ita - Dipartimento di Matematica

CV di Alessandra Bernardi
Curriculum dell’attività scientifica e
didattica
di Alessandra Bernardi
La sottoscritta Alessandra Bernardi, codice fiscale BRNLSN77H67A558S, nata a Porretta Terme (Bologna) il 27 Giugno 1977, residente a Trento (TN), in via della Spalliera 7, 38121, Telefono 329–7233042,
consapevole delle sanzioni penali, nel caso di dichiarazioni non veritiere e falsità negli atti, dichiara di
possedere tutti i titoli riportati in questo Curriculum e che tutto quanto dichiarato nel Curriculum sottoscritto corrisponde a verità ai sensi delle norme in materia di dichiarazioni sostitutive agli artt. 46, 47
del D.P.R. n. 445 del 28/12/2000.
Bologna, 30 ottobre 2015
1
Dati essenziali
• Nata a Porretta Terme (BO) il 27 Giugno 1977;
• Nazionalità Italiana;
• Posizione attuale, Dicembre 2013 – Dicembre 2016: Ricercatore a t.d. tipo B (art. 24
comma 3-b L. 240/10);
• Ente di apparteneza: Università di Bologna, Dipartimento di Matematica;
– Indirizzo Ufficio:
Alessandra Bernardi
Università di Bologna
Dipartimento di Matematica
Piazza di Porta San Donato 5
I-40126 Bologna
Italy
– Telefono: 0039 051 209 4459
– e.mail: [email protected]
– Web Page: http://www.dm.unibo.it/∼abernardi/
Bologna, 30 ottobre 2015
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Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
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DATI ESSENZIALI
• Abilitazioni:
– Qualification a Maı̂tre de Conference nella sezione 25 (Matematica pura) presso le università
francesi ottenuta in Febbraio 2012.
– Qualification a Preofesseur nella sezione 25 (Matematica pura) presso le università francesi
ottenuta in Febbraio 2012.
– Abilitazione a Professore Associato in Matematica presso le università Italiane ottenuta in
Dicembre 2013 (valida fino al 30/12/2019).
– Abilitazione a Professore Associato in Matematica presso le università Italiane ottenuta in
Dicembre 2014 (valida fino al 30/12/2020).
• Incarichi:
– Segretario aggiunto UMI (Unione Matematica Italiana).
• Periodi di congedo:
– [13 Gennaio–12 Luglio 2014] per maternità.
• Ospite presso:
– Dipartimento di Matematica dell’Università degli Studi di Trento.
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Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
INDICE
Indice
1 Dati essenziali
1
2 Formazione
5
3 Stato di servizio
5
4 Interessi di ricerca
4.1 Riassunto del progetto scientifico di ricerca Marie Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Attuali interessi di ricerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Collaborazioni attive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
7
9
5 Attività di ricerca all’estero
10
6 Presentazioni a Convegni e Seminari
6.1 Presentazioni a Congressi e Convegni italiani e stranieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Seminari Ufficiali tenuti presso Università italiane o straniere . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Altri seminari tenuti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
14
15
7 Partecipazione a Convegni e Scuole
16
8 Organizzazione di Scuole e Convegni
19
9 Progetti di Ricerca
9.1 Progetti di ricerca scritti
9.1.1 Internazionali . .
9.1.2 Italiani . . . . .
9.2 Progetti di ricerca scritti
9.3 Altri progetti di ricerca
e vinti . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
che hanno passato le
. . . . . . . . . . . .
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. . . . . .
prime fasi
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
di valutazione con esito positivo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Premi e riconoscimenti Nazionali ed Internazionali
19
19
19
20
20
20
22
11 Attività didattica
11.1 Attività didattica all’estero (per studenti di dottorato e oltre)
11.2 Attività didattica in Italia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Corsi tenuti in qualità di Titolare . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Corsi di esercitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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23
23
12 Pubblicazioni e Preprints
12.1 Valutazioni ANVUR . .
12.2 Libri . . . . . . . . . . .
12.3 Tesi di Dottorato . . . .
12.4 Pubblicazioni . . . . . .
12.5 Preprints . . . . . . . .
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13 Recensore e Referee
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INDICE
14 Appendice
14.1 Valutazione scientifica della Comunità Europea del progetto Marie Curie . . . . . . . . . .
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Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
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STATO DI SERVIZIO
Formazione
• Giugno 1996. Maturità scientifica (Liceo Scientifico del Polo Scolastico Maria Montessori di Porretta
Terme–BO) con punteggio di 60/60.
• 16 Marzo 2001. Laurea in Matematica presso l’Università degli Studi di Bologna, voto: 110/110 con
lode. Tesi di laurea in Geometria Algebrica dal titolo “Schemi 0-dimensionali e forme canoniche
di polinomi omogenei”. Relatore: Prof. A. Gimigliano (Univ. di Bologna).
In questa tesi si presentano dapprima le relezioni tra problemi risolti quali “dimensione
di varietà delle secanti di varietà di Veronese”, “postulazione di punti grassi doppi” e
“Grande Problema di Waring”. Il lavoro si conclude con l’utilizzo del metodo dei Sistemi Inversi per il computo della postulazione di punti grassi n-upli in alcuni casi, e della
dimensione, sempre in alcuni casi particolari, di varietà delle secanti a varietà che parametrizzano forme del tipo Ld−j F dove L è una forma lineare in tre variabili ed F una
forma di grado j in tre variabili.
• 2001–2005. Dottorato di ricerca in Matematica presso il Dipartimento di Matematica “Federigo
Enriques” dell’ Università degli Studi di Milano, titolo conseguito il 13 Febbraio 2006, tesi di
Dottorato dal titolo “Varieties parameterizing forms and their secant varieties”. Relatore: Prof.
A. Gimigliano (Univ. di Bologna). Giudizio: Ottimo.
In questa tesi si affrontano diversi problemi inerenti lo studio di varietà che parametrizzano forme o tensori:
– Varietà delle secanti di varietà osculanti a varietà di Veronese (se ne calcola la
dimensione in molti casi);
– Varietà delle secanti di varietà che parametrizzano forme che si scrivono come prodotto di forme di diversi gradi (se ne calcola la dimensione in alcuni casi);
– Varietà che parametrizzano forme in n + 1 variabili che si spezzano come prodotto
di d forme lienari. Di queste varietà si calcola la dimensione di alcune varietà delle
secanti e si prova inoltre che in generale non è uguale a quella della varietà delle
secanti alla Grassmanniana G(n − 1, n + d − 1) – confutando cosı̀ una congettura
formulata da R. Ehrenborg nel 1999;
– Varietà delle secanti di varietà di Segre. Si relazionano risultati ottenuti col metodo
dei Sistemi Inversi con risultati trovati con l’utilizzo della teoria delle rappresentazioni.
Alcune parti di questa tesi sono state realizzate durante i periodi di ricerca all’estero di cui ai punti
1. e 2. della Sezione “5. Ricerca all’estero” del presente Curriculum.
3
Stato di servizio
• 2001–2005, Dottorato di ricerca in Matematica presso il Dipartimento di Matematica “Federigo
Enriques” dell’ Università degli Studi di Milano.
• Settembre 2005–Gennaio 2006, Research Assistant al Department of Mathematic della Texas
A&M University (College Station, Texas, USA).
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Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
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INTERESSI DI RICERCA
• 28 Giugno–27 Settembre 2006, Investigador extranjero en la UCM (Universidad Complutense
de Madrid, Spagna), finanziamenti dal “GRUPO SANTANDER”.
• Novembre 2005–Novembre 2009, Assegnista di ricerca presso il Dipartimento di Matematica
dell’Università degli Studi di Bologna.
• Luglio 2008, Teaching Assistant presso l’MSRI - Mathematical Sciences Research Institute,
Berkeley (California, USA).
• Novembre 2009–Novembre 2010, Post Doc presso il CIRM (Centro Internazionale per la Ricerca
Matematica)–Fondazione Bruno Kessler (Trento).
• 17 Gennaio–26 Febbraio 2011, Visitor presso l’Institut Mittag-Leffler (The Royal Swedish academy
of sciences) invitata da A. Dickenstein, S. Di Rocco, R. Piene, K. Ranestad e B. Sturmfels per
partecipare al semestre primaverile 2011 nell’ambito del programma di ricerca “Algebraic geometry
with a view towards applications”.
• Novembre 2010–Novembre 2012, Marie Curie Fellow (Post Doc) presso il centro INRIA (Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique) Sophia Antipolis - Méditerranée
(Francia). Punteggio della valutazione scientifica del progetto: 86, 40/100, 00.
• Novembre 2012– Dicembre 2013, Ricercatore a t.d. tipo A (art. 24 comma 3-a L. 240/10)
presso l’Università di Torino, Dipartimento di Matematica “Giuseppe Peano”.
• Dicembre 2013 – Dicembre 2016, Ricercatore a t.d. tipo B (art. 24 comma 3-b L. 240/10)
presso l’Università di Bologna, Dipartimento di Matematica.
• Novembre 2014–Dicembre 2014. Long-Term Participant al Simons Institute for Theory of
Computing (Berkeley, CA, USA), nell’ambito dell programma autunnale 2014 “Algorithms and
Complexity in Algebraic Geometry”, Invitata da P. Bürgisser, JM Landsberg, K. Mulmuley, B.
Sturmfels.
4
Interessi di ricerca
Gli interssi di ricerca della sottoscritta sono nell’ambito della Geometria Algebrica, dell’ Algebra e di loro
applicazioni. Nello specifico:
Varietà delle secanti, loro dimensione ed ideali; Schemi di Hilbert 0-dimensionali e loro postulazione; Varietà che parametrizzano polinomi e/o tensori sia in campo reale che complesso
(variet di Veronese, variet di Segre, Grassmanniane, variet di bandiera, variet omogenee);
Rango di tensori simmetrici e strutturati; Unicità di decomposizione di un tensore; Algoritmi
algebrici e numerici per la decomposizione tensoriale sia nel caso complesso che reale; Applicazioni alle telecomunicazioni, alla teoria della complessità, all’analisi dei dati, alla filogenetica
e alla fisica.
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Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
4.1
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INTERESSI DI RICERCA
Riassunto del progetto scientifico di ricerca Marie Curie
Marie Curie Fellow presso il centro INRIA Sophia Antipolis - Méditerranée - Nizza (Francia).
Scientific in charge: Prof. Bernard Mourrain.
Progetto: FP7-PEOPLE-2009-IEF - 252367 - DECONSTRUCT: “Decomposition of Structured Tensors,
Algorithms and Characterization”.
Data di inizio del progetto: 1 Novembre 2010.
Durata: 2 anni.
ABSTRACT:
I tensori svolgono un ruolo ampio in numerosi campi di applicazione come elaborazione del segnale per le telecomunicazioni, complessità aritmetica o analisi dei dati. In alcune applicazioni
i tensori possono essere completamente simmetrici, o simmetrici solo in alcune direzioni, o
potrebbero non essere simmetrici. Nella maggior parte di queste applicazioni, la scomposizione di un tensore come somma tensori di rango 1 è rilevante. La maggior parte dei tensori
usati per le applicazioni si dicono “strutturati” cioè sono o simmetrici o godono di alcune
invarianze di indici. Infine, sono spesso reali, cosa questa che pone dei problemi aperti relativi all’esistenza e al calcolo delle scomposizioni. Questi problemi costruiscono i mattoni di
base del programma di ricerca che viene proposto in questo progetto. Le classi di tensori di
cui sopra hanno una traduzione in termini geometrici di varietà algebriche classiche: Segre,
Veronese, varietà di Segre-Veronese e Grassmanniane e la loro varietà delle secanti. Una
descrizione completa delle equazioni di tali varietà secanti e le loro dimensioni non è ancora
nota (all’oggi sono state completametne classificate solo le dimensioni di varietà secanti a varietà di Veronse), anche se sono state studiate da geometri differenziali e algebrici e algebristi
per un lungo periodo fino ad oggi. Gli obiettivi di questo progetto di ricerca sono:
• Attaccare sia la descrizione degli ideali di tali varietà secanti e le loro dimensioni, a
partire da dimensioni piccole e gradi bassi,
• Proporre algoritmi in grado di calcolare il rango di tensori strutturati.
