Short Course on Multibody Dynamics
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Meccanica Aerospaziale Meccanica relativa In molti problemi meccanici la scelta di un riferimento non inerziale appare, non solamente la più spontanea, ma anche la più significativa per rappresentare le soluzioni. A titolo d'esempio possiamo citare i problemi di navigazione in cui è spontaneo utilizzare come indipendenti coordinate che individuino la posizione relativa rispetto ad un sistema solidale alla terra, perché le coordinate stesse risultano più immediatamente rappresentative. Questa scelta dell'uso di coordinate relative, pur rivelandosi più significativa dell'utilizzo di coordinate assolute, complica leggermente la scrittura delle equazioni ed impone una più sottile interpretazione dei contributi inerziali. La meccanica relativa è implicitamente contemplata dalle equazioni di Lagrange che dimostrano, quindi, un ulteriore carattere di invarianza. Esse rimangano formalmente le stesse sia con l'utilizzo di coordinate assolute, sia con l'impiego di coordinate relative. Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano Meccanica Aerospaziale Meccanica relativa Come introduzione alle questioni di meccanica relativa consideriamo, nello spazio ordinario tridimensionale, il moto di un singolo punto descritto da due osservatori in moto uno rispetto all'altro. Di questi osservatori, uno verrà indicato come osservatore fisso, l'altro, come osservatore mobile. In meccanica classica, si considerano invarianti, rispetto ai due osservatori, gli intervalli di tempo fra due fenomeni fisici e le distanze fra punti prefissati. Il tempo, quindi, costituisce una grandezza assoluta per i due osservatori comunque in moto fra loro, mentre l'invarianza delle distanze fra punti prefissati impone che il moto dell'osservatore mobile rispetto all'osservatore fisso sia rigido. Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano Meccanica relativa Cinematica relativa Meccanica Aerospaziale coordinate relative Velocità assoluta Velocità del polo di riferimento Formule di Poisson Velocità di trascinamento Velocità relativa Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano Meccanica relativa Cinematica relativa Meccanica Aerospaziale coordinate relative il termine vt rappresenta la velocità posseduta dal punto P, qualora fosse trascinato rigidamente dal riferimento relativo, detta velocità di trascinamento il termine vr rappresenta la velocità posseduta dal punto P qualora il riferimento relativo fosse esso stesso fisso e viene detta velocità relativa. Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano Meccanica Aerospaziale Meccanica relativa Cinematica relativa sia la velocità assoluta, sia la velocità relativa sono date dalla derivate delle componenti della posizione moltiplicate per i versori degli assi la velocità assoluta è espressa dalla somma delle derivate delle componenti della posizione assoluta, rispetto al riferimento assoluto, ciascuna moltiplicata per i versori della terna assoluta la velocità relativa è fornita dalla somma delle derivate delle componenti della posizione relativa, rispetto al riferimento relativo, ciascuna moltiplicata per i versori degli assi del riferimento relativo. Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano Meccanica Aerospaziale Meccanica relativa Cinematica relativa l'accelerazione relativa può essere interpretata come l'accelerazione giudicata dall'osservatore mobile l'accelerazione relativa può essere ottenuta come l'accelerazione del punto P immaginando di aver congelato la terna di trascinamento Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano Meccanica relativa Cinematica relativa Meccanica Aerospaziale raggruppando i termini i primi tre termini a secondo membro costituiscono l'accelerazione posseduta dal punto P, qualora fosse trascinato rigidamente dal riferimento relativo, detta appunto accelerazione di trascinamento il quinto termine rappresenta l'accelerazione relativa Il quarto termine rappresenta l’accelerazione complementare Teorema di Coriolis Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano Meccanica relativa Dinamica relativa Meccanica Aerospaziale La forza d'inerzia, data dal prodotto della massa per l'accelerazione, eguaglia la forza esterna questa equazione presuppone l'utilizzo di un sistema di riferimento assoluto, cioè di un sistema di riferimento fisso o in moto rettilineo ed uniforme rispetto a questo riferimento nel caso di un riferimento mobile la scrittura dell'equazione della dinamica richiede l'espressione dell'accelerazione mediante il teorema di Coriolis forza d’inerzia di trascinamento forza d’inerzia di Coriolis o complementare La forza d'inerzia relativa, data dal prodotto della massa per l'accelerazione relativa, eguaglia la forza esterna relativa, Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano Meccanica Aerospaziale Meccanica relativa Trattazione lagrangiana Le equazioni di Lagrange sono in grado di considerare la dinamica relativa senza richiedere alcuna modifica. Con la trattazione lagrangiana, la dinamica relativa viene implicitamente considerata nel momento in cui si utilizzano come coordinate libere delle coordinate relative. L’unica scelta consiste nell’individuare le coordinate della posizione relativa. coordinate relative posizione assoluta velocità assoluta sollecitazione attiva Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano Meccanica Aerospaziale Meccanica relativa Trattazione lagrangiana velocità assoluta Proiezione lungo gli assi rotanti Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano Meccanica Aerospaziale Meccanica relativa energia cinetica di trascinamento Energia cinetica energia cinetica relativa energia cinetica complementare energia cinetica di trascinamento momento statico tensore d’inerzia Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano Meccanica Aerospaziale Meccanica relativa Trattazione lagrangiana energia cinetica relativa energia cinetica complementare quantità di moto relativa momento delle quantità di moto relative Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano Meccanica relativa Trattazione lagrangiana Meccanica Aerospaziale energia cinetica del moto relativo relativa energia cinetica di trascinamento e complementare al pari di un potenziale generalizzato Forze d’inerzia apparenti come forze monogeniche dedotte da un potenziale generalizzato Equazioni di Lagrange per il moto relativo equvalenti alle equazioni di Lagrange per il moto assoluto una volta specificata la scelta delle coordinate libere, le equazioni di Lagrange sono determinate e non possono mutare, se non per un diverso raggruppamento ed interpretazione dei vari termini Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano Meccanica relativa per un sistema di punti materiali Meccanica Aerospaziale coordinate relative Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano Meccanica relativa per un sistema di punti materiali Meccanica Aerospaziale Quantita di moto relativa Momento delle uantita di moto relativa Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano Meccanica relativa Trattazione lagrangiana Meccanica Aerospaziale energia cinetica del moto relativo Sollecitazioni apparenti come sollecitazioni monogeniche Potenziale generalizzato Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano
