Reti di TLC
Esercitazione 4
Ing. Mauro Femminella
[email protected]
http://conan.diei.unipg.it/Corso Reti/
University of Perugia
Esempio numerico 1 (1/3)
» Traffico offerto ad una linea telefonica A0=100 Erl
» Tale traffico viene offerto ad un unico fascio di circuiti in modo tale
che la probabilità di rifiuto rimanga sotto l’1%
E1,m ( A0 ) ≤ 0.01
m=117
» Si supponga ora di ripartire tale traffico uniformemente su n fasci
con n=2, 4, 10 ,25, 50, 100
» Si può notare come all’aumentare di n aumenta il numero di fasci
necessari e diminuisce il ρ di ogni singolo fascio
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n
1
2
4
10
25
50
100
Aoi=(Ao/n) mi m=mi*n
100
117
117
50
64
128
25
36
144
10
18
180
4
10
250
2
7
350
1
5
500
Πp
0.0098
0.0084
0.0080
0.0071
0.0053
0.0034
0.0031
ρ
0.8463
0.7747
0.6889
0.5516
0.3979
0.2847
0.1994
B di Erlang: dimensionamento del sistema (2/3)
· Dimensionamento del sistema: stimato il traffico
offerto A0 e fissato il valore massimo per la
probabilità di congestione di chiamata Πmax,
determinare m:
» trovare il più piccolo valore di m tale per cui
E 1 ,m ( Ao ) ≤ Π max
» tale valore può essere facilmente determinato per
tentativi a partire da m=1
» il valore effettivo della congestione di chiamata potrà
risultare inferiore a Πmax
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B di Erlang: valutazione delle prestazioni (3/3)
· Valutazione delle prestazioni: dato il numero dei
serventi ed il traffico offerto, determinare la
probabilità di di congestione di chiamata:
» Va notato che solitamente è noto il traffico smaltito As* e il
numero di serventi m da cui si può stimare A0 attraverso
la relazione seguente
Ao [1 − E 1 ,m ( Ao )] = A*s
» Una volta calcolato A0 si calcola la probabilità di
congestione di chiamata
Π p = E 1 ,m ( Ao )
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Esempio numerico 2 (1/4)
» Si consideri un centralino telefonico automatico (PABX) di una
grande azienda. Il centralino è collegato alla rete telefonica nazionale
(RTN) tramite un certo numero di linee bidirezionali.
» Si consideri inoltre che:
» nell’ora di punta gli utenti attestati al centralino formulano mediamente 140 chiamate dirette
verso la RTN;
» nell’ora di punta il numero di chiamate provenienti dalla RTN e dirette verso gli utenti del PABX
è mediamente 180;
» il flusso delle chiamate sia entranti che uscenti è Poissoniano;
» la distribuzione di probabilità delle durate delle conversazioni è di tipo esponenziale negativo con
valor medio pari a 3 minuti;
» la modularità delle linee è pari a 4, ovvero si possono inserire linee solo a gruppi di 4;
» il PABX è del tipo a perdita pura.
» Si determini il numero di linee necessario a garantire un servizio con
congestione di chiamata non superiore all’1%.
» Calcolare inoltre la frequenza massima delle chiamate consentita
nell’ora di punta.
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Esempio numerico 2 (2/4)
· Il PABX può essere modellato con un sistema a coda
·
del tipo M/M/m in cui m è il numero di linee tra
PABX e RTN
Si calcola il traffico globale offerto. Questo è pari
alla somma del traffico uscente
140
Au =
3 = 7 Erl
60
· e del traffico entrante
180
Ae =
3 = 9 Erl
60
· quindi
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Ao = Au + Ae = 16 Erl
Esempio numerico 2 (3/4)
· Per calcolare il numero di linee necessario a
garantire una probabilità di congestione di
chiamata minore dello 0.01 va calcolato il più
piccolo m tale per cui
E1,m ( Ao ) ≤ 0.01
· Si ottiene in tal caso m=25
· A causa del vincolo sulla modularità il numero di
·
linee da inserire sarà pari quindi a m=28
Dato tale numero di linee la congestione di chiamata
sarà notevolmente inferiore a quella richiesta infatti
Π
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p ,effettivo
= E 1 ,28 (16 ) = 0 .0019
Esempio numerico 2 (4/4)
· Per determinare la frequenza massima delle
chiamate consentita nell’ora di punta si calcola
prima il valore di A0,max tale per cui
E1,28 ( Ao max ) ≤ 0.01
· da cui si ricava A0,max = 18.64
· per cui
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60
λ max = Ao max
≅ 373 chiamate / ora
3
Esempio numerico 3 (1/2)
· Si consideri il
PABX dell’esempio 1 dimensionato
con 28 linee bidirezionali che lo connettono alla Rete
Telefonica Nazionale.
· A distanza di tempo dalla sua installazione si vuole
valutare la qualità di servizio offerta sapendo che a
seguito di una campagna di misure si è riscontrato,
nell’ora di punta, un valore di intensità media di
traffico smaltito pari a circa 20.42 Erl.