Il Workshop a Palo Alto (“Geometry and representation theory of tensors for computer science, statistics and other areas”, CA, USA, 2008) e la conferenza di Nizza (“Workshop on tensors and interpolation”, FR, 2009) hanno mostrato che l’Italia e la Francia sono tra i più attivi
in Europa nel settore scomposizioni di tensori. Sia il coordinatore di questo progetto (Alessandra Bernardi) e l’organizzazione di accoglienza (INRIA Sophia Antipolis - Méditerranée)
hanno già ottenuto risultati in questo campo per quanto riguarda equazioni e algoritmi. Quindi questo programma è fondamentale per lo sviluppo di tali aree di ricerca della Comunità
Europea, insieme con le numerose collaborazioni internazionali già esistenti. L’impatto di
questo progetto sarà visibile in entrambi i mondi accademico e industriale.
4.2
Attuali interessi di ricerca
L’obiettivo principale della mia ricerca attuale è di sviluppare una linea di ricerca sempre più indipendente
sotto la mia responsabilità riguardo gli argomenti sui quali ho accumulato esperienza internazionale nelle
prime fasi della mia carriera scientifica: DECOMPOSIZIONE DI TENSORI strutturati (TD), CALCOLO
DEL LORO RANGO.
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Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
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INTERESSI DI RICERCA
Il problema della TD dal punto di vista dell’algebra lineare e multilineare consiste nello scrivere un
tensore strutturato tramite una minima combinazione lineare di r tensori indecomponibili con la stessa
struttura (r=rango del tensore). In termini geometrici, parlare di tensori indecomponibili (rango 1)
strutturati, equivale a studiare sottovarietà di varietà di Segre parametrizzanti tensori di rango 1 di data
struttura.
Uno dei problemi centrali nella TD è di fornire ALGORITMI per il computo del rango strutturato di un
tensore. Fino ad ora, i soli algoritmi noti sono quello di Sylvester per tensori simmetrici a valori complessi
in due variabili e la sua moderna generalizzazione a tensori parzialmente simmetrici sviluppata durante
il mio soggiorno all’INRIA con J. Brachat, P. Comon e B. Mourrain. Uno dei miei obiettivi scientifici è
di continuare in questa direzione scrivendo algoritmi per la TD con diverse strutture iniziando da tensori
antisimmetrici.
Il principale strumento geometrico per attaccare questi problemi sta nelle VARIETÀ SECANTI che
permettono di studiare naturalmente un concetto fortemente collegato al rango: il rango di bordo. La
strategia diretta per conoscere il rango di bordo di un tensore strutturato sarebbe di testarlo sulle equazioni di certe varietà secanti. Nonostante il grande interesse che la comunità matematica sta dedicando
da decine di anni a questo problema, trovare equazioni di varietà secanti è tra i problemi aperti più
significativi anche dal punto di vista puramente algebrico.
Le tecniche algebriche usate per calcolare IDEALI DI VARIETÀ SECANTI a varietà parametrizzanti
tensori (VPT) sono basate su tecniche di GEOMETRIA ALGEBRICA e di TEORIA DELLE RAPPRESENTAZIONI nell’ambito della TEORIA DEI GRUPPI. Queste varietà, infatti, sono omogenee per
l’azione di gruppi, i loro ideali possono quindi essere descritti tramite moduli irriducibili di Schur invarianti per l’azione dello stesso gruppo. Ho affinato queste tecniche durante le mie visite in Texas dal prof.
JM Landsberg che è stato uno dei primi ad introdurle nel settore della TD, ho inoltre già avuto modo
di seguire studenti di dottorato, sia matematici puri che piú applicati, che venivano introdotti a queste
tecniche durante il mio TA per un corso di dottorato all’MSRI –Berkeley– che ho tenuto nell’estate del
2008.
Un altro mio obiettivo scientifico è di sfruttare tali tecniche per ottenere nuovi risultati su particolari
varietà secanti ed estendere il loro attuale campo d’azione.
Un problema di geometria algebrica classico che ha stimolato progressi in questo campo è quello delle
DIMENSIONI DI VARIETÀ SECANTI, esso ha portato all’introduzione in questo contesto dei concetti
puramente algebrici di APOLARITÀ e SCHEMI 0-DIMENSIONALI. Intendo estendere l’apolarità dapprima a tensori antisimmetrici, poi a classi di tensori con strutture più articolate. Ciò permetterà di
estendere il teorema di Alexander-Hirschowitz a dimensioni di varietà secanti a diverse VPT e di scrivere algoritmi per le TD corrispondenti. Apolarità e schemi di Hilbert 0-dimensionali appaiono infatti
naturalmente nella Singular Value Decomposition generalizzata basata su matrici di Henkel (o matrici
momento), strumento principe dei noti algoritmi per la TD.
La parte algoritmica di questi miei progetti è dapprima iniziata con metodi puramente algebrici per
la decomposizione di tensori simmetrici e parzialmente simmetrici, e, grazie alla rete di collaborazioni
internazionali che ho avuto la possibilità di intessere, si sta sviluppando verso la direzione numerica che
permetterà la soluzione della TD col software Bertini. Intendo continuare il lavoro con gli sviluppatori
del software Bertini (in particolare con J. Hauenstein) in collaborazione con B. Mourrain coinvolgendo,
se possibile, studenti di dottorato e/o Post Doc che saranno interessati a collaborare a questi progetti.
L’invito a partecipare al workshop a Paolo Alto del 2008 (Sezione 5 punto 6 di questo cv) ha aperto
nella mia ricerca vari canali in direzione delle APPLICAZIONI (tecniche multilineari per l’analisi dei
dati e nella trasmissione del segnale in problemi di telecomunicazione; statistica algebrica; approcci
geometrici al problema P?=NP; problemi di modelli a variabili nascoste in filogenetica e ingegneria
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Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
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INTERESSI DI RICERCA
medica; entanglement in quantum information theory).
Esso ebbe un primo sbocco nella scrittura e vincita del mio progetto Marie Curie all’INRIA (Sezione
4.1) in collaborazione con B. Mourrain e P. Comon nel settore delle telecomunicazioni (la conoscenza
della decomposizione di un tensore permette la soluzione di problemi di Blind Identification e di Tensor
polyadic decomposition per Antenna Array Processing). Intendo proseguire in questa direzione con un
soggiorno lungo già in programma presso l’equipe diretto da P. Comon (CNRS Grenoble).
Altra direzione applicativa concretamente perseguibile con altri due soggiorni lunghi è quella legata
alla decomposizione effettiva di tensori rumorosi (ossia tensori provenienti dall’analisi di dati concreti e
quindi con errori di misurazione). Un primo soggiorno mio presso il gruppo diretto da L. De Lathauwer
(KU Leuven, Belgio) che con metodi di signal processing e data analysis ha scritto un pacchetto per
MATLAB per la decomposizione di tensori con rumore. Un secondo soggiorno presso la mia sede di N.
Vannieuwenhoven che sta lavorano a problemi di identificabilità di un tensore dato sempre con rumore
da un punto di vista computazionale.
4.3
Collaborazioni attive
Nelle seguenti collaborazioni si sottolineano quelle con cui ho già realizzato aritcoli/preprint.
• Collaborazioni in ambito teorico:
– VARIETÀ DELLE SECANTI E LORO DIMENSIONE, POSTULAZIONE DI SCHEMI 0DIMENSIONALI:
H. Abo (Idaho Univ.), E. Ballico (Univ. Trento), E. Carlini (Monash Univ., Melbourne),
MV Catalisano (Univ. Genova), A.V. Geramita (Queens Univ., Canada), A. Gimigliano
(Univ. Bologna), M. Idà (Univ. Bologna).
– ALGORITMI PER DECOMPOSIZIONE DI TENSORI:
E. Ballico (Univ. Trento), A. Gimigliano, M. Idà (Univ. Bologna), B. Mourrain (INRIA,
Sophia Antipolis, Francia).
– IDENTIFICABILITÀ DI TENSORI:
E. Ballico (Univ. Trento), MV Catalisano (Univ. Genova), L. Chiantini (Univ. Siena), N.
Vannieuwenhoven (KU Leuven, Belgio).
– STUDIO DI TENSORI ANTISIMMETRICI:
E. Arrondo (Univ. Complutense, Madrid), B. Mourrain (INRIA, Sophia Antipolis, Francia),
M. Michalek (MSRI, Berkeley), C. Raicu (Princeton University).
– RANGO CACTUS:
– J. Jelisiejew (Univ. Varsavia), P. M. Marques (Univ. Evora, Portogallo), K. Ranestad (Univ.
of Oslo).
– DECOMPOSIZIONE TENSORI SIMMETRICI A VALORI REALI:
G. Blekherman (Georgia Tech), G. Ottaviani (Univ. Firenze).
– TEORIA DELLE RAPPRESENTAZIONI APPLICATA ALLO STUDIO DELLA DECOMPOSIZIONE DI TENSORI:
JM Landsberg (Texas A&M), M. Michalek (MSRI, Berkeley), C. Raicu (Princeton University).
• Collaborazioni in ambito applicativo:
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Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
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ATTIVITÀ DI RICERCA ALL’ESTERO
– ALGORITMI PER LA DECOMPOSIZIONE DI TENSORI PARZIALMENTE SIMMETRICI
(in telecomunicazioni):
P. Comon (CNRS Grenoble), B. Mourrain (INIRA, Sophia Antipolis, France).
– OTTIMIZZAZIONE APPROSSIMAZIONE TENSORI CON RUMORE (in ingegneria matematica):
Lieven De Lathauwer, N. Vannieuwenhoven (KU Leuven, Belgio).
– ALGORITMI NUMERICI PER LA DECOMPOSIZIONE DI TENSORI STRUTTURATI
(sviluppo di software numerici):
N. Daleo (Worchester State University, Massachusetts) J. Hauenstein (Univ. Notre Dame,
Indiana).
– ENTANGLEMENT (in fisica quantisitica):
I. Carusotto (CNR, Trento).
5
Attività di ricerca all’estero
1. [17 Settembre–17 Dicembre 2004], [Long Stay] presso il Math. Department della Queen’s University (Kingston, Ontario, Canada), con tutore locale: professor A.V. Geramita.
Durante questa visita la sottoscritta si è occupata dello studio di:
• “Varietà secanti a varietà Osculanti di varietà di Veronese” assieme al Prof. A.V.Geramita;
• tecniche della teoria delle rappresentazioni per affrontare il problema della generazione degli ideali di “Varietà secanti a varietà di Segre” assieme ai Prof. M. Roth ed I.
Dimitrov.
I risultati trovati riguardo al primo problema e la descrizione del secondo compaiono nella
tesi di dottorato della sottoscritta.
2. [9 Gennaio–1 Marzo 2005], [Long Stay] presso il Dipartimento di Matematica della Universidad
Complutense de Madrid (Spagna), invitata dal Prof. E. Arrondo.
In questa visita la sottoscritta si è occupata dello studio di varietà secanti a varietà che
parametrizzano forme ottenute come prodotto di forme lineari. Con la collaborazione
del Prof. E. Arrondo si è inoltre confutata una congettura di Ehrenborg del 1999 che
prevedeva che la dimensione di tali varietà fosse la medesima di opportune varietà secanti
a Grassmanniane. I risultati ottenuti compaiono nella tesi di dottorato della sottoscritta.
Abbiamo inoltre formulato una congettura che si è rivelata di grande interesse in quanto
la comunità matematica si sta impegnando per dimostrarla (in particolare H. Abo è molto
attivo in questo settore).
3. [I semestre A.A. 2005–2006], [Long Stay] presso Math. Department della Texas A&M University
(College Station, Texas, USA), Researcher Assistant per il PhD course “MATH 689-computational
complexity geometry” tenuto dal Prof. JM. Landsberg.
Durante questa visita, oltre ad assistere il corso sudetto, la sottoscritta ha iniziato lo
studio della dimensione delle prime varietà secanti a “varietà aggiunte” (varietà omogenee
associate ad algebre di Lie) in collaborazione col Prof. JM Landsberg.
Bologna, 30 ottobre 2015
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Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
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ATTIVITÀ DI RICERCA ALL’ESTERO
4. [28 Giugno–27 Settembre 2006], [Long Stay] presso il dipartimento di Matematica della Universidad Complutense de Madrid (Spagna), in visita del Prof. E. Arrondo nell’ambito di un “Programa de visitantes distinguidos e investigadores extranjeros en la UCM” finanziato dal “GRUPO
SANTANDER”.
