cap23(induzione)

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Cutnell, Johnson – Fisica volume 3
Capitolo 23 Induzione elettromagnetica
Domande
1. Se la bobina e il magnete della figura 23.1 si muovessero con la stessa velocità rispetto al terreno,
tra di essi non ci sarebbe alcun moto relativo. Il flusso magnetico attraverso la bobina, dovuto alla
calamita, sarebbe costante e quindi nella bobina non nascerebbe una forza elettromotrice indotta.
2. Un fulmine contiene delle cariche in movimento e quindi al suo interno circola una corrente.
Questa corrente ha un andamento variabile nel tempo perché le cariche del fulmine si muovono
erraticamente, quindi produce un campo magnetico variabile nel tempo. Molti dispositivi elettrici
hanno al loro interno delle bobine, per cui, se casualmente si trovano in un campo magnetico
variabile nel tempo, anche il flusso concatenato sarà variabile nel tempo e, per la legge di Faraday,
potranno nascere una forza elettromotrice indotta e una corrente indotta. Il fulmine può allora
determinare l’insorgere di una corrente indotta in un dispositivo elettrico, anche se non lo colpisce
direttamente.
3. La legge di Lenz stabilisce che la polarità della fem indotta è tale che la corrente indotta produce
un campo magnetico che si oppone alla causa che l’ha generata. Facendo riferimento alla bobina di
figura 23.2 :
Se gli avvolgimenti vengono tirati come mostra la figura, la sezione trasversale della bobina
diminuisce e, con essa, diminuisce anche il flusso concatenato. Per opporsi alla diminuzione del
flusso concatenato, deve essere prodotto un campo magnetico che faccia aumentare il valore del
campo già esistente e che, quindi, nella regione circostante la bobina deve essere entrante nella
pagina. Allora, per determinare il verso della corrente si può utilizzare la seconda regola della mano
destra: se teniamo la bobina nella mano destra con le dita entranti nella pagina (nel verso del campo
indotto), il pollice punterà verso destra, indicando così che il verso della corrente indotta è orario,
come mostra la figura.
Se la direzione del campo magnetico venisse invertita, con ragionamenti equivalenti a quelli appena
svolti dovremmo dedurre che il campo magnetico, per opporsi alla variazione di flusso, deve essere
uscente dalla pagina e, quindi, per la stessa regola precedente della mano destra, la corrente deve
circolare in senso antiorario.
4. Quando si chiude l’interruttore, nella bobina circola corrente: il campo magnetico associato alla
corrente esce dalla parte inferiore della bobina e entra in quella superiore. In altre parole, la parte
superiore della bobina funge da polo sud di una calamita e quella inferiore da polo nord. Al campo
magnetico della bobina è associato un flusso magnetico che attraversa l’anello metallico. Nel breve
lasso di tempo in cui la corrente aumenta da zero al suo valore stazionario, anche il campo
magnetico aumenta da zero al suo valore stazionario. All’aumentare del campo magnetico, aumenta
anche il flusso concatenato e quindi ci saranno una f.e.m e una corrente indotte nell’anello
metallico.
N
Induced
magnetic field
S
I
S
Coil
+
N
–
I
Magnetic field
due to coil
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Capitolo 23 Induzione elettromagnetica
Per la legge di Lenz, la polarità della f.e.m indotta deve opporsi alla variazione di flusso che l’ha
generata e, quindi, il campo magnetico indotto nell’anello sarà simile a quello di una calamita con il
polo nord in alto e il polo sud in basso. La situazione complessiva, allora, è simile a quella di due
calamite con i poli sud affacciati, che si respingono e l’anello viene “sbalzato” verso l’alto.
Se la polarità della batteria venisse invertita, l’anello verrebbe ancora “sbalzato” verso l’alto al
momento della chiusura del circuito. In questo caso, infatti, la corrente nella bobina circolerebbe in
verso opposto a quello precedente e il campo magnetico ad essa associato sarebbe simile a quello di
una calamita con il polo nord in alto e il polo sud in basso.
La chiusura dell’interruttore fa cambiare il flusso magnetico attraverso l’anello, determinando una
f.e.m e una corrente indotte.
In accordo alla legge di Lenz, il campo magnetico indotto nell’anello è simile a quello di una
calamita con il polo sud in alto e il polo nord in basso (vedi la figura in basso). Ancora una volta
saranno affacciati due poli dello stesso nome, che si respingono, e l’anello metallico sarà “sbalzato”
in alto.
S
Magnetic field
due to coil
Induced
magnetic field
N
I
N
Coil
I –
+
S
5. Prima che il filo venga avvolto a formare una bobina, il circuito è puramente resistivo, dove
Z = R, e quindi I eff = Veff / R . Quando il filo viene avvolto in modo da formare una bobina, il
2
circuito avrà anche un’induttanza e, quindi, la corrente sarà I eff = Veff / Z , dove Z = R 2 + X L .
Dato che Z è sicuramente maggiore di R, la corrente sarà minore quando il filo è avvolto a formare
una bobina.
6. La frequenza di risonanza di un circuito RLC è:
1
f0 =
2 ! LC
La frequenza di risonanza non dipende dal valore di R e, quindi, è possibile che due circuiti serie
RLC abbiano la stessa frequenza di risonanza, anche se hanno resistenze diverse.
La frequenza di risonanza è inversamente proporzionale a LC .
Due circuiti RLC in serie
possono avere la stessa frequenza di risonanza, anche se hanno capacità e induttanza diverse,
purché il prodotto LC sia lo stesso in entrambi i circuiti.
Test
1. A
2. C
3. B
4. D
5. C
6. A
7. B
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8. D
9. C
10. C
11. B
12. C
13. A
14. C
15. D
Problemi
1.
f.e.m. = vBL = (220 m/s)(5,0 · 10–6 T)(59 m) = 0,065 V
2.
