Statistica economica Capitolo 3

Statistica economica
Capitolo 3
Prof. Alessandra Michelangeli
a.a. 2013-2014
1)
La media aritmetica
2) La trimmed mean
3) La mediana
4) La moda
5) I quantili
Statistica economica a.a. 2013/2014
• La media aritmetica di un insieme di n modalità x1, x2, …, xn di un
carattere quantitativo X è data da:
Formula 1
1
1n
xa =
n
( x1 + x2 + ...+ xn ) = ∑xi
n i =1
• Se è nota la distribuzione di frequenza del carattere X, la formula
diventa:
Formula 2
1K
xa = ∑ x j n j
n j =1
K
xa = ∑ x j f j
Formula 3
j =1
Statistica economica a.a. 2013/2014
• Consideriamo la distribuzione unitaria del numero di agenti inquinanti
nell’aria per città e applichiamo la formula per determinare il numero
medio di agenti che inquinano l’aria delle principali città italiane
xa =
1
(1 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + ... + 13 + 13 + 13 + 15 ) = 7, 72
103
Abbiamo
applicato la
Formula 1
• Utilizziamo ora la formula 2 che viene applicata alla distribuzione di
frequenze assolute:
xa =
1
(1*1 + 1*2 + 4*3 + 6*4 + 9*5 + 12*6 +12*7 + 15*8 + 23*9 + 6*10 + 6*11 + 4*12 + 3*13 +15*1) = 7,72
103
Abbiamo
applicato la
Formula 2
Statistica economica a.a. 2013/2014
• Il calcolo diventa ancora più rapido se applichiamo la formula 3 alla
distribuzione di frequenze relative
x a = 0, 0097 i1 + 0, 0097 i 2 + 0, 0388 i 3 + 0, 0583 i 4 + 0, 0874 i 5 +
+ 0,1165 i 6 + 0,1165 i 7 + 0,1456 i8 + 0, 2233 i 9 + 0, 0583 i10 + 0, 0583 i11 +
+ 0, 0388 i12 + 0, 0291i13 + 0, 0097 i15 = 7, 72
Abbiamo
applicato la
Formula 3
Statistica economica a.a. 2013/2014
• Consideriamo ora la distribuzione unitaria del numero di abitanti per
città e calcoliamo il numero di abitanti che mediamente popolano le
nostre 103 città oggetto dell’indagine:
xa =
1
( 2 71 87 6 8 + 12 99 63 3 + 9 7 31 32 + ... + 2 17 73 ) = 1 6 85 08,1 2 6
1 03
Abbiamo
applicato la
Formula 1
• Non è utile calcolare la media aritmetica utilizzando le formule 2 e 3
da applicare, rispettivamente, alla distribuzione di frequenze assolute e
relative perché non si velocizzano i calcoli.