Durante questa visita si è studiato, con la collaborazione del Prof. E. Arrondo, il luogo
di intersezione tra Grassmanniane e:
• Varietà di Veronese,
• Varietà delle secanti a varietà di Veronese,
• Varietà tangenziali a varietà di Veronese,
• Varietà osculanti a varietà di Veronese,
• Varietà parametrizzanti forme decomponibili come prodotto di forme lineari.
I risultati ottenuti dagli autori sono stati pubblicati nell’articolo “On the variety parametrizing completely decomposable polynomials.” di cui alla Sezione 12. del presente
curriculum pubblicazione numero 5.
5. [7 Luglio–20 Luglio 2008] [Long Stay] presso la sede del’MSRI (Mathematical Sciences Research
Institute) di Berkeley (California - USA) invitata come Teaching Assistant per il Graduate Workshop “Geometry and representation theory of tensors for computer science, statistics and other
areas”.
Questo workshop è stato organizzato dai Prof. JM. Landsberg (Texas A&M, Texas, USA),
L.-H. Lim (UC Berkeley, California, USA) e J. Morton (UC Berkeley, California, USA)
con lo scopo di introdurre questioni rilevanti in Geometria, Teoria delle Rappresentazioni
a PhD Students e discutere con loro alcuni problemi aperti.
La sottoscritta è stata invitata dagli organizzatori in qualità di Teaching Assistant.
Questioni in computational complexity, statistical learning theory, signal processing, scientific data analysis, sono state recentemente riformulate in termini geometrici e di teoria
delle rappresentazioni. Dalla seconda settimana il mio compito era di seguire gli studenti
nello studio di problemi aperti (alcuni di loro sono attualmente ricercatori affermati).
6. [21 Luglio–27 Luglio 2008] presso la sede dell’AIM (American Institute of Mathematics) di Paolo Alto (California, USA) per il Workshop “Geometry and representation theory of tensors for computer
science, statistics and other areas”.
Questo workshop è stato organizzato dai Prof. JM. Landsberg (Texas A&M, Texas, USA),
L.-H. Lim (UC Berkeley, California, USA), J. Morton (UC Berkeley, California, USA)
e J. Weyman (Northeastern University, Boston, MA, USA).
Esso è stato dedicato a tradurre problemi da quantum computing, complexity theory, statistical learning theory, signal processing, e data analysis a problemi in geometria e teoria
delle rappresentazioni. In tutte queste aree compaiono varietà in spazi di tensori invarianti per il cambiamento lineare di coordinate.
Il lavoro del Workshop è stato quello di tradurre e cercare di risovlere problemi di queste
discipline affrontandoli con metodi matematici.
7. [Novembre 2010–Novembre 2012], [Long Stay] presso il centro INRIA (Sophia Antipolis, Francia) in qualità di Marie Curie fellow (Post Doc). Progetto: FP7-PEOPLE-2009-IEF - 252367 DECONSTRUCT: “Decomposition of Structured Tensors, Algorithms and Characterization”.
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PRESENTAZIONI A CONVEGNI E SEMINARI
Il riassunto del progetto di ricerca è alla Sezione 4.1 del presente Curriculum.
8. [17 Gennaio–26 Febbraio 2011], [Long Stay] presso l’ Institut Mittag-Leffler (The Royal Swedish
academy of sciences) invitata in qualità di Visitatore dai Prof. A. Dickenstein, S. Di Rocco, R.
Piene, K. Ranestad e B. Sturmfels per partecipare al semestre primaverile 2011 nell’ambito del
programma di ricerca “Algebraic geometry with a view towards applications”.
Questa è stata una delle migliori occasioni di approfondimento dei temi di ricerca di cui
la sottoscritta si occupa da anni, sia per l’interdisciplinarità offerta dalla struttura del
semestre (oltre a matematici di chiara fama erano infatti presenti esponenti di mondi
applicativi quali calcolo numerico, filogenetica e statistica algebrica), sia per le molte
collaborazioni nate in tale contesto (ad esempio con K. Ranesatad, W. Buczynska e J.
Buczynski sul rango cactus di un tensore simmetrico; J. Rhodes e E. Allman su una loro
congettura filogenetica sul massimo rango all’interno della medesima varietà secante; con
J. Hauenstein per la scrittura di un algoritmo numerico col software Bertini per il calcolo
del rango strutturato di ogni tensore).
9. [1–7 Settembre 2013] Lukecin, Polonia. Invitata da J. Buczyński, E. Carlini, J. Jelisiejew and
M. Korascome come uno dei tre speakerper la 36-esima scuola autunnale di Geometria Algebrica
polacca.
Assieme al Prof. G. Ottaviani (Univ. Firenze) ho tenuto le lezioni principali di questa
scuola, mentre il Prof. K. Ranestad (Uio Oslo) teneva la parte di esercitazione. Si è
trattata di una scuola di livello avanzato per studenti di dottorato ed oltre.
10. [Novembre 2014–Dicembre 2014], [Long Stay], Long-Term Participant al Simons Institute for
Theory of Computing (Berkeley, CA, USA), nell’ambito dell programma autunnale 2014 “Algorithms and Complexity in Algebraic Geometry”, Invitata dai Prof. P. Bürgisser, JM Landsberg, K.
Mulmuley, B. Sturmfels.
Ero inizialmente stata invitata a partecipare a tutto il semestre di lavoro ma per motivi
familiari (maternità) ho potuto accettare di parteciparvi per solo un mese. Si è trattato
in assoluto del più importante evento del 2014 per quanto riguarda lo studio dei tensori sia da un punto di vista teorico che applicativo. Durante il mio soggiorno ho potuto
aprire molti nuovi contatti con algebristi, geometri, computer scientists e applicativi di
vario genere (dal mondo di google a fisici quantisitici per lo studio della tensor network)
iniziando varie collaborazioni. Ho inoltre potuto consolidare collaborazioni già attive e
concludere vari progetti iniziati da tempo quali un algoritmo numerico per la decomposizione di tensori strutturati con J. Hauenstein da implementare su Bertini, ed un lavoro
sulla decomposizione di tensori simmetrici reali con G. Blekherman e G. Ottaviani.
6
Presentazioni a Convegni e Seminari
6.1
Presentazioni a Congressi e Convegni italiani e stranieri
1. “Osculating varieties of Veronesean and their higher secant varieties”, 10 Dicembre 2004 - CMS
2004 Winter Meeting, Montreal (Quebec, Canada).
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CV di Alessandra Bernardi
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PRESENTAZIONI A CONVEGNI E SEMINARI
2. “Varietà delle secanti a varietà che parametrizzano forme ottenute come prodotto di forme lineari”,
29 Maggio 2006, Giornate di Geometria Algebrica e argomenti correlati VIII, Dipartimento di
Matematica, Università di Trieste.
3. [Invitata] “Secant Varieties and Ideals of varieties parameterizing certain symmetric tensors”, 17
Luglio 2008, “Graduate Workshop Geometry and representation theory of tensors for computer
science, statistics and other areas”, MSRI (Mathematical Sciences Research Institute) (Berkeley,
California, USA).
4. “Sylvester’s Algorithm”, 10 Giugno 2009 - Workshop on tensors and interpolation, Nizza, Francia.
5. “From Waring problem to tensor rank through secant varieties”, 18 Marzo 2010 - SAGA Winter
School, Auron, Nizza, Francia.
6. “Decomposition of Homogeneous Polynomials”, 15 Settembre 2010, Workshop on Tensor Decompositions and Applications (TDA 2010). 13–17 Settembre 2010. Monopoli, Bari.
7. Applicazioni recenti di risultati classici su varietà delle secanti a varietà che parametrizzano tensori.
Dal problema di Waring al rango di tensori”, 22 Ottobre 2010, “Progressi Recenti in Geometria
Reale e Complessa”, Levico Terme (Trento), 17–22 Ottobre 2010.
8. [Invitata] “Secant varieties and Rank of tensors”, 1 Febbraio 2011, Mittag-Leffler Institute, Semestre intensivo: “Algebraic Geometry with a view towards applications” 17 Gennaio–15 Giugno
2011.
9. [Invitata] “Ranks of Tensors, related varieties and applications”, 18 Novembre 2011, “GenovaTorino-Milano Seminar: some topics in Commutative Algebra and Algebraic Geometry” 17–18
Novembre 2011, Milano.
10. [Invitata] “Algebraic Geometry in Signal processing, Phylogenetic and Quantum Physics”, “Colloquium Politecnico di Torino”, 30 Maggio 2013, Politecnico di Torino.
11. [Invitata] “Tensor Ranks”, 1 Agosto 2013, “2013 SIAM Conference on Applied Algebraic Geometry”, 1–4 Agosto, Fort Collins (Colorado, USA).
12. [Invitata] Main Speaker per la “36th Autumn School in Algebraic Geometry: Power sum
decomposition and apolarity, a geometric approach”. 1–7 Settembre 2013, Lukecin, Polonia.
13. [Invitata] [Declinato per motivi famigliari (maternità)] Invited speaker per la sessione Tensors
and Optimization Conference 19–22 Maggio 2014, nel“SIAM Optimization Meeting”, Town and
Country Resort and Convention Center, San Diego (California, USA).
14. [Invitata] [Declinato per motivi famigliari (maternità)] Invited speaker per la sessione di Computational Nonlinear Algebra, in “ICERM Conference”, 2–6 Giugno 2014, Brown University (Providence, USA).
15. [Invitata] Novembre 2014–Dicembre 2014. Long-Term Participant al Simons Institute for Theory
of Computing (Berkeley, CA, USA), nell’ambito dell programma autunnale 2014 “Algorithms and
Complexity in Algebraic Geometry”, Invitata dai Prof. P. Bürgisser, JM Landsberg, K. Mulmuley,
B. Sturmfels.
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PRESENTAZIONI A CONVEGNI E SEMINARI
16. [Invitata] “Cactus Varieties of Cubic Forms: Apolar Local Artinian Gorenstein Rings”, 13 Novembre 2014, nel Workshop “Tensors in Computer Science and Geometry” nell’ambito dell programma autunnale 2014 “Algorithms and Complexity in Algebraic Geometry”, Invitata dai Prof.
P. Bürgisser, JM Landsberg, K. Mulmuley, B. Sturmfels.
17. “On the cactus variety of cubic forms”. AMS-EMS-SPM Joint meeting (Porto), 10-13 Giungo 2015.
18. [Plenary Invited] Invited Speaker a MEGA Effective Methods in Algebraic Geometry, “Tensor
decomposition and homotopy continuation”. Trento, 15–19 Giugno, 2015.
19. “A geometric view of the splitting type for plane rational curves”. 8 Settembre 2015, Convegno
UMI, 7-12 Settembre 2015, Siena.
20. [In Programma], [Plenary Invited] Invited Speaker al MAG2015, 2-4 Dicembre 2015, Barcellona, Spagna.
6.2
Seminari Ufficiali tenuti presso Università italiane o straniere
21. “Secant varieties to osculating varieties of Veronesean”, 18 Febbraio 2005, Departamento de Álgebra,
Universidad Complutense de Madrid. (Madrid, Spagna).
22. “Secant varieties and Big Waring Problem”, 7 Ottobre 2005, Mathematical Department, Texas
A&M University (College Station,Texas, USA).
23. “Secant varieties to osculating varieties of Veronese Varieties” , 4 Settembre 2008, Departamento
de Álgebra, Universidad Complutense de Madrid (Madrid, Spagna).
24. “Rappresentazione di varietà algebriche”, 28 Ottobre 2008, Dipartimento di Matematica, Università
degli studi di Bologna.
25. “Varietà che parametrizzano polinomi completamente decomponibili”, 13 Marzo 2009, Dipartimento
di Matematica, Università degli Studi di Firenze.
26. “Sylvester’s Algorithm”, 10 Giugno 2009 - Workshop on tensors and interpolation, Nizza, Francia.
27. “Dal problema di Waring alle telecomunicazioni”, 10 Dicembre 2009, Università degli studi di
Trento.
28. “Dal problema di Waring alle telecomunicazioni”, 20 Aprile 2010, Università degli studi di Ancona.
29. “Un assaggio di scienza nell’iconografia russa”, 17 Giugno 2010, Università degli studi di Trento.
