Note su filtri digitali

Progettazione nell'ambiente
LPCXpresso
Introduzione alla progettazione di sistemi
embedded a microcontrollore
Note su filtri digitali
S. Salvatori - Microelettronica – aprile 2016 – (1 di 42)
Sommario
Perché un filtro digitale
Filtraggio digitale
Trasformata z
Progetto di filtri digitali
Filtri FIR
Algoritmo di calcolo
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Perché un filtro digitale?
Il processore può essere riprogrammato;
L'accuratezzo dipende dall'arrotondamento nel calcolo
aritmetico:
Nota a priori
Minimizzare gli errori aumentando la risoluzione
Alimentazione e temperatura non influenzano le prestazioni (il
programma rimane lo stesso)
Alta immunità al rumore
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Processo di campionamento
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Aliasing
Segnale campionato correttamente
Alias dovuto al sottocampionamento
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Filtraggio digitale
VREF
VREF
filtro
numerico
Analog
input
gnd
DAC
Analog
output
gnd
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Filtraggio digitale
Un modo per ridurre il rumore in un segnale potrebbe
consistere nella semplice operazione di smoothing
Per esempio un filtro parabolico:
y[k ]=
1
( −3 x [k+2 ]+12 x [k +1 ]+17 x[k ]+12 x[ k−1]−3 x[k −2] )
35
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Filtraggio digitale
Nel filtro:
y[k ]=
1
( −3 x [k+2 ]+12 x [k +1 ]+17 x[k ]+12 x[ k−1]−3 x[k −2] )
35
il valore del campione attuale dell'uscita dipende da:
●
campione attuale x[k]
●
campioni precedenti x[k-1] e x[k-2]
●
e i campioni futuri x[k+1] e x[k+2] !
Il problema viene risolto semplicemente spostando il
calcolo di y[k] dopo che i 5 campioni sono stati acquisiti
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Filtraggio digitale
Cioè:
1
y[k ]= (−3 x [k]+12 x[k −1]+17 x [k−2]+12 x [k−3 ]−3 x[k −4])
35
È interessante osservare che l'espressione:
y[k ]=∑ ai x [k−i ]
rappresenta la convoluzione dei dati in ingresso attraverso i
coefficienti del filtro.
Tali coefficienti rappresentano la risposta impulsiva del filtro.
Infatti: che succede se l'ingresso è un impulso:
x[k] = 0 per k≠ 0, x[0] = 1
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Filtraggio digitale
Se x[k] = 0 per k≠ 0, x[0] = 1
y[k ]=∑ ai x [k−i ]=ak x( 0)
Quindi:
y[0]=a0 ;
y[1]=a1 ;
y[2]=a2 ;
...
Poiché vi è un numero finito di coefficienti, la risposta
impulsiva è finita. Per questo motivo tali filtri vengono
denominati FIR, Finite Impulse Response
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Filtraggio digitale
Un altro tipo di filtri è quello di tipo ricorsivo: l'uscita attuale
dipende dai valori precedenti dell'uscita:
N
M
i=0
i =0
y[k ]=∑ ai x [k−i ]=ak x( 0)+∑ bi y [k−i ]
Questi hanno una risposta impulsiva di tipo infinito e vengono
denominati IIR, Infinite Impulse Response
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Trasformata z
note
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Trasformata z
La trasformata z ha, nel dominio discreto, lo stesso ruolo che
la trasformata di Laplace ha nel dominio analogico
Impulso a t=kT
trasformata
di Laplace
e
−kTs
La trasformata di Laplace di una funzione discreta f[k], che è
una successione di impulsi, sarà:
F d [ s]=f ( 0)+f (1 )e
−Ts
−2 Ts
+f ( 2) e
+ f (3) e
−3 Ts
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+f ( 4)e
−4 Ts
+...