Statistica economica a.a. 2013/2014
• La distribuzione unitaria del numero di abitanti per città viene
suddiviso in classi e si considera la distribuzione di frequenze assolute,
relative o percentuali. E’ possibile approssimare il valore medio della
distribuzione utilizzando il valore centrale della classe cj
xa
1 K
≅ ∑ c jn j
n j =1
Statistica economica a.a. 2013/2014
Statistica economica a.a. 2012/2013
Classi
≅
xa
1
n
(migl ia ia di a bita nti)
cj
nj
[0; 50)
[50; 100)
[100; 500)
[500; 3000)
25
75
300
1750
19
41
37
6
K
∑c
j =1
j
nj =
1
(25 i19 + 75 i 4 1 + 30 0 i 37 + 1 750 i 6 ) = 24 4,17 4
1 03
K
xa
≅ ∑ f j c j = (25i0,1845 + 75i0,3981 + 300i0,3592 + 1750i0, 0583) = 244,174
j =1
xa
≅
1 K
1
∑ f jc j = 100 (25i18, 45 + 75i39,81 + 300i35,92 + 1750i5,83) = 244,174
100 j =1
• La media aritmetica ponderata di un insieme di n valori osservati
di un carattere quantitativo X con pesi non negativi, è data da:
n
x p + x 2 p 2 + ... + xi pi + ... + x n p n
xa = 1 1
=
p1 + p 2 + ... + pi + ... + p n
∑xp
i
i =1
n
∑p
i =1
Statistica economica a.a. 2013/2014
Reddito disponibile pro-capite per regione, anno 2011
Regione
Reddito pro-capite
Piemonte
20.431
Valle D'Aosta
22.495
Lombardia
21.082
Trentino Alto Adige
21.244
Veneto
20.113
Friuli-Venezia Giulia
20.677
Liguria
20.304
Emilia Romagna
21.590
Toscana
19.471
Umbria
17.885
Marche
19.055
Lazio
19.580
Abruzzo
15.391
Molise
15.198
Campania
12.522
Puglia
13.687
Basilicata
14.276
Calabria
13.232
Sicilia
12.970
Sardegna
14.938
Fonte: Istat
Statistica economica a.a. 2013/2014
i
i
1 n
1
x a = ∑ xi =
(20431 + 22495 + ... + 12970 + 14938) = 17807
n i =1
20
Media aritmetica
non ponderata
n
∑x p
i
xa =
i =1
n
∑p
i
= 20431 ⋅
4457335
1675411
+ ... + 14938 ⋅
= 17975
60626442
60626442
i
i =1
Media aritmetica ponderata per la
popolazione residente in ogni
regione
Statistica economica a.a. 2013/2014
Reddito disponibile pro-capite per regione, anno 2011
Regione
Reddito pro-capite Popolazione residente Peso statistico
Piemonte
20.431
4.457.335
0,0735
Valle D'Aosta
22.495
128.230
0,0021
Lombardia
21.082
9.917.714
0,1636
Trentino Alto Adige
21.244
1.037.114
0,0171
Veneto
20.113
4.937.854
0,0814
Friuli-Venezia Giulia
20.677
1.235.808
0,0204
Liguria
20.304
1.616.788
0,0267
Emilia Romagna
21.590
4.432.418
0,0731
Toscana
19.471
3.749.813
0,0619
Umbria
17.885
906.486
0,0150
Marche
19.055
1.565.335
0,0258
Lazio
19.580
5.728.688
0,0945
Abruzzo
15.391
1.342.366
0,0221
Molise
15.198
319.780
0,0053
Campania
12.522
5.834.056
0,0962
Puglia
13.687
4.091.259
0,0675
Basilicata
14.276
587.517
0,0097
Calabria
13.232
2.011.395
0,0332
Sicilia
12.970
5.051.075
0,0833
Sardegna
14.938
1.675.411
0,0276
Fonte: Ista t
60.626.442
Statistica economica a.a. 2013/2014
k
∑x p
j
xa =
j =1
k
∑p
j
= 20431⋅
4457335
1675411
+ ... + 14938 ⋅
= 17975
60626442
60626442
j
j =1
Media aritmetica
ponderata per la
popolazione
residente in ogni
regione
Popolazione della
singola regione
rapportata alla
popolazione totale
• La Media aritmetica sintetizza la distribuzione di un carattere
con un solo valore.
• La Media aritmetica dipende da tutti i valori osservati e quindi
risente dei valori estremi (valori anomali);
Statistica economica a.a. 2013/2014
1)
La somma dei valori osservati è uguale al valore medio moltiplicato per il
numero di unità;
xa =
n
1 n
x
⇒
n
x
=
xi
∑i
∑
a
n i =1
i =1
Quindi, per esempio, se è noto che nelle principali italiane (le nostre famose 103
che stiamo studiando dall’inizio del corso) vivono mediamente 168508,126
abitanti, quanti residenti in Italia vivono in queste 103 città?