30. “Varietà delle secanti a varietà che parametrizzano tensori: attualità del problema di Waring,
aspetti geometrici correlati ed applicazioni”, 7 Ottobre 2010. Trieste.
31. “Polynomial and Tensor Decompositions”, 22 Marzo 2011, Sophia Antipolis Mediterranée, Francia.
32. “Decomposition of Structured Tensors, Algorithms and Characterization”, 9 Maggio 2011, Multimedia Geometry Seminars, Università degli Studi di Trento.
33. “Varietà delle secanti: dimensioni, ideali e rango di tensori”, 23 Maggio 2011, Poltiecnico di Torino.
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PRESENTAZIONI A CONVEGNI E SEMINARI
34. “Tensor decompositions: achievements and developments”, 26 Ottobre 2011, Università degli studi
di Trento.
35. “Ranghi di Tensori”, 16 Novembre 2011, Università degli studi di Torino.
36. “Decomposition of partially symmetric tensors”, 2 Dicembre 2011, Università degli studi di Firenze.
37. “Tensor Decomposition: a link between Algebraic Geometry and Applications”, 4 Aprile 2012,
Università degli studi di Bologna.
38. “Various approaches for polynomial decomposition”, 23 Ottobre 2012, Université de Pau (Francia).
39. “A generalization of Sylvester Algorithm”, 4 Dicembre 2012, Universidad Complutense de Madrid
(Spagna).
40. “On the local cactus rank of generic cubic forms”, 4 Dicembre 2014, Simons Institute for Theory
of Computing (Berkeley, CA, USA), nell’ambito dell programma autunnale 2014 “Algorithms and
Complexity in Algebraic Geometry”.
6.3
Altri seminari tenuti
41. “Sulle funzioni convesse”, 27 Febbraio 2002, Dipartimento di Matematica, Universtà di Trieste.
42. “Dimostrazione del teorema di Darboux”, 27 Settembre 2002, Dipartimento di Matematica, Università di Trieste.
43. “Programma di Sarkisov in dimensione 2 per la classificazione degli Spazi Fibrati di Mori secondo
la Teoria di Mori”, 18 Luglio 2002, Dipartimento di Matematica, Universtà di Milano.
44. “Esposizione dell’articolo di G. Canuto “Curve associate e Formule di Plüker nelle Grassmaniane,
apparso su “Inventiones Mathematicae”, 53, 77-90 (1979)”, 15 Gennaio 2003, Dipartimento di
Matematica, Università di Milano.
45. “How one’s can calculate all the differential invariants of Seg(Pn × Pn ) ∩ H, where H is a generic
hyperplane. Understand this as a homogeneous variety of Sln+1 C”, 13 Febbraio 2003, Dipartimento
di Matematica, Università di Trieste.
46. “Un’introduzione al problema dello studio della Postulazione dei Punti Grassi”, 19 Marzo 2003,
Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Milano.
47. “Un’introduzione al problema dello studio della Postulazione dei Punti Grassi e recenti applicazioni”, 23 Maggio 2003, Dipartimento di Matematica, Università di Pavia.
48. “Waring type problems and Auxiliary varieties Associated to Veronese varieties”, 6 Ottobre 2004,
Mathematical Department, Queen’s University (Kingston, Ontario, Canada).
49. “Secant varieties to the Osculating varieties of the Veronesean”, 13 Ottobre 2004, Mathematical
Department, Queen’s University (Kingston, Ontario, Canada).
50. “Varietà delle secanti alle Veronese e applicazioni algebriche”, 26 Gennaio 2005, Departamento de
Álgebra Universidad Complutense de Madrid (Madrid, Spagna).
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PARTECIPAZIONE A CONVEGNI E SCUOLE
51. “Varietà delle secanti alle varietà tangenziali ed osculanti a varietà di Veronese”, 2 Febbraio 2005,
Departamento de Álgebra, Universidad Complutense de Madrid (Madrid, Spagna).
52. “Construction of Cominuscule Varieties”, 6 Ottobre 2005, Mathematical Department, Texas A&M
University (College Station, Texas, USA).
53. “An introduction to Representation Theory”, 2 Novembre 2005, Mathematical Department, Texas
A&M University (College Station, Texas, USA).
54. “An introduction to de Rham Cohomology I, II, III”, 17,18 e 22 Novembre 2005, Mathematical
Department, Texas A&M University (College Station, Texas, USA).
55. “On Alexander-Hirshowitz theorem via Lemma d’Horace”, 1 Dicembre 2005, Mathematical Department, Texas A&M University (College Station, Texas, USA).
56. “Lemma d’Horace differentielle”, 5 Dicembre 2005, Mathematical Department, Texas A&M University (College Station, Texas, USA).
57. “Dall’Algebra Lineare a questioni irrisolte”, 15 Maggio 2008, Seminario per il CdL Algebra Superiore, Dipartimento di Matematica, Università di Bologna.
58. “Ideale delle varietà di Segre-Veronese”, 12 Giugno 2008, DIMA Università degli studi di Genova.
59. “Rango e rango simmetrico di tensori simmetrici.”, 3 Marzo 2009, Dipartimento di Matematica,
Università degli Studi di Bologna.
60. “Algorithms for computing the rank of a tensor”, 11 Febbraio 2011, Mittag-Leffler Institute, Semestre intesivo dal titolo “Algebraic Geometry with a view towards applications” 17 Gennaio–15
Giugno 2011.
61. “Tenseurs”, 8 Marzo 2011, INRIA, Sophia Antipolis Mediterranée, France.
7
Partecipazione a Convegni e Scuole
1. “Corso Estivo di Matematica”, Perugia 29 Luglio–1 settembre 2001 seguendo i corsi di Geometria
Algebrica e Geometria Differenziale tenuti rispettivamente dai Prof. E. Arrondo ed E. Heintze.
2. “Pragmatic 2003”, Catania 9–28 Giugno 2003 con corsi svolti dai Prof. I. Dolgachev ed A. Verra.
3. “Interpolation problem and Projective embeddings”, Torino 15–20 Settembre 2003.
4. “Workshop on Algebraic curves, monodromy and related topics”, Politecnico di Milano 1–2 Aprile
2004.
5. “International school on Projective Geometry”, Anacapri 1–5 Giugno 2004.
6. “Projective Varieties with unexpected geometric properties”, Università di Siena 8–12 Giugno 2004.
7. “School/Workshop on Computational Algebra for Algebraic Geometry and statistics”, Torino 6–11
Settembre 2004.
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PARTECIPAZIONE A CONVEGNI E SCUOLE
8. “Rt. 81 conference in honor of Graham Evans and Workshop on Resolution (for young researchers)”,
Cornell University of Ithaca, New York, USA, 1–3 Ottobre 2004.
9. “CMS 2004 Winter meeting”, Montreal, Quebec, Canada, 10–13 Dicembre, 2004.
10. “AGaFE, Geometry of Algebraic Varieties”, Ferrara, 22–25 Giugno 2005.
11. “Texas Geometry and Topology conference”, Austin, Texas, USA, 30 Settembre–2 Ottobre 2005.
12. “Geometric and Probabilistic Methods in group theory and dynamical systems”, 4–6 Novembre
2005, Texas A&M University, College Station, Texas, USA.
13. “Harvey/Polking conference, Singularities in Analysis, Geometry and Topology”, 11–13 Novembre
2005, Rice University, Houstin, Texas, USA.
14. “Giornate di Geometria Algebrica e argomenti correlati VIII”, Trieste 26–29 Maggio 2006.
15. Graduate Workshop: “Geometry and representation theory of tensors for computer science, statistics and other areas”, MSRI - Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley (California,
USA), 7–20 Luglio 2008.
16. “Geometry and representation theory of tensors for computer science, statistics and other areas”,
AIM - American Institute of Mathematics, Paolo Alto (California, USA), 21–27 Luglio 2008.
17. “INDAM workshop: Geometry of projective varieties”, Roma, 30 Settembre–4 Ottobre 2008.
18. “Workshop on tensors and interpolation”, Nizza (Francia) 10–12 Giugno 2009.
19. “Conference on Classical and recent aspects in the study of projective varieties. In honour of Lucian
Badescu on the occasion of his 65th birthday”, Genova, 21–22 Gennaio 2010.
20. “SAGA Winter School”, Auron (Francia) 15–19 Marzo 2010.
21. “INdAM Conference “Complex Geometry””, Levico Terme, Trento, 31 Maggio–4 Giugno 2010.
22. “Summer school: Geometry of tensors and applications”, Sophus Lie Conference Center, Nordfjordeid (Norvegia), 14–18 Giugno 2010.
23. “School (and Workshop) on The Minimal Model Program and Shukurov’s ACC Conjecture”,
Università di Trento, 5–10 Giugno 2010.
24. “International Conference on Perspectives on Algebraic Varieties”, Levico Terme, Trento, 5–10
Settembre 2010.
25. [Invitata] “Workshop on Tensor Decompositions and Applications (TDA 2010)”. Settembre 13–17
2010, Monopoli, Bari.
26. [Invitata] “Progressi Recenti in Geometria Reale e Complessa”, Levico Terme, Trento, 17–22
Ottobre 2010.
27. “Algebraic Geometry in the sciences”, Oslo (Norvegia), 10–14 Gennaio, 2011.
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PARTECIPAZIONE A CONVEGNI E SCUOLE
28. [Invitata] Spring semester 2011 “Algebraic Geometry with a view towards applications”, MittagLeffler, Stoccolma (Svezia) 17 Gennaio–26 Febbraio 2011.
29. “CIAM workshop: An afternoon of biology and mathematics”, KTH, Stoccolma (Svezia), 4 Febbraio
2011.
30. “Solving polynomial equations”, KTH, Stoccolma (Svezia), 21–25 Febbraio 2011.
31. “MEGA 2011: Effective Methods in Algebraic Geometry” , Stockholm University (Svezia), 30
Maggio–3 Giugno 2011.
32. [Invitata] “Genova-Torino-Milano Seminar: Some topics in Commutative Algebra and Algebraic
Geometry” 17–18 Novembre 2011, Milano.
33. “G.T.M. Seminar Genova, Torino, Milano Seminar: Some Topics in Commutative Algebra and
Algebraic Geometry”, 28–29 Giugno 2012, Torino.
34. “Groebner Bases, Curves, Codes and Cryptography”, 30 Luglio – 10 Agosto 2012, Trento.
35. “School (and Workshop) on Invariant Theory and Projective Geometry”, 17 – 22 Settembre 2012,
Trento.
36. “3rd SAGA Workshop”, 9–11 Ottobre 2012, Trento.
37. [Invitata] “Tensor Ranks”, 1 Agosto 2013, 2013 “SIAM Conference on Applied Algebraic Geometry”, Fort Collins (Colorado, USA).
38. [Invitata] Main Speaker at “36th Autumn School in Algebraic Geometry: Power sum decomposition and apolarity, a geometric approach”. 1-7 Settembre 2013, Lukecin (Polonia).
39. Genova-Torino-Milano Seminar: Some Topics in Commutative Algebra and Algebraic Geometry
28-29 Gennaio 2014 (Politecnico di Milano).
40. Vector Bundles Days II, Pau-Trieste Workshop on Vector Bundles and Related Topics. On the
occasion of Emilia Mezzetti’s 60th birthday. 29-31 Gennaio 2014 (Trieste).
41. [Invitata] [Declinato per motivi famigliari] Tensors and Optimization Conference 19–22 Maggio
2014, “SIAM Optimization Meeting”, Town and Country Resort and Convention Center, San Diego
(California, USA).
42. [Invitata] [Declinato per motivi famigliari] Computational Nonlinear Algebra, “ICERM Conference”, 2–6 Giugno 2014, Brown University (Providence, USA).
43. [Invitata] Novembre 2014 – Dicembre 2014. Long-Term Participant al Simons Institute for Theory
of Computing, Berkeley (California, USA), nell’ambito dell programma autunnale 2014 “Algorithms
and Complexity in Algebraic Geometry”, Invitata da P. Bürgisser, JM Landsberg, K. Mulmuley,
B. Sturmfels.
44. Convegno UMI, 7-12 Settembre 2015, Siena.
45. [In Programma], [Invitata] MAG2015, 2-4 Dicembre 2015, Barcellona, Spagna.
