Equilibrio ed efficienza

1
Proprietà dell’equilibrio
Primo teorema dell’economia del benessere
Secondo teorema dell’economia del benessere
2
Stabilità dell’equilibrio
Il processo di Tâtonnement
Classificazione degli equilibri
3
Unicità dell’equilibrio
Equilibrio ed efficienza
Corso di Microeconomia progredito
Parte III
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Equilibrio ed efficienza
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Equilibrio ed efficienza
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Economia del benessere
Economia del benessere
Richiamiamo il risultato di
caratterizzazione delle allocazioni Pareto efficienti
Riprendiamo la definizione iniziale di equilibrio walrasiano
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Equilibrio Walrasiano - definizione
ammissibilità
Un vettore di prezzi p ∗ è un equilibrio walrasiano se tutte le decisioni
individuali sono compatibili tra loro:
x1a + x1b = ω1
x2a + x2b = ω2
xa∗ = ϕa (p ∗ )
2
∀a ∈ A
uguaglianza dei saggi marginali di sostituzione
X
∂ua (xa )/∂x1a
∂ub (xb )/∂x1b
=
∂ua (xa )/∂x2a
∂ub (xb )/∂x2b
a∈A
{xa∗ }a∈A
per xb = ω − xa
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xa∗ =
X
ωa
a∈A
è l’allocazione di equilibrio walrasiano
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Economia del benessere
Economia del benessere
Caratterizzazione dell’equilibrio walrasiano
p ∗ e {xi∗ }i∈A è un equilibrio walrasiano se
Interpretazione grafica nella scatola di Edgeworth
retta di bilancio passa per xa∗ e ωa
Per ogni agente j
∇uj (xj∗ ) = λj p ∗ ,
p ∗ · xj∗ = p ∗ · ωj
curve di indifferenza sono tangenti
x ∗ è un ottimo paretiano
X
j∈A
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xj∗ =
X
ωj
j∈A
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Equilibrio ed efficienza
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Dimostrazione per assurdo
Primo teorema dell’economia del benessere
Se le preferenze individuali soddisfano la proprietà di non sazietà, ogni
allocazione di equilibrio walrasiano è un ottimo paretiano. Formalmente, se
p ∗ e {xa∗ }a∈A è un equilibrio walrasiano allora {xa∗ }a∈A è un ottimo
paretiano.
Ipotesi: {xj∗ }j∈A e p ∗ è un equilibrio walrasiano, ma non un ottimo
paretiano
Esiste un’altra allocazione ammissibile {xj0 }j∈A , cioè tale per cui
X
xj0 =
j∈A
Dimostrazione formale
ωj
j∈A
che domina {xj∗ }j∈A ,
Premessa
cioè xj0 < xj∗ per ogni j ∈ A, xj0 xj∗ per qualche j
Se xa0 xa∗ dove xa∗ = ϕa (p)
Quindi, per la premessa
X
X
X
p ∗ · xj0 >
p ∗ · xj∗ =
p ∗ · ωj
allora p · xa0 > p · xa∗
j∈A
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X
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j∈A
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j∈A
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Esercizio 11
Si consideri un sistema economico di puro scambio con due agenti, a e b,
aventi le seguenti funzioni di utilità:
cioè
X
p ∗ · xj0 >
j∈A
X
p ∗ · ωj
j∈A
ua =
Che è impossibile
in quanto {xj0 }j∈A
P
P
Pè ammissibile,
Pcioè
0
∗·
0 = p∗ ·
x
=
ω
e
dunque
p
x
j
j∈A j
j∈A
j∈A j
j∈A ωj
√
xa ya
e
ub =
√
xb yb .
Le dotazioni iniziali dei due agenti sono rispettivamente: ea = (1, 3) e
eb = (3, 1).
Calcolare le funzioni di eccesso di domanda di entrambi gli agenti.
Calcolare la funzione aggregata di eccesso di domanda per il bene x e
calcolare i prezzi di equilibrio (si fissi p2 = 1).
Contro esempio – grafico – Agente a, preferenze saturate
Determinare l’allocazione corrispondente ai prezzi di equilibrio e
verificare se soddisfa le condizioni di ottimalità paretiana.
