3p
1 − y y ∈ [0, 1]
g(y) =
2
0
altrove
2. In una classe di 40 studenti si sta svolgendo il tema di italiano. Il numero (aleatorio) di errori di ortografia che ognuno
1
di essi commette ha valor medio pari a
. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità (approssimativa)
20
α che in tutta l’aula si abbiano almeno 2 errori.
α=
1
2
3. Siano dati due eventi A e B. È coerente l’assegnazione P [(A ∩ B)c ] < P (Ac ∩ B c ) (cerchiare la risposta giusta) ?
COERENTE ? SÌ
NO
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 17 dicembre 2004
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Siano dati due eventi A e B tali che A ∪ B = Ω e A ∩ B 6= ∅. Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) =
11
2
, P (B) =
è coerente (cerchiare la risposta giusta) .
7
21
coerente SÌ
NO
2. Quattro studenti riempiono a caso la matrice numerica 2 × 2 mostrata in figura con i rispettivi numeri di matricola.
... ...
... ...
Calcolare la previsione di X =‘determinante della matrice’.
IP(X) = 0
3. Un numero aleatorio continuo X > 0 è tale che P (X > t)P (X > s) = P (X > t + s)
P (X > 4) = 0.7, determinarne il valore medio M .
M=
∀t, s > 0 ; sapendo che
4
ln 10 − ln 7
4. La quantità di sodio (misurata in mg/litro) presente in un tipo di acqua è un numero aleatorio (θ) avente distribuzione
uniforme tra 3 e 4. Per avere una stima più precisa si effettua una nuova misura con uno strumento che è soggetto
ad un errore avente distribuzione normale centrata sul valore effettivo e scarto quadratico medio pari a 1. Avendo
ottenuto il valore 3.5, determinare la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.
α(x|θ) = N3.5,1 (θ)


N3.5,1 (θ)
β(θ|x) =
2Φ(0.5) − 1

0
θ ∈ [3, 4]
altrove.
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 17 dicembre 2004
matricola
cognome
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nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. La probabilità che uno studente che si è prenotato si presenti ad un esame è positiva ; la probabilità che egli consegni
5
l’elaborato sapendo che si è presentato è pari a ; la probabilità che egli superi la prova sapendo che ha consegnato
7
7
l’elaborato è pari a . Determinare la probabilità p che uno studente che si è presentato all’esame sia promosso.
10
p=
1
2
2. Un’urna contenente una pallina bianca e nove nere viene ripartita in parti uguali in due urne U1 e U2 . Quale è la
probabilità α che la pallina bianca si trovi in U1 ? Successivamente da U2 si estraggono a caso tre palline in blocco
rivelandosi tutte nere. Quale è la probabilità β che la pallina bianca si trovi in U2 ?
α=
1
2
β=
2
7
3. Un numero aleatorio X ha densità
f (x) =
kx3 (1 − x)8 0 < x < 1
0
altrove.
Determinare k e calcolare IP(X).
k=
12!
3!8!
IP(X) =
4
13
4. Un secchio S1 di 10 litri contiene una quantità aleatoria (X) di litri d’acqua avente distribuzione uniforme su [0, 10]. Il
suo contenuto viene riversato in un secondo secchio S2 della capacità di 5 litri. Determinare la funzione di ripartizione
Y = ‘contenuto in litri di S2 dopo il travaso’.
FY (y) =

 0
y
10

1
y<0
0≤y<5
y≥5
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Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 17 dicembre 2004
matricola
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Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito C
1. Un docente propone ai ragazzi la scelta (come voto finale) tra la media geometrica γ e la media armonica α dei voti
presi alla prova scritta e alla prova orale. Quale scelta conviene ai ragazzi (cerchiare la risposta giusta) ?
γ
α
2. Un’urna contiene palline bianche e nere. Sapendo che in 5 estrazioni con restituzione si sono ottenute 3 bianche e 2
nere, calcolare la probabilità α che si sia avuta la seguente sequenza :
m l m l m
α=
3. Un numero aleatorio X ha densità
f (x) =
1
10
kx3 e−2x x > 0
0
x≤0
Determinare k e calcolare IP(X).
k=
8
3
IP(X) = 2
4. Una fabbrica produce cilindri con diametro (misurato in millimetri) avente distribuzione normale N20,1 . Una ditta
acquirente ritiene accettabili solo i cilindri che abbiano il diametro compreso tra 19 e 21 mm. Applicando il teorema
centrale si determini il numero minimo min di cilindri che deve produrre la fabbrica affinché la probabilità di avere
almeno 100 cilindri accettabili sia maggiore del 50% ?
100
= 147
min =
2Φ(1) − 1
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 17 dicembre 2004
matricola
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Compito D
1. Cinque calciatori di una squadra di calcio di serie A, durante l’ultimo campionato hanno disputato rispettivamente
(Xi ) 3, 11, 15, 13, 8 incontri, realizzando rispettivamente (Yi ) 3, 4, 9, 3, 1 reti. Determinare la covarianza di X e Y .
cov(X, Y ) = 7
2. Per vincere un premio si hanno a disposizione 10 tiri per colpire un bersaglio. Sapendo che Marco ha probabilità 25%
di colpire e che ha vinto il premio, quale è la probabilità α che egli abbia colpito il bersaglio all’ultimo colpo ?
α=
pq 9
39
=
[con
p
=
1/4,
q
=
3/4]
=
1 − q 10
410 − 310
X − 3
.
3. Un numero aleatorio X ha densità N3,2 (x). Determinare la densità di probabilità di Y = 2 
 √2 e− 21 y2
fY (y) =
2π
 0
y≥0
y<0
4. Durante un giorno in un supermercato vanno a fare la spesa 100 clienti. Ognuno di essi spende una somma (aleatoria,
misurata in euro) avente varianza pari a 25 e valor medio m. Sapendo che la probabilità che l’incasso dell’intera
giornata sia inferiore a 2100 euro è pari a Φ(2), determinare il valore medio speso da ogni cliente.
m = 20
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 21 dicembre 2004
matricola
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Compito A
1. Un pendolare è solito prendere sempre lo stesso treno. In base a passate osservazioni è noto che quando egli arriva
in stazione prima dell’orario di partenza il treno parte in ritardo con probabilità 0.9. Quando invece arriva in ritardo
in stazione il treno parte in orario con probabilità 0.8. Determinare il valore minimo (min) e quello massimo (max)
della probabilità che il pendolare parta in orario.
min = 0
max = 0.1
2. Due amici escono a caccia. Il primo ha probabilità 7/10 di colpire un uccello in volo, mentre il secondo ha probabilità
9/10. Essi terminano la caccia quando ognuno di loro ha catturato un uccello. Quanti colpi complessivi (N ) dovranno
sparare mediamente i due amici ?
N=
160
63
3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha la seguente densità
( y
k
(x, y) ∈ [1, 2] × [1, 2]
f (x, y) =
x
0
altrove.
Determinare k e il punto P di intersezione tra la retta rY X (di regressione di Y su X) e la retta rXY (di regressione
di X su Y ).
2
k=
3 ln 2
P ≡
1 14
,
ln 2 9
4. In una cittadina, il numero di feriti a causa dei mortaretti nella notte di capodanno segue la distribuzione di Poisson
con parametro θ incognito avente densità
( 6
θ>1
β(θ) =
θ7
0
altrove.
Sapendo che nella notte di capodanno 2005 ci sono stati 7 feriti, determinare la distribuzione finale di θ.
1−θ
e
θ>1
β(θ|x) =
0
altrove.
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 21 dicembre 2004
matricola
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Compito B
1. Un numero aleatorio X ha distribuzione binomiale. Sapendo che la previsione è pari a 5 volte la varianza e che
1
P (X = 0) =
, determinare il valore massimo (max) che può assumere X.
125
max = 3
2. In una ditta che vende dispositivi di un certo tipo il 50% proviene da una fabbrica A, il 30% da una fabbrica B e il 20%
da C. Le percentuali di dispositivi difettosi prodotti da A,B,C sono rispettivamente il 3%, il 5% e il 10%. Calcolare la
probabilità p che un dispositivo venduto dalla ditta e risultato difettoso sia stato prodotto da B.
p=
3
10
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con m = 1, σ = 2. Calcolare P (X < 3|X > 1). Determinare la
X −1
densità di probabilità di Y =
.
2
P (X < 3|X > 1) = 2Φ(1) − 1
fY (y) = N (y)
4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul triangolo di vertici (2, 2); (4, 4); (4, 0). Determinare la funzione di ripartizione di X.

x<2
 0
2
x
FX (x) =
−1
2≤x≤4
 2
1
x>4
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 21 dicembre 2004
matricola
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Compito C
1. Un numero aleatorio X ha codominio CX = {−2, −1, 1, 2} e distribuzione pX =
1 1 1 1
. Determinare
, , ,
3 6 6 3
var(|X|).
var(|X|) =
2
9
2. In una carrozza di un treno per pendolari ci sono 12 posti a sedere divisi a gruppi di 4. Durante il viaggio essi sono
tutti occupati ; alla fermata successiva scendono 6 persone. Calcolare la probabilità p che un gruppo di 4 posti a sedere
si sia svuotato.
p=
1
11
3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme in
−1 < x < 1
C=
0 ≤ y ≤ x2
Determinare la funzione di ripartizione di Y e calcolare IP(Y ).

y<0
 0
√
y(3 − 2 y) 0 ≤ y ≤ 1
FY (y) =

1
y>1
IP(Y ) =
3
10
4. Un vettore aleatorio discreto (X, Y ) è distribuito uniformemente sui punti (−1, −1), (−1, 1), (0, 0), (1, −1), (1, 1).
Stabilire se X, Y sono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) e determinare la retta di regressione di X su Y .
X e Y indipendenti ? SÌ
NO
rXY : x = 0
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 21 dicembre 2004
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Compito D
1. In un sacchetto ci sono 12 palline numerate (da 1 a 12). Nell’estrazione di due palline con restituzione, si definiscano
i seguenti eventi :
A =“almeno una è multiplo di 2”,
B =“almeno una è multiplo di 3”,
C =“almeno una è multiplo di 4”.
Stabilire quali coppie di eventi sono indipendenti logicamente e stocasticamente.
coppie logicamente indipendenti
coppie stocasticamente indipendenti
→
→
(A, B), (B, C)
(A, B), (B, C)
2. In una classe ci sono 20 alunni che seguono la lezione e 10 che disturbano. La probabilità che un alunno che segue
la lezione sia promosso è del 70%, mentre quella di un alunno che disturba la lezione è del 90%. Calcolare il valore
medio M degli alunni promossi a fine anno.
M = 23
3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme in
−∞ < x < +∞
C=
2
0 ≤ y ≤ e−x /2
Stabilire se X e Y sono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) e calcolare IP(Y ).
X e Y indipendenti ? SÌ
NO
1
IP(Y ) = √
2 2
4. Sia X un numero aleatorio qualunque. Quali sono i valori di k tale che il coefficiente di correlazione tra X e Y = kX 3
sia pari a 1 ? Sia ora X un numero aleatorio tale che CX = {−1, 0, 1}, quali sono i valori di h tali il coefficiente di
correlazione tra X e Y = hX 3 sia pari a 1 ?
k nessuno ;
h>0
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Compito E
1. Un numero aleatorio X ha distribuzone di Poisson ed è tale che IP(X 2 ) = 4IP(X). Calcolare α = P [X = IP(X)].
9
α = e−3
2
2. Un’urna contiene 4 palline bianche e 6 nere. Carlo ne estrae un certo numero senza restituzione ottenendo 4 palline
bianche. Quale è la probabilità p che Carlo abbia estratto 5 palline sapendo che il numero di palline da estrarre lo ha
deciso in base al lancio di un dado ?
p=
5
21
3. Una ditta imbottigliatrice confeziona bottiglie da un litro ciascuna. Ad ogni bottiglia toglie una quantità aleatoria
(espressa in litri) avente distribuzione esponenziale con parametro λ = 1000. Applicando il teorema centrale calcolare
la probabilità β che dopo 1000 bottiglie manomesse riesca a risparmiare almeno un litro.
β=
1
2
4. Un numero aleatorio X ha la seguente densità
xe−x x > 0
0
x≤0
(
x
x+1
0
f (x) =
Determinare la funzione di rischio.
h(x) =
x>0
x≤0
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Compito F
1. Ad un concorso (per graduatoria) i test sono strutturati in quiz dove bisogna barrare una risposta tra cinque presenti.
In caso di risposta giusta si guadagna 1 punto, in caso di risposta sbagliata si riceve una penalità di 0.2 punti, in caso
di risposta assente non si riceve alcun punto. In caso di completa impreparazione del candidato, conviene barrare una
risposta a caso oppure non barrare niente (cerchiare la risposta giusta) ?
Conviene barrare ? SÌ
NO
2. In una griglia di 2 righe e 3 colonne debbono essere inserite a caso 4 palline (al massimo una per casella) come
mostrato in figura.
I colonna
↓
II colonna
↓
III colonna
↓
I riga →
II riga →
⇐= l l l l
Sia X =‘numero di palline nella terza colonna’ e Y =‘numero di palline nella seconda riga’, calcolare cov(X, Y ).
cov(X, Y ) = 0
3. Un numero aleatorio X > 0 ha funzione di rischio
h(x) =
x x>0
0 x≤0
Determinare la densità.
(
f (x) =
xe−
0
x2
2
x>0
x≤0
4. Calcolare la probabilità p che sull’intero tabellone delle 10 ruote del lotto, alla prossima estrazione non vi sia nemmeno un ‘37’.
p=
17
18
10
' 0.565
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 21 dicembre 2004
matricola
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Compito G
1. Siano dati n eventi E1 , E2 , . . . , En stocasticamente indipendenti ed equiprobabili (P (Ei ) = p). Sapendo che la
1
15
probabilità che se ne verifichi almeno uno è pari a , mentre quella che si verifichino tutti è pari a , determinare
16
16
p e n.
p=
1
2
n=4
2. Un numero aleatorio X ha la seguente funzione di ripartizione

x < −1

 01


−1 ≤ x < 0

 8
1
0≤x<2
F (x) =
4


5

2≤x<5


 8
1
x≥5
Determinare il codominio e calcolare P (2 ≤ X < 5).
CX = {−1, 0, 2, 5}
P (2 ≤ X < 5) =
3. Un numero aleatorio X ha densità
f (x) =
3
8
kx2 e−2x x > 0
0
x≤0
Determinare k e calcolare IP(X).
k=4
IP(X) =
3
2
4. Un’urna contiene 6 palline azzurre, 6 gialle e 6 viola. Da essa si estraggono una alla volta e senza restituzione le
palline, e siano definiti i seguenti eventi :
Ai = “pallina
Gi = “pallina
Vi = “pallina
azzurra
gialla
viola
alla i-esima estrazione”,
alla i-esima estrazione”,
alla i-esima estrazione”.
Calcolare la probabilità α = P (A3 ∪ G7 ∪ V13 ).
α=
47
68
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Compito H
1. Siano dati 3 eventi A, B, C tali che A e C siano disgiunti e il numero aleatorio X = |B c | − |Ac ∩ C c |. Esprimere X
e X 2 in una opportuna forma canonica e calcolare var(X) supponendo tutti i costituenti equiprobabili.
X = |H1 | − |H3 | + |H5 | , X 2 = |H1 | + |H3 | + |H5 | avendo posto
H 1 = A ∩ B c ∩ C c , H 2 = A ∩ B ∩ C c , H 3 = Ac ∩ B ∩ C c ,
H4 = Ac ∩ B ∩ C, H5 = Ac ∩ B c ∩ C, H6 = Ac ∩ B c ∩ C c .
17
var(X) =
36
2. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha la seguente distribuzione

 k 1
(x, y) ∈ [2, 4] × [2, 4]
f (x, y) =
x2 y 2
 0
altrove
Determinare k e calcolare IP X 2 Y 2 .
IP X 2 Y 2 = 64
k = 16
3. Un numero aleatorio continuo X ha la seguente densità

 k x ∈ [2, 4]
2k x ∈ [5, 6]
f (x) =

0 altrove
Determinare k e la funzione di ripartizione.
k=
1
4
F (x) =

0




 x−2
4





1
2
x−4
2
1
x<2
2≤x≤4
4<x<5
5≤x≤6
x>6
4. Un signore va a pesca con una canna. Il tempo d’attesa fino alla cattura del primo pesce ha distribuzione esponenziale
con valore medio pari a 10 minuti ; quanto tempo (M ) dovrebbe attendere mediamente se pescasse con due canne ?
(N.B. Si supponga che le due canne non si influenzino a vicenda)
M =5
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Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 14 gennaio 2005
matricola
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Compito A
1. Un numero aleatorio X ha densità
f (x) =
kx9 e−5x x > 0
0
x≤0
Determinare k e calcolare IP(X).
k=
510
9!
IP(X) = 2
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione geometrica con parametro p. Calcolare la previsione di Y = sin
IP(Y ) =
π
2
X .
p
1 + q2
3. Un numero aleatorio X ha la seguente densità
" #
1
x−3 2
√ exp −
per −∞ < x < +∞.
2
2 π
Calcolare P (X ≤ 3 +
√
2).
P (X ≤ 3 +
√
2) = Φ(1)
4. In un’urna ci sono 5 palline (bianche e/o nere). Il numero aleatorio
Q =‘numero di palline bianche presenti nell’urna’
ha distribuzione (iniziale) uniforme. Nell’estrazione di 3 palline con restituzione si è ottenuta la seguente sequenza :
m l m
Determinare la distribuzione finale di Q.
1
P (Q = i|E) = i2 (5 − i) i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 → pQ|E =
50
2 6 9 8
0, , , , , 0
25 25 25 25
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Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 14 gennaio 2005
matricola
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Compito B
1. Un numero aleatorio X ha densità
f (x) =
kx7 (1 − x)15 0 < x < 1
0
altrove.
Determinare k e calcolare IP(X).
k=
23!
7!15!
IP(X) =
1
3
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson con parametro λ. Calcolare la previsione di Y = cos
IP(Y ) =
π
2
X .
cos λ
eλ
3. Ad un esame venti studenti hanno preso i seguenti voti :
13 8 21 8 23 25 8 8 15 12 24 30 16 19 25 25 21 30 23 26
Determinare media x, moda x∗ e mediana m.
x = 19
x∗ = 8
m = 21
4. Un’urna contiene 99 palline nere e una che può essere con uguale probabilità bianca o nera. Da essa vengono fatte
una serie di estrazioni (con restituzione) di 10 palline in blocco. Dopo quante estrazioni (N ) in blocco che presentano
sempre 10 palline nere si può affermare che la probabilità che nell’urna ci siano solo palline nere è maggiore di
99/100 ?
N = 44
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 17 gennaio 2005
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Un numero aleatorio continuo X è distribuito uniformemente sull’intervallo (0, 4) ; si determini la funzione di rischio
in tale intervallo.
h(x) =
1
4−x
per 0 < x < 4
2. Quattro eventi A, B, C, D sono tali che A ⊂ C, B ⊂ D, B ∩ C = ∅, A ∩ D = ∅ ; inoltre si ha P (A) = P (B) = 0,
P (C) = P (D) = 1. Elencare tutti i costituenti che si formano ed esprimerli in funzione di A, B, C, D.
C1 = Ac ∩ B c ∩ C c ∩ Dc
costituenti
↓
C2 = Ac ∩ B c ∩ C c ∩ D
C3 = Ac ∩ B c ∩ C ∩ Dc
C4 = Ac ∩ B c ∩ C ∩ D
C5 = Ac ∩ B ∩ C c ∩ D
C6 = A ∩ B c ∩ C ∩ Dc
3. Sia data la seguente distribuzione congiunta di probabilità
0
1
3
1
1
6
1
3
1
9
3
2
9
1
18
1
9
X
Y
Determinare la distribuzione condizionata p0h|2 = P (X = xh |Y = y2 ) e calcolare IP(X|Y = 3).
p0h|2
=
4 1 2
, ,
7 7 7
IP(X|Y = 3) = 1
4. Una vetrata è costituita da un telaio di larghezza 2 (metri) e altezza 1 su cui possono scorrere liberamente due vetri
di misura (1 x 1) ; si suppongano nulle le misure delle cornici. I due vetri vengono posizionati completamente a caso.
Determinare la densità di probabilità di Z =‘superficie dell’ apertura’.
fZ (z) =
2z 0 ≤ z ≤ 1
0
altrove.
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 17 gennaio 2005
matricola
cognome
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Compito B
1. Siano dati 3 eventi A, B, C tali che A ∪ B ∪ C = Ω e A ∩ B ∩ C = ∅. Determinare il codominio e la varianza di
p
1
X = |A ∩ C c |(4 − 3|B|) sapendo che P (A ∩ B c ∩ C c ) = P (A ∩ B ∩ C c ) = .
3
CX = {0, 1, 2}
var(X) =
2
3
2. Un’urna contiene 4 palline bianche e 4 nere ; da essa si estraggono senza restituzione 5 palline. Calcolare la probabilità
p di ottenere un numero pari di palline bianche.
p=
1
2
3. Un numero aleatorio discreto X ha CX = {−2, 0, 2}. Dato il numero aleatorio Y = arctan X, calcolare ρ.
ρ=1
4. Franco e Simone hanno una scatola per ciascuno da riempire con palline bianche e nere. Franco riempie la sua scatola
seguendo il seguente criterio : lancia 3 volte una moneta, se esce testa inserisce una pallina bianca, altrimenti una
pallina nera. Simone invece lancia 2 volte un dado, se esce il ‘4’ inserisce una pallina bianca, altrimenti una pallina
nera. Successivamente il contenuto delle due scatole viene riversato in un’urna U da cui viene in seguito estratta una
pallina ; calcolare la probabilità α di ottenere una pallina bianca.
α=
11
30
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 17 gennaio 2005
matricola
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Compito C
1. Un numero aleatorio ha distribuzione di Poisson con valore medio pari a 3. Calcolare P (X ≥ 1).
P (X ≥ 1) = 1 − e−3
2. Siano dati 3 eventi A, B, C tali che P (C) > 0. Calcolare p = P [(A ∪ B) ∩ C c |(Ac ∩ B c ) ∪ C].
p=0
3. Una fabbrica produce componenti la cui durata (espressa in anni) ha distribuzione esponenziale con parametro θ
incognito avente la seguente densità di probabilità
( c
θ>1
β(θ) =
θ2
0
altrove.
Sapendo che gli ultimi componenti hanno funzionato rispettivamente per 3 e 5 anni, determinare la funzione di
verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.
α(x|θ) = θ2 e−8θ
β(θ|x) =
8e8(1−θ) θ > 1
0
altrove.
4. Un’urna contiene 8 palline azzurre, 8 gialle e 8 viola. Da essa si estraggono una alla volta e senza restituzione le
palline ; siano definiti i seguenti eventi :
Ai = “pallina
Gi = “pallina
Vi = “pallina
azzurra
gialla
viola
c ).
Calcolare la probabilità α = P (Ac20 ∩ Gc4 ∩ V11
α=
232
759
alla i-esima estrazione”,
alla i-esima estrazione”,
alla i-esima estrazione”.
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 17 gennaio 2005
matricola
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Compito D
1. Siano dati due eventi A e B logicamente indipendenti con P (A) = 0.3, P (B) = 0.4 e P (A ∩ B) = 0.1. Esprimere
il numero aleatorio X = 2|A| − |B| in forma canonica, e il numero aleatorio X 2 in funzione degli eventi A e B.
Calcolare var(X).
X = −|C1 | + 2|C4 | + |C3 | avendo posto C1 = Ac ∩ B, C2 = Ac ∩ B c , C3 = A ∩ B, C4 = A ∩ B c
X 2 = 4|A| − 4|A||B| + |B|
var(X) = 1.16
2. Ciccio ha davanti a sé una scatola al cui interno si trovano delle letterine come mostrato in figura.
C C C
I I O
Egli estrae una alla volta le letterine. Calcolare la probabilità che egli riesca a formare il proprio nome in caso di
estrazioni senza restituzione (α), e con restituzione (β).
α=
1
60
β=
1
432
3. Due amici si trovano nel deserto a distanza L (misurata in chilometri) l’uno dall’altro. Ognuno di essi ha una quantità
di carburante (aleatoria e indipendente l’una dall’altra) che permette di coprire una distanza avente distribuzione
esponenziale di valore medio pari a L/2. Qual è la probabilità p che essi riescano ad incontrarsi ?
p = 3e−2
4. In una grande città esistono 100 locali in cui c’è il divieto di fumare. In ognuno di essi la probabilità che il gestore
1
permetta di fumare è pari a . Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità γ che durante un controllo
5
effettuato su tutta la città ci siano al massimo 30 locali che trasgrediscono la legge.
5
γ=Φ
2
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 17 gennaio 2005
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Compito E
1. Un banco organizza scommesse sugli esiti di estrazioni da un’urna contenente palline di due soli colori (bianche e
nere) in proporzioni incognite. Sono definiti i seguenti eventi nell’estrazione di una pallina :
A =“si ottiene una pallina bianca”,
B =“si ottiene una pallina nera”.
Il banco paga 1.5 : 1 le scommesse sull’evento A (ossia versando una somma α in caso di vincita si riceve 1.5α e
si guadagna 0.5α), e 2.5 : 1 le scommesse sull’evento B. Stabilire se si tratta di scommesse coerenti (cerchiare la
risposta giusta) .
COERENTI ? SÌ
NO
2. Un numero aleatorio continuo ha distribuzione uniforme, ed è tale che IP(X) = 0 e var(X) =
var(X 2 ) =
1
. Calcolare var(X 2 ).
12
1
180
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale ed è tale che P (X < 14) = Φ(2), e σ = 3m. Stabilire la densità di
X.
f (x) = N2,6 (x)
4. In una griglia di 2 righe e 2 colonne debbono essere inserite a caso 4 palline numerate (una per casella) come mostrato
in figura.
I colonna
↓
II colonna
↓
I riga →
II riga →
⇐= ¬ ­ ® ¯
Sia X =‘somma dei numeri nella seconda colonna’ e Y =‘somma dei numeri nella prima riga’, calcolare cov(X, Y ).
cov(X, Y ) = 0
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Compito F
1. Un numero aleatorio ha distribuzione esponenziale con valore medio pari a 5. Calcolare P (X < 5).
P (X < 5) = 1 − e−1
2. Sia data la seguente distribuzione congiunta di probabilità
1
2
4
1
1
24
1
6
1
8
2
1
4
1
12
1
3
X
Y
Determinare codominio, distribuzione e varianza di Z = log2
CZ = {−2, −1, 0, 1}
pZ =
1 1 1 1
, , ,
8 2 8 4
Y
.
X
var(Z) = 1
3. Un dispositivo è composto da 3 componenti posti in parallelo. Il primo ha probabilità 1/2 di funzionare, il secondo
1/3, il terzo 1/6. Sapendo che il dispositivo funziona e che i componenti sono tra loro indipendenti, quale è la
probabilità γ che il secondo componente sia guasto ?
γ=
7
13
4. Nel gioco della morra cinese la forbice (F) batte carta (C) ; carta batte sasso (S) che a sua volta batte forbice.
Due amici, Massimo e Patrizio giocano alla morra cinese. È noto che Massimo ad ogni giocata mostra F, C, S
1 1 1
7 1 1
con probabilità rispettivamente , , , mentre Patrizio mostra F, C, S con probabilità rispettivamente
, , .
2 3 6
15 3 5
Calcolare la probabilità che in una singola giocata vinca Massimo (α), e la probabilità che vinca Patrizio (β). In una
partita in cui vince chi arriva per primo a 1, quale è la probabilità p che vinca Massimo ?
α=
14
45
β=
14
45
p=
1
2
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Compito G
1. Un vettore aleatorio ha distribuzione uniforme sul rettangolo [0, 2] × [0, 1]. Calcolare P (E|H) con E =
1
,
Y >
2
H = (X > 1).
P (E|H) =
1
2
2. In un cassetto ci sono 6 bottoni verdi, 6 bianchi e 6 gialli. Una sarta li estrae a caso senza restituzione uno alla volta
fino ad ottenerne 2 di uno stesso colore. Quante estrazioni (M ) deve compiere mediamente ?
M=
101
34
3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme nell’intervallo (−1, 1). Determinare la densità di probabilità di Y = 1 − X 2 .


1
fY (y) =
2 1−y
 0
√
0<y<1
altrove.
4. Due amici tirano alternativamente un colpo per ciascuno fino a far scoppiare un palloncino. Andrea comincia per
2
3
primo e ha probabilità di avere un successo ; mentre Ugo ha probabilità . Calcolare la probabilità p che vinca
7
5
Ugo.
p=
3
5
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 17 gennaio 2005
matricola
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1. Un numero aleatorio discreto X ha CX
nome
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Compito H
3 5 7
. Determinare la funzione di ripartizione.
= {3, 5, 7} e pX =
, ,
15 15 15
F (x) =

0


 1
5
8
15



1
x<3
3≤x<5
5≤x<7
x≥7
2. Sei amici (Aldo, Bruno, Carlo, Danilo, Enzo e Fabrizio) devono andare da Roma a Milano e devono dividersi nel
seguente modo : 3 in macchina, 2 in aereo e 1 in treno. In quanti modi (N1 ) è possibile la suddivisione ? Supponendo
che solo Aldo abbia la patente, Bruno e Carlo soffrano il mal d’auto, e Danilo ed Enzo abbiano paura dell’aereo, in
quanti modi (N2 ) è possibile la suddivisione ?
N1 = 60
N2 = 5
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) è tale che ρ2 = 1. Stabilire l’ampiezza dell’angolo ϕ formato dalle due rette di regressione.
ϕ=0
4. In un’urna ci sono 10 palline che possono essere di due soli colori (bianche e nere). Il numero aleatorio discreto
Q =‘numero di palline bianche presenti nell’urna’
ha distribuzione (iniziale) uniforme. Sapendo che estraendo due palline in blocco si sono ottenute una bianca e una
nera, determinare la distribuzione finale di Q.
k(10 − k)
PF (Q = k) =
k = 0, . . . , 10 → pQ|E =
165
3 16 7 8 5 8 7 16 3
0, ,
, , , , , ,
, ,0
55 165 55 55 33 55 55 165 55
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004
Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 22 febbraio 2005
matricola
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Compito A
1. Siano dati due eventi A e B logicamente indipendenti e tali che i costituenti da essi formati siano equiprobabili.
Esprimere in forma canonica il numero aleatorio X = 22|A|+|B| e calcolarne la previsione e la varianza.
X = 8|C1 | + 4|C2 | + 2|C3 | + 1|C4 |
avendo posto C1 = A ∩ B, C2 = A ∩ B c , C3 = Ac ∩ B, C4 = Ac ∩ B c
15
115
IP(X) =
var(X) =
4
16
2. Un circuito elettrico è composto di due interruttori in serie tra loro indipendenti. Il primo è chiuso (permette il
passaggio di corrente) con probabilità 1/3, mentre il secondo è chiuso con probabilità 2/3. Sapendo che ai capi del
circuito non c’è passaggio di corrente, qual è la probabilità p che siano entrambi aperti ?
p=
2
7
3. Un numero aleatorio continuo X non ha memoria ed è tale che P (X > 2|X < 4) =
medio (M ) di X.
M =2
1
. Determinare il valore
1+e
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004
Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 22 febbraio 2005
matricola
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Compito B
1. Un’urna contiene 10 palline bianche e 10 nere. Un ragazzo estrae ripetutamente e con restituzione 2 palline in blocco
fino ad ottenere due palline di colore diverso. Quante estrazioni dovrà compiere mediamente ?
M=
19
10
2. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) è distribuito uniformemente all’interno della circonferenza di centro l’origine
degli assi e raggio 1 (C). Determinare fY (y|x).




1
√
(x, y) ∈ C
2 1 − x2
fY (y|x) =
non definita (x ≤ −1) ∪ (x ≥ 1)


 0
altrove
3. Nella battitura di una tesi si commettono mediamente 5 errori di battitura a pagina, mentre lo scarto quadratico medio
è pari a 2. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità che in una tesi di 100 pagine si commettano almeno
480 errori.
p = Φ(1)
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 15 aprile 2005
matricola
cognome
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1. Dieci ragazzi hanno le seguenti età : 10 13 11 9 10 13 12 8 13 11
Determinare media x, moda x∗ e mediana m.
x∗ = 13
x = 11
m = 11
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson con parametro λ < 1. Calcolare IP(X!).
IP (X!) =
e−λ
1−λ
3. Un recipiente avente la capacità di un litro contiene acqua e vino, quest’ultimo con percentuale (aleatoria) X avente
distribuzione fX (x) = B2,1 (x). Un secondo recipiente (uguale al primo) contiene anch’esso acqua mista a vino
avente percentuale (aleatoria) Y con distribuzione fY (y) = B1,2 (y). I due contenuti vengono mescolati insieme in
un terzo recipiente. Determinare la densità di Z =‘percentuale di vino nel terzo recipiente’.