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PROGETTI DI RICERCA
Organizzazione di Scuole e Convegni
• SUMMER SCHOOL: “AN INTERDISCIPLINARY APPROACH TO TENSOR DECOMPOSITION”
Presso: Università di Trento / Fondazione Bruno Kessler-IRST.
Periodo: 13–18 Luglio 2014.
Comitato Organizzatore: A. Bernardi, A. Boralevi, E. Postinghel.
Main Speakers:
– JM Landsberg (Texas A&M University, College Station, TX),
– B. Mourrain (GALAAD, INRIA Méditerranée, Sophia Antipolis, Cedex France),
– K. Ranestad (Matematisk institutt, Universitetet i Oslo, Norway).
Young Speakers:
– C. Bocci (Univ. di Siena, Dip. di Scienze Matematiche e Informatiche),
– E. Carlini (School of Mathematical Sciences, Monash University, Australia),
– M.C. Brambilla (Univ. Politecnica delle Marche, Dip. di Ingegneria Industriale e Scienze
Matematiche)
Webpage: http://www.science.unitn.it/cirm/TensorDecomposition2014.html
Finanziato da: FBK–CIRM, Compositio Mathematica, Dipartimento di Matematica “Giuseppe
Peano” Università degli Studi di Torino, GNSAGA.
• Workshop on Symbolic and Numerical Methods for Tensors and Representation Theory,
Presso: Simons Institute (Berkeley, CA, USA).
Periodo: Novembre 18–21, 2014.
Comitato Organizzatore: A. Bernardi, A. Leykin, C. Raicu, C. Vinzant.
Webpage: http://simons.berkeley.edu/workshops/algebraicgeometry2014-4
Finanziato da: Simons Institute, MSRI (Berkeley).
9
Progetti di Ricerca
9.1
9.1.1
Progetti di ricerca scritti e vinti
Internazionali
1. Titolo del Progetto: “Programa de visitantes distinguidos e investigadores extranjeros en la
UCM”.
Finanziato da: GRUPO SANTANDER.
Durata: 3 mesi; periodo: 28 Giugno–27 Settembre 2006.
Supervisore scientifico locale: Prof. E. Arrondo (Universidad Complutense de Madrid, Spagna).
2. Titolo del Progetto: “Decomposition of Structured Tensors, Algorithms and Characterization”.
Finanziato da: Comunità Europea nell’ambito del programma FP7-PEOPLE-2009-IEF - 252367,
Marie Curie Fellow.
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PROGETTI DI RICERCA
Durata: 2 anni; periodo: Novembre 2010 – Novembre 2012.
Supervisore scientifico locale: Prof. B. Mourrain (INRIA Sophia Antipolis - Méditerranée,Francia).
Punteggio della valutazione scientifica da parte della Comunità Europea: 86, 40/100, 00.
9.1.2
Italiani
3. Titolo del Progetto: “Dimensione e ideali di varietà delle secanti di varietà che parametrizzano
forme e/o tensori. Generazione di algoritmi per il computo del rango strutturato dei loro elementi.”
Finanziato da: CIRM – FBK (Trento).
Durata: 1 anno; periodo: Novembre 2009–Novembre 2010.
Supervisore scientifico locale: Prof. E. Ballico (Università degli Studi di Trento).
4. Titolo del Progetto: “Algebra e Geometria Algebrica”.
Finanziato da: Universtià di Torino, Dipartimento di Matematica “Giuseppe Peano” nell’ambito
dei Fondi di Ricerca Locale – Giovani Ricercatori – Tipo B.
Durata: 2 anni; periodo: Dicembre 2013 – Dicembre 2015.
Responsabile: Alessandra Bernardi.
9.2 Progetti di ricerca scritti che hanno passato le prime fasi di valutazione con esito positivo
5. Titolo del Progetto: “Geometria delle varietà parametrizzanti tensori ed applicazioni alla loro
decomposizione”
Nell’ambito del Firb 2013.
Principal Investigator: A. Bernardi.
Votazione riportata nella fase di preselezione nazionale: 9.33/10.
Votazione riportata nella prima fase di selezione nazionale: 13/15 (soglia richiesta per l’ammissione
alla seconda fase 14/15).
9.3
Altri progetti di ricerca
6. Titolo del Progetto: “Questioni di Geometria, Topologia e Algebra”.
Finanziato da: Univ. di Milano, Dip. di Matematica “Federigo Enriques”.
Durata: annuale; periodo: 2002.
Responsabile: Prof. A. Lanteri (Univ. di Milano).
7. Titolo del Progetto: “Questioni di Geometria, Topologia e Algebra”.
Finanziato da: Univ. di Milano, Dip. di Matematica “Federigo Enriques”.
Durata: annuale; periodo: 2003.
Responsabile: Prof. A. Lanteri (Univ. di Milano).
8. Titolo del Progetto: “Questioni di Geometria, Topologia e Algebra”.
Finanziato da: Univ. di Milano, Dip. di Matematica “Federigo Enriques”.
Durata: annuale; periodo: 2004.
Responsabile: Prof. A. Lanteri (Univ. di Milano).
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PROGETTI DI RICERCA
9. Titolo del Progetto: “Geometria sulle varietà algebriche”.
Finanziato da: MIUR e Univ. di Milano.
Durata: 2 anni; periodo: 2002-2004.
Responsabili: Prof. A. Lanteri (Univ. di Milano) e Prof. A. Verra (Univ. di Roma III).
10. Titolo del Progetto: “Questioni di Geometria, Topologia e Algebra”.
Finanziato da: Uni. di Milano, Dip. di Matematica “Federigo Enriques”.
Durata: annuale; periodo: 2005.
Responsabile: Prof. A. Lanteri (Univ. di Milano).
11. Titolo del Progetto: “Geometria sulle varietà algebriche”.
Finanziato da: MIUR e Univ. di Milano.
Durata: 2 anni; periodo: 2005-2006.
Responsabili: Prof. L. Van Germen (Univ. di Milano) e Prof. A. Verra (Univ. di Roma III).
12. Titolo del Progetto: “Project PRIN 2004 (Progetti di rilevante interesse nazionale)”.
Finanziato da: National government funds.
Durata: 2 anni; periodo: 2004-2005.
Responsabile: Prof. A. Vistoli (Univ. di Bologna).
13. Titolo del Progetto: “RFO 2006 funds (Ricerca Fondamentale Orientata).”
Finanziato da: Univ. di Bologna.
Durata: 1 anno; periodo: 2006.
Responsabile: Prof. M. Manaresi (Univ. di Bologna).
14. Titolo del Progetto: “Project PRIN 2006 (Progetti di rilevante interesse nazionale)”.
Finanziato da: National government funds.
Durata: 2 anni; periodo: 2006-2007.
Responsabile: Prof. M. Manaresi (Univ. di Bologna).
15. Titolo del Progetto: “RFO 2007 funds (Ricerca Fondamentale Orientata).”
Finanziato da: Univ. di Bologna.
Durata: 1 anno; periodo: 2007.
Responsabile: Prof. M. Manaresi (Univ. di Bologna).
16. Titolo del Progetto: “RFO 2008 funds (Ricerca Fondamentale Orientata).”
Finanziato da: Univ. di Bologna.
Durata: 1 anno; periodo: 2008.
Responsabile: Prof. M. Manaresi (Univ. di Bologna).
17. Titolo del Progetto: “RFO 2009 funds (Ricerca Fondamentale Orientata).”
Finanziato da: Univ. di Bologna.
Durata: 1 anno; periodo: 2009.
Responsabile: Prof. M. Manaresi (Univ. di Bologna).
18. Titolo del Progetto: “Project PRIN 2008 (Progetti di rilevante interesse nazionale)”.
Finanziato da: National government funds.
Durata: 2 anni; periodo: 2008-2009.
Responsabile: Prof. M. Manaresi (Univ. di Bologna).
Bologna, 30 ottobre 2015
21
Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi 10
PREMI E RICONOSCIMENTI NAZIONALI ED INTERNAZIONALI
19. Titolo del Progetto: “RFO 2013 funds (Ricerca Fondamentale Orientata).”
Finanziato da: Univ. di Bologna.
Durata: 1 anno; periodo: 2013.
Responsabile: Prof. M. Manaresi (Univ. di Bologna).
20. Titolo del Progetto: “Project PRIN 2013 (Progetti di rilevante interesse nazionale)”.
Finanziato da: National government funds.
Durata: 2 anni; periodo: 2013-2016.
Responsabile: Prof. M. Mella (Univ. di Ferrara).
10
Premi e riconoscimenti Nazionali ed Internazionali
1. MARIE CURIE FELLOW
Presso il centro INRIA Sophia Antipolis Mediterrancèe (Francia)
Scientific in charge: prof. B. Mourrain
Progetto finanziato dalla Comunità Europea: FP7-PEOPLE-2009-IEF-252367-DECONSTRUCT:
Decomposition of Structured tensors, Algorithms and Characterization.
Periodo: Novembre 2010–Novembre 2012.
Punteggio della valutazione scientifica del progetto: 86, 40/100, 00.
2. Borsa di studio ENAM per studenti universitari meritevoli.
Anni Accademici: 1996–1997, 1997–1998, 1998–1999, 1999–2000.
3. Selezionata tra i 100 migliori studenti di scuola secondaria italiana per il corso di orientamento
universitario a Cortona.
SCUOLA NORMALE SUPERIORE DI PISA.
Estate 1995.
4. Borsa di studio: Miglior studente del Liceo Scientifico Polo Scolastico Maria Montessori (Porretta
Terme, Bologna).
Rilasciato dal Lions Club di Granaglione Alto Reno nel Dicembre 1996.
5. Premi miglior studente del Liceo Scientifico Polo scolastico Maria Montessori (Porretta Terme,
Bologna). Rilasciato dal Comune di Gaggio Montano (Bologna).
Anni Scolastici: 1991–1992, 1992–1993, 1993–1994, 1994–1995, 1995–1996.
6. Premio VI Latinus Ludus.
Rilasciato dal Lions Club Cattolica, Maggio 1992.
7. Premio miglior studente del Comune di Gaggio Montano della Scuola Media Salvo D’Aquisto (Gaggio Montano, Bologna) relativamente all’ Anno Scolastico: 1991–1992.
Rilasciato nel Maggio 1992.
Bologna, 30 ottobre 2015
22
Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
11
11.1
11
ATTIVITÀ DIDATTICA
Attività didattica
Attività didattica all’estero (per studenti di dottorato e oltre)
1. Researcher Assistant per il seguente American PhD course in Math.: “MATH 689-computational
complexity geometry”, I Semestre A.A. 2005–2006, Texas A&M University, College Station (Texas,
USA); titolare del corso: Prof. JM Landsberg.
2. Teaching Assistant dei Prof. JM Landsberg (Texas A&M, Texas, USA), L.-H. Lim (UC Berkeley,
California, USA) e J. Morton (UC Berkeley, California, USA) per il “Graduate Workshop Geometry
and representation theory of tensors for computer science, statistics and other areas”, presso l’MSRI
(Mathematical Sciences Research Institute) di Berkeley (California, USA). Periodo del Workshop:
Luglio 2008.
3. Main Speaker alla “36th Autumn School in Algebraic Geometry: Power sum decomposition and
apolarity, a geometric approach”. La scuola era di livello avanzato per studenti di dottorato e oltre.
1–7 Settembre 2013, Lukecin, Polonia.
11.2
11.2.1
Attività didattica in Italia
Corsi tenuti in qualità di Titolare
1. Algebra 2, Corso del secondo anno, II semestre, A.A. 2012–2013, Dip. di Matematica. Univ. di
Torino, Co-titolarietà col Prof. Y. Chen.
2. Geometria 1, Corsi A e B. Corso del primo anno, II semestre, A.A. 2012–2013, Dip. di Matematica.
Univ. di Torino, Co-titolarietà con la Prof. E. Abbena e la Prof. C. Casagrande.
3. Geometria, Corso del primo anno, II semestre, A.A. 2014–2016, Ingegneria edile - architettura,
Univ. di Bologna.
4. Linear Algebra (in inglese, convenzionato con l’universtià di Glascow) Corso del primo anno, II
Semestre, A.A. 2015–2016. Scienze Statistiche, Bologna.