Osservazioni critiche
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Interpretazione
Secondo teorema dell’economia del benessere
Il mercato può essere usato per raggiungere obiettivi redistributivi
Ogni allocazione ottima secondo Pareto può essere ottenuta come un
equilibrio walrasiano per un’‘opportuna’ redistribuzione delle risorse a
condizione che
Il mercato è importante se alcuni beni non sono trasferibili (capitale
umano)
Esempio grafico
le preferenze siano convesse
i trasferimenti siano lump-sum (l’ammontare del trasferimento è
indipendente dal comportamento dell’agente)
Limitazioni
Tutti gli agenti devono essere price-takers
Potere di mercato
Autorità pubblica deve avere un’enorme mole di informazione e il
potere di tassare e trasferire risorse in modo lump sum
Imposte distorsive
abilità lavorativa ed imposte sul reddito da lavoro
Illustrazione grafica - trasferimento di ricchezza
Contro esempio - preferenze non convesse
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Introduzione
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Proprietà dell’equilibrio
Primo teorema dell’economia del benessere
Secondo teorema dell’economia del benessere
Coerenza interna
La teoria dell’equilibrio walrasiano soddisfa il criterio della coerenza
interna; l’equilibrio esiste sotto condizioni molto generali
Stabilità dell’equilibrio
Il processo di Tâtonnement
Classificazione degli equilibri
Centro di gravitazione
La domanda successiva è se l’EW sia un centro di gravitazione. L’EW è
uno ‘stato eccezionale’ del sistema dei prezzi, oppure uno stato ‘normale’,
nel senso che i prezzi di mercato tendono a gravitare verso il livello di
equilibrio?
Unicità dell’equilibrio
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Equilibrio ed efficienza
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Stabilità
Punto stazionario
Sappiamo che l’EW è uno stato di riposo del sistema; se i prezzi sono
quelli di equilibrio non vi sono forze che operano per destabilizzare il
sistema, infatti tutti gli agenti riescono a realizzare le loro scelte.
Aggiustamento dei prezzi
Per sviluppare un’analisi dinamica occorre indicare le forze che sono
all’opera e quindi occorre introdurre alcune ipotesi su come si aggiustano i
prezzi quando il sistema non è in equilibrio
Problema della stabilità
Se il sistema non si trova in equilibrio,
esistono forze che tendono a portarlo in tale posizione?
L’analisi è complessa perché non è facile individuare ipotesi relative al
funzionamento dei mercati in generale.
Esistono forze che tendono a far gravitare i prezzi verso il loro livello di
equilibrio?
Occorre introdurre delle semplificazioni drastiche
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Tâtonnement
Tâtonnement
In termini formali il meccanismo di Tâtonnement Walrasiano è
Processo di aggiustamento di Tâtonnement
pt+1 − pt = αZ (pt )
Non avvengono scambi a prezzi diversi da quelli di equilibrio
Il processo di Tâtonnement classico, proposto originariamente da Walras,
consiste nell’ipotesi che i prezzi si aggiustino in base alla legge della
domanda e dell’offerta:
Eccesso di domanda su un mercato si aumenta il prezzo di tale bene
con α > 0.
Quindi se
Zi (pt ) > 0 si ha pi,t+1 − pit > 0 e il prezzo del bene i aumenta
Zi (pt ) < 0 si ha pi,t+1 − pit < 0 e il prezzo del bene i diminuisce
Una soluzione dell’equazione alle differenze è una traiettoria di prezzi
Eccesso di offerta su un mercato si diminuisce il prezzo di tale bene
{pt , pt+1 , pt+2 , . . .}
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Equilibrio ed efficienza
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Parte III
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Classificazione degli equilibri
Esempi grafici di stabilità e instabilità
Un prezzo di equilibrio p ∗ è globalmente stabile se ogni traiettoria di
prezzi converge a p ∗
Un prezzo di equilibrio p ∗ è localmente stabile se ogni traiettoria di
prezzi, con prezzo iniziale pt sufficientemente prossimo a p ∗ , converge
a p∗
Un prezzo di equilibrio p ∗ è instabile se ogni traiettoria di prezzi non
converge a p ∗
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Equilibrio ed efficienza
La natura dell’equilibrio e le sue caratteristiche di stabilità dipendono dalle
proprietà della funzione di aggregata di eccesso di domanda
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Stabilità dell’equilibrio
Il processo di Tâtonnement
Classificazione degli equilibri
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Unicità dell’equilibrio
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Unicità dell’equilibrio
Analisi di statica comparata
Studia come variano i prezzi di equilibrio al variare di alcuni parametri dati
del modello, ad es. la dotazione complessiva di un bene
Esempio grafico
Anche in questo caso le proprietà della funzione aggregata di eccesso di
domanda giocano un ruolo centrale.
Unicità
L’unicità dell’equilibrio (a meno della moltiplicazione per uno scalare) è
una proprietà molto importante perché consente di effettuare l’analisi di
statica comparata.
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