3A.2 Le funzioni di domanda Cobb

3A.2 Le funzioni di domanda CobbDouglas
• Nell’esempio 2A.2 si è visto come determinare i valori
che massimizzano l’utilità dati certi valori di px, py e I.
• Ora dimostreremo
come è possibile risolvere le
equazioni rispetto a x e a y in funzione di px, py e I ,
lasciando px, py e I come variabili.
Le funzioni che si ottengono in questo modo sono
rispettivamente le funzioni di domanda di x e y, perché
indicano come varia la quantità di ciascun bene al
variare del suo prezzo.
M. Giannoni -Appendice. Cap 3 tratta da:
Microeconomia Katz Rosen Bollino Morgan , 4ed, Mc Graw Hill, 2011
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3A.2 Le funzioni di domanda CobbDouglas
Esempio:
Enrico ha una funzione di utilità di tipo Cobb-Douglas :
U(x,y) = xa yb
Se a = ¾ e b = ¼
U(x,y) = x ¾ y ¼
Calcoliamo le funzioni di domanda di Enrico per i beni x
e y usando il metodo di Lagrange:
L = x ¾ y ¼ + λ (I – pxx – pyy)
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3A.2 Le funzioni di domanda CobbDouglas
• Ricaviamo le sue derivate parziali:
• ∂L/∂x = 3/4 x-1/4y1/4 - λ px = 0
• ∂L/ ∂y = ¼ x3/4 y-3/4 - λ py = 0
• ∂L/ ∂ λ = I -px x - py y=0
Risolvendo rispetto a x e rispetto a y, otteniamo le funzioni
di domanda di:
• x = 3/4 I/px
(3A.3)
• y= ¼ I/p
(3 A.4)
M. Giannoni-Appendice. Cap 3 tratta da:Microeconomia KatzRosenBollino Morgan , 4ed, Mc Graw Hill, 2011
X=3/4 I/px ; Y= ¼ I/py
Usando le funzioni di domanda sopra calcoliamo
l’elasticità rispetto al proprio prezzo dei beni x e y.
• ε = - dX/dpx
* p/X
• ε x = - (∂x/∂px) (px/x) = (3/4) I /px2(px/x)= (x/x)=1 (3 A.5)
• εy = - (∂y/ ∂py) (py/y) = (3/4) I /py2(py/y)= (y/y)=1
(3 A.6)
•
Le funzioni di domanda analizzate hanno elasticità
unitaria, inoltre i beni x e y non son
• o né complementari né sostituti in quanto l’elasticità
incrociata è nulla:
(∂x/∂py) = (∂y/ ∂px) = 0
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3A.2 Le funzioni di domanda CobbDouglas
L’elasticità rispetto al reddito dei beni x e y :
ηx= (∂x/∂I) (I/x) = (3/4) /px (I/x) = (x/x) = 1
ηy= (∂y/∂I) (I/y) = (3/4) /py (I/y) = (y/y) = 1
è unitaria e quindi i beni sono normali, cioè né inferiori né di
lusso.
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3 A.3 Le funzioni di domanda del sistema di
spesa lineare (LES)
Il sistema di spesa lineare (Linear Expenditure System, LES)
U(x,y) = (x – gx) a (y- gy) b
Nelle funzioni di domanda LES, i parametri gx e gy
costituiscono il livello del consumo minimo o di
sussistenza: è realistico ipotizzare che sotto un certo
livello di consumo di ciascun bene il consumatore non
possa sopravvivere.
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3 A.3 Le funzioni di domanda del sistema di
spesa lineare (LES)
Esempio:
Funzione di utilità di Enrico:
U(x,y) = (x – gx) 3/4 (y- gy) 1/4
L’espressione di Lagrange per massimizzare l’utilità sarà:
L = (x – gx) 3/4 (y – gy)1/4 + λ (I – pxx + pyy)
Dal sistema di derivate parziali otteniamo:
•
∂L/∂x = 3/4(x – gx)-1/4 (y- gy)1/4 - λ px = 0
•
∂L/∂y = 1/4 (x – gx)3/4 (y- gy)-3/4 - λ py = 0
•
∂L/∂ λ = I -px x - py y=0
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3 A.3 Le funzioni di domanda del sistema di
spesa lineare (LES)
Risolvendo le 3 equazioni di cui sopra si ottengono le funzioni di
domanda di:
x = gx + (3/4) / px [ I - pxgx - pygy ]
y= gy + (1/4) / py [ I - pxgx – pygy]
Tali funzioni esprimono la quantità di ciascun bene in funzione del
livello di sussistenza più una frazione del reddito, che viene però
diminuito della spesa obbligata per ottenere il livello di consumo di
sussistenza.
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3 A.3 Le funzioni di domanda del sistema di
spesa lineare (LES)
Per ottenere l’elasticità rispetto al proprio prezzo dei beni x e y
calcoliamo l’espressione:
ε x = - (∂x/∂px) (px/x) = - (3/4) /px2 [- pxgx – (I – pxgx – pygy)](px/x) =
(3/4) gx/x + gx/x + pxx/pxx =
1 – (1 – 3/4) gx/x
(3 A.12)
εy = - (∂y/ ∂py) (py/y) =
1 – (1- 1/4) gy/y
(3 A.13)
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3 A.3 Le funzioni di domanda del sistema di
spesa lineare (LES)
• Se gx > 0 o gy > 0 quanto maggiore è la proporzione
della quantità di sussistenza sul consumo tanto più rigida
è la domanda del bene considerato al prezzo.
• Se gx < 0 o gy < 0 allora il fatto che il bene non sia
affatto indispensabile per il livello minimo di sussistenza
rende elastica la elasticità al prezzo del bene
considerato.
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3 A.3 Le funzioni di domanda del sistema di
spesa lineare (LES)
Al fine di calcolare l’elasticità dei beni x e y rispetto al
reddito definiamo le quote di bilancio di ciascun bene
come la frazione di spesa del reddito totale destinata
all’acquisto del bene:
sx = (px/x) / I ; sy = (py/x) / I
note: sx + sy = 1
ηx= (∂x/∂I) (I/x) = (3/4) /px (I/x) = 3/4 / sx (3 A.14)
ηy= (∂y/∂I) (I/y) = (1/4) /py (I/y) = 1/4 / sy (3 A.15)
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3 A.3 Le funzioni di domanda del sistema di
spesa lineare (LES)
Se nelle Equazioni (3 A.14) e (3 A.15) la propensione
alla spesa per il bene x è maggiore della sua quota di
bilancio, nell’esempio 3/4>sx, allora l’elasticità alla spesa
è maggiore di 1 e il bene è di lusso e viceversa.
Anche per il bene y, se la propensione alla spesa per
questo bene è maggiore della sua quota di bilancio, 1/4
> sy, allora y è un bene di lusso e viceversa.
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