(
3
)(
"5
)(
4
)
f.e.m. = vBL = 7,6 ! 10 m/s 5,1 ! 10 T 2,0 ! 10 m = 7800 V
3.
v=
f.e.m.
940 V
=
= 150 m/s
BL
(4,8 T)(1,3 m)
4.
La situazione rappresentata è simile a quella della figura 23.4 del testo. Possiamo applicare, allora,
la relazione
)(
)
f.e.m. = BvL = 0,60 T 0,30 m/s 5,6 !10"3 m = 1,0 !10"3 V
(
)(
5.
Sbarretta A: La forza elettromotrice è zero, perché la sua velocità è parallela alla direzione del
campo magnetico e le cariche non risentono dell’azione di forze magnetiche.
Sbarretta B: La forza elettromotrice cinetica è:
f.e.m. = vBL = (2,7 m/s)(0,45 T)(1,3 m) = 1,6 V
L’estremità positiva è la 2.
Sbarretta C: la forza elettromotrice cinetica è zero, perché la forza magnetica che agisce su
ciascuna carica è diretta perpendicolarmente alla lunghezza della sbarretta. Perché gli estremi della
sbarretta si carichino, la forza magnetica deve essere diretta parallelamente alla lunghezza della
sbarretta.
6.
La lunghezza minima delle guide si ottiene dal prodotto tra la velocità della barretta e il tempo,
f.e.m.
ovvero d = vt. La velocità si può ottenere dalla relazione v =
, e quindi la lunghezza delle
BL
! f.e.m. $
guide diventa d = vt = #
& t . Non conosciamo direttamente il valore della forza elettromotrice
" BL %
cinetica, ma sappiamo che la lampadina dissipa una potenza P = 60,0 W, e ha una resistenza
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R = 240 Ω e la relazione tra la potenza , la forza elettromotrice e la resistenza, P =
(f.e.m.)2
, porta
R
all’espressione f.e.m. = PR . Sostituendo questa espressione in quella della lunghezza delle guide,
otteniamo, infine
! f.e.m. $ ! PR $ ! (60, 0 W )(240 # ) "
&t = $
% (0,50 s ) = 250 m
d =#
&t = #
" BL % #" BL &% $& (0, 40 T )(0, 60 m ) %'
7.
Φ = BA cos φ.
Se la parete è orientata a nord
Φ = BOA cos 0,0° + BVA cos 90° = BOA = (2,6 · 10–5 T)(28 m2) = 7,3·10-4 Wb
Se la parete è orientata a est
Φ = BOA cos 90° + BVA cos 90° = 0 Wb
La perpendicolare al pavimento è in direzione verticale, quindi
Φ = BOA cos 90° + BVA cos 0,0° = BVA = (4,2 · 10–5 T)(112 m2) = 4,7·10-3 Wb
8.
"xz
"x y
=
BA cos !x z
BA cos !x y
=
cos 55°
= 0, 70
cos 35°
9.
∆F =B ∆A cos f dove ∆A è l’area della spira che esce, nel tempo ∆t, dalla regione in cui c’è il
campo. Questa area è il prodotto tra la larghezza del rettangolo (0,080 m) e la lunghezza v ∆t della
parte che esce dal campo, ∆A = (0,080 m) v ∆t. Quindi
∆Φ = B ∆A cos φ = (2,4 T) (0,080 m)(0,020 m/s)(2,0 s) cos 0,0° = 7,7·10-3 Wb
10.
. La normale alla spira è parallela al campo
( ) "#
"t
La forza elettromotrice indotta è f.e.m. = ! 1
magnetico, quindi φ = 0° e Φ = BA cos 0° = BA, e la forza elettromotrice indotta diventa:
f.e.m. = !
( )
" BA
"#
B "A
=!
=!
"t
"t
"t
Possiamo così ricavare
! A f.e.m. 2,6 V
=
=
= 1,5 m 2 /s
!t
B
1,7 T
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11.
Per la legge dell’induzione elettromagnetica
" ! "0
f.e.m. = !N
=
t ! t0
= !N
BAcos " ! BA0 cos "
t ! t0
=
(0,65 T) (0 m 2 ) cos0° ! (0,65 T) (0,20 m # 0,35 m ) cos0° = 0,25 V
= ! (1)
0,18 s
12.
f.e.m. = –N !" / !t , dove
!" = BAcos 45°–BAcos 90° = BAcos 45°
in un intervallo di tempo !t = 0,010 s .
Quindi, per N avvolgimenti, la legge di Faraday permette di calcolare la forza elettromotrice come
f.e.m. = !N
BAcos 45°
"t
Le spire sono circolari e, quindi, l’area di ogni spira è uguale a π r2. Risolvendo in funzione di B,
otteniamo
f.e.m. !t
(0,065 V)(0,010 s)
B=
=
= 8,6 #10 –5 T
2
2
N " r cos 45° (950)" (0,060 m) cos 45°
13.
Per la legge di Ohm,
f.e.m.
R=
I
Per la legge dell’induzione elettromagnetica
$# ! # '
"#
0)
f.e.m. = !N
= !N &&
)
"t
t
!
t
%
0 (
Quindi:
#" ! " &
# 4,0 Wb ! 9,0 Wb &
0(
!N %%
! (12) %
(
(
f.e.m.
0,050 s
$ t ! t0 '
$
'
R=
=
=
= 5,2 )
I
I
230 A
14.
Se il campo magnetico cambia
#" ! " &
# BAcos ) ! B Acos ) &
#B! B &
0(
0
0(
%
(
%%
f.e.m. = !N %%
=
!N
=
!NAcos
)
(
%
(
(=
t
!
t
t
!
t
t
!
t
$
'
$
'
$
0
0
0 '
# 2,1 T ! 0 T &
= 1 0,35 m * 0,55 m cos 65° %
( = 0,38 V
$ 0,45 s ! 0 s '
( )(
)
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Se il campo magnetico è costante e nel tempo cambia l’area
#" ! " &
# BAcos ) ! BA cos ) &
0(
0
%%
(( =
f.e.m. = !N %%
=
!N
(
t
!
t
t
!
t
$
$
'
0 '
0
# A! A &
# *A &
0(
= !N Bcos ) %%
= !N Bcos ) %
(
(
$ *t '
$ t ! t0 '
Risolvendo questa equazione in funzione di
!A
e sostituendo il valore di 0,38 V per l’intensità
!t
della forza elettromotrice indotta, avremo
f.e.m.
!A
0,38 V
=
=
= 0,43 m 2 / s
!t
N Bcos "
1 2,1 T cos 65°
( )(
)
15.
L’intensità f.e.m. della f.e.m. media indotta nel triangolo è f.e.m. = !N
"#
. Il flusso magnetico
"t
vale:
" = BA cos ! = BA cos 0° = BA
e
!" = BA # BA0 = BA
dove A0 = 0 m2 è l’area iniziale del triangolo nell’istante in cui la sbarretta passa per il punto A, e A
è l’area dopo l’intervallo di tempo ∆t. La variazione di flusso è quindi
!" = BA = B 12 d AC dCB
(
)
dove dCB = dAC tan θ, e θ = 19º. Inoltre la base del triangolo si allunga man mano che la sbarretta si
muove alla velocità v nel tempo ∆t, e, quindi, dAC = v∆t. Effettuando queste sostituzioni, la
variazione di flusso diventa:
2
$% = B 12 d AC dCB = B "& 12 d AC (d AC tan ! )#' = 12 B (v$t ) tan !
(
)
Per cui, infine
"#
f.e.m. = !N
= !N
"t
1
2
( )
B v"t
2
"t
tan $
= N 1 Bv 2 "t tan $ =
2
2
( ) 12 (0,38 T) (0,60 m/s) (6,0 s) tan19° = 0,14 V
= 1
16.
Per la legge di Ohm f.e.m. = IR = (∆q)R/(∆t). Per la legge di Faraday la forza elettromotrice è
anche:
$ BAcos 0° – 0 ' NBA
"#
f.e.m. = !N
= !N &
)=
"t
"t
"t
%
(
Combinando queste due espressioni otteniamo
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(!q) R = NBA
!t
!t
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(!q) R = (8,87 "10
B=
o
NA
–3
C)(45,0 #)
–4
2
(1850)(4,70 "10 m )
= 0,459 T
17.
I = f.e.m. /R
f.e.m. = !N
(
)
" BAcos 0°
"#
"B
= !N
= NA
"t
"t
"t
In questo caso abbiamo utilizzato il fatto che il campo magnetico all’interno di un lungo solenoide è
perpendicolare alla sezione trasversale del solenoide stesso, forma un angolo di 0° con la superficie
perpendicolare e vale B = µ0 n I , per cui !B = µ0 n!I . La corrente indotta, allora, vale
µ n !I
!B
NA 0
!t
!t
=
R
R
NA
I=
(10)(6,0 " 10#4 m 2 )
=
(4$ " 10#7 T " m/A)(400 avvolgimenti/m)(0,40 A)
(0,050 s)
= 1,6 " 10#5 A
1,5 %
18.
La figura mostra che il campo magnetico prodotto dalla corrente I sulla spira A è perpendicolare al
piano e rivolto verso il basso. Quando l’interruttore viene aperto, il flusso magnetico concatenato
con la spira va a zero e, per la legge di Lenz, il campo magnetico indotto si deve opporre alla
variazione del flusso. Il campo magnetico sulla spira sta diminuendo e punta verso il basso, quindi
anche il campo magnetico indotto dovrà puntare verso il basso: per la seconda regola della mano
destra, allora, la corrente indotta nella spira A deve circolare in verso orario.
La figura mostra anche che il campo magnetico sulla spira B è perpendicolare al piano e punta
verso l’alto. L’apertura dell’interruttore fa scendere a zero il flusso magnetico concatenato e, per la
legge di Lenz, il campo magnetico indotto deve opporsi alla variazione di flusso. Il campo
magnetico sulla spira sta diminuendo e punta verso l’alto, quindi anche il campo magnetico indotto
deve puntare verso l’alto: per la seconda regola della mano destra, allora, la corrente indotta nella
spira B deve circolare in verso antiorario.
19.
Per la legge di Faraday, l’unica cosa significativa è il movimento relativo tra bobina e calamita: la
situazione, quindi, è analoga a quella di figura 23.1 del testo. Per cui
Quando la bobina è mossa verso sinistra, la corrente circolerà da sinistra a destra, come nella figura
23.1b.
Quando la bobina è mossa verso destra la corrente circolerà da destra a sinistra, come nella figura
23.1c.
20.
Il campo magnetico prodotto dal filo percorso dalla corrente in prossimità della posizione 1 è
uscente dalla pagina. La spira si sta avvicinando al conduttore, si muove cioè verso zone di campo
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Capitolo 23 Induzione elettromagnetica
magnetico, e quindi flusso concatenato, crescente. Per la legge di Lenz, il campo magnetico indotto
deve opporsi a questo aumento: esso deve allora avere verso entrante nella pagina. La corrente nella
spira deve circolare in verso orario.
Nella posizione 2, il campo magnetico è entrante nella pagina e decresce mentre la spira si allontana
dal conduttore. Il campo magnetico indotto deve allora essere entrante nella pagina e la corrente
indotta nella spira deve circolare ancora in verso orario.
21.