168508,126 ⋅103 = 17356337
Statistica economica a.a. 2013/2014
2) La somma delle differenze tra i valori e la loro media aritmetica è pari a
zero.
Questa proprietà è utile per verificare l’esattezza del calcolo della media
aritmetica. Basta infatti verificare che la somma degli scarti dal valore
calcolato sia nullo (Fraire, Rizzi 2008 p. 102).
Esempio dei redditi pro-capite per regione, anno 2011:
(20431 − 17807) + (22495 − 17807) + ... + (12970 − 17807) + (14938 − 17807) = 0
Statistica economica a.a. 2013/2014
3) La somma degli scarti al quadrato dei valori da una costante c è minima
quando c è uguale alla media aritmetica.
n
min ∑ ( xi − c)2
c = xa
i =1
Considerando sempre l’esempio dei redditi pro-capite per regione risulta che la
seguente somma
(20431 − c) 2 + (22495 − c)2 + ... + (12970 − c)2 + (14938 − c)2 = 0
dà come risultato un valore minimo se c = x a = 17807
Statistica economica a.a. 2013/2014
4) Se un collettivo viene suddiviso in L sottoinsiemi disgiunti, allora la media
aritmetica generale si può ottenere come media ponderata delle medie dei
sottoinsiemi con pesi uguali alle loro numerosità.
Statistica economica a.a. 2013/2014
Il Nord comprende: Liguria, Lombardia, Piemonte, Valle d’Aosta, Emilia-Romagna,
Friuli-Venezia Giulia, Trentino-Alto Adige.
Centro: Lazio, Marche, Toscana, Umbria.
Sud: Abruzzo, Basilicata, Calabria, Campania, Molise, Puglia, Sicilia, Sardegna
x a = 20992 ⋅
Statistica economica a.a. 2013/2014
8
4
8
+ 18998 ⋅
+ 14027 ⋅
= 17807
20
20
20
Reddito disponibile pro-capite per macroregione, anno 2011
Macroregione Reddito pro-capite N. abitanti
Nord
20.835
27.763.261
Centro
19.348
11.950.322
Sud
13.394
20.912.859
Totale
60.626.442
Il Nord comprende: Liguria, Lombardia, Piemonte, Valle d’Aosta, Emilia-Romagna,
Friuli-Venezia Giulia, Trentino-Alto Adige.
Centro: Lazio, Marche, Toscana, Umbria.
Sud: Abruzzo, Basilicata, Calabria, Campania, Molise, Puglia, Sicilia, Sardegna
x a = 20835 ⋅
27763261
11950322
+ 19348 ⋅
+ 13394 ⋅ 60626442 = 17975
60626442
60626442
Statistica economica a.a. 2013/2014
5) La media aritmetica di un carattere Y, ottenuto attraverso una
trasformazione lineare del carattere X, Y=αX+β, è Ȳ a
= αX̄ a + β
Supponiamo che nel 2012 i trasferimenti erariali per regione siano stati mediamente di
2500 milioni di euro. Nel prossimo biennio è previsto una decurtazione pari al 25%
del trasferimento medio. A quanto ammonteranno i trasferimenti medi erariali nel
2014?
2500*25% = 625 quindi 2500 – 625 = 1875
Carattere statistico X = ‘Trasferimenti 2012’ le cui modalità xi ,
non sono note. Si conosce invece la media x a = 2500
i = 1, ..., n
Carattere statistico Y = ‘Trasferimenti 2014’ ,
Y = X − 25% X a ⇒ Y a = X a − 25% X a = 1875
Statistica economica a.a. 2013/2014
Supponiamo ora che i trasferimenti nel prossimo biennio possano addirittura
raddoppiare rispetto ai 2500 milioni di partenza. A quanto ammonteranno i
trasferimenti medi erariali nel 2014?