3
 16z 2 − 32
3 z
16
2
− 16z +
fZ (z) =
 3
0
32 3
3 z
0 ≤ z < 1/2
1/2 ≤ z < 1
altrove
4. Per misurare la temperatura (θ) alla sorgente di una certa acqua si usano 5 termometri simili. Ognuno di essi commette
un errore che ha distribuzione uniforme centrata sul valore effettivo (θ) e ampiezza dell’intervallo pari a 2, ossia è del
tipo :
1/2 per θ − 1 ≤ xi ≤ θ + 1
f (xi |θ) =
0
altrove
dove Xi =‘lettura dell’i-esimo termometro’. Sapendo che la distribuzione iniziale della temperatura dell’acqua è
β(θ) = N10,5 (θ), e che i 5 termometri hanno dato rispettivamente le seguenti misure (10, 10.5, 9.5, 9, 10), determinare la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale.
α(x|θ) =
1/32 per 9.5 ≤ θ ≤ 10
0
altrove .
β(θ|x) =


N10,5 (θ)
Φ (0.1) − 1/2

0
per 9.5 ≤ θ ≤ 10
altrove .
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 23 aprile 2005
matricola
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Compito A
1. Siano dati tre eventi A, B e C, con A ∩ C = ∅, e tali che P (A) = P (C) = 0.3, P (B) = 0.4. Si ponga P (A ∩ B c ∩
C c ) = ε, e P (Ac ∩ B c ∩ C) = λ, e si individui sul piano (ε, λ) la regione Q di coerenza. coere
Q=
0 ≤ ε, λ ≤ 0.3
ε + λ ≥ 0.2
2. Un’urna contiene un ugual numero di palline bianche e nere. Si effettuano un numero dispari di estrazioni senza
restituzione. Definiti gli eventi
E =“si ottengono un numero dispari di palline bianche”
H =“si ottengono un numero pari di palline nere”.
Stabilire se E ed H sono stocasticamente indipendenti.indi
NO
Indipendenti ? SÌ
3. Un numero aleatorio continuo X ha funzione di rischio pari a 1 + 3x. Calcolare f (x).risk
f (x) =
(1 + 3x) exp −x − 3/2x2 x > 0
0
x≤0
4. Sia data la seguente distribuzione congiunta di probabilità
-1
0
1
0
1
6
1
3
1
9
1
2
9
1
18
1
9
X
Y
X +Y
Determinare codominio e distribuzione del numero aleatorio Z = sin π
2
CZ = {−1, 0, 1}
pZ =
1 2 1
, ,
6 3 6
.vettdis
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 23 aprile 2005
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Compito B
1. Un banco organizza scommesse sugli esiti di estrazioni da un’urna contenente palline di tre soli colori (bianche, nere
e rosse) in proporzioni incognite. Sono definiti i seguenti eventi nell’estrazione di una pallina :
A =“si ottiene una pallina bianca”,
B =“si ottiene una pallina nera”,
C =“si ottiene una pallina rossa”.
Il banco paga 3 : 1 le scommesse sull’evento A (ossia versando una somma α in caso di vincita si riceve 3α e
si guadagna 2α), 6 : 1 le scommesse sull’evento B, 12 : 1 le scommesse sull’evento C. Stabilire se si tratta di
scommesse coerenti (cerchiare la risposta giusta) scom
COERENTI ? SÌ
NO
2. Sia datoil numero aleatorio X = |A| + |B| con A e B indipendenti ed aventi entrambi probabilità pari a p . Calcolare
IP X 10 .binlog
IP X 10 = 2pq + 210 p2
3. Sia dato il numero aleatorio discreto X avente codominio CX = {0, 1, 3, 7} e distribuzione pX =
5 1 1 1
, , ,
.
12 3 6 12
Determinare previsione e varianza di Y = log2 (X + 1).funnum
IP(Y ) =
11
12
var(Y ) =
131
144
4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme all’interno del triangolo di vertici (−1, 0); (0, 1); (1, −1).
Determinare le densità marginali di X e di Y .marg

 1 + x −1 ≤ x ≤ 0
1−x
0<x≤1
fX (x) =

0
altrove.

 1 + y −1 ≤ y ≤ 0
1−y
0<y≤1
fY (y) =

0
altrove.
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nome
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Compito C
1. Un’urna contiene un numero indefinito di palline bianche e nere numerate con numeri qualsiasi. Un banco effettua le
seguenti scommesse aventi le relative quote
A=
“viene estratta una pallina bianca”
B=
“viene estratta una pallina pari”
C = “viene estratta una pallina nera e dispari”
Il banco paga 6 : 1 le scommesse sull’evento A (ossia versando una somma α in caso di vincita si riceve 6α e si
guadagna 5α), 2, 5 : 1 le scommesse sull’evento B, 3 : 1 le scommesse sull’evento C.
Esiste una combinazione di tre versamenti da fare (VA , VB , VC ) in modo da vincere sicuramente ?scommi
Esiste ?
SÌ
NO
2. Dieci palline numerate da 1 a 10 debbono essere poste in 4 scatole : 4 nella prima, 3 nella seconda, 1 nella terza
e 2 nella quarta. In quanti modi (N1 ) è possibile sistemare le palline ? Supponendo che nelle scatole di ordine pari
possano andare soltanto palline pari e che nelle scatole di ordine dispari possano andare soltanto palline dispari, in
quanti modi (N2 ) è possibile la sistemazione ?multi
N1 = 12600
N2 = 50
3. Sia X un numero aleatorio con funzione di ripartizione

0,




 1/5,
3/5,
F (x) =


4/5,



1,
x<1
1≤x<3
3≤x<4
4≤x<6
x≥6
Determinare il suo codominio CX , la probabilità dell’evento condizionato (3 ≤ X < 4|X < 6).rip
CX = {1, 3, 4, 6}
P (3 ≤ X < 4|X < 6) =
1
2
4. Tre numeri aleatori X, Y, Z aventi uguale varianza (σ 2 = 2) sono tali che ρXY =
Calcolare α = cov(2X + 3Y, Z − 2Y + X).cov
α=−
32
3
1
1
1
, ρXZ = , ρY Z = − .
2
3
2
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 23 aprile 2005
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
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Compito D
1. Siano E, F, G tre eventi tali che E ∨ Gc ⊆ F . L’assegnazione P (F ) = 0.2, P (G) = 0.7 è coerente ? koere
coerente ? SÌ
NO
2. Si abbia un’urna con due palline bianche e una nera come mostrato in figura
¬
­
¸
Da essa vengono estratte senza restituzione due palline. Si faccia l’elenco (A) di tutte le disposizioni e quello (B)
di tutte le combinazioni. Quale elenco conviene utilizzare per calcolare la probabilità dell’evento E =“alla seconda
estrazione si ottiene pallina bianca” (cerchiare la risposta giusta) ? Calcolare P (E).comdis
Elenco A
⇓
¬
­
­
¬
¬
¸
¸
¬
­
¸
¸
­
Elenco B
⇓
¬
­
¬
¸
­
¸
Conviene utilizzare l’elenco
P (E) =
A
B
2
3
4
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione uniforme con valor medio pari a 4 e varianza pari a . Calcolare IP(X 3 ).unif
3
IP(X 3 ) = 80
4. Un uomo deve percorrere una distanza di 100 metri. È noto che ogni suo passo copre una lunghezza (aleatoria) avente
97
1
distribuzione approssimativamente normale con valore medio
e scarto quadratico σ =
(entrambi espressi
225
10
in metri). Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità p che con 225 passi egli riesca a coprire l’intera
distanza.centr
p = 1 − Φ(2)
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 30 luglio 2005
matricola
cognome
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nome
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1. Due eventi A e B non impossibili sono tali che P (A) = P (B) = 0 e A ⊂ B. Determinare P (B|A).zero
P (B|A) = 1
2. Sia dato il seguente canale di trasmissione
A
B
4/5
PP
>
A
>
B
PP
PP
PP
PP
PP
PP
PP
PP
PP
9/10
in cui il simbolo A ha probabilità 3/4 di essere trasmesso. Sapendo che è stato ricevuto il simbolo B qual è la
probabilità α che esso sia stato effettivamente trasmesso ?bayes
α=
3
5
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione ipergeometrica con parametri N = 18, b = 12, n = 9. Determinare il valore
minimo (min) e massimo (max) di X e la sua varianza.iper
min = 3
max = 9
var(X) =
4. Un numero aleatorio continuo X ha la seguente densità

0<x≤1
 x
2−x 1<x≤2
f (x) =

0
altrove
Determinare la funzione di ripartizione del numero aleatorio Y = eX .funz
FY (y) =


0


 (ln y)2
y≤1
1<y≤e
2
1
2 e < y ≤ e2

1
−
(2
−
ln
y)


 1 2
y > e2
18
17
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 2 agosto 2005
matricola
cognome
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nome
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1. Cinque calciatori di una squadra di calcio di serie A, durante l’ultimo campionato hanno disputato rispettivamente
(Xi ) 5, 13, 11, 11, 9 incontri, realizzando rispettivamente (Yi ) 7, 8, 10, 7, 3 reti. Determinare la covarianza di X e Y .
cov(X, Y ) = 2
1
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione binomiale con parametri n = 10 e p = . Calcolare IP 4X .
3
IP 4X = 1024
3. Per illuminare una stanza sono disponibili due lampadine, aventi entrambe durata esponenziale di parametro λ = 3 e
indipendenti tra loro. Appena si fulmina la prima, viene sostituita dalla seconda. Determinare la densità di probabilità
di T =‘istante in cui cessa l’illuminazione nella stanza’ ; di quale distribuzione si tratta ?
fT (t) =
9te−3t t > 0
0
t≤0
(
distribuzione gamma → Gc,λ =
λc c−1 −λt
e
Γ(c) t
0
t>0
t≤0
λ=3
c=2
1
4. Da un’urna con frazione p = di palline bianche si estraggono con restituzione una pallina alla volta fino ad ottenere
3
per la prima volta pallina bianca (sia X questo numero). Successivamente si compiono X estrazioni con restituzione
ottenendo 0 palline bianche. Determinare la distribuzione iniziale (P0 ) e finale (P1 ) di X.
P0 (X = k) = pq k−1 k = 1, 2, . . .
P1 (X = k) = (1 + q)pq 2(k−1)
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 24 settembre 2005
matricola
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1. Cinque giocatori della nazionale di calcio hanno realizzato rispettivamente (Xi ) 1, 1, 2, 3, 3, gol disputando 2, 4, 3,
5, 6 partite (Yi ). Determinare la covarianza cov(X, Y ) e il coefficiente di correlazione ρ(X, Y ).
1
ρ(X, Y ) = √
1.6
cov(X, Y ) = 1
2. Un’urna contiene 5 palline bianche e 6 nere. Si effettuano 2 estrazioni senza restituzione.
Definiti gli eventi
E =“la prima pallina estratta è bianca”
H =“almeno una pallina estratta è bianca”,
stabilire quale relazione logica che intercorre tra essi e calcolarne le probabilità.
E ⇒H
P (E) =
5
11
P (H) =
8
11
3. Un ascensore di un grattacielo ha la portata massima di 1000 Kg. Ad un certo istante salgono 16 persone ognuna
delle quali ha un peso (aleatorio) di valore medio m = 70 e scarto σ = 30 (entrambi espressi in Kg). Applicando il
teorema centrale calcolare la probabilità p che venga superata la portata massima.
p = Φ(1)
4. Per misurare il peso (θ, espresso in grammi) di un oggetto si usano 10 bilance. Ognuna di esse dà una misura che ha
distribuzione uniforme centrata sul valore effettivo (θ) e ampiezza dell’intervallo pari a 4, ossia è del tipo :
1/4 per θ − 2 ≤ xi ≤ θ + 2
f (xi |θ) =
0
altrove
dove Xi =‘lettura dell’i-esima bilancia’. Sapendo che le 10 bilance hanno dato rispettivamente le seguenti misure
(8, 12, 8, 8, 8, 8.5, 11, 8.5, 9, 9), stabilire quale è il valore più plausibile tra i seguenti (cerchiare la risposta giusta)
motivando la scelta.
8
9
10
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Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 29 settembre 2005
matricola
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1
1. Noto che P (E ∪ F |H) = , calcolare P [(E c ∩ F c )|H].condi
3
P (E c ∩ F c |H) =
2
3
2. Dall’urna mostrata in figura
¬ ­ ® ¯ °
¶ · ¸ ¹ º
vengono estratte una alla volta due palline. Se sono dello stesso colore si riceve (se sono bianche) o si paga
(se sono nere) un importo pari al loro prodotto. Se sono di colore diverso si riceve un importo pari alla loro somma
algebrica (le palline nere vanno considerate negative). Definiti gli eventi
Ek =“la prima pallina estratta è numerata con k”, Fj =“la seconda pallina estratta è numerata con j”,
B =“la prima pallina estratta è bianca”, H =“la seconda pallina estratta è bianca”,
esprimere i numeri aleatori X =‘primo numero estratto’, Y =‘secondo numero estratto’, in funzione degli eventi Ek ,
Fj , e il numero aleatorio S =‘importo ricevuto’ in funzione di X, Y , |B| e |H|.num
X=
5
X
k=1
k|Ek |
Y =
5
X
j|Fj |
S = (Y − X)(|H| − |B|) + XY (|B| + |H| − 1)
j=1
3. Un numero aleatorio continuo X non ha memoria e ha varianza pari a 2. Calcolare P (3 ≤ X < 4|X > 1).espo
P (3 ≤ X < 4|X > 1) = e−
√
2
4. Un vettore aleatorio ha le seguenti rette di regressione
rY X : y = 2 − x
rXY : x = 1 − y/2
Determinare IP(X) e IP(Y ).regr
IP(X) = 0
− √3
−e
IP(Y ) = 2
2
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2005/2006 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 23 dicembre 2005
matricola
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Compito A
1. Un numero aleatorio continuo X ha funzione di sopravvivenza
−5x
e
x>0
S(x) =
1
x≤0
Calcolare la probabilità P (X < 2|X > 1).sopra 6 → 3.14, ∆ = −2.90
P (X < 2|X > 1) = 1 − e−5
2. Nel circuito elettrico della figura gli eventi
Ei =“l’interruttore i è chiuso (permette il passaggio di corrente)”
@
@
1
A
2
@
@
5
@
@
3
i = 1, 2, 3, 4, 5,
B
4
@
@
sono equiprobabili (P (Ei ) = p) e stocasticamente indipendenti tra loro. Calcolare la probabilità α che tra i due punti
A e B ci sia passaggio di corrente.wheat 4.5 → 2.60, ∆ = −1.90
α = 2p2 + 2p3 − 5p4 + 2p5
3. Un numero aleatorio continuo X ha la seguente densità
1 x
2 − 8 0≤x≤4
f (x) =
0
altrove
√
Determinare la densità di probabilità di Y = X.func 3.5 → 4.10, ∆ = 0.60

 y(4 − y 2 )
0≤y<2
g(y) =
 0 4
altrove
4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme all’interno del triangolo di vertici (0, 0); (1, 1); (2, 0).
Determinare le funzioni di ripartizione di X e di Y . marg 3.5 → 1.80, ∆ = −1.70

0
x<0


 2
x /2
0≤x≤1
F1 (x) =
2x − 1 − x2 /2 1 < x ≤ 2



1
x>2

y<0
 0
y(2 − y) 0 ≤ y ≤ 1
F2 (y) =

1
y>1
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 23 dicembre 2005
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Compito B
1. Dall’urna mostrata in figura
¬ ­ ¸ ¹
º » ² ³
viene estratta una pallina. Stabilire se gli eventi :
A =“viene estratta una pallina bianca”,
B =“viene estratta una pallina pari”,
C =“viene estratta una pallina minore o uguale a 4”
sono stocasticamente indipendenti (cerchiare la risposta giusta) .inditre 7.5 → 5.55, ∆ = −2.00
Indipendenti ? SÌ
NO
2. Tre eventi A, B, C formano i seguenti costituenti :
C1 = Ac ∧ B ∧ C C2 = A ∧ B c ∧ C C3 = A ∧ B ∧ C c C4 = Ac ∧ B c ∧ C C5 = Ac ∧ B ∧ C c
Stabilire se le probabilità P (A) = 1/3, P (B) = 1/4, P (Ac ∧ C) = 1/2 sono coerenti (cerchiare la risposta giusta)
e calcolare la probabilità di C5 .costi 4.5 → 5.35, ∆ = 0.85
coerenti ? SÌ
1
3. Stabilire se la funzione h(x) = 3
x
ché.risk 4.5 → 3.70, ∆ = −0.80
NO
P (C5 ) =
1
6
x > 0 ha i requisiti per essere una funzione di rischio spiegando il per-
h(x) è funzione di rischio ? SÌ
NO
Z
Perché → ∀k > 0 si ha
k
h(x)dx = +∞
0
4. Ad una festa di compleanno sono state invitate 100 persone ; ognuna di esse beve una quantità aleatoria di spumante
avente distribuzione esponenziale con valore medio pari a 1/4 di litro. Applicando il teorema centrale, calcolare la
probabilità p che per soddisfare tutti gli invitati siano sufficienti 30 litri. Qual è il numero minimo (min) di litri affinché
la probabilità di soddisfare tutti gli invitati sia maggiore del 88% ? (Φ(1.22) = 0.88)festa 2 → 3.20, ∆ = 1.20
p = Φ(2)
min = 29
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Compito C
1. Un numero aleatorio discreto X ha codominio CX = {−3, −1, 1, 3} e distribuzione pX =
1 1 1 1
. Determi, , ,
6 3 6 3
nare codominio, distribuzione e varianza di Y = |X|. numd 7 → 6.33, ∆ = −0.70
CY = {1, 3}
pY =
1 1
,
2 2
var(Y ) = 1
2. Un numero aleatorio continuo X ha la seguente densità

x/2
0<x≤1



1/2
2<x≤3
f (x) =
(5
−
x)/2
4
<x≤5



0
altrove.
Determinare la funzione di ripartizione.dens 5 → 3.44, ∆ = −1.56

0




x2 /4




 1/4
x/2 − 3/4
F (x) =


3/4





1 − [(5 − x)/2]2


1
x≤0
0<x≤1
1<x≤2
2<x≤3
3<x≤4
4<x≤5
x>5
3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme all’interno del cerchio di raggio 1 e centro nell’origine. Calcolare P (E|H), con E = (X < Y ), H = (Y > 0), e determinare la retta rY X di regressione di Y su
X.regri 4 → 2.78, ∆ = −1.22
P (E|H) =
3
4
rY X : y = 0
4. Al sorteggio dei quarti di finale di Champions League, tra le otto squadre che debbono essere accoppiate, sono presenti
anche tre squadre italiane ; calcolare la probabilità p che non ci sia nessun scontro tra esse.champ 2.5 → 2.61, ∆ =
0.11
p=
4
7
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Compito D
1. Un tizio estrae a caso e con restituzione una carta alla volta da un mazzo di carte italiane fino ad ottenere una figura.
Calcolare la probabilità α che egli compia almeno 7 estrazioni.carte 5 → 6.75, ∆ = 1.80
α=
7
10
6
2. Due numeri aleatori continui X e Y sono stocasticamente indipendenti ed hanno entrambi distribuzione uniforme tra
0 e 1. Determinare la funzione caratteristica di Z = X + Y . carat 5 → 1.00, ∆ = −4.00
ϕZ (t) = −
(eit − 1)2
t2
3. Stabilire se un vettore aleatorio (X, Y ) può avere le seguenti rette di regressione (cerchiare la risposta giusta) e
spiegare il perché. In caso affermativo calcolare IP(X).
rY X : y = 2x + 1
Rette possibili ? SÌ
NO
rXY : x = y/2 + 1repos 5 → 6.88, ∆ = 1.88
Perché → sono parallele
IP(X) = non esiste
3
4
2
, P (B) = , P (C) = ,. Si ponga
4
5
5
P (A ∩ B c ∩ C) = ε, e P (A ∩ B ∩ C c ) = λ, e si individui sul piano (ε, λ) la regione Q di coerenza. coere
3.5 → 3.25, ∆ = −0.25
4. Siano dati tre eventi A, B e C, con B c ∩ C c = ∅, e tali che P (A) =

 0 ≤ ε ≤ 0.2
0.35 ≤ λ ≤ 0.6
Q=

0.55 ≤ ε + λ ≤ 0.75
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Compito E
1. Sia data la seguente distribuzione congiunta di probabilità
0
1
2
0
1
6
1
6
1
6
w
k
1
6
1
12
X
Y
1
Determinare k e w sapendo che cov(X, Y ) = − . vetdis 6 → 6.63, ∆ = 0.60
6
k=
1
4
w=2
2
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione binomiale con parametri n = 10, p = . Calcolare IP(X 2 ).bin 5.5 →
5
5.75, ∆ = 0.25
IP(X 2 ) =
92
5
3. Per entrare a casa Enrico deve aprire prima il portoncino e poi la porta di casa. Avendo nel suo mazzo 4 chiavi, e non
sapendo distinguerle, è costretto a procedere per tentativi. Quanti tentativi (M ) dovrà fare mediamente prima di poter
entrare a casa ? Ovviamente per aprire il portoncino ogni chiave viene provata al massimo una volta, lo stesso dicasi
per la porta di casa. chiavi 3.5 → 4.00, ∆ = 0.50
M=
9
2
2
4. Un numero aleatorio
f (x) = e−πx
x ∈ IR.
continuo X ha densità
1
1
√
√
Calcolare α = P − 2π ≤ X < 2π .norm 3.5 → 2.63, ∆ = −0.88
α = 2Φ(1) − 1
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Compito F
1. Un numero aleatorio continuo X ha funzione di rischio h(x) = 3 + 2x per x > 0. Determinare la densità di
probabilità. risj 7.5 → 6.31, ∆ = −1.20
f (x) =
2
(3 + 2x)e−3x−x
0
x>0
altrove
1
2. Un numero aleatorio X avente distribuzione di Poisson è tale che P (X ≥ 1) = . Determinare IP(X) pois 5 →
2
5.75, ∆ = 0.75
IP(X) = ln 2
1
1
3. Siano dati 4 eventi E1 , E2 , E3 , E4 tali che P (Ei ) = ∀i, P (Ei ∩ Ej ) = ∀i, j(i 6= j),
3
4
1
1
P (Ei ∩ Ej ∩ Ek ) = ∀i, j, k(i 6= j, i 6= k, j 6= k), P (E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ E4 ) = .
5
6
Calcolare P (E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ E4 ).eventi 5.5 → 5.19, ∆ = −0.31
P (E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ E4 ) =
7
15
4. Un’urna inizialmente vuota viene riempita con sei palline (bianche e/o nere) : il numero di palline bianche è pari
al numero uscito nel lancio di un dado, e le restanti nere. Successivamente vengono estratte tre palline in blocco
ottenendone due bianche e una nera. In base a questa osservazione determinare codominio e distribuzione di
Y =‘numero di palline bianche presenti nell’urna’.dado 1.5 → 2.88, ∆ = 1.38
CY = {2, 3, 4, 5}
pY =
4 9 12 10
, , ,
35 35 35 35
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Compito G
1. Un numero aleatorio X avente distribuzione normale è tale che Φm,σ (−2) = 0.5. Sapendo che IP(X 2 ) = 8, determinare il valore medio e lo scarto quadratico. normo 6 → 6.33, ∆ = 0.30
m = −2
σ=2
2. Un numero aleatorio continuo X ha la seguente densità ripart 5 → 3.42, ∆ = −1.58
k 1 ≤ |x| ≤ 2
f (x) =
0
altrove
Determinare la funzione di ripartizione.
F (x) =

0




 x+2
2





x < −2
−2 ≤ x < −1
−1 < x ≤ 1
1<x≤2
x>2
1
2
x
2
1
3. Una scatola contiene delle lettere come mostrato in figura. nomi 4 → 4.67, ∆ = 0.67
A A A
I A I
D L D
Tre amiche (Ada, Ida e Lia) estraggono a turno e senza restituzione tre lettere per ciascuna in blocco. Calcolare le
probabilità α, β e γ che Ada, Ida e Lia (rispettivamente) riescano a formare il proprio nome.
α=
1
7
β=
4
21
γ=
2
21
4. Una ditta vende componenti elettronici il cui 30% proviene da una fabbrica A, e il restante 70% da una fabbrica B. I
componenti hanno durata esponenziale, quelli prodotti da A con valore medio pari a 10 (mesi), mentre quelli prodotti
da B con valore medio pari a 5 (mesi). Sapendo che dopo 10 mesi un componente è ancora in funzione, calcolare la
probabilità p che provenga da A. ditta 3.5 → 2.75, ∆ = −0.75
p=
3e
3e + 7
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2005/2006 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 23 dicembre 2005
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito H
1. Siano dati due numeri aleatori tali che Y = 1 − 3X. Determinare la retta di regressione di Y su X. retta 6.5 →
1.00, ∆ = −5.50
rY X : y = 1 − 3x
2. Un numero aleatorio continuo X ha la seguente densità di probabilità
(
f (x) =
x≤0
0
ln 3
3x
x>0
Calcolare la previsione.expe 5 → 5.00, ∆ = 0
IP(X) =
1
ln 3
3. Dall’urna mostrata in figura
¬ ­ ® ¯ ° →
1◦ pallina
2◦ pallina
3◦ pallina
vengono estratte una alla volta e senza restituzione tre palline e vengono poste in ordine nella griglia a fianco (come
mostrato in figura) formando un numero (N ) a tre cifre. Introdotti gli eventi
A =“N è multiplo di 2”,
B =“N è multiplo di 3”,
C =“N è multiplo di 6”.
calcolare P (A), P (B), P (C), e stabilire se A e B sono stocasticamente indipendenti.multip 4.5 → 1.00, ∆ =
−3.50
P (A) =
2
5
P (B) =
2
5
P (C) =
2
15
A e B indipendenti ? SÌ
NO
4. In un gioco simile a quello dell’oca, bisogna arrivare all’ultima casella (n. 100) lanciando ripetutamente un dado e
percorrere un numero di caselle pari all’uscita del dado. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità (p) di
riuscire a raggiungere (o superare) l’ultima casella con 30 lanci. oca 2.5 → 0, ∆ = −2.50
p=1−Φ
q 2
7
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2005/2006 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 20 gennaio 2006
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità
k |y| ≥ |x| + 1, |y| ≤ 2
f (x, y) =
0
altrove.
Determinare il valore di k, F1 (x) e f2 (y).arce
k = 1/2

0



2


 (1 + x)
2
F1 (x) =
2

 1 − (1 − x)



2

1
x < −1

 −1 − y −2 ≤ y ≤ −1
y−1
1≤y≤2
f2 (y) =

0
altrove.
0≤x<1
−1 ≤ x < 0
x>1
2. Un’urna contiene due palline bianche e ventotto nere. Tre amici estraggono ripetutamente e senza restituzione una
pallina per ciascuno (prima Alberto, poi Bonifacio, poi Cesare, poi di nuovo Alberto e così via) fino a quando viene
estratta per la prima volta una pallina bianca. Calcolare la probabilità p che il primo ad estrarre una pallina bianca sia
Cesare.amici
p=
9
29
2
2
3
, P (B) = , P (C) = . Si ponga
5
3
5
P (Ac ∩ B c ∩ C) = ε, e P (A ∩ B c ∩ C) = λ, e si individui sul piano (ε, λ) la regione Q di coerenza. cora
3. Siano dati tre eventi A, B e C, con C c ∩ A = ∅, e tali che P (A) =
Q= ∅
4. Un numero aleatorio X ha distribuzione geometrica con parametro p. Si determini la funzione caratteristica, e utilizzando quest’ultima la varianza.cargo
ϕX (t) =
peit
1 − qeit
var(X) =
q
p2
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2005/2006 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 20 gennaio 2006
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Un numero aleatorio X ha la seguente densità
f (x) =
1/x 1 ≤ x ≤ e
0
altrove.
Determinare la densità di probabilità di Y = ln X.finca
g(y) =
1 0≤y≤1
0
altrove.
2. Un cassetto contiene due bottoni rossi, due verdi e due blu. Una sarta estrae a caso dal cassetto un bottone alla volte
fino ad ottenerne uno di ogni colore. Calcolare il numero medio (M ) di estrazioni compiute.bottoni
M=
19
5
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) è distribuito uniformemente sul rettangolo di vertici (2, 1); (1, 2); (−2, −1); (−1, −2).
Determinare le funzioni di ripartizione F1 (x) e F2 (y).roide

0
x < −2



2 /6

(x
+
2)
−2
≤
x < −1

(2x + 3)/6
−1 ≤ x < 1
F1 (x) =

2 /6

1
−
(x
−
2)
1≤x<2



1
x ≥ 2.

0
y < −2



2 /6

(y
+
2)
−2
≤
y < −1

(2y + 3)/6
−1 ≤ y < 1
F2 (y) =

2 /6

1
−
(y
−
2)
1≤y<2



1
y ≥ 2.
4. In una classe (di 30 studenti) ogni ragazzo lancia 4 volte un dado. Calcolare la probabilità α che in tutta la classe sia
uscita esattamente 60 volte la faccia 1 .dadi
120 560
α=
60 6120
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2005/2006 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 20 gennaio 2006
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito C
1. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità
k |y| ≤ 1, |x| ≤ |y| + 1
f (x, y) =
0
altrove.
Determinare il valore di k, f1 (x) e F2 (y).arci
k = 1/6

x+2




3


 1
f1 (x) =
3

2−x





 3
0
−2 ≤ x < −1
−1 ≤ x < 1
1≤x≤2
altrove

0





 1+
2
F2 (y) =
1



+


 2
1
y < −1
y y2
−
3
6
y y2
+
3
6
−1 ≤ y < 0
0≤y<1
y>1
2. Un dispositivo è composto da due componenti posti in serie che devono essere sostituiti. Avendo a disposizione 4
componenti, ne debbo scegliere due tra essi da porli nel dispositivo. Sapendo che uno è guasto, calcolare la probabilità
α di far funzionare il dispostivo.comp
α=
1
2
1
2
2
, P (B) = , P (C) = . Si ponga
3
5
5
P (A ∩ B ∩ C) = ε, e P (Ac ∩ B c ∩ C) = λ, e si individui sul piano (ε, λ) la regione Q di coerenza. core
3. Siano dati tre eventi A, B e C, con C c ∩ A = ∅, e tali che P (A) =
Q=
0 ≤ ε ≤ 1/3
0 ≤ λ ≤ 1/15
4. Un numero aleatorio X ha distribuzione ph = P (X = h) = ph con h = 1, 2, . . .. Determinare p e IP(X).geo
p=
1
2
IP(X) = 2
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 20 gennaio 2006
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito D
1. Un numero aleatorio X ha la seguente densità

 √1
f (x) =
x
 0
Determinare la densità di probabilità di Y =
√
altrove.
X.fince
g(y) =
1 ≤ x ≤ 9/4
2 1 ≤ y ≤ 3/2
0
altrove.
2. Un’urna contiene trenta palline numerate da 1 a 30. Se ne estraggono due in blocco, calcolare la probabilità p che la
più piccola sia multiplo di 3.palli
p=
9
29
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità
hx2 + ky 0 ≤ x, y ≤ 1
f (x, y) =
0
altrove.
Determinare i valori di h e k sapendo che IP (XY ) =
1
.rombo
3
h=0
k=2
1
e il numero aleatorio
500
X = |E1 | + |E2 | + . . . + |E1000 |. Calcolare con una opportuna approssimazione P (X = 100).poiso
4. Siano dati 1000 eventi indipendenti ed equiprobabili E1 , E2 , . . . E1000
P (X = 100) =
2100 −2
e
100!
con P (Ei ) =
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 20 gennaio 2006
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito E
1. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità
k |x| ≤ 1, |y| ≤ |x| + 1
f (x, y) =
0
altrove.
Determinare il valore di k, F1 (x) e f2 (y).arco
k = 1/6

0





 1+
2
F1 (x) =
1



+


 2
1

y+2




3


 1
−1 ≤ x < 0
f2 (y) =
3

2−y


0≤x<1



 3
x>1
0
x < −1
x x2
−
3
6
x x2
+
3
6
−2 ≤ y < −1
−1 ≤ y < 1
1≤y≤2
altrove
2. Sei amici devono decidere chi dovrà lavare i piatti. A tale scopo decidono di estrarre uno alla volta e senza restituzione
una carta da un mazzo di carte italiane fino ad ottenere un qualunque asso. Sapendo che il turno delle estrazioni
comincia con Angelo, e segue con Bruno, Claudio, Davide, Erasmo e Federico, determinare la probabilità p che
Angelo lavi i piatti .piatti
p=
1939
9139
1
2
2
, P (B) = , P (C) = . Si ponga
4
3
5
P (Ac ∩ B c ∩ C c ) = ε, e P (Ac ∩ B ∩ C) = λ, e si individui sul piano (ε, λ) la regione Q di coerenza. cori
3. Siano dati tre eventi A, B e C, con C c ∩ A = ∅, e tali che P (A) =

 λ − 1/15 ≤ ε ≤ λ + 11/60
0 ≤ λ ≤ 3/20
Q=

ε≥0
4. Un numero aleatorio X ha densità
f (x) =
k ln(x) 1 ≤ x ≤ e
0
altrove.
Determinare k e la previsione di X.loga
k=1
IP(X) =
e2 + 1
4
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 20 gennaio 2006
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito F
1. Un numero aleatorio X ha la seguente densità
f (x) =
Determinare la densità di probabilità di Y =
1/x2 1/2 ≤ x ≤ 1
0
altrove.
1
.finci
X
g(y) =
1 1≤y≤2
0
altrove.
2. Sei amici hanno vinto insieme un solo biglietto per andare allo stadio. Per decidere a chi assegnare il biglietto decidono di estrarre uno alla volta e senza restituzione una carta da un mazzo di carte italiane fino ad ottenere l’asso di
denari. Sapendo che il turno delle estrazioni comincia con Aldo, e segue con Benito, Cesare, Dario, Ezio e Franco,
(per poi eventualmente ricominciare da Aldo) determinare la probabilità di vincita di ognuno di essi .stadio
pA =
7
40
pB =
7
40
pC =
7
40
pD =
7
40
pE =
6
40
pF =
6
40
3. Un ente pubblico è solito elargire contratti di collaborazione la cui stipula avviene dopo un tempo aleatorio X (espresso in anni) che il contraente ha ultimato la prestazione. Il compenso viene ricevuto dopo un tempo aleatorio Y
(espresso in anni) dalla stipula del contratto. Sapendo che il vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità
−x−y
e
x, y > 0
f (x, y) =
0
altrove.
calcolare la probabilità p che egli venga pagato entro 5 anni dalla fine del lavoro e il tempo medio (M ) di attesa.ente
p = 1 − 6e−5
M =2
4. Un numero aleatorio continuo X non ha memoria ed è tale che P (X > ln(3/2)) = 2P (X < ln(3/2). Determinare
il valore medio m di X.expo
m=1
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 20 gennaio 2006
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito G
1. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità
k |x| ≥ |y| + 1, |x| ≤ 2
f (x, y) =
0
altrove.
Determinare il valore di k, f1 (x) e F2 (y).arcu
k = 1/2

 −1 − x −2 ≤ x ≤ −1
x−1
1≤x≤2
f1 (x) =

0
altrove.