Quando il magnete si trova sopra l’anello metallico, il suo campo magnetico è rivolto verso il basso
e crescente nella direzione di caduta. Il campo magnetico indotto tende a ridurre l’aumento del
campo magnetico: la corrente indotta circolerà come indicato nella figura sotto e l’anello sarà
assimilabile a un magnete con il polo nord rivolto verso l’alto. I due poli nord affacciati si
respingeranno, ritardando il moto di caduta del magnete. Quando il magnete è sotto l’anello, il suo
campo magnetico punta ancora verso il basso, ma è decrescente nella direzione di caduta. Il campo
magnetico indotto si opporrà a questa diminuzione: la corrente indotta circolerà, allora, come nella
parte destra della figura e l’anello sarà assimilabile a un magnete con il suo polo nord rivolto verso
il basso. I due poli (nord e sud) affacciati si attrarranno, ritardando ancora una volta il moto di
caduta del magnete.
Nella situazione B il moto del magnete non è alterato dalla presenza dell’anello perché nell’anello
tagliato non può essere indotta nessuna corrente e quindi nessun campo magnetico indotto che
possa attrarre o respingere il magnete in caduta.
22.
La corrente I nel conduttore rettilineo produce un campo magnetico le cui linee di campo sono
delle circonferenze intorno al conduttore. Il campo magnetico è, in ogni punto, tangente a una di
queste linee di campo, quindi perpendicolare al piano del tavolo e, per la seconda regola della mano
destra, avrà verso uscente dal tavolo nella regione della spira a sinistra della corrente e verso
entrante nella regione a destra della corrente.
Quando la corrente I diminuisce, diminuisce anche l’intensità del campo da essa prodotto, ma non
cambia la sua direzione nelle regioni indicate nella figura. Dato che i valori del campo in queste due
regioni sono sempre uguali e opposti a qualsiasi distanza radiale dal conduttore percorso da
corrente, le variazioni dei flussi concatenati si sommeranno algebricamente dando un risultato totale
nullo. Il flusso, quindi, rimane costante, non ci sarà alcuna forza elettromotrice indotta e, di
conseguenza, nessuna corrente indotta.
23.
L’energia immagazzinata in una regione è il prodotto tra la densità di energia e il volume della
regione considerata. Sappiamo che la densità di energia vale:
1 2
densità di energia =
B
2 µ0
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Capitolo 23 Induzione elettromagnetica
e che il volume è
V = A! h
Quindi l’energia immagazzinata è:
Energia =
B 2 Ah (7,0 !10 –5 T)2 (5,0 !108 m 2 )(1500 m)
=
= 1,5 !109 J
–7
2µ0
2(4" !10 T ! m/A)
24.
La forza elettromotrice indotta nel circuito secondario a causa della variazione di corrente nel
circuito primario è f.e.m.s = ! M "I p / "t . Risolvendo questa equazione in funzione del
(
)
coefficiente di mutua induzione, otteniamo:
M =!
f.e.m.s "t
"I p
=!
(1,7 V ) (3,7 #10!2 s) = 2,5 #10!2 H
(0 A ! 2,5 A )
25.
Utilizziamo il pedice P per indicare il circuito primario e il pedice S per indicare il circuito
secondario. La forza elettromotrice possiamo scriverla sia come prevede la legge di Ohm che
nell’espressione legata alla mutua induzione. Quindi:
f.e.m.S = IS R = M
!I P
!t
da cui
!I P =
( ) = (6,0 "10#3 A) (12 $) (72 "10#3 s) = 1,6 A
IS R !t
M
3,2 "10#3 H
26.
L’energia immagazzinata in un condensatore è uguale a
una bobina è uguale a
I=
1
CV 2 , mentre l’energia immagazzinata in
2
1
L I 2 . Uguagliando queste due equazioni, otteniamo
2
C
3,0 ! 10"6 F
V=
(35 V) = 0,86 A
L
5,0 !10"3 H
27.
Il coefficiente di mutua induzione vale M = N2Φ2/I1, dove Φ2 = B1A2 = µ0n1I1A2, quindi:
M = N2µ0n1A2 = (125)(4 π · 10–7 T ⋅ m /A)(1750/m)(π)(0,0180 m)2 = 2,80 ·10-4 H
28.
Il coefficiente di mutua induzione è
N!
M= 2 2
I1
dove
"µ N I #
$ 2 = B1 A2 = %% 0 1 1 && ! R22
' 2 R1 (
Quindi
( )
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M=
Capitolo 23 Induzione elettromagnetica
N 2 " µ0 N1 I1 %
µ0 ( N1 N 2 R22
2
$
'
=
( R2 =
I1 $# 2R1 '&
2R1
N 2! 2
( )
I1
29.
L’espressione per la tensione di picco di una bobina è: f.e.m.0 = NAB! . Possiamo, allora, ricavare
il valore della sezione della bobina e quindi il suo lato. Infatti
l=
f.e.m.0
A=
NB!
=
75,0 V
= 0,150 m
(248)(0,170 T)(79,1 rad/s)
30.
I due generatori hanno la stessa tensione di picco, lo stesso numero di avvolgimenti e ruotano alla
stessa velocità angolare. Possiamo allora imporre che NB1A1sen ωt = NB2A2 sen ωt, da cui
ricaviamo che B1A1 = B2A2 e quindi
! 0, 045 m 2 "
! A1 "
B2 = B1 # $ = (0,10 T )#
= 0,30 T
2$
% 0, 015 m &
% A2 &
31.
Il numero N di avvolgimenti nella bobina di un generatore è N =
f.e.m.0
AB!
, la tensione di picco è
legata alla tensione efficace dalla relazione f.e.m.0 = 2 f.e.m.eff. e ! = 2" f . Facendo allora le
sostituzioni indicate possiamo ricavare:
N=
f.e.m.0
AB!