Carattere statistico X = ‘Trasferimenti 2012’ le cui modalità xi ,
non sono note. Si conosce invece la media x a = 2500
i = 1, ..., n
Carattere statistico Y = ‘Trasferimenti 2014’ ,
Y = 2 X ⇒ Y a = 2 X a = 5000
Statistica economica a.a. 2013/2014
Supponiamo infineche i trasferimenti nel prossimo biennio siano diminuiti in ogni
regione in misura pari a 1000 milioni di euro rispetto ai 2500 milioni di partenza. A
quanto ammonteranno i trasferimenti medi erariali nel 2014?
Carattere statistico X = ‘Trasferimenti 2012’ le cui modalità xi ,
non sono note. Si conosce invece la media x a = 2500
i = 1, ..., n
Carattere statistico Y = ‘Trasferimenti 2014’ ,
Y = X − 1000 ⇒ Y a = X a − 1000 = 1500
Statistica economica a.a. 2013/2014
• La trimmed mean è la media aritmetica calcolata su una
determinata percentuale di valori centrali di un insieme di dati.
• Elimina l’influenza dei valori anomali
Esempio
Con valori del carattere (3, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 150) la trimmed mean è
ottenuta escludendo l’ultima modalità più grande.
Statistica economica a.a. 2013/2014
# di abitanti nei capoluoghi di provincia italiani con meno di 500mila abitanti, anno 2009
aj
cj
nj
fj
pj
dj|fj
dj|pj
[0; 50)
50
25
19
0,1959
19,59
0,0039
0,392
[50; 100)
50
75
41
0,4227
42,27
0,0085
0,845
[100; 500)
400 300
37
0,3814
38,14
0,0010
0,095
Classi (migliaia di abitanti)
97
K
x Ta =
∑
c j f j = 2 5 ⋅ 0 ,1 9 5 9 + 7 5 ⋅ 0 , 4 2 2 7 + 3 0 0 ⋅ 0 , 3 8 1 4 = 1 5 1, 0 1
j =1
Statistica economica a.a. 2013/2014
La mediana
La mediana può essere calcolata su caratteri quantitativi e
qualitativi ordinabili.
E’ la modalità presentata dall’unità centrale del collettivo. La
mediana divide il collettivo in due sottoinsiemi di uguale
numerosità: uno con modalità di ordine più basso e l’altro con
modalità di ordine più alto.
E’ più “robusta” della media aritmetica perché è meno sensibile
ai valori estremi.
Statistica economica a.a. 2013/2014
Come procedere per calcolare la mediana (I)
1.
Ordinare le unità in senso crescente
2. Individuare la posizione in graduatoria dell’unità centrale:
•
•
se n è dispari, la posizione è (n+1)/2
se n è pari si hanno due unità centrali con posizione n/2 e n/2 +1;
3. Se n è dispari, la mediana è la modalità presentata dall’unità centrale
4. Se n è pari si hanno due mediane date dalle modalità delle due unità
centrali. Se il carattere è quantitativo, possiamo considerare come
mediana la semisomma dei valori delle due unità centrali)
Statistica economica a.a. 2013/2014
Come procedere per calcolare la mediana
Esempi
Consideriamo la distribuzione dei 103 capoluoghi di provincia che
ha il vantaggio di essere già ordinata (in senso decrescente).
n = 103 dispari
(n + 1)/2 = 52
Unità statistica centrale: Pistoia
Mediana: 89418
Statistica economica a.a. 2013/2014
Come procedere per calcolare la mediana
Esempi
Dalla distribuzione di partenza eliminiamo Roma.
n = 102 pari
n/2 = 51 e (n/2) + 1 = 52
Due unità statistiche centrali: Pistoia e Pisa
Mediana: (89418+87461)/2 = 88439
Questo calcolo si può fare solo per
carattere quantitativi. Vedi più avanti
l’esempio sui deputati alla Camera
classificati secondo il titolo di studio.