0



2


 (1 + y)
2
F2 (y) =
(1 − y)2



1
−


2

1
y < −1
−1 ≤ y < 0
0≤y<1
y≥1
2. La composizione di un’urna è mostrata in figura :
¬ ­ ¸
¹ º »
Da essa vengono estratte con restituzione cinque palline ottenendo tre palline bianche. Calcolare la probabilità p che
la pallina ­ sia sempre rimasta nell’urna.urna
p=
1
8
2
1
2
, P (B) = , P (C) = . Si ponga
3
2
5
P (A ∩ B ∩ C c ) = ε, e P (Ac ∩ B c ∩ C c ) = λ, e si individui sul piano (ε, λ) la regione Q di coerenza. coro
3. Siano dati tre eventi A, B e C, con B ∩ Ac = ∅, e tali che P (A) =

 13/30 − ε ≤ λ ≤ 3/5 − ε
0 ≤ λ ≤ 1/3
Q=

1/3 ≤ ε ≤ 1/2
4. In un’urna il numero di palline bianche è doppio di quelle nere. Da essa si estraggono senza restituzione la metà delle
3
palline ottenendone X (aleatorio). Sapendo che X è tale che var(X) =
IP(X), determinare il numero totale N di
17
palline presenti all’inizio nell’urna.iperg
N = 18
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2005/2006 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 20 gennaio 2006
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito H
1. Un numero aleatorio X ha la seguente densità
ex 0 ≤ x ≤ ln 2
0
altrove.
f (x) =
Determinare la densità di probabilità di Y = eX .finco
g(y) =
1 1≤y≤2
0
altrove.
2. Un dipendente pubblico è solito assentarsi durante il suo turno di lavoro (di 8 ore) per un periodo aleatorio avente
valore medio pari a 75 minuti e scarto quadratico pari a 30 minuti. Applicando il teorema centrale, calcolare la
probabilità p che in 100 giornate lavorative si sia assentato per almeno il 15% dell’intero periodo.dipe
p = Φ(1)
3. Si abbia la seguente distribuzione del vettore aleatorio (X, Y )
X
-1
0
1
00
pk
↓
Y
0
1/12
1/4
0
1/3
1
1/6
1/4
1/4
2/3
ph →
1/4
1/2
1/4
0
0
00
Determinare le distribuzioni marginali ph e pk (scrivere i valori nelle rispettive caselle) e il coefficiente di correlazione.vett
ρ=
1
4
4. Un numero aleatorio X avente distribuzione normale ha il valore medio uguale alla varianza ed è tale che
P (X < σ) = 1 − Φ(1). Determinare i valori di m e σ.norma
m=4
σ=2
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2005/2006
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 25 marzo 2006
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. In un dispositivo (si veda figura) tutti i componenti devono essere rimpiazzati. Per la sostituzione vengono scelti a
caso tre componenti da un lotto che ne contiene tre buoni e quattro difettosi . Calcolare la probabilità α che dopo la
sostituzione il dispositivo funzioni.dispo
1
2
α=
19
35
3
2. Sia data la distribuzione congiunta di probabilità mostrata in figura. Determinare codominio, distribuzione, previsione
e varianza di Z =‘massimo comune divisore tra X e Y ’.MCD
X
1
2
4
Y
2
4
1
3
1
12
1
4
1
8
1
6
1
24
CZ = {1, 2, 4}
pZ =
11 1 1
, ,
24 2 24
IP(Z) =
13
8
var(Z) =
31
64
3. Un’urna contiene un numero imprecisato di palline bianche e nere. Da essa vengono estratte 10 palline. Sia X =‘numero
di palline bianche estratte’, e Y =‘numero di palline nere estratte’ ; calcolare var(X + Y ).urna
var(X + Y ) = 0
4. In una grande stazione ferroviaria il numero di treni (in un giorno) che partono con almeno venti minuti di ritardo
segue la distribuzione di Poisson con valore medio θ avente distribuzione (iniziale) gamma G30,2 (θ). Sapendo che negli ultimi 5 giorni sono partiti (con almeno venti minuti di ritardo) rispettivamente 10, 30, 15, 25, 40 treni, determinare
la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.staz


θ120
e−5θ per θ > 0
α(x|θ) =
10!30!15!25!40!
 0
altrove .

 7150 149 −7θ
θ e
per θ > 0
β(θ|x) = G150,7 (θ) =
 0149!
altrove .
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2005/2006
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 25 marzo 2006
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Franco ha giocato i due numeri ‘25’ e ‘54’ sulla ruota del lotto di Genova. Qual è la probabilità p1 che realizzi
l’ambo ? Mentre torna a casa per conoscere l’esito delle estrazioni incontra Luigi che gli riferisce che il numero più
alto uscito a Genova è il ‘71’ ; qual è a questo punto la probabilità p2 che egli abbia realizzato l’ambo ? Dopo qualche
minuto incontra Marcello che lo informa che il numero più basso uscito a Genova è il ‘19’ ; qual è ora la probabilità
p3 che egli abbia realizzato l’ambo ?lotto
p1 =
2
801
p2 =
2
805
p3 =
1
425
2. Sia data la distribuzione congiunta di probabilità mostrata in figura. Determinare codominio, distribuzione, previsione
e varianza di Z =‘minimo comune multiplo tra X e Y ’.mcm
X
1
2
4
Y
1
2
1
24
1
6
1
8
1
4
1
12
1
3
CZ = {1, 2, 4}
pZ =
1 1 11
, ,
24 2 24
IP(Z) =
23
8
var(Z) =
71
64
3. Un’urna contiene un numero imprecisato di palline bianche e nere. Da essa vengono estratte un numero di palline pari
all’esito del lancio di un dado. Sia X =‘numero di palline bianche estratte’, e Y =‘numero di palline nere estratte’ ;
calcolare IP(X + Y ).urno
IP(X + Y ) =
7
2
4. In una moderna stazione ferroviaria la percentuale (θ) di treni che arrivano con almeno dieci minuti di ritardo ha
distribuzione (iniziale) beta B5,20 (θ). Sapendo che tra gli ultimi 15 treni 8 sono arrivati con almeno dieci minuti di
ritardo, determinare la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.tren
 (
39! 12
 15 8
θ (1 − θ)7 per 0 < θ < 1
θ (1 − θ)26 per 0 < θ < 1
α(x|θ) =
β(θ|x) = B13,27 (θ) =
8
12!26!

0
altrove .
0
altrove .
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2005/2006
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 21 aprile 2006
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Sei amici sono riusciti a superare un esame dopo (rispettivamente) 3, 1, 5, 2, 3, 4 tentativi ; determinare la moda x∗ , la
mediana m e la media aritmetica x̄ dei suddetti dati.sei
x∗ = 3
m=3
x̄ = 3
2. Un’urna contiene in egual numero palline bianche, rosse e verdi. Da essa se ne estraggono in blocco 10. Sia
X=
Y =
Z=
‘numero di palline
‘numero di palline
‘numero di palline
bianche
rosse
verdi
estratte’,
estratte’,
estratte’.
Determinare i coefficienti di correlazione tra X e Y , tra X e Z e tra Y e Z.cof
ρXY = −
1
2
ρXZ = −
1
2
ρY Z = −
1
2
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma G5,10 (x). Calcolare la previsione di Y =
e5X
.gam
X
IP(Y ) = 40
3
4. Ad una festa sono invitate 48 persone, ognuna di esse ha probabilità di andarvi. Supposto che tra ognuno dei
4
partecipanti ci sia una stretta di mano, esprimere il numero (aleatorio) T =‘numero totale di strette di mano’ in
funzione del numero (aleatorio) S =‘numero di partecipanti alla festa’. Applicando il teorema centrale calcolare la
probabilità α che ci siano almeno 528 strette di mano. (N.B. Si trascurino i saluti dei padroni di casa)mano
S
S(S − 1)
T =
=
2
2
α = Φ(1)
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Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 21 aprile 2006
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Compito B
1. Sei amici sono andati a pescare per (rispettivamente) 4, 3, 2, 3, 8, 4 ore (X), pescando (rispettivamente) 8, 10, 7, 2, 5, 4
pesci (Y ). Calcolare la covarianza dei due suddetti elenchi di dati.pesc
cov(X, Y ) = −1
2. Calcolare il coefficiente di correlazione tra T = 2X − Y + 3Z e S = 2Y − 6Z + 5 − 4X.covr
ρT,S = −1
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione beta B5,16 (x). Calcolare la previsione di Y =
IP(Y ) =
X
1−X
10
.bet
1
3
9
4. Da un’urna contenente una frazione
di palline bianche si estraggono con restituzione n palline. Calcolare la
13
probabilità di ottenere al massimo 700 palline bianche (in funzione di n con n > 700), prima in modo esatto (α) e
poi in modo approssimato applicando il teorema centrale (β). Determinare poi il massimo valore di n (nmax ) per cui
tale probabilità (β) è maggiore di 0.691462 (' Φ(0.5)).extr
α=
4
13
n X
700 k
n
9
k
4
k=0
β=Φ
9100 − 9n
√
6 n
nmax = 1000
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 28 aprile 2006
matricola
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Compito A
1. Ognuno dei cinque eventi mostrati in figura ha probabilità pari a p, ognuna delle quattro intersezioni ha probabilità
pari a p/4. Determinare i valori coerenti per p.olym
1
p ∈ 0,
4
2. Su ognuna delle quattro facce di un tetraedro è stata stampata a caso una vocale (ogni vocale potendo comparire più
volte sul tetraedro). Calcolare la probabilità α che non sia stata stampata né la ‘E’ né la ‘I’. In seguito, senza essere
guardato, il tetraedro viene lanciato e le facce scoperte mostrano le vocali ‘A’, ‘O’, ‘U’ ; qual è ora la probabilità β
che sulle sue facce non sia stata stampata né la ‘E’ né la ‘I’ ? Successivamente il tetraedro viene lanciato una seconda
volta (senza guardare la vocale stampata sulla faccia coperta) e le facce scoperte mostrano nuovamente le vocali ‘A’,
‘O’, ‘U’ ; qual è a questo punto la probabilità γ che sulle sue facce non sia stata stampata né la ‘E’ né la ‘I’ ?tetra
4
3
α=
5
β=
3
5
γ=
3
4
3. Due numeri aleatori X e Y hanno entrambi distribuzione uniforme tra 0 e 1. Determinare la funzione di ripartizione
di Z = X + Y . qqad
FZ (z) =

0


 z2
2


 2z − 1 −
1
z2
2
z
0≤z
1<z
z
<0
≤1
≤2
>2
4. Un numero aleatorio X ha la seguente densità
f (x) =
4x2 e−2x x > 0
0
x≤0
Determinare la funzione di rischio.rsc


4x2
2
h(x) =
 01 + 2x + 2x
x>0
x≤0
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 28 aprile 2006
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Compito B
1. Alberto ha giocato i due numeri ‘14’ e ‘87’ sulla ruota del lotto di Milano. Qual è la probabilità p che abbia realizzato
l’ambo sapendo che sono usciti due numeri pari e tre dispari ?lobo
p=
2
675
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson con valor medio pari a 1. Calcolare la probabilità α = P (1.5 <
X ≤ 3.2|1.6 < X < 4.1).psn
α=
16
17
3. Un numero aleatorio X ha codominio CX = {0, 3, 5, 7} e distribuzione pX = {0.2, 0.5, 0.1, 0.2}. Determinare la
funzione di ripartizione. fpr

0




0.2

0.7
F (x) =


0.8



1
x<0
0≤x<3
3≤x<5
5≤x<7
x≥7
4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha densità di probabilità
k(4 − x2 − y 2 ) (x, y) ∈ C
f (x, y) =
0
altrove
dove √
C è il cerchio di raggio di raggio 2 con centro in (0, 0). Determinare il valore di k e la densità di probabilità di
Z = X 2 + Y 2 . cork
1
k=
8π
(
fZ (z) =
z(4−z 2 )
4
0
0≤z≤2
altrove
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 28 aprile 2006
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Compito C
1. Calcolare la probabilità p che nel lancio di due dadi il numero più grande uscito sia maggiore del più piccolo. dad
p=
5
6
2. Un numero aleatorio X ha la seguente funzione di ripartizione

0
x<1




0.2
1
≤x<3




0.3
3
≤
x<4

0.4 4 ≤ x < 7


0.6
7≤x<8





0.8
8
≤x<9


1
x≥9
Calcolare le probabilità α = P (1 < X < 4), β = P (3 < X ≤ 7), γ = P (4 ≤ X < 8) e δ = P (7 ≤ X ≤ 9).rpt
α = 0.1
β = 0.3
γ = 0.3
δ = 0.6
3. Un vettore aleatorio ha la seguente densità di probabilità
kxy (x, y) ∈ T
f (x, y) =
0
altrove.
dove T è il triangolo di vertici (−1, −1), (−2, −1), (−1, −2). Determinare k e IP
8
k=
7
IP
1
XY
=
1
XY
. vitt
4
7
4. Ad un esame sono presenti 100 studenti. Ognuno di essi raggiunge una votazione avente distribuzione normale con valore medio pari a 18. Applicando il teorema centrale, calcolare la probabilità α che ci siano al massimo 55 respinti.bct
α = Φ(1)
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Compito D
1. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale ed è tale che P (1 < X < 4) = P (6 < X < 9). Calcolare la
α = P (5 < X < 5 + σ|5 − σ < X < 5 + σ), essendo σ lo scarto quadratico.normsim
α=
1
2
2. Un’urna contiene 3 palline bianche e 2 nere. Da essa vengono estratte senza restituzione 3 palline. Definiti gli eventi
E = “si ottengono esattamente 2 palline bianche”
F = “si ottengono almeno 2 palline bianche”
H = “si ottiene esattamente 1 pallina nera”
calcolare le probabilità P (H|E) e P (H|F ). wrn
P (H|E) = 1
P (H|F ) =
6
7
3. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità
f (x) =
2x 0 ≤ x ≤ 1
0
altrove
Determinare la densità di probabilità di Y = ln(X + 1). lgn
g(y) =
2ey (ey − 1) 0 ≤ y ≤ ln 2
0
altrove
4. Sia data la seguente distribuzione congiunta di probabilità
1
2
4
2
0.2
0.1
0.1
4
0.3
0.2
0.1
X
Y
Determinare codominio, distribuzione e previsione del numero aleatorio Z = logY X.lgyx
CZ =
1
0, , 1, 2
2
pZ = {0.5, 0.2, 0.2, 0.1}
IP(Z) = 0.5
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Compito E
1. Un numero aleatorio X avente distribuzione geometrica è tale che per qualunque valore k si ha P (X > k) = P (X =
k). Determinare il valore medio. gmt
IP(X) = 2
2. Presso un benzinaio si presentano consecutivamente tre macchine a benzina e due a gasolio. Sapendo che il benzinaio si trova inizialmente presso la pompa di benzina e che alla fine vi ritorna, e che tutte le possibili sequenze
delle macchine sono equiprobabili, determinare la distribuzione di X =‘numero di cambi di pompa effettuati dal
benzinaio’.benz
CX = {2, 4}
pX =
2 3
,
5 5
3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha densità di probabilità
k(1 − x2 − y 2 ) (x, y) ∈ C
f (x, y) =
0
altrove
dove C è il cerchio di raggio unitario con centro in (0, 0). Determinare il valore di k e la densità di probabilità di Y .
cerk
2
k=
π
(
fY (y) =
8
3π
1 − y2
0
3
2
−1 ≤ y ≤ 1
altrove
4. In un’aula univeristaria sono presenti 300 studenti. Ognuno di essi ha un certo numero di matite avente distribuzione
di Poisson con valore medio pari a 1. Calcolare la probabilità p che in tutta la classe ci siano esattamente 500 matite.
(Suggerimento : si ricavi prima la funzione caratteristica della distribuzione di Poisson).matite
p=
(300)500 −300
e
500!
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Compito F
1. Siano A, B, C tre eventi tali che C c ⊂ A ∧ B. Stabilire se la assegnazione di probabilità P (A) = 0.4, P (B) =
0.6, P (C) = 0.5 è coerente (cerchiare la risposta giusta) .kor
Coerente ?
SÌ
NO
2. Un’urna contiene 16 palline (bianche e/o nere). Sia X il numero di palline bianche ottenute in una serie di estrazioni
8
con restituzione. Sapendo che IP(X) = var(X) determinare il numero b di palline bianche presenti nell’urna. urn
3
b = 10
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione uniforme nell’intervallo [−3, 3]. Dato un secondo numero aleatorio Y che
dipende dal primo secondo la funzione rappresentata in figura
y
6
1
-2
@
-1
@
@
1
2
- x
-1 @
calcolare le probabilità α = P
1
Y ≤−
2
eβ = P
2
Y ≤
. Determinare inoltre la densità di probabilità di
3
Y .fuz
1
α=
4
5
β=
6
f2 (y) =
1
2
0
−1 ≤ y ≤ 1
altrove
4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme nel triangolo T di vertici (0, 2), (1, 2), (1, 0). Determinare le
densità marginali di X e di Y . trg
fX (x) =
2x 0 ≤ x ≤ 1
0
altrove
( y
fY (y) =
2
0
0≤y≤2
altrove
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 28 aprile 2006
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Compito G
1. Due dadi vengono lanciati contemporaneamente. Definiti gli eventi
A=
B=
C=
“la somma è pari”
“esce almeno una faccia pari”
“esce almeno una faccia dispari”
determinare quali coppie sono stocasticamente indipendenti a due a due e se lo sono a tre a tre (cerchiare la risposta
giusta) .trv
A e B indipendenti ? SÌ
B e C indipendenti ? SÌ
NO
NO
A e C indipendenti ? SÌ
NO
A, B e C indipendenti (a tre a tre) ? SÌ
NO
2. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme nell’intervallo [−1, 1]. Determinare la sua funzione caratteristica, e in base ad essa la previsione. car
ϕX (t) =
sin(t)
t
IP(X) =
ϕ0X (0)
=0
i
3. Nel dispositivo di figura entrambi i componenti devono essere rimpiazzati. Per la sostituzione vengono scelti a caso
due componenti da un lotto che ne contiene due buoni e tre difettosi . Sapendo che dopo la sostituzione il dispositivo
funziona, calcolare la probabilità α che entrambi i nuovi componenti siano buoni.dsp
1
α=
1
7
2
4. Un vettore aleatorio ha la seguente densità di probabilità
3xy (x, y) ∈ T
f (x, y) =
0
altrove.
dove T è il triangolo di vertici (0, 0), (0, 2), (1, 1). Determinare f1 (x) e F2 (y). mrg

0
y



 38 y 4
0
≤
y
6x(1 − x) 0 ≤ x ≤ 1
f1 (x) =
F2 (y) =
3
0
altrove.

−1 + 3y 2 − 2y 3 + y 4 1 ≤ y


8

1
y
<0
<1
<2
≥2
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 28 aprile 2006
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Compito H
1. Siano dati tre eventi A, B e C con A ⊂ B e B ∧ C = ∅, e tali che P (A) = 0.2, P (B) = 0.5, P (C) = 0.3. Calcolare
cov(X, Y ) dove X = 2|A| − |B| + 3|C| e Y = |A| + 2|B| − |C|. evr
cov(X, Y ) = −1.62
2. Un indiano va a caccia con 20 frecce per catturare una preda. Sapendo che ad ogni tiro ha probabilità q di fallire il
tiro, e che torna con una preda, calcolare la probabilità α che abbia lanciato almeno 11 frecce.indn
α=
q 10
1 + q 10
3. Un numero aleatorio continuo X è tale che P (X < t + s|X > s) = P (X < t) ∀t, s > 0. Sapendo che la
previsione è pari al doppio della varianza, calcolare p = P (var(X) < X < IP(X)).esp
1
1
p= √ −
e e
4. Un vettore aleatorio ha la seguente distribuzione
0
1
2
0
1/6
1/3
0
1
1/6
0
1/3
X
Y
Calcolare la varianza di Z = XY .funvet
var(Z) =
8
9
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 11 luglio 2006
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Compito A
1. Un’urna contiene quattro palline bianche e sei nere. Da essa vengono estratte senza restituzione tre palline. Rappresentare su un diagramma di Venn i seguenti eventi :
A = “vengono estratte esattamente due palline bianche”, B = “vengono estratte almeno due palline bianche”,
C = “le prime due palline estratte sono bianche”,
D = “vengono estratte esattamente tre palline bianche”.
n
}
}
}
n
Calcolare inoltre P (A|C) e P (D|C).wnt
B
C
.
&
D
A
%
P (A|C) =
3
4
P (D|C) =
1
4
← diagramma di Venn
B = A ∨ C ; D = C ∧ Ac
1
2. Un numero aleatorio X avente distribuzione geometrica è tale che P (X > 8) = . Calcolare α = P (X ≥ 7.5|X > 3).gmt
9
α=
1
3
3. Data la seguente distribuzione congiunta di probabilità, determinare codominio, distribuzione e previsione del numero
aleatorio X|(Y = 2).vettd
X
1
2
4
Y
CX|(Y =2) = {1, 2, 4}
2
0.2
0.1
0.1
4
0.3
0.2
0.1
pX|(Y =2) =
1 1 1
, ,
2 4 4
IP(X|(Y = 2)) = 2
1
4. Nella trascrizione di codici, un impiegato ha probabilità p =
di commettere un errore su un singolo carattere.
10
Applicando il teorema centrale, calcolare la probabilità β che su 10000 codici (di 4 caratteri ciascuno) almeno 3439
siano errati.cdc
β=
1
2
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Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 11 luglio 2006
matricola
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Compito B
1. Siano dati tre eventi A, B e C con A e B indipendenti ed equiprobabili (P (A) = P (B) = p). Si abbia inoltre
P ((A ∪ B)c |C) = P (Ac ∩ B c ). Determinare i valori possibili di coerenza per p sapendo che C ⊂ (A ∩ B).ewnt
p=1
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson con parametro λ = 10.
Calcolare α = P (2.3 < X < 4.7|3.8 ≤ X ≤ 5).pssn
α=
1
3
3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha densità di probabilità
1≤x≤2
k (x, y) ∈ D
dove D =
f (x, y) =
0 ≤ y ≤ x2
0
altrove
Determinare k, fX (x) e fX (x|y).funa
3
k=
7
fX (x) =




1
1
√
fX (x|y) =
2− y



0
(3/7)x2 1 ≤ x ≤ 2
0
altrove
(0 ≤ y ≤ 1) ∧ (1 ≤ x ≤ 2)
√
(1 ≤ y ≤ 4) ∧ ( y ≤ x ≤ 2)
altrove
4. Dietro una tenda si trovano sei urne come mostrato in figura :
l
m
m
m
U1
m
m
l
m
l
m
U2
m
m
l
m
l
m
U3
l
m
l
l
l l
m m
U4
l
l
l l
l m
U5
l
l
l l
l l
U6
Un uomo nascosto alla nostra vista deve scegliere un’urna da cui estrarre due palline in blocco ; a tale scopo lancia
un dado e sceglie l’urna corrispondente. Sapendo che sono state ottenute due palline bianche calcolare le probabilità
pi (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) che abbia estratto dalla i-esima urna.
p1 =
1
2
p2 =
3
10
p3 =
3
20
p4 =
1
20
p5 = 0
p6 = 0
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Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 23 settembre 2006
matricola
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1. Un numero aleatorio X ha la densità mostrata in figura.ripar
f(x)
6
k
@
@
-1.5
-1
1
1.5
- x
Calcolare k, determinare la densità di probabilità f (x) e la funzione di ripartizione F (x).ripar


0
x < −1.5


k(3
+
2x)
−1.5
≤
x
<
−1




k(x2 + 3x + 2.25)
−1.5 ≤ x < −1


2
k
−1 ≤ x < 1
k(x + 1.25)
−1 ≤ x < 1
k=
f (x) =
F (x) =
k(3
−
2x)
1
≤ x < 1.5


5
2 + 3x + 0.25) 1 ≤ x < 1.5


k(−x




0
altrove
1
x ≥ 1.5
2. In un torneo di calcio, due squadre dopo la prima serie di 5 calci di rigore sono ancora in parità. Per decidere la
vincente si prosegue con i rigori ad oltranza, in cui la prima squadra che va in vantaggio vince la partita. Sapendo che
ognuna di esse ha probabilità p di segnare, calcolare la probabilità γ che dopo 3 calci di rigore il punteggio sia ancora
di parità. wrd
γ = (p2 + q 2 )3
con q = 1 − p
3. Un numero aleatorio X ha densità gma
f (x) =
kx24 e−50x x > 0
0
x≤0
Determinare k e calcolare IP(X).
k=
5025
24!
IP(X) =
1
2
4. In una azienda pubblica di trasporti la percentuale θ di autisti che fumano durante la guida ha distribuzione iniziale
β(θ) = B2,3 (θ). Sapendo che tra gli ultimi 10 autisti osservati 3 di essi sono stati sorpresi a fumare, determinare la
distribuzione finale di θ. fmv

14! 4


θ (1 − θ)9 0 < θ < 1
4!9!
β(θ|x) = B5,10 (θ) =


0
altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2005/2006 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 29 settembre 2006
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1
1. Siano dati tre eventi A, B e C tali che C ⊆ A ∩ B c , con P (A) = P (B) = 2P (C) = , e con A e B
3
stocasticamente indipendenti. Dati i due numeri aleatori X = |A| + |B| − |C| e Y = |A| − |B| + |C| deteminare
codominio e distribuzione del numero aleatorio Z = X 2 · Y .indA
CZ = {−1, 0, 1}
pZ =
2 13 1
, ,
9 18 18
2. In un vettore aleatorio (X, Y ) le due rette di regressione si intersecano nel punto (2, 3). Determinare la previsione di
X e di Y .regr
IP(X) = 2
IP(Y ) = 3
3. Un numero aleatorio continuo X ha la proprietà di non memoria e valor medio pari a 2.
Calcolare α = P (4 < X < 6|X > 2).essp
α = e−1 − e−2
4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha densità di probabilità
k (x, y) ∈ D
1≤x≤2
f (x, y) =
dove D =
0
altrove
0 ≤ y ≤ 1/x
Determinare k, fX (x) e fX (x|y).func
1
k=
ln 2
(
fX (x) =
1
x ln 2
0
1≤x≤2
altrove



1
y
fX (x|y) =

 1−y
0
(0 ≤ y ≤ 1/2) ∧ (1 ≤ x ≤ 2)
(1/2 ≤ y ≤ 1) ∧ (1 ≤ x ≤ 1/y)
altrove
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 29 settembre 2006
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
2
1. Siano dati tre eventi A, B e C tali che C ⊆ A ∩ B c , con P (A) = P (B) = 3P (C) = , e con A e B
3
stocasticamente indipendenti. Dati i due numeri aleatori X = |A| + |B| + |C| e Y = |A| − |B| − |C| deteminare
codominio e distribuzione del numero aleatorio Z = X · Y 2 .indB
CZ = {0, 1}
pZ =
7 2
,
9 9
2. Siano dati due numeri aleatori X e Y tali che 2Y + 3X = 4. Calcolare il coefficiente di correlazione ρXY .corr
ρXY = −1
3. Un numero aleatorio continuo X avente distribuzione uniforme ha il valor medio pari alla varianza ed è tale che
IP(X 2 ) = 12. Calcolare α = P (X < 2).unnf
α=
1
3
4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha densità di probabilità
k (x, y) ∈ D
1≤x≤2
√
f (x, y) =
dove D =
0
altrove
0≤y≤ x
Determinare k, fX (x) e fX (x|y).funb
√
3 x
√
3
fX (x) =
k= √
2 2 2−1

2 2 2−1
0


1≤x≤2
altrove




1
1
fX (x|y) =

2 − y2


0
(0 ≤ y ≤ 1) ∧ (1 ≤ x ≤ 2)
√
(1 ≤ y ≤ 2) ∧ (y 2 ≤ x ≤ 2)
altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007 Polo di Latina
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 18 dicembre 2006
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Nel circuito di figura tutti gli interruttori sono inizialmente aperti. Ad un certo istante quattro di essi scelti a caso
vengono chiusi. Calcolare la probabilità α che ai capi del circuito ci sia passaggio di corrente.dixp
α=
1
165
2. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità
f (x) =
k 2 ≤ |x| ≤ 5
0
altrove.
Calcolare la probabilità α = P (9 < X 2 < 16) e la funzione di ripartizione di X. mdd
α=
1
3
F (x) =

0




 16 (x + 5)





x < −5
−5 ≤ x < −2
1
−2 ≤ x < 2
2
1
1
2 + 6 (x − 2) 2 ≤ x < 5
1
x≥5
3. Sei dadi vengono lanciati simultaneamente. Calcolare la probabilità p che essi mostrino tutti facce diverse. Calcolare
poi (con un’opportuna approssimazione) la probabilità α che in 240 lanci multipli (ossia tutti e sei i dadi insieme)
almeno una volta si presentino tutte facce diverse. pns
p=
5
324
100
α = 1 − e− 27
4. Un vettore aleatorio continuo è distribuito uniformemente all’interno del rombo di vertici (0, 1), (2, 0), (0, −1),
(−2, 0). Determinare la densità marginale di Y e la densità condizionata fX|Y (x). rmb


1

 4(1+y)
 1 + y −1 ≤ y ≤ 0
1
1−y 0≤y ≤1
fY (y) =
fX|Y (x) =
4(1−y)


 0
0
altrove
(−1 ≤ y ≤ 0) ∧ (−2 + 2y ≤ x ≤ 2 + 2y)
(0 ≤ y ≤ 1) ∧ (2y − 2 ≤ x ≤ 2 − 2y)
altrove
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 18 dicembre 2006
matricola
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Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Marco e Andrea puntano rispettivamente sull’uscita del “25” e del “75” nell’estrazione della ruota del lotto di Roma.
Calcolare la probabilità p che almeno uno dei due vinca. lot
p=
29
267
2. Un numero aleatorio X ha la seguente densità di probabilità
f (x)
6
2k
@
k
@
@
-3k
-2k
-k
k
2k
@
3k
- x
calcolare il valore di k, la varianza e la probabilità α = P (|X| > k).starr
1
k=√
6
var(X) =
72
63
α=
1
2
3. Un numero aleatorio discreto X ha codominio CX = {−2, −1, 0, 1, 2} e distribuzione pX = {0.1, 0.2, 0.4, 0.2, 0.1}.
Determinare la sua funzione caratteristica, e in base ad essa la previsione di X m con m dispari. crst
ϕX (t) = 0.4 + 0.2 cos(2t) + 0.4 cos(t)
IP(X m ) = 0
4. Su ognuna delle due facce di una medaglia è stato stampato a caso uno tra i seguenti simboli (ogni simbolo potendo
comparire più volte sulla medaglia) : luna $, sole Y, stella P. Ritenendo equiprobabili ognuna delle nove possibilità, calcolare la probabilità α che non sia stato stampato il sole. In seguito, senza essere guardata, la medaglia
viene lanciata e mostra il simbolo stella ; qual è ora la probabilità β che sulle sue facce non sia stato stampato il
sole ? La medaglia viene lanciata una seconda volta (senza guardare il simbolo stampato sulla faccia coperta) e mostra nuovamente il simbolo stella ; qual è a questo punto la probabilità γ che sulle sue facce non sia stato stampato il
sole ?mdg
α=
4
9
β=
2
3
γ=
3
4
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 18 dicembre 2006
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Compito C
1. Un’urna contiene quattro palline bianche, quattro nere e quattro rosse. Si fanno tre estrazioni triple (ossia costituite
dall’estrazione in blocco di tre palline) senza restituzione. Calcolare la probabilità α di ottenere almeno una volta tre
palline dello stesso colore. urnx
α=
41
275
2. Un numero aleatorio X ha la densità di probabilità mostrata in figura
f (x)
6
1
@
@
h
2
-
x
stabilire se esistono valori di h tali che il valore della varianza e della previsione coincidano .hmp
non esistono valori di h
3. Un vettore aleatorio ha densità di probabilità
f (x, y) =
k(x + y) (x, y) ∈ T
0
altrove.
dove T è il triangolo di vertici (2, 1), (1, 2), (2, 2). Determinare k e le densità marginali f1 (x) e f2 (y). trg
( 6
( 6
3
3
3
3
3
x − + x2 1 ≤ x ≤ 2
y − + y2 1 ≤ y ≤ 2
k=
f1 (x) =
f
(y)
=
5
2 10
5
2 10
2
5
0
altrove.
0
altrove.
4. Una ditta vende lampadine che per il 30% provengono da una fabbrica A, e per il 70% da una fabbrica B. Sapendo che
la loro durata ha distribuzione esponenziale con valore medio (rispettivamente) di 100 ore e 200 ore, e sapendo che
una data lampadina ha funzionato per (esattamente) 400 ore, calcolare la probabilità α che essa sia stata fabbricata da
A. lmpd
α=
6
6 + 7e2
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 18 dicembre 2006
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Compito D
1. Ad una catena composta da sei anelli vengono tolti due anelli a caso, dividendola in una o più parti. Sia X =‘numero
di parti in cui risulta divisa la catena’, determinarne codominio e distribuzione.ctn
CX = {1, 2, 3}
pX =
1 3 1
, ,
5 5 5
2. Un numero aleatorio X ha la seguente funzione di ripartizione

x < −1

 0


 0.2 −1 ≤ x < 0
0.5 0 ≤ x < 1
F (x) =


 0.7 1 ≤ x < 3


1
x≥3
Calcolare le probabilità α = P [(−1 < X ≤ 1)|(0 ≤ X < 3)] e β = P [(0 ≤ X < 3)|(−1 < X ≤ 1)].frp
α=1
β=1
3. Un dispositivo è composto da tre componenti in serie, ognuno dei quali ha distribuzione esponenziale con valore
medio pari a 0.25 (anni). Determinare la funzione di ripartizione del numero aleatorio T =‘durata del dispositivo’
(espresso in anni) sapendo che i tre componenti sono indipendenti.dsps
1 − e−12t t > 0
FT (t) =
0
t≤0
4. Siano dati due eventi A e B equiprobabili e due numeri aleatori X = |A| − 2|B|, Y = |B| − 2|A|. Calcolare
cov(X + Y, X − Y ). cva
cov(X + Y, X − Y ) = 0
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 18 dicembre 2006
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Compito E
1. Tre colleghi insegnano nella stessa scuola. Nella compilazione dell’orario scolastico il giorno libero della settimana
viene assegnato a caso. Detto X =‘numero di giorni in cui tutti e tre i colleghi si incontrano a scuola’, determinarne
codominio e distribuzione.scl
CX = {3, 4, 5}
pX =
20 15 1
, ,
36 36 36
7 1 5
, , , p . Ricavare il valore
24 8 24
di p, la funzione di ripartizione del numero aleatorio X, e calcolare P (−2 ≤ X < 3).rpt