=
2 f.e.m.eff
AB2" f
=
(
2 120 V
)
(0,022 m ) (6,9 #10 T) 2" (60,0 Hz)
2
$5
= 3,0 #105
32.
La lunghezza totale del filo è uguale al prodotto tra il numero di avvolgimenti e la lunghezza di
ogni spira ( L = 4 A ) e l’area della spira si può ricavare dall’espressione della tensione di picco
f.e.m.0 = NAB! . In definitiva, quindi,
" f.e.m. %
Nf.e.m.0
0 '=4
Lunghezza totale = N 4 A = N $ 4
$
NB! '
B!
#
&
La tensione di picco vale
( )
(
)
Nf.e.m.0
=4
f.e.m.0 = 2 f.e.m.eff = 2 120 V = 170 V
Infine
Lunghezza totale = 4
B!
Nf.e.m.0
B2" f
=4
(
100 170 V
)
(0,50 T) 2" (60,0 Hz )
= 38 m
33.
I eff =
I0
2
=
2,50 A
= 1, 77 A
2
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Capitolo 23 Induzione elettromagnetica
34.
2
2
P = I eff
R = (6,50 A ) (18, 6 ! ) = 786 W
Ppicco = 2 P = 2 ( 786 W ) = 1572 W
35.
2
P=
Veff
(
=
V0 / 2
)
2
V02
=
R
R
2R
Possiamo, quindi, ricavare
V0 = 2 RP = 2 (4, 0 ! )(55 W ) = 21 V
36.
L’energia totale consumata è
! 9 h " ! 3600 s "
9
E = Pt = I 2 Rt = (25 A) 2 (5,3 #)(31 giorni) %
%
& = 3,3 $10 J
&
' 1 giorno ( ' 1 h (
La spesa è allora
! 0,12euro "
! 1 kWh "
9
Costo = $
= 110 euro
% (3,3 #10 J )$
6 %
& 1 kWh '
& 3,6 #10 J '
37.
P = Veff2 / Rp , dove Rp è la resistenza equivalente del parallelo. Per cui
Veff2
Rp =
P
La resistenza equivalente in parallelo è, allora
1
1
1
1
= 2
=
+
Rp Veff / P Rcaffettiera Rlampada
Rielaborando questa espressione otteniamo
1
P
1
111 W
1
= 2 –
=
–
= 5, 2 ! 10 –3 " –1
2
Rlampada Veff Rcaffettiera (120 V ) 4, 0 ! 102 "
E, infine,
Rlampada =
1
= 190 !
5, 2 " 10 –3 ! –1
38.
L’energia ceduta dall’acqua che si raffredda passando dalla temperatura T alla temperatura finale di
0,0 °C è data dall’equazione Q1 = cm(T – 0,0 °C). L’energia ceduta quando l’acqua si trasforma in
ghiaccio a 0,0°C è Q2 = mLf, dove Lf è il calore latente di fusione del ghiaccio. La potenza prodotta
è allora
Q + Q2 cm(T ! 0.0 °C ) + mLf
P= 1
=
t
t
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Cutnell, Johnson – Fisica volume 3
Capitolo 23 Induzione elettromagnetica
La potenza prodotta da un impianto di riscaldamento è P = IV. Sostituendo questa espressione della
potenza in quella precedente e risolvendo in funzione della corrente, otteniamo:
cm(T ! 0, 0 °C ) + mLf
I=
tV
I=
(4186 J/kg " C°)(660 kg)(10, 0 C°) + (660 kg)(33,5 " 104 J/kg)
= 32A
# 3600 s $
(9, 0 h) %
& (240 V)
' h (
39.
Mettendo a confronto la relazione I = 0,707 A sen !" 314 Hz t #$ con l’espressione generale per la
corrente di un circuito in corrente alternata, I = I0 sen 2 ! f t , ricaviamo che
(
2! f t = (314 Hz ) t
ovvero
f =
)
(
)
314 Hz
= 50, 0 Hz
2!
La resistenza del filamento è uguale al rapporto Veff/Ieff, dove I eff = I 0 / 2 . Per cui la resistenza
del filamento vale:
V
V
2 (120, 0 V )
R = eff = eff =
= 2, 40 ! 102 "
I0
I eff
0,707 A
2
La potenza media dissipata dalla lampadina è il prodotto tra la corrente efficace e la tensione
efficace:
! I "
! 0, 707 A "
P = I eff Veff = # 0 $ Veff = #
$ (120, 0 V ) = 60, 0 W
2 &
%
% 2&
40.
f.e.m.eff = IXC, dove la reattanza capacitiva, XC , vale
1
1
XC =
=
= 54 #
3
2! f C 2! (3,4 $ 10 Hz)(0,86 $10"6 F)
E, quindi
f.e.m.eff = IXC = (35·10-3 A)(54Ω) = 1,9 V
41.
1
: applicando questa equazione a ciascun valore di frequenza otteniamo:
2! f C
1
1
X C, 870 =
e X C, 460 =
2! f870 C
2! f 460 C
XC =
Dividendo membro a membro e semplificando, risulta:
X C, 870
X C, 460
=
1
2! f870 C
1
2! f 460 C
=
f 460
f870
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Capitolo 23 Induzione elettromagnetica
Da cui
X C, 870 = X C, 460
f460
f870
" 460 Hz %
= 68 ! $
' = 36 !
# 870 Hz &
(
)
42.
La capacità equivalente dei due condensatori uguali, connessi in parallelo, è CP = C + C = 2C.
Questa capacità equivalente è legata alla reattanza capacitiva del circuito dalla relazione
CP = 1/ (2! f X C ).
CP = 2C =
1
2! f X C
da cui
C=
1
4! f X C
Ma X C = Veff / I eff , quindi
C=
1
=
4! f X C
1
$V
4! f && eff
( I eff
%
''
)
=
1
$ 24 V %
4! (610 Hz )&
'
( 0,16 A )
= 8, 7 #10"7 F
43.