Statistica economica a.a. 2013/2014
Sulla robustezza della mediana
Eliminando una unità statistica dalla popolazione di partenza
(Roma), la mediana passa 89418 abitanti a 88439 abitanti,
mentre
la media aritmetica passa da 168508 a 143505 abitanti.
La mediana è quindi più robusta della media perché
risente di meno dei valori estremi.
Statistica economica a.a. 2013/2014
Ancora un esempio sul calcolo della mediana
Consideriamo la distribuzione dei deputati per titolo di studio.
Si tratta di un carattere statistico qualitativo definito su scala
ordinale. Totale deputati = n = 630 pari
n/2 = 315 e (n/2) + 1 = 316
La mediana è la laurea
Statistica economica a.a. 2013/2014
Come procedere per calcolare la mediana (II)
Se il carattere è suddiviso in classi, si può ottenere un valore
ben approssimato tramite la formula
 0,5 − Fm −1 
 ∆m
M e≈ Im + 
 Fm − Fm −1 
in cui si assume implicitamente l’ipotesi che nella classe
mediana le unità siano distribuite uniformemente
Statistica economica a.a. 2013/2014
Statistica economica a.a. 2013/2014
Il valore mediano è dato da
dj
50 = 33,99 + ( xme −10) ⋅ 2,85
50 − 33,99 = 2,85 ⋅ xme − 2,85 ⋅10
3,40
44,6
2,85
xme = 15,65
xme =
2,85
0,58
0,009
0,008
10
26
15,6
5
Statistica economica a.a. 2013/2014
55
75
100
Reddito
(migliaia di euro)
Il valore mediano è dato da
dj
50 = 25,57 + ( xme − 10) ⋅ 2,91
50 − 25,57 + 29,1 = 2,91⋅ xme
53,53
2,91
= 18,39
xme =
2,91
2,56
xme
0,78
0,13
0,11
10
26
18,3
Statistica economica a.a. 2013-2014
9
55
75
100
Reddito
(migliaia di euro)
Distribuzione delle frequenze cumulate (I)
Distribuzione delle frequenze cumulate
Contribuenti in Italia, anno 2009
Pj
98,10
100
96,33
79,54
50
33,99
10
26
15,6
5
Statistica economica a.a. 2013/2014
55
75
100
Reddito
(migliaia di euro)
Distribuzione delle frequenze cumulate (II)
Funzione di ripartizione
Contribuenti in Italia proprietari di immobili, anno 2009
Pj
100
97,14
94,57
72,09
50
25,57
10
26
18,3
9
Statistica economica a.a. 2013/2014
55
75
100
Reddito
(migliaia di euro)
Confronto tra le due curve di ripartizione
Pj
98,10
97,14
100
96,33
94,57
79,54
I contribuenti proprietari di immobili sono in
proporzione di meno nelle fasce di reddito meno
elevate (linea spezzata rossa sta al di sotto della linea
spezzata viola) e di più nelle fasce di reddito elevate
(linea spezzata rossa sta al di sopra della linea spezzata
Viola) rispetto alla totalità dei contribuenti.
Queste due curve confermano gli istogrammi e le
poligonali relativi ai 2 collettivi considerati.
72,09
50
33,99
25,57
10
26
18,3
9
Statistica economica a.a. 2013/2014
55
75
100
Reddito
(migliaia di euro)
Statistica economica a.a. 2013/2014
630
203
197
11
Licenzia media
Statistica economica a.a. 2013/2014
Diploma
Laurea breve
Laurea
La moda
La moda è la modalità più frequente nel collettivo
osservato.
• La moda fornisce informazioni solo su una modalità del
carattere.
• La moda dipende solo dalle frequenze.
• La moda acquista rilevanza solo se vi è una netta prevalenza
di una modalità;
• La moda si calcola su tutti i tipi di caratteri.
Statistica economica a.a. 2013/2014
La moda
per le variabili quantitative suddivise in classi
Per le variabili quantitative suddivise in classi si può
definire la classe modale alla quale è associata la
densità di frequenza più alta.
