Diapositiva 1 - Progetto e

CORSO DI BIOFISICA
•IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E’
•AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L’UNIVERSITA’ DI
TERAMO
•LE IMMAGINE CONTENUTE SONO STATE TRATTE DAL LIBRO
“FONDAMENTI DI FISICA” DI D. HALLIDAY, R. RESNICK, J.
WALKER, ED. CEA.
MECCANICA: CINEMATICA E DINAMICA
Il movimento o moto di un oggetto fa parte della vita quotidiana.
Il moto certamente è stato il primo aspetto del mondo fisico ad essere
studiato, anche se gli antichi compresero molto del moto, solo recentemente
nel 1500 -1600, si è avuta una comprensione moderna di esso.
Lo studio del moto degli oggetti e i relativi concetti di forza e di energia,
costituiscono la Meccanica.
La meccanica, si divide in due parti:
Cinematica
che riguarda la
descrizione di come si
muovono gli oggetti
Dinamica
che riguarda le cause
del moto
CINEMATICA
Il termine deriva dal francese cinématique che a sua volta lo derivava dal greco kínēma-atos,
movimento. da kinéō "pongo in movimento"
Iniziamo a trattare il moto traslazionale, cioè moto che non presenta rotazioni.
Inizialmente tratteremo il moto lungo una linea retta (moto unidimensionale) o rettilineo.
Posizione - Spostamento
Un corpo è in moto se cambia posizione nel tempo.
Nel caso unidimensionale la posizione è definita mediante una coordinata
determinata in un sistema di riferimento costituito da una retta orientata sulla
quale è stato fissato una origine: vettore posizione P
P(x1)
P(x2)
S = P(x2) – P(x1)
0
x
x
1
0
x
0
x
2
2
x
x
Posizione all’istante t1
Posizione all’istante t2
Spostamento S = P(x2) – P(x1) = x1 – x2
Lo spostamento è avvenuto in un determinato intervallo di tempo t = t2 – t1
Un dato spostamento avviene tanto più rapidamente quanto minore è il tempo nel quale
è avvenuto
Posizione e spostamento in due dimensioni
y
y
y1
Pc(x2,y2)
P(x1,y1)
y1
x1
x
Vettore
posizione
=
vettore
con
origine
nell’origine del sistema di
riferimento e la punta
estrema nel punto P
Pa(x1,y1)
x1
Percorso: Pa
Pb(x2,y1)
Pb
Pc
Spostamento = Pa
Pc
x
Vettore
spostamento
=
vettore con origine nel punto
di partenza Pa e la punta
estrema nel punto di arrivo Pc
VETTORE SPOSTAMENTO
Si definisce vettore spostamento la differenza tra la
posizione finale e la posizione iniziale.
A

Δs
B

r1

r2
0
  
Δs  r2  r1
Lo spostamento coincide con lo spazio percorso solo se il
moto è rettilineo, in generale sono grandezze diverse
NOTAZIONE Δ:
VARIAZIONE DI UNA GRANDEZZA
Punto finale Pf:
tf = 12h 14min
lf = 16˙285,50 km
Punto iniziale Pi:
ti = 12h 04min
li = 16˙275,50 km
lf – li = 10 km = Δl
tf – ti = 10 min = Δt
Moto rettilineo: velocità media
La rapidità con la quale avviene uno
spostamento è definita velocità v.
La velocità vettoriale media è il rapporto
tra lo spostamento avvenuto in un dato
intervallo di tempo e l’intervallo di tempo
stesso:
x x2  x1
v 