11.2.2
Corsi di esercitazione
1. Geometria e Algebra I. Corso del primo anno, I semestre, A.A. 2002–2003, titolare Prof. G.
Bolondi, facoltà di Ingegneria Matematica e Fisica, Politecnico di Milano.
2. Elementi di Analisi Matematica, Algebra e Geometria. Corso del primo anno, I semestre,
A.A. 2003–2004, titolare Prof. F. Colombo, facoltà di Ingegneria Meccanica, Politecnico di Milano.
3. Geometria e Algebra Lineare, (allievi A-K e L-Z). Corso del primo anno, I semestre, A.A.
2003–2004, 2006–2008, titolare Prof. A. Gimigliano, facoltà di Ingegneria Gestionale, Univ. di
Bologna.
4. Analisi Matematica B (allievi Ingegneri Civili). Corso del primo anno, II Semestre A. A.
2004–2005, Allievi ingegneri civili, Milano Politecnico, titolare Prof. G. Verzini.
Bologna, 30 ottobre 2015
23
Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
12
PUBBLICAZIONI E PREPRINTS
5. Geometria e Algebra (Corso integrato, moduli di Algebra e Geometria), II semestre,
A.A. 2007–2009, titolare Prof. A. Gimigliano, C.d.L. Scienze della Formazione Primaria, Facoltà
di Scienze della Formazione, Univ. di Bologna.
6. Analisi Matematica I, Geometria e Algebra Lineare (Corso integrato, moduli di Geometria e Algebra Lineare), (allievi A-K e L-Z). Corso del primo anno, I trimestre, A.A.
2008–2010 titolare Prof. A. Gimigliano, facoltà di Ingegneria Gestionale, Univ. di Bologna.
12
12.1
Pubblicazioni e Preprints
Valutazioni ANVUR
Ultimo aggiornamento 24 Settembre 2015
Numero Articoli: ** 26**
(di cui 22 negli ultimi 5 anni).
Numero di articoli normalizzato: ** 26 **
(da compararsi col valore ANVUR di ** 9 ** per le mediane tra i professori ordinari italiani in Geometria
ed Algebra)
Metodo di calcolo ANVUR = (]articoli) × 10/(età accademica + 1)
Numero di articoli degli ultimi 5 anni normalizzato: ** 36,67 **
Metodo di calcolo ANVUR = (]articoli degli ultimi 5 anni) × 10/(5 + 1)
Età Accademica di A. Bernardi = 2015 − 2006 = 9
I dati seguenti sono stati calcolati utilizzando i valori di Scopus in data 24 Settembre 2015.
Numero totale di citazioni ricevute: ** 132 ** in 91 documenti
Numero Massimo di citazioni totali in un articolo: ** 52 **
Numero di citazioni normalizzate: ** 13,2 **
(da compararsi col valore ANVUR di ** 3.23 ** per le mediane tra i professori ordinari italiani in Geometria ed Algebra)
P
Metodo di calcolo ANVUR = ( citazioni)/(1 + età accademica)
Numero di citazioni normalizzate
P negli articoli degli ultimi 5 anni: ** 18,7 **
Metodo di calcolo ANVUR = ( citazioni ultimi 5 anni)/(1 + 5)
h-index: ** 6 **
h-index contemporaneo: ** 4 **
(da compararsi col valore ANUR di ** 3 ** per le mediane tra i professori ordinari italiani in Geometria
ed Algebra)
Metodo di calcolo AVNUR per ogni citazione = 4 × (]citazioni di ogni articolo)/(1 + età dell’articolo)
12.2
Libri
Algebra lineare e geometria analitica. A. Bernardi, A. Gimigliano. Città studi. 2014.
Bologna, 30 ottobre 2015
24
Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
12.3
12
PUBBLICAZIONI E PREPRINTS
Tesi di Dottorato
Varieties parameterizing forms and their secant varieties
Alessandra Bernardi
Relatore: Prof. A. Gimigliano (Univ. di Bologna).
Tesi svolta presso il Dip. di Matematica “Federigo Enriques” dell’ Univ. di Milano,
Titolo conseguito il 13 Febbraio 2006.
URL: http://amsacta.cib.unibo.it/2839/1/tesi.pdf
Per l’ABSTRACT si veda la Sezione 2 di questo Curriculum.
12.4
Pubblicazioni
1. Some defective secant varieties to osculating varieties of Veronese surfaces.
A. Bernardi, M. V. Catalisano.
Collect. Math. 57 (1), (2006), 43–68.
URL: http://www.collectanea.ub.edu/index.php/Collectanea/article/view/4084
DOI: not assigned.
ISSN: 0010-0757.
Sia Vd ⊂ PN , N = d+2
− 1, la d-esima immersione di Veronese di P2 definita dal
2
sistema lineare completo di forme di grado d. Sia Ok,d ⊂ PN la k-esima varietà osculante
s
a Vd , e sia Ok,d
⊂ PN la (s − 1)-esima varietà delle secanti di Ok,d . In questo lavoro si
s
calcola la dimensione di Ok,d
per 3 ≤ s ≤ 6 e s = 9 (i casi 1 ≤ s ≤ 2 sono già noti e i
casi s = 7, 8 sono stati studiati nella tesi di dottorato della sottoscritta). In particolare
s
non ha la dimensione aspettata.
nei casi suddetti si sottolinea quando la varietà Ok,d
L’idea utilizzata in questo articolo è di associare, tramite il metodo dei Sistemi Inversi,
s
a Ok,d
un sottoschema 0-dimensionale Y ⊂ P2 con supporto su s punti generici. Dalla
s
costruzione di Y segue che dim Ok,d
= N − h0 (P2 , IY (d)). Si collega poi la postulazione di
Y con la postulazione di un sottoschema zero-dimensionale X ⊂ P2 costituito da s punti
grassi (k + 1)-esimi generici, la cui postulazione è nota per s ≤ 9. Si danno anche alcuni
risultati per s il quadrato di un numero naturale.
2. Osculating varieties of Veronese Varieties and their higher secant varieties.
A. Bernardi, M.V. Catalisano, A. Gimigliano e M. Idà.
Canad. J. Math. 59 (3), 2007, 488–502.
URL: http://www.math.ca/cjm/v59/p488
DOI: not assigned.
ISSN: 0008-414X.
Sia Vd ⊂ PN , N = d+2
− 1, la d-esima immersione di Veronese di Pn definita dal
2
sistema lineare completo di forme di grado d. Sia Ok,n,d la k-esima varietà osculante a
Vd . In questo articolo si studia col metodo dei Sistemi Inversi (o Apolarità) la dimensione
delle sue varietà delle secanti. Il metodo è quello di associare alla varietà delle secanti a
Ok,n,d un dato schema 0-dimensionale Y ⊂ Pn , se ne studia la funzione di Hilbert e in
moti casi questo permette di determinare quando la varietà in questione sia difettiva o
meno.
Bologna, 30 ottobre 2015
25
Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
12
PUBBLICAZIONI E PREPRINTS
3. Ideals of varieties parameterized by certain symmetric tensors.
A. Bernardi.
J. Pure Appl. Algebra, 212 (6), 2008, 1542–1559.
URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S002240490700271X
DOI: 10.1016/j.jpaa.2007.10.022.
ISSN: 0022-4049.
L’ideale della varietà di Segre è noto essere generato dai minori di ordine 2 di una generica ipermatrice di indeterminate. In questo lavoro si estende tale risultato alle varietà di
Segre-Veronese. Lo strumento principale utilizzato sono le “weak generic hypermatrix”
che permettono di trattare anche il caso di proiezioni di varietà di Veronese da sottovarietà
di codimensione 2.
4. Secant varieties to osculating varieties of Veronese embeddings of Pn .
A. Bernardi, M.V. Catalisano, A. Gimigliano e M. Idà.
J. Algebra, 321, (2009), 982–1004.
URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021869308005486
DOI: 10.1016/j.algebra.2008.10.020.
ISSN: 0021-8693.
Un noto teorema di Alexander-Hirschowitz afferma che tutte le varietà secanti a Vn,d (il
d-esimo embedding di Pn ) hanno la dimensione aspettata eccetto in pochi casi eccezionali.
In questo lavoro studiamo l’analogo problema per Tn,d , la varietà tangenziale a Vn,d , e dimostriamo una congettura, che è appunto l’analogo del teorema di Alexander-Hirschowitz,
per n ≤ 9. Dimostriamo inoltre che vale per ogni n, d se vale per d = 3. Generalizziamo
poi questo caso a Ok,n,d , la k-esima varietà osculante a Vn,d , dimostrando, per n = 2,
una congettura che lega la difettività di σs (Ok,n,d ) alla funzione di Hilbert di certi insiemi
di punti grassi in Pn .
5. On the variety parametrizing completely decomposable polynomials.
E. Arrondo, A. Bernardi.
J. Pure Appl. Algebra, 215, (2011), 201–220.
URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022404910000824
DOI: 10.1016/j.jpaa.2010.04.008.
ISSN: 0022-4049.
L’intenzione di questo articolo è di mettere in relazione la varietà Splitd (Pn ) che parametrizza polinomi omogenei completamente decomponibili di grado d in n + 1 variabili su
un campo algebricamente chiuso e di caratteristica 0, con la Grassmanniana degli spazi
proiettivi (n − 1)-dimensionali di Pn+d−1 . Calcoliamo la dimensione di alcune varietà
secanti a Splitd (Pn ) e troviamo un controesempio ad una congettura che affermava che
la sua dimensione dovesse essere collegata alla dimensione della varietà delle secanti
a G(n − 1, n + d − 1). Inoltre, utilizzando un’immersione invariante della varietà di
Veronese nello spazio di Plücker, possiamo calcolare l’intersezione di G(n − 1, n + d − 1)
con Splitd (Pn ), alcune delle sue varietà delle secanti la varietà tangenziale e il secondo
spazio osculatore alla varietà di Veronese.
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Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
12
PUBBLICAZIONI E PREPRINTS
6. Computing symmetric rank for symmetric tensors.
A. Bernardi, A. Gimigliano, M. Idà.
Journal of Symbolic Computation, 46, (2011), 34–53.
URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0747717110001240
DOI: 10.1016/j.jsc.2010.08.001.
ISSN: 0747-7171.
Consideriamo il problema di determinare il rango simmetrico per tensori simmetrici tramite l’approccio della geometria algebrica. Diamo algoritmi per il calcolo del rango simmetrico per tensori simmetrici 2 × · · · × 2, e per tensori di border rank “piccolo”. Da un
punto di vista geometrico, descriviamo gli strati di rango simmetrico per alcune varietà
secanti a varietà di Veronese.
7. Higher secant varieties of Pn × Pm embedded in bi-degree (1, d).
A. Bernardi, E. Carlini, M. V. Catalisano.
J. Pure Appl. Algebra, 215, (2011), 2853–2858.
URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S002240491100096X
DOI: 10.1016/j.jpaa.2011.04.005.
ISSN: 0022-4049.
(n,m)
Sia X(1,d) la varietà di Segre-Veronese: immersione di Pn × Pm tramite le sezioni del
fascio O(1, d). In questo articolo studiamo la dimensione delle varietà delle secanti di
(n,m)
X(1,d) e dimostriamo che la s-esima varietà delle secanti non è difettiva, eccetto per
alcuni valori di n e di s. Inoltre quando m+d
è multiplo di (m + n + 1), l’s-esima
d
(n,m)
varietà delle secanti di X(1,d) ha la dimensione aspettata per ogni s.
8. Multihomogeneous Polynomial Decomposition using Moment Matrices
A. Bernardi, J. Brachart, P. Comon, B. Mourrain.
A. Leykin editor, International Symposium of Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC), 35–
42,
San Jose, CA, USA, June, 2011, ACM New York.
URL: http://portal.acm.orgcitation.cfm?id=1993886.1993898&coll=DL&dl=ACM& CF ID = 30387648&=71177337
DOI: 10.1145/1993886.1993898.
ISBN: 978-1-4503-0675-1.
In questo articolo affrontiamo l’importante problema della decomposizione di un tensore
che può essere visto come una generalizzazione del Singular Value Decomposition per le
matrici. Consideriamo tensori multilineari e multiomogenei generici. Mostriamo come
ridurre il problema ad un problema di truncated moment matrix e diamo un nuovo criterio
per l’estensioni flat di matrici quasi-Hankel. Colleghiamo questo criterio alla caratterizzazione della commutabilità border basis. Descriviamo un nuovo algoritmo che si applica
per tensori multiomogenei generali, estendendo cosı̀ l’approccio di J.J. Sylvester sulle forme binarie. Un esempio illustra le operazioni algebriche coinvolte in questo approccio e
come la decomposizione può essere recuperata dal calcolo degli autovettori.