• N.B. Se le classi hanno la stessa ampiezza, c’è una
corrispondenza perfetta tra le frequenze e le densità. Se le
classi hanno invece ampiezze diverse, a frequenze più
elevate non corrispondono necessariamente densità più
elevate.
Statistica economica a.a. 2013/2014
Considerazioni conclusive sulla moda
La moda può non esistere…
…oppure possono esserci due o più mode. E’ il caso
delle distribuzioni bimodali o multimodali.
Statistica economica a.a. 2013/2014
Esercizio di riepilogo
Domanda 1 della prova d’esame del 18-6-2013
L’inchiesta Alma Laurea sui laureati del 2012 riporta i seguenti
risultati relativi al grado di soddisfazione per l’esperienza
universitaria complessiva:
xj
pj (%)
Decisamente non soddisfatto
2
Più insoddisfatto che soddisfatto 11
Più soddisfatto che insoddisfatto 53
Decisamente soddisfatto
34
a)
b)
c)
d)
Individuate e definite il tipo di carattere che state studiando. Elencate le
sue modalità.
Definite e determinate la moda.
Definite e determinate la mediana.
Rappresentate graficamente la funzione di ripartizione empirica ed
evidenziate sul grafico la mediana.
Statistica economica a.a. 2013/2014
Quantili
I quantili sono le modalità che dividono in parti uguali le unità
statistiche ordinate.
I quantili più noti sono:
I percentili: modalità che dividono in cento parti uguali le unità
statistiche ordinate.
I percentili di uso più frequente sono il 25-esimo e il 75-esimo
percentile, chiamati rispettivamente primo quartile (Q1) e terzo
quartile (Q3) che insieme alla mediana dividono la distribuzione in
quattro parti uguali (la mediana corrisponde al secondo quartile,
(Q2).
I decili: modalità che dividono in 10 parti uguali le unità statistiche
ordinate.
Statistica economica a.a. 2013/2014
Come procedere per calcolare il primo e il terzo quartile (I)
1.
Ordinare le unità statistiche in senso crescente
2. Individuare la posizione in graduatoria dell’unità statistica
di interesse:
•
•
se n è dispari, la posizione è (n+1)/4 e 3(n+1)/4
se n è pari, la posizione è quella che meglio approssima
(per eccesso o per difetto) (n+1)/4 e 3(n+1)/4;
Statistica economica a.a. 2013/2014
n = 103 dispari
(103+1)/4 = 26
1’ quartile = 54901 ab.
(pop. di Chieti)
n = 103
3*(103+1)/4 = 78
3’ quartile = 153469 ab.
(pop. di Foggia)
Statistica economica a.a. 2013/2014
Scatola a baffi
Box-plot
54901 (Q1; 25%)
x a = 168508
153469 (Q3; 75%)
89418 (me; 50%)
54901 (Q1; 25%)
21773
Statistica economica a.a. 2013/2014
n = 630 pari
(630+1)/4 = 157,75
1’ quartile = diploma di
istruzione secondaria
superiore
3*(630+1)/4 = 473,25
3’ quartile = laurea
Statistica economica a.a. 2013/2014
Come procedere per calcolare il primo e il terzo quartile (II)
Se il carattere è suddiviso in classi, si può ottenere un
valore approssimato dei quartili tramite l’analisi
dell’istogramma.
Statistica economica a.a. 2013/2014
Il primo quartile è dato da
25 = xQ1 ⋅ 3,4
dj
3,40
25
3,4
xQ1 = 7,35
Il primo 25% dei contribuenti dichiara
al massimo 7350 euro.
xQ1 =
Il terzo quartile è dato da
75 = 33,99 + ( xQ3 −10) ⋅ 2,85
2,85
75 − 33,99 = 2,85 ⋅ xQ3 − 28,5
75 − 33,99 + 28,5
2,85
xQ3 = 24,39
xQ3 =
0,58
0,009
Il primo 75%
dei
contribuenti
dichiara al
massimo
24390 euro.