The equivalent capacitance Cs of two capacitors in series is
1
1
1
1
1
= +
=
+
-6
Cs C1 C2 3.00 !10 F 6.00 !10-6 F
or
Cs = 2.00 µ F
The current in the circuit can be found by solving V rms = I rms X C , for I rms . However, we must first
find the capacitive reactance X C .
XC =
1
1
=
= 156 #
2! f Cs 2! (510 Hz)(2.00 "10-6 F)
The current in the circuit is given by
V
120 V
I rms = rms =
= 0.77 A
X C 156 !
44.
f.e.m.eff = IXL = I(2π fL), da cui
f =
f.e.m.eff
2,1V
=
= 310Hz
2! IL
2! 0,023A 0,047H
(
)(
)
45.
1
X L = 2! f L
e
2! f C
Perché le due reattanze siano uguali dobbiamo imporre X C = X L , ovvero
1
= 2! fL da cui 4! 2 f 2 LC = 1
2! fC
XC =
Risolvendo in funzione della frequenza richiesta, otteniamo
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f =
1
2! LC
=
Capitolo 23 Induzione elettromagnetica
1
(52 #10 H )(76 #10 F)
"3
2!
"6
= 8, 0 #101 Hz
46.
X L = 2! fL = 2! 620Hz 8,2 "10#3 H = 32$
)(
(
I eff =
)
f.e.m.eff 10,0V
=
= 0,31A
XL
32$
I 0 = 2 I eff = 2 (0,31A ) = 0, 44A
47.
C = 1/(2π fXC) e XC = Veff/Ieff . Quindi la capacità può essere espressa come C = Ieff/(2π fVeff).
Ricordando che la tensione efficace è legata alla tensione di picco dalla relazione Veff =
V
2
,
otteniamo:
I eff
C=
=
2! fVeff
3, 0A
= 6, 4 #10"6 F
$ 140V %
2! (750Hz )&
'
( 2 )
La massima carica accumulata su un’armatura del condensatore è:
q = CV = 6, 4 "10!6 F (140V ) = 9, 0 "10!4 C
(
)
48.
La frequenza della corrente è:
X
2,10 #103 $
f = L =
= 1,11 #104 Hz
2! L 2! 30, 0 #10"3 H
(
)
La capacità del condensatore che ha la stessa reattanza alla stessa frequenza è:
1
1
C=
=
= 6,83 #10"9 F
4
3
2! f X C 2! 1,11 #10 Hz 2,10 #10 $
(
)(
)
XL = 2π f L , quindi triplicando la frequenza otterremo:
(
)
X L = 3 2,10 !103 " = 6,30 !103 "
Dato che XC = 1/(2π f C ) , triplicando la frequenza otterremo:
(
)
X C = 1 2,10 !103 " = 7,00 !102 "
3
49.
f.e.m.eff = I eff ! Z , dove l’impedenza Z vale:
Z = R2 + X L ! X C
(
)
2
=
2
(275") + (648" ! 415")
2
= 3,60 #102 "
da cui ricaviamo:
)(
)
f.e.m.eff = I eff # Z = 0,233A 3,60 #102 " = 83,9V
(
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Capitolo 23 Induzione elettromagnetica
50.
2
P = I eff
R , sostituendo in questa equazione I eff = Veff / Z , otteniamo
V 2R
V 2R
=
, dove
Z2
R 2 + X C2
1
1
XC =
=
= 2400 #
2! f C 2! (60, 0 Hz ) 1,1 $10"6 F
P=
(
)
E, quindi:
(120 V )2 ( 2700 ! )
V 2R
P= 2
=
= 3, 0 W
R + X C2 ( 2700 ! )2 + ( 2400 ! )2
51.
X L = 0 , quindi
I eff = Veff / R 2 + X C 2 .
Quando la frequenza f è molto grande la reattanza capacitiva è nulla.
Ne deriva che (per frequenze elevate)
I eff ' = Veff / R
Se la corrente Ieff è metà della corrente I eff’ , otteniamo
2
2
I eff Veff / R + X C
=
=
I eff '
Veff / R 2
R
2
R + XC
2
=
1
2
Manipolando questo risultato, otteniamo:
R2 + X C2
R2
1
=
"
=4
R2 + X C2 4
R2
per cui
1/ (2! fC )
XC
= 3=
R
R
Per ricavare, infine,
1
1
f =
=
= 270Hz
2! fC 3 2! (85# )(4, 0 $10"6 F ) 3
52.
La tensione istantanea quando t = 1,20 · 10–4 s è:
V (t) = V0 sen 2! f t = 32,0 V sen $&2! 1,50 " 103 Hz 1,20 " 10#4 s ') = 29,0 V
%
(
La reattanza induttiva e quella capacitiva sono, rispettivamente:
(
(
(
)
)(
)(
)
)
X L = 2! f L = 2! 1,50 " 103 Hz 7,20 " 10#3 H = 67,9 $
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XC =
Capitolo 23 Induzione elettromagnetica
1
1
=
= 16,1 $
2! f C
2! 1,50 " 103 Hz 6,60 " 10#6 F
(
)(
)
XL è maggiore di XC, quindi la corrente è in ritardo rispetto alla tensione di π /2 radianti: possiamo,
cioè scrivere che
I(t) = I0 sen (2π ft − π /2),
dove I0 = V0/Z e l’impedenza vale
Z =
2
R 2 + (X L ! X C ) =
(0 " )2 + (67,9 " ! 16,1 " )2
= 51,8 "
Per cui, infine
V
I = 0 sen 2! f t " 1 ! =
2
Z
(
)
$ 32,0 V '
+
.
3
"4
= &
) sen -,2! 1,50 * 10 Hz 1,20 * 10 s " 12 ! 0/ = " 0,263 A
% 51,8 # (
(
)(
)
53.