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Trasformata z
F d [ s]=f ( 0)+f (1 )e
−Ts
e
−2 Ts
+f ( 2) e
+ f (3) e
−3 Ts
Ts
+f ( 4)e
−4 Ts
+...
z
−1
−2
−3
−4
F ( z)=f (0 )+f (1) z +f ( 2) z +f ( 3) z +f ( 4) z +...
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Esempi
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Esempi
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Esempi
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Funzione di trasferimento impulsiva
Trasformata z dell'uscita
Trasformata z dell'ingresso
Y ( z )=G ( z) X ( z )
N
Filtro non-ricorsivo: G ( z)= ∑ ai z −i
i=0
Filtro ricorsivo:
N
M
Y ( z )=∑ ai z X ( z)+∑ bi z Y ( z)
−i
i=0
−i
i =1
∑ ai z
−i
Y ( z)
G ( z)=
=
X (z ) 1− ∑ bi z −i
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Piano z
z=e
sT
con
s=σ + j ω
σT
z=e e
se
z=e
σ=0
j ωT
jωT
=cos(ω T )+ j sin (ω T )
|z|=1
ω
σ>0
1
σ
σ<0
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Progetto di un filtro digitale
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Filtri semplici
Per progettare un filtro passa basso si può adottare la tecnica di
smoothing;
Vi sono due approcci:
fit polinomiale
media mobile
Fit polinomiale
Aumentando l'ordine del
polinomio possiamo
migliorare il cut-off
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Media mobile: esempio
Filtro Hanning
1
y[k ]= ( x [k ]+2 x [k−1]+ x[k−2 ])
4
Il filtro genera il campione attuale come
media pesata di tre campioni di
ingresso con quello al centro avente
peso doppio rispetto a quelli estremi
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Filtro Hanning
La trasformata z sarà:
1
−1
−2
H (z )= (1+2 z + z )
4
1
2
che è pari a H (z )= ( z+1)
4
È un passa basso?
con due zeri pari a -1
Vediamo la risposta in frequenza
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Filtro Hanning
1
−1
−2
H (z )= (1+2 z + z )
4
z→e
1
− j ωT
−2 j ωT
H ( jω)= (1 +2 e
+e
)
4
jω T
|H|
1
0,9
1 − j ωT j ωT
− jω T
H ( jω)= e
( e +2 +e
)
4
0,8
0,7
0,6
1 − j ωT
H ( jω)= e
( 2+2 cos( ωT ))
4
0,5
1 −j ωT
H ( jω)= e
(1+cos(ω T ))
2
0,2
0,4
0,3
0,1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
f/2fs
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Filtro Hanning
Fase?
1 −j ωT
H ( j ω)= e
(1+cos(ω T ))
2
H ( jω)=−ωT
La fase varia linearmente con f.
Questo è vero per qualunque filtro FIR con “coefficienti
simmetrici” (polinomio palindromo)
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LPF
Potremmo realizzare un LPF inserendo un polo
−1
1
z
H (z )=
=
z −α 1−α z−1
−1
z
Y ( z )=
X ( z)
−1
1−α z
−1
Y ( z )(1−α z )=z
−1
X ( z)
|H| 3
y[k ]= x[k −1 ]+α y[k −1 ]
α = 0.6
2,5
2
1,5
Filtro ricorsivo IIR
1
0,5
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
f/2fs
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0,6
0,7
0,8
0,9
1
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Progetto di un filtro FIR
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Risposta ideale di un passa basso
h(n)
1
pass-band
stop-band
ft
f normalizzata alla fs
0.5
Frequenza di transizione
La risposta impulsiva di questo
tipo di filtro è la funzione sinc.