t t2  t1
L’ unità di misura della velocità è:
m
v 
s
Velocità = grandezza vettoriale in quanto rapporto tra
un vettore e uno scalare
Moto rettilineo
Un grafico posizione in funzione del tempo forma una curva in un piano che
ci fornisce tutte le informazioni sul moto (unidimensionale) del nostro
corpo. Questa è la rappresentazione grafica della legge oraria.
Posizione a t = 0
Moto rettilineo: velocità media
tan() = pendenza della retta =
La velocità media è la pendenza della retta che unisce due punti sulla
curva x(t).
Il modulo della velocità media è uguale al valore assoluto della
pendenza della retta ed il segno è sempre uguale a quello dello
spostamento poiché Δt è sempre positivo.
Moto rettilineo: velocità media
Un automobilista percorre 8.2 km alla velocità di 68.3 km/h.
Rimane senza benzina e cammina fino ad un distributore distante
2.2 km impiegando 30 minuti per raggiungerlo. Quale è la velocità
media dalla partenza al distributore?
Macchina si ferma
Distributore
v  x / t
Tempo (h)
Δx = 8.2 km + 2.2 km = 10.4 km
Δt1 = 8.2 km / 68.3 km/h = 0.12 h ;
v = 10.4 km / 0.62 h = 16.67 km/h
t2 = 0.5 h ; Δt =Δt1+t2 = 0.62 h
VELOCITA’ ISTANTANEA:
VETTORIALE E SCALARE
La velocità istantanea vettoriale è la velocità di spostamento di una
particella in un dato istante.
La velocità vettoriale si ottiene dalla velocità vettoriale media
restringendo l’intervallo di tempo in modo che Δt si avvicini sempre
più allo zero.
x
x2
v  limt 0
x dx

t dt
s

x1
t
t
t1
t2
VELOCITA’ ISTANTANEA VETTORIALE
Questo procedimento di passaggio al limite costituisce la
operazione di derivazione di una funzione o altrimenti detta
derivata della funzione.
Se si calcola questo rapporto incrementale al limite per t che
tende a zero, cioè per t2 sempre più prossimo a t1, la corda che
unisce i due punti della curva (ipotenusa del triangolo rettangolo)
verrà a giacere sulla retta tangente alla curva in corrispondenza di
t1. La tangente di questa retta è la pendenza della curva in
corrispondenza di t1 e quindi la velocità istantanea definita come
derivata della funzione s(t) in corrispondenza di un prescelto
valore del tempo.
VELOCITA’ ISTANTANEA SCALARE
La velocità istantanea scalare è il modulo della velocità vettoriale e
cioè coincide con la velocità vettoriale privata di qualunque cenno
alla direzione.
Esempio: Il tachimetro di un automobile misura la velocità scalare,
ma non quella vettoriale, perché non può fornire informazioni sula
direzione del moto.
Regole di derivazione
f(x) e g(x) sono due funzioni qualunque
Moto rettilineo uniforme
Si ha quando la velocità è costante. In questo caso velocità media e
velocità istantanea coincidono.
•vcost = 10 m/s.
•Posizione iniziale: t=0, l=0
•Ogni secondo, l=10 m
La velocità, cioè la rapidità di variazione dello spazio percorso nel
tempo, è costante → il diagramma orario è una retta.
Moto rettilineo uniforme
Abbiamo t: quindi proporzionalità diretta tra lo spazio
percorso x ed il tempo impiegato a percorrerlo
•v =30 m/s costante
•La curva è una retta
orizzontale.
•Area del rettangolo =
spazio percorso.
•t = 5 s
•l = v·t = 30·5 = 150 m
x = area sottesa dalla curva v in funzione del tempo nell’intervallo di tempo considerato
v = costante: legge oraria
dx
v
dt
dx  vdt
x
t
x0
0
 dx   vdt  v  t  0 
x  x 0  vt
x  vt  x 0
Moto rettilineo: accelerazione
E’ una misura della variazione di velocità nel tempo.
Accelerazione media:
v2  v1 v
a

t2  t1 t
Accelerazione istantanea:
a 
v d v

t 0 t
dt
a  lim
v
ds
dt
dv
a
dt
m
s  m
s
s2
d
a
dt
2
ds d s
 dt   dt 2
 
L'accelerazione è la derivata seconda dello spostamento rispetto al
tempo.
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
•Moto uniformemente accelerato
a = costante (uniforme)
Il moto è rettilineo
a = at = costante
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
a costante
v
t
v  at
a
v
a
v  v  v0 ; t  t  t 0
posto t 0  0
v0
v  v0  at
t
t
v  v0  at
In questo caso lo spazio s(t) percorso tra l’istante iniziale t = 0, al quale
corrisponde la velocità v0, e il generico istante t, geometricamente sarà
l’area del parallelogramma avente basi v0 e v0+at
v
v  v0  at
v0
0
t
t
CINEMATICA: ACCELERAZIONE
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
•Ipotesi: moto rettilineo, accelerazione costante
•ti = 0, vi = v(ti=0) = v0
•tf = t, vf = v(tf=t) = v
Applico la definizione di a
a
Δ v v f  vi