9. On the X-rank with respect to linear projections of projective varieties.
E. Ballico, A. Bernardi.
Bologna, 30 ottobre 2015
27
Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
12
PUBBLICAZIONI E PREPRINTS
Mathematische Nachrichten, 284, (17–18), (2011), 2133–2140.
URL: http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/mana.200910275/full
DOI: 10.1002/mana.200910275.
ISSN: 1522-2616.
In questo lavoro miglioriamo il noto bound per l’X-rango RX (P ) di un elemento P ∈ PN
nel caso in cui X ⊂ Pn sia una varietà proiettiva ottenuta come proiezione lineare da un
sottospazio generale V ⊂ Pn+v di dimensione v. Se poi X ⊂ Pn è una curva ottenuta
da una proiezione di una curva razionale normale C ⊂ Pn+1 da un punto O ⊂ Pn+1 ,
possiamo descrivere il valore preciso dell’X-rango per quei punti P ∈ Pn tali che RX (P ) ≤
RC (O) − 1 e migliorare il risultato generale. Diamo inoltre una stratificazione, tramite
l’X-rango, degli spazi osculatori a curve proiettive cuspidali. Infine descriviamo l’Xrango di sottospazi e ne diamo un nuovo bound sia nel caso generale che rispetto a curve
proiettive non degeneri.
10. On the X-rank with respect to linearly normal curves.
E. Ballico, A. Bernardi.
Collectanea Mathematica, 64 (2), (2013), 141–154.
URL: http://link.springer.com/article/10.1007/s13348-011-0058-4?null
DOI: 10.1007/s13348-011-0058-4.
ISSN: 0010-0757.
In questo articolo studiamo l’ X-rango di punti rispetto a curve X ⊂ Pn lisce e linearmete
normali di genere g e grado n + g.
Proviamo che, per una tale curva X, sotto certe condizioni, l’X-rango di un punto generale appartenente alla s-esima varietà delle secanti ad X è minore o uguale a n + 1 − s.
Nel caso particolare di curve di genere 2, diamo una descrizione completa dell’X-rango
se n = 3, 4; mentre se n ≥ 5 studiamo l’X-rango di punti appartenenti alla varietà
tangenziale ad X.
11. Algebraic Geometry tools for the study of entanglement: an application to spin squeezed states
A. Bernardi, I. Carusotto.
J. Phys. A: Math. Theor. 45 (2012), 105304 (13pp).
URL: http://iopscience.iop.org/1751-8121/45/10/105304?fromSearchPage=true
DOI: 10.1088/1751-8113/45/10/105304.
ISSN 1751-8121.
Una breve rassegna di strumenti di geometria algebrica per la decomposizione dei tensori
e polinomi è presentata dal punto di vista delle applicazioni alla fisica quantistica e e alla
fisica atomica. Esempi di applicazione a gas di atomi bosonici a due livelli sono discussi
usando formulazioni moderne del classico algoritmo di Sylvester per la decomposizione
dei polinomi omogenei in due variabili. In particolare, si calcola il rango simmetrico e
il border rango simmetrico di stati spin squeezed; la loro decomposizione come somma
di stati di spin coerenti macroscopicamente diversi e’ interpretata in termini di gatto di
Schrödinger. Gli stati di Fock forniscono invece un esempio di stati per i quali il rango
simmetrico e il border rango simmetrico sono diversi.
Bologna, 30 ottobre 2015
28
Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
12
PUBBLICAZIONI E PREPRINTS
12. A partial stratification of secant varieties of Veronese varieties via curvilinear subschemes.
E. Ballico, A. Bernardi.
Sarajevo Journal of Mathematics, 8 (20), 33–52 (2012).
URL: http://www.anubih.ba/Journals/vol.8,no-1,y12/05RevBallico-11.pdf
DOI: Not assigned.
ISSN 2233-1964.
In questo articolo diamo una “ quasi-stratificazione ” parziale delle varietà di Veronese di
ordine d di Pm . Essa copre l’insieme σt (Xm,d )† di tutti punti appartenenti a spazi generati
da sottoschemi curvilinei delle Veronese, ma due “ quasi-strati ” possono sovrapporsi.
Per piccoli border rank due “ quasi-strati ” sono disgiunti. In questo caso noi calcoliamo
il rango simmetrico dei loro elementi. I nostri strumenti principali sono gli schemi di
Hilbert di sottoschemi curvilinei di varietà di Veronese. Per ottenere una stratificazione
attacchiamo ad ogni P ∈ σt (Xm,d )† la minima indicizzazione di un quasi-stratum che lo
contenga.
13. Decomposition of homogeneous polynomials with low rank.
E. Ballico, A. Bernardi.
Math. Z. (2012) 271:1141–1149.
URL: http://link.springer.com/article/10.1007/s00209-011-0907-6
DOI : 10.1007/s00209-011-0907-6.
ISSN: 0025-5874.
Sia F un polinomio omogeneo di grado d in m + 1 variabili definito su un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero, e si supponga che F appartenga alla s-esima
m+d
varietà delle secanti della varietà di Veronese standard Xm,d ⊂ P( d )−1 ma che la sua
decomposizione minimale come somma di potenze d-esime di forme lineari M1 , . . . , Mr sia
F = M1d +· · ·+Mrd con r > s. Mostriamo che se s+r ≤ 2d+1 allora tale decomposizione
di F consta di due parti: una di esse è costituita da forme lineari che possono essere scritte utilizzando solo due variabili, l’altra parte è univocamente determinata una volta fissate
le forme nella prima parte. Diamo inoltre un teorema di unicità per la decomposizione
minimale di F se in rango è al più d e viene soddisfatta una debole condizione.
14. Higher secant varieties of Pn × P1 embedded in bi-degree (a, b).
E. Ballico, A. Bernardi, M. V. Catalisano.
Communications in Algebra. 40:3822–3840 (2012).
URL: http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00927872.2011.595748
DOI: 10.1080./00927872.2011.595748.
ISSN: 0092-7872.
In questo articolo calcoliamo la dimensione di tutte le varietà secanti alle varietà di SegreVeronese immerse con Pn × P1 via le sezioni del fascio O(a, b) per ogni n, a, b ∈ Z+ . Mettiamo in realzione questo risultato con la Grassmann Defettività delle varietà di Veronese
e classifichiamo tutte le varietà di Veronese che sono Grassmann (1, s − 1)-difettive.
15. Symmetric tensor rank with a tangent vector: a generic uniqueness theorem.
E. Ballico, A. Bernardi.
Bologna, 30 ottobre 2015
29
Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
12
PUBBLICAZIONI E PREPRINTS
Proceedings of the American Mathematical Society, 140 (10), (2012), 3377–3384.
URL: http://www.ams.org/journals/proc/2012-140-10/S0002-9939-2012-11191-8/
DOI: 10.1090/S0002-9939-2012-11191-8.
ISSN: 0002-9939.
Sia Xm,d ⊂ PN , con N = m+d
− 1, la d-esima immersione di Veronese di Pm . Sia poi
d
N
τ (Xm,d ) ⊂ P la vareità tangenziale ad Xm,d . Per ogni intero t ≥ 2, sia τ (Xm,d , t) ⊂ PN
il Join di τ (Xm,d ) e t−2 copie di Xm,d . In questo articolo mostriamo che per un generico
P ∈ τ (Xm,d , t), se m ≥ 2, d ≥ 7 e t ≤ 1 + b m+d−2
/(m + 1)c esistono e sono unici i
m
punti P1 , . . . , Pt−2 ∈ Xm,d e il vettore ν tangente a Xm,d tale che P ∈ hν, P1 , . . . , Pt−2 i.
I.e. una forma f di grado d (un tensore simmetric T di ordine d) associata a P può
essere scritta in modo unico a meno di costanti come
f = Ld−1
t−1 Lt +
t−2
X
⊗d−1
Ldi (T = vt−1
⊗ vt +
i=1
t−2
X
vi⊗d )
i=1
con Li forme lineari su Pm (vi vettori di uno spazio vettoriale di dimensione m + 1).
16. Grassmann secants, identifiability, and linear systems of tensors.
E. Ballico, A. Bernardi, M. V. Catalisano, L.Chiantini.
Linear Algebra and its Applications, 438 (2013), 121–135.
URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0024379512006076
DOI: 10.1016/j.laa.2012.07.045.
ISSN: 0024-3795.
Sia X ⊂ Pr una varietà irriducibile non degenere. In questo articolo mettiamo in relazione la dimensione della varietà delle s secanti all’immersione di Segre di Pk × X alla
dimensione della (k, s)-Grassmann varietà secante GSX (k, s) di X. Diamo anche un
criterio per la s-identificabilità di X.
17. On the cactus rank of cubic forms
A. Bernardi, K. Ranestad.
Journal of Symbolic Computation, 50 (2013), 291–297.
URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0747717112001332
DOI: 10.1016/j.jsc.2012.08.001.
ISSN. 0747-7171.
In questo articolo dimostriamo che il più piccolo grado di uno schema 0-dimensionale
apolare ad una forma cubica generale in n + 1 variabili è al più 2n + 2, quando n ≥ 8, e
quindi più piccolo del rango della forma. Il grado più piccolo di uno schema apolare ad
una forma cubica generica è n + 2, mentre il rango è almeno 2n.
18. General Tensor Decomposition, Moment Matrices and Applications.
A. Bernardi, J. Brachart, P. Comon, B. Mourrain.
J. Symbolic Comput. Special Issue: ISSAC-2011, 52 (2013), 51–71
URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0747717112001290
DOI: 10.1016/j.jsc.2012.05.012.
ISSN: 978-1-4503-0675-1.
Bologna, 30 ottobre 2015
30
Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
12
PUBBLICAZIONI E PREPRINTS
In questo articolo affrontiamo l’importante problema della decomposizione di un tensore
che può essere visto come una generalizzazione del Singular Value Decomposition per le
matrici. Consideriamo tensori multilineari e multiomogenei generici. Mostriamo come
ridurre il problema ad un problema di truncated moment matrix e diamo un nuovo criterio
per l’estensioni flat di matrici quasi-Hankel. Colleghiamo questo criterio alla caratterizzazione della commutabilità border basis. Descriviamo un nuovo algoritmo che si applica
per tensori multiomogenei generali, estendendo cosı̀ l’approccio di J.J. Sylvester sulle forme binarie. Un esempio illustra le operazioni algebriche coinvolte in questo approccio e
come la decomposizione può essere recuperata dal calcolo degli autovettori.
19. Real and complex rank for real symmetric tensors with low ranks
E. Ballico, A. Bernardi.
Algebra, vol. 2013, Article ID 794054, 5 pages, 2013.
URL: http://www.hindawi.com/journals/algebra/aip/794054/
DOI:10.1155/2013/794054.
ISSN: 2314-4106.
In questo lavoro studiamo il caso di un polinomio omogeneo P le cui decomposizioni
reale e complessa in termini di potenze di forme lineari sono diverse. In particolare
mostriamo che, se la somma del rango reale e del rango complesso a P è minore o uguale
di 3 deg(P ) − 1, allora la differenza tra le due decomosizioni è interamente determinata
o su una retta o su una conica.
20. Unique decomposition for a polynomial of low rank
E. Ballico, A. Bernardi.
Ann. Polon. Math. 108 (2013), 219–224.
URL: http://journals.impan.pl/ap/Inf/108-3-2.html
DOI: 10.4064/ap108-3-2.
ISSN: 0066-2216.
Sia F un polinomio omogeneo di grado d in m+1 variabili definito su un campo algebricamente chiuso di caratteristica 0 e si supponga che F appartenga alla s-esima varietà secanm+d
te alla d-esima immersione di Veronese di Pm in P( d )−1 ma che la sua decomposizione
minimale come somma di potenze d-esime richieda piú di s addendi. Noi mostriamo che
se s ≤ d allora F può essere scritta in modo unico nella forma F = M1d + · · · + Mtd + Q,
dove P
M1 , . . . , Mt sono forme lineari con t ≤ (d − 1)/2, e Q è una forma
Pbinaria tale che
q
Q = i=1 lid−di mi con li forme lineari e mi forme di grado di tali che (di + 1) = s − t.
21. Minimal decomposition of binary forms with respect to tangential projections.
E. Ballico, A. Bernardi.
Journal of Algebra and its Applications, 12 (6), (2013) 1350010 (8 pages).
URL: http://dx.doi.org/10.1142/S0219498813500102
DOI: 10.1142/S0219498813500102.
ISSN: 0021-8693.
Sia C ⊂ Pn+1 una curva razionale normale e sia X ⊂ Pn una qualunque proiezione
tangenziale. Per ogni P ∈ Pn , descriviamo l’ X-rango rX (P ) di P in termini di schemi
che computano il C-rango o il border C-rango di B.
Bologna, 30 ottobre 2015
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CV di Alessandra Bernardi
12
PUBBLICAZIONI E PREPRINTS
22. Tensor ranks on tangent developable of Segre varieties.
E. Ballico, A. Bernardi.
Linear and Multilinear Algebra, 61 (7) , 881–894 (2013).
URL: http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/03081087.2012.716430
DOI: 10.1080/03081087.2012.716430.
ISSN: 0308-1087.
In questo articolo descriviamo la stratificazione attraverso il rango tensoriale della varietà
tangenziale ad ogni varietà di Segre. Diamo algoritmi per calcolare il rango e la decomposizione di un tensore appartenente alla varietà delle secanti in rette ad ogni varietà di
Veronese. Dimostriamo la congettura di Comon sul rango dei tensori simmetrici per quei
tensori che appartengono alla vareità tangenziale alla varietà di Veronese.
23. Stratification of the fourth secant variety of Veronese variety via the symmetric rank.
E. Ballico, A. Bernardi.
Advances in Pure and Applied Mathematics, 4 (2), 215–250 (2013).
URL: http://www.degruyter.com/dg/viewarticle/j$002fapam.2013.4.issue-2$002fapam-2013-0015$002
fapam-2013-0015.xml
DOI: 10.1515/apam-2013-0015.
ISSN: 1869-6090.
Se X ⊂ Pn è una varietà proiettiva non degenere, l’X-rango di un punto P ∈ Pn si
definisce come il più piccolo intero r tale che P appartiene allo spazio lineare proiettivo
generato da r punti di X. Noi descriviamo la stratificazione completa della quarta varietà
delle secanti di ogni varietà di Veronese X tramite l’X-rango. Questo risultato ha una
equivalente traduzione in termini sia di tensori simmetrici che di polinomi omogenei. Esso
permette di classificare tutti i possibili interi r che possono comparire nella decomposizione
minimale o di un tensore simmetrico o di un polinomio omogeno di X-border rango 4 come
una combinazione lineare rispettivamente o di tensori completamente decomponibili o di
potenze di forme lineari.
24. A comparison of different notions of ranks of symmetric tensors
A. Bernardi, J. Brachat, B. Mourrain.
Linear Algebra and Its Applications, 460, 2014, 205–230.
URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S002437951400487X
Doi:10.1016/j.laa.2014.07.036.
ISSN: 0024-3795.
Introduciamo diverse nozioni di rango per tensori simmetrici, in particolare: rango, rango
di bordo, rango cataletticante, rango generalizzato, lunghezza schematica, lunghezza schematica di bordo, rango dell’estensione e rango lisciabile. Analizziamo la stratificazione
indotta da questi ranghi. Le relazioni tra queste stratificazioni permettono di descrivere una gerarchia tra i ranghi. Mostriamo che disuguaglianze strette tra rango, rango di
bordo, rango dell’estenione e rango cataletticante sono possibili, Mostriamo inoltre che la
lunghezza schematica, il rango generalizzato e il rango dell’estensione coincidono.
25. A Note on plane rational curves and the associated Poncelet Surfaces.
A. Bernardi, A. Gimigliano, M. Idà.
Bologna, 30 ottobre 2015
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Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
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PUBBLICAZIONI E PREPRINTS
Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste 47, 1–6 (2015).
URL: http://hdl.handle.net/10077/11219
DOI: 10.13137/0049-4704/11219
ISSN: 0049-4704
Consideriamo la parametrizzazione (f0 , f1 , f2 ) di una curva razionale piana C, e vogliamo mettere in relazione lo spezzamento di C (i.e. i secondi numeri di Betti dell’ideale
(f0 , f1 , f2 ) ⊂ K[P1 ]) con le singolarità della superficie di Poncelet associata in P3 . Siamo
in grado di farlo per le curve Ascenzi. Inoltre dimostriamo che se la superfici di Poncelet
S ⊂ P3 è singolare allora è associata ad una curva C che possiede almeno un punto di
singolarità ≥ 3.
26. On Parameterizations of plane rational curves and their syzygies.
A. Bernardi. A. Gimigliano. M. Idà.
Accettato da Mathematische Nachrichten il 20 Luglio 2015.
URL: http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/mana.201500264/abstract
DOI 10.1002/mana.201500264.
Sia C una curva piana razionale di grado d e p : C̃ → C la sua normalizzazione. Siamo
interessati allo splitting type (a, b) di C, dove p∗ ΩP2 (1) ' OP1 (−a)⊕OP1 (−b); equivalentemente, abbiamo che OP1 (−a−d)⊕OP1 (−b−d) dà le syzige dell’ideale (f0 , f1 , f2 ) ⊂ K[s, t],
dove (f0 , f1 , f2 ) è una parametrizzazione di C. Mostriamo che (a, b) = (k, d−k) (2k ≤ d),
se e solo se C è la proiezione de una curva razionale normale su una superficie razionale
normale in Pk+1 .
12.5
Preprints
27. Curvilinear schemes and maximum rank of forms
E. Ballico, A. Bernardi.
Preprint: http://arxiv.org/abs/1210.8171
Definiamo il rango curvilineo di una forma P di grado d in n+1 variabli come la lunghezza
minimale di uno schema curvilineo contenunto nella d-esima immersione di Veronese di
Pn , il cui span contenga la classe proiettiva di P . Dopodiché diamo un upper bound per
il rango di ogni polinomio omogeneo in dipendenza dal suo rango curvilineo.
28. Lecture notes on Waring problems, Secant varieties and Sylvester algorithm
A. Bernardi.
Draft available at: http://www.mimuw.edu.pl/%7Ejabu/conf/2013/lukecin.html
Queste sono le Lecture notes del corso “Waring problems, Secant varieties and Sylvester
algorithm” che la sottoscritta ha tenuto per la 36th Autumn School in Algebraic Geometry
“Power sum decomposition and apolarity, a geometric approach” September 1st-7th, 2013
Lukecin, Polonia.
29. A uniqueness result on the decompositions of a bi-homogeneous polynomial
E. Ballico, A. Bernardi
Preprint: http://arxiv.org/abs/1507.06083.
Bologna, 30 ottobre 2015
33
Alessandra Bernardi
CV di Alessandra Bernardi
14
APPENDICE
Nella prima parte di questo lavoro diamo una descrizione precisa di tutte le decomposizioni
minimali di ogni polinomio p bi-omogeneo (tensore parzialmente simmetrico di S d1 V1 ⊗
S d2 V2 dove V1 , V2 sono due spazi vettoriali complessi di dimensione finita) se il suo rango
rispetto alla varietà di Segre-Veronese Sd1 ,d2 (V1 , V2 ) è più piccolo di (d1 +d22 +1) e d1 and
d2 differiscono al più di 2, o se il suo rango è più piccolo P
di (min{d12,d2 }+1) . Tale polinomio
r
può non avere una decomposizione minimale come p = i=1 λi pi con pi ∈ Sd1 ,d2 (V1 , V2 )
e λi coefficienti, ma possiamo mostrare che esistono degli unici p1 , . . . , pr0 , p01 , . . . , p0r00 ∈
Sd1 ,d2 (V1 , V2 ), due uniche forme lineari l ∈ V1∗ , l0 ∈ V2∗ , e due unici polinomi bivariati
Pr0
Pr00
q ∈ S d2 V2∗ and q 0 ∈ S d1 V1∗ tali che o p = i=1 λi pi + ld1 q o p = i=1 λ0i p0i + l0d2 q 0 , (λi , λ0i
coefficienti appropriati).
Nella seconda parte dell’articolo ci concentriamo sulla varietà tangenziale alla varietà
di Segre-Veronese. Calcoliamo il rango dei suoi tensori (che è valido anche nel caso di
vareità di Segre-Veronese di più fattori) e descriviamo la struttura delle decomposizioni
degli elementi nella varietà tangenziale alla varietà di Segre-Veronese di 2 fattori.
13
Recensore e Referee
Recensore nelle aree 14N05, 13D40, 14J26, 14M15, 13P10 (MSC 2000) per AMS Mathematical Reviews
e Zentralblatt MATH.
Referee per numerose riviste matematiche a diffusione internazionale tra cui in Classe A e B secondo
la valutazione ISI:
• Linear Algebra and its Applications (LAA).
• Numerical Linear Algebra with Applications (NLA).
• Algebra & Number Theory (ANT).
• Linear and Multilinear Algebra (LMA).
• Proceedings of the American Mathematical Society (Proc. Amer. Math. Soc.).
• Mediterranean Journal of Mathematics (MedJM).
14
14.1
Appendice
Valutazione scientifica della Comunità Europea del progetto Marie Curie
Punteggio della valutazione scientifica da parte della Comunità Europea di tale progetto:
86, 40/100, 00
di cui:
1. Qualità scientifica e tecnologica: 4,50 / 5,00 (0,25 %);
Punti di forza:
Bologna, 30 ottobre 2015
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14
APPENDICE
• La qualtià scientifica della proposta è molto buona, con applicazioni interdisciplinari.
• Il tema della proposta si inserisce con un approccio moderno all’interno di un campo di ricerca
classica.
• La metodologia è appropriata, copre molti argomenti, ed è compatibile con gli obiettivi.
• Il gruppo ospitante è eccellente, molto qualificato nel campo della proposta.
Punti deboli:
• Il progetto porebbe risultare ambizioso per la durata della posizione.
2. Formazione: 4,50 / 5,00 (0,15 %);
Punti di forza:
• Gli obiettivi della formazione della ricerca sono chiaramente spiegati e rilevanti.
• L’ulteriore formazione scientifica e le competenze complementari offerte, soprattutto per quanto riguarda le applicazioni multidisciplinari, sono di ottima qualità.
• L’esperienza del supervisore e del gruppo ospitante nella formazione di ricercatori esperti è
buona.
Punti deboli:
• Nessuno.
3. Ricerca: 4,30 / 5,00 (0,25 %);
Punti di forza:
• La traccia della ricerca riportata è molto buona, e i risultati già ottenuti sono molto interessanti.
• Buona corrispondenza tra il profilo del candidato e il progetto.
• La potenzialità di raggiungere una posizione di maturità professionale è alta.
• La potenzialità di acquisire nuove conoscenze è buona.
• L’indipendenza del pensiero e le qualità di leadership sono dimostrate.
Punti deboli:
• Nessuno.
4. Attuazione: 4,30 / 5,00 (0,15 %);
Punti di forza:
• La qualità delle infrastrutture e le opportunità della struttura ospitante sono molto alte.
• Gli ospiti sono coinvolti in molte collaborazioni internazionali.
• Le modalità pratiche per l’attuazione e la gestione del progetto scientifico sono molto buone.
• Il supporto per l’ospitalità del candidato è molto buono.
• Il piano di lavoro è dettagliato.
Punti deboli:
Bologna, 30 ottobre 2015
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14
APPENDICE
• Il progetto potrebbe venir realizzato solo in parte.
Commenti:
• Anche se il progetto verrà realizzato solo in parte con successo, il risultato sarebbe comunque
sostanziale.
5. Impatto: 4,00 / 5,00 (0,20 %)
Punti di forza:
• La potenzialità di acquisire competenze durante il progetto è alta.
• Il contributo all’eccellenza Europea e alla competitività dell’Europa è ben documentato.
Punti deboli:
• La descrizione dell’impatto dello sviluppo di carriere è principalmente un sommario dei risultati
aspettati, dell’acquisizione di capacità complementari e di alcuni fatti generali.
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