MOMENTO DI UNA FORZA RISPETTO A UN PUNTO
Obiettivi
1.
Richiamare il concetto di momento e mostrare come
calcolarlo operativamente in 2 e 3 dimensioni.
2. Mostrare metodi semplificati per calcolare il momento
scalare.
3. Richiamare il concetto di coppia e darne
un’interpretazione meccanica.
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Prof. Massimo Cuomo
Da dove deriva l’ente momento
Fx – forza orizzontale
dy - distanza della forza dal punto O
Mo - momento della forza intorno ad O
(Mo)z - momento della forza intorno
all’asse z
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Atto di moto rigido
E’ un’equazione di compatibilità
v = vO + ωΟ r
ωO
vO
Lo spostamento virtuale è un atto di moto di ampiezza arbitraria,
compatibile con i vincoli.
s = sO + φ Ο r
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Lavoro della forza:
L = F .s
Dalla legge del moto rigido:
s = φΟ r
L = F . φ r = φΟ . r F = φΟ . MO
MO = r F
Il momento è l’ente che compie
lavoro per una rotazione
M O = rFsin θ
= F(r sin θ)
= Fd
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MO = MO ex = F dy ex
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Il momento è nullo se r ed F sono coassiali, cioè se la retta d’azione della
forza passa per il polo.
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r = (P-O)
MO = r F = r (Fx ex + Fy ey + Fz ez) = r Σi Fi ei
Moj = r Σi Fi ei . ej = Σi Fi r ei . ej
Conviene calcolare le componenti del momento considerando una
alla volte le componenti della forza e ricordando che:
la componente del momento rispetto ad un asse passante per il polo
si annulla se:
•la forza è parallela all’asse;
•il vettore posizione è parallelo all’asse (coincide);
•la retta d’azione della forza incontra l’asse;
il triplo prodotto è uguale alla distanza della retta d’azione della
componente della forza dall’asse rispetto al quale si calcola la
componente del momento
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La forza ha solo la componente lungo z.
Mox = F dy = - 20 0.4 = - 8 Nm
z su y ( - )
Moy = F dx = + 20 0.3 = + 6 Nm
z su x ( + )
Moz = 0
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PASSO 1 : si scompone la
forza
Fi = F ⋅ e i = F n ⋅ ei = F ni
(B − C)
n=
B−C
( xiB − xiC )
ni =
B −C
3
B − C = ∑ ( xiB − xiC )
i =1
Punto
B
C
B-C
(B-C)i^2
ni
Fi
coor x
1
3
-2
4
-0,471
-28,28
coor y
3
4
-1
1
-0,236
-14,14
coorz
2
0
2
4
0,471
28,28
|B-C|
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5,745
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PASSO 2 : si calcola
ciascuna componente del
momento
14.14
28.28
28.28
Mx = Fz dy - Fy dz = 28.28 3 + 14.14 2 = 113.12 Nm
My = Fx dz - Fz dx = - 14.14 2 – 28.28 1 = -56.56 Nm
Mz = Fy dx - Fx dy = - 14.14 1 + 28.28 3 = 56.56 Nm
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Caso piano
Il momento ha la sola componente lungo l’asse z,
ortogonale al piano.
Si parla pertanto di Momento scalare
Anche in questo caso conviene operare considerando
separatamente le componenti della forza
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Trovare il momento della forza rispetto al punto A
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M A = −200 cos 45° 0.1 + 200 sin 45° 0.2 = 200
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1
2
0.1 = 14.18 Nm
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COPPIE
Una coppia è
l’insieme di due
forze parallele
di uguale
intensità e
direzione
opposta,
separate da una
distanza d.
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COPPIE
1. Una coppia è il risultato di due forza uguali ed
opposte non colineari. Essa compie lavoro solo per
una rotazione.
2. L’intensità di una coppia è Fd.
3. Le coppie sono vettori liberi: il loro momento
rispetto ad un qualsiasi punto è sempre lo stesso.
4. Due coppie sono equivalenti se producono lo stesso
momento.
5. Il vettore Momento della coppia è ⊥ al piano delle
forze.
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Momento della coppia intorno
ad un punto arbitrario A.
E’ dato dalla somma dei
momenti delle due forze.
M = r A × (-F) + r B × ( F) = ( r B − r A ) × F
But r A + r = r B , and r = ( r B − r A ).
∴ M = r × F.
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E’ importante conoscere in quale punto della struttura è
applicata la coppia
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Anche le coppie devono avere risultante nulla
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F = 120 N
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α
tan α = 3/4
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DEFINIZIONE DI EQUILIBRIO
Galileo
Newton
Bernouilli
Una configurazione Bt di un sistema è in equilibrio se il lavoro
virtuale compiuto dalle azioni agenti su di esso è nullo per
qualunque atto di moto.
D’Alambert
Principio della conservazione della quantità di moto.
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ATTO DI MOTO
sO
φr
φ
sO
δs = sO + φ r
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(∑ Fext + ∑ Finer )⋅ (sO + ϕ × r ) = (∑ Fext + ∑ Finer )⋅ sO + r × (∑ Fext + ∑ Finer )⋅ ϕ = 0
∀s O ,ϕ
⇒
(∑ Fact + ∑ R vinc + ∑ Finer ) = 0
r × (∑ Fext + ∑ R vinc + ∑ Finer ) = 0
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Non dimenticate le forze d’inerzia !
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