Problema dei sette ponti di Königsberg

Teoria dei Grafi
Francesca Benanti
Dipartimento di Matematica ed Informatica
Università degli Studi di Palermo,
Via Archirafi 34, 90123 Palermo
Tel.: 091-23891105
E-mail: [email protected]
Teoria dei Grafi
In matematica, informatica e, più in particolare,
in geometria combinatoria, la teoria dei grafi si
occupa di studiare i grafi, oggetti discreti che
permettono di schematizzare una grande varietà
di situazioni e di processi e spesso di consentirne
l'analisi in termini quantitativi e algoritmici.
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Il primo testo che prende in considerazione i grafi come entità
matematiche è la pubblicazione di Eulero del 1736 sui
"Sette ponti di Königsberg".
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Teoria dei Grafi
Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero
(Basilea, 15 aprile 1707 – San Pietroburgo,
18 settembre 1783), è considerato il più
importante matematico dell'Illuminismo. È
noto per essere tra i più prolifici di tutti i
tempi e ha fornito contributi storicamente
cruciali in svariate aree: analisi infinitesimale,
funzioni speciali, teoria dei numeri, teoria dei
grafi. Anche se fu prevalentemente un
matematico diede importanti contributi alla
fisica e in particolare alla meccanica classica e
celeste.
Eulero è stato senz'altro il più grande
fornitore di "denominazioni matematiche",
offrendo il suo nome a una quantità
impressionante di formule, teoremi, metodi,
criteri, relazioni, equazioni.
SCIENTIFICO
PALMERI,a.a.
a.a.2015/16
2014-2015
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UMBERTO,
Teoria dei Grafi
Buona parte della simbologia matematica
tuttora in uso venne introdotta da Eulero,
per esempio i per i numeri immaginari,
l'attuale
notazione
per
le
funzioni
trigonometriche come seno e coseno, Σ
come simbolo per la sommatoria, f(x) per
indicare una funzione. Diffuse l'uso della
lettera p per indicare pi greco. Per primo usò
la lettera e per indicare la base dei logaritmi
naturali, un numero reale che ora è appunto
chiamato anche numero di Eulero (o in italia
numero di Nepero)
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Problema dei sette ponti di Königsberg
L’enigma più importante di Eulero è probabilmente il Problema dei sette
ponti di Königsberg che il matematico formulò nel 1736 in un celebre lavoro
Solutio problematis ad geometriam situs pertinensis.
Il problema dei sette ponti di
Königsberg è un problema ispirato da
una città reale e da una situazione
concreta
Popolosa città della Prussica Orientale,
Konigsberg ha dato i natali al filosofo
Kant. Posta vicina al mar Baltico,
Konigsberg venne annessa all’URSS nel
1946. Oggi fa parte della repubblica russa
con il nome di Kaliningrad ed è circondata
dai paesi della nuova Comunità Europea.
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Problema dei sette ponti di Königsberg
La città è percorsa dal fiume Pregel e da suoi
affluenti e presenta due estese isole che, ai tempi
di Eulero, erano collegate alla terraferma e tra di
loro da sette ponti. Gli abitanti della città si
chiedevano spesso se fosse possibile fare una
passeggiata iniziando da un punto qualsiasi della
città, per poi attraversare ogni ponte una e una
sola volta e ritornare infine al punto di partenza.
Eulero rimase affascinato dalla questione e la
trasformò in uno dei più grandi enigmi di ogni
tempo
“Nella città di Königsberg è possibile attraversare ognuno dei sette
ponti sul fiume Pregel, che collegano due isole tra loro e alla terraferma,
senza attraversare due volte lo stesso ponte? “
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Problema dei sette ponti di Königsberg
Esercizio 1
Esercizio 2
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Problema dei sette ponti di Königsberg
Eulero ha il merito di aver formulato il problema in termini di teoria
dei grafi, astraendo dalla situazione specifica di Königsberg.
Innanzitutto eliminò tutti gli aspetti contingenti ad esclusione delle
aree urbane delimitate dai bracci fluviali e dai ponti che le collegano.
Secondariamente rimpiazzò ogni area urbana con un punto, ora
chiamato vertice o nodo e ogni ponte con un segmento di linea,
chiamato spigolo, arco, ramo o collegamento.
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Problema dei sette ponti di Königsberg
Un grafo G = (V;E) è una coppia di insiemi disgiunti:
V è un insieme non vuoto, discreto, finito, i cui elementi sono i vertici
(nodi) del grafo,
E è l’insieme degli spigoli (archi) del grafo, è un sottoinsieme del
prodotto cartesiano V X V, ossia un insieme di coppie di vertici del
grafo, coppie non ordinate di elementi di V; in altri termini le coppie
(u;v) e (v;u) rappresentano lo stesso spigolo del grafo G.