0,008
10
26
15,6
Q3
5
Statistica economica a.a. 2013/2014
Q1
55
75
100
Reddito
(migliaia di euro)
Distribuzione delle frequenze cumulate
Contribuenti in Italia, anno 2009
Pj
98,10
100
96,33
79,54
50
33,99
25
7,35 10
26
15,6 24,3
5
Statistica economica a.a. 2013/2014
9
55
75
100
Reddito
(migliaia di euro)
630
203
197
11
Licenzia media
Statistica economica a.a. 2013/2014
Diploma
Q1
Laurea breve
Laurea
me; Q3
Titolo di studio
Esempio 1 di calcolo dei quartili
Per 11 mattine consecutive alle ore 7 viene rilevata la
temperatura, misurata in gradi centigradi. La distribuzione è
la seguente:
13.2, 4.7, 5.3, 9.2, 10.6, 1.7, 4.4, 7.5, 9.1, 7.3, 11.9
Calcolare i quartili della distribuzione.
Ripetere l’esercizio considerando la seguente distribuzione
relativa ai 10 giorni successivi ai precedenti.
2, 2.9, 3.3, 4.9, 5.2, 6.4, 7.6, 8.1, 9, 11.5
Statistica economica a.a. 2013/2014
Esempio 2 di calcolo dei quartili
E’ data la distribuzione della popolazione residente in Italia, di età
superiore ai 6 anni, suddivisa per grado di istruzione. L’anno di
riferimento è il 1991.
G ra d o d i
is t ru z io n e
A n a lf a b e t i
A lf a b e t i p r iv i
d e l t it o lo d i
s t u d io
L ic e n z a
e le m e n t a r e
L ic e n z a
m e d ia
in f e r io r e
D ip lo m a
L a u re a
fj
Fj
0 ,0 2 1 0
0 ,0 2 1 0
0 ,1 2 2 0
0 ,1 4 3 0
0 ,3 2 6 0
0 ,4 6 9 0
0 ,3 0 7 0
0 ,1 8 6 0
0 ,0 3 8 0
0 ,7 7 6 0
0 ,9 6 2 0
1
Calcolare i quartili della distribuzione.
Statistica economica a.a. 2013/2014
Esempio 3 di calcolo dei quartili
E’ data la distribuzione di una popolazione statistica suddivisa in
base al numero di figli:
Numero di
figli
0
1
2
3
4
fj
Fj
0,2880
0,2880
0,3470
0,2580
0,0750
0,0320
0,6350
0,8930
0,9680
1
Calcolare i quartili della distribuzione.
Statistica economica a.a. 2013/2014
Esempio 4 di calcolo dei quartili
E’ data la distribuzione di una popolazione statistica suddivisa in
base all’altezza misurata in centimetri:
Classi
aj
fj
dj|fj
[159; 164)
[164; 169)
[169; 174)
[174; 179)
[179; 184)
[184; 189)
5
5
5
5
5
5
0,0930
0,1940
0,2900
0,2480
0,1260
0,0490
0,0186
0,0388
0,0580
0,0496
0,0252
0,0098
Calcolare i quartili della distribuzione.
Statistica economica a.a. 2013/2014
Riassumendo…
Media: caratteri quantitativi
Mediana: caratteri quantitativi; qualitativi definiti su scala ordinale.
Moda: caratteri quantitativi; caratteri qualitativi.
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Riferimenti bibliografici e Homework
•
Capitolo 3 del Borra, Di Ciaccio, in particolare:
•
•
3.1 Introduzione; 3.2 La media aritmetica; 3.4 La trimmed
mean; 3.5 La mediana; 3.6 La moda; 3.7 I percentili.
Svolgere esercizi 3.1, 3.2, 3.4, 3.6 a pagina 71 e 72 del
Borra Di Ciaccio.
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