La frequenza di risonanza di un circuito RLC in serie è f 0 =
valore dell’induttanza come
1
1
L=
=
4! 2 f02 C 4! 2 690 "103 Hz
(
2
) (2,0 "10 F)
1
2! LC
, possiamo quindi ricavare il
= 2,7 "10#5 H
#9
54.
La frequenza di risonanza del nostro circuito RLC in serie é
1
f0 =
= 9,3 kHz
2! LC
Se la capacità e l’induttanza vengono triplicate, la nuova frequenza di risonanza diventa:
1
1
1
1"
1
1
# 1
f '0 =
=
=
= $
= f 0 = (9,3kHz ) = 3,1kHz
%
3
2! LC 2! (3L )(3C ) 2! 9 LC 3 & 2! LC ' 3
55.
In un circuito RLC in serie, la corrente è massima quando l’impedenza è minima, cioè quando
X L = X C , o 2 ! f 0 L = 1 / ( 2 ! f 0 C ) . Ci troviamo allora in condizioni di risonanza e la frequenza
corrispondente, detta frequenza di risonanza vale
1
1
f0 =
=
= 352Hz
2! LC 2! 17, 0 #10"3 H 12, 0 #10"6 F
(
)(
)
Il massimo valore di corrente a questa frequenza sarà, allora:
V
V
155V
I eff = eff = eff =
= 15,5A
Z
R 10, 0!
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Capitolo 23 Induzione elettromagnetica
56.
Nella bobina secondaria la tensione viene ridotta di un fattore 13, quindi:
1 120 V = 9, 2 V
V2 = 13
(
)
57.
La potenza utilizzata dal dispositivo è quella che proviene dal primario e, utilizzando i pedici P e S
per le bobine primaria e secondaria, rispettivamente possiamo esprimerla come P = I PVP . La
corrente IP non è nota, ma possiamo ricorrere al rapporto di trasformazione per il quale
IS
IP
=
NP
.
NS
Quindi
"N #
" 50 #
P = I PVP = IS %% S && VP = 1, 7 $10!3 A % & (120 V ) = 1, 0 $101 W
' 1 (
' NP (
(
)
58.
!N "
!1"
I p = I s # s $ = (1, 6 A )# $ = 0, 20 A
# Np $
%8&
%
&
59.
N s Vs 10, 0V 1
=
=
=
N p Vp 220V 22
Il rapporto di trasformazione è 1:22.
60.
La resistenza totale di ognuno dei due fili è
R = (5,0 !10 –2 "/km)(7,0 km) = 0,35 "
Quindi la resistenza complessiva della linea di trasmissione è il doppio di questo valore e vale
0,70 Ω. La corrente inviata alla città è:
P 1, 2 !106 W
I= =
= 1, 0 !103 A
V
1200V
La potenza dissipata in calore nei fili è:
(
P = I 2 R = 1,0 ! 103 A
2
) (0,70 ") = 7,0 !10
5
W
Per l’equazione dei trasformatori:
!N "
! 100 "
Vs = Vp # s $ = (1200 V )#
= 1, 2 % 105 V
$
# Np $
& 1 '
&
'
Quindi
P 1, 2 ! 106 W
I'=
=
= 1, 0 ! 101 A
5
V ' 1,2 ! 10 V
La potenza dissipata in questo caso è:
(
P' = I '2 R = 1,0 ! 101 A
2
) (0,70 ") = 7,0 !10
1
W
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Capitolo 23 Induzione elettromagnetica
61.
Applicando la legge di Faraday a ciascuna bobina, abbiamo
"#
"#
f.e.m.1 = !N1
e f.e.m.2 = !N 2
"t
"t
Dividendo queste due espressioni membro a membro e ricordando che la variazione di flusso è la
stessa per entrambe le bobine, otteniamo
"#
$ 4,23 V '
f.e.m.2 !N 2 "t
N
f.e.m.2
=
= 2
da cui N 2 = N1
= 184 &
) = 276
"# N1
f.e.m.1
f.e.m.1
2,82 V (
%
!N1
"t
62.
Dalla figura si può ricavare che il periodo del generatore è di 0,42 s, quindi :
1
1
f = =
= 2, 4Hz
T 0, 42s
La velocità angolare è:
! = 2" f = 2" (2, 4Hz ) = 15rad/s
La forza elettromotrice massima indotta in una bobina vale f.e.m.0 = NAB! e dal grafico ricaviamo
che il valore della forza elettromotrice indotta massima è f.e.m.0 = 28 V. Quindi
f.e.m.0
28 V
B=
=
= 0,62 T
NA!
(150)(0,020 m 2 )(15 rad/s)
63.
Se i poli nord e sud del magnete in figura venissero scambiati, la corrente nell’amperometro
cambierebbe verso. Infatti se il polo sud del magnete si avvicina alla bobina, il campo da cui è
investita la bobina diventa più forte e punta verso il polo sud. Per opporsi all’aumento del flusso
concatenato, come prevede la legge di Lenz, la corrente indotta nella bobina deve produrre un
campo magnetico rivolto contro l’avvicinamento del polo sud: essa si comporta, pertanto, come un
elettromagnete con il polo sud alla sua sinistra. Per la seconda regola della mano destra, la corrente
attraverso l’amperometro deve circolare da destra a sinistra. Con un ragionamento analogo
dobbiamo concludere che se il magnete si sta allontanando dalla bobina, la corrente indotta dovrà
circolare nell’amperometro da sinistra verso destra.
64.
La forza elettromotrice indotta in una bobina da un generatore in corrente alternata è:
f.e.m. = NAB! sen! t = (500)(1,2 "10 –2 m 2 )(0,13 T)(34 rad/s) sen 27° = 12 V
65.
