PROGRAMMA del corso di Analisi Matematica 2

PROGRAMMA del corso di Analisi Matematica 2 - Ingegneria Civile e Ambientale. A.A. 2011/12
Richiami sullo spazio Rn come spazio metrico e vettoriale. Coordinate polari di un punto nel piano.
Curve in Rn: sostegno di una curva, curve semplici e chiuse, orientamento di una curva. Equazioni cartesiane e polari di una
curva piana. Curve regolari e regolari a tratti, retta tangente e vettore tangente al sostegno di una curva regolare.
Lunghezza di una curva e Teorema di rettificabilita'. Esempi: circonferenza, ellisse, spirale logaritmica, cicloide, cardioide,
astroide, elica cilindrica. Curve equivalenti, curva geometrica, proprieta' geometriche di una curva. Ascissa curvilinea e
proprietà' delle curve parametrizzate mediante ascissa curvilinea.Versore normale, curvatura e cerchio oscillatore per una curva
piana, interpretazione geometrica della curvatura.Versore normale e binormale, curvatura e torsione, piano osculatore per una
curva in R3.
Topologia di Rn: definizione di intorno circolare, di insieme aperto, chiuso, limitato, compatto. Punti interni, punti esterni, punti di
frontiera. Interno e chiusura di un insieme. Proprieta' elementari ed esempi.
Funzioni di due variabili reali: dominio, immagine, grafico, insieme di livello e curve di livello. Punti di accumulazione e punti
isolati, limite per funzioni di due variabili. Unicita' del limite, algebra dei limiti. Condizione necessaria per l'esistenza del limite,
passaggio alle coordinate polari e condizione necessaria e sufficiente per il calcolo dei limiti.
Funzioni continue, Teorema della permanenza del segno, massimi e minimi assoluti e Teorema di Weierstrass. Insiemi aperti
connessi e Teorema dei valori intermedi.
Funzioni derivabili parzialmente e vettore gradiente. Significato geometrico della derivata parziale. Derivata direzionale e
significato geometrico. Funzioni differenziabili, interpretazione geometrica. Derivabilita' delle funzioni differenziabili (dim) e
condizione equivalente alla differenziabilita': formula di Taylor del primo ordine e piano tangente. Proprieta’ di continuita’ delle
funzioni differenziabili (dim) e Teorema del differenziale (dim). Teorema di derivazione delle funzioni composte (dim). Vettore
gradiente e curve di livello. Teorema del gradiente (dim). Interpretazione geometrica del vettore gradiente (dim). Teorema sulle
funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso (dim).
Massimi e minimi relativi. Teorema sulla condizione necessaria per l'esistenza di massimi e minimi relativi (dim). Derivate parziali
seconde e matrice hessiana. Formula di Taylor del II ordine. Matrici definite positive e negative e matrici indefinite. Teorema di
caratterizzazione delle matrici definite positive e negative. Teorema sulla condizione sufficiente per l'esistenza di massimi e
minimi relativi (dim). Massimi e minimi vincolati. Funzioni implicite e Teorema del Dini in R2 (dim). Interpretazione geometrica:
insieme di livello e curve di livello. Teorema sui moltiplicatori di Lagrange (dim).
Integrali curvilinei e indipendenza dalla parametrizzazione (dim). Proprieta' elementari dell'integrale curvilineo. Baricentro di una
curva piana.
Domini normali e integrale doppio su domini normali. Proprieta' elementari dell'integrale doppio. Formule di riduzione per
l'integrale doppio. Proprieta' di simmetria nell'integrale doppio. Baricentro di un corpo piano. Cambiamento di variabili
ammissibile in R2 e Teorema sul cambiamento di variabili nell'integrale doppio. Coordinate polari e polari ellittiche. Applicazione
al calcolo di aree e di volumi.
Superfici regolari, piano tangente e versore normale. Superfici equivalenti. Area di una superficie, Primo Teorema di Guldino
sull'area di una superficie di rotazione (dim).
Funzioni di tre o più' variabili: definizione di limite, di funzione continua, derivate parziali, gradiente. Formula di derivazione delle
funzioni composte. Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Condizione necessaria del I ordine e sufficiente del II ordine
per l'esistenza di massimi e minimi relativi. Teorema del Dini e Teorema sui moltiplicatori di Lagrange per funzioni di tre variabili.
Integrale curvilineo per funzioni di n variabili. Integrale di superficie. Domini normali in R3 e integrale triplo: definizione e formule
di riduzione. Applicazione al calcolo di baricentri e volumi. Cambiamento di variabili ammissibile in R3 e Teorema sul
cambiamento di variabili nell'integrale triplo. Coordinate sferiche e cilindriche. Secondo Teorema di Guldino sul volume di solidi di
rotazione (dim).
Campi vettoriali, campi vettoriali conservativi e potenziali. Lavoro di un campo vettoriale lungo una curva e proprietà' elementari.
Teorema sul lavoro di un campo conservativo (dim). Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi (dim). Campi vettoriali
irrotazionali, Teorema sulla condizione necessaria affinché un campo risulti conservativo (dim), insiemi semplicemente connessi.
Teorema sui campi irrotazionali in insiemi semplicemente connessi. Metodi per determinare un potenziale di un campo campo
conservativo.
Teorema di Green (dim in un rettangolo) e Teorema di Gauss della divergenza in R2. Applicazioni per il calcolo di aree. Flusso di
un campo vettoriale, proprieta' del flusso. Superfici regolari con bordo, bordo di una superficie e orientamento del bordo di una
superficie. Teorema di Stokes. Teorema di Gauss della divergenza in R3. Forme differenziali e campi vettoriali
Equazioni differenziali ordinarie: soluzione di un'equazione differenziale e integrale generale. Problema di Cauchy. Teorema di
esistenza, Teorema di Cauchy di esistenza ed unicità' locale della soluzione di un problema di Cauchy. Soluzioni massimali e
Teorema di prolungabilita'. Equazioni a variabili separabili. Integrale generale di equazioni differenziali lineari del I ordine.
Equazioni differenziali di Bernoulli. Equazioni differenziali lineari del II ordine omogenee. Soluzioni linearmente indipendenti,
determinante Wronskiano. Teorema sulla condizione necessaria e sufficiente affinché' due soluzioni risultino linearmente
indipendenti. Teorema sull'integrale generale di equazioni differenziali lineari del II ordine omogenee (dim). Integrale generale di
equazioni differenziali lineari del II ordine complete. Soluzioni linearmente indipendenti per equazioni differenziali lineari del II
ordine omogenee a coefficienti costanti. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie e metodo della "somiglianza" per la
determinazione di una soluzione particolare di un'equazioni differenziali lineare del II ordine completa a coefficienti costanti.
Equazione dell'oscillatore armonico semplice e forzato, fenomeno di risonanza.
Libro di testo
Fusco-Marcellini-Sbordone "Elementi di Analisi Matematica due" Liguori editore
Dispense del docente disponibili sulla pagina web www.dipmat.univpm.it/~alessio
Esercizi
Marcellini-Sbordone "Esercitazioni di Analisi Matematica" II vol. parte I e II, Liguori editore
Adams "Calcolo differenziale 2" Casa Editrice Ambrosiana