0
x < −2



7

−2 ≤ x < 0

 24
3
5
5
0≤x<3
F (x) =
p=
P (−2 ≤ X < 3) =
12

8
12

5

3≤x<7


 8
1
x≥7
2. Un numero aleatorio X ha codominio CX = {−2, 0, 3, 7} e distribuzione pX =
3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme all’interno del triangolo di vertici (−1, 0); (0, 1); (1, 0).
Determinare le densità marginali di X e di Y , calcolare cov(X, Y ) e stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti (cerchiare la risposta giusta) .tgrg

 1 + x −1 ≤ x ≤ 0
1−x
0<x≤1
fX (x) =

0
altrove.
fY (y) =
2(1 − y) 0 ≤ y ≤ 1
0
altrove.
X e Y indipendenti ? SÌ
cov(X, Y ) = 0
NO
4. Un dispositivo è composto da tre componenti in parallelo, ognuno dei quali ha distribuzione esponenziale con valore
medio pari a 0.5 (anni). Determinare la funzione di sopravvivenza del numero aleatorio T =‘durata del dispositivo’
(espresso in anni) sapendo che i tre componenti sono indipendenti.dspp
1 − (1 − e−2t )3 t > 0
ST (t) =
1
t≤0
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 18 dicembre 2006
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Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito F
1. Sia dato il seguente diagramma di Venn, con A e B equiprobabili (P (A) = P (B) = p) ed indipendenti.
h
.
B
C
%
A
Sapendo che P (Ac ∧ B c ) ≤ P (C) ≤ P (B ∧ Ac ), e ponendo λ = P (A ∧ B ∧ C c ), stabilire le condizioni che devono
essere verificate da p e λ affinché le assegnazioni di probabilità siano coerenti.dwn
p(2p − 1) ≤ λ ≤ (2p − 1)
2. Un’urna contiene quattro palline bianche, quattro nere e quattro rosse. Si fanno due estrazioni triple (ossia costituite
dall’estrazione in blocco di tre palline) con restituzione (ogni volta le tre palline vengono reinserite). Calcolare la
probabilità α di ottenere almeno una volta tre palline dello stesso colore. urnu
α=
321
3025
3. Un numero aleatorio X ha densità f (x) = ke−|x| per − ∞ < x < +∞. Determinare k, P (|X| < 1) e var(X). expp
k=
1
2
P (|X| < 1) = 1 − e−1
var(X) = 2
4. In un paesino ognuna delle 225 famiglie che vi abitano ha preparato per la notte di capodanno un numero aleatorio di
bottiglie di spumante avente distribuzione di Poisson con parametro λ = 9. Applicando il teorema centrale calcolare
la probabilità α che il numero medio di bottiglie stappate sia minore di 9.4. btg
α = Φ(2)
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 18 dicembre 2006
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Compito G
1. Un’urna contiene sei palline, tre bianche e tre nere. Si fanno cinque estrazioni doppie (ossia costituite dall’estrazione
in blocco di due palline) con restituzione (ogni volta le due palline vengono reinserite). Calcolare la probabilità α di
ottenere esattamente tre volte una coppia di palline dello stesso colore. urnt
α=
144
625
2. Un numero aleatorio X avente distribuzione normale è tale che P (X ≤ 4) = Φ(1) e P (X > 1) = Φ(2). Determinare
valore medio m e scarto quadratico σ.nnmr
m=3
σ=1
3. Un vettore aleatorio ha la seguente distribuzione
-1
0
1
0
1/5
2/5
1/5
1
0
1/5
0
X
Y
Determinare la retta di regressione di X su Y .vetdiscr
rXY : x = 0
4. Determinare la funzione di rischio del numero aleatorio continuo X avente densità rch

 x2 −x
e
x>0
f (x) =
 02
x≤0


x2
2
h(x) =
 02 + 2x + x
x>0
x≤0
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 18 dicembre 2006
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Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito H
1. Siano A, B, C tre eventi tali che B ⊆ A ∧ C c . Stabilire se l’assegnazione P (B) = 0.7, P (C) = 0.4 è coerente
(cerchiare la risposta giusta) . crn
NO
coerenti ? SÌ
2. Un’urna contiene dieci palline, cinque bianche e cinque nere. Si fanno tre estrazioni doppie (ossia costituite dall’estrazione in blocco di due palline) senza restituzione. Calcolare la probabilità α che in almeno un’estrazione doppia si
ottengano due palline di colore diverso. urns
α=
19
21
3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme per x ∈ (0, 3). Determinare la densità di probabilità di
Y = (X − 2)2 .fzn
 1

 3√ y 0 < y ≤ 1
1
√
g(y) =
6 y 1<y <4


0
altrove
4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme all’interno del dominio S rappresentato in figura.
y
6
3
A
A
A
1 A
H
HH
H
H
-3 H
-1
1
3
HH
-1
A
A
A A-3
- x
calcolare le probabilità α = P (|X| + |Y | ≤ 1), β = P [(|X| < 1) ∨ (|Y | < 1)], γ = P (X 2 + Y 2 ≤ 1),
δ = P [(|X| > 1) ∧ (|Y | > 1)].stel
α=
1
6
β=1
γ=
π
12
δ=0
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2005/2006
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 21 dicembre 2006
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1. Un vettore aleatorio ha la seguente distribuzione
-1
0
1
0
0.2
0.1
0
2
0.4
0.1
0.2
X
Y
Determinare la retta di regressione di Y su X (rY X ) e quella di X su Y (rXY ). Stabilire inoltre il loro punto di
intersezione. vetdiscr
4
2
rXY : x = − + y
3 21
rY X : y = 1.5 + 0.25x
P ≡ (−0.4, 1.4)
2. Tre dadi vengono lanciati insieme più volte fino a quando almeno due di essi mostrano la stessa faccia. Determinare
il numero medio M di lanci da fare, e calcolare la probabilità α di fare almeno cinque lanci. ddd
4
5
α=
9
9
M=
4
3. Un numero aleatorio X ha densità
f (x) =
kx20 (1 − x)35 0 < x < 1
0
altrove.
Determinare k e calcolare IP(X).btt
k=
56!
20!35!
IP(X) =
7
19
4. In una città il numero di biciclette rubate in un giorno segue la distribuzione di Poisson con valore medio θ avente
distribuzione (iniziale) gamma G10,5 (θ). Sapendo che negli ultimi sette giorni sono state rubate 5, 7, 9, 6, 3, 0, 2 biciclette, determinare la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.bct


θ32
e−7θ per θ > 0
α(x|θ) =
5!7!9!6!3!0!2!
 0
altrove .

 1242 41 −12θ
θ e
per θ > 0
β(θ|x) = G42,12 (θ) =
 041!
altrove .
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 9 gennaio 2007
matricola
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Compito A
1. Siano dati tre eventi A, B e C e tre numeri aleatori X, Y e Z con X = 6|A|+5|B|−8|C|, Y = −3|A|+10|B|+4|C|,
Z = 3|A| − 5|B| + 12|C|. Sapendo che IP(X) = 2, IP(Y ) = 4, IP(Z) = 2, calcolare le probabilità di A, B e C. ppp
P (A) =
1
3
P (B) =
2
5
P (C) =
1
4
2. Sia data un’urna con 15 palline bianche 35 palline nere, e si facciano 30 estrazioni senza restituzione. Calcolare
IP(X 2 ) avendosi X =‘ numero di palline bianche ottenute’.ngp
585
7
IP(X 2 ) =
3. Un numero aleatorio X ha codominio CX = {−3, −1, 1, 3} e distribuzione pX =
1 1 1 1
, , ,
. Determinare la
6 3 3 6
funzione caratteristica. ctc
ϕX (t) =
1
[2 cos(t) + cos(3t)]
3
4. Un numero aleatorio X ha la seguente densità di probabilità
f (x)
6
2a
A
A
a
A
A
A
-4
@
@
A
-3
-2
-1
@
1
2
3
4
- x
calcolare il valore di a e determinare la funzione di ripartizione.trp
a=
1
3
F (x) =

0




−2x − 83 − 13 x2



1


3



 1 + 23 x + 16 x2













1
2
2
1 2
3x − 6x
2
3
11
1 2
3 − 2x + 3 x
1
x < −4
−4 ≤ x < −3
−3 ≤ x < −2
−2 ≤ x < −1
−1 ≤ x < 1
1≤x<2
2≤x<3
3≤x<4
x≥4
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 9 gennaio 2007
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme su Q = [0, 4] × [0, 4]. Determinare le seguenti
probabilità : α = P (Y > X), β = P (2Y − X < 4), γ = P (X + Y < 2), δ = P [(Y > X) ∨ (2Y − X < 4)],
= P [(2Y − X < 4)|(X + Y < 2)], λ = P [(X > Y ) ∧ (2Y − 4 > X)].qdd
α=
1
2
β=
3
4
γ=
1
8
δ=1
=1
λ=0
2. Un numero √
aleatorio X ha distribuzione di Poisson con parametro λ = 2. Calcolare IP(X 2 ) e la probabilità α =
P (|X| > 0| X < 2). pssn
IP(X 2 ) = 6
α=
16
19
2
3. Nel circuito elettrico mostrato in figura gli interruttori sono indipendenti tra loro e hanno tutti probabilità di essere
3
chiusi.
@
@
A
1
B
@
@
E
@
@
C
2
D
@
@
Sapendo che tra i due punti 1 e 2 c’è passaggio di corrente, calcolare la probabilità α che l’interruttore E sia chiuso.wht
α=
16
23
4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme su Q = [0, 1] × [0, 1]. Determinare la densità di
probabilità di Z = min(X, Y ).mxi
2(1 − z) 0 ≤ z ≤ 1
f (z) =
0
altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 9 gennaio 2007
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito C
1. Nel circuito di figura tutti gli interruttori sono inizialmente chiusi. Ad un certo istante tre di essi scelti a caso vengono
aperti. Calcolare la probabilità α che ai capi del circuito ci sia passaggio di corrente.doxp
α=
2. Siano dati n eventi E1 , E2 , . . . , E40 tali che P (Ei ) =
di X = |E1 | + |E2 | + . . . + |E40 |.ipg
1
2
19
28
∀i e P (Ei ∧ Ej ) =
1
3
∀i, j
i 6= j. Calcolare la varianza
var(X) = 140
3. Un numero aleatorio X ha la seguente densità di probabilità :

0≤x<1
 1−x
1 + x −1 < x < 0
f (x) =

0
altrove
Determinare la funzione caratteristica. crts
ϕX (t) = 2
1 − cos(t)
t2
4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme all’interno del triangolo di vertici (0, 2), (3, −1), (−3, −1).
Determinare le due funzioni di ripartizione. trn

0
x ≤ −3




2


0
y ≤ −1
(3
+
x)




−3 < x ≤ 0
2
(2 − y)
18
F1 (x) =
F2 (y) =
1−
−1 < y ≤ 2
2
(3
−
x)


9



 1
1−
0<x<3

y≥2

18

1
x≥3
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 9 gennaio 2007
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito D
5
1
1
1. Siano A, B, C tre eventi tali che A∨B ∨C = Ω, con probabilità rispettivamente P (A) = , P (B) = , P (C) = .
12
3
6
Stabilire se l’assegnazione di probabilità è coerente. (cerchiare la risposta giusta) ncn
coerenti ? SÌ
NO
1
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione binomiale con parametri n = 90 e p = . Calcolare IP(X 2 ). bnm
3
IP(X 2 ) = 920
3. Per formare un numero (aleatorio) Z a due cifre, si preleva a caso una pallina dall’urna U1 per formare la cifra delle
decine, e una pallina a caso dall’urna U2 per formare la cifra delle unità (come mostrato in figura).
® ¯ ° ± ²
→ decina
unità ←
¶ ¸ º ¼ ¾
U1
U2
Determinare previsione (m) e varianza (σ 2 ) di Z.nmn
m = 55
σ 2 = 208
4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme all’interno del triangolo di vertici (−1, 0), (1, 0),
(0, 1). Determinare la densità di probabilità di Z = Y − X.rtn
( 1
(z + 1) −1 ≤ z ≤ 1
f (z) =
2
0
altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 9 gennaio 2007
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito E
2
1. Siano dati due eventi A e B stocasticamente indipendenti e aventi entrambi probabilità pari a . Sia dato inoltre un
3
1
3
terzo evento C, avendosi P (C|B) = , P [C|(A ∧ B)] = . Stabilire se le assegnazioni di probabilità sono coerenti
3
4
(cerchiare la risposta giusta) .ctt
NO
coerenti ? SÌ
2. Si abbiano tre numeri
aleatori X, Y, Z aventi
uguale varianza (var(X) = var(Y ) = var(Z) = 1), e stessi coefficienti
1
di correlazione ρXY = ρXZ = ρY Z =
. Calcolare cov(S, T ) con S = 2X − 3Y + Z e T = X + 2Y − 4Z.cvr
2
cov(S, T ) = −4
3. Un vettore aleatorio ha la seguente distribuzione
-1
0
1
0
0.1
0.1
0.3
2
0
0.3
0.2
X
Y
Determinare la retta di regressione di Y su X (rY X ) e quella di X su Y (rXY ). Stabilire inoltre il loro punto di
intersezione. vtd
rY X : y = 1
rXY : x = 0.4
P ≡ (0.4, 1)
4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme su Q = [0, 1] × [0, 1]. Determinare la densità di
probabilità di Z = max(X, Y ).mxa
2z 0 ≤ z ≤ 1
f (z) =
0
altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 9 gennaio 2007
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito F
1. Sia data la seguente distribuzione congiunta di probabilità
-2
0
2
-1
3
8
0
1
8
1
1
4
1
4
0
X
Y
Calcolare cov(X, Y ) e la probabilità condizionata p = P (max(X, Y ) > 0| min(X, Y ) < 0). Stabilire se X e Y
sono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) .mxm
cov(X, Y ) = 0
p=
1
2
X e Y sono indipendenti ? SÌ
NO
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson con valor medio pari a 1. Determinare la distribuzione di Y =
(X|E) dove E = (X ≤ 2).ppn
CY = {0, 1, 2}
pY =
2 2 1
, ,
5 5 5
3. Un’urna contiene una moneta nomale e una truccata con due teste. Viene estratta una moneta a caso, e senza essere
guardata viene lanciata più volte. Qual è il minimo numero di volte (min) che deve uscire testa affinché si possa
affermare che la probabilità che la moneta sia truccata sia maggiore del 99% ? unx
min = 7
4. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme nell’intervallo [1, 5]. Determinare la densità di probabilità
di Y = 2 − |X − 2|.fmd

 1/4 −1 ≤ y ≤ 1
1/2 1 < y ≤ 2
g(y) =

0
altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2005/2006
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame straordinario di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 21 febbraio 2007
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Siano dati i seguenti valori numerici 14, 6, 8, 9, 2, 12, 14, 9, 9, 7 ; determinare la moda x∗ , la mediana m e la media
aritmetica x̄.
x∗ = 9
m=9
x̄ = 9
2. Un vettore aleatorio continuo ha distribuzione uniforme all’interno del quadrato di vertici (0, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 0).
Determinare le densità marginali di X e di Y . qdt

0≤x≤1
 x
2−x 1<x≤2
f1 (x) =

0
altrove

0≤y≤1
 y
2−y 1<y ≤2
f2 (y) =

0
altrove
3. Ad un esame sono presenti 125 studenti. Ognuno di essi può prendere un voto (aleatorio) avente distribuzione bino3
miale con parametri n = 30 e p = . Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità (approssimativa) α che
5
la media aritmetica dei voti sia maggiore di 17.76.prm
α = Φ(1)
4. Un’urna contiene palline bianche e nere ; la frazione di palline bianche (θ) ha distribuzione iniziale β(θ) = B20,10 (θ).
Estraendo (con restituzione) cinque palline si è ottenuta la sequenza :
l m l m l
determinare la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.pbn
α(x|θ) =
θ2 (1 − θ)3 per 0 ≤ θ ≤ 1
0
altrove .
(
β(θ|x) = B22,13 (θ) =
34! 21
θ (1 − θ)12 per 0 < θ < 1
21!12!
0
altrove .
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 23 marzo 2007
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Dati i tre numeri 1, 8, 27 calcolarne la media aritmetica x̄, la media armonica α e la media geometrica γ.
x̄ = 12
α=
648
251
γ=6
2. Tre dadi vengono lanciati contemporaneamente. Calcolare la probabilità γ che il massimo e il minimo siano uguali.ddd
γ=
1
36
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma Gc,λ (x). Determinare i valori di c e λ sapendo che la previsione è
pari a 10 volte la varianza che a sua volta è uguale allo scarto quadratico.gmm
c = 100
λ = 10
4. Una ruota si trova inizialmente nella posizione mostrata in figura. Ad un certo istante essa riceve una spinta che la
fa ruotare (in senso antiorario) di un angolo (aleatorio) avente distribuzione esponenziale con valore medio pari a 4
giri. Calcolare la probabilità α che al momento dell’arresto il settore della stella (H) si trovi in corrispondenza della
freccia (è).rrt
'$
C
H s
è
Y m
v
&%
+
α=
1 − e−1/24
' 0.18
1 − e−1/4
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 11 aprile 2007
matricola
cognome
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nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Data la seguente lista di numeri 11, 4, 5, 7, 4, 7, 13, 4, 15, 0 calcolarne la media aritmetica x̄, la moda x∗ e la mediana
m. amt
x∗ = 4
x̄ = 7
dt dt
dt dt dt
dt dt
m=6
2. Nella piattaforma mostrata in figura vengono poste tre palline a caso ; calcolare la probabilità α che esse non siano
adiacenti.exg
α=
2
35
3. Tre dadi vengono lanciati contemporaneamente. Calcolare la probabilità α che il massimo sia maggiore o uguale a 4
e la probabilità β che il minimo sia minore di 3.drt
α=
7
8
β=
19
27
4. Un dispositivo è formato da due componenti (indipendenti tra loro) posti in parallelo, ognuno dei quali ha durata
di funzionamento aleatoria con distribuzione esponenziale di parametro λ. Determinare la densità di probabilità di
T =‘intervallo di tempo in cui il dispositivo funziona con un solo componente’. frc
fT (t) =
λe−λt t > 0
0
t≤0
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 19 aprile 2007
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Dato il seguente diagramma ad albero, determinare i valori di α, β e γ.dgr
>
α=1
>
f
α
>
>
β
γ
>
f
α
>
>
β
f
@
f
@
f @f
@ γ
α
@
f @f
β=0
γ=0
2. Un numero aleatorio X ha la seguente distribuzione di probabilità
s1/2
s1/4
1/4
s
-3
0
3
x
Determinare la funzione caratteristica di X.ppp
ϕX (t) =
1 1
+ cos(3t)
2 2
3. Per far funzionare un dispositivo elettronico si utilizza una pila avente durata aleatoria con valor medio pari a 50
ore e scarto quadratico medio pari a 20 ore. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità che il dispositivo
funzioni per almeno 4500 ore avendo a disposizione 100 pile.pls
p = Φ(2.5)
4. In un sacchetto dei numeri per la tombola è stato aggiunto per errore il “14”. Qual è il minimo numero (min) di
1
estrazioni (senza restituzione) da fare affinché la probabilità di scoprire l’errore sia maggiore di ? tmb
8
min = 33
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 19 aprile 2007
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Un numero aleatorio X ha la funzione di ripartizione mostrata in figura
6
F (x)
1
-2
- x
4
Calcolare la varianza di X.ufr
var(X) = 3
2. Il numero aleatorio X = 2|A| + 3|B| è tale che IP(X) = 2, var(X) = 4 e P (X = 0) =
e P (A ∧ B).dgv
P (A) =
1
2
P (B) =
1
3
P (A ∧ B) =
5
. Calcolare P (A), P (B)
12
1
4
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con m = 3, σ = 5. Calcolare la probabilità α = P (X > 1|X < 6).
α=
Φ (0.6) + Φ (0.4) − 1
Φ (0.6)
4. Un numero aleatorio X ha la seguente funzione di ripartizione :
(
0
x<1
F (x) =
3k −2k
k ≤x<k+1
3k
con k ∈ IN. Calcolare il valore medio di X. rgm
IP(X) = 3
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 19 aprile 2007
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito C
1. Un numero aleatorio X ha codominio CX = {−100, −10, 10, 100} e distribuzione pX =
1 1 3 5
. Deter, , ,
12 8 8 12
minare la distribuzione di Y = log10 |X|. fdr
CY = {1, 2}
pY =
1 1
,
2 2
2. Due monete vengono lanciate insieme per due volte. Sapendo che in totale sono state osservate due T (testa) e due C
(croce), calcolare la probabilità β che sia uscita esattamente una volta la coppia TT . mnt
β=
1
3
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha densità di probabilità :
−3x−4y
ke
x, y > 0
0
altrove
Determinare il valore di k e calcolare la probabilità γ = P (X ≤ Y ≤ 2X). evs
k = 12
γ=
12
77
4. Da un’urna contenente palline bianche e nere si compiono 8 estrazioni con restituzione. Sapendo che la probabilità di
35
ottenere 4 palline bianche è pari a
, calcolare la probabilità α di ottenerne 6. etr
128
α=
7
64
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 19 aprile 2007
matricola
cognome
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nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito D
1
1
1
1. Siano A, B, C tre eventi tali che A ∨ B ∨ C = Ω, con probabilità rispettivamente P (A) = , P (B) = ,P (C) = .
5
6
3
Stabilire se l’assegnazione di probabilità è coerente (cerchiare la risposta giusta) .ocd
NO
COERENTE ? SÌ
2. In un processo di produzione di componenti elettronici, la probabilità che un singolo componente sia difettoso è pari
a 1/1000. Con un’opportuna approssimazione calcolare la probabilità α che su 7000 pezzi prodotti, esattamente 10
siano difettosi. fbr
α=
710 −7
e ' 0.07
10!
3. Un numero aleatorio X ha la seguente densità
f (x) =
4x2 e−2x x > 0
0
x≤0
Determinare la funzione di rischio.rsk


4x2
2
h(x) =
 01 + 2x + 2x
x>0
x≤0
4. Un vettore aleatorio ha la seguente distribuzione
-2
0
2
-1
0.1
0.1
0.1
1
0.2
0.3
0.2
X
Y
Calcolare cov(X, Y ) e stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti. Determinare inoltre le due rette di
regressione (di Y su X (rY X ) e quella di X su Y (rXY ) e calcolare il loro punto di intersezione. vdr
cov(X, Y ) = 0
rY X : y = 0.4
X e Y sono indipendenti ? SÌ
rXY : x = 0
NO
P ≡ (0, 0.4)
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2005/2006
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica
Esame straordinario di “CALCOLO delle PROBABILITÀ e STATISTICA” - 19 giugno 2007
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
3 5
1. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità f (x) = 3x4 e− 5 x per x > 0 e 0 altrove. Determinare la funzione di
rischio.rsk
h(x) =

 3x4 x > 0

0
x≤0
−2x−3y
2. La densità congiunta di un vettore aleatorio
continuo (X,Y ) è f (x, y) = ke
1
1
e calcolare la probabilità p dell’evento X > , Y >
.scn
4
6
k=6
p=
x > 0, y > 0. Determinare k
1
e
3. Carlo ha davanti a sé due urne U1 e U2 ; nella prima sono presenti tre palline bianche e due nere, nella seconda sono
presenti due palline bianche e tre nere. Per decidere da quale urna estrarre tre palline in blocco egli osserva il primo
numero estratto dalla ruota del lotto di Roma ; se viene estratto un multiplo di 5 egli sceglie U1 , altrimenti sceglie U2 .
Sapendo che ha ottenuto due palline bianche e una nera, calcolare la probabilità α che sia uscito un multiplo di 5.bys
α=
1
3
4. Siano dati due numeri aleatori indipendenti X e Y aventi entrambi distribuzione binomiale, il primo con parametri
1
1
pX = e nX = 5, il secondo con parametri pY = e nY = 7. Utilizzando la funzione caratteristica determinare la
3
3
distribuzione di Z = X + Y , e calcolare la probabilità P (Z > 0).qrt
z 12−z
1
2
3
3
12
P (Z = z) =
z
z = 0, . . . , 12
12
2
P (Z > 0) = 1 −
3
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 28 giugno 2007
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. La frazione di palline bianche di un’urna che ne contiene un numero enorme ha distribuzione (iniziale) beta B10,15 (θ).
Sapendo che in 100 estrazioni sono state ottenute 35 bianche e 65 nere, determinare la funzione di verosimiglianza e
la distribuzione finale di θ.frz
  100 35
θ (1 − θ)65 0 < θ < 1
α(x|θ) =
35

0
altrove .
(
β(θ|x) = B45,80 (θ) =
124! 44
θ (1 − θ)79 0 < θ < 1
44!79!
0
altrove .
2. Un’ urna contiene palline bianche e nere in percentuali p e q (p + q = 1). Da essa si estraggono una alla volta e con
restituzione le palline fino ad ottenere almeno una volta una pallina bianca e una nera. Determinare il numero medio
(M ) di estrazioni effettuate .pll
M=
1 − pq
pq
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma G15,25 (x). Calcolare la previsione di Y = 10X .gmm
IP(Y ) =
25
25 − ln 10
15
4. Un numero aleatorio X ha distribuzione uniforme nell’intervallo (−π, π). Determinare la densità di probabilità di
Y = cos X.fnz

 1p 1
π 1 − y2
fY (y) =

0
−1 < y < 1
altrove
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ e STATISTICA” - 28 giugno 2007
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. In una città il 20% degli studenti di sesso maschile frequenta l’istituto tecnico industriale (unico presente nella zona),
mentre la percentuale di studenti maschi presenti nell’istituto è pari al 90%. Determinare l’intervallo di coerenza
di λ = P (A) (supposto positivo), dove A è l’evento “uno studente scelto a caso nella città è di sesso maschile e
frequenta l’istituto tecnico industriale”.shl
0 <λ ≤
r
2. Un numero aleatorio X ha densità f (x) =
9
46
2 4x−2x2 −2
e
π
∀x ∈ IR. Calcolare P (0 < X < 1).nmr
P (0 < X < 1) = Φ(2) −
1
2
kxy 2 (x, y) ∈ T
dove T è il triangolo
0
altrove
di vertici (0, 0), (−1, 0), (0, 2). Determinare k e le due densità marginali.dst
3. La densità congiunta di un vettore aleatorio continuo (X, Y ) è f (x, y) =
15
k=−
2
f1 (x) =
−20x(1 + x)3 −1 ≤ x ≤ 0
0
altrove
( 15
[y(y − 2)]2 0 ≤ y ≤ 2
f2 (y) =
16
0
altrove
4. Davide ha davanti a sé due urne : U1 che contiene una pallina bianca e due nere, e U2 che contiene quattro palline
bianche e due palline nere. Da una di esse egli estrae con restituzione una pallina alla volta fino ad ottenere per la
prima volta pallina bianca. Sapendo che sono state necessarie 5 estrazioni, e che l’urna è stata scelta in base all’esito
del lancio di un dado (U1 se è uscita la faccia 1 , U2 altrimenti) calcolare la probabilità p che sia uscita la faccia
1 .bsy
p=
8
13
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ e STATISTICA” - 16 luglio 2007
matricola
cognome
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nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Sia data la seguente distribuzione congiunta di probabilità
-1
0
1
-2
0.25
0
0.25
2
0.2
0.1
0.2
X
Y
Calcolare cov(X, Y ) e la probabilità condizionata p = P (max(X, Y ) > 0| min(X, Y ) < 0). Stabilire se X e Y
sono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) .mxm
cov(X, Y ) = 0
p=
2. Un numero aleatorio X ha densità
9
14
X e Y sono indipendenti ? SÌ
NO
 −x
0≤x≤1
 ke
2
kx
1<x≤2
f (x) =

0
altrove.
Determinare k e la funzione di ripartizione.fzn
k=

0
x<0



−x )

−
e
 k (1
0≤x≤1
k 3
3
F (x) =
x +2−
1<x≤2


 3
e


1
x>2
3e
10e − 3
3. Siano E, F eventi incompatibili, e sia H ⊂ F , con
P (E) = 0.1, P (H) = 0.5, P (F ) = 0.6.
Calcolare la previsione e la varianza di X = 3|E| − |H| + 2|F |.
IP(X) = 1
var(X) = 0.8
4. Da un lotto contenente 6 pezzi buoni e 2 difettosi si estraggono senza restituzione 4 pezzi. Sia Y il numero aleatorio di
pezzi buoni estratti. Sia inoltre Ei l’evento “l’i-mo pezzo estratto è buono”. Calcolare la varianza di Y e la probabilità
α dell’evento condizionato (E2 ∧ E3 )|(E1 ∨ E2 ∨ E3 ).
var(Y ) =
3
7
α=
15
28
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 31 luglio 2007
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
2
1. Siano dati due eventi E ed H tali che P (E) + P (H) = 1 e P (E) · P (H) = .
9
Calcolare α = cov(5|E| + 4|H|, 5|E| − 4|H|).ech
α=2
2. Marco estrae con restituzione una pallina alla volta da un’urna fino a quando ottiene per la prima volta una pallina
verde. Sapendo che mediamente sono necessarie 10 estrazioni, calcolare la probabilità β che siano necessarie più di
10 estrazioni.gmtc
β=
9
10
10
' 0.35
3. Un atleta lancia il martello ad una distanza (aleatoria) avente distribuzione normale con paranmetri m = 60 e σ = 5
(entrambi espressi in metri), determinare la probabilità p che il prossimo lancio sia superiore a 50 metri.quc
p = Φ (2)
4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme nella regione D = (x, y) ∈ IR2 : 0 ≤ x ≤ π/4, 0 ≤ y ≤ tan x .
Determinare le due densità marginali.tgt
 2
 2


tan x 0 ≤ x ≤ π/4
[π/4 − arctan y] 0 ≤ y ≤ 1


ln
2
ln
2
f1 (x) =
f2 (y) =




0
altrove
0
altrove
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ e STATISTICA” - 21 settembre 2007
matricola
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1. La densità di probabilità di un numero aleatorio X è data da f (x) = k(x − 1) per √
1 ≤ x ≤ 4, e f (x) = 0 altrove.
Determinare la costante k e la densità di probabilità g(y) del numero aleatorio Y = X.
k=
2
9
g(y) =
 4

y(y 2 − 1) 1 ≤ y ≤ 2


 9


0


altrove
2. Siano X, Y due numeri aleatori, con Y = cos(kX). Esistono valori di k tali che il coefficiente di correlazione
ρ(X, Y ) vale 1 ? crz
SÌ , k =
3. Data la funzione di ripartizione del numero aleatorio Z

0




 0.3
0.6
F (z) =


0.8



1
NO
z < −3
−3 ≤ z < −1
−1 ≤ z < 2
2≤z<4
z≥4
determinare il codominio di Z e la probabilità p dell’evento −1 ≤ Z < 3, confrontando quest’ultima con F (3) −
F (−1).rpz
CZ = {−3, −1, 2, 4}
p = 0.5
F (3) − F (−1) = 0.2
4. Sia hX (x) = (x − 3)2 per x > 0 la funzione di rischio di un numero aleatorio X. Determinare la corrispondente
densità di probabilità.