Se il campo magnetico applicato diminuisce al trascorrere del tempo, diminuisce anche il flusso
concatenato con il circuito. La legge di Lenz richiede che il campo magnetico indotto si opponga a
questa diminuzione: esso quindi deve essere uscente dalla pagina per cui la corrente indotta deve
circolare in senso antiorario. Questo comporta che l’armatura inferiore del condensatore sia positiva
e quella superiore sia negativa. Il verso del campo elettrico in un condensatore va dall’armatura
positiva a quella negativa e quindi, nel nostro caso, il campo elettrico è diretto verso l’alto.
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Cutnell, Johnson – Fisica volume 3
Capitolo 23 Induzione elettromagnetica
66.
La forza elettromotrice indotta nella nostra spira è f.e.m. = !"# / "t , dove !" = (!B) A . Quindi
# "B &
f.e.m. = ! A % ( = (0,018 m 2 )(0,20 T/s) = 3,6 )10 –3 V
$ "t '
Per un determinato valore di B (quando B cambia), la rapidità con la quale l’area cambia si può
ricavare dalla relazione
B"A
"A f.e.m. 3,6 #10 –3 V
f.e.m. = !
o
=
=
= 2,0 #10 –3 m 2 / s
"t
"t
B
1,8 T
Perché la f.e.m. indotta sia zero l’intensità del campo magnetico e il valore dell’area devono
cambiare in modo che il flusso resti costante. Dato che il campo magnetico aumenta, l’area della
spira deve restringersi.
67.
Supponiamo che le due sbarrette abbiano descritto un giro completo. La forza elettromotrice indotta
vale
( )
B # L2
"A
f.e.m. = !B
=
"t
"t
dove L è la lunghezza della sbarretta.
La sbarretta, ruotando, ha una velocità angolare ω = 2π /∆t, sostituendo Δt nell’espressione
precedente, ricaviamo f.e.m. = 12 BL2ω. Le sbarrette ruotano in versi opposti e, quindi, le loro
estremità hanno polarità opposte. Ciò comporta che la differenza di potenziale tra queste estremità
sia
∆V = BL2 ω
quindi
"V
4,5 # 103 V
!= 2 =
= 2100 rad/s
BL
(4,7 T )(0, 68 m )2
68.
Calcoliamo per prima cosa l’impedenza del circuito Z =
XC =
XL
Z=
R2 + X L – X C
(
)
2
.
1
1
=
= 28,8#
2! fC 2! (1350Hz ) 4,10 $10"6 F
(
)
= 2! fL = 2! (1350Hz )(5,30 $10 H )= 45, 0#
"3
2
2
(16, 0# ) + (45, 0# " 28,8# )
= 22,8#
La corrente, allora, è:
I = V/Z = (15,0 V)/(22,8 Ω) = 0,658 A
Gli elementi del circuito sono connessi in serie e, quindi, sono attraversati dalla stessa corrente, per
cui la tensione ai capi di ogni elemento è rispettivamente:
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Capitolo 23 Induzione elettromagnetica
VR = IR = (0,658A)(16,0 Ω) = 10,5 V
VC = IXC = (0,658 A)(28,8 Ω) = 19,0 V
VL = IXL = (0,658 A)(45,0 Ω) = 29,6 V
69.
Utilizzando il valore della frequenza di risonanza possiamo calcolare:
1
1
L= 2 2 =
= 2,94 "10#3 H
2
2
3
#6
4! f0 C 4! 1,30 "10 Hz 5,10 "10 F
(
)(
)
Alla frequenza di risonanza, la corrente è massima e l’impedenza coincide con il valore della
resistenza. Quindi
2
Veff2
Veff2 (11, 0V )
P=
da cui R =
=
= 4,84! ,
R
P
25, 0W
Quando la frequenza del generatore è di 2,31 kHz, le reattanze specifiche valgono
1
1
XC =
=
= 13,5#
3
2! fC 2! 2,31 $10 Hz 5,10 $10"6 F
XL
(
)(
)
= 2! fL = 2! (2,31 $10 Hz )(2,94 $10 H )= 42, 7#
3
"3
L’angolo di fase è
( X " X C ) = tan "1 $ 42, 7# " 13,5# % = 80, 6°
! = tan "1 L
&
'
R
4,84#
(
)
E, infine, il fattore di potenza vale
cos! = cos80,6° = 0,163
Olimpiadi della fisica
1. B
2. C
3. A
4. Nel circuito i diodi D1 e D2 sono collegati in modo diretto e, avendo resistenza trascurabile,
possono essere sostituiti da un cortocircuito; il diodo D2 è collegato in modo inverso e quindi
impedisce il passaggio di corrente nel proprio ramo. Il circuito equivalente è perciò il seguente,
dove in grigio sono stati indicati gli elementi ininfluenti per il calcolo della corrente. Questa potrà
essere calcolata considerando la batteria chiusa sulla serie di due resistenze.
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Capitolo 23 Induzione elettromagnetica
L’intensità indicata dall’amperometro sarà allora I =
V
12V
=
= 30mA .
2 R 2 ! 200"
Test di ammissione all’Università
1. A
2. A
Prove d’esame all’Università
1.
(
! B = NBA = NB" r 2 = 60(1T)" 2 #10-2 m
( )
I=
)
2
= 7,5 #10-2 Wb
( ) = 2" ( B) = 2 (7,5 #10 Wb) = 0,25A
R!t
Rt
(3%) (0,2s)
$2
!" B
2.
R=!
V 12V
l
# 157m $
= 2,3A
= (1, 7 %10"8 & % m )'
= 5,3& = 5& ; I = =
"6
2 (
R 5,3!
S
) 0,5 %10 m *
(1000 )(2,3A ) = 9, 6 #10"3 T
NI
= (4! #10"7 N/A 2 )
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