Soluzioni - Osservatorio di Arcetri

COMPITO del 24/09/12
Soluzioni
★ Per tutti: Un pallone aerostatico ha un diametro d=17 m, ed è riempito di aria calda a
pressione atmosferica mantenuta alla temperatura di 75 °C. Il materiale di cui è fatto il
pallone ha massa mP=150 kg e la temperatura dell’ambiente è 28 °C. Qual’è la massa
massima che il pallone può sollevare supponendo che il peso molecolare medio dell’aria
sia 28 g mol-1? Si assuma che l’aria si comporti come un gas perfetto. Qual’è la velocità
media delle molecole (biatomiche) di aria all’interno del pallone?
Solo per esame da 9CFU: Se lo spettro di un corpo nero alla temperatura di 300 K ha il
picco di emissione per λ=9.7 μm, si determini a quale lunghezza d’onda si ha il picco di
emissione dell’aria calda nel pallone, assumendo che emetta come un corpo nero.
La massa massima M che il pallone può sollevare si determina dall’equilibrio tra il peso
totale di pallone, massa M e aria nel pallone e la spinta di Archimede dovuta all’aria
esterna al pallone, ovvero
g (M+mP+mAC) = g mAF
dove mAC è la massa di aria calda nel pallone, e mAF è la massa di aria “fredda” spostata
dal pallone stesso.
Il pallone viene tenuto sollevato perché l’aria calda nel pallone ha densità minore di un
volume di aria fredda corrispondente, ovvero all’interno del pallone c’è una massa d’aria
calda minore rispetto alla massa dello stesso volume di aria fredda.
mAC = μ nAC e mAF = μ nAF dove μ è il peso molecolare medio dell’aria e nAC e nAF sono i
numeri di moli corrispondenti di aria calda e fredda.
I numeri di moli si possono trovare applicando l’equazione di stato del gas perfetto ovvero
M = mAF - mAC - mP = μ (nAF - nAC) - mP = μ P V / R (1/TF - 1/TC) - mP
dove P è la pressione del gas (pressione atmosferica) uguale sia per l’aria calda che per
quella fredda, V è il volume del pallone e TF, TC sono le temperature di aria fredda e calda.
Si ottiene
M = 239 kg
con P = 105 Pa; V = 2572 m3, TF=301 K, TC=348 K (μ = 0.028 Kg mol-1 !)
Infine ricordando che mAC = μ nAC = nAC NA m (m massa media molecola aria, NA numero
di Avogadro) si ottiene
m = μ / NA
Dal modello cinetico del gas
1/2 m v2 = 5/2 kB TAC, ovvero sostituendo m = μ / NA si ha (R = kB NA)
v2 = 5 R TAC/μ da cui v = 719 m/s
λM , la lunghezza d’onda di picco del corpo nero di temperatura T, segue la legge di Wien
λM T = costante
la costante si può ricavare sapendo che per T=300 K si ha λM=9.7 μm. La lunghezza
d’onda di emissione dell’aria nel pallone sarà pertanto
λM TAC = 300 K * 9.7 μm
ovvero λM = 9.7 μm * (300 / 348) = 8.4 μm
★ In una macchina termica, due moli di gas
perfetto biatomico eseguono un ciclo costituito
da una espansione isobara (da A a B, vedi
figura), una trasformazione isocora (da B a C)
ed una compressione isoterma (da C ad A). Lo
stato A si trova alla temperatura T1 = 30 °C,
mentre lo stato B si trova alla temperatura T2 >
T1 ed ha volume pari a 3/2 di quello di A. Si
disegni la trasformazione nel piano PV. Qual’è il
lavoro netto compiuto durante il ciclo? Si calcoli
il rendimento della macchina termica (= lavoro
compiuto / calore assorbito) e si confronti con
quello di una macchina ideale di Carnot che
lavora tra le temperature T1 e T2. Infine, si
calcoli la variazioni di entropia del gas durante
la trasformazione A→B→C.
P
A
B
C
A = (P1, T1, V1), B = (P1, T2, 3/2V1), C = (P2, T1, 3/2V1)
Dall’equazione di stato dei gas perfetti, applicata in A e B si ottiene VB/VA = TB/TA
ovvero T2 = 3/2T1. Se invece confronto C con A ottengo PAVA=PCVC ovvero P2 = 2/3 P1,
da cui
A = (P1, T1, V1), B = (P1, 3/2T1, 3/2V1), C = (2/3P1, T1, 3/2V1)
Il lavoro compiuto nel ciclo è pari a
L = LAB+LBC+LCA, LBC = 0 (isocora); LAB = PA(VB-VA) = 1/2 P1V1 = 1/2 nRT1 ;
LCA = nRT1 ln(2/3)
L = nRT1(1/2 - ln(3/2)) = 476 J
Applico il primo principio alla trasformazione AB per cui
QAB(assorb.) = ΔEAB + LAB(eseg.)
ΔEAB = nCV(TB-TA) = n 5/4 R T1 = 6298 J
ovvero QAB(assorb.) = n 7/4 R T1 = 8817 J [stesso risultato da oppure QAB(assorb.) =
nCP(TB-TA)]
Nelle trasformazioni BC e CA il calore viene ceduto per cui il rendimento è
η = L/QAB = (1/2-ln(3/2))/(7/4) = 0.05 = 5%
Il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra T1 e T2=3/2T1 è
η = 1-T1/T2 = 1/3 = 33% (attenzione: qui T1 e T2 sono invertiti rispetto a come indicato di
solito sul libro)
Il modo più semplice è considerare che la variazione di entropia nel ciclo è nulla per cui
ΔSciclo = 0 = ΔSABC+ΔSCA ovvero ΔSABC = -ΔSCA = -nR ln(VA/VC) =
= nR ln(3/2) = 6.7 J/K
V
★ Una macchina di Carnot adopera come termostato a bassa temperatura una miscela di
acqua e ghiaccio a pressione atmosferica, ha un rendimento η=25% e produce un
lavoro L = 4500 J. Calcolare le quantità di calore Q1 e Q2 scambiate con i termostati e la
variazione di entropia della macchina lungo l’isoterma di espansione. Quanto ghiaccio
viene sciolto ad ogni ciclo nel termostato a bassa temperatura?
Ovviamente la temperatura del termostato freddo è T2= 0 °C = 273.15 K.
Il rendimento è η = L/Q1 e vale Q1-Q2-L = 0 (I principio) da cui si ottiene
Q1 = 18000 J, Q2 = 13500 J
Poiché η = 1 - T2/T1 si ottiene anche T1 = T2/(1-η) = 273 K / 0.75 = 364 K
In una trasformazione isoterma la variazione di entropia è semplicemente ΔS = Q/T (Q
calore ricevuto reversibilmente) per cui nel caso in esame
ΔS = Q1 / T1 = 18000 J / 364 K = 49.5 J/K
Q2 è il calore assorbito dal termostato T2 ad ogni ciclo, il ghiaccio sciolto è pertanto
m = Q2/qfus = 13500 J / 80 cal g-1 = 13500 J / (80 * 4.186 J g-1) = 40.3 g