1 2

2
(x − 3) exp x 3x − 9 − x
x>0
f (x) =
Il fenomeno è senza usura ?
SÌ
NO
3

0
altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 21 settembre 2007
matricola
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Compito A
1. Un numero aleatorio X ha distribuzione beta B30,50 (x). Determinare la previsione di Y = (1 − X)10 .bbt
IP(Y ) =
59!79!
49!89!
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson ed è tale che P (X = 9) = P (X = 7). Calcolare il valore
medio.psp
√
IP(X) = 6 2
3. Una ditta imbottigliatrice confeziona bottiglie da un litro ciascuna. Ad ogni bottiglia toglie una quantità aleatoria
(espressa in litri) avente distribuzione esponenziale con parametro λ = 1000. Qual è il numero minimo (N ) di
bottiglie che deve manomettere affinché la probabilità di risparmiare almeno un litro sia maggiore o uguale al 50% ?
btg
N = 1000
4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme nella regione D = (x, y) ∈ IR2 : x > 0, y > 0, x2 + y 2 ≤ 1 .
Sapendo che X e Y rappresentano i due cateti di un triangolo rettangolo T , determinare la densità di probabilità di
Z = ‘ipotenusa del triangolo T ’.trg
fZ (z) =
2z 0 < z ≤ 1
0
altrove
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 21 settembre 2007
matricola
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Compito B
1. Data la seguente lista di numeri −1, 14, 5, 8, −1 calcolarne la media aritmetica x̄, la moda x∗ e la mediana m. atm
x̄ = 5
x∗ = −1
m=5
2. Un numero aleatorio X ha la seguente funzione di ripartizione

0
x<2




0.4
2
≤x<3

0.6 3 ≤ x < 4
F (x) =


0.9 4 ≤ x < 7



1
x≥7
Calcolare previsione e varianza di X 2 .frp
IP(X 2 ) = 13.1
var(X 2 ) = 167.89
3. In una prestigiosa università italiana il ritardo (espresso in anni) con cui il singolo docente riceve il compenso per
gli insegnamenti svolti segue la distribuzione esponenziale con parametro θ aleatorio avente distribuzione iniziale
G3,4 (θ). Sapendo che cinque docenti hanno dovuto aspettare rispettivamente 3, 2, 1, 2, 2 anni determinare la distribuzione finale di θ. dnt

148 7 −14θ



θ e
θ>0
7!
β(θ|x) = G8,14 (θ) =



0
altrove
4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul triangolo di vertici (0, 0); (0, 1); (1, 0). Determinare la densità di probabilità di Z = min(X, Y ).xmi
4(1 − 2z) 0 ≤ z ≤ 1/2
f (z) =
0
altrove
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 5 ottobre 2007
matricola
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Compito A
1. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson ed è tale che 3P (X ≤ 2) = 5P (X ≤ 1). Calcolare la varianza.psp
var(X) = 2
2. Daniele ha giocato i tre numeri ‘7’, ‘15’ e ‘21’ sulla ruota del lotto di Torino. Qual è la probabilità p che realizzi un
ambo ?trb
p=
3. Un numero aleatorio X ha densità
f (x) =
85
' 0.0072
11748
k(x2 − 1) 1 ≤ |x| ≤ 2
0
altrove.
Determinare k e la funzione di ripartizione.fzn
k=
3
8
F (x) =


0


3


 x8 − 38 x +
1
4
− 38 x +
3
4






1
2
x3
8
1
x < −2
−2 ≤ x ≤ −1
−1 < x ≤ 1
1<x≤2
x>2
4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul triangolo di vertici (−1, 0); (−1, 1); (0, 1). Determinare la funzione di ripartizione di X.frx

x < −1
 0
1 − x2 −1 ≤ x ≤ 0
FX (x) =

1
x>0
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 5 ottobre 2007
matricola
cognome
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nome
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Compito B
1. Da un mazzo di carte italiane si compiono estrazioni con restituzione fino ad ottenere una figura o una carta di spade.
Calcolare il numero medio M di estrazioni che si dovranno compiere e la probabilità β di estrarre almeno tre carte.crt
40
M=
19
β=
21
40
2
' 0.276
2. Da un’urna contenente tre palline bianche e due nere vengono estratte dieci palline con restituzione. Calcolare la
probabilità α che nelle prime sei estrazioni si siano ottenute quattro palline bianche e due nere.pll
α=
972
' 0.311
3125
3. Un numero aleatorio X ha la seguente densità di probabilità
ln x 1 ≤ x ≤ k
f (x) =
0
altrove.
calcolare il valore di k, la previsione e la probabilità P (X = 2).starr
k=e
IP(X) =
e2 + 1
4
P (X = 2) = 0
4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul triangolo di vertici (1, 0); (1, −1); (0, −1). Determinare la funzione di ripartizione di Y .fry

y < −1
 0
1 − y 2 −1 ≤ y ≤ 0
FY (y) =

1
y>0
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ e STATISTICA” - 18 dicembre 2007
matricola
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1. Calcolare la probabilità α che nel lancio simultaneo di tre dadi (lancio triplo) si presenti la sequenza 6 6 6 . Sapendo
che in una partita di Risiko sono stati effettuati 648 lanci tripli, calcolare la probabilità che si sia presentata esattamente
cinque volte la sequenza 6 6 6 , prima in modo esatto (β) e poi con una opportuna approssimazione (γ). ddd
1
α=
216
648
β=
5
1
216
5 215
216
643
' 0.1008962721
γ=
35 −3
e ' 0.1008188134
5!
2. La distribuzione di probabilità di un numero aleatorio continuo X soddisfa la relazione
P (X > s + t|X > s) = P (X > t)
per ogni s > 0, t > 0, ed è noto che var(X) = 4. Calcolare la previsione di Y = (2X − 5)2 .xpx
IP(Y ) = 17
3. In occasione delle vacanze di Natale una cittadina ha abbellito le proprie strade con 500 alberi di Natale, ognuno dei
quali ha un numero (aleatorio) di palle luminose avente valor medio pari a 100 e varianza pari a 20. Applicando il
teorema centrale calcolare la probabilità p che in totale ci siano più di 49900 palle luminose.slp
p = Φ(1)
4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul triangolo di vertici (0, 0); (1, 0); (0, 1). Determinare previsione e varianza del numero aleatorio Z = XY .frz
IP(Z) =
1
12
var(Z) =
1
240
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2007/2008
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 29 gennaio 2008
matricola
cognome
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Compito A
1. Quattro amici si ritrovano tutte le sere a bere del whisky al “ROXY BAR”. Sapendo che occupano sempre lo stesso
tavolo da quattro posti, e che scelgono i posti a caso, calcolare la probabilità α che stasera nessuno di essi occupi lo
stesso posto di ieri sera.rxy
α=
3
8
2. Dieci studenti di una scuola superiore hanno riportato in matematica i seguenti voti 3, 7, 6, 9, 4, 5, 5, 3, 3, 5 (X),
mentre in fisica hanno riportato 4, 6, 6, 8, 4, 3, 5, 4, 5, 5(Y ). Calcolare la covarianza dei due voti.std
cov(X, Y ) = 2
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale ed è tale che P (X ≤ 4) = Φ(2) e P (X > −1) = Φ(3).
Calcolare la previsione e la varianza di X.msp
IP(X) = 2
var(X) = 1
4. Su una circonferenza vengono scelti due punti a caso A e B che insieme al suo centro O formano un angolo convesso
Θ (si osservi la figura). Determinare la densità di probabilità dell’angolo Θ.crc
'$
Θ
@
@
p &%
B
>
~
A
>
O
( 1
fΘ (θ) =
π
0
0<θ≤π
altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2007/2008
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 29 gennaio 2008
matricola
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nome
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Compito B
1. Quante parole (N ) è possibile formare con la parola ABRACADABRA ? nrg
N = 83160
2. Sei studenti di una scuola superiore hanno riportato in geografia i seguenti voti 5, 7, 8, 4, 5, 7. Calcolare la media
aritmetica e la varianza del voto X.grg
M(X) = 6
S2 = 2
1
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione esponenziale ed è tale che P (3 < X < 6) = .
4
Calcolare la previsione e la varianza di X.xpx
3
ln 2
IP(X) =
var(X) =
9
(ln 2)2
4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul quadrato di vertici (1, 0); (0, 1); (−1, 0); (0, −1). Posto
T = max(X, Y ) e Z = min(X, Y ), determinare la densità di probabilità di S = T − Z.qdr
6y
1
@
fS (s) =
@
@
@
@1 x
-1
@
@
@
@
@
-1
1 0≤s≤1
0 altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 9 febbraio 2008
matricola
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1. Marco sceglie a caso un’urna tra quelle mostrate in figura, e da essa estrae due palline in blocco ottenendo la somma
pari a 5. Qual è la probabilità p che abbia estratto dalla prima urna ?nru
¬ ­
U1 →
® ¯
p=
­ ­
←U2
® ®
1
3
2. Siano dati tre eventi A, B e C, con A ∨ C = Ω, e tali che P (A) = P (C) = 0.7, P (B) = 0.6. Si ponga P (A ∩ B c ∩
C c ) = ε, e P (Ac ∩ B c ∩ C) = λ, e si individui sul piano (ε, λ) la regione Q di coerenza. ctt
Q=
0 ≤ ε, λ ≤ 0.3
0 ≤ ε + λ ≤ 0.4
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione uniforme nell’intervallo (0, 2). Determinare la densità di probabilità di
X −1
.krt
Y =
X +1

1


−1 < y < 13

(y − 1)2
g(y) =


 0
altrove
4. Sia data la seguente densità congiunta del vettore aleatorio (X, Y ) ;

1 − 1 (x2 +2y)


(−∞ < x < +∞) ∧ (y > 0)
 √ e 2
2π
f (x, y) =


 0
altrove
Determinare i valori medi e le varianze di X e di Y , e la loro covarianza.ech
IP(X) = 0
IP(Y ) = 1
var(X) = 1
var(Y ) = 1
cov(X, Y ) = 0
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2007/2008
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 19 febbraio 2008
matricola
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Compito A
1. Ettore ha davanti a sé una serie di urne come mostrato in figura :
m
l
m
m
U1
m
m
m
l
m
m
U2
m
m
l
m
U3
m
l
m m
U4
l
m
U5
l
U6
Egli deve estrarre una pallina da ogni urna (cominciando da U1 e poi eventualmente passare a U2 , e così via) fino ad
ottenere pallina nera. Detto X = ‘numero di estrazioni effettuate’, determinarne codominio e distribuzione.sru
CX = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
pX =
1 1 1 1 1 1
, , , , ,
6 6 6 6 6 6
2. Un vettore aleatorio ha le seguenti rette di regressione
rY X : 8y = 2 − x
rXY : 3x = 4 − 4y
Determinare IP(X) e IP(Y ).rgr
IP(X) = 1.2
IP(Y ) = 0.1
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale standard.
Determinare la funzione di ripartizione di Y = |X 2 − 1|.nms

√
2Φ
1
+
y
−1
y≥1




 √
√
2 Φ 1+y −Φ 1−y
0≤y<1
G(y) =





0
y<0
4. Il numero di errori arbitrali che si verificano durante una partita di calcio di serie A segue la distribuzione di Poisson
con parametro θ aleatorio avente distribuzione iniziale G3,4 (θ). Sapendo che nell’ultima giornata di calcio ci sono
stati nelle dieci partite (rispettivamente) 2, 3, 1, 2, 2, 4, 3, 1, 1, 3 errori, determinare la funzione di verosimiglianza e
la distribuzione finale di θ. brt


22
25
θ


−10θ

 14 θ24 e−14θ θ > 0


e
θ>0
2!3!1!2!2!4!3!1!1!3
24!
α(x|θ) =
β(θ|x) = G25,14 (θ) =




 0
 0
altrove
altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2007/2008
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 19 febbraio 2008
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Egidio ha davanti a sé l’urna mostrata in figura :
m m m
l m m
Egli estrae senza restituzione una pallina alla volta fino ad ottenere pallina nera. Detto X = ‘numero di estrazioni
effettuate’, determinarne codominio e distribuzione.trt
CX = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
pX =
1 1 1 1 1 1
, , , , ,
6 6 6 6 6 6
2. Un vettore aleatorio ha le seguenti rette di regressione
rY X : 18y = 36 − 5x
rXY : 5x = 20 − 2y
Determinare il coefficiente di correlazione ρXY .grg
ρXY = −
1
3
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione esponenziale
con parametro λ = 1.
√
Determinare la funzione di ripartizione di Y = | X − 1|.xpe

2
1 − e−(1+y)
y≥1





2
2
G(y) =
e−(1−y) − e−(1+y) 0 ≤ y < 1





0
y<0
4. In una partita di calcio di serie A l’intervalllo di tempo (misurato in minuti) che intercorre tra un fischio dell’arbitro e
il successivo segue la distribuzione esponenziale con parametro θ aleatorio avente distribuzione iniziale G3,4 (θ). Sapendo che gli ultimi dieci intervalli hanno avuto durata (rispettivamente ) 2, 3, 1, 2, 2, 4, 3, 1, 1, 3 minuti, determinare
la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ. fsh

 10 −22θ
2613 12 −26θ


θ>0
 θ e

θ e
θ>0
12!
α(x|θ) =
β(θ|x) = G13,26 (θ) =



0
altrove
 0
altrove
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2006/2007
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica
Esame di “Calcolo delle Probabilità e Statistica” - 10 aprile 2008
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Quattro eventi A, B, C e D sono tali che D ⊆ (A ∩ B) e (A ∪ B) ⊆ C. Stabilire se le assegnazioni di probabilità
P (Ac ∪ B c ∪ D) = 0.4 e P (C c ∪ D) = 0.7 sono coerenti oppure no (cerchiare la risposta giusta) . crz
coerenti ?
SÌ
NO
2. Da un sacchetto contenente tutti i numeri da 1 a 90 si compiono estrazioni con restituzione fino ad ottenere un multiplo
di 6 o un multiplo di 9. Calcolare il numero medio M di estrazioni che si dovranno compiere e la probabilità β di
estrarre al massimo quattro numeri.tmb
4
7
β =1−
' 0.634
9
9
M=
2
3. Un numero aleatorio X ha densità
f (x) =
|x| − 1 1 ≤ |x| ≤ 2
0
altrove.
Determinare la funzione di ripartizione.fnz
F (x) =

0








1


2 −




x < −2
(x+1)2
2
1
2














1
2
+
−2 ≤ x ≤ −1
−1 < x ≤ 1
(x−1)2
2
1
1<x≤2
x>2
4. Un’urna contiene un numero enorme di palline bianche e nere. La frazione di palline bianche (θ) ha distribuzione
iniziale B20,5 (θ). Sapendo che in 7 estrazioni è stata ottenuta la sequenza
l l m l m l l
determinare la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.fzs
α(x|θ) =
θ2 (1 − θ)5 0 < θ < 1
0
altrove .
(
β(θ|x) = B22,10 (θ) =
31! 21
θ (1 − θ)9 0 < θ < 1
21!9!
0
altrove .
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2007/2008 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 18 aprile 2008
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
O
I
O
V
V
V
1. Ivo ha davanti a sé una scatola in cui sono presenti sei lettere come mostrato in figura.
Egli ne estrae tre in blocco sperando di riuscire a formare il proprio nome ; qual è la probabilità α che ciò avvenga ?vvv
α=
3
10
2. Quando Buffalo Bill va a caccia di bisonti spara il 75% delle volte stando a cavallo, altrimenti spara da fermo. Sapendo
1
2
che ha probabilità di colpire il bersaglio stando a cavallo, e da fermo, e che su cinque tiri ha colpito due volte il
3
3
bersaglio, calcolare la probabilità p che sia stato a cavallo.bfl
p=
6
7
3. Il preside di un istituto d’istruzione superiore ha emanato la direttiva che ai prossimi scrutini la percentuale degli
4
alunni respinti non debba superare il 10%. Sapendo che ogni alunno ha probabilità p =
di essere respinto, e che
29
nell’istituto sono presenti 400 studenti, applicando il teorema centrale calcolare la probabilità β che la direttiva del
preside venga rispettata.prd
β = 1 − Φ (2.2) ' 1.39%
4. Un numero aleatorio X ha distribuzione uniforme nell’intervallo [−3, 3]. Determinare la densità di probabilità di
Y = |1 − |X||.mdm
 2

3 0≤y <1




1
g(y) =
3 1≤y ≤2





0
altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2007/2008 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 18 aprile 2008
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Quattro eventi A, B, C e D formano sei costituenti (si osservi la figura) tali che P (C1 ) = P (C3 ) = P (C4 ) =
P (C5 ) = q (positivo). Dati i due numeri aleatori X = |C| − |A| + |D| e Y = |C| − |B| + |D|, determinare per quale
valore di q la loro covarianza è nulla. qve
'$
C~
'$
'$
C2
A~
C3
nC
D
C1
4
B~
q=
2
9
&%
&%
&%
C5
C6
2. Quando Cavallo Pazzo va a caccia porta con sé l’arco con le frecce il 70% delle volte, altrimenti porta il fucile.
Sapendo che ha probabilità 60% di colpire la preda se usa l’arco e 80% se usa il fucile, e che su cinque tiri ha colpito
due volte la preda, calcolare la probabilità p che abbia usato l’arco.cpz
p=
21
23
3. Al sorteggio dei quarti di finale di Champions League sono presenti (tra le otto) quattro squadre inglesi. Calcolare la
probabilità α che non ci sia nessun scontro tra esse, la probabilità β che ci sia un doppio scontro, e la probabilità γ
che ci sia un solo scontro.chl
α=
8
35
β=
3
35
γ=
24
35
4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha densità di probabilità f (x, y) = ke−|x|−|y| per (x, y) ∈ IR2 . Determinare k,
le due densità marginali e il coefficiente di correlazione.dxe
k=
1
4
1
f1 (x) = e−|x| per x ∈ IR
2
1
f2 (y) = e−|y| per y ∈ IR
2
ρ=0
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2007/2008 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 3 maggio 2008
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
50k k
20
1. Un’urna contiene cinque palline numerate come mostrato in figura.
k
18
75k
k
45
Da essa vengono estratte tre palline in blocco ; determinare codominio e distribuzione del numero aleatorio
X =‘massimo comune divisore delle tre palline estratte’.dmc
CX = {1, 2, 3, 5}
pX =
2 1 1 2
, , ,
5 10 10 5
2. Un numero aleatorio X avente distribuzione pX = {0.5, 0.3, 0.2} può assumere solo valori interi. Sapendo che
F (1) = 0, F (5) = 1, F (2) + F (3) = 1, determinare il codominio di X.dfp
CX = {2, 4, 5}
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione esponenziale con parametro λ = 1. Calcolare IP(Y ) con Y = e
r
IP(Y ) =
X(2−X)
2
.nxe
π
2
4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul triangolo di vertici (0, 0), (2, 0) e (2, 2). Determinare le
densità di probabilità di X e di T = max(X, Y ).axm
 x
 t


0≤x≤2
0≤t≤2


2
2
fX (x) =
fT (t) =




0
altrove
0
altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2007/2008 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 3 maggio 2008
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
4k
9k
2k
6 k 3k
1. Un’urna contiene cinque palline numerate come mostrato in figura.
Da essa vengono estratte tre palline in blocco ; determinare codominio e distribuzione del numero aleatorio
X =‘minimo comune multiplo delle tre palline estratte’.mmc
CX = {6, 12, 18, 36}
pX =
1 3 3 3
, , ,
10 10 10 10
2. Un numero aleatorio X avente codominio CX = {1, 3, 5, 7} è tale che F (4) = 3F (2), F (6) = 2F (4), F (2)+F (4) =
0.4. Determinare la distribuzione di X.cfp
pX = {0.1, 0.2, 0.3, 0.4}
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione geometrica con parametro p. Calcolare IP(Y ) con Y =
p
IP(Y ) = (eq − 1)
q
1
.gmg
X!
(q = 1 − p)
4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul triangolo di vertici (0, 0), (2, 0) e (2, 2). Determinare le
densità di probabilità di Y e di Z = min(X, Y ).inm
 2−y
 2−z


0≤y≤2
0≤z≤2


2
2
fY (y) =
fZ (z) =




0
altrove
0
altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2007/2008
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 4 giugno 2008
matricola
cognome
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nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Su un tratto di strada accidentato, la probabilità di forare (almeno) una ruota di bicicletta è pari a 0.2 per chilometro
percorso. Qual è la probabilità α di forare su un percorso di due chilometri ? (N.B. Si supponga che da un chilometro
all’altro non ci sia dipendenza.)frr
α = 0.36
2. Cinque amici beoni vanno ad un pub a bere vino e birra. Il numero di bottiglie di vino bevute (X) dei cinque amici è
rispettivamente 3,4,4,5,4, mentre quello di bottiglie di birra è (Y ) 1,2,3,6,1 . Calcolare la covarianza di X e Y .
cov(X, Y ) = M [(X − x)(Y − y)] = 1
3. Caterina deve superare una prova di concorso che consiste nel rispondere esattamente ad almeno uno dei tre quesiti
estratti a caso da un’urna che ne contiene cento. Sapendo che è preparata su 35 quesiti, qual è la probabilità α di
superare la prova ? Qual è il numero minimo di quesiti (min) da preparare affinché la probabilità di superarlo sia
29
maggiore o uguale a
?cnc
33
α=
281
' 73%
385
min = 50
4. Un numero aleatorio X ha distribuzione B11,13 (x). Determinare la densità di probabilità di Y = ln X.fnz
(
fY (y) = B11,13
(ey )ey
=
23! 11y
e (1 − ey )12 y < 0
10!12!
0
y≥0
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2007/2008
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 10 luglio 2008
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Un numero aleatorio X ha la seguente funzione di ripartizione

0
x<2




0.3
2
≤x<4

0.5 4 ≤ x < 6


0.7
6≤x<8



1
x≥8
Calcolare le probabilità α = P (X < 3|X ≥ 1), β = P (X > 5|X ≤ 7).rpt
α = 0.3
β=
2
7
2. Ad un esame sono presenti 144 studenti. Ognuno di essi raggiunge una votazione avente distribuzione normale con
valore medio pari a 16 e varianza pari a 4. Applicando il teorema centrale, calcolare la probabilità α che ci siano al
massimo 120 respinti.bct
10 − 12Φ(1)
p
Φ(1)Φ(−1)
α=Φ
!
' 0.4
3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha densità
f (x, y) =
k|xy| (x, y) ∈ Q
0
altrove.
dove Q è il quadrato di vertici (1, 0); (0, 1); (−1, 0); (0, −1). Determinare k e la densità marginale di X.fzn
k=6

 −6x(x + 1)2 −1 ≤ x ≤ 0
6x(x − 1)2
0<x≤1
f1 (x) =

0
altrove
4. Da un’urna contenente una pallina bianca e nove nere viene fatta una serie di sei estrazioni (con restituzione) di cinque
palline in blocco. Calcolare la probabilità α che la pallina bianca resti sempre nell’urna.pll
α=
1
64
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2007/2008 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 16 luglio 2008
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Tre amici (Marco, Davide e Ivano) si sfidano in una corsa di 100 metri. La probabilità che Marco arrivi prima di
Ivano è 3/5 ; inoltre è noto che se Ivano arriva ultimo la probabilità che Marco batta Davide è 1/4, mentre se Marco
arriva primo la probabilità che Davide batta Ivano è 1/3. Determinare la probabilità α che l’ordine di arrivo sia MarcoDavide-Ivano.
(Si supponga impossibile l’arrivo simultaneo di due o più gareggianti.)nru
α = 0.1
2. Siano X e Y due numeri aleatori, con Y = 2kX . Determinare gli eventuali valori di k per i quali il coefficiente di
correlazione ρ vale 1. ctt
non esistono valori di k
3. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità f (x) = 1 − |x| per −1 < x < 1, e 0 altrove. Determinare la densità
di probabilità di Y = |X|.krt

 2(1 − y) 0 ≤ y < 1
g(y) =

0
altrove
4. Un numero aleatorio X > 0 ha densità di probabilità f (x) = 9xe−3x . Determinare la funzione di rischio.ech
h(x) =
9x
1 + 3x
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2007/2008
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 10 settembre 2008
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
6k
66k
1. Un’urna contiene quattro palline numerate come mostrato in figura.
8
6k
86k
Da essa vengono estratte due palline in blocco ; calcolare la probabilità α di estrarre almeno un multiplo di 3.dmc
α=
5
6
2. Due numeri aleatori X e Y hanno sia la previsione che la varianza pari a 1. Determinare il valore minimo (min) e
quello massimo (max) che può assumere la previsione del loro prodotto.iax
min = 0
max = 2
1
3. Un numero aleatorio X avente distribuzione esponenziale è tale che P (X < 6|X > 4) = .
2
Calcolare P (X < 12|X > 10).pxp
P (X < 12|X > 10) =
1
2
4. Tre litri d’acqua vengono ripartiti in tre secchi, uno rosso uno giallo e uno blu. Sapendo che la quantità presente nel
secchio giallo è doppia di quella presente nel secchio rosso (X), e che quest’ultimo contiene una quantità (aleatoria)
avente densità B2,5 (x), determinare la densità di probabilità della quantità d’acqua contenuta nel secchio blu (Y ).lrt
fY (y) = 13 B2,5
 10

 5 (3 − y) y 4 0 < y < 3
3
y
1− 3 =


0
altrove
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2007/2008 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 22 settembre 2008
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Cinque fratelli frequentano la stessa sezione di un istituto di istruzione superiore. Il primo frequenta il quinto anno,
2
il secondo il quarto anno e così via. Sapendo che ognuno di essi ha probabilità di essere promosso, calcolare la
3
probabilità α che il prossimo anno almeno due fratelli si ritrovino nella stessa classe. cfr
α=
20
27
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione uniforme tra −1 e 1.
2
Determinare la funzione di ripartizione di Y = e−X .ngs

y < e−1
 0 √
−1
1 − − ln y e ≤ y ≤ 1
G(y) =

1
y>1
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione esponenziale con parametro λ = 1. Calcolare il valore medio di cos X. pcz
IP(cos X) =
1
2
4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente distribuzione (le caselle vuote indicano 0).
Determinare il valore di a e il coefficiente di correlazione ρ.
X
-1
0
1
Y
-1
0
1
a
a
a
a
ddd
a=
1
5
ρ=0
a
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2007/2008 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame Straordinario di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 15 gennaio 2009
matricola
cognome
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nome
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1. Siano dati due eventi E ed H tali che P (E|H) = 0.1 e P (H|E) = 0.9. Determinare l’intervallo di coerenza per
p = P (E ∧ H).
N.B. Si supponga P (E) > 0, P (H) > 0. dve
9
p ∈ 0,
91
2. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha le seguenti rette di regressione : rY X : x − 3y + 6 = 0, rY X : 2x − y − 6 = 0 .
Determinare il valore medio di X e di Y . rtg
IP(X) = 4.8
IP(Y ) = 3.6
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha densità di probabilità f (x, y) (riportata
di seguito) dove C è la corona circolare
√
mostrata in figura. Determinare k e la densità di probabilità di Z = X 2 + Y 2 .ccr
y
'$
6
e
f (x, y) =
~

 k ln(x2 + y 2 ) (x, y) ∈ C

0
1
C
'$
~
altrove
-x
&%
&%
k=
1
2
π(e + 1)
 4z ln z

 2
e +1
g(z) =


0
1≤z<e
altrove
4. Un’urna contiene palline bianche e palline nere. Da essa vengono estratte dieci palline con restituzione ; sapendo che
sono state ottenute tre palline bianche e sette nere, calcolare la probabilità α che si sia ottenuta pallina bianca alla
terza, alla quinta e alla nona estrazione. dpl
α=
1
10
3
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2007/2008 Polo di Latina
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 22 gennaio 2009
matricola
cognome
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nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Siano dati due eventi E ed H tali che P (E ∧ H) = 0.2 e P (E ∨ H) = 0.8. Determinare l’intervallo di coerenza per
p = P (E|H).
dve
1
p∈
,1
4
2. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha le seguenti rette di regressione : rY X : x + 4y − 12 = 0, rXY : 3x + y − 15 = 0.
Determinare il coefficiente di correlazione. rtg
1
ρ=− √
2 3
3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla corona circolare C mostrata in figura. Determinare la densità di probabilità di X.ccr
'$
y
~
6
3
1
C
'$
~
-x
&%
&%
 √
√

9 − x2 − 1 − x2




4π



 √
f1 (x) =
9 − x2



4π






0
|x| ≤ 1
1 < |x| ≤ 3
altrove
4. Dall’urna mostrata in figura si estraggono senza restituzione due palline.
¬ ­ ®
· ¸ ¹
Stabilire se gli eventi A =“le due palline sono dello stesso colore” e B =“la somma delle due palline è pari a cinque”
sono stocasticamente indipendenti.dpl
A e B indipendenti ? SÌ
NO
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 30 gennaio 2009
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla zona colorata C mostrata in figura. Determinare
la densità di marginale di X.jpn
2 hp
6

'$

1−x


 π−2
y
~

1
C
C
1
C
fX (x) =
-x
C
&%
2
i
− 1 − x −1 ≤ x ≤ 0



i
2 hp
2−1+x
1
−
x


π−2






0
0<x≤1
altrove
2. Dall’urna mostrata in figura si estraggono con restituzione una pallina alla volta fino ad ottenere la pallina ¬.
Sapendo che sono state necessarie cinque estrazioni, calcolare la probabilità α che la pallina ¹ sia rimasta sempre
nell’urna.kuk
¬ ± ²
½ ¾ ¹
4
4
α=
5
x2
3. Un numero aleatorio X ha densità f (x) = k √ x per x > 0, e 0 altrove. Determinare k e IP(X).gxg
e
k=
1
16
IP(X) = 6
3
5
4. Due eventi E ed H sono tali che E c ∧ H c = ∅. Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (E) = e P (H) =
8
12
è coerente (cerchiare la risposta giusta) . crh
coerente ? SÌ
NO
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 30 gennaio 2009
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla zona colorata C mostrata in figura. Determinare
la densità di marginale di X.qrn
y
6
2
C
1
1
2
-x

2 − |x|




3




1
fX (x) =


3






0
1 ≤ |x| ≤ 2
|x| < 1
altrove
2. Dall’urna mostrata in figura si estraggono con restituzione quattro palline.
Calcolare la probabilità α di ottenere almeno due palline uguali che non sia la ¬.uzz
¬ ­
® ¯
α=
183
256
3. Un numero aleatorio X ha densità f (x) = k(x2 − x3 )10 per 0 < x < 1, e 0 altrove. Determinare k e IP(X).bxb
k=
Γ(32)
Γ(21)Γ(11)
IP(X) =
21
32
4. Ad un esame si sono prenotati 192 studenti. Sapendo che ognuno di essi si presenterà con probabilità 75%, calcolare
(applicando il teorema centrale) la probabilità p che si presentino almeno 132 studenti.kct
p = Φ(2)
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 30 gennaio 2009
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito C
1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla zona colorata C mostrata in figura. Determinare
la densità di marginale di X.qqn
y
6
2
C
1
1
2
-x

1




6




1
fX (x) =


3






0
|x| < 1
1 ≤ |x| ≤ 2
altrove
2. Un’urna contiene palline bianche e palline nere. Da essa vengono estratte dieci palline senza restituzione ; sapendo
che sono state ottenute tre palline bianche e sette nere, calcolare la probabilità α che si sia ottenuta pallina bianca solo
alla terza, alla quinta e alla nona estrazione. rsp
α=
1
120
k
3. Un numero aleatorio X ha densità f (x) = √ 2 per −∞ < x < +∞. Determinare k e IP(X).xnn
ex
1
k=√
2π
IP(X) = 0
4. Nel canale di trasmissione mostrato in figura, la probabilità di trasmettere A è doppia di quella di trasmettere B.
Sapendo che in ricezione è stato ricevuto il simbolo A , quale è la probabilità β che esso sia stato effettivamente
trasmesso ? trc
A
A
80
100
-
β=
B
90
100
-
-
B
16
17
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Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 30 gennaio 2009
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito D
1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla zona colorata C mostrata in figura. Determinare
la densità di marginale di X.kpm
y

2 − |x|





4−π

C
'$



√
2 − |x| − 2 − x2
fX (x) =

C

-x

4−π

C 2




 0
&%
6
2
~
√
2 ≤ |x| ≤ 2
|x| <
√
2
altrove
C
2. Un’urna contiene palline bianche e palline nere in uguale quantità. Da essa vengono estratte cinque palline con
restituzione ; sapendo che alla prima e alla quarta estrazione è stata ottenuta pallina bianca, calcolare la probabilità α
che si siano ottenute tre palline bianche. nru
α=
3
8
k
3. Un numero aleatorio X ha densità f (x) = √
per x > 0, e 0 altrove. Determinare k e IP(X).xxe
3 x
e
k=
1
3
IP(X) = 3
4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha le seguenti rette di regressione : rY X : y − x − 4 = 0, rXY : 9x − y − 4 = 0. Sapendo
che var(X) + var(Y ) = 10, calcolare IP(XY ). rtg
IP(XY ) = 6
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 18 febbraio 2009
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Mentre Carlo si trova a Montecarlo, entra al Casinò per tentare la fortuna alla roulette. Volendo guadagnare a tutti i
costi 1 euro, adotta la strategia di puntare inizialmente 1 euro sul NERO e raddoppiare ogni volta la puntata fino a
vederlo uscire. Sapendo che in tasca ha 1023 euro, calcolare la probabilità α che la sua strategia funzioni. Indicato
inoltre con G il guadagno (aleatorio) determinarne codominio, distribuzione e previsione .rlt
α = 1 − q 10 ' 0.9987
CG = {−1023, 1}
pG = q 10 , 1 − q 10 IP(G) = 1 − (2q)10 ' −0.305
q=
19
37
2. Da un’urna contenente palline bianche e palline nere (con frazioni p e q rispettivamente) vengono estratte dieci palline
con restituzione. Determinare (in funzione di i) le probabilità degli eventi Ei =“è stata ottenuta pallina bianca per la
prima volta alla i-esima estrazione” (i = 1, 2, . . . , 10). Esprimere l’evento A =“è stata ottenuta almeno una pallina
bianca” in funzione degli eventi Ei , e calcolarne la probabilità. rvt
P (Ei ) = pq i−1
P (A) = 1 − q 10
A = E1 ∨ E2 ∨ . . . ∨ E10
3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [−1, 2]. Determinare la funzione di ripar2
tizione di Y = 23−X .mdm
G(y) =

0





p



 2k − k 3 − lg2 y
p



3k − 2k 3 − lg2 y






1
y < 1/2
1/2 ≤ y < 4
k=
4≤y≤8
1
3
y>8
4. Il numero di volte osservate in un giorno in cui gli automobilisti omettono di segnalare il cambio di direzione presso un
incrocio stradale segue la distribuzione di Poisson con parametro θ aleatorio avente distribuzione iniziale G40,2 (θ).
Sapendo che negli ultimi due giorni ci sono state (rispettivamente) 20, 30 omissioni, determinare la distribuzione
finale di θ. fzr

 kθ89 e−4θ θ > 0
490
β(θ|x) = G90,4 (θ) =
k=

89!
0
altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 18 febbraio 2009
matricola
cognome
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nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Per la partita di stasera tra “Scapoli” e “Ammogliati” un book-maker ha stabilito le seguenti quote : 2 :1 sulla vittoria
degli “Scapoli”(ossia versando una somma α in caso di vittoria degli “Scapoli” si riceve 2α e si guadagna α), 2.5 :1
sulla vittoria degli “Ammogliati”, e 4 :1 sul pareggio . Stabilire se si tratta di quote coerenti (cerchiare la risposta
giusta) . qtq
coerenti ? SÌ
NO
2. Ad un corso di PC hanno partecipato 200 allievi. È noto che la probabilità che un allievo si prenoti all’esame è 0.8, la
probabilità che un allievo prenotato si presenti all’esame è 0.7, mentre la probabilità che un allievo non prenotato si
presenti all’esame è 0.2. Determinare il numero medio (M ) di alunni che si presentano all’esame.pcp
M = 120
3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [−1, 2]. Determinare la funzione di ripar1
tizione di Y = 2
.frc
X +1
G(y) =

0






r


1−y


2k − k



y





3k − 2k








1
r
1−y
y
y < 1/5
1/5 ≤ y < 1/2
k=
1
3
1/2 ≤ y ≤ 1
y>1
4. Marco vuole verificare la sua bravura nel tiro con il fucile facendo scoppiare cinque palloncini posizionati (uno alla
volta) ad una certa distanza. Sapendo che la probabilità (θ) di colpire ha distribuzione iniziale uniforme tra 0 e 1, e
che per farli scoppiare sono stati necessari rispettivamente 3, 1, 7, 8, 5 colpi, determinare la distribuzione finale di θ.
trp

19
0≤θ≤1
 kθ5 (1 − θ)
25!
β(θ|x) = B6,20 (θ) =
k=

5!19!
0
altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 18 febbraio 2009
matricola
cognome
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nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito C
1. Quante parole (N , anche senza significato) è possibile formare con la parola ANANAS ? nsn
N = 60
2. Quando guida il camion Guido guarda il piccolo televisore il 30% delle volte, usa il telefonino il 20% delle volte,
mangia il 10% delle volte, mentre il restante 40% delle volte guida correttamente. È noto inoltre che la probabilità di
fare un incidente è 0.3 se guarda il televisore, è 0.2 se usa il telefonino, è 0.1 se mangia, è 0.05 se guida correttamente.
Sapendo che ha fatto l’incidente, calcolare la probabilità p che stesse mangiando.cmt
p=
1
= 0.0625
16
3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [−1, 2]. Determinare la funzione di ripartizione di Y = log2 (5 − X 2 ).lgt
G(y) =