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G = (V;E)
V ={A, B, C, D}
E ={(A,C), (A,D), (B,C), (B,D), (C,A), (C,B), (C, D)}
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numeri che si associano naturalmente a un grafo:
n = numero di VERTICI
m = numero di LATI
ad ogni vertice v si associa il numero
d(v) = numero di lati in v
Osservazione:
∑d(v) = 2m
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Per il grafo di Eulero:
d(C)=5
d(A)=3
d(B)=3
d(D)=3
m=7
∑d(v) = 14 = 2m
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Problema dei sette ponti di Königsberg
Per comprendere la soluzione di Eulero è utile osservare alcuni
grafi con vertici pari o dispari
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Teorema Eulero:
Un qualsiasi grafo è percorribile se e solo se ha tutti i nodi
di grado pari, o due di essi sono di grado dispari; per
percorrere un grafo "possibile" con due nodi di grado
dispari, è necessario partire da uno di essi, e si terminerà
sull’altro nodo dispari.
CONCLUSIONE:
E’ impossibile percorrere Königsberg come richiesto dalla tesi,
poiché tutti i nodi sono di grado dispari.
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Problema dei sette ponti di Königsberg
Variazioni:
Sulla riva settentrionale della città sorge lo
Schloß, il castello, del principe Blu e sulla riva
meridionale sorge quello del principe Rosso; i
due principi sono fratelli; sull'isola orientale vi è
la Kirche, la chiesa, sede del Vescovo; infine
nell'isola centrale si trova una Gasthaus,
un'osteria.
Seguendo con attenzione l'ordine cronologico
dei fatti, bisogna ricordare che molti abitanti
della città avevano l'abitudine la sera di
trattenersi alquanto alla Gasthaus e quindi di
tentare l'impresa chiamata passare i ponti;
alcuni poi tornavano a festeggiare la loro
riuscita con ulteriori libagioni, ma senza riuscire
a spiegare in modo soddisfacente come a loro
dire erano riusciti e senza saper ripetere la
passeggiata alla luce del giorno.
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Esercizio
Problema dei sette ponti di Königsberg
L'ottavo ponte del principe Blu
Il principe Blu, dopo aver analizzato il sistema dei ponti
cittadini con l'aiuto della teoria dei grafi, si convince
dell'impossibilità di passare i ponti. Decide allora di
costruire di nascosto un ottavo ponte che gli permetta la
sera di passare i ponti partendo dal suo Schloß e finendo
alla Gasthaus dove potersi vantare della sua riuscita; e
inoltre fa in modo che il principe Rosso non riesca a fare
altrettanto a partire dal suo Schloß.
Dove costruisce l'ottavo ponte il principe Blu?
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Problema dei sette ponti di Königsberg
Il nono ponte del principe
Il principe Rosso, imbufalito per la mossa del fratello,
capisce che può reagire solo dopo aver studiato la teoria
dei grafi; dopo un attento studio anche lui decide di
costruire di nascosto un altro ponte che consenta a lui di
traversare i ponti in modo di raggiungere dal suo Schloß
la Gasthaus e qui prendere per i fondelli il fratello al
quale diventa impossibile passare i ponti alla sua
maniera.
Dove costruisce il nono ponte il principe Rosso?
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Problema dei sette ponti di Königsberg
Il decimo ponte del Vescovo
Il Vescovo ha dovuto assistere alla dispendiosa contesa
cittadina con crescente irritazione. Essa ha portato alla
formazione di due facinorose fazioni e ha fatto crescere il
numero degli eccessivi frequentatori della Gasthaus, con
danno della quiete pubblica. Quindi anche lui, dopo un
accurato studio della teoria dei grafi, decide di costruire
un decimo ponte che consenta a tutti i cittadini di passare
tutti i ponti e fare ritorno alla propria casa tra i tranquilli
affetti familiari.
Dove costruisce il decimo ponte il Vescovo?
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Soluzione:
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Problema dei sette ponti di Königsberg
L'ottavo ponte del Principe Blu
Le passeggiate di Eulero sono possibili se esattamente
2 nodi posseggono un numero dispari di spigoli, che
sono esattamente i nodi iniziale e finale della
passeggiata. Poiché il problema presenta solo 4 nodi,
tutti con grado dispari, bisogna disegnare un nuovo
spigolo fra gli altri due nodi. Poiché hanno
formalmente un numero dispari di spigoli, bisogna
creare un numero pari di spigoli in tutti i nodi che non
siano quello iniziale e finale. Un cambiamento nella
parità da grado dispari a grado pari. Sarebbe
altrimenti bastato erigere un ponte che partisse dal
bianco all'arancione. In questo modo solo due punti
avevano un numero dispari di ponti.
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Problema dei sette ponti di Königsberg
Il nono ponte del Principe Rosso
Risolto il problema dell'ottavo ponte,
il nono ponte presenta una soluzione
facile. Si richiede di utilizzare il nodo
rosso come punto di partenza e
l'arancione come arrivo. Per cambiare
la parità dei nodi rosso e blu, disegna
un altro spigolo fra i due.
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Problema dei sette ponti di Königsberg
Il decimo ponte del Vescovo
Il decimo ponte va in una direzione leggermente diversa. Il Vescovo
vuole che ogni cittadino ritorni al punto di partenza. Questo è un
cammino euleriano e richiede che tutti i nodi siano di grado pari. Dopo
la soluzione del nono ponte i nodi rosso e arancione sono di grado
dispari quindi devono essere cambiati aggiungendo un nuovo spigolo
fra di loro.
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