Δt
t f  ti
a
v  v0
t
v  v 0  at
1a equazione del m.u.a
v > v0 → a positiva
v < v0 → a negativa
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
•Ipotesi: moto rettilineo, accelerazione costante
•Si definisce il valore medio della velocità:
v media
v0 > 0
v<0
1
 v 0  v 
2
2a equazione del m.u.a
vmedia < v0 (può anche essere negativa)
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Ipotesi: moto rettilineo, accelerazione costante
Ricordando che vmedia=s/t,
Teorema del valore
medio della velocità
s  v media  t 
1
v 0  v t 3a equazione del m.u.a
2
Valida in entrambi i casi:
– v0 > 0 e v > 0,
– v0 > 0 e v < 0, la direzione del moto si inverte
Il valore medio della velocità è raggiunto alla metà del tempo del
viaggio e non nel punto a metà strada nello spazio.
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
•Ipotesi: moto rettilineo, accelerazione costante
Sostituiamo la prima nella terza:
v  v 0  at
s
s

1
2v 0t  at 2
2

s
1
v 0  v t
2
1
v 0  v 0  at t
2
1
s  v 0t  at 2
2
4a equazione del m.u.a
v0t = spostamento del corpo mentre procede alla velocità iniziale v0,
anche se non accelera;
1/2at2 = spostamento che il corpo subisce, quando la sua velocità
aumenta oltre il valore v0.
Se a < 0 → 1/2at2 < 0 e il corpo rallenta: in questo caso non riuscirà
mai a raggiungere la velocità v0.
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
•Ipotesi: moto rettilineo, accelerazione costante
Sostituiamo la prima nella terza:
v media 
v  v 0  at
1
v 0  v 
2
Risolvo in t
t
v  v0
a
s  v mediat
v  v 0 v 2  v 02
1
s  v 0  v 

2
a
2a
2as  v 2  v 02
v 2  v 02  2as
5a equazione del m.u.a
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Equazione
Grandezza mancante
v  v 0  at
x - x0
v media
1
 v 0  v 
2
1
s  v media  t  v 0  v t
2
a
1 2
s  v 0t  at
2
v
v 2  v 02  2as
t
ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ (g)
•L’accelerazione è la stessa per tutti i corpi, ma non è
esattamente costante in tutti i punti della terra
(decresce al crescere della quota – a 1000 m s.l.m. è
circa minore dello 0.03% rispetto al l.m.).
L’accelerazione di gravità dipende:
– dalla gravità (in massima parte);
– dalla rotazione del pianeta intorno al proprio asse
(in minima parte ≈ 0.4 %, generalmente trascurato)
• Tale contributo è negativo: se la terra si
fermasse intorno al proprio asse, l’accelerazione
di gravità aumenterebbe ovunque.
ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ (g)
I
corpi
in
caduta
uniformemente
libera
accelerato
si
muovono
(lungo
la
di
moto
verticale)
rettilineo
in
cui
la
accelerazione è pari ad una costante detta accelerazione di gravità
ed indicata con la lettera g.
Il valore medio di g è pari a: 9.80665 m/s2
La accelerazione è sempre diretta verso il
basso per cui se orientiamo l’asse verticale
verso l’alto avremo a = -g
Se lo orientiamo verso il basso,
avremo a = g
a=g
z
a=-g
z
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
•g è costante → moto uniformemente accelerato →
tutte le equazioni sono valide.
v  v 0  gt
v media
1
 v 0  v 
2
1
s  v media  t  v 0  v t
2
1 2
s  v 0t  gt
2
v 2  v 02  2gs
MOTO DEI PROIETTILI
Qualunque corpo che si muove in due dimensioni, in caduta libera, con
velocità iniziale v0 ed accelerazione di gravità g costante diretta
verso il basso, segue un moto detto moto di un proiettile.
y
Mentre
il
corpo
si
muove
orizzontalmente, è soggetto per
effetto della gravità ad un moto
x
verticale
Sperimentalmente si può evidenziare che:
 Il moto orizzontale e quello verticale sono indipendenti e non si
influenzano a vicenda;
 Il moto orizzontale è rettilineo uniforme;
 Il moto verticale è rettilineo uniformemente accelerato.
MOTO DEI PROIETTILI
Se v0 è la velocità di lancio,
all’istante iniziale t0=0 si ha:
vx 0  v0 cos 