0






√


 2k − k 5 − 2y
y<0
0≤y<2
√


3k − 2k 5 − 2y 2 ≤ y ≤ log2 5







1
y > log2 5
k=
1
3
1
4. Per un difetto di fabbricazione un dado (deformato) mostra le facce pari con probabilità
+ θ , e le facce dispari
6
1
1
con probabilità
− θ con θ aleatorio avente distribuzione iniziale uniforme tra 0 e
. Sapendo che in quattro
6
10
lanci sono uscite le facce 2 , 1 , 5 , 4 , determinare la distribuzione finale di θ. dxd
 2
1

2

0 ≤ θ ≤ 1/10
−θ
 k
5062500
36
β(θ|x) =
k=

307


0
altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 18 febbraio 2009
matricola
cognome
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Compito D
1. Un numero aleatorio X ha la seguente funzione di ripartizione

0
x<1



0.3 1 ≤ x < e
 0.7 e ≤ x < π


1
x≥π
Calcolare le probabilità α = P (X < 3|X ≥ 2), β = P (X > 1|X ≤ 2).frt
α=
4
7
β=0
2. In una grande città la statura (espressa in cm) della popolazione adulta (sia maschile che femminile) segue la distribuzione normale ; quella maschile con valore medio pari a 165 e scarto standard pari a 15, mentre quella femminile con
valore medio pari a 160 e scarto standard pari a 10. Calcolare la probabilità α che un individuo scelto a caso abbia la
statura inferiore a 180 (cm), sapendo che il 55% della popolazione adulta è di sesso femminile.dnr
α=
1
[9Φ(1) + 11Φ(2)]
20
3. Un numero aleatorio
continuo X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [−1, 2]. Determinare la funzione di ripar√
tizione di Y = 5 − X 2 .rtq

0






p



2 − 5 − y2




3
G(y) =
p



3 − 2 5 − y2




3






1
y<1
1≤y<2
k=
2≤y≤
y>
√
√
1
3
5
5
4. Nella trascrizione di testi un impiegato ha probabilità θ di sbagliare un singolo carattere. Noto che θ ha distribuzione
iniziale B4,16 (θ), e che nella trascrizione di 100 codici fiscali (di 16 caratteri ciascuno) l’impiegato non ne ha sbagliato
nessuno, determinare la distribuzione finale di θ. fxc

 kθ3 (1 − θ)1615 0 < θ < 1
1619!
β(θ|x) = B4,1616 =
k=

3!1615!
0
altrove
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 10 giugno 2009
matricola
cognome
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Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson ed è tale che P (X = 23) = P (X = 25).
Calcolare la varianza di X.spn
√
var(X) = 10 6
2. Un vettore aleatorio discreto ha la seguente distribuzione
-2
0
0
a
c
4
b
b
X
Y
Noto che IP(Y ) = 2 e var(X) = 1, determinare i valori di a, b e c. tcg
a = 0.25
b = 0.25
c = 0.25
3. Tre amici devono stabilire chi potrà andare allo stadio con il biglietto che hanno vinto insieme ad una lotteria. Per
fare ciò decidono di lanciare simultaneamente un dado per ciascuno, stabilendo che vincerà il dado più alto. Qual è la
probabilità α che escano tre facce diverse ? Qual è la probabilità β che escano tre facce uguali ? Qual è la probabilità
γ che escano esattamente due facce uguali ? Qual è la probabilità δ che si riesca a stabilire il vincitore con un solo
lancio ? trd
α=
5
9
β=
1
36
γ=
5
12
δ=
55
72
4. Un tale arriva alla fermata dell’autobus con 10 minuti di ritardo rispetto al normale orario di passaggio del mezzo.
Sapendo che anche l’autobus presenta un ritardo (aleatorio) avente distribuzione esponenziale con valore medio pari
a 10 minuti, calcolare la probabilità α che il tale abbia perso l’autobus. Dopo 20 minuti di attesa l’autobus non è
ancora passato, qual è adesso la probabilità β che il tale abbia perso l’autobus ? Dopo quanti altri minuti di attesa (N )
la probabilità di aver perso l’autobus è maggiore del 99% ? atb
α=1−
e−1
' 0.63
1 − e−1
' 0.93
β=
1 − e−1 + e−3
1 − e−1
− 30 ' 20.53
N = −10 ln
99
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009 Polo di Latina
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 30 giugno 2009
matricola
cognome
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nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla zona colorata H mostrata in figura. Determinare
la densità di marginale di Y .Hqn
y
6
7
fY (y) =
4
H
−2−1
k=


2k 4 < y ≤ 7







0
altrove
3
1 2

2k 0 ≤ y < 3








 4k 3 ≤ y ≤ 4
-x
2. Un numero aleatorio X ha funzione di ripartizione

0

 x−
a
F (x) =

8
−
a

1
1
16
x<a
a≤x≤8
x > 8.
Sapendo che X ha valore medio pari a 5, calcolarne la varianza.ufr
var(X) = 3
1
3. Tre eventi A, B e C sono tali che A ⊆ B, C c ⊆ B c , e (Ac ∪ B c ) ⊆ (B c ∩ C c ). Sapendo che P (A) = determinare
3
la probabilità di B e quella di C.enx
P (B) =
1
3
P (C) =
1
3
4. Un pasticciere pasticcione deve preparare 120 ciambelle. Consapevole del fatto che “non tutte le ciambelle escono
con il buco” decide di prepararne qualcuna in più. Sapendo che ha probabilità 95% di preparare una ciambella che
esca con il buco, applicando il teorema centrale determinare il numero minimo di ciambelle che deve preparare (min)
affinché la probabilità che ne escano almeno 120 buone sia maggiore di 0.9772(' Φ(2)).pst
min = 132
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009 Polo di Latina
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 30 giugno 2009
matricola
cognome
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nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla zona colorata E mostrata in figura. Determinare
la densità di marginale di X.Eqn
y
6
7
6
fX (x) =
4
E


2k







0
3
1
−2−1
1 2

7k −2 ≤ x ≤ −1








−1 < x ≤ 1
 3k
-x
1<x≤2
k=
1
15
altrove
2. Un numero aleatorio X ha funzione di sopravvivenza
−2√x
e
x>0
S(x) =
1
x ≤ 0.
Determinare la funzione di rischio h(x).rty

1


 √
x
h(x) =


 0
x>0
x ≤ 0.
1
3. Un numero aleatorio X avente distribuzione di Poisson è tale che P (20.4 < X < 24.1|22.6 < X < 25.7) = .
2
Calcolare il valore medio di X.lxy
IP(X) = 40
4. Un’urna contiene 20 palline di cui 2 bianche e le restanti nere. Da essa si estraggono tre palline in blocco alla volta
(e senza resttuzione). Dopo quante estrazioni triple (y) in cui si ottengono sempre palline nere la probabilità di avere
almeno una pallina bianca è maggiore o uguale al 90% ?wrn
y=5
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009 Polo di Latina
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Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 30 giugno 2009
matricola
cognome
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nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito C
1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla zona colorata T mostrata in figura. Determinare
la densità di marginale di Y .Tqn
y
6
7
T 6
5.5
fY (y) =
−1.5 0.5 2

k 0 ≤ y < 5.5








 2k 5.5 ≤ y < 6


4k







0
-x
k=
6≤y≤7
2
21
altrove
2. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità f (x) = ke−|x| per x ∈ IR. Determinare k, IP(X) e var(X).etx
k=
1
2
IP(X) = 0
var(X) = 2
1
1
e S(2) − S(3) = .
12
4
Calcolare la probabilità p = P (2 < X < 4|1 < X ≤ 3).pkn
3. Un numero aleatorio X è tale che S(1) − S(2) =
p=
3
4
4. Danilo e Stefano fanno la gara a chi ottiene il punteggio più alto. Danilo utilizza un dodecaedro (poliedro regolare con
le 12 facce numerate da 1 a 12), mentre Stefano utilizza due dadi (valutando la somma delle facce uscite). Calcolare
la probabilità α che vinca Danilo e la probabilità β che vinca Stefano.ycs
α=
1
2
β=
5
12
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Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 30 giugno 2009
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito D
1. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sulla zona colorata F mostrata in figura. Determinare
la densità di marginale di X.Fqn
y
6
7
6
fX (x) =
4
F
−2−1
-x
k=
1<x≤2


k







0
3
1 2

7k −2 ≤ x ≤ −1








−1 < x ≤ 1
 2k
1
12
altrove
2. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità
(
ke−
0
f (x) =
x2
2
x>0
x ≤ 0.
Determinare k, IP(X) e var(X).nyt
r
k=
r
2
π
IP(X) =
2
π
var(X) =
π−2
π
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) è tale che σX = 3, σY = 2, ρ = 1. Determinare una possibile relazione lineare che lega
X e Y . vtr
2
relazione → Y = X + k
3
k ∈ IR
4. Qui, Quo e Qua fanno la conta per chi dovrà ricevere per primo il bacio della buonanotte da Zia Paperina (ognuno di
essi può tirare un numero tra 1 e 4 con uguale probabilità). Sapendo che la conta comincia da Qui e finisce a Qua,
verificare che quest’ultimo è favorito e calcolarne la probabilità α di vittoria. Consapevoli di ciò Qui e Quo decidono
(all’insaputa l’uno dell’altro) di tirare (rispettivamente) il 2 e il 3 in modo da aumentare la propria probabilità di
vincere che ora diventa (per entrambi) pari a β ; calcolarne il valore. In tal modo favoriscono ancor di più Qua che
vede aumentare la propria probabilità dal valore (iniziale) α ad un nuovo valore γ ; calcolarne il valore. qqq
α=
11
32
β=
3
8
γ=
1
2
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 17 luglio 2009
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Il peso X (espresso in grammi) di dieci sardine risulta essere rispettivamente 14, 25, 22, 20, 20, 16, 30, 23, 25, 25.
Calcolare la media aritmetica (x̄) e la varianza (S 2 ) del peso.srd
S 2 = 20
x̄ = 22
2. Nella griglia di figura vengono inserite a caso tre palline (al massimo una per casella).
lll⇒
Calcolare la probabilità p che le tre palline si trovino allineate (su una riga, su una colonna o su una diagonale).
p=
2
21
3. In un grande contenitore sono presenti componenti elettronici di tipo A e di tipo B in percentuali (rispettivamente)
80% e 20%. Entrambi i tipi di componente hanno durata aleatoria esponenziale (X e Y rispettivamente e indipendenti
tra loro) con parametri λX = 20 e λY = 10. Determinare la densità di probabilità di T =‘durata di funzionamento di
un componente estratto a caso’ e di Z = 0.8X + 0.2Y . lmp
fT (t) =
16e−20t + 2e−10t t > 0
0
t≤0
fZ (z) =
50 e−25z − e−50z
0
z>0
z≤0
4. Lo STOP di un incrocio stradale viene rispettato dal 20% degli autisti residenti e dal 90% degli autisti non residenti.
È noto che lo stesso STOP è transitato per il 60% delle volte da autisti residenti (e quindi il 40% delle volte da autisti
non residenti). Sapendo che tra le ultime due automobili soltanto una ha rispettato lo STOP, determinare codominio e
distribuzione di X =‘numero di automobili (tra le ultime due) guidate da autisti residenti’.srd
CX = {0, 1, 2}
pX =
3 37 12
, ,
52 52 52
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009 Polo di Latina
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 24 luglio 2009
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Siano A, B, C tre eventi tali che A ⊂ (C ∩ B c ). Stabilire se la assegnazione di probabilità P (A) = 0.7, P (C) = 0.2
è coerente (cerchiare la risposta giusta) .krn
Coerente ?
NO
SÌ
2. Enzo e Franco giocano dei numeri sulla ruota del lotto di Torino. Enzo gioca i numeri
Franco gioca i numeri
••
9
20
•••
22
59
9
;
. Calcolare la probabilità p che almeno uno di loro realizzi l’ambo.ltt
p=
3259
340692
|x| −1 ≤ x ≤ 1
0
altrove.
1
Determinare la densità di probabilità di Y = 2 .mdn
X
3. Un numero aleatorio X ha densità f (x) =

1


 2
y
g(y) =


 0
y≥1
y<1
4. Dall’urna mostrata in figura vengono estratte due palline con restituzione. Sapendo che è stata ottenuta una pallina
bianca e una nera, determinare codominio e distribuzione di X =‘numero di A estratte’.srd
• • • • •
A
A
B
A
B
B
CX = {0, 1, 2}
pX =
B
B
12 11 2
, ,
25 25 25
B
B
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009 Polo di Latina
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 24 settembre 2009
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Un vettore aleatorio discreto ha la seguente distribuzione. Ricavare la retta di regressione di Y su X. rtc
0
1
0
1
6
1
4
2
1
3
1
4
X
Y
rY X :
y=
4 1
− x
3 3
2 − |x| 1 ≤ |x| ≤ 2
0
altrove.
Determinare la funzione di ripartizione di X.rpp
2. Un numero aleatorio X ha densità f (x) =
F (x) =


0




2x
+

1
2



2x
−


 1
x2
2
x2
2
x ≤ −2
+ 2 −2 ≤ x < −1
−1 ≤ x < 1
−1 1≤x<2
x≥2
3. La durata del funzionamento (X, espresso in mesi) di un componente elettronico ha funzione di sopravvivvenza
1
x≤0
S(x) =
−3x
e (1 + 3x) x > 0
Calcolare la probabilità (α) che si guasti entro il prossimo mese sapendo che ha già funzionato per 2 mesi.ctl
α=1−
4. Un numero aleatorio X ha distribuzione P (X = k) =
D = {1, 3, 5, . . .}. Determinare A e IP(X).xpp
A=
2e
2
e −1
10 −3
e
7
A
con k che appartiene all’insieme dei numeri naturali dispari
k!
IP(X) =
e2 + 1
e2 − 1
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009 Polo di Latina
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 24 settembre 2009
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Un vettore aleatorio discreto ha la seguente distribuzione. Ricavare la retta di regressione di X su Y . rtd
0
2
0
1
3
2
9
1
1
3
1
9
X
Y
rXY :
x=
3
4
− y
5 10
|x| − 1 1 ≤ |x| ≤ 2
0
altrove.
Determinare la funzione di ripartizione di X.rpq
2. Un numero aleatorio X ha densità f (x) =
F (x) =


0




 −x −
1
2



−x
+


 1
x2
2
x2
2
x ≤ −2
−2 ≤ x < −1
−1 ≤ x < 1
+1 1≤x<2
x≥2
3. La durata del funzionamento (X, espresso in mesi) di un componente elettronico ha funzione di sopravvivvenza
1
x≤0
S(x) =
−2x
e (1 + 2x) x > 0
Calcolare la probabilità (α) che si guasti entro i successivi due mesi sapendo che ha già funzionato per un mese.dtl
7
α = 1 − e−4
3
4. Un numero aleatorio X ha distribuzione P (X = k) = Aq k con k che appartiene all’insieme dei numeri naturali pari
P = {0, 2, 4, . . .}. Determinare A e IP(X).gxp
A = 1 − q2
IP(X) =
2q 2
1 − q2
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 25 settembre 2009
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Michele e Gabriele scommettono sull’esito della nazionale italiana ai prossimi campionati mondiali di calcio, ritenendo pari al 20% la probabilità di vittoria. Sapendo che Michele dovrà dare a Gabriele 30 C in caso di sconfitta
dell’Italia, quale sarà la somma Q che Gabriele dovrà dare a Michele in caso di vittoria ? mds
Q = 120 C
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con parametri m = 0 e σ = 2, calcolare α = P (|X| < 4|||X| > 2).
nnk
α=
Φ(2) − Φ(1)
1 − Φ(1)
3. Nella misurazione del raggio (R, espresso in mm) di un disco si commette un errore avente distribuzione uniforme
con valore medio nullo e scarto σR pari a 2 (mm). Qual è lo scarto σS relativo alla misurazione dell’area del disco ?dsq
r
σS = 4π
5R2 + 4
5
mm2
4. Nella trascrizione di un testo di 8788 caratteri, una dattilografa ha probabilità p di commettere errore su un singolo
carattere. Determinare il valore massimo per p affinché la probabilità che ci siano al massimo 676 errori sia maggiore
o uguale a Φ(−2).cnc
pmax =
13
157
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Esame Straordinario - 10 novembre 2009
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Dai dati dell’AVIS è noto che in Italia la suddivisione dei gruppi sanguigni è la seguente :
0
40%
A
36%
B
17%
AB
7%
Si supponga inoltre che la corrispondenza tra donatori e riceventi sia quella semplificata mostrata in tabella (per
esempio 0 può donare sangue a B, ma non viceversa). Nella prima riga sono riportati i donatori, nella prima colonna
sono riportati i riceventi.
↓R D →
0
A
B
AB
0
X
X
X
X
A
B
AB
X
X
X
X
X
Calcolare la probabilità p che un individuo Y scelto a caso possa donare sangue ad un altro individuo Z anch’egli
scelto a caso. N.B. Si supponga un numero enorme di individui. avs
α=
1201
2000
2. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha le seguenti rette di regressione : rY X : x − y + 1 = 0, rXY : y − 4x + 2 = 0.
Determinare il coefficiente di correlazione, il valore medio di X e quello di Y . rgr
ρ=
1
2
IP(X) = 1
IP(Y ) = 2
3. Nella griglia di figura vengono inserite a caso le nove lettere mostrate a sinistra (una per casella). Calcolare la probabilità p che su ogni riga e su ogni colonna ci siano tutte lettere diverse. tgr
AAABBBCCC ⇒
p=
( 3
x2 −1 ≤ x ≤ 1
4. Un numero aleatorio X ha densità f (x) =
2
0
altrove.
1
Determinare la funzione di ripartizione di Y = .ucs
X

1

− 3



2y

1
G(y) =

2



 1− 1
2y 3
y ≤ −1
−1 < y < 1
y≥1
1
140
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 13 gennaio 2010
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Di quattro numeri x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ x4 sono noti la media aritmetica x̄ = 4, la mediana m = 3 e la moda (unica)
x∗ = 2. Determinare i quattro numeri.
x1 = 2
x2 = 2
x3 = 4
x4 = 8
2. Un vettore aleatorio discreto (X, Y ) è distribuito uniformemente sui punti (1, 2), (2, 2), (1, 3), (3, 3), (4, 2). Determinare la funzione di ripartizione F (z) del numero aleatorio Z = logY X.
F (z) =

0


 2



5
4
5
1
z<0
0≤z<1
1≤z<2
z≥2
3. Nel misurare il volume di una sfera (in cm3 ) si commette un errore avente (approssimativamente) distribuzione
normale con valore medio nullo e scarto standard pari a 2. Avendo ottenuto una misura pari a 20 cm3 , determinare la
densità di probabilità di V =‘volume della sfera’ e di R =‘raggio della sfera’.
fV (v) = N20,2 (v)
fR (r) =
√
2πr2 exp
2 π 3
−2
r −5
3
− ∞ < r < +∞
4. Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma G1,12 (x). Calcolare la previsione di Y = cos X.
IP(Y ) =
144
145
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Esame - 3 febbraio 2010
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
nome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Attenzione ! ! !
Scrivere soltanto il risultato o mostrare soltanto alcuni passaggi equivale a non prendere nessun punto !
6
6k
68k
86k
1. Dall’urna mostrata in figura vengono estratte una alla volta tutte le palline.
Calcolare la probabilità α che esse vengano estratte in ordine crescente.
α=
1
6
2. Un numero aleatorio discreto X positivo è tale che P (X > n + k) = P (X > n)P (X > k)
Sapendo che P (X ≥ 5) = 0.4096 calcolarne il valore medio.
∀n, k ∈ IN.
IP(X) = 5
3. Un orologio che mostra solo le ore e i minuti presenta un ritardo aleatorio rispetto all’orario effettivo (osservabile su
un orologio a lancette) avente distribuzione uniforme tra 60 e 180 secondi. Sapendo che alle ore 13.34.27 mostrava le
ore 13.36 , calcolare la probabilità p che alle ore 13.51.45 mostri le ore 13.53 .
p=
7
10
4. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha densità di probabilità
 3

 |y − x| (x, y) ∈ T
4
f (x, y) =


0
altrove
dove T è il triangolo di vertici (0, 0); (0, 2); (2, 0). Determinare la densità marginale di X.

3


(5x2 + 4 − 8x) 0 ≤ x < 1


8




3
f1 (x) =
(8x − 4 − 3x2 ) 1 ≤ x ≤ 2


8





 0
altrove
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009 Polo di Latina
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 24 marzo 2010
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Tre eventi E, F, H formano i seguenti costituenti :
C1 = E c ∧ F ∧ H C2 = E ∧ F c ∧ H C3 = E ∧ F ∧ H c C4 = E c ∧ F c ∧ H C5 = E c ∧ F ∧ H c
Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (E) = 1/4, P (F ) = 1/3, P (E c ∧ H) = 2/3 è coerente (cerchiare la
risposta giusta) .
coerente ? SÌ
NO
2. La durata di funzionamento X (espresso in anni) di un componente elettronico ha funzione di rischio
0 x<0
h(x) =
x x≥0
Sapendo che ha già funzionato per un anno, calcolare la probabilità p che si guasti entro i prossimi due anni.
p = 1 − e−4
3. Un numero aleatorio X avente distribuzione normale è tale che IP(X) = 3 e IP X 2 = 10. Calcolare la probabilità
P (2 < X < 4).
P (2 < X < 4) = 2Φ(1) − 1
4. Un vettore aleatorio ha la seguente distribuzione
0
1
2
0
0.2
0.3
0.1
1
0.2
0.1
0.1
X
Y
Calcolare cov(X, Y ) e stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti (cerchiare la risposta giusta) .
cov(X, Y ) = −0.02
X e Y sono indipendenti ? SÌ
NO
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 24 marzo 2010
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. In cinque partite di calcio sono state segnate (rispettivamente) 1, 1, 2, 5, 1 reti ; determinare la moda x∗ , la mediana
m e la media aritmetica x̄ dei suddetti dati.grt
x∗ = 1
m=1
x̄ = 2
2. Un vettore aleatorio ha le seguenti rette di regressione
rY X : y = 2 + 3x
rXY : 4x = −4 + y
Determinare IP(X) e IP(Y ).
IP(X) = −2
IP(Y ) = −4
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma G2,4 (x). Calcolare la previsione di Y =
IP(Y ) =
X3
.
e2X
4
81
4. Sulla griglia di figura vengono presi (senza ripetizione) tre punti a caso (sui punti di incrocio tra riga e colonna).
Calcolare la probabilità p che il triangolo da essi formato abbia area nulla.
p=
11
140
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Esame - 28 aprile 2010
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Attenzione!!!
Scrivere soltanto il risultato o mostrare soltanto alcuni passaggi equivale a non prendere nessun punto!
Compito A
1. Per la partita di stasera tra Barcellona ed Inter un bookmaker ha stabilito le seguenti quote : 1.4 :1 sulla qualificazione
del Barcellona (ossia versando una somma α in caso di qualificazione del Barcellona si riceve 1.4α e si guadagna
0.4α), 3.5 :1 sulla qualificazione dell’Inter. Stabilire se si tratta di quote coerenti (cerchiare la risposta giusta) . qxt
coerenti ? SÌ
NO
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale ed è tale che P (X < 3) = Φ(1), e σ = 2m. Stabilire la densità di
probabilità di X.nrm
f (x) = N1,2 (x)
3. Un vettore aleatorio ha le seguenti rette di regressione
rY X : y = 3 − 2x
rXY : x = 5 − y/3
Determinare IP(X) e IP(Y ).rtg
IP(Y ) = −21
IP(X) = 12
4. Un’urna inizialmente vuota è stata riempita con palline rosse e blu in numero pari (rispettivamente) al lancio di un
dado rosso e di uno blu. Determinare codominio e distribuzione di S =‘numero totale di palline presenti nell’urna’.
Successivamente viene estratta una pallina a caso ottenendo una pallina rossa; determinare in base a ciò codominio e
distribuzione di X =‘numero uscito nel lancio del dado rosso’, e di Y =‘numero uscito nel lancio del dado blu’.rbu
CS = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
pS =
1
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1}
36
CY = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
CX = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
pX =
1
18
223 341 2509 2131 20417 18107
,
,
,
,
,
140 140 840 630 5544 4620
pY =
1
18
617 499 2531 1649 12847 9613
,
,
,
,
,
140 140 840 630 5544 4620
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Esame - 28 aprile 2010
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Attenzione!!!
Scrivere soltanto il risultato o mostrare soltanto alcuni passaggi equivale a non prendere nessun punto!
Compito B
1. Quante parole (N , anche senza significato) è possibile formare con la parola PIPPO ? bkj
N = 20
2. Un numero aleatorio continuo X ha funzione di sopravvivenza
−3x
e
x>0
S(x) =
1
x≤0
Calcolare la probabilità P (X < 3|X > 2).spv
P (X < 3|X > 2) = 1 − e−3
3. Un numero aleatorio continuo X ha la seguente densità

 x + 1 −1 < x ≤ 0
1−x
0<x≤1
f (x) =

0
altrove.
Determinare la funzione di ripartizione.dst

0



2


 1 + 2x + x
2
F (x) =
1 + 2x − x2





2

1
x ≤ −1
−1 < x ≤ 0
0<x≤1
x>1
4. Un’urna inizialmente vuota è stata riempita con palline rosse e blu in numero pari (rispettivamente) al lancio di un
dado rosso e di uno blu. Determinare codominio e distribuzione di S =‘numero totale di palline presenti nell’urna’.
Successivamente viene estratta una pallina a caso ottenendo una pallina rossa; determinare in base a ciò codominio e
distribuzione di X =‘numero uscito nel lancio del dado rosso’, e di Y =‘numero uscito nel lancio del dado blu’.rbu
CS = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
pS =
1
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1}
36
CY = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
CX = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
pX
1
=
18
223 341 2509 2131 20417 18107
,
,
,
,
,
140 140 840 630 5544 4620
1
pY =
18
617 499 2531 1649 12847 9613
,
,
,
,
,
140 140 840 630 5544 4620
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
Esame - 28 aprile 2010
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Attenzione!!!
Scrivere soltanto il risultato o mostrare soltanto alcuni passaggi equivale a non prendere nessun punto!
Compito C
1. Due eventi A e B incompatibili ed equiprobabili sono tali che P (Ac ∧ B c ) = 1/3. Calcolare la probabilità di A e
quella di B.hnx
P (A) =
1
3
P (B) =
2. Sia X un numero aleatorio con funzione di ripartizione

0,



1/5,
F (x) =
3/5,



1,
1
3
x<3
3≤x<5
5≤x<8
x≥8
Determinare il codominio CX e la probabilità dell’evento (5 ≤ X < 8).rzn
CX = {3, 5, 8}
P (5 ≤ X < 8) =
2
5
3. Ad un esame sono presenti 100 studenti. Ognuno di essi può prendere un voto (aleatorio) avente valore medio pari
a 20 e scarto quadratico pari a 5. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità (approssimativa) α che la
somma di tutti i voti sia maggiore di 2100.thc
α = 1 − Φ(2)
4. Un’urna inizialmente vuota è stata riempita con palline rosse e blu in numero pari (rispettivamente) al lancio di un
dado rosso e di uno blu. Determinare codominio e distribuzione di S =‘numero totale di palline presenti nell’urna’.
Successivamente viene estratta una pallina a caso ottenendo una pallina rossa; determinare in base a ciò codominio e
distribuzione di X =‘numero uscito nel lancio del dado rosso’, e di Y =‘numero uscito nel lancio del dado blu’.rbu
CS = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
pS =
1
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1}
36
CY = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
CX = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
pX
1
=
18
223 341 2509 2131 20417 18107
,
,
,
,
,
140 140 840 630 5544 4620
1
pY =
18
617 499 2531 1649 12847 9613
,
,
,
,
,
140 140 840 630 5544 4620
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2008/2009
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Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Attenzione!!!
Scrivere soltanto il risultato o mostrare soltanto alcuni passaggi equivale a non prendere nessun punto!
Compito D
1. Un numero aleatorio ha distribuzione di Poisson con valore medio pari a 2. Calcolare P
P
X≥
1
2
1
.psn
X≥
2
= 1 − e−2
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione ipergeometrica con parametri N = 16, b = 12, n = 8. Determinare il valore
minimo (min) e massimo (max) di X e la sua varianza.jpg
min = 4
max = 8
var(X) =
4
5
3. Sia data la seguente distribuzione congiunta di probabilità
1
3
9
3
0.2
0.1
0.1
9
0.3
0.2
0.1
X
Y
Determinare codominio, distribuzione e previsione del numero aleatorio Z = logY X.lgh
CZ =
1
0, , 1, 2
2
pZ = {0.5, 0.2, 0.2, 0.1}
IP(Z) = 0.5
4. Un’urna inizialmente vuota è stata riempita con palline rosse e blu in numero pari (rispettivamente) al lancio di un
dado rosso e di uno blu. Determinare codominio e distribuzione di S =‘numero totale di palline presenti nell’urna’.
Successivamente viene estratta una pallina a caso ottenendo una pallina rossa; determinare in base a ciò codominio e
distribuzione di X =‘numero uscito nel lancio del dado rosso’, e di Y =‘numero uscito nel lancio del dado blu’.rbu
CS = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
pS =
1
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1}
36
CY = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
CX = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
pX =
1
18
223 341 2509 2131 20417 18107
,
,
,
,
,
140 140 840 630 5544 4620
pY =
1
18
617 499 2531 1649 12847 9613
,
,
,
,
,
140 140 840 630 5544 4620
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Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
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Attenzione!!!
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Compito E
1. Un numero aleatorio ha distribuzione esponenziale con valore medio pari a 3. Calcolare P (X > 6).xpn
P (X > 6) = e−2
2. Un numero aleatorio discreto X ha CX = {2, 4, 6} e pX =
F (x) =

0







5

 12









5 1 1
, ,
. Determinare la funzione di ripartizione.rpz
12 3 4
x<2
2≤x<4
3
4
4≤x<6
1
x≥6
3. Siano X e Y due numeri aleatori, con Y = sin kX. Determinare gli eventuali valori di k per i quali il coefficiente di
correlazione ρ vale 1. xrg
non esistono valori di k
4. Un’urna inizialmente vuota è stata riempita con palline rosse e blu in numero pari (rispettivamente) al lancio di un
dado rosso e di uno blu. Determinare codominio e distribuzione di S =‘numero totale di palline presenti nell’urna’.
Successivamente viene estratta una pallina a caso ottenendo una pallina rossa; determinare in base a ciò codominio e
distribuzione di X =‘numero uscito nel lancio del dado rosso’, e di Y =‘numero uscito nel lancio del dado blu’.rbu
CS = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
pS =
1
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1}
36
CY = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
CX = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
pX
1
=
18
223 341 2509 2131 20417 18107
,
,
,
,
,
140 140 840 630 5544 4620
1
pY =
18
617 499 2531 1649 12847 9613
,
,
,
,
,
140 140 840 630 5544 4620
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Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
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Attenzione!!!
Scrivere soltanto il risultato o mostrare soltanto alcuni passaggi equivale a non prendere nessun punto!
Compito F
1. Un numero aleatorio continuo ha distribuzione uniforme, ed è tale che IP(X) = 1 e var(X) = 3.
Calcolare P (X < 3).nfr
P (X < 3) =
5
6
2. Un tizio estrae a caso e con restituzione una carta alla volta da un mazzo di carte italiane fino ad ottenere un asso.
Calcolare la probabilità α che egli compia almeno 4 estrazioni.gmr
α=
9
10
3
= 0.729
3. Un vettore aleatorio ha la seguente densità di probabilità
kxy (x, y) ∈ T
f (x, y) =
0
altrove.
dove T è il triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 1). Determinare k e IP
k = 24
IP
1
XY
1
XY
. vtt
= 12
4. Un’urna inizialmente vuota è stata riempita con palline rosse e blu in numero pari (rispettivamente) al lancio di un
dado rosso e di uno blu. Determinare codominio e distribuzione di S =‘numero totale di palline presenti nell’urna’.
Successivamente viene estratta una pallina a caso ottenendo una pallina rossa; determinare in base a ciò codominio e
distribuzione di X =‘numero uscito nel lancio del dado rosso’, e di Y =‘numero uscito nel lancio del dado blu’.rbu
CS = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
pS =
1
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1}
36
CY = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
CX = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
pX =
1
18
223 341 2509 2131 20417 18107
,
,
,
,
,
140 140 840 630 5544 4620
pY =
1
18
617 499 2531 1649 12847 9613
,
,
,
,
,
140 140 840 630 5544 4620
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matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
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Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Attenzione!!!
Scrivere soltanto il risultato o mostrare soltanto alcuni passaggi equivale a non prendere nessun punto!
Compito G
1
1. Un numero aleatorio X ha distribuzione binomiale con parametri n = 8, p = . Calcolare IP(X 2 ).bnm
4
IP(X 2 ) =
11
2
2. Un numero aleatorio X ha densità
f (x) =
kx3 (1 − x)5 0 < x < 1
0
altrove.
Determinare k e calcolare IP(X).bht
k=
9!
= 504
3!5!
IP(X) =
2
5
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme nel triangolo T di vertici (0, 0), (1, 1), (2, 0). Determinare le
densità marginali di X e di Y . tkg

0≤x≤1
 x
2−x 1<x≤2
fX (x) =

0
altrove
fY (y) =
2(1 − y) 0 ≤ y ≤ 1
0
altrove
4. Un’urna inizialmente vuota è stata riempita con palline rosse e blu in numero pari (rispettivamente) al lancio di un
dado rosso e di uno blu. Determinare codominio e distribuzione di S =‘numero totale di palline presenti nell’urna’.
Successivamente viene estratta una pallina a caso ottenendo una pallina rossa; determinare in base a ciò codominio e
distribuzione di X =‘numero uscito nel lancio del dado rosso’, e di Y =‘numero uscito nel lancio del dado blu’.rbu
CS = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
pS =
1
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1}
36
CY = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
CX = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
pX =
1
18
223 341 2509 2131 20417 18107
,
,
,
,
,
140 140 840 630 5544 4620
pY =
1
18
617 499 2531 1649 12847 9613
,
,
,
,
,
140 140 840 630 5544 4620
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Compito H
1. Siano dati due numeri aleatori X e Y tali che 3X − 4Y = 5. Calcolare il coefficiente di correlazione ρXY .crh
ρXY = 1
2. Un numero aleatorio X ha densità

k

 2
x


0
1≤x≤4
altrove.
Determinare k e calcolare IP(X 2 ).xrt
k=
4
3
IP X 2 = 4
3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme tra 1 e 5.
Determinare la densità di probabilità di Y = X 2 .fxz
1
√
8 y
g(y) =