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Esempio numerico 3 (2/2)
· Dato il traffico smaltito misurato si può ricavare il traffico
offerto al sistema risolvendo l’equazione
» da cui si ha
Ao (1 − E 1 ,28 ( Ao )) = 20 .42
Ao = 21 Erl
· Per quanto riguarda il valore di congestione di chiamata, si ha
E 1 ,28 (21 ) = 0 .0277
· Il PABX non è più in grado di rispettare il vincolo sul grado
di servizio. Le prestazioni sono variate, ad esempio, per un
leggero incremento dell’utenza. Bisognerà quindi
ridimensionare il numero di linee per riportare la probabilità
di rifiuto sotto la soglia dello 0.01 (m=32)
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Esercizio 1 (1/2)
» Un ufficio e’ connesso alla rete telefonica pubblica
mediante un fascio di 100 giunzioni telefoniche
bidirezionali. Tale fascio di giunzioni e' utilizzato
mediamente al 60% e con probabilità di congestione
trascurabile. Per l’instaurazione di una chiamata
telefonica e’ richiesto il trasferimento di 6 pacchetti di
segnalazione equamente suddivisi sui due sensi
trasmissivi. Tali pacchetti sono trasferiti attraverso la rete
a pacchetto di segnalazione a canale comune di tipo
associato. Al fascio di giunzioni e’ associato quindi un
unico canale, di capacità di 1 kbit/s, dedicato al
trasferimento della segnalazione relativa alle 100
giunzioni. La segnalazione e’ gestita ad attesa pura.
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Esercizio 1 (2/2)
» Sia assuma che:
»
»
»
»
il traffico nei due versi sia bilanciato;
le chiamate telefoniche abbiano una durata media di 120 s.
ogni pacchetto di segnalazione abbia una lunghezza media di 200 bit;
i pacchetti abbiano tempi di inter-arrivo e lunghezze a distribuzione
esponenziale.
» Si chiede di:
» determinare la frequenza media dei pacchetti di segnalazione per
ognuno dei due versi;
» individuare un modello markoviano per la caratterizzazione dei ritardi
subiti dai pacchetti di segnalazione e determinare il valore medio del
ritardo di trasferimento della segnalazione relativa a una chiamata.
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Esercizio 2 (1/3)
· Un Internet Service Provider (ISP) dispone un
insieme di m indirizzi IP da assegnare ai propri
clienti per permettere loro di connettersi ad
Internet. L’ISP assegna un indirizzo ad un cliente
per tutta la durata della sua connessione ad Internet
e, una volta che il cliente si disconnette, l’indirizzo
gli viene tolto e può essere assegnato ad un altro
cliente che desidera connettersi.
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Esercizio 2 (2/3)
· Si assuma che:
» le richieste di connessione da parte dei clienti arrivino in accordo ad una
distribuzione di Poisson e siano trattate a perdita in senso stretto;
» le durate delle connessioni ad Internet siano distribuite con legge
esponenziale negativa;
» l’intensità media di traffico offerto dai clienti sia uguale a 30 Erl;
» l’ISP paghi 10 euro per ogni indirizzo IP a sua disposizione;
» l’ISP faccia pagare ai clienti 25 euro per ogni Erlang di traffico smaltito.
· Si chiede di:
» individuare il numero di indirizzi m che l’ISP deve avere a disposizione
per garantire una probabilità di rifiuto delle richieste di connessione
inferiore al 60%;
» calcolare il guadagno dell’ISP nelle condizioni del punto 1.
» calcolare la variazione di guadagno dell'ISP se, a parità di indirizzi m,
raddoppia l’intensità media di traffico offerto.
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Esercizio 2 (3/3)
1.00
0.983607
0.9677420.967222
0.950847
0.935551
0.934481
0.918125
0.903433
0.90178
0.95
0.90
0.885446
0.869124
0.852815
0.871395
Probabilità di Rifiuto
0.85
0.839444
0.836518
0.820235
0.803967
0.787714
0.771476
0.755256
0.80759
0.80
0.77584
Ao = 30 Erl
0.75
0.744206
Ao = 60 Erl
0.7127
0.70
0.681336
0.65
0.650128
0.619094
0.60
0.588253
0.557628
0.55
0.527244
0.50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Numero di Serventi
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10
11
12
13
14
15
16
17
Esercizio 3 (1/3)
·
·
Una LAN di un ufficio privato è collegata alla rete Internet
pubblica attraverso un fascio di giunzioni telefoniche. I
calcolatori effettuano, nell’ora di punta, un numero medio di
connessioni ad Internet uguale a 120. Ogni connessione ad
Internet impegna una giunzione telefonica per un tempo
medio uguale a 5 min.
Si assuma che, nel momento dell’installazione, siano state
previste un numero m di giunzioni telefoniche tali per cui
nelle condizioni di traffico descritte fosse garantita una
probabilità di blocco Πp < 0.5. A distanza di un anno
dall’installazione si osserva che, a causa di un aumento del
numero medio di richieste di connessioni nell'ora di punta, la
probabilità di blocco risulta Πp = 0.72.
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Esercizio 3 (2/3)
· Si chiede di:
» indicare le ipotesi necessarie affinché si possa calcolare la
probabilità di blocco Πp attraverso l’impiego della
formula B di Erlang;
» calcolare il numero minimo m di giunzioni inizialmente
installato per garantire una Πp < 0.5;
» indicare come si è modificato il numero medio di
connessioni nell'ora di punta ad un anno di distanza
dall’installazione e il numero minimo m di giunzioni da
aggiungere affinché si ripristini una Πp < 0.5.
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Esercizio 3 (3/3)
Andamento della funzione
B di Erlang ( E1,m(A0))
1
Ao =10
0.9
Ao =15
Ao =20
Probabilità di blocco
0.8
Ao =25
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Numero di serventi m
13
14
15
16
17
18
19
20
Esercizio 4
· Tracciare il diagramma di frequenza di transizione
·
di stato per un sistema di servizio biservente con
ingresso Poissoniano di parametro λ, con servizio
esponenziale negativo µ e con fila di attesa di
lunghezza unitaria.
Determinare l’espressione della probabilità di
rifiuto.
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