v y 0  v0 sin 
Moto orizzontale
x - x0 = vox t
x - x0 = (vo cos θo)t
Moto verticale
y – y0 = voy t – 1/2 gt2
v2y= (vo sin θo)2 – 2g (y - y0)
MOTO DEI PROIETTILI
v x 0  v0
Se v0 è la velocità di lancio, all’istante iniziale t0=0 si ha: 
v y 0  0
mentre in un generico istante t successivo a t0 si ha:
v x  v 0

v y  gt
Da cui si ottiene
y
1 g 2
x
2
2 v0
e
 x  v0 t


1 2
y

gt

2
, posto
k
1 g
2 v02
si ha
L’ equazione che descrive la traiettoria del moto è
l’equazione di una parabola
y  kx2
MOTO DEI PROIETTILI: LA GITTATA
Si definisce gittata (R) la massima distanza raggiunta in
direzione orizzontale
R  xmax  v x t v
, dove tv è il tempo di volo del proiettile
Come si può ottenere la massima gittata possibile?
 2v sin  
 
R  xmax  v x t v  R  v0 cos   0
g


sin 2
Rv
g
2
0
La gittata massima si ha in
corrispondenza di sin 2θ = 1,
cioè θ = 45º:
Rmax
v02

g
MOTI CURVILINEI:
Il moto circolare uniforme
Il moto circolare uniforme:
velocità angolare
Il moto circolare uniforme è il moto di un punto materiale P che descrive
una circonferenza con velocità di modulo costante.
P(t)
θ
r
θ0
R
o
r0
P
Siano r0 il vettore posizione iniziale di P
θ0 l’angolo che r0 forma con l’asse x
r il vettore posizione finale di P
θ l’angolo che r forma con l’asse x
Il vettore spostamento angolare è definito dalla differenza:
  
     0

Il vettore velocità angolare media è definito dal rapporto:  

t
essendo il moto uniforme la velocità angolare istantanea è, in ogni


istante, uguale alla velocità angolare media: i  

Il moto circolare uniforme:
velocità tangenziale
Tra il modulo dello spostamento angolare Δθ e il
P
cammino Δl percorso dal punto materiale sulla
o
Δθ
R
P0
circonferenza di raggio R, ovvero la lunghezza
dell’arco di circonferenza corrispondente, esiste la
relazione:
l  R  
Un radiante (rad) è l’angolo sotteso ad un arco la cui lunghezza l è
uguale proprio al raggio.
Considerando che in un giro completo ci sono 360° e questo deve,
ovviamente, corrispondere ad un arco di lunghezza pari all’intera
circonferenza, l = 2r. Si ha quindi che 360° = 2  rad
Un radiante corrisponde q 360°/2  = 360°/6.28 = 57.3°
Il moto circolare uniforme:
velocità tangenziale
P
o
Δθ
R
P0
l  R  
Da questa relazione è possibile ricavare la relazione tra il modulo della
velocità angolare ω e il modulo della velocità tangenziale vt, infatti:
l  R  
  

v

t

R



v

R

t
t



l

v

t

t


t

radianti
  


velocità
angolare
che
si
misura
in



t
secondo


vt  R 
Questa relazione vale solo tra i moduli dei vettori ed in generale esprime la relazione tra
velocità angolare istantanea e velocità tangenziale istantanea in un moto curvilineo qualsiasi.
Il moto circolare uniforme:
accelerazione
In ogni intervallo di tempo Δt il modulo della velocità tangenziale è
costante, ma direzione e verso cambiano, pertanto è sempre
presente una variazione di velocità Δvt e di conseguenza una
accelerazione.

 v t
L’accelerazione media è definita dal rapporto: a 
t
P
o
Δθ
R
P0
Il moto circolare uniforme:
accelerazione
v
v2
d
v1
Δvt è diretta esattamente verso il centro della circonferenza e si
parla di accelerazione centripeta ac
v t v t
ac 

 R 2
t
R
2
Il moto circolare uniforme
Il moto circolare uniforme è un moto periodico in quanto si ripete
ciclicamente, con le stesse caratteristiche, lungo la stessa traiettoria,
dopo intervalli di tempo uguali.
Periodo(T): il tempo per completare un intero ciclo del moto
dopo il quale il moto riassume le stesse proprietà
Frequenza(ν): il numero di cicli compiuti nell’unita di tempo,
è legata al periodo dalla relazione:  
1
T
è legata alla velocità angolare ω dalla relazione:
 = 2 ν