0


1 ≤ y ≤ 25
altrove
4. Un’urna inizialmente vuota è stata riempita con palline rosse e blu in numero pari (rispettivamente) al lancio di un
dado rosso e di uno blu. Determinare codominio e distribuzione di S =‘numero totale di palline presenti nell’urna’.
Successivamente viene estratta una pallina a caso ottenendo una pallina rossa; determinare in base a ciò codominio e
distribuzione di X =‘numero uscito nel lancio del dado rosso’, e di Y =‘numero uscito nel lancio del dado blu’.rbu
CS = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
pS =
1
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1}
36
CY = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
CX = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
pX =
1
18
223 341 2509 2131 20417 18107
,
,
,
,
,
140 140 840 630 5544 4620
pY =
1
18
617 499 2531 1649 12847 9613
,
,
,
,
,
140 140 840 630 5544 4620
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Compito A
1. Siano dati tre eventi A, B e C equiprobabili e stocasticamente indipendenti. Sapendo che la probabilità che si verifi1
chino tutti è pari a
calcolare la probabilità α che se ne verifichi almeno uno. bny
64
α=
2. Un numero aleatorio X ha densità
f (x) =
37
64
2e−2(x−1) x ≥ 1
0
x<1
Calcolare il valore medio di X. dtz
IP(X) =
3
2
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità di probabilità
kxy (x, y) ∈ T
f (x, y) =
0
altrove
dove T è il triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (1, 1). Determinare k e F1 (x).trz
k=8

 0 x<0
x4 0 ≤ x ≤ 1
F1 (x) =

1 x>1
4. Su una sperduta strada di montagna si trova un lampione la cui lampada viene controllata ogni mese ; in caso di
guasto essa viene sostituita (all’atto del controllo) con una nuova lampada. Sapendo
che la durata di funzionamento
1
t<0
T (espresso in mesi) di una lampada nuova ha funzione di sopravvivenza S(t) =
e−t t ≥ 0
determinare codominio e distribuzione di X =‘numero di lampade sostituite in due controlli’.lmd
CX = {0, 1, 2}
pX = e−2 , 2e−1 (1 − e−1 ), (1 − e−1 )2
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Scrivere soltanto il risultato o mostrare soltanto alcuni passaggi equivale a non prendere nessun punto!
Compito B
1. Siano dati tre eventi A, B e C equiprobabili e stocasticamente indipendenti. Sapendo che la probabilità che se ne
19
verifichi almeno uno è pari a
calcolare la probabilità α che si verifichino tutti. bnx
27
α=
1
27
1
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione P (X = k) =
3
dtx
k
2
per k = 0, 1, 2, . . .. Calcolare il valore medio di X.
3
IP(X) = 2
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità di probabilità
kxy (x, y) ∈ T
f (x, y) =
0
altrove
dove T è il triangolo di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 1). Determinare k e F2 (y).trw
k=8

 0 y<0
y4 0 ≤ y ≤ 1
F2 (y) =

1 y>1
4. Un dispositivo è composto da due componenti in serie tra loro indipendenti e aventi entrambi durata con distribuzione esponenziale di valore medio (espresso in mesi) rispettivamente pari a 2 e 3. Sapendo che all’istante t = 6 il
dispositivo è guasto, calcolare la probabilità α che il primo componente sia guasto. dps
α=
1 − e−3
1 − e−5
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Compito C
1. Siano dati tre eventi A, B e C equiprobabili e stocasticamente indipendenti. Sapendo che la probabilità che non si
1
verifichi nessun evento è pari a
calcolare la probabilità α che se ne verifichino al massimo due. bnz
27
α=
19
27
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione P (X = k) =
2k−1 −2
e per k = 1, 2, 3, . . .. Calcolare il valore medio di
(k − 1)!
X. dty
IP(X) = 3
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità di probabilità
kxy (x, y) ∈ T
f (x, y) =
0
altrove
dove T è il triangolo di vertici (1, 0), (0, 1), (1, 1). Determinare k e F1 (x).trx
k=


0
x<0

 3
x
F1 (x) =
(8 − 3x) 0 ≤ x ≤ 1


 15
x>1
24
5
4. Per illuminare una stanza Davide ha a disposizione due lampadine, entrambe di durata esponenziale con valore medio
pari a 3 (misurato in mesi) ed indipendenti tra loro. Appena la prima lampadina si fulmina viene sostituita dalla
seconda. Determinare la densità di probabilità g(t) di T =‘istante in cui cessa l’illuminazione nella stanza’. dvz
g(t) =
λ2 te−λt t > 0
λ = 1/3
0
t≤0
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Compito D
1. Siano dati tre eventi A, B e C equiprobabili e stocasticamente indipendenti. Sapendo che la probabilità che se ne
37
verifichino al massimo due è pari a
calcolare la probabilità α che non se ne verifichi nessuno. bnw
64
α=
2. Un numero aleatorio X ha densità
1
64
f (x) =
2N (x) x ≥ 0
0
x<0
Calcolare il valore medio di X. dtw
r
IP(X) =
2
π
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità di probabilità
kxy (x, y) ∈ T
f (x, y) =
0
altrove
dove T è il triangolo di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 0). Determinare k e F2 (y).try
k = 24

y<0
 0
2
3
4
6y − 8y + 3y 0 ≤ y ≤ 1
F2 (y) =

1
y>1
4. Un dispositivo è composto da due componenti in parallelo tra loro indipendenti e aventi entrambi durata con distribuzione esponenziale di valore medio (espresso in mesi) rispettivamente pari a 1 e 3. Sapendo che all’istante t = 3 il
dispositivo è in funzione, calcolare la probabilità α che il primo componente sia guasto. dpp
α=
e3 − 1
e + e3 − 1
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2009/2010
Esame - 9 luglio 2010
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Attenzione!!!
Scrivere soltanto il risultato o mostrare soltanto alcuni passaggi equivale a non prendere nessun punto!
Compito A
1. Due eventi A e B formano i seguenti costituenti :
C1 = A ∧ B c C2 = Ac ∧ B C3 = Ac ∧ B c
Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) = 3/4, P (B) = 1/3 è coerente (cerchiare la risposta giusta) .kta
NO
coerente ? SÌ
2. Danilo ha giocato i numeri 11 e 75 sulla ruota del lotto di Genova. Quando torna a casa la moglie lo avvisa che non
ha realizzato l’ambo. Calcolare la probabilità α che sia uscito il numero 11.jta
α=
5
94
3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [1, 9]. Determinare la funzione di ripartizione di Y = 6 − |X − 3|.mda
G(y) =

0







y



 8

y 1



−


4 2





1
y≤0
0<y≤4
4<y<6
y≥6
1
3
determinare i valori
4. Un numero aleatorio X ha distribuzione beta Br,s (x). Sapendo che IP(X) = e IP(X 3 ) =
8
12
di r e s.bta
r=3
s=5
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2009/2010
Esame - 9 luglio 2010
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Attenzione!!!
Scrivere soltanto il risultato o mostrare soltanto alcuni passaggi equivale a non prendere nessun punto!
Compito B
1. Due eventi A e B formano i seguenti costituenti :
C1 = A ∧ B C2 = Ac ∧ B C3 = Ac ∧ B c
Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) = 1/3, P (B) = 1/4 è coerente (cerchiare la risposta giusta) .ktb
NO
coerente ? SÌ
2. Simone ha giocato i numeri 13 e 81 sulla ruota del lotto di Torino. Quando torna a casa la moglie lo avvisa che è
uscito il 13. Calcolare la probabilità β che non abbia realizzato l’ambo.jtb
β=
85
89
3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [2, 10]. Determinare la funzione di ripartizione di Y = 6 − |X − 4|.mdb
G(y) =

0







y



 8

y 1



−


4 2





1
y≤0
0<y≤4
4<y<6
y≥6
24
2
determinare i
4. Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma Gc,λ (x). Sapendo che IP(X) = e IP(X 3 ) =
5
125
valori di c e λ.gmb
c=2
λ=5
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2009/2010
Esame - 9 luglio 2010
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Attenzione!!!
Scrivere soltanto il risultato o mostrare soltanto alcuni passaggi equivale a non prendere nessun punto!
Compito C
1. Due eventi A e B formano i seguenti costituenti :
C1 = A ∧ B c C2 = Ac ∧ B C3 = Ac ∧ B c
Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) = 2/5, P (B) = 1/4 è coerente (cerchiare la risposta giusta) .ktc
coerente ? SÌ
NO
2. Mauro ha giocato i numeri 21 e 55 sulla ruota del lotto di Milano. Quando torna a casa la moglie lo avvisa che è
uscito almeno uno dei due numeri giocati. Calcolare la probabilità γ che abbia realizzato l’ambo.jtc
γ=
85
174
3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [3, 11]. Determinare la funzione di ripartizione di Y = 6 − |X − 5|.mdc
G(y) =

0







y



 8

y 1



−


4 2





1
y≤0
0<y≤4
4<y<6
y≥6
4
2
determinare i valori
4. Un numero aleatorio X ha distribuzione beta Br,s (x). Sapendo che IP(X) = e IP(X 3 ) =
5
35
di r e s.btc
r=2
s=3
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2009/2010
Esame - 9 luglio 2010
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
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nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Attenzione!!!
Scrivere soltanto il risultato o mostrare soltanto alcuni passaggi equivale a non prendere nessun punto!
Compito D
1. Due eventi A e B formano i seguenti costituenti :
C1 = A ∧ B C2 = Ac ∧ B C3 = Ac ∧ B c
Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) = 1/5, P (B) = 1/3 è coerente (cerchiare la risposta giusta) .ktd
coerente ? SÌ
NO
2. Paolo ha giocato i numeri 35 e 67 sulla ruota del lotto di Palermo. Quando torna a casa la moglie lo avvisa che non
ha realizzato l’ambo. Calcolare la probabilità δ che non sia uscito nessuno dei due numeri giocati.jtd
δ=
42
47
3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme sull’intervallo [5, 13]. Determinare la funzione di ripartizione di Y = 6 − |X − 7|.mdd
G(y) =

0







y



 8

y 1



−


4 2





1
y≤0
0<y≤4
4<y<6
y≥6
15
3
determinare i
4. Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma Gc,λ (x). Sapendo che IP(X) = e IP(X 3 ) =
4
16
valori di c e λ.gmd
c=3
λ=4
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2009/2010
Esame - 22 settembre 2010
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
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nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Attenzione!!!
Scrivere soltanto il risultato o mostrare soltanto alcuni passaggi equivale a non prendere nessun punto!
1. Due eventi A e B sono tali che B c ⊆ Ac . Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (Ac ∧ B) =
coerente (cerchiare la risposta giusta) e calcolare la varianza di X = |B| − |Ac |.
coerenti ? SÌ
NO
var(X) =
1
2
, P (B) = è
2
3
17
36
2. Un vettore aleatorio (X, Y ) è tale che σX = 1, σY = 3, ρ = 1/3. Determinare il valore minimo (min) di var(Y +tX)
e per quali valori di t si ha var(Y + tX) = 9. wtr
t = 0, −2
min = 8
0 X≤0
.
X X>0
Calcolare le probabilità α = P (Y = 0), β = P (Y < 0) e determinare la funzione di ripartizione di Y .
3. Siano dati due numeri aleatori X (avente distribuzione normale standard) e Y =
1
α=
2
β=0
G(y) =

 0

y<0
Φ(y) y ≥ 0
4. Per illuminare un locale si usa una lampadina la cui durata ha distribuzione esponenziale con parametro λ.
Determinare la funzione di ripartizione dell’istante in cui cessa l’illuminazione nei due casi :
a) sapendo che all’istante t = 10 la lampadina è spenta (X) ;
b) sapendo che all’istante t = 10, qualora la lampadina sia ancora accesa, viene spenta manualmente (Y ).

0



1 − e−λt
FX (t) =
−10λ


 1−e
1
t≤0
0 < t < 10
t ≥ 10.

t≤0
 0
1 − e−λt 0 < t < 10
FY (t) =

1
t ≥ 10.
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2009/2010
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 13 novembre 2010
matricola
cognome
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Compito A
1. Dieci studenti hanno preso i seguenti voti all’interrogazione di geografia : 3 5 7 5 7 3 6 5 4 5 .
Determinare media x, moda x∗ e mediana m.
x∗ = 5
x=5
m=5
2. Un numero aleatorio discreto X ha codominio CX = {1, a, 7}, distribuzione pX =
zione


0







1



5
F (x) =




d






 1
1 1
, ,b
5 3
e funzione di riparti-
x<c
c≤x<4
4≤x<7
x≥7
Determinare i valori di a, b, c e d.
a=4
b=
7
15
c=1
d=
8
15
3. Due dadi (uno blu e uno rosso) vengono lanciati insieme. È noto che al dado blu le facce 5 e 6 sono state entrambe
sostituite con il 4 . Sapendo che il dado rosso mostra una faccia minore di 5, calcolare la probabilità α che il dado
blu mostri una faccia minore di quello rosso.
α=
1
4
4. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con valore medio m e scarto quadratico medio σ. Determinare la
densità di probabilità di Y = eX . Calcolare inoltre il valore medio e la varianza di Y .
g(y) =



1
√
σy 2π


0
"
exp −
1
2
ln y − m
σ
y>0
σ2
IP (Y ) = exp m +
2
y≤0
var(Y ) = e2m+σ
2 #
2
2
eσ − 1
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2009/2010 Polo di Latina
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 13 novembre 2010
matricola
cognome
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nome
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Compito B
1. Quante parole (N , anche senza significato) è possibile formare con la parola COCCODÈ ?
N = 420
2. Siano X e Y due numeri aleatori, con Y = kX + 7. Determinare gli eventuali valori di k per i quali il coefficiente di
correlazione ρ vale 1.
k>0
3. Ivano ha davanti a sé un’urna U con due palline bianche e una nera. Volendo indovinare cosa succederà in tre estrazioni
con restituzione, predice che escano prima due palline bianche e poi una nera : m m l.
Detto X =‘numero di volte in cui Ivano indovina’, determinarne codominio e distribuzione.
CX = {0, 1, 2, 3}
pX =
4. Un numero aleatorio X ha funzione di sopravvivenza
−x2
e
S(x) =
1
Determinare la funzione di rischio h(x).
h(x) =

 2x
x>0
0
x ≤ 0.

2 9 12 4
, , ,
27 27 27 27
x>0
x ≤ 0.
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2009/2010
Esame - 9 febbraio 2011
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
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nome
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1. Due eventi A e B sono tali che A ⊆ B. Determinare il valore di p = P (Ac |B c ) e stabilire se l’assegnazione di
1
probabilità p = è coerente oppure no (cerchiare la risposta giusta) .
2
p=1
NO
coerente ? SÌ
2. Sull’isola di Greenpeace, dove vive la tribù dei WWF (Wild Without Future), l’unica sorgente presente risulta di
difficile accesso. Per tale motivo la distribuzione dell’acqua è stata affidata a Mafia, una strega che vive nei pressi
della stessa. Stanco di dover pagare la strega, Mani Tese (il capo del villaggio) indice un referendum per far decidere
alla sua tribù se togliere la gestione dell’acqua a Mafia (votando SÌ) oppure no (votando NO).
Acqua Tagliata (il figlio di Mani Tese), essendo indeciso, intende interrogare il dio dell’acqua adottando il seguente
criterio (a) : con una canna da pesca va allo stagno nei pressi della sorgente, se il primo pesce pescato è blu non va a
votare, se invece è rosso pesca un secondo pesce, se è rosso vota SÌ altrimenti vota NO.
La strega Mafia (che conosce il pensiero di tutti) sa che manca solo il voto di Acqua Tagliata a raggiungere il quorum,
e che in ogni caso il numero dei SÌ sarà maggiore del numero dei NO. Per tale motivo fa di tutto per non mandarlo al
voto e un attimo prima che Acqua Tagliata si accinga a pescare gli suggerisce il seguente criterio alternativo (b) : se
pesca due pesci blu li rigetta nello stagno e ripete l’esperimento, se invece almeno uno è rosso lo getta nello stagno e,
se quello che rimane è rosso va a votare SÌ, altrimenti non va a votare.
Calcolare la probabilità che venga tolta la gestione a Mafia nel caso a (α) e nel caso b (β).
(Si supponga che ad ogni tentativo la probabilità di pescare un pesce blu o un pesce rosso siano entrambe pari a 1/2.)
α=
1
2
β=
1
3
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale ed è tale che IP (X) = 2, e IP X 2 = 5. Calcolare la probabilità
P (X 2 < X).pnr
P (X 2 < X) = Φ(2) − Φ(1)
4. Su una circonferenza vengono scelti (indipendentemente tra loro) tre punti a caso A, B e C. Determinare la probabilità
γ che il centro O si trovi all’interno del triangolo da essi formato.
'$
p
p
p
B
A
O
p
&%
C
γ=
1
4
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2009/2010
Esame - 3 marzo 2011
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
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nome
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1. Siano dati due eventi A e B equiprobabili P (A) = P (B) = p e stocasticamente indipendenti, e i due numeri aleatori
X = |A ∨ B| e Y = |A ∧ B|. Calcolare α = cov(X, Y ).
α = [p(1 − p)]2
2. Walter sceglie a caso un’urna tra quelle mostrate in figura, e da essa estrae due palline in blocco ottenendo il prodotto
pari a 6. Qual è la probabilità p che abbia estratto dalla prima urna ?
¬ ­
U1 →
® ®
p=
¬ ­
←U2
­ ®
1
2
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha densità
f (x, y) =
√
k xy + 1 (x, y) ∈ S
0
altrove
3
dove S è la regione (1 ≤ x ≤ 4) ∧ 0 ≤ y ≤
. Determinare il valore di k e la varianza di X.
x
k=
3
28 ln 2
var(X) =
15 ln 2 − 9
4(ln 2)2
4. La banchina di attesa di una stazione ferroviaria è lunga 200 metri. Su di essa si trovano in attesa 150 viaggiatori
che si dispongono indipendentemente l’uno dall’altro e con distanza (contata a partire dall’inizio della banchina)
avente distribuzione normale con valor medio pari a 100 metri e scarto quadratico pari a 40 metri. Il treno in arrivo
è composto di 10 carrozze di lunghezza pari a 20 metri ciascuna, e ognuna con una sola porta disposta al centro.
Supposto che ogni viaggiatore salga alla porta più vicina, calcolare la probabilità β che sulla prima e ultima carrozza
non salga nemmeno una persona.
β = [2Φ(2) − 1]150
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2009/2010
Esame - 6 aprile 2011
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
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nome
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Compito A
k−1
1
1. Un numero aleatorio X ha distribuzione P (X = k) = α
per k = 1, 2, . . .. Determinare α e il valore medio
4
di X.
α=
3
4
IP(X) =
4
3
2. Un numero aleatorio continuo X ha la seguente densità
|x − 2| 1 ≤ x ≤ 3
f (x) =
0
altrove.
Determinare la funzione di ripartizione.


0
x<1



1


4x − x2 − 3 1 ≤ x ≤ 2
2
F (x) =
1 1


+ (x − 2)2 2 < x ≤ 3


2
2


1
x>3
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità di probabilità
 3

(x − y) (x, y) ∈ T

16
f (x, y) =


0
altrove
dove T è il triangolo di vertici (1, 1), (3, 3), (5, 1). Determinare le due densità marginali.
f1 (x) =











3
32
(x − 1)2
3
32 (x
1≤x≤3
− 5)(7 − 3x) 3 < x ≤ 5
0
f2 (y) =


3
8

0
(y − 3)2 1 ≤ y ≤ 3
altrove
altrove
4. Dall’urna mostrata in figura si estraggono con restituzione 800 palline. Sapendo che sono state ottenute un egual
numero di palline bianche e nere, calcolare la probabilità p che la somma ottenuta sia minore di 2820.
(Si applichi il teorema centrale)
¬ ­ ­ ®
¹ º º »
p = Φ(1)
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2009/2010
Esame - 6 aprile 2011
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
3k
1. Un numero aleatorio X ha distribuzione P (X = k) = β per k = 0, 1, 2, 3, . . .. Determinare β e il valore medio di
k!
X.
β = e−3
IP(X) = 3
2. Un numero aleatorio continuo X ha la seguente densità
|x − 3| 2 ≤ x ≤ 4
f (x) =
0
altrove.
Determinare la funzione di ripartizione.


0
x<2



1


6x − x2 − 8 2 ≤ x ≤ 3
2
F (x) =
1 1


+ (x − 3)2 3 < x ≤ 4


2
2


1
x>4
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità di probabilità
 3

(y − x) (x, y) ∈ T

16
f (x, y) =


0
altrove
dove T è il triangolo di vertici (1, 1), (3, 3), (1, 5). Determinare le due densità marginali.
f1 (x) =
3
8
0
2
(x − 3)
1≤x≤3
altrove
f2 (y) =


3
32 (y
3
32 (y

0
− 1)2
1≤y≤3
− 5)(7 − 3y) 3 < y ≤ 5
altrove
4. Dall’urna mostrata in figura si estraggono con restituzione 800 palline. Sapendo che sono state ottenute un egual
numero di palline bianche e nere, calcolare la probabilità p che la somma ottenuta sia minore di 2820.
(Si applichi il teorema centrale)
¬ ­ ­ ®
¹ º º »
p = Φ(1)
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2009/2010
Esame - 6 aprile 2011
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito C
1. Un numero aleatorio X ha densità
f (x) =
γe−3x x ≥ 0
0
x<0
Determinare γ e il valore medio di X.
γ=3
IP(X) =
1
3
2. Un numero aleatorio continuo X ha la seguente densità
|x − 4| 3 ≤ x ≤ 5
f (x) =
0
altrove.
Determinare la funzione di ripartizione.


0
x<3



1


8x − x2 − 15 3 ≤ x ≤ 4
2
F (x) =
1 1


+ (x − 4)2
4<x≤5


2
2

 1
x>5
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità di probabilità
 3

(x − y) (x, y) ∈ T

16
f (x, y) =


0
altrove
dove T è il triangolo di vertici (5, 1), (3, 3), (5, 5). Determinare le due densità marginali.
f1 (x) =
3
8
0
2
(x − 3)
3≤x≤5
altrove
f2 (y) =


3
32 (y
3
32 (y

0
− 1)(11 − 3y) 1 ≤ y ≤ 3
− 5)2
3<y≤5
altrove
4. Dall’urna mostrata in figura si estraggono con restituzione 800 palline. Sapendo che sono state ottenute un egual
numero di palline bianche e nere, calcolare la probabilità p che la somma ottenuta sia minore di 2820.
(Si applichi il teorema centrale)
¬ ­ ­ ®
¹ º º »
p = Φ(1)
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2009/2010
Esame - 6 aprile 2011
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito D
"
#
1 x−3 2
1. Un numero aleatorio X ha densità f (x) = δ exp −
per x ∈ IR. Determinare δ e il valore medio di X.
2
2
1
δ= √
2 2π
IP(X) = 3
2. Un numero aleatorio continuo X ha la seguente densità
|x − 5| 4 ≤ x ≤ 6
f (x) =
0
altrove.
Determinare la funzione di ripartizione.


0
x<4



1


10x − x2 − 24 4 ≤ x ≤ 5
2
F (x) =
1 1


+ (x − 5)2
5<x≤6


2
2

 1
x>6
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità di probabilità
 3

(y − x) (x, y) ∈ T

16
f (x, y) =


0
altrove
dove T è il triangolo di vertici (5, 5), (3, 3), (1, 5). Determinare le due densità marginali.
f1 (x) =


3
32 (x
3
32 (x

0
− 1)(11 − 3x) 1 ≤ x ≤ 3
− 5)2
3<x≤5
altrove
f2 (y) =
3
8 (y
0
− 3)2 3 ≤ y ≤ 5
altrove
4. Dall’urna mostrata in figura si estraggono con restituzione 800 palline. Sapendo che sono state ottenute un egual
numero di palline bianche e nere, calcolare la probabilità p che la somma ottenuta sia minore di 2820.
(Si applichi il teorema centrale)
¬ ­ ­ ®
¹ º º »
p = Φ(1)
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2010-2011
Esame - 14 giugno 2011
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Quante parole (N , anche senza significato) è possibile formare con la parola CHICCHIRICCHI ?
N = 360360
2. Siano X e Y due numeri aleatori, con Y = ln(kX). Determinare gli eventuali valori di k per i quali il coefficiente di
correlazione ρ vale 1. hrc
non esiste nessun valore
3. Il tempo di vita di un componente elettronico ha distribuzione esponenziale con valore medio (espresso in anni) pari
a 5. Sapendo che ha già funzionato per 3 anni determinare mediamente quanti altri anni (M ) funzionerà.
M =5
4. Dall’urna mostrata in figura vengono estratte due palline con restituzione. Determinare la distribuzione congiunta del
vettore (X, Y ) dove X =‘numero di H estratte’ e Y =‘numero di palline nere estratte’ .
0
1
2
0
9/100
12/100
4/100
1
24/100
22/100
4/100
2
16/100
8/100
1/100
X
• • • • •
H
H
Z
H
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Y
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2010-2011
Esame - 14 giugno 2011
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Determinare media x, moda x∗ e mediana m della seguente sequenza di valori : 1 4 7 2 4 0 2 4 .
x=3
x∗ = 4
m=3
2. Siano X e Y due numeri aleatori, con Y = kX + π. Determinare gli eventuali valori di k per i quali il coefficiente di
correlazione ρ vale −1.
k<0
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità di probabilità

 k|xy| (x, y) ∈ P
f (x, y) =

0
altrove
dove P = (−1 ≤ x ≤ 1) ∧ (0 ≤ y ≤ 1 − x2 ). Determinare k e la densità marginale f2 (y).
k=6
f2 (y) =
6y(1 − y) 0 ≤ y ≤ 1
0
altrove
4. Ad un referendum popolare hanno diritto di voto 50 milioni di cittadini, ognuno dei quali ha probabilità 50% di
andare a votare. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità α che l’affluenza finale al voto sia compresa
tra il 49,99% e il 50,01%.
√
α = 2Φ( 2) − 1
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2010-2011
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 14 luglio 2011
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Due dispositivi S1 e P1 sono composti (si veda figura 1) entrambi da due componenti ognuno dei quali ha probabilità
p = 1/3 di essere funzionante. Sapendo che S1 non funziona e P1 sì, si opera uno scambio di posizione tra B e C
in modo da rendere entrambi funzionanti i nuovi dispositivi S2 e P2 (si veda figura 2). Calcolare la probabilità α che
dopo lo scambio entrambi i dispositivi S2 e P2 siano funzionanti. (N.B. i componenti A, B, C e D sono indipendenti
tra loro.) psA
S1
A
P1
B
S2
1
α=
20
A
C
P2
C
B
D
D
figura 1
figura 2
2. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità f (x) =

 105x2 (1 − x)4 0 < x < 1

0
, determinare il suo valore
altrove
medio.btc
IP (X) =
3
8
3. Un vettore aleatorio discreto ha distribuzione uniforme sui punti (0, 0), (1, 0), (0, 1). Determinare il punto di intersezione P tra le due rette di regressione.dgA
P =
1 1
,
3 3
4. Da un’urna contenente dieci palline numerate da ¬ a É vengono fatte sette estrazioni con restituzione. Calcolare la
probabilità p che il numero più alto ottenuto sia ¯.uzx
p=
47 − 37
14197
=
7
10
10000000
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2010-2011
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 14 luglio 2011
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Due dispositivi S1 e P1 sono composti (si veda figura 1) entrambi da due componenti ognuno dei quali ha probabilità
p = 1/4 di essere funzionante. Sapendo che S1 non funziona e P1 sì, si opera uno scambio di posizione tra B e C
in modo da rendere entrambi funzionanti i nuovi dispositivi S2 e P2 (si veda figura 2). Calcolare la probabilità α che
dopo lo scambio entrambi i dispositivi S2 e P2 siano non funzionanti. (N.B. i componenti A, B, C e D sono indipendenti tra loro.) psB
S1
A
P1
B
S2
9
α=
35
A
P2
C
C
B
D
D
figura 1
figura 2
 125

x2 e−5x x > 0

2
2. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità f (x) =
, determinare il suo valore me

0
x≤0
dio.gmx
IP (X) =
3
5
3. Un vettore aleatorio discreto ha distribuzione uniforme sui punti (0, 0), (1, 0), (1, 1). Determinare il punto di intersezione P tra le due rette di regressione.dgB
P =
2 1
,
3 3
4. Da un sacchetto contenente i numeri della tombola (da 1 a 90) vengono estratti in blocco trenta numeri e inseriti
(senza essere guardati) in un’urna U. Successivamente da U vengono compiute successive estrazioni con restituzione.
Dopo quante estrazioni (N ) in cui non si ottiene mai il 90 si può affermare che la probabilità che il 90 non si trovi in
U sia maggiore del 90% ?snr
N = 45
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2010-2011
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 14 luglio 2011
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito C
1. Due dispositivi S1 e P1 sono composti (si veda figura 1) entrambi da due componenti ognuno dei quali ha probabilità
p = 1/5 di essere funzionante. Sapendo che S1 non funziona e P1 sì, si opera uno scambio di posizione tra B e C
in modo da rendere entrambi funzionanti i nuovi dispositivi S2 e P2 (si veda figura 2). Calcolare la probabilità α che
dopo lo scambio la situazione resti invariata (ossia S2 non funzionante e P2 funzionante. (N.B. i componenti A, B, C
e D sono indipendenti tra loro.) psC
S1
A
P1
B
S2
11
α=
18
A
P2
C
C
B
D
D
figura 1
figura 2
2. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità f (x) =
 −4x
x>0
 4e

var(X) =
0
, determinare la varianza.exy
x≤0
1
16
3. Un vettore aleatorio discreto ha distribuzione uniforme sui punti (0, 1), (1, 0), (1, 1). Determinare il punto di intersezione P tra le due rette di regressione.dgC
P =
2 2
,
3 3
4. Da un sacchetto contenente i numeri della tombola (da 1 a 90) vengono estratti in blocco sessanta numeri e inseriti
(senza essere guardati) in un’urna U. Successivamente da U vengono compiute successive estrazioni con restituzione.
Dopo quante estrazioni (N ) in cui non si ottiene mai il 50 si può affermare che la probabilità che il 50 non si trovi in
U sia maggiore del 60% ?snz
N = 66
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2010-2011
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 14 luglio 2011
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito D
1. Due dispositivi S1 e P1 sono composti (si veda figura 1) entrambi da due componenti ognuno dei quali ha probabilità
p = 2/3 di essere funzionante. Sapendo che S1 non funziona e P1 sì, si opera uno scambio di posizione tra B e C
in modo da rendere entrambi funzionanti i nuovi dispositivi S2 e P2 (si veda figura 2). Calcolare la probabilità α che
dopo lo scambio si ottenga una situazione rovesciata, e cioè S2 sia funzionante e P2 invece no. (N.B. i componenti A,
B, C e D sono indipendenti tra loro.) psD
S1
A
P1
B
S2
1
α=
10
A
P2
C
C
B
D
D
figura 1
figura 2
"
#
1 x−3 2
1
2. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità f (x) = √ exp −
per −∞ < x < +∞,
2
5
5 2π
determinare la sua varianza.nsx
var(X) = 25
3. Un vettore aleatorio discreto ha distribuzione uniforme sui punti (0, 0), (0, 1), (1, 1). Determinare il punto di intersezione P tra le due rette di regressione.dgD
P =
1 2
,
3 3
4. Da un’urna contenente otto palline numerate da ¬ a Ç vengono fatte cinque estrazioni con restituzione. Calcolare la
probabilità p che il numero più alto ottenuto sia ±.uzy
p=
4651
65 − 55
=
5
8
32768
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2010-2011
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina)
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 21 luglio 2011
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1
3
1. Siano dati due eventi A e B tali che A ∨ B = Ω . Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) = , P (B) = è
8
4
coerente (cerchiare la risposta giusta) .
NO
coerente SÌ
2. Un numero aleatorio discreto X ha codominio CX =
√
3, ln 10, e3
e pX =
4 7 2
. Determinare la
, ,
13 13 13
funzione di ripartizione.xzp
F (x) =

0







4

 13









x<
√
√
3
3 ≤ x < ln 10
11
13
ln 10 ≤ x < e3
1
x ≥ e3
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità di probabilità

 k (x, y) ∈ T
f (x, y) =

0 altrove
dove T è il triangolo di vertici (−1, 0), (1, 0), (0, −1). Ricavare k e determinare le due densità marginali.twr
k=1