0,8
0,7
ft = 0.4 fS
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
n
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Risposta ideale di un passa basso
0,8
0,7
La funzione sinc è infinita
Si estende sia per x positiva che
per x negativa
ft = 0.4 fS
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
n
Un filtro FIR, invece
ha un numero finito di coefficienti
può avere campioni solo dal passato
1
Campioniamo e tronchiamo a
un numero finito M+1 di valori
0,8
0,6
0,4
M: ordine del filtro
0,2
Muoviamo I campioni di M/2
0
-0,2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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12
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15
16
17
18
19
20
21
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Risposta ideale di un passa basso
Con i coefficienti della funzione
sinc troncata si ottiene una
risposta in frequenza che presenta
ripple sia in banda passante che
nella banda attenuata
I coefficienti vengono pesati con
funzioni particolari:
●
●
●
●
Hamming
Hanning
Bartlett
Blackman
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Windowing
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Windowing
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Struttura di un FIR
linea di ritardo
h0
h1
h2
hM
moltiplicazione
somma
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Esempio
fS: 44100 Hz
ft: 4 kHz
M: 20
[
sen 2 π
h (n)=.
(
ft
M
n−
fs
2
(
π n−
ft
2
fs
M
2
)
)]
per n≠
M
2
per n=
M
2
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#
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
sinc
-0,017555
-0,032341
-0,039323
-0,034095
-0,014550
0,018331
0,060410
0,105081
0,144601
0,171744
0,181406
0,171744
0,144601
0,105081
0,060410
0,018331
-0,014550
-0,034095
-0,039323
-0,032341
-0,017555
34/42
Esempio
Supponiamo di avere un ADC a 12 bit
Se anche per i coefficienti scelgo una
risoluzione di 12 bit:
h (i) x ( j)
24 bit
M
Y ( k)=∑ ai z x( z )
−i
i=0
21 addendi: altri 5 bit
Totale: 29 bit (ok per uP 32 bit)
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#
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
coeff
-0,017555
-0,032341
-0,039323
-0,034095
-0,01455
0,018331
0,06041
0,105081
0,144601
0,171744
0,181406
0,171744
0,144601
0,105081
0,06041
0,018331
-0,01455
-0,034095
-0,039323
-0,032341
-0,017555
x4096
-72
-133
-162
-140
-60
75
247
430
592
703
743
703
592
430
247
75
-60
-140
-162
-133
-72
35/42
Algoritmo per il calcolo
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
X(8)
X(9)
X(10)
X(11)
X(12)
X(13)
X(14)
X(15)
X(16)
X(17)
X(18)
X(19)
X(20)
Nuovo
campione
X(1)
X(2)
X(3)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
X(8)
X(9)
X(10)
X(11)
X(12)
X(13)
X(14)
X(15)
X(16)
X(17)
X(18)
X(19)
X(20)
X(21)
Scalare tutti gli elementi
del vettore X?
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Algoritmo per il calcolo
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
X(8)
X(9)
X(10)
X(11)
X(12)
X(13)
X(14)
X(15)
X(16)
X(17)
X(18)
X(19)
X(20)
X(21)
X(1)
X(2)
X(3)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
X(8)
X(9)
X(10)
X(11)
X(12)
X(13)
X(14)
X(15)
X(16)
X(17)
X(18)
X(19)
X(20)
p_x
X(21)
X(22)
X(2)
X(3)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
X(8)
X(9)
X(10)
X(11)
X(12)
X(13)
X(14)
X(15)
X(16)
X(17)
X(18)
X(19)
X(20)
...
È sufficiente muovere
un puntatore
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Algoritmo per il calcolo
Buffer circolare
p_x
Comincio a riempire il
vettore dalla posizione 0;
Si incrementa il puntatore;
Se p_x > M → p_x = 0
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Algoritmo per il calcolo
Nuovo
campione
y←0
j ← p_x
i←0
i <= M
F
T
y ← a(i) * x(j) + y
decr. j
i←i+1
incr. p_x
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Algoritmo per il calcolo
T
decr. j
incr. p_x
j←j-1
p_x ← p_x + 1
j<0
j←M
F
T
p_x > M
F
p_x ← 0
end
end
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Riferimenti
http://http://www.labbookpages.co.uk/audio/firWindowing.html
http://http://www.robots.ox.ac.uk/~sjrob/Teaching/SP/l5.pdf
http://www.robots.ox.ac.uk/~sjrob/Teaching/SP/l6.pdf
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