 1 + x −1 ≤ x ≤ 0
1−x 0<x≤1
f1 (x) =

0
altrove
f2 (y) =

4. Un numero aleatorio X ha funzione di rischio
h(x) =

 2y + 2 −1 ≤ y ≤ 0
√
x x x>0
0
x ≤ 0.
Calcolare la probabilità P (X > 4|X > 1).yrt
62
P (X > 4|X > 1) = e− 5
0
altrove
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2010-2011
Esame - 9 settembre 2011
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Tre eventi A, B e C formano i seguenti costituenti :
C1 = A ∧ B ∧ C C2 = Ac ∧ B ∧ C C3 = Ac ∧ B c ∧ C C4 = Ac ∧ B c ∧ C c
Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) = 0.7, P (C) = 0.3 è coerente o no (cerchiare la risposta giusta) .ktr
NO
coerente ? SÌ
2. Un filo di lenza del peso di 1 kg ha una lunghezza aleatoria avente scarto quadratico medio pari a 3 (metri). Determinare lo scarto quadratico medio (σ) di un filo del peso di 2 kg.
(Si suppongano indipendenti le lunghezze relative a quantità diverse.) lnz
√
σ=3 2
3. Due numeri aleatori X e Y hanno entrambi previsione e varianza pari a 1. Sapendo che il coefficiente di correlazione
1
è pari a , determinare la previsione del loro prodotto.
2
kjh
IP (XY ) =
3
2
4. Tizio e Caio sono i due addetti alla manutenzione dei sei computer presenti nell’aula di informatica, ognuno dei
quali ha probabilità p = 55% di essere guasto. Un giorno entra prima Tizio e controlla solo quattro PC scelti a
caso ; trovandone guasti tre ne aggiusta solo due. Subito dopo entra Caio che, indipendentemente da Tizio, controlla
solo due PC scelti a caso ; trovandone guasto uno si allontana velocemente senza aggiustarlo. Determinare il numero
medio (M ) di PC guasti dopo che è uscito Caio. tcs
M=
20
9
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2010-2011
Esame - 9 settembre 2011
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Tre eventi A, B e C formano i seguenti costituenti :
C1 = A ∧ B c ∧ C c C2 = Ac ∧ B ∧ C c C3 = Ac ∧ B c ∧ C C4 = Ac ∧ B c ∧ C c
Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) = 0.5, P (B) = 0.6 è coerente o no (cerchiare la risposta giusta) .kts
coerente ? SÌ
NO
2. Un filo di lenza del peso di 2 kg ha una lunghezza aleatoria avente scarto quadratico medio pari a 5 (metri). Determinare lo scarto quadratico medio (σ) di un filo del peso di 4 kg.
(Si suppongano indipendenti le lunghezze relative a quantità diverse.) lnw
√
σ=5 2
3. Due numeri aleatori X e Y hanno entrambi previsione e varianza pari a 2. Sapendo che la previsione del loro prodotto
è pari a 3, calcolare il coefficiente di correlazione.
kjt
ρ=−
1
2
4. Tizio e Caio sono i due addetti alla manutenzione dei sei computer presenti nell’aula di informatica, ognuno dei quali
ha probabilità p = 70% di essere guasto. Un giorno entra prima Tizio e controlla solo quattro PC scelti a caso ;
trovandone guasti due ne aggiusta solo uno. Subito dopo entra Caio che, indipendentemente da Tizio, controlla solo
tre PC scelti a caso ; trovandone due guasti si allontana velocemente senza aggiustarli. Determinare il numero medio
(M ) di PC guasti dopo che è uscito Caio. tcr
M=
79
29
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2010-2011
Esame - 19 novembre 2011
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Siano dati tre eventi A, B e C tali che A ⊆ B ⊆ C, e con P (A) =
previsione e la varianza di X = |A| + |B| + |C|.etx
IP (X) = 1
var(X) =
1
1
1
, P (B) = , P (C) = . Determinare la
6
3
2
4
3
2. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità
f (x) =

 k − x2 −1 ≤ x ≤ 1

0
altrove,
determinare l’insieme S dei valori ammissibili per k.fpx
S= ∅
3. In un vettore aleatorio le due componenti X e Y hanno valore medio pari a 2 e varianza pari a 3. Determinare il valore
minimo (min) e il valore massimo (max) che può assumere la previsione del loro prodotto.mmx
min = 1
max = 7
1
4. Pierino si presenta ripetutamente ad un esame fino a superarlo. La prima volta ha probabilità di essere promosso, la
2
2
seconda ha probabilità , e così via la probabilità aumenta di volta in volta (in virtù di una maggiore preparazione),
3
k
in modo che la k-esima volta la probabilità risulta essere pari a
con k = 1, 2, 3, . . ..
k+1
Determinare quanti tentativi dovrà fare mediamente (m) Pierino per superare l’esame.sxk
m=e−1
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2010-2011
Esame - 30 gennaio 2012
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Un banco organizza delle scommesse sulle partite di calcio con le seguenti quote :
Siena-Napoli
Milan-Juventus
1 → 2.4 : 1
1 →3:1
2 →4:1
X →3:1
X →6:1
2 →2:1
Qual è la giusta quota da assegnare all’evento H =“tra le due partite si verifica almeno un pareggio” ?bcn
q = 2.25
2
2. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme tra 0 e 1. Calcolare il valore medio di e−X .rfr
IP
2
e−X
=
√
√ 1
π Φ 2 −
2
3. Un vettore aleatorio ha la seguente distribuzione
0
1
2
0
0
1
4
0
1
1
4
1
4
1
4
X
Y
Calcolare cov(X, Y ) e stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti (cerchiare la risposta giusta) .tbx
cov(X, Y ) = 0
X e Y sono indipendenti ? SÌ
NO
4. Ciccio vuole misurare il suo peso con una bilancia affetta da un errore che si distribuisce (approssimativamente)
secondo la funzione f (xi |θ) = e−2|xi −θ| − ∞ < xi < +∞. Sapendo che la conoscenza iniziale del suo peso (θ)
( 1
85 < θ < 95
è rappresentata dalla distribuzione β(θ) =
e che è stato letto il peso di 90 kg, determinare la
10
0
altrove
funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.pxc
α(x|θ) = e−2|90−θ|

 e−2|90−θ|
−10
β(θ|x) =
 1−e
0
85 < θ < 95
altrove .
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2010-2011
Esame - 17 febbraio 2012
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Tre eventi A, B e C stocasticamente indipendenti ed equiprobabili sono tali che P (A ∨ B ∨ C) =
P (A ∨ B).
P (A ∨ B) =
2. Sia X un numero aleatorio con funzione di ripartizione

0,



1/2,
F (x) =
2/3,



1,
91
; calcolare
216
11
36
x<1
1≤x<4
4≤x<7
x≥7
Determinare il codominio CX e la probabilità dell’evento (4 ≤ X < 7).
CX = {1, 4, 7}
P (4 ≤ X < 7) =
1
6
27
1
3. Un numero aleatorio continuo X avente distribuzione uniforme ha varianza pari a
ed è tale che P (X ≤ 4) = .
4
3
Determinare il valore medio di X.
IP (X) = 5.5
4. Una ruota composta da una parte colorata (di ampiezza α) e da una parte bianca si trova inizialmente nella posizione
mostrata in figura. Ad un certo istante essa riceve una spinta che la fa ruotare (in senso orario) di un angolo (aleatorio)
avente distribuzione esponenziale con valore medio pari ad un giro. Determinare l’ampiezza α (espressa in frazione
di giro) affinché la parte colorata e quella bianca abbiano la stessa probabilità di arrestarsi in corrispondenza della
freccia (⇐).
>
'$
2e
α
α = ln
' 0.379885493
e+1
@
@p
⇐
&%
>
~
+
O
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2010-2011
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 17 aprile 2012
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Determinare media x, moda x∗ e mediana m della seguente sequenza di valori : 1 5 9 3 5 2 2 5 3 5 .
x∗ = 5
x=4
m=4
2. Un’urna contiene due palline bianche e due nere ; da essa si estraggono successivamente e con restituzione due palline
in blocco. Determinare mediamente quante estrazioni doppie sono necessarie (m) per avere una pallina bianca e una
nera, e la probabilità α di compiere almeno 5 estrazioni affinché ciò avvenga.
m=
3
2
α=
1
81
3. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità

11! 7


x (1 − x)3 0 < x < 1
7!3!
f (x) =


0
altrove
determinare la previsione di X 3 (1 − X)5 .
11!10!8!
20
IP X 3 (1 − X)5 =
=
7!3!19!
12597
4. In un concorso la prova è strutturata con n quesiti con 4 risposte multiple (delle quali solo una è giusta). Determinare
il valore minimo di n (min) affinché la probabilità che un candidato impreparato che risponde a caso sia promosso
(ossia risponda ad almeno la metà dei quesiti) sia minore del 5 % (si applichi il teorema centrale e si ricordi che
0.95 ' Φ(1.645)).
min = 9
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2010-2011
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 17 aprile 2012
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Determinare media x, moda x∗ e mediana m della seguente sequenza di valori : 5 8 9 6 2 6 7 5 7 5 .
x∗ = 5
x=6
m=6
2. Un’urna contiene tre palline bianche e tre nere ; si compiono quattro estrazioni doppie (due palline in blocco) con
restituzione. Determinare mediamente quante estrazioni doppie (m) presentano una pallina bianca e una nera, e la
probabilità β che almeno una volta si verifichi ciò.
m=
12
5
β=
609
625
3. Un numero aleatorio X ha densità di probabilità

36 5 −3x



x e
x>0
5!
f (x) =


 0
x≤0
determinare la previsione di X 7 e−5X .
36 12!
IP X 7 e−5X =
5! 813
4. In un concorso la prova è strutturata con 7 quesiti con k risposte multiple (delle quali solo una è giusta). Determinare
il valore minimo di k (min) affinché la probabilità che un candidato impreparato che risponde a caso sia promosso
(ossia risponda esattamente ad almeno 4 quesiti) sia minore del 2.275 % (si applichi il teorema centrale e si ricordi
che 0.97725 ' Φ(2)).
min = 5
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2010-2011
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina)
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 17 aprile 2012
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito C
1. Quattro eventi A, B, C e D sono tali che D ⊆ (A ∩ B) e (A ∪ B) ⊆ C. Stabilire se le assegnazioni di probabilità
P (Ac ∪ B c ∪ D) = 0.3 e P (C c ∪ D) = 0.5 sono coerenti oppure no (cerchiare la risposta giusta) . cht
coerenti ?
NO
SÌ
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson ed è tale che P (X = 10) = P (X = 7). Calcolare il valore
medio.phs
√
IP(X) = 2 3 90
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme nel triangolo T di vertici (−3, 1), (−3, 5), (−1, 5). Determinare le densità marginali di X e di Y . thx
(
fX (x) =
−
0
x+1
2
−3 < x < −1
altrove
( y−1
fY (y) =
8
0
4. Un numero aleatorio X ha funzione di sopravvivenza
−√x
e
x>0
S(x) =
1
x ≤ 0.
Determinare la funzione di rischio h(x).rhx
h(x) =




1
√
2 x
x>0



0
x ≤ 0.
1<y<5
altrove
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2011-2012
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 13 giugno 2012
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Due eventi equiprobabili A e B sono tali che Ac ∧ B c = ∅. Calcolare la previsione di X =
|A| − |B|
.
|A| + |A ∧ B| + |B|
idv
IP (X) = 0
1
2. Un numero aleatorio X ha densità f (x) = q
per −∞ < x < +∞. Determinare il valore medio e la
x−5 2
18πe( 3 )
varianza di X.nmt
IP (X) = 5
var(X) = 9
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità
−2x−3y
6e
x > 0, y > 0
f (x, y) =
0
altrove.
Determinare la funzione di ripartizione di X.vtt
F1 (x) =
1 − e−2x x > 0
0
x≤0
4. Un dado rosso e uno blu vengono lanciati sul tavolo. Dopo aver scartato il dado che mostra il numero più piccolo,
viene lanciato un dado verde, e in seguito viene scartato quello con il numero più grande (in entrambi i casi a parità di
numero mostrato viene scartato, se presente, quello rosso). Calcolare la probabilità α che sul tavolo rimanga il dado
rosso, e determinare in tal caso codominio e distribuzione del numero mostrato.dda
5
α=
54
C = {2, 3, 4, 5}
p=
1 3 3 1
, , ,
5 10 10 5
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2011-2012
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 13 giugno 2012
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Due eventi A e B equiprobabili (P (A) = P (B) = 1/2) sono tali che Ac ∧ B c = ∅. Calcolare la previsione di
|A| + |B|
Y =
. idw
|A| − |A ∧ B| + |B|
IP (Y ) = 1
8
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione P (X = k) = 2k per k = 1, 2, . . .. Determinare il valore medio e la
3
5
probabilità P X >
.ghm
2
IP (X) =
9
8
P
X>
5
2
=
1
81
3. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente densità
20e−4x−5y x > 0, y > 0
f (x, y) =
0
altrove.
Determinare la funzione di ripartizione di Y .wtt
F2 (y) =
1 − e−5y y > 0
0
y≤0
4. Un dado giallo e uno viola vengono lanciati sul tavolo. Dopo aver scartato il dado che mostra il numero più grande,
viene lanciato un dado bianco, e in seguito viene scartato quello con il numero più piccolo (in entrambi i casi a parità
di numero mostrato viene scartato, se presente, quello giallo). Calcolare la probabilità α che sul tavolo rimanga il
dado giallo, e determinare in tal caso codominio e distribuzione del numero mostrato.ddb
5
α=
54
C = {2, 3, 4, 5}
p=
1 3 3 1
, , ,
5 10 10 5
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2011-2012
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina)
Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 13 giugno 2012
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito C
1. Siano E ed H due eventi tali che P (E) = 3/4 e P (E ∧ H) = 5/8. Determinare i valori di probabilità coerenti p per
P (H) e individuare tra essi eventuali valori (p∗ ) che rendano E ed H stocasticamente indipendenti.dve
5 7
p∈
,
8 8
p∗ =
5
6
2. Da un mazzo di carte italiane vengono estratte tre carte in blocco. Sapendo che una di esse è di bastoni, calcolare la
probabilità α che ci sia esattamente un asso. ctt
α=
36
145
3. Un numero aleatorio continuo X ha la seguente densità

0≤x≤1
 x
2−x 1<x≤2
f (x) =

0
altrove.
Determinare la funzione di ripartizione.zrt

0
x<0



2

x


0≤x≤1
2
F (x) =
2
x



−1 1<x≤2
2x −


2

1
x>2
4. Un vettore aleatorio discreto (X, Y ) ha la distribuzione mostrata in tabella. Ricavare la retta di regressione di Y su
X. dwa
X
0
1
Y
0
2
35
1
7
1
8
35
4
7
rY X :
y=
4
5
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2011-2012
Esame - 24 luglio 2012
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Data la parola VITERBO, quante parole (N1 ) è possibile formare ? Quante parole (N2 ) è possibile formare sapendo
che le vocali possono occupare solo le posizioni di indice pari ?pxa
N1 = 5040
N2 = 144
2. Un numero aleatorio X avente distribuzione normale è tale che P (X > 3) = Φ(2), e P (X < 9) = Φ(1). Determinare il valore medio e la varianza di X. dxa
m=7
var(X) = 4
3. Siano X e Y due numeri aleatori tali che Y = aX + bX 2 . Determinare per quali valori di a e b il coefficiente di
correlazione ρ vale 1. kra
a>0
b=0
4. Per raffigurare ognuna delle dieci cifre, un display utilizza sette led (indipendenti tra loro) come mostrato in figura 1.
figura 1
¬
­ ¯®
° ±
²
⇒
Ogni led può rivelarsi difettoso (ossia risultare acceso invece che spento, oppure spento invece che acceso) con
probabilità q (0 < q < 1) e funzionare correttamente con probabilità p = 1 − q. Sapendo che il display mostra
il carattere di figura 2 (ovviamente errato perché non rappresenta nesuna cifra), e che tutte le cifre hanno la stessa
probabilità di essere rappresentate, calcolare la probabilità α che la cifra che doveva essere mostrata fosse il 3.dya
figura 2
α=
p2
p+2
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2011-2012
Esame - 24 luglio 2012
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Data la parola PERUGIA, quante parole (N1 ) è possibile formare ? Quante parole (N2 ) è possibile formare sapendo
che le vocali possono occupare solo le posizioni di indice dispari ?pxb
N1 = 5040
N2 = 144
3
2. Un numero aleatorio X avente distribuzione esponenziale è tale che IP e−2X = . Determinare la varianza di X.
5
dxb
var(X) =
1
9
√
3. Siano X e Y due numeri aleatori tali che Y = aX + b X. Determinare per quali valori di a e b il coefficiente di
correlazione ρ vale 1. krb
a>0
b=0
4. Per raffigurare ognuna delle dieci cifre, un display utilizza sette led (indipendenti tra loro) come mostrato in figura 1.
figura 1
¬
­ ¯®
° ±
²
⇒
Ogni led può rivelarsi difettoso (ossia risultare acceso invece che spento, oppure spento invece che acceso) con
probabilità q (0 < q < 1) e funzionare correttamente con probabilità p = 1 − q. Sapendo che il display mostra
il carattere di figura 2 (ovviamente errato perché non rappresenta nesuna cifra), e che tutte le cifre hanno la stessa
probabilità di essere rappresentate, calcolare la probabilità α che la cifra che doveva essere mostrata fosse il 5.dyb
figura 2
α=
pq 2
p2 + 1
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2011-2012
Esame - 24 luglio 2012
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito C
1. Data la parola PALERMO, quante parole (N1 ) è possibile formare ? Quante parole (N2 ) è possibile formare sapendo
che le vocali possono occupare solo le posizioni di indice pari ?pxc
N1 = 5040
N2 = 144
2. Un numero aleatorio X avente distribuzione binomiale ha il valore medio pari a 2 e la varianza pari a 1. Calcolare la
probabilità P (X = 3) dxc
P (X = 3) =
1
4
3. Siano X e Y due numeri aleatori tali che Y = aX + b ln X. Determinare per quali valori di a e b il coefficiente di
correlazione ρ vale −1. krc
a<0
b=0
4. Per raffigurare ognuna delle dieci cifre, un display utilizza sette led (indipendenti tra loro) come mostrato in figura 1.
figura 1
¬
­ ¯®
° ±
²
⇒
Ogni led può rivelarsi difettoso (ossia risultare acceso invece che spento, oppure spento invece che acceso) con
probabilità q (0 < q < 1) e funzionare correttamente con probabilità p = 1 − q. Sapendo che il display mostra
il carattere di figura 2 (ovviamente errato perché non rappresenta nesuna cifra), e che tutte le cifre hanno la stessa
probabilità di essere rappresentate, calcolare la probabilità α che la cifra che doveva essere mostrata fosse il 7.dyc
figura 2
α=
p2
3p + 1
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2011-2012
Esame - 24 luglio 2012
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
Ingegneria dell’Informazione (polo di Latina) - “CALCOLO delle PROBABILITÀ”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito D
1. Data la parola POMEZIA, quante parole (N1 ) è possibile formare ? Quante parole (N2 ) è possibile formare sapendo
che le vocali possono occupare solo le posizioni di indice dispari ?pxd
N1 = 5040
N2 = 144
8
2. Un numero aleatorio X avente distribuzione geometrica è tale che P (X 2 > 10) =
; determinare il suo valore
27
medio. dxd
IP (X) = 3
3. Siano X e Y due numeri aleatori tali che Y = aX + beX . Determinare per quali valori di a e b il coefficiente di
correlazione ρ vale −1. krd
a<0
b=0
4. Per raffigurare ognuna delle dieci cifre, un display utilizza sette led (indipendenti tra loro) come mostrato in figura 1.
figura 1
¬
­ ¯®
° ±
²
⇒
Ogni led può rivelarsi difettoso (ossia risultare acceso invece che spento, oppure spento invece che acceso) con
probabilità q (0 < q < 1) e funzionare correttamente con probabilità p = 1 − q. Sapendo che il display mostra
il carattere di figura 2 (ovviamente errato perché non rappresenta nesuna cifra), e che tutte le cifre hanno la stessa
probabilità di essere rappresentate, calcolare la probabilità α che la cifra che doveva essere mostrata fosse il 9.dyd
figura 2
α=
p3 q
3q(1 + p2 ) + 2p2
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2011 - 2012
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 10 settembre 2012
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Nel canale di trasmissione mostrato in figura, la probabilità di trasmettere 0 è pari ad α (0 < α < 1), mentre quella
di trasmettere 1 è pari a β = 1 − α. Sapendo che in ricezione è stato ricevuto il simbolo 1 , quale è la probabilità
γ che esso sia stato effettivamente trasmesso ?
0
0
-
p
- q
0<p<1
1
γ=
- q
p
-
pβ
qα + pβ
1
2. Dati i quattro eventi equiprobabili (p) ed indipendenti A, B, C e D, determinare il valore medio di
X = |(A ∨ B) ∧ (C ∨ D)|.
IP (X) = [p(2 − p)]2 = 1 − q 2
2
(q = 1 − p)
3. Un vettore aleatorio ha la seguente densità di probabilità
24xy (x, y) ∈ T
f (x, y) =
0
altrove.
dove T è il triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 1). Determinare la densità marginale f1 (x) di X.
f1 (x) =
12x(1 − x)2 0 ≤ x ≤ 1
0
altrove
4. Alce Nero va a caccia contando di utilizzare le 10 frecce che ha nella faretra fino alla cattura della prima preda.
Sapendo che ad ogni tiro ha probabilità p di fare centro (e quindi q = 1 − p di sbagliare, con 0 < p < 1) e che ha
catturato una preda, determinare il numero medio (m) di frecce utilizzate.xrt
m=
10q 11 − 11q 10 + 1
(1 − q 10 )(1 − q)
(q = 1 − p)
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2011 - 2012
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica)
Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 10 settembre 2012
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Nel dispositivo di figura ogni componente ha probabilità p (0 < p < 1) di funzionare. Sapendo che i componenti
sono indipendenti tra loro e che il dispositivo è guasto, calcolare la probabilità β che il componente C sia in funzione.
A
B
β=0
C
2. Dati i quattro eventi equiprobabili (p) ed indipendenti E, F , G e H, determinare il valore medio di
Y = |(E ∧ F ) ∨ (G ∧ H)|.
IP (Y ) = p2 (2 − p2 )
3. Un numero aleatorio X ha densità
f (x) =
|x| − 2 2 ≤ |x| ≤ 3
0
altrove.
Determinare la funzione di ripartizione di X.


0




x2 + 4x + 3


−


2

1
F (x) =

22



x − 4x + 5




2

 1
x < −3
−3 ≤ x ≤ −2
−2 < x < 2
2≤x≤3
x>3
4. La durata di una lampadina ha distribuzione esponenziale con valore medio pari a 2 (espresso in ore). Sapendo che
all’istante 4 era spenta, calcolare la probabilità α che fosse spenta già all’istante 2 e determinare mediamente per
quanto tempo (m) ha funzionato.
α=
e
e+1
m=
2(e2 − 3)
e2 − 1
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2011-2012
Esame - 17 novembre 2012
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Dei tre valori a, b e c è noto che la media aritmetica x è pari a 7 e la moda (unica) x∗ è pari a 4. Scrivere i tre valori
a, b e c in ordine non decrescente.
a=4
b=4
c = 13
2. In una scuola pubblica durante i mesi invernali viene attivato l’impianto di riscaldamento. La probabilità che i termosifoni vengano accesi quando la temperatura esterna è minore di 15 gradi è pari al 30%, mentre quando è maggiore o
uguale a 15 gradi è pari all’ 80% ; è noto inoltre che la probabilità che la temperatura esterna sia minore di 15 gradi è
pari al 40%. Sapendo che i termosifoni sono accesi determinare la probabilità che la temperatura esterna sia minore
di 15 gradi.
p=
1
5
3. Un sistema di comunicazione è organizzato in 6 livelli, ognuno dei quali riceve in ingresso un simbolo binario (0 e 1)
3
dal livello precedente e lo trasmette al livello successivo. La probabilità di errore da un livello all’altro è pari a p = .
4
Sapendo che all’ingresso del sistema è stato trasmesso 1, calcolare la probabilità α che all’uscita venga ricevuto il
simbolo 1.
α=
65
128
4. Ad un parlamento regionale bisogna decidere se destinare 50 milioni di euro al ripristino di letti nei vari ospedali della
regione o al vitalizio di assessori non eletti. Sapendo che dei 70 parlamentari 35 hanno almeno un parente all’ospedale
(per cui votano a favore del ripristino di letti con probabilità α = 70%), e gli altri 35 sono amici degli assessori (per
cui votano a favore del vitalizio con probabilità β = 90%) calcolare la probabilità p che i 50 milioni di euro siano
destinati al vitalizio.
N.B. Si applichi il teorema centrale, si supponga che per vincere bisogna totalizzare più di 35 voti e che non ci sia
nessun astenuto. prg
r
p=Φ
14
3
!
' Φ(2.16) ' 0.98461
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2011-2012
Esame - 17 novembre 2012
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Dei tre valori a, b e c è noto che la media aritmetica x è pari a 9 e la moda (unica) x∗ è pari a 5. Scrivere i tre valori
a, b e c in ordine non decrescente.kry
a=5
b=5
c = 17
2. Siano dati due eventi indipendenti ed equiprobabili A e B (P (A) = P (B) = p),
determinare la varianza di X = ||A| − |B||.mdx
var(X) = 2pq(p2 + q 2 )
con q = 1 − p
3. Da un’urna contenente 18 palline di cui 10 bianche ne vengono estratte in blocco 12. Detto X il numero di palline
bianche ottenuto determinare il valore minimo (min) e massimo (max) di X, e la sua varianza.bnp
min = 4
max = 10
var(X) =
160
153
4. In un paese per essere eletti al parlamento bisogna aver maturato almeno 2 anni di carcere effettivo. Sapendo che in
quel paese ogni cittadino ha maturato un numero aleatorio di anni avente distribuzione esponenziale con valore medio
pari a 1, calcolare la probabilità α che in una seduta parlamentare (a cui partecipano 625 deputati), il numero medio
di anni di carcere maturati sia maggiore di 3 anni e un mese. N.B. Si applichi il teorema centrale.
α=1−Φ
25
12
' 0.0186
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Facoltà di Ingegneria - a.a. 2011-2012
Esame - 28 gennaio 2013
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito A
1. Siano dati due eventi A e B tali che Ac ⊂ B ; calcolare la probabilità P (A ∨ B).
P (A ∨ B) = 1
2. Per finanziare una banca il governo decide di operare un taglio complessivo di sette miliardi di euro alla scuola e alla
sanità. Per decidere in quale misura i due enti devono contribuire il presidente del consiglio lancia un dado, il numero
che esce equivale al taglio (in miliardi di euro) che dovrà subire la scuola (X), la rimanente parte verrà tagliata alla
sanità (Y ). Si determini la covarianza di X e Y .
cov(X, Y ) = −
35
12
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione esponenziale con valore medio pari a 1 ; determinare la previsione di X 3 .
IP (X 3 ) = 6
4. Determinare il numero (N ) di anagrammi della parola TARTARUGA sapendo che le vocali occupano solo posizioni
di indice dispari, e che due lettere uguali non possono stare vicino.
N = 408
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2011-2012
Esame - 28 gennaio 2013
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
Compito B
1. Siano dati due eventi E ed H tali che E c ∨ H = Ω con E 6= ∅ ; calcolare la probabilità P (H|E).
P (H|E) = 1
2. Per finanziare la costruzione di aerei militari il governo decide di operare un taglio complessivo di undici miliardi di
euro alla scuola e alla sanità. Per decidere in quale misura i due enti devono contribuire il presidente del consiglio
estrae a caso una carta da un mazzo di carte italiane, il numero che esce equivale al taglio (in miliardi di euro) che
dovrà subire la scuola (X), la rimanente parte verrà tagliata alla sanità (Y ). Si determini la covarianza di X e Y .
cov(X, Y ) = −
33
4
3. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale standard ; determinare la previsione di X 3 .
IP (X 3 ) = 0
4. Nella sala d’attesa di uno studio medico ci sono dieci sedie poste su una stessa parete. Quattro pazienti entrano
contemporaneamente nella sala (inizialmente vuota) ed occupano quattro sedie a caso. Determinare il numero medio
(M ) di sedie vuote comprese tra il paziente più a sinistra e quello più a destra.
M=
18
= 3.6
5
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2011-2012
Esame - 15 febbraio 2013
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Determinare media x, moda x∗ e mediana m della seguente sequenza di valori : 5 5 4 7 8 9 1 2 4 5 .
x∗ = 5
x=5
m=5
2. Un candidato alle prossime elezioni vorrebbe ricevere la sponsorizzazione dell’associazione LIBERA in cui bisogna
pubblicare in maniera trasparente la propria figura. Per accedervi deve sottostare alle seguenti cinque condizioni
(eventi) :
A =“promettere di continuare il rafforzamento della legge anticorruzione”,
B =“pubblicare il proprio Curriculum Vitae”,
C =“dichiarare la propria situazione giudiziaria ”,
D =“pubblicare la propria condizione patrimoniale e reddituale”,
E =“dichiarare potenziali conflitti di interesse personali e mediati”.
1
Sapendo che tali eventi sono stocasticamente indipendenti e che ognuno di essi ha probabilità pari a , calcolare la
2
probabilità α che il candidato riesca a ricevere la sponsorizzazone.
α=
1
32
3. Per realizzare un numero Z (aleatorio) a due cifre si lanciano due dadi ; il primo (rosso) va a determinare la cifra delle
decine, il secondo (blu) quella delle unità. Determinare previsione e varianza di Z.
IP (Z) =
77
2
var(Z) =
3535
12
4. Un numero aleatorio X (espresso in radianti) ha distribuzione esponenziale con parametro λ = 1. Determinare la
funzione di ripartizione di Y = sin X.

0




eα−π − e−α−2π


1 − e−2π
G(y) =
e−α − eα−π


1
−



1 − e−2π

0
α = arcsin y
y < −1
−1 ≤ y < 0
0≤y≤1
y>1
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2011-2012
Esame - 8 aprile 2013
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
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1. Per demolire il sistema scolastico il governo vuole sottoporre all’approvazione del parlamento il seguente pacchetto
di provvedimenti (eventi) :
A =“aumentare a trentacinque il numero di studenti per classe”,
B =“diminuire da cinque a quattro anni la durata delle scuole superiori”,
C =“aumentare da diciotto a ventiquattro ore settimanali le lezioni frontali dei docenti”,
D =“diminuire ad un mese la durata delle vacanze estive”,
E =“diminuire a venticinque il numero di ore settimanali”.
2
Sapendo che ognuno dei provvedimenti ha probabilità pari a
di essere approvato, e che ognuno di essi viene
3
approvato indipendentemente dagli altri, calcolare la probabilità α che il pacchetto di provvedimenti venga approvato
in blocco.dmsS
α=
32
243
2. In un vettore aleatorio (X, Y ) si ha σX = 2, σY = 8, e ρ = 1. Determinare una possibile relazione di dipendenza di
Y da X.rzlS
Y = 4X + b b ∈ IR
3. Un’urna contiene sei palline, ognuna delle quali riporta la lettera iniziale di sei amici. Ognuno deve estrarre a caso
(con restituzione) una pallina alla volta fino a quando trova la pallina con la propria lettera (che una volta trovata non
viene più rimessa nell’urna). Determinare il numero medio (M ) di estrazioni effettuate globalmente dai sei amici.psw
A
B C D
E
F
M = 21
4. In una popolazione adulta maschile la statura (X, espresso in centimetri) segue la distribuzione normale. Noto che
la statura di un individuo scelto a caso si discosta dal valore medio al massimo di 9 centimetri con probabilità 50%,
determinare lo scarto quadratico medio di X. (Si ricordi che Φ(0.675) ' 0.75).axdS
σ=
40
= 13.3
3
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2012 - 2013
Esame - 6 giugno 2013
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
matricola
cognome
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1. Nel circuito di figura la probabilità che l’interruttore A sia chiuso è doppia della probabilità di essere aperto ; inoltre
è noto che quando l’interruttore B è aperto, anche l’interruttore C è aperto. Assumendo A e C stocasticamente
indipendenti (avendosi A =“l’interruttore A è chiuso”, C =“l’interruttore C è chiuso”), calcolare la probabilità α che
l’interruttore A sia chiuso, supposto che tra il punto 1 e il punto 2 ci sia passaggio di corrente,.
(N.B. Si assuma positiva la probabilità che tra 1 e 2 ci sia passaggio di corrente.)
A
¬
C
α=
­
2
3
B
2. Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma G4,3 (x). Calcolare la previsione di Y =
2e2X
.hgm
27X 3
IP(Y ) = 1
3. Siano X e Y due numeri aleatori, con Y = arcsin(kX). Determinare l’insieme S dei valori (se esistono) di k per i
quali il coefficiente di correlazione ρ vale 1. hrs
S=∅
4. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sul parallelogramma individuato dalle rette y = 0, y = 1,
y = x, y = x − 2. Calcolare la densità marginale fX di X e la funzione di ripartizione FY di Y . Determinare la
probabilità condizionata P (X < 2Y |X < 1).
fX (x) =











1
2 x,
1
2,
1
2 (3
0,
0≤x≤1
1<x≤2
− x), 2 < x ≤ 3
altrove

 0, y < 0
y, 0 ≤ y < 1
FY (y) =

1, y ≥ 1
P (X < 2Y |X < 1) =
1
2
Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria - a.a. 2012 - 2013
Esame - 11 luglio 2013
Ingegneria Meccanica (Triennale-Specialistica) - “PROBABILITÀ e STATISTICA”
matricola
cognome
Scrivere le risposte negli appositi spazi
nome
Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
1. Due eventi A e B creano tre costituenti equiprobabili : C1 = A ∧ B, C2 = Ac ∧ B, C3 = A ∧ B c . Determinare
|A ∧ B|
previsione e varianza di X =
. dvc
|A ∨ B|
1
2
var(X) =
3
9
2. Un tratto di spiaggia è delimitato da due scogliere, su di esso ci sono quattro tratti di arenile, due liberi e due occupati
da due stabilimenti balneari, “Il Pirata” e “Lo Squalo” (si veda figura).
≈≈≈≈≈≈≈≈
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Il Pirata
Lo Squalo
arenile libero
≈≈≈≈≈≈≈≈
arenile libero
YYYYYYYY
YYYYYYYY
IP (X) =
Ogni anno Il Pirata chiede una concessione permanente (oltre a quella già posseduta) per poter usufruire del tratto di
arenile libero posto alla sua sinistra. Allo stesso modo ogni anno Lo Squalo chiede una concessione permanente per
poter usufruire del tratto di arenile libero posto alla sua destra.
6
È noto che il Comune accontenta Il Pirata con probabilità pX = ogni sua richiesta, e Lo Squalo con probabilità
7
9
pY = . Calcolare la probabilità α che Il Pirata riesca prima dello Squalo ad accaparrarsi il rispettivo arenile libero
11
confinante, e la probabilità β che tra tre anni sul quel tratto di spiaggia non ci sia più arenile libero.slh
α=
4
25
β=
9234
9317
3. Un vettore aleatorio ha la seguente distribuzione
-1
1
-1
1
6
1
3
1
1
2
0
X
Y
Calcolare cov(X, Y ) e stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti (cerchiare la risposta giusta) .vhy
2
X e Y sono indipendenti ? SÌ
NO
3
4. Il sindaco di una grande città deve organizzare un costosissimo pranzo di ricevimento. Per trovare i fondi decide di
mettere una tassa del 10% sull’elemosina raccolta dai mendicanti di tutta la città.
Sapendo che ogni mendicante in un giorno riesce ad accumulare una quantità aleatoria di euro con valore medio
pari a 10, e varianza pari a 2.5, e che in tutta la città ci sono 1000 mendicanti, calcolare (mediante un’opportuna
approssimazione) la probabilità che il sindaco riesca ad incassare in un giorno almeno 1010 euro. exm
cov(X, Y ) = −
α = 1